ÁÆ ¼ Ò ÐÝ Ø ÓÒ ÔØ ÓÒ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖÖ Ù Ò Ð ÙØÓÑÒ ¾¼½ ÉÙ Ø ÓÒ ½ Ö Ô ÔÓ ÒØ ØÓÙÖ Ø ÓÒØ ÐÓ Ò ÙÒ Ø Ð ÒÓÑÑ º ÍÒ Ù Ø Ú Ø Ö Ü Ø ØÓÙÖ Ø ÕÙ ÒÓÑÑ Ø º Ä ØÖÓÒÓÒ ÖÓÙ

Bản ghi

1 ÉÙ Ø ÓÒ ½ Ö Ô ÔÓ ÒØ ØÓÙÖ Ø ÓÒØ ÐÓ Ò ÙÒ Ø Ð ÒÓÑÑ º ÍÒ Ù Ø Ú Ø Ö Ü Ø ØÓÙÖ Ø ÕÙ ÒÓÑÑ Ø º Ä ØÖÓÒÓÒ ÖÓÙØ ÕÙ³ Ð Ô ÙØ ÑÔÖÙÒØ Ö ÓÒØ Ö ÔÖ ÒØ ÙÖ Ð Ö Ô ¹ ÓÙ º µ ½ ÔÓ ÒØ ü Ô ÖØ Ö Ð³ Ø Ð Ð Ù Ô Ùع Ð ÑÔÖÙÒØ Ö ØÓÙ Ð ØÖÓÒÓÒ ÖÓÙØ Ò Ô ÒØ ÙÒ Ø ÙÒ ÙÐ Ó ÙÖ ÙÒ ³ ÙÜ Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ ÓÒ ÖÙ Ø Ð³ Ø Ð ÂÙ Ø Þ ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ º ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ ØÓÙÖÒ ÙÐ Ö ÒÒ ÕÙ Ü ÕÙ ØÓÙ Ð ÓÑÑ Ø Ó ÒØ Ö Ô Öº ÇÖ Ð ÓÑÑ Ø Ø ÓÒØ Ö ÑÔ Öº ÓÒ Ò³ Ø Ô ÔÓ Ð º µ ¾ ÔÓ ÒØ Ò ÓÒ Ö ÒØ Ð ÓÑÑ Ø Ò ÓÖ Ö ÐÔ Ø ÕÙ ØÙ Þ ÙÒ ÓÙ ÐÐ Ò ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ Ù Ö Ô ÔÙ ÒÙÑ Ö Þ Ð ÓÑÑ Ø Ò ÔÓ ØÓÖ Ö Ò Ð³ Ö Ö Ó Ø ÒÙº Ä ÓÙ ÐÐ Ò ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ñ Ò Ð ÔÓ ØÓÖ Ö ÒÚ Ö Ø ÓÖ Ö º µ ¾ ÔÓ ÒØ ÇÒ ÓÙ Ø Ò ÓÒ ÖÚ Ö ÕÙ ÖØ Ò ØÖÓÒÓÒ ÖÓÙØ Ñ Ò Ñ ÒØ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ØÓØ Ð ØÖÓÒÓÒ ØÓÙØ Ò Ö ÒØ ÒØ ÕÙ³ Ð Ý ÙÒ Ñ Ò ÔÓ Ð ÒØÖ ØÓÙØ Ô Ö ÓÑÑ Ø º ÈÖÓÔÓ Þ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÔÐ ÕÙ Þ¹Ð Ö Ô º ÈÖ Ñ ÓÙ ÃÖÙ Ð ÚÙ Ò Ð º È Ö Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ ÃÖÙ Ð ÓÒ Ó Ö Ò Ð³ÓÖ Ö Ð Ö Ø º µ ½ ÔÓ ÒØ Ö Ô Ø¹ Ð ¾¹ÓÐÓÖ Ð ÂÙ Ø Þ ÆÓÒ Ö Ð ÓÒØ ÒØ ÔÐÙ ÙÖ Ð ÕÙ Ø ÐÐ ÒÓØ ÑÑ ÒØ º ÉÙ Ø ÓÒ ¾ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÖ Ø ÕÙ ÔÓ ÒØ Ê Ú ØÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ó Ø Ø ÒØ ÓÒÒ Ó Ø ÒØ ÕÙ Ô Ø c Ø n Ø Ñ ÙÒ ³ÙÒ ÖØ Ò ÚÓÐÙÑ c 10 v i c 5 (1 i n) ØÖÓÙÚ Þ Ð ÒÓÑ Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ö ÕÙ ÔÓÙÖ Ö Ò Ö ØÓÙ Ð Ø Ñ º ½

2 µ ½ ÔÓ ÒØ Ö Ú Þ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÚÓÖ ÚÙ Ò Ð ÔÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÕÙ ÓÒØÖ Ö ¹ Ñ ÒØ ÙÜ ÙÖ Ø ÕÙ ÓÖÒ Ð³ ÖØ Ñ Ü ÑÙÑ Ð³ÓÔØ ÑÙÑ ÔÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒº Ö Ø¹ Ø Ö Ò µ ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ø Ñ Ò ÓÖ Ö ÖÓ ÒØ ÚÓÐÙÑ Ø ÓÒ Ð ÔÐ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ø Ý ÒØ ÙÒ Ô Ø Ö Ù ÐÐ Ù ÒØ ÙØ Ð ÒØ Ù Ó Ò ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ Ó Ø º µ ¾ ÔÓ ÒØ Ö Ú Þ Ð Ñ ÐÐ ÙÖ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ Ø ÙÔ Ö ÙÖ ÔÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÒÓÑ Ö Ó Ø ÙØ Ð Ò ÓÒØ ÓÒ nº Ë ÐÓÒ Ð ÚÓÐÙÑ Ø Ñ ÕÙ Ó Ø ÓÒØ ÒØ Ù ÔÐÙ 10 Ø Ñ º ÆÓÙ ÙÖÓÒ ÓÒ Ó Ò ³ Ù ÑÓ Ò n Ó Ø º Ë ÐÓÒ Ð ÚÓÐÙÑ Ø Ñ ÕÙ Ó Ø 10 ÓÒØ ÒØ Ù ÑÓ Ò 5 Ø Ñ º ÆÓÙ ÙÖÓÒ ÓÒ Ó Ò ³ Ù ÔÐÙ n 5 Ó Ø º µ ¾ ÔÓ ÒØ ÎÓÙ Þ ³ ÓÔØ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö ÐÓ Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ú Ø ÙÖ Ø ÐÐ n ÒØ ÒØ ÔÓÙÖ ÕÙ Ø Ñ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð Ó Ø Ò Ð ÕÙ ÐÐ Ð Ø ÔÐ º ÎÓÙ Ó Þ ³ÙØ Ð Ö ÙÒ ÚÓ Ò Ò ÒØ ÙÒ Ô Ö ³ Ø Ñ ³ÙÒ Ó Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÙØÖ Ô Ö ³ÙÒ ÙØÖ Ó Ø º ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ø ÐÐ ÚÓØÖ ÚÓ Ò Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÁÐ ÙØ Ó Ö ÙÜ Ó Ø Ô ÖÑ Ù ÔÐÙ n º Ä ÒÓÑ Ö ³ Ø Ñ Ò ÙÒ 5 Ó Ø Ø ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ Ð Ó Ü ³ÙÒ Ô Ö Ø Ù Ò ÓÖÒ º ÓÒ Ð Ø ÐÐ Ù ÚÓ Ò Ø Θ( ( ) 10 2 ( n ) 2 ) = Θ(n 2 )º 5 2 µ ¾ ÔÓ ÒØ Ë ÚÓÙ ÙØ Ð Þ ÙÒ Ñ Ø Ó ³ Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÐÓ Ð ÑÔÐ ÚÓÙ ØØ Ò Ö Þ ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ðº Ö Ú Þ ÙÜ ØÖ Ø ÑÔÐÓÝ Ô Ö Ð Ñ Ø ÙÖ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ Ø ÒØ Ö ³ ÔÔ Ö ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ðº Ö Ö Ú Ø ÓÙ ÓÒ ÔÐ ØÓÙ ÓÙÖ Ú Ö Ð Ñ ÐÐ ÙÖ ÚÓ Ò Ñ Ñ ³ Ð Ø ÔÐÙ Ñ ÙÚ µ Ñ ÓÒ ÒØ Ö Ø Ð Ö ØÓÙÖ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ø Ô Ò ÒØ ÙÒ ÖØ Ò ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ º Ö Ù Ø ÑÙÐ ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÚÓ Ò Ù Ö Ø ÓÒ ÔÐ Ú Ö ÐÙ Ñ Ñ ³ Ð Ö Ð ÕÙ Ð Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ú ÙÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø µº Ö Ö ÚÓ Ò Ú Ö Ð ÔÐÙ ÙÖ ØÝÔ ÚÓ Ò ÓÒØ ÙØ Ð ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ ØØ ÒØ ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÓ Ð Ò ÙÒ ÓÒ Ô ÙÒ ÙØÖ ÚÓ Ò º ÉÙ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÔÓ ÒØ µ ½ ÔÓ ÒØ ÉÙ³ ع ÕÙ³ÙÒ Ñ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÍÒ Ñ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÕÙ Ð ÓÒ ÓÒÒ Ò ÔÐ٠г Ü ÑÔÐ Ö Ð³ǫ Ö ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ǫ¹ö Ð Ø Ú Ö ÓÙ Ö º ¾

3 µ ¾ ÔÓ ÒØ Ö Ú Þ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ 1 ¹Ö Ð Ø ÔÖ Ò ÒØ ÙÒ Ø ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ¹ 2 Ð Ñ Ù Ó º ÓÒÒ Þ ÓÒ Ø ÑÔ ÐÙÐ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ º Ö ØÓÙÖÒ Ö max( Ð ÓÖ Ø Ñ ÚÓÖ Ú Ö Ø Ö Ò Ø Ú Ð ÙÖ(w,v,W), max{v i : 1 i n})º ËÓÒ Ø ÑÔ ÐÙÐ Ø ÓÑ Ò Ô Ö Ð ØÖ Ò Ø Ð Ó Ø ÐÓÒ Ð ÙÖ Ò Ø Ú Ð ÙÖ Θ(n log n)º µ ¾ ÔÓ ÒØ ÈÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ü Ñ Ø ÓÒ N P¹ Ð ÚÓÙ Ú Þ ÚÓØÖ ÔÓ Ø ÓÒ ÙÜ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ½» ¹Ö Ð Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ¹ ÓÐÙ Ë ÚÓÙ Ú Þ ÕÙ Ð Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ü ÑÔÐ Ö Ö ÓÙ Ö ØÙ ÒØÖ ½¾ Ø ½ ÕÙ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ Ö Ö Þ¹ÚÓÙ Ø ÔÓÙÖÕÙÓ ÒÓÙ Ö ÒØ Ø ÕÙ V A (1 1/3)V º ÒÓÙ Ö ÒØ Ø ÕÙ V B V 4º ÈÓÙÖ 12 V 15 V 4 Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð 2/3V º ÇÒ Ó Ø ÓÒ º ÉÙ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ø ÔÓ ÒØ µ ½ ÔÓ ÒØ ÉÙ³ ع Õ٠г ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð³ Ú ÒØ ØÓ Ø ÕÙ Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø Ù ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ø Ò Ð Ö Ô Ø Òغ µ ½ ÔÓ ÒØ ÈÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÙÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÚÓÙ ÓÒÒ ÙÒ ÑÔÐ ÒØ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Î ÓÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ø Ù Ø 1 º ÎÓÙ ÓÒ Ø Ø Þ ÕÙ ÓÒ 3 Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ Ø ¾ ÓÒ Ò Ð ³ÙÒ Ù º ÎÓÙ Þ ÓÒ ³ Ò ÒØ ÖÖÓÑÔÖ Ð³ Ü ÙØ ÓÒ ÔÖ ÓÒ Ð Ö ÒØ ÙÒ º Ë ÚÓÙ Ö Ô Ø Þ Ð³ Ü ÙØ ÓÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ù ÕÙ³ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ù ÕÙ Ð Ø Ð Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ Ô Ö Ì ÑÔ Ô Ö ( ) = 8secondesº µ ÔÓ ÒØ ËÓ ÒØ ØÖÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÓÒØ ÖÐÓ ½»¾¹ÓÖÖ Ø ÔÓÙÖ Ö ÔÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÓÒØ ÖÐÓ» ¹ÓÖÖ Ø ÔÓÙÖ Ö ÔÓÒ ÓÑÔÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÓÒØ ÖÐÓ» ¹ÓÖÖ Ø ÒÓÒ ÓÒ Ú Þ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Î Ò ÚÓÙ ÖÚ ÒØ ÖØ Ò Ô ÖÑ Ø Ñ Ù ÔÐÙ ÙÒ Ó ÙÒº ÉÙ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ø Ù Ø ÐÐ Þ ÚÓØÖ ÐÙк Ë Ö ØÓÙÖÒ ÔÖ Ñ Ö ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ÔÖ Ñ Ö º Ë Ö ØÓÙÖÒ ÓÑÔÓ ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ÓÑÔÓ º Ë ÒÓÒ Ö ØÓÙÖÒ Ö º

4 Ë ÔÖÓ Ð Ø Ù Ø Ð Ñ Ò ÑÙÑ ÔÖÓ Ð Ø Ù Ü ÑÔÐ Ö ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÑÔÓ Ó Ø ½»¾º ÉÙ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ ÔÓ ÒØ µ ½ ÔÓ ÒØ Ä Ô ØÖÓÒ ÓÒ ÔØ ÓÒ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ö¹ÔÓÙÖ¹Ö Ò Ö Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ ÓÒØ ØÓÙ Ð ÙÜ ÙÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ö ÙÖ Ú Ù ÐÙÐ ØÙ Öº ÜÔÐ ÕÙ Þ Ô Ò ÒØ Ð Ö Ò ÒØ ÐÐ ÒØÖ Ð Ùܺ Ä ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓ ÒØ ÙØ Ò ØÓÔ ÓÛÒ µ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÓÒ ÔÖÓ ÒØ Ò ÙØ ÓØØÓÑ ÙÔ µº ÇÙ ÒÓÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒØ ÙØ Ð ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô Ú Ù Ñ ÒØ ÓÙ ¹ Ü ÑÔÐ Ö ØÖ Ø Ö ÐÓÖ ÕÙ Ð ÓÒ Ð ÓÒØ ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ý Ù Ø Ñ ÒØ Ú Ù Ñ Òغ µ ½ ÔÓ ÒØ Ä ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ ³ ÔÔÙ ÙÖ Ð ÈÖ Ò Ô ³ÓÔØ Ñ Ð Ø º ÕÙÓ ³ ع Ð Ä ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð ÙÒ Ü ÑÔÐ Ö Ø Ð ÓÑ Ò ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ ¹ Ñ Ð ÖØ Ò ÓÙ ¹ Ü ÑÔÐ Ö º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ò ÙÒ Ù Ø ÓÔØ Ñ Ð ÓÒ ÓÙ Ó Ü ÕÙ ÓÙ ¹ Ù Ø Ó Ø Ù ØÖ ÓÔØ Ñ Ð º µ ÔÓ ÒØ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ ØÖ ÐÐ Ò Ò º ÇÒ ÓÙ Ø ÐÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ù Ø n Ñ ØÖ A 1 A 2 A n º ÈÙ ÕÙ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ø Ó Ø Ú ÒÓÙ ÔÓÙÚÓÒ Ô Ö ÒØ Ö ÔÖÓ Ù Ø ÒÓÑ Ö Ù ÓÒ ØÓÙ ÓÙÖ Ú Ð Ñ Ñ Ö ÙÐØ Øº È Ö ÓÒØÖ Ð ÒÓÑ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ¹ Ð Ö ÔÓÙÖÖ Ú Ö Ö ÐÓÒ Ð Ñ Ò ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ñ ØÖ º È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ ¹ ÖÓÒ Ð ÔÖÓ Ù Ø A 1 A 2 A 3 Ó A 1 Ø Ñ Ò ÓÒ A 2 Ø Ñ Ò ÓÒ Ø A 3 Ø Ñ Ò ÓÒ 5 50º Ä Ô Ö ÒØ ((A 1 A 2 )A 3 ) ÓÒÒ Ö Ð Ù = ¼¼ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÐÓÖ ÕÙ (A 1 (A 2 A 3 )) Ò Ö = ¼¼¼º Ä ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÒ ½¼ Ó ÔÐÙ Ö Ô º ÈÓÙÖ ÕÙ ØÖ Ñ ØÖ Ð Ô Ö ÒØ ÔÓ Ð ÓÒØ ((A 1 A 2 )A 3 )A 4 (A 1 (A 2 A 3 ))A 4 (A 1 A 2 )(A 3 A 4 ) A 1 ((A 2 A 3 )A 4 ) A 1 (A 2 (A 3 A 4 )) ÇÒ ÚÓ Ø ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ò Ú Ù Ô Ö ÒØ ØÙ Ð Ö ÖÓÙÔ Ñ ÒØ Ù Ú ÒØ A 1 A 2 A 3 ;A 4 Ð ÙÜ ÔÖ Ñ Ö ÓÐÙØ ÓÒ µ A 1 A 2 ;A 3 A 4 Ð ØÖÓ Ñ ÓÐÙØ ÓÒµ Ø A 1 ;A 2 A 3 A 4 Ð ÙÜ ÖÒ Ö ÓÐÙØ ÓÒ µº ÎÓÙ Ú Þ ÓÒ ÚÓ Ö Ø Ò ÐÝ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ ÕÙ ØÖÓÙÚ ÙÒ Ô Ö ÒØ Ñ Ò Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ØÙ Ö

5 ÐÓÖ Ù ÔÖÓ Ù Ø n Ñ ØÖ Ñ Ò ÓÒ ÓÒÒ º Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ð Ñ ØÖ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ø Ô ÔÖ Ð Ñ Ò Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð Ñ ÐÐ ÙÖ ÓÒ Ö ÔÖÓ Ù Øº ËÓ ÒØ d i d i+1 Ð Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ A i º Ò ÓÒ m[i,j] Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒÓÑ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ð Ö ÔÓÙÖ Ö Ð ÔÖÓ Ù Ø A i A j º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö m[i,i] = 0 m[i,i+1] = d i d i+1 d i+2 Ø ÒÓÙ Ö ÓÒ m[1,n]º ÈÓ Þ ÙÒ Ö ÙÖÖ Ò ÔÓÙÖ ÐÙÐ Ö Ð m[i,j], 1 i < j nº m[i,j] = min i k<j {m[i,k] + m[k + 1,j] + d i d k+1 d j+1 } µ ½ ÔÓ ÒØ ËÙ Ö Þ ÙÒ ÓÖ Ö Ö ÑÔÐ Ù Ø Ð Ù m[i,j]º Ò ÓÒ Ð Ô Ö ÓÖ Ö ÖÓ ÒØ j iº µ ½ ÔÓ ÒØ ÓÒÒ Þ Ð Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ ÚÓØÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ º Θ(n 3 ) Θ(n 2 ) ÔÖ Ò ÒØ ÙÒ ÙÒ Ø ÑÔ Ò O(n) ÐÙÐ Öµ ÉÙ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÓ ÒØ µ ½ ÔÓ ÒØ ÅÓÒØÖ Þ ÓÑÑ ÒØ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ø ÜÔÖ Ñ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÚÓÝ ÙÖ ÓÑÑ Ö ÌËȵ ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒº Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ö Ô Ú ÔÓ ÙÜ Ö Ø Ø ÙÒ ÒØ Ö k Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ ØÓÙÖÒ ÓÑÑ Ø Ù Ö Ô ÔÓ ØÓØ Ð Ò Ô ÒØ Ô k µ ¾ ÔÓ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Þ Ð Ö Ò ÒØÖ Ð Ð ÓÑÔÐ Ü Ø P Ø N Pº Ä Ð ÓÑÔÐ Ü Ø P Ø Ð³ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ Ô ÙØ Ö ÓÙ Ö Ò ÙÒ Ø ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ð Ø ÐРг Ü ÑÔÐ Ö º Ä Ð ÓÑÔÐ Ü Ø N P Ø Ð³ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÓÒØ ÓÒ Ô ÙØ Ú Ö Ö ÙÒ Ö ÔÓÒ ÖÑ Ø Ú Ò ÙÒ Ø ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ð Ø ÐРг Ü ÑÔÐ Ö º µ ¾ ÔÓ ÒØ Ë ÒØ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ³ Ü Ø Ò ³ÙÒ Ñ Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò Ò ÙÒ Ö Ô ÔÔ ÖØ ÒØ Ð Ð N PC ÑÓÒØÖ Þ Ô Ö Ö ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú ÒØ Ø N P¹ÓÑÔÐ Ø Ö Ö ÓÙ ¹Ø Ò ÒØ Ö ÓÒØÖ ÒØ ËÓ ÒØ ÙÒ Ö Ô G Ú ÙÒ ÔÓ Ó ÕÙ Ö Ø Ø ÙÜ ÒØ Ö c Ø kº Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÒ Ö Ö ÓÙ ¹ Ø Ò ÒØ G ÔÓ ØÓØ Ð Ò Ô ÒØ Ô c Ø ÓÒØ Ð Ö ÙÒ ÓÑÑ Ø Ò Ô Ô k

6 ÍÒ Ü ÑÔÐ Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò À Ñ ÐØÓÒ Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÙÒ Ü ÑÔÐ Ö Ð³ ÙØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÒ ÖÚ ÒØ Ð Ö Ô Ò ÓÒÒ ÒØ ÙÒ ÔÓ ÒÙÐ ÕÙ Ö Ø Ú c = 0 Ø k = 2º ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÖ Ò ÙÒ Ø ÑÔ Ð Ò Ö Ò Ð ÒÓÑ Ö ³ Ö Ø º ÍÒ Ö Ö ÓÙ ¹Ø Ò ÒØ Ú ÙÒ Ø ÐÐ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ö Ø Ò ¹ Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ñ Ò Ø ÓÙÚÖ ØÓÙ Ð ÓÑÑ Ø ³ Ø ÓÒ ÙÒ Ñ Ò À Ñ ÐØÓÒ Òº ÍÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓÙÖ Ð ÓÒ Ô ÖÑ ØØÖ Ø ÓÒ Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖ Ñ Öº