IntroPDE.dvi

Bản ghi

1 ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½º½º ÍÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÜ Ö Ú Ô ÖØ ÐРȵ Ø ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÑÔÐ ÕÙ ÒØ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒÒÙ u : R Ó R d Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ Ñ Ò ÓÒ d Ø Ö Ú º Ò ³ ÙØÖ ÑÓØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÔÐÙ Ò Ö Ð Ð Ø ÓÖ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÜ Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ø ³ ØÙ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ F(x,u(x), () u(x),, (n) u(x)) = 0 x. Á Ð ÒÓØ Ø ÓÒ (n) u Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ ³ÓÖ Ö nº È Ö ØÙ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ ÒØ Ò ÔÐÙ ÙÖ Ó º È Ö Ü ÑÔÐ ½µ ÓÒÒ Ö ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÜÔÐ Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒº Ø ÓÙÚ ÒØ ÑÔÓ Ð º ¾µ ÈÖÓÙÚ Ö Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒº µ Ö Ð³ÙÒ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒº Ò Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ð ÕÙ ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö ÓÒØ ÑÔÓ º µ ØÙ Ö Ð Ø Ð Ø ÓÐÙØ ÓÒ º µ ØÙ Ö Ð Ö ÙÐ Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ º ËÓÒعع ÐРРijÓÖ Ö ³ÙÒ È Ø Ð³ÓÖ Ö Ð Ö Ú Ð ÔÐÙ ÙØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÒÓÒÒÙ Ý ÔÔ ¹ Ö Òغ Ë Ð ÓÒØ ÓÒ F Ø Ð Ò Ö Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ u Ø Ö Ú ÓÒ Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ³ ÐÐ Ø Ð Ò Ö º ½º½º ÉÙ ÐÕÙ Ü ÑÔÐ º Ò ÓÙÖ Ö ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ ÓÑ Ò Ð³ Ô ÙÐ Ò R d Ù Ñ ÒØ Ö ÙÐ Ö ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÖÑÙÐ Ú Ö Ò ¹ ÙÜ Ó Ø Ú Ö ½ º ½º½º½º ÕÙ Ø ÓÒ Ä ÔÐ º ij ÕÙ Ø ÓÒ Ä ÔÐ ÙÖ Ø u = 0. ÍÒ ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ú Ö ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø ÖÑÓÒ ÕÙ º f : R Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ø Ø u = 0 ÙÖ, u = f ÙÖ. Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ½º½µ Ò ³ ÙØÖ ÑÓØ ÓÒ Ö ÙÒ ÜØ Ò ÓÒ ÖÑÓÒ ÕÙ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÔÖ Ö Ø ÙÖ Ð ÓÖ Ù ÓÑ Ò ÓÒ Ö º ij ÕÙ Ø ÓÒ Ä ÔÐ Ø ÐÐ ÔØ ÕÙ ³ÓÖ Ö Ùܺ ½º½º¾º ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ º ËÓ Ø ÙÒ ÓÑ Ò R º ËÙÖ Ð³ÓÙÚ ÖØ (0, ) R 3 ÓÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ (t,x) u(t,x) ÓÒØ ÓÒ Ñ Ò ÕÙ³ ÐÐ Ö ÔÖ ÒØ Ð ÔÐ Ñ ÒØ Ú ÖØ Ð Ù ÔÓ ÒØ x Ù Ø ÑÔ t > 0º ij ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø tt u = u. Ë ÓÒ Ô Ò ÓÑÑ Ð Ñ Ñ Ö Ò ³ÙÒ Ø Ñ ÓÙÖ Ð Ø Ò ØÙÖ Ð ³ ÑÔÓ Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÓÖ u(t,x) = 0 ÔÓÙÖ x. ½ ÎÓ Ö Ü Ö ½º ½

2 ÈÓÙÖ ÕÙ³ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ô Ñ Ò Ö ÙÒ ÕÙ ÓÒ ÚÖ Ù ÓÒÒ Ö ÙÒ ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ø ÙÒ Ú Ø Ò Ø Ð u(0,x) = f(x) ÔÓÙÖ x, u t (0,x) = g(x) ÔÓÙÖ x. ij ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÝÔ Ö ÓÐ ÕÙ ³ÓÖ Ö Ùܺ ½º¾µ ½º µ ½º½º º ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ð ÙÖ Ø Ð Ù ÓÒº ØØ Ó ÓÒ Ô Ò Ù ÓÑ Ò Ò Ø ÒØ ÕÙ³ÙÒ Ñ Ð Ù Ó ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ñ ÕÙ ÔÖÓÔ º È Ò Þ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÙÒ ÓÙØØ ³ ÒÖ Ò Ð³ Ùº ÍÒ ÓÒ ÒØÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ð f : R Ø ÓÒÒ º ij ÚÓÐÙØ ÓÒ Ò Ð Ø ÑÔ Ø ÐÓÖ ÔÖ Ö Ø Ô Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ð ÙÖ t u = u. ØØ Ó ÒÓÖ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Ò Ð Ù Ö ÓÒÒ Ö ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÓÖ º È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ Ñ Ò ÕÙ Ð Ù ÓÒ Ð Ù Ò ÙÒ Ö ÓÒ ÖÑ Ø ÕÙ ÓÒ ÑÔÓ Ö u(x,t) = 0 ÔÓÙÖ ÕÙ x Ø ÕÙ tº ij ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ù ÙÒ ÑÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓÔ Ø ÓÒ Ð Ð ÙÖº Ò Ð ÓÒØ ÓÒ u Ö ÔÖ ÒØ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ º ij ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ð ÙÖ Ø Ô Ö ÓÐ ÕÙ ³ÓÖ Ö Ùܺ ½º½º º ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ý Ê Ñ ÒÒº ËÓ Ø C ÙÒ ÓÙÚ Öغ ÍÒ ÓÒØ ÓÒ f = u+iv : C Ø Ø Ò ÐÝØ ÕÙ ÔÓÙÖ ÕÙ ÔÓ ÒØ p Ð Ü Ø ÙÒ ÓÙÐ B(p,r) Ó f ³ ÜÔÖ Ñ Ô Ö ÙÒ Ö ÒØ Ö f(z) = c k (z p) k. k=0 Ä ÓÒØ ÓÒ f Ø Ò ÐÝØ ÕÙ Ø ÙÐ Ñ ÒØ ÐÐ Ú Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ u x = v y, u y = v x. ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ý Ø Ñ ³ È ³ÓÖ Ö ÙÒº ½º½º º ËÙÖ Ñ Ò Ñ Ð º ËÓ Ø R ÙÒ ÓÑ Ò ÓÖÒ º ij Ö Ù Ö Ô ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f C () Ø ÓÒÒ Ô Ö A(f) := 1+fx +f y. Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ g : R ÓÒ Ö Ô ÖÑ Ð ÓÒØ ÓÒ f : R ÕÙ ÓÒØ Ð g ÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ Ð Ö Ô Ø ³ Ö Ñ Ò Ñ Ð º Ë f Ø ÙÒ Ø ÐÐ ÓÒØ ÓÒ ÐÓÖ ÔÓÙÖ ÕÙ φ Cc () ÓÒ ÙÖ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö A(f) A(f +ǫφ) ǫ > 0. d dǫ A(f +ǫφ) ǫ=0 = 0. ¾

3 ÔÖ ÙÒ Ô Ù ÐÙÐ ÓÒ ÖÖ Ú ( ) ( ) φ x + φ y = 0. Ò ÙØ Ð ÒØ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ô ÖØ ÓÒ Ù Ø ( ( )) ( x )+ y φ = 0. ÓÑÑ φ C 0 () Ø Ö ØÖ Ö ÓÒ ÓÒÐÙØ ÕÙ ( ( ) x )+ y = 0. ³ Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ò Ñ Ð º ÍÒ ÓÐÙØ ÓÒ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ò³ Ø Ô Ò Ö ¹ Ñ ÒØ ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ð³ Ö º ³ Ø ÔÐÙØØ ÙÒ ÔÓ ÒØ Ø Ø ÓÒÒ Ö º ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ÜÔÖ Ñ Ð Ø ÕÙ³ÙÒ ÙÖ Ñ Ò Ñ Ð Ø ÙÒ ÙÖ ÓÒØ Ð ÓÙÖ ÙÖ ÑÓÝ ÒÒ Ø ÒÙÐÐ º ³ Ø ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÒÓÒ¹Ð Ò Ö ³ÓÖ Ö Ùܺ ½º¾º Ð Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ³ÓÖ Ö Ùܺ ½º º Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ð Ø Ô ØÖ Ö Ð Øº ËÓ Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ ÓÖÒ Ù ÔÐ Òº ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ú ÒØ tt u(t,x) = u(t,x) ÔÓÙÖ x,t > 0, u(0,x) = A(x), t u(0,x) = B(x) ÔÓÙÖ x, u(t,x) = 0 ÔÓÙÖ x,t 0, Ó A,B ÓÒØ ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒ º Ë ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÙ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ô Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ð ³ ع¹ Ö Ò Ö ÒØ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ð ÓÖÑ u(t,x) = T(t)f(x), ÓÒ Ó Ø ÒØ ÁÐ Ü Ø ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ λ R Ø ÐÐ ÕÙ T (t)f(x) = T(t) f(x). T +λt = 0, f +λf = 0 f(x) = 0 x. ÍÒ ÙØ Ù ÓÙÖ Ø ÑÓÒØÖ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ù Ú Òغ Ì ÓÖ Ñ ½º¾ Ì ÓÖ Ñ Ô ØÖ Ð ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Øµº Ä Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ø ÙÖ { f +λf = 0 ÙÖ, f = 0 ÙÖ, ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ù Ø ÔÓ Ø Ú Ú Ö ÒØ ÔÔ Ð Ô ØÖ Ö Ð Øµ 0 < λ 1 () λ () ր.

4 Ä Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ý ÓÒØ Ö Ô Ø ÐÓÒ Ð ÙÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø º ÔÐÙ Ð Ü Ø ÙÒ Ð Ö¹ Ø ÒÒ (f k ) k N L () ÓÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ Ð Ø Ú Ö ÒØ f k +λ k f = 0. ÈÓÙÖ ÕÙ k N ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ñ ÐÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ( ) )) (t,x) u k (t,x) := a k cos( λk t +b k sin( λk t f k (x) (a k,b k R). ØØ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ Ð Ñ Ñ Ö Ò ÓÒØ Ð Ö ÕÙ Ò Ø λ k º ÇÒ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ ( ) )) u(t,x) = a k cos( λk t +b k sin( λk t f k (x). Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ Ó Ø Ò Ö Ò A(x) = u(0,x) = B(x) = t f(0,x) = a k f k (x), b k λk f k (x), Ð Ó ÒØ (a k ) k N Ø (b k ) k N ÓÒØ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ A Ø B Ò Ð Ð ÖØ ÒÒ (f k ) k N º Ê Ñ Ö ½º º Ä Ñ Ø Ó ÕÙ ÒÓÙ Ú ÒÓÒ ÔÖ ÒØ Ö Ñ Ò Ò Ö ØÖ Ù Ø º ÓÑ ØÖ Ô ØÖ Ð º ³ÙÒ ÔÓ ÒØ ÚÙ Ô Ý ÕÙ Ð ÓÑ ØÖ Ô ØÖ Ð ³ ÒØ Ö ÙÜ Ð Ò ÕÙ Ü Ø ÒØ ÒØÖ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ ÓÑ Ò ³ÙÒ Ô ÖØ Ø ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ð ÑÓ Ú Ö Ø ÓÒ ÐÙ ¹ º Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ö ÓÒ ÓÙÚÖ Ö Ð Ò ÒØÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ Ö ÓÙÖ ÙÖ ÓÒÒ Ü Ø Øµ Ø Ð Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ º ÈÓÙÖ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ü ÑÔÐ ÓÒÖ Ø ØÓÒ ÙÜ Ö ÙÐØ Ø ØÖ Ð ÕÙ ÕÙ ÒÓÙ ÑÓÒØÖ ÖÓÒ ÔÐÙ Ø Ö Ò ÓÙÖ º Ì ÓÖ Ñ ½º Àº Ï Ýеº ËÓ Ø R d ÙÒ ÓÙÚ ÖØ ÓÖÒ ÓÒØ Ð Ô ØÖ Ö Ð Ø Ø ÓÒÒ Ô Ö Ð Ù Ø (λ k )º ÐÓÖ λ k 4π k /d (c d ) /d Ú k, Ó c d = π d/ /Γ(d/+1) Ø Ð ÚÓÐÙÑ Ð ÓÙÐ ÙÒ Ø R d º Ì ÓÖ Ñ ½º ʺ ÓÙÖ Òصº ËÓ Ø R ÙÒ ÓÑ Ò ÙÐ Ò ÓÖÒ º ËÓ Ø (f k ) k N ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÔÖÓÔÖ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Øº Ä ÒÓÑ Ö ÓÑ Ò ÒÓ ÙÜ f k Ò Ô Ô kº Ü Ö ½º ÍÒ ÓÑ Ò Ø ÙÒ ÓÙÚ ÖØ ÓÒÒ Ü R d º Ò ÓÙÖ ÓÒ ØÖ Ú ÐÐ Ö ØÓÙ ÓÙÖ Ú ÓÑ Ò Ù ÑÑ ÒØ Ö ÙÐ Ö ¾ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÖÑÙÐ Ú Ö Ò ¹ ÙÜ Ó Ø ¾ Ö Ð Ô Ö Ü ÑÔÐ Ø ÙÒ ÓÑ Ò ÓÒØ Ð³ Ö Ò Ø ÓÑÔ Ø Ø Ð ÖÓÒØ Ö Ø Ð Ô Ö ÑÓÖ Ùº

5 Ú Ö ÔÓÙÖ ÕÙ ÑÔ Ú Ø ÙÖ V Ð C 1 () C() ÚV(x)dx = V(z) ν(z)dz. Ä Ñ Ñ Ö Ù Ò ÔÓ Ô ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ³ Ø Ð³ ÒØ Ö Ð Ä Ù ÓÙ Ê Ñ ÒÒµº Ä Ñ Ñ Ö ÖÓ Ø Ø ÔÐÙ Ù Ø Ð Ð Ò Ý ÓÒÒ Ö Ô Ò Ù ÓÒØ ÜØ º È Ö Ü ÑÔÐ Ø ÙÒ ÓÙÖ (d = ) ÓÙ ÙÒ ÙÖ (d = 3) ÐÐ Ô ÙØ ØÖ ÐÙРг г ÒØ Ö Ð ÙÖÚ Ð Ò Ø ÐÐ ÕÙ ÚÓ٠г Ú Þ ÚÙ Ò ÚÓØÖ ÓÙÖ ³ Ò ÐÝ Ú ØÓÖ ÐÐ º ËÓ Ø u,v C () ½µ ÅÓÒØÖ Þ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÖÑÙÐ Ö Ò v u+ v u = v(z) ν(z) u(z)dz. Ü Ö ¾º ÌÖÓÙÚ Þ ÕÙ ÐÕÙ Ü ÑÔÐ ÓÒØ ÓÒ ÖÑÓÒ ÕÙ º Ü Ö º ÅÓÒØÖ Þ Ð³ÙÒ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Øº Ü Ö º ËÓ Ø g : S 1 R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ º ÈÓ ÓÒ X g = {f C () C()}. ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ f X g Ñ Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ I : X g R Ò Ô Ö I(f) = f. Ò Ñ Ø ÒØ ÕÙ Ø Ø ÔÐÙ ÙØ Ù Þ ÙÒ È ÕÙ Ö Ú Ö Ô Ö fº Ü Ö º ÅÓÒØÖ Þ ÕÙ λ > 0º Ü Ö º ÐÙÐ Þ Ð Ô ØÖ Ö Ð Ø ³ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ (0,L) Ø Ú Ö Þ Ð ÐÓ Ï ÝÐ Ò º Ü Ö º ËÓ Ø R d ÙÒ ÓÙÚ Öغ Ä ÙÔÔÓÖØ ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ f C() Ø Ð³ Ò Ñ Ð { } ÙÔÔ(f) = x f(x) 0. Ê ÔÔ ÐÓÒ Õ٠г Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ð ÙÔÔÓÖØ ÓÑÔ Ø ÙÖ ÙÒ ÓÙÚ ÖØ R d Ø } C0 {f () = C () K ÓÑÔ Ø ÙÔÔ(f) K. ÍÒ Ù Ø ÓÒØ ÓÒ (η k ) C 0 (R d ) Ø ÔÔ Ð Ù Ø Ö ÙÐ Ö ÒØ ÔÓÙÖ ÕÙ k N ½µ η k (x) 0 ÔÓÙÖ ÕÙ x R n ¾µ ÙÔÔ(η k ) B(0,1/k), µ η R n k dx = 1. ËÓ Ø η k ÙÒ Ù Ø Ö ÙÐ Ö ÒØ º ËÓ Ø f : R n R ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ º ÅÓÒØÖ Þ ÕÙ ÔÓÙÖ ÕÙ ÓÙÚ ÖØ O ÓÒØ Ò ÒØ Ð³ÓÖ Ò lim k O f(x)η k (x)dx = f(0). Ü Ö º ÐÙÐ Þ Ð Ô ØÖ Ö Ð Ø ³ÙÒ Ö Ø Ò Ð (0,1) (0,L)º