2C7122 Ecole Normale Supérieure Paris-Saclay Ecole Normale Supérieure de Rennes SECOND CONCOURS ADMISSION EN CYCLE MASTER MATHEMATIQUES Session 2017 E

Bản ghi

1 2C7122 Ecole Normale Supérieure Paris-Saclay Ecole Normale Supérieure de Rennes SECOND CONCOURS ADMISSION EN CYCLE MASTER MATHEMATIQUES Session 2017 Epreuve de Mathématiques 2 Durée : 5 heures «Aucun document n'est autorisé» «L'usage de toute calculatrice est interdit» Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. Sujet 1- Probabilités et statistiques Sujet 2- Analyse numérique Le candidat traitera au choix le sujet 1 ou le sujet 2 et rappellera sur sa copie le sujet qu il a choisi de traiter.

2 ËÙ Ø ¾ ¹ Ò ÐÝ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÒØ ÒØ Ô º Ä Ô ÖØ Ù Ø ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ º ÙÙÒ ÓÒÒ Ò Ô ÕÙ ÙÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ ½ µ¹ ½ µ Ò³ Ø Ò Ö ÔÓÙÖ ØÖ Ø Ö Ù Øº Ò Ù Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ø ÓÒ ØÙ ÔÐÙ ÙÖ Ñ Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ÔÔÖÓ¹ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ 1¹ Ñ Ò ÓÒÒ ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ø ÒØ V > 0 u u (t,x+v (t,x = 0, t > 0, x R ½ µ t x u(0,x = u 0 (x, x Rº ½ µ Ä ÓÒÒ Ò Ø Ð u 0 Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ Ð Ö ÙÐ Ö Ø Ö ÔÖ Ò ÕÙ Ô ÖØ º Ò ØÓÙØ Ð Ù Ø ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ù Ý Ø Ñ ½ µ¹ ½ µ Ð ÓÒØ ÓÒ u(t,x = u 0 (x Vtº ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø ÙÒ Ô Ø ÑÔ t > 0 Ø ÙÒ Ô ³ Ô > 0º ÇÒ ÙÔÔÓ Ö ØÓÙ ÓÙÖ ÕÙ Ð Ö ÔÔÓÖØ t Ø Ü ÓÒ ÒÓØ ØØ ÕÙ ÒØ Ø λ ÓÖØ ÕÙ ÕÙ Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ò Ø Ò Ú Ö 0 Ð Ø ÓÙ ¹ ÒØ Ò Ù ÕÙ t Ø Ò Ð Ñ ÒØ Ú Ö 0 ÓÖØ Ö Ö Ð Ö ÔÔÓÖØ t ÓÒ Ø ÒØ Ð λº ÇÒ Ü ÔÐÙ Ð Ø ÑÔ Ò Ð T Ø ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö N Ø Ð ÕÙ T = N tº ÆÓØ Þ ÕÙ N Ø Ò Ú Ö + ÕÙ Ò Ø ÓÒ tµ Ø Ò Ú Ö 0º Ò Ò ÓÒ ÒÓØ x j = j ÔÓÙÖ j Z Ø t n = n t ÔÓÙÖ n Nº Ò Ò Ð Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÖÓÒØ Ò Ø Ð Ó Ø Ô Ö j Z, u 0 j = u 0 (x j ¾µ Ó Ø Ô Ö j Z, u 0 j = 1 xj + 2 u 0 (xdx. µ x j 2 Ä ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒØ ÓÔØ Ò Ð³ ÒÓÒ º R + Ò Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ð ÔÓ Ø [0,+ [ R + ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ]0,+ [º Ò Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ð Ä Ô ÖØ ÒØ Ö ³ÙÒ Ö Ð x Ø ÒÓØ E(x Ø ÒØ ÓÒÒ n Z E(x = n x [n,n+1[º l = {(w j R Z Ø ÐÐ ÕÙ sup w j < + } г Ô Ú ØÓÖ Ð Ù Ø Ö ÐÐ ÓÖÒ Ò Ü ÙÖ Zµ ÑÙÒ Ð ÒÓÖÑ (w j l = sup w j º l 1 = {(w j R Z Ø ÐÐ ÕÙ w j < + } г Ô Ú ØÓÖ Ð Ù Ø Ö ÐÐ ÓÑÑ Ð Ò Ü ÙÖ Zµ ÑÙÒ Ð ÒÓÖÑ (w j l 1 = w j º ÈÓÙÖ p 1 ÔÓÙÖ w C p (R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒ ÒÓØ w (p Ð Ö Ú p¹ Ñ w ÔÓÙÖ p = 0 ÓÒ ÒÓØ w (0 = wº ½

3 ÈÓÙÖ E ÙÒ Ò Ñ Ð f : E E Ø k 1 ÙÒ ÒØ Ö f k Ò Ð ÓÑÔÓ f f f Ó Ð Ý k ÓÑÔÓ º }{{} k Ó ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ w : R R Ø Ø ÙÔÔÓÖØ ÓÑÔ Ø ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ [a,b] R Ò ÓÖ ÙÕÙ Ð w Ø ÒÙÐÐ º ÈÓÙÖ p 0 ÙÒ ÒØ Ö ÓÒ ÒÓØ C p c = { w C p (R + R C0 (R + R ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð Ü Ø (a,b R 2, a < b, Ø Ð ÕÙ } t 0, x ],a+vt[ ]b+vt,+ [, w(t,x = 0. ½ Ò Ö Ð Ø ÙÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ò ØØ Ô ÖØ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ u 0 : R R Ø Ð C 1 Ø ÙÔÔÓÖØ ÓÑÔ Øº ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ R + R Ô Ö u(t,x = u 0 (x Vt Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ ½ µ¹ ½ µ Ø ÕÙ³ ÐÐ ÔÔ ÖØ ÒØ Cc 1º ¾º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ u 0 Ø ÔÐÙ Ð C p p 1º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ u Ø ÓÖÒ ÔÔ ÖØ ÒØ Cc p Ø ÕÙ Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ k u Ø k u 1 k pµ ÓÒØ ØÓÙØ ÓÖÒ º t k x k º ËÓ Ø u ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Cc 1 Ú Ö ÒØ ½ µº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ u2 Ø Ù ÓÐÙØ ÓÒ ½ µº º ËÓ ÒØ u 1 Ø u 2 ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Cc 1 ÓÐÙØ ÓÒ ½ µº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ǫ ]0,T[, (u 1 u 2 2 (T,xdx = (u 1 u 2 2 (ǫ,xdx, R ÔÙ ÕÙ Ö ÙÐØ Ø Ø Ù Ú Ð Ð ÔÓÙÖ ǫ = 0º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ô Ö Ø Ð³ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ ½ µ¹ ½ µ Ò Ð³ Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ C 1 c º R ¾ Ë Ñ ÒØÖ Ù Ä Ñ ÒØÖ Ù Ø Ò Ô Ö Ð ÓÒÒ (u 0 j Ø Ô Ö n N, j Z, u n+1 j = u n j t V(un j u n j 1. ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ t = λ Ó λ > 0 Ø Ü ÕÙ V Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ø ÕÙ Ð Ø ÑÔ Ò Ð T > 0 Ø Ü ÓÖØ ÕÙ T = N t ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØ Ò ÒØ Ö Nº ¾

4 ¾º½ ÓÒÒ Ò Ø Ð Ö ÙÐ Ö Ò ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ÓÒÒ Ò Ø Ð u 0 : R R Ø Ð C 2 ÙÔÔÓÖØ ÓÑÔ Ø Ø ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø u : R + R R ÔÔ ÖØ ÒØ Cc 2 º Ä Ñ Ø Ò Ø Ð Ô Ö ¾µº ½º ½ µ ÅÓÒØÖ Ö Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÒØ Ö M 0 Ø Ð ÕÙ u 0 j = 0 j M 0º ½ µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n 0 u n j = 0 j M 0 +nº ½µ ÂÙ Ø Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n 0 Ð ÕÙ ÒØ Ø un j Ø Ò Ò º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n 0 un+1 j = un j º º µ ËÓ Ø u Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø ½ µº ËÓ Ø Ð Ù Ø ǫ n = (ǫ n j ÓÒØ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø Ò ÔÓÙÖ ØÓÙØ (j,n Ò N Z Ô Ö ǫ n j = u(tn+1,x j ( u(t n,x j t V( u(t n,x j u(t n,x j 1 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ j Z ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N Ð Ü Ø s n j [t n,t n+1 ] Ø y n j [x j 1,x j ] Ø Ð ÕÙ. º ǫ n j = 1 2 t2 2 u t 2 (sn j,x j V 2 t 2 u x 2(tn,y n j. µ Ò Ù Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ C Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ u λ Ø V Ø ÐÐ ÕÙ max ǫ n j C t. sup 0 n N µ ËÓ Ø µ ÙÒ Ö Ðº ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Q µ : l l (w j ( (1 µw j +µw j 1 º Ø ÓÒØ ÒÙ ÒÓÖÑ 1 Ø ÙÐ Ñ ÒØ 0 µ 1º µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n ÔÓ Ø (u n+1 j = Q λv ( (u n j º µ ÈÓÙÖ n 0 ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ù Ø e n = (e n j Ó e n j = u(t n,x j u n j º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n ÔÓ Ø e n+1 = Q λv (e n +ǫ n. µ ÉÙ Ú ÙØ e 0 Ò Ù Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n ÔÓ Ø e n = n 1 k=0 Qk λv (ǫn k º º Ò ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ λv 1º µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ max e n j C T. sup 0 n N

5 µ ÇÒ Ñ Ø ÕÙ³ Ð Ü Ø C 1 > 0 Ø ÐÐ ÕÙ max u n j 0 n N u(tn,x j C 1 T. ÈÓÙÖ 1 < p < + ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ C p Ø ÐÐ ÕÙ ( 1/p max u n j u(t n,x j p C p T. 0 n N ¾º¾ ÓÒÒ Ò Ø Ð ÓÒØ ÒÙ ØØ Ø ÓÒ Ø Ò Ô Ò ÒØ ÙØÖ º ÇÒ Ý ÙÔÔÓ ÕÙ λv < 1º ½º ÅÓÒØÖ Ö Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ò ÝÔÓØ ÙÖ u 0 ÕÙ u n j = n k=0 ( n k (1 λv n k (λv k u 0 j k. { ¾º ÇÒ ÔÖ Ò Ñ ÒØ Ò ÒØ u 0 0 x < 0, (x = Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ð Ñ Ú ¾µ 1 x 0. { ÓÖØ ÕÙ u 0 j = 0 j < 0, 1 j 0. ¾ µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ u n j = 0 j < 0 Ø ÕÙ u n j = 1 j > nº ¾ µ ËÓ Ø (X k k N,k 1 ÙÒ Ù Ø Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ò Ô Ò ÒØ Ø ÒØ ÕÙ ¹ Ñ ÒØ ØÖ Ù Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ ÖÒÓÙÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ Ù λv º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n 1 ÔÓÙÖ ØÓÙØ j Z u n j = P ( n k=1x k j Ó P Ò Ð ÔÖÓ Ð Ø º ¾µ ËÓ Ø x Rº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ x = lim N + x j(n Ó j(n = E(x/º ¾ µ ÇÒ Ò Ø Ð ÓÒØ ÓÒ u (t,x = u n j x [j,(j +1[ Ø t [n t,(n+1 t[. Ò ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð ÐÓ Ö Ò ÒÓÑ Ö ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ u (T,x 0 { 0 x < VT, 1 x > VT.

6 Ë Ñ ³ÓÖ Ö Ð Ú ËÓ ÒØ p > 0 Ø k 0 ÙÜ ÒØ Ö ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ k + p+1 ÔÓ ÒØ n 0, j Z, u n+1 j = a l u n j+l, Ó Ð a l p l k ÓÒØ Ö Ð Ü º ÇÒ Ò Ø Ð³ ÖÖ ÙÖ ÓÒ Ø Ò ÐÓ Ð Ó Ù Ñ ÓÑÑ Ð ÕÙ ÒØ Ø ǫ n j = u(t n+1,x j a l u(t n,x j+l. º½ Ç ØÖÙØ ÓÒ Ó ÙÒÓÚ Ò ØØ Ô ÖØ u 0 Ø u ÓÒØ Ð C Ø ÓÖÒ º Ä Ñ Ø Ò Ø Ð Ú ¾µº ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ Ñ Ð ÓÖÑ Ø Ð ÕÙ a l = 1 Ø Ø Ð ÕÙ l, a l 0. ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ó٠г ÝÔÓØ Ð Ñ Ú Ö n 0, (u n j l (u 0 j l ¾º ØÙ Ö ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ù ÔÓ ÒØ(t n,x j ǫ n j Ú ÙÒ Ö Ø ÒO( t3 + O( 3 º º ËÓ Ø u Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ ½ µº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ (t,x R + R, a l = 1, la l = λv, Ø ÐÓÖ ǫ n j = O(3 +O( t 3 º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ó٠г ÝÔÓØ ( 2 la l 2 u t (t,x = V 2 2 u 2 x 2(t,x. l 2 a l = (λv 2, ( ( l 2 a l a l, Ú Ð Ø Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ð ÙÜ Ú Ø ÙÖ Ù Ú ÒØ ÓÒØ ÓÐ Ò Ö ( a p, a p+1,, a k Ø ( p a p,( p+1 a p+1,,k a k. º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ò³ Ü Ø ÙÙÒ Ñ Ð ÓÖÑ Ý ÒØ ÙÜ Ó ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ ÓÙ ÔÐÙ Ø Ú Ö ÒØ Ð Ó Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø ½¼µº ½¼µ

7 º¾ ËÓ Ø ÇÖ Ö ÓÒÚ Ö Ò ÔÓÙÖ u 0 Ô Ù Ö ÙÐ Ö S : ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ø ÐÐ ÕÙ S Ø A¹ Ø Ð Ð Ü Ø A > 0 Ø Ð ÕÙ l 1 l 1 (w j S ( (w j k 1, (w j l 1, S k( (w j l1 A (w j l1 ; Ð Ñ Ó S Ø ³ÓÖ Ö p p 2 Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ C p Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ u 0 C p+1 (R L 1 (R Ð Ñ Ò Ô Ö j Z, u 0 j = u 0 (x j Ø n N, (u n+1 j = S ( (u n j Ú Ö ÓÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ t n = n t Ø ÕÙ³ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö t N = T µ u N j u(t N,x j C p (u 0 (p+1 L 1 p T. ½º ËÓ Ø ϕ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ C (R ÔÓ Ø Ú ÒÙÐÐ Ò ÓÖ [0,1] Ø ³ ÒØ Ö Ð 1º ÈÓÙÖ w ÙÒ ÓÒØ ÓÒ C 1 (R L 1 (R Ø ÐÐ ÕÙ w ÔÔ ÖØ ÒÒ L 1 (R ÔÓÙÖ ØÓÙØ ǫ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒØ ÓÒ w ǫ ÓÑÑ w ǫ (x = 1 ( x y ϕ w(ydy. ½½µ ǫ ǫ ½ µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ R w ǫ L w L Ø ÕÙ w ǫ w L 1 ǫ w L 1. ½ µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ w ǫ Ø Ð C Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö r 1 Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ C r Ò Ô Ò ÒØ w Ø ÐÐ ÕÙ w (r ǫ L 1 C r ǫ r 1 w L 1. ¾º ÇÒ ÙÔÔÓ ÓÖÑ ÕÙ u 0 Ø Ò C 1 (R L 1 (R Ø ÕÙ u 0 Ø Ò L1 (Rº ÇÒ ÒÓØ u(t,x = u 0 (x Vt Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ ÔÓÙÖ Ð ÓÒÒ Ò Ø Ð u 0 º ÇÒ ÒÓØ Ñ Ñ u ǫ (t,x = u 0 ǫ (x Vt Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ ÔÓÙÖ Ð ÓÒÒ Ò Ø Ð u 0 ǫ Ò Ô Ö ½½µ Ú w = u 0 µº ËÓ Ø (u n j n N, Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÓÒÒ Ò Ø Ð u 0 j Z, u 0 j = 1 xj +/2 x j /2 u 0 (xdx Ø n 0, (u n+1 j = S ( (u n j Ø Ó Ø (v n j n N, Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÓÒÒ Ò Ø Ð u 0 ǫ j Z, v 0 j = u0 ǫ (x j Ø n 0, (v n+1 j = S ( (v n j.

8 ¾ µ ÅÓÒØÖ Ö Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ B 1 Ø ÐÐ ÕÙ vj N u ǫ (t N p,x j B 1 ǫ p (u0 L 1T. ¾ µ ÅÓÒØÖ Ö Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ B 2 Ø ÐÐ ÕÙ vj 0 u 0 j B 2 (ǫ+ (u 0 L 1. ¾µ Ò Ù Ö Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ B 2 Ø ÐÐ ÕÙ v N j u N j B 2(ǫ+ (u 0 L 1. ¾ µ ÇÒ Ñ Ø ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ B Ø ÐÐ ÕÙ un j 1 xj +/2 u(t N,xdx j x j /2 B (u 0 L 1 ( ǫ+ p T ǫ p +. Ò ÓÔØ Ñ ÒØ Ð Ó Ü ǫ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ B p Ô Ò ÒØ p Ø B Ø ÐÐ ÕÙ un j 1 xj +/2 u(t N,xdx j x j /2 B p (u 0 L 1 ( p 1 p+1 T p+1 +. ÁÆ Í ËÍÂ Ì ¾