Ô ØÖ À ÄÓ Ò Ø ÓÒØ ÒÙ Ô Ø ØØ Ò Ù ÓÑÑ ÒØ Ö ÆÓØ ÓÒ ÐÓ Ò Ø Ô ÖØ Ö ³ ܹ ÑÔÐ ÄÓ Ò Ø ÙÖ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ º ÄÓ ÙÒ ÓÖÑ ÙÖ [a;b]º Ô Ö Ò ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ

Bản ghi

1 Ô ØÖ À ÄÓ Ò Ø ÓÒØ ÒÙ Ô Ø ØØ Ò Ù ÓÑÑ ÒØ Ö ÆÓØ ÓÒ ÐÓ Ò Ø Ô ÖØ Ö ³ ܹ ÑÔÐ ÄÓ Ò Ø ÙÖ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ º ÄÓ ÙÒ ÓÖÑ ÙÖ [;b]º Ô Ö Ò ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ º ÄÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ º Ô Ö Ò ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ º ÓÒÒ ØÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ ÙÖ [;b]º ÐÙÐ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø Ò Ð Ö ³ÙÒ ÐÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ º ÑÓÒØÖ Ö Õ٠г Ô Ö Ò ³ÙÒ Ú Ö ¹ Ð Ð ØÓ Ö Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ λ Ø 1 λ º Ä Ü ÑÔÐ ØÙ ³ ÔÔÙ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÜÔ Ö Ò Ð ØÓ Ö Ø ÙÒ ÙÒ Ú Ö Ó Ω ÑÙÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø º ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö X ÓÒØ ÓÒ Ω Ò R ÕÙ Ó ÕÙ Ù ÙÒ ÒÓѹ Ö Ö Ð ³ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ I Rº ÇÒ Ñ Ø ÕÙ X Ø Ø ÙÜ ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ô ÖÑ ¹ ØØ ÒØ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ø Ð³ Ú Ò ¹ Ñ ÒØ {X J} ÓÑÑ Ö Ù ÓÑ Ò {M(x,y) x J Ø y f(x)} Ó f Ò Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÐÓ Ø J ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÒÐÙ Ò Iº ÌÓÙØ Ø ÓÖ Ò Ö Ð ÐÓ Ò Ø Ø ÒØ Ö Ð ÙÖ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ÒÓÒ ÓÖÒ Ø ÜÐÙ º ij Ò ØÖÙØ ÓÒ ÒÓÑ Ö Ð ØÓ Ö ³ÙÒ ÐÓ ¹ Ð ÓÙ ³ÙÒ ÐÙÐ ØÖ Ô ÖÑ Ø ³ ÒØÖÓ¹ Ù Ö Ð ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ ÙÖ [;1]º Ä ÒÓØ ÓÒ ³ Ô Ö Ò ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ò¹ Ø f ÙÖ [;b] Ø ÒØÖÓ Ù Ø ØØ Ó ¹ ÓÒ Ô Ö E(X) = tf(t) tº ÇÒ ÒÓØ ÕÙ ØØ Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ø ØÙ ÙÒ ÔÖÓÐÓÒ Ñ ÒØ Ò Ð Ö ÓÒØ Ò٠г Ô Ö Ò ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ö Ø º È Ç Å Ø Ó ÅÓÒع ÖÐÓº ÇÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö T Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ú Ö Ð ÔÖÓ¹ ÔÖ Ø ÙÖ Ú Ò Ú ÐÐ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ö Ð t Ø h ÔÓ Ø P T t (T t+h) = P(T h)º ij Ô Ö Ò Ø Ò ÓÑÑ Ð Ð Ñ Ø ÕÙ Ò x Ø Ò Ú Ö + x tf(t) t Ó f Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÐÓ ÜÔÓ¹ Ò ÒØ ÐÐ ÓÒ Ö º ØØ Ô ÖØ Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ ÔÖ Ø Ô Ö¹ Ø ÙÐ Ö Ñ ÒØ Ð³ ØÙ ØÙ Ø ÓÒ ÓÒ¹ Ö Ø Ô Ö Ü ÑÔÐ ÙÖ Ð Ö Ó Ø Ú Ø ÓÙ Ð ÙÖ ÓÒØ ÓÒÒ Ñ ÒØ ³ÙÒ Ý Ø Ñ ÒÓÒ ÓÙÑ ÙÒ Ô ÒÓÑ Ò ³Ù ÙÖ º ½

2 ÄÓ ÒÓÖÑ Ð ÒØÖ Ö Ù Ø N (,1)º Ì ÓÖ Ñ ÅÓ ÚÖ Ä ÔÐ Ñ µº ÄÓ ÒÓÖÑ Ð N (µ,σ 2 ) ³ Ô Ö Ò µ Ø ³ ÖعØÝÔ σº ÓÒÒ ØÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (,1) Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ º ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ α ];1[ Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ Ö Ð ÔÓ Ø α Ø Ð ÕÙ P( u α X u α ) = 1 α ÐÓÖ ÕÙ X Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (,1)º ÓÒÒ ØÖ Ð Ú Ð ÙÖ ÔÔÖÓ u,5 1,96 Ø u,1 2,58º ÍØ Ð Ö ÙÒ ÐÙÐ ØÖ ÓÙ ÙÒ Ø Ð ÙÖ ÔÓÙÖ ÐÙÐ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø Ò Ð Ö ³ÙÒ ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (µ,σ 2 )º ÓÒÒ ØÖ ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÔÔÖÓ Ð ÔÖÓ Ð Ø Ú Ò Ñ ÒØ Ù Ú ÒØ {X [µ σ,µ + σ]} {X [µ 2σ,µ + 2σ]} Ø {X [µ 3σ,µ + 3σ]} ÐÓÖ ÕÙ X Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (µ,σ 2 )º ÈÓÙÖ ÒØÖÓ Ù Ö Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (,1) ÓÒ ³ ÔÔÙ ÙÖ Ð³Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ Ð ÐÓ Ð Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Z n = X n np np(1 p) Ó X n Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÑ Ð B(n,p) Ø Ð ÔÓÙÖ Ö Ò Ú Ð ÙÖ n Ø ÙÒ Ú Ð ÙÖ p Ü ÒØÖ Ø 1º Ä Ø ÓÖ Ñ ÅÓ ÚÖ Ä ÔÐ ÙÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ö Ð Ø b 1 P(Z n [,b]) Ø Ò Ú Ö e x2 2 x 2π ÐÓÖ ÕÙ n Ø Ò Ú Ö + º ij Ô Ö Ò ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ù Ú¹ ÒØ Ð ÐÓ N (,1) Ø Ò Ô Ö lim t t tf(t) t + lim tf(t) t Ó f x + Ò Ð Ò Ø ØØ ÐÓ º ÇÒ Ô ÙØ Ø Ð Ö ÕÙ³ ÐÐ Ú ÙØ º ÇÒ Ñ Ø ÕÙ Ð Ú Ö Ò Ò Ô Ö E(X E(X)) 2 Ú ÙØ 1º ÍÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö X Ù Ø ÙÒ ÐÓ N (µ,σ 2 X µ ) Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð σ N (,1)º ÇÒ Ø Ô Ö ÚÓ Ö Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÔÓÖØ Ô Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð³ ÖعØÝÔ º ËÁ Ø ËÈ Å ÙÖ Ô Ý ÕÙ ÙÖ ÙÒ Ý Ø Ñ Ö Ð Ò º Ä ÓÒÒ Ò ³ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ Ð¹ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÐÓ N (µ,σ 2 ) Ò³ Ø Ô ÙÒ ØØ Ò Ù Ù ÔÖÓ¹ Ö ÑÑ º ÇÒ ÐÐÙ ØÖ ÒÓÙÚ ÐÐ ÒÓØ ÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ù ÙØÖ ÔÐ Ò º ¾ ¹ ÄÝ È ÖÖ ¹ ÐÐ ÒÒ

3 Ì Ð Ñ Ø Ö À ÄÓ Ò Ø Á ¹ Î Ö Ð Ð ØÓ Ö Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁ ¹ ÄÓ ÙÒ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁÁ ¹ ÄÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÎ ¹ ÄÓ ÒÓÖÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÄÓ ÒÓÖÑ Ð N (,1) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÄÓ ÒÓÖÑ Ð N (µ,σ 2 ) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ò ÒØÖ ÐÓ ÒÓÑ Ð Ø ÐÓ ÒÓÖÑ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÜÔ Ö Ò Ð ØÓ Ö ÓÒØ Ð³ Ò Ñ Ð Ù ÓÙ ÙÒ Ú Ö Ø ÒÓØ Ωº ½ Á ¹ Î Ö Ð Ð ØÓ Ö Ò Ø Ê ÔÔ Ð ÍÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ò ÙÖ Ω Ú Ð ÙÖ Ò R X : Rº Ê Ñ ÖÕÙ ÂÙ ÕÙ³ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÜÔ Ö Ò Ð ØÓ Ö ÓÒ Ù Ø ÙÒ ÙÒ Ú Ö Ò Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö X ÔÖ Ò Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ú Ð ÙÖ º Ä ÐÓ X Ò Ø Ô Ö Ð ÓÒÒ ÔÖÓ Ð Ø ØÓÙØ Ú Ð ÙÖ ÓÙ ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÔÓÙÖ Ð ÐÓ ÒÓÑ Ð µº Å Ð ÖÖ Ú Ù ÕÙ Ð Ù ³ÙÒ ÜÔ Ö Ò Ð ØÓ Ö ÓÙ Ð Ú Ð ÙÖ ÔÖ Ô Ö X ÔÙ Òع ØÖ Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ I R ÙÖ Ú ³ÙÒ ÑÔÓÙÐ µº Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ð ÐÓ ÔÖÓ Ð Ø X Ø ÓÒØ ÒÙ Ø ÐÐ Ò³ Ø ÔÐÙ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ø ÙÒ Ú Ð ÙÖ Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ø ØÓÙØ ÒØ ÖÚ ÐÐ [;b] ÒÐÙ Ò Iº Ò Ø ÓÒ ½ ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f Ò ÙÖ R Ø ÔÔ Ð Ò Ø ÙÖ R ÐÓÖ ÕÙ f ÙÖ R f Ø ÓÒØ ÒÙ Ù Ú ÒØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ú Ð ÙÖ µ A(D) = 1 Ó D = {M(x;y)/x R Ø y f(x)}º Ò Ø ÓÒ ¾ ËÓ Ø f ÙÒ Ò Ø ÙÖ R ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ ÖÚ ÐÐ I ÒÐÙ Ò R ÓÒ ÒÓØ P(X I) = A(D I ) Ó D I = {M(x;y)/x I Ø y f(x)}º Ò Ð Ó I = [;b] ÓÒ P(X I) = f(x) xº Ê Ñ ÖÕÙ ÇÒ Ñ Ø ÕÙ P Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø ÙÖ Ω Ø Ò Ò Ð ÐÓ ÔÖÓ Ð Ø Ð Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Xº ÁÁ ¹ ÄÓ ÙÒ ÓÖÑ Ø b ÓÒØ ÙÜ Ö Ð Ø Ð ÕÙ < bº

4 Ò Ø ÓÒ ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö X Ù Ø ÙÒ ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ ÙÖ [;b] ÐÓÖ ÕÙ Ò Ø f Ø Ò ÙÖ R Ô Ö ÇÒ ÒÓØ X U ([;b])º 1 x b f(x = b ÒÓÒº Ê ÔÔ Ð Ë Y Ø Ö Ø ÐÓÖ Ð³ Ô Ö Ò Y Ø E(Y) = n y i P(Y = y i )º i=1 Ò Ø ÓÒ Ë X Ø ÓÒØ ÒÙ Ú Ð ÙÖ Ò [;b] ÐÓÖ Ð³ Ô Ö Ò X Ø E(x) = xf(x) xº ÈÖÓÔÖ Ø ½ Ë X Ù Ø Ð ÐÓ ÙÒ ÓÖÑ ÙÖ [;b] ÐÓÖ ½µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ c d b P(X [c;d]) = d c b º ¾µ ÈÓÙÖ ØÓÙØ R P(X = ) = º µ E(X) = +b 2 º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ½µ P(X [c;d]) = ¾µ P(X = ) = d c [ ] 1 x d b x = = d c b c b º 1 x = º b µ E(X) = x 1 ï b x = x 2 2(b ) ò b = b2 2 2(b ) = b+ 2 º ÁÁÁ ¹ ÄÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ò Ø ÓÒ ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö T Ù Ø ÙÒ ÐÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ λ Ú λ > ÐÓÖ ÕÙ Ò Ø f Ø Ò ÙÖ [;+ [ Ô Ö f(x) = λe λx. ÇÒ ÒÓØ T E(λ)º Ê Ñ ÖÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ö Ð < b ÓÒ P(T [;b]) = λe λx x = î e λxó b = e λ e λb º ÈÓÙÖ ØÓÙØ t P(T t) = f(x) x = 1 e λt Ø P(T t) = e λt º + Ò lim P(T t) = P(T ) = 1 ³Ó P(Ω) = 1 Ø ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö λe λx x = 1º t +

5 Ü ÑÔÐ ½ ÇÒ ÓÒ Ö ÕÙ Ð ÙÖ Ú ³ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ó Ø Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö T ÕÙ Ù Ø Ð ÐÓ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ λº ÇÒ ÔÔ ÐÐ Ñ ¹Ú Ø Ð Ñ ÒØ Ð Ö Ð t Ø Ð ÕÙ P(X t) =,5º ½º ÜÔÖ Ñ Ö t Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ñ º ËÓÐÙØ ÓÒ P(T t) = λe λx x = 1 e λt =,5 ³Ó e λt = 1 2 ¾º Ä Ñ ¹Ú Ù ÙÑ ½ Ø ¼ Ò º λt = ln2 t = ln2 λ º ÐÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ø ÕÙ Ð ÙÖ Ú Ù ÙÑ ½ Ô ¼ Ò º t = 3 λ = ln2 3 º ËÓÐÙØ ÓÒ ( P(T 5) = 1 P(T 5) = 1 1 e λ 5) = e 5 3 ln2 = 3 1,315º 32 Ì ÓÖ Ñ ½ ËÓ Ø T E(h) ÐÐ Ú Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÙÖ Ú Ò Ú ÐÐ Ñ ÒØ ÈÓÙÖ ØÓÙ Ö Ð t Ø h ÔÓ Ø P T t (T t+h) = P(T h)º ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ P T t (T t+h) = P((T t+h) (T t)) P(T t) = P(T t+h) P(T t) = e λ(t+h) e λt = e λh = P(T h)º Ê Ñ ÖÕÙ Ä ÙÖ Ú ³ÙÒ ÔÔ Ö Ð Ø Ø Ò Ú ÐÐ Ñ ÒØ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ø ÕÙ³ Ð ÓÒØ ÓÒÒ ÒÓÖ Ô Ò ÒØ ÙÒ ÙÖ h Ù ÑÓ Ò µ Ò Ô Ò ÕÙ h Ø Ô Ð ÙÖ t ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ Ñ ÒØ Ô º Ü ÑÔÐ ¾ Ä ÙÖ Ú T Ò ÙÖ ³ÙÒ ÔÔ Ö Ð Ù Ø Ð ÐÓ ÜÔÓ ÒØ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ λº ÇÒ P(T 8) =,45 Ø P(T 12) =,3º ÐÙÐ Ö P(T 2)º P T 12 (T 2) = P(T 8) Ö 2 = 12+8º ËÓÐÙØ ÓÒ P(T 2) Ò = P(T 8) P(T 2) = P(T 8) P(T 12) =,45,3 =,135º P(T 12) ÈÖÓÔÖ Ø ¾ Ë T E(h) ÐÓÖ ÓÒ Ô Ö Ò Ø E(T) = lim xλe λx x = 1 t + λ. ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ u(x) = x Ø v(x) = e λx ÓÒ (uv) (x) = u (x)v(x)+u(x)v (x) = xλe λx e λx º Ò Ò Ö ÒØ ÒØÖ Ø t Ô Ö Ð Ò Ö Ø Ð³ ÒØ Ö Ð ÓÒ (uv)(t) = (uv)(x) x = xλe λx x t [ ÓÒ xλe λx x = te λt + e λx x = te λt + 1 ] t λ e λx = 1 ( ) λte λt 1 λ λ e λt + 1 λ º Ò ÔÓ ÒØ X = λt ÓÒ lim t + X = º È Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ lim t + λte λt = lim X XeX = Ô Ö ÖÓ Ò ÓÑÔ Ö µ Ø lim t + e λt = lim X ex = º È Ö ÔÖÓ Ù Ø Ø ÓÑÑ lim t + xλe λx x = 1 λ ³Ó E(T) = 1 λ º e λx xº

6 ÁÎ ¹ ÄÓ ÒÓÖÑ Ð ½º ÄÓ ÒÓÖÑ Ð N (,1) Ò Ø ÓÒ ÇÒ ÔÔ ÐÐ ÓÒØ ÓÒ Ä ÔÐ ¹ Ù Ð ÓÒØ ÓÒ ϕ Ò ÙÖ R Ô Ö ϕ(x) = 1 e x2 2. 2π Ë Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ Ø Ð ÓÙÖ Ù ÓÙ ÓÙÖ Ò ÐÓ º Ê Ñ ÖÕÙ ϕ Ø ÓÒØ ÒÙ Ö Ú Ð ÔÓ Ø Ú ÙÖ R Ô Ö Ø Ñ Ø Ò ÙÒ Ñ Ü ÑÙÑ lim ϕ(x) = Ø lim ϕ(x) = º x + x ÈÖÓÔÖ Ø Ñ Ä³ Ö ØÓØ Ð ÓÙ Ð ÓÙÖ Ù Ø Ð 1 x lim ϕ(x) x = 1 x + 2 Ø lim ϕ(x) x = 1 x x π º Ò Ø ÓÒ ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Z Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð Ø Ò Ö ÓÙ ÒØÖ Ö Ù Ø ÐÓÖ ÕÙ Ò Ø Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ù ¹Ä ÔÐ º ÇÒ ÒÓØ Z N (,1)º Ê Ñ ÖÕÙ P( Z b) = 1 2π e x2 2 xº Ä ÔÖ Ñ Ø Ú Ð ÓÒØ ÓÒ Ä ÔÐ ¹ Ù Ü Ø ÒØ Ñ Ò Ô ÙÚ ÒØ Ô ³ ÜÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ö ÕÙ ÑÔÐ ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ Ù Ù ÐÐ º ÇÒ ÙØ Ð Ö Ð ÐÙÐ ØÖ ÔÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ø º Ü ÑÔÐ ËÙÖ ÌÁ ÒÓÖÑ Ð Ê Ô ¹½ ¾ ¼ ½µ ÓÒÒ P( 1 Z 2),819 ÓÙ ÙÖ Ó ÆÓÖÑ ¹½ ¾ ½ ¼µº P(Z ) = P(Z ) = 1 2 º P(Z b) = lim ϕ(x) x

7 Ü ÑÔÐ Ú Ð ÐÙÐ ØÖ Ð Ù Ö Ö Ö ÒÓÖÑ Ð Ê Ô ¹½¼ ½ ¼ ½µ ÔÓÙÖ P(Z 1),841º ÇÙ Ò Ö Ñ ÖÕÙ Ö ÕÙ P(Z 1) = P(Z )+P( Z 1) = 1 +P( Z 1)º 2 P(Z b) = P(Z b) = 1 P(Z b)º P( Z ) = 1 2P(Z ) = 2P(Z ) 1º ÈÖÓÔÖ Ø Ñ ÔÓÙÖ Ð Ú Ö Ò Ë Z N (,1) ÐÓÖ ÓÒ Ô Ö Ò Ø E(Z) = lim xϕ(x) x+ lim xϕ(x) x =. t t t + Ø Ú Ö Ò Ø V(Z) = E î (Z E(Z)) 2ó = E(Z 2 ) = lim x 2 ϕ(x) x+ lim x 2 ϕ(x) x = 1. t t t + ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ü Ö º Ì ÓÖ Ñ ¾ ËÓ Ø Z N (,1)º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ö Ð α Ø Ð ÕÙ α < 1 Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÒÓÑ Ö ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø u α Ø Ð ÕÙ P( u α Z u α ) = 1 α.

8 ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ËÓ Ø Φ(x) = x x ϕ(t) t = 2 x ϕ(t) t Ô Ö Ô Ö Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ä ÔÐ ¹ Ù µº ÓÑÑ ϕ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ Φ Ø Ö Ú Ð Ø ÕÙ Ö Ú 2ϕ Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú ÓÒ Φ Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ [;+ [º Ò P( u α Z u α ) = Φ(u α )º ÓÒ P( u α Z u α ) = 1 α Φ(u α ) = 1 αº ÈÙ ÕÙ < α < 1 ÓÒ < 1 α 1 Ø ÓÑÑ Ð ÓÒØ ÓÒ Φ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ [;+ [ Ú Φ() = Ø lim Φ(x) = 1 ³ ÔÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ð Ø ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Φ(x) = 1 α ÔÓ ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ u α > º x + Ê Ñ ÖÕÙ Ò ÔÖ Ø ÕÙ ÓÒ Ö u α Ø Ð ÕÙ P(Z u α ) = α Ú Ð ÐÙÐ ØÖ º 2 È Ö Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ α =,5 ÓÒ ØÖÓÙÚ Ú Ö ÆÓÖÑ Ð º¼»¾ ¼ ½µ u,5 1,96 Ø ÔÓÙÖ α =,1 u,1 2,56º Ü ÑÔÐ ÄÓÖ ³ÙÒ ÓÒÓÙÖ Ð ÑÓÝ ÒÒ ÒÓØ Ø º ÇÒ ÒÓØ Z Ð ÒÓØ Ó Ø ÒÙ Ô Ö ÙÒ Ò Øº Ò Ñ ØØ ÒØ ÕÙ Z 8 Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (,1)º ½º ü ÓÑ Ò Ùع Ð Ü Ö Ð ÒÓØ Ö Ù Ø ÔÓÙÖ ÕÙ ¼ ± Ò Ø Ó ÒØ Ö Ù Ä Ù Ð ³ Ñ ÓÒ Ø Ð ÒÓÑ Ö Ø Ð ÕÙ P(Z ) =,6º ËÓÐÙØ ÓÒ ÇÖ P(Z ) =,6 P(Z 8 8) =,6 P(Z 8 8) =,4º Ú Ð ÐÙÐ ØÖ Ö ÆÓÖÑ Ð ¼º ¼ ½µ ÓÒ ØÖÓÙÚ 8,25 ³ ع¹ Ö 7,75º ¾º Ò ÕÙ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ ÒÓØ ÒØÖ Ò ØÖÓÙÚ ÒØ ¼ ± Ö ÙÐØ Ø ÇÒ Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö u Ø Ð ÕÙ P(8 u Z 8+u) =,8 P( u Z 8 u) =,8º ËÓÐÙØ ÓÒ ÇÖ 1 α =,8 α =,2 α 2 =,1º Ä ÐÙÐ ØÖ Ö ÆÓÖÑ Ð ¼º½ ¼ ½µ ÓÒÒ u 1,28 ³ ع¹ Ö ÕÙ ¼ ± ÒÓØ ÓÒØ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [8 1,28;8+1,28] = [6,72;9,28]º ¾º ÄÓ ÒÓÖÑ Ð N (µ,σ 2 ) Ò Ø ÓÒ ËÓ ÒØ µ ÙÒ Ö Ð Ø σ ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø º ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö X Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (µ,σ 2 ) ÐÓÖ ÕÙ Ð Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö X µ σ Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ÒØÖ Ö Ù Ø N (,1)º Ù Ø Ê Ñ ÖÕÙ µ Ø Ð³ Ô Ö Ò X Ø σ Ø ÓÒ ÖعØÝÔ º Ä ÐÙÐ ØÖ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÐÙÐ Ö Ö Ø Ñ ÒØ ÔÖÓ Ð Ø ÐÓÒ Ð ÐÓ N (µ,σ 2 ) Ñ ÔÒ Ô ÙØ ØÓÙ ÓÙÖ Ö Ñ Ò Ö Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ÒØÖ Ö Ù Ø ÔÓÙÖ Ð Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Z = X µ º σ Ä Ò Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (µ,σ 2 ) Ø x 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2 Ñ Ò³ Ø Ô ÓÒÒ ØÖ º ÈÖÓÔÖ Ø ËÓ Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö X Ù Ú ÒØ Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (µ,σ 2 ) P(µ σ X µ+σ),683 P(µ 2σ X µ+2σ),954 P(µ 3σ X µ+3σ),997

9 º Ä Ò ÒØÖ ÐÓ ÒÓÑ Ð Ø ÐÓ ÒÓÖÑ Ð Ì ÓÖ Ñ ÅÓ ÚÖ ¹Ä ÔÐ Ñ µ ËÓ Ø n ÙÒ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð ÒÓÒ ÒÙÐ Ø p ÙÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð [;1]º ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö X n Ù Ú ÒØ ÙÒ ÐÓ ÒÓÑ Ð B(n,p)º ÈÓÙÖ ØÓÙ Ð Ö Ð Ø b Ú < b ÓÒ lim P n + Ñ é X n np» b np(1 p) = P( Z b) Ó Z Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ÒØÖ Ö Ù Ø N (,1). Ê ÔÔ Ð Ð³ Ø Ú Ø ÚÙ ÔÖ ÑÑ ÒØ Ò ÔÖ Ø ÕÙ ÇÒ ÓÒ Ö ÕÙ Ð Ð Ñ Ø Ò Ð Ø ÓÖ Ñ ÅÓ ÚÖ ¹Ä ÔÐ Ø ÔÖ Ø ÕÙ Ñ ÒØ ØØ ÒØ ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ ÑÙй Ø Ò Ñ ÒØ n 3 np 5 Ø n(1 p) 5º Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙ Ö Ð Ø b P Ñ é X n np» b np(1 p) P( Z b) Ó Z Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð ÒØÖ Ö Ù Ø N (,1). Ê Ñ ÖÕÙ ÓÑÑ Ð ÐÓ ÒÓÑ Ð Ø Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ ØÓ Ö ÑÑ ÓÒØ Ð Ö Ø Ò Ð ÒØÖ Ò ÕÙ Ú Ð ÙÖ ÒØ Ö k ÓÑÔÖ ÒØÖ Ø n ÓÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÙÖ ½ Ø ÔÓÙÖ ÙØ ÙÖ P(X n = k) ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ ÔÔÖÓ Ð ÐÓ ÒÓÑ Ð Ô Ö Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð Ð Ø ÔÖ Ö Ð Ö ÑÔÐ Ö P(k 1 X n k 2 ) Ô Ö P(k 1,5 X n k 2 +,5) Ú ÒØ ÒØÖ Ö Ø Ö Ù Ö Ð Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö ³ Ø ÕÙ³ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÖÖ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ø º

10 Ü ÑÔÐ ÇÒ Ð Ò ½ ¼ Ó Ù Ø ÙÒ ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ ÓÙ Ø Ø Ñ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ø ³Ó Ø Ò Ö ÒØÖ ¾ Ø ¾ Ó Ð Ö º ËÓÐÙØ ÓÒ Ä ÒÓÑ Ö X Ó Ø ÒÙ Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÑ Ð B(18, 1 6 )º Ä ÓÒ Ø ÓÒ n 3 np = 18 1 X 3 = 3 Ø np(1 p) = 25 Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ð Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ù Ø 6 5 ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÐÓ N (,1)º ÇÒ ÔÔÐ ÕÙ ( ÙÒ ÓÖÖ Ø ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ö ÑÔÐ ÒØ P(25 X 32) Ô Ö P(24,5 X 32,5) Ø P(24,5 X 32,5) = P 1,1 X 3 ),5 º 5 ÇÖ ÔÓÙÖ ÙÒ Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Z ÕÙ Ù Ø Ð ÐÓ ÒÓÖÑ Ð N (,1) ÓÒ P( 1,1 Z,5),556 ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ø Ñ Ö ÕÙ P(25 X 32),556º Ë ÓÒ ÐÙÐ Ð ÔÖÓ Ð Ø ÔÖ ÒØ Ú ÙÒ ÐÓ ÒÓÑ Ð ÓÒ ØÖÓÙÚ P(25 X 32),563º ½¼ ¹ ÄÝ È ÖÖ ¹ ÐÐ ÒÒ