ž ÅË ¾¼½½»¾¼¼½¾ Ù ÑÓÙÚ Ñ ÒØ ÖÓÛÒ Ò Ð ÑÓ Ð Ø Ò Ò Ö Ì Ò Ó ÇÊÊ ÌÁÇÆ Ì ½¹½µ ÈÙ ÕÙ ds S σdx µdt, S 0 ÙÒ Ò Ø ÒØ Ò µ ÐÓÖ ds 0 Ø S Ö Ø Ð Þ ÖÓ Ø Ð Ú Ð ÙÖ Ð ÐÐ Ø C(0, t) 0 ÕÙ Ð ÕÙ Ó Ø tº È Ö ÐÐ ÙÖ ÐÓÖ ÕÙ S 0 < S K S гÓÔØ Ö ÙØ Ð Ø Ð ØÖ Ò ÓÙ ÔÐÙ ÖÓÐ Ò C(S, t) S ½¹¾µ ij ÕÙ Ø Ë Ö Ñ Ð Ð³ ÕÙ Ø Ð Ù Ñ Ð Ó ÒØ Ô Ò ÒØ Sº ÈÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ø Ó ÒØ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ò Ñ Ò ÓÒ Ø Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð ÔÖÓÔÓ º ÇÒ ÐÓÖ v σ v t τ v 1 v S x v 1 v S x 1 v S x. ÇÒ Ò Ù Ø Ð³ ÕÙ Ø Ñ Ò Ú k r/ 1 σ ÕÙ Ø Ò Ñ Ò ÔÙ ÕÙ [r] temps 1 Ø [σ] temps 0.5 º ÇÒ Ô Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ò Ò K T σ Ø r ¾ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ Ò Ò k Ø Ð ÒÓÙÚ Ù Ø ÑÔ Ñ ØÙÖ Ø 1 σ T º ½¹ µ Ä ÓÒ Ø ÙÜ Ð Ñ Ø Ú ÒÒ ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ v(x, 0) max(0, e x 1) v(, τ) 0 ÔÓÙÖ x v(x, τ) e x ÔÓÙÖ x. ij ÕÙ Ø Ú ÒØ Ó Ø βu τ (α u α x u ) (k 1)(αu x x ) ku ÇÒ Ð Ñ Ò Ð Ø ÖÑ Ò u Ø Ò x Ò Ó ÒØ ËÓ Ø τ u (α k 1) x x [α α(k 1) k β]u 0 α α(k 1) k β 0 α k 1. α (1 k)/ β (1 k) /4. ½
ÇÒ Ó Ø ÒØ Ð³ ÕÙ Ø Ð Ù Ú Ð ÓÒ Ø Ò Ø Ð τ u x, u(x, 0) max(0, e 1 (k1)x e 1 (k 1)x ), u(x, 0) e 1 (k1)x e 1 (k 1)x, x > 0. Ò Ø e 1 (k1)x e 1 (k 1)x > 0 (k 1)x > (k 1)x Ó Ø x > 0º ³ ÔÖ Ð Ì Ð ÓÐÙØ Ð³ ÕÙ Ø Ð Ù ³ Ö Ø u(x, τ) 1 dq φ(q, 0) e Dq e iqx. Ó φ(q, 0) e iqx u(x, 0)dx u(x, τ) 1 1 1 1 1 πdτ ( dq ) e iqx u(x, 0)dx e Dq e iqx dx u(x, 0) dq e Dτ(q i (x x ) Dτ q) ( dx u(x Dτ, 0) dq e dx u(x, 0) e (x x ) 4Dτ dx u(x, 0) e (x x ) 4Dτ. ) (qi (x x ) Dτ ) (x x ) 4(Dτ) dq e Dτ(qi(x x ) Dτ ) }{{} π Dτ Ú Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð y x x, ÓÒ Ó Ø ÒØ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÒ Ø Ò Ø Ð u(x, 0) u(x, τ) dy u(x y, 0)e y πτ dy max(0, e 1 (k1)(xy) e 1 (k 1)(xy) )e y I 1 I. x (k1)(xy) e y (k 1)(xy) e y x I 1 e 1 (k1)x (k1)(xy) e y x (k1)y e y x ¾
e 1 (k1)x e 1 (k1)x [y y(k1) ] x x e 1 (k1)x e τ 4 (k1) e 1 (k1)x 1 4 (k1) τ (k1) [(y ) (k1) 4 ] x x (k1) Ó Ð³ÓÒ ØÙ Ö Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð z y (k1) º ÇÖ N(x) 1 x (k1) (y ) dz e z, e z dz e z dz, x Ó ÇÒ Ñ Ñ I 1 e 1 (k1)x 1 4 (k1) N(d 1 ), d 1 x (k 1). I e 1 (k 1)x 1 4 (k 1) N(d ). ÇÒ ÓÖ Ú τ σ / T tº Ò Ð Ñ ÒØ v(x, τ) e αxβτ u(x, τ) e 1 (k 1)x 1 4 (1k) u(x, τ) e 1 (k 1)x 1 4 (1k) [e 1 (k1)x 1 4 (k1) N(d 1 ) e 1 (k 1)x 1 4 (k 1) N(d )] e x N(d 1 ) e kτ N(d ). C(S, t) Kv(x, τ) K[e x N(d 1 ) e kτ N(d )] SN(d 1 ) Ke rτ σ / N(d ), C(S, t) SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d ). d 1 d x x (k 1) ln( S K (k 1) ln( S K σ ) (r )(T t) σ T t σ ) (r σ T t )(T t). Ò Ø x lns/k Ø σ (T t)º ÇÒ Ô ÙØ Ú Ö Ö Ð ÓÒ Ø ÙÜ Ð Ñ Ø t T ÐÓÖ d 1 d lns/k/σ(t t)º Ë S > K d 1 d Ø N(d 1 ) N(d ) 1 C(S, T) S Kº Ë S < K d 1 d Ø N(d 1 ) N(d ) 0 C(S, T) 0º S 0 ÐÓÖ d 1 d Ø N(d 1 ) N(d ) 0 C(0, t) 0º S ÐÓÖ d 1 d Ø N(d 1 ) N(d ) 1 C(S, t) Sº
C N(d 1 ) S N(d 1) Ke r(t t) N(d ) N(d 1 ) SN (d 1 ) d 1 Ke r(t t) N (d ) d N(d 1 ) [SN (d 1 ) Ke r(t t) N 1 (d )] Sσ T t Ö d1 d Ò Ø 1/Sσ T tº ÓÑÑ N (x) Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ÒØÖ Ø Ö Ù Ø ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ S N (d 1 ) N (d ) Se 1 (d 1 d ) Ke r(t t). d 1 d 1 σ σ [(r (T t) ) (T t) (r σ ) (T t) ln(s/k)σ (T t)] 1 σ (T t) [rσ (T t) ln (S/K)σ (T t)] [r(t t) ln (S/K)] Ò Ò C N(d 1) S N (d 1 ) N (d ) Se 1 (d 1 d ) r(t t) ln(s/k) Se Ke r(t t). ¾¹½µ Ò Ø ÓÒ Ü Ö Ð³ÓÔØ t T S < Kº ÐÐ Ô ÖÑ Ø Ú Ò Ö Ù ÔÖ Ü ³ Ü Ö ÔÐÙ Ð Ú ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ S гÓÔغ Ë Ú Ð ÙÖ Ø Ð Ö Ò K Sº È Ö ÐÐ ÙÖ S 0 ÓÒ Ü Ö Ö ÓÖ Ñ ÒØ Ð³ÓÔØ ÔÓÙÖ Ú Ò Ö Ù ÔÖ Ü ³ Ü Ö Kº P(0, T) Kº ÈÙ ÕÙ Ð Ò t T Ø ÖØ Ò Ð Ù Ñ ÒØ Ú Ð Ø ÑÔ ÓÑÑ ÙÒ ÔÐ Ñ ÒØ Ò ÒÕÙ Ú Ð Ø ÙÜ ³ ÒØ Ö Ø r dp P rdt Ó Ø P(0, t) Ke r(t t) º S ÓÒ Ò³ Ü Ö Ö Ô Ð³ÓÔØ Ñ ÙÜ Ú ÙØ Ú Ò Ö Ù ÔÖ Ü Ù Ñ Ö Ò Ò µ ÕÙ³ Ù ÔÖ Ü ³ Ü Ö Ò µº P(S, t) 0º ¾¹¾µ ÇÒ Π(S, T) S P(S, T) C(S, T) S max(0, K S) max(0, S K). S > K Π(S, T) S (S K) K S < K Π(S, T) S (K S) K Ð Ú Ð ÙÖ Π(S, T) K Ø ÖØ Ò º Ú ÙÒ Ø ÙÜ ³ ÒØ Ö Ø r Ð Ú Ð ÙÖ Π(S, t) Ù Ñ ÒØ Ú Ð Ø ÑÔ ÔÓÙÖ Ú ÐÓ Ö K t T Π(S, t) Ke r(t t). ÇÒ Ò Ù Ø Ð³ ÕÙ Ø Ô Ö Ø º ¾¹ µ ³ ÔÖ Ð³ ÕÙ Ø Ô Ö Ø Ø Ð ÓÐÙØ C(S, t) P(S, t) r(t t) C(S, t) S Ke S[N(d 1 ) 1] Ke r(t t) [N(d ) 1] SN( d 1 ) Ke r(t t) N( d ),
Ö N(x) 1 N(x) 1 1 x [ e z dz 1 x e z dz N(x) 1 1 x e z dz N(x) 1 È Ö ÐÐ ÙÖ Ò Ö Ú ÒØ Ð³ ÕÙ Ø Ô Ö Ø N( x). P C 1 N(d 1) 1. e z dz]