MTF_PB.eps

Bản ghi

1 ÁÊÇ Á Ì ¾¼ Å Æ ÁÆÌÊ Å Ü Å ÒÓØØ ÁÊÇ Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ØØÔ»»ÛÛÛº ÖÓºÙÑÓÒØÖ Ðº» Ñ ÒÓØØ» Ø ¾¼ ¹Ñ Ð Ñ ÒÓØØ ÖÓºÙÑÓÒØÖ Ðº Ø ½»¼¾»¾¼½ Á º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁÁ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ö ² ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö 63 ÔØ µ Ì Ø ÐÙÐ ËÔ ØÖ 8 ÔØ µ ÐØÖ 3 ÔØ µ 3 ÔÓ ÒØ ÌÓÙ ÓÙÑ ÒØ ÐÙÐ ØÖ Ø ÐÙÐ Ø ÙÖ Ô Ö ÓÒÒ Ð ÙØÓÖ

2 Áº Ë Ö ² ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö 63 ÔØ µ ½º ÜÔÐ ÕÙ Ö ÕÙ Ð ÑÓ Ð Ö ÕÙ Ò Ò Ø Ú Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ì µ ÒÓÙ Ô ÖÑ ÓÑÔÖ Ò Ö ÓÑÑ ÔÖÓ Ð Ñ µ ÕÙ Ò ÔÓÙÚ Ø ØÖ ÓÑÔÖ Ô ÖØ Ö Ù ÑÓ Ð ÔÐÙ ÑÔÐ Ö ÓÙÖ Öº º ¾º ÉÙ Ô ÙعÓÒ Ö ØÓÙØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø F(ν Ð Ì Ð ØÖ ÙØ ÓÒ f(x Ò Ð ÐÙÐ Öµ Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö Ð Ö Ô ¹ ÓÙ Ù µº ÐÙÐ Ö Ò Ù Ø ØØ Ì º ½¾ ÔØ x 0 0 f(x x 0 x T/ T/ xt(t º µ ËÓ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÑÔÓÖ ÐÐ x T (t Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ù ÖÓ Ø µº ËÓ Ø Ù X T (ν = F[x T (t] º º Ð Ì x T (tº Ë Ò ÐÙÐ ÕÙ ÐÐ Ö ÒØ ØÓÙØ µ Ð ÔÖÓÔÖ Ø X T (ν Õ٠гÓÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ù Ö ÔÖÓÔÖ Ø x T (t Ø ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ì º µ Ê ÔÖ ÒØ Ö Ð³ ÐÐÙÖ x T (t Ð Ö Ú Ð ÓÒØ ÓÒ x T(t Ø ÜÔÖ Ñ Ö Ò ÐÝØ ÕÙ Ñ ÒØ x T (t Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒÙ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ ÓÒÒ Ø Ì º µ Ò Ù Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ì X T (ν Ð Ì x T (tº µ ÉÙ Ú ÒØ º º ÕÙ Ð Ø Ð ÒÓÑ Ð ÓÒØ ÓÒµ x T (t ÕÙ Ò lim T 0 º Ù Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÕÙ Ð Ì ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø F[x T 0 (t] = /(π jν Ø Ö ÔÔ Ð Ö ÔÓÙÖÕÙÓ ÓÒ Ò³ ÙÖ Ø Ô ÔÙ ÐÙÐ Ö Ð Ì ØØ ÓÒØ ÓÒ Ò ÙØ Ð ÒØ Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ Ð Ì ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ ÒØ Ö Ð º º µ Ë ÒØ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f(x = Ò(x F /(π jνº Ò ÓÙØ ÒØ f(x Ð ÓÒÒ ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð ÓÒ Ø ÙÖ ³ ÐÐ Ò Ù Ö Ð Ì Ð ÓÒØ ÓÒ ³À Ú H(x t µ ÓÒÒ ÒØ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ð ÓÒØ ÓÒ À Ú Ø Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ì Ð ÓÒØ ÓÒ xf(x Ò Ù Ö Ð Ì Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÑÔ r(x Ö ÔÖ ÒØ ¹ Ù ÖÓ Ø µº µ ÓÒÒ ÒØ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ð ÓÒØ ÓÒ À Ú Ø Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ì ³ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö Ú Ò Ù Ö Ð Ì Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÑÔ r(xº º ÐÙÐ Ö F(ν Ð Ì f(x = exp( x Ø Ú Ö Ö ÕÙ Ð Ø Ð ÔÖÓ Ù Ø ÒØÖ Ð³ ÖØ ØÝÔ Ð Ù ÒÒ f(x Ø Ð³ ÖØ ØÝÔ Ð Ù ÒÒ F(νº º

3 ½º Ê ÔÓÒ Ä Ö ÕÙ Ò Ò Ø Ú ÓÒØ ÙÒ ØÖ Ø ÓÒ Ù ÑÓ Ð Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ì µ ÕÙ ÒÓÙ Ô ÖÑ Ò Ø ÓÑÔÖ Ò Ö Ò ÓÙÖ ÙÜ ÓÒ ÔØ [ ] Ä ÔÖ Ñ Ö Ø Ð³ Ð Ò ÓÙ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ô ØÖ Ð ÕÙ Ò ÔÓÙÚ Ø ØÖ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Ô ÖØ Ö Ù ÑÓ Ð ØÖÓÔ ÑÔÐ Ø Ö ÓÙÖ Ö Ø ÕÙ Ò Ø Ò Ð Ì Ø Ð³ ÐØ Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÙØ µ Ö ÕÙ Ò Ù ÑÓØ Ô ØÖ Ð ÒØÖ ÙÖ Ð Ö ÕÙ Ò ÒÙÐÐ Ø Ó Ù Ô ØÖ Ù Ò Ð ÓÒØ ÒÙµ Ô Ö Ð Ö ÕÙ Ò Ò Ø Ú Ù Ñ Ñ ÑÓØ Ô ØÖ Ð Ö Ô Ø ÒØ Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ Ò ØÓÙ Ð nf e Ú n Nµ Ò Ð ÒØ ÐÐÓÒÒ Ú f e Ô ØÖ Ô Ö Ó ÕÙ ØÓÙ Ð nf e Ú n Nµº [ ] Ä ÙÜ Ñ ÓÒ ÔØ ÔÔÓÖØ Ô Ö Ð Ö ÕÙ Ò Ò Ø Ú ÒÓÙ Ô ÖÑ ÓÑÔÖ Ò Ö ÕÙ Ð Ì Ö Ø Ì µ ÒÓÙ ÓÒÒ Ò Ø ÙÒ Ô Ø Ø Ò ØÖ Ô ØÖ Ð ³ÙÒ Ô ØÖ ÙÓÙÔ ÔÐÙ Ö Ò ÕÙ Ø ÝÐ ÕÙ Ô Ö Ó ÕÙ Ò u Ø Ò νµ Ø ÓÒØ Ð ÑÓ ÙÐ Ø Ô Öº Ò ÙÒ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ù Ô ØÖ Ò Ð ÓÑ Ò Ö ÕÙ Ò Ò u = ν = N/ Ú N Ð Ø ÐРг Ñ ÒÓÙ Ô ÖÑ Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð Ô ØÖ Ù Ò Ð ÒØÖ Ù ÒØÖ Ð³ Ñ Ø Ò ÕÙ Ø Ù Ö Ð ÝÐ ÕÙ µº ÆÓØ ³ ÙØÖ ÓÒ ÔØ ÒØ Ö ÒØ Ò ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ð ÓÒØ ÜÔÐ ÕÙ Ô Ö ØØ ØÖ Ø ÓÒ Ö Ô Ö Ö ÕÙ Ò Ò Ø Ú Ñ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô Ù ÔÖÓ Ö ÑÑ ÓÙÖ º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ØØ ØÖ Ø ÓÒ Ô ÖÑ Ø ³ ÜÔÐ ÕÙ Ö Ð Ì Ò ÙÜ ÓÑÔÐ Ü Ñ Ù Ð ÒÓØ ÓÒ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ô Ø Ð Ø ÔÐ Ò ³ ÙØÖ Ó ººº ¾º Ä ØÖ ÙØ ÓÒ f(x Ø Ö ÐÐ Ø Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ F(ν Ö Ù Ö ÐÐ Ø Ô Ö º Ä ØÖ ÙØ ÓÒ f(x Ø ÒØ ÒÓÒ Ô Ö Ó ÕÙ ÓÒ Ô ØÖ F(ν Ö ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÑÑ f(x ÔÓ ÓÒØ ÒÙ Ø Ð ÙÔÔÓÖØ Ô ØÖ Ð F(ν Ö Ö Ò ÙÓÙÔ ³ ÖÑÓÒ ÕÙ ÖÓÒØ Ò Ö ÔÓÙÖ Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ò Ðµº Ë ÒØ ÕÙ f(x = δ(x x 0 + δ(x δ(x + x 0 Ø ÕÙ δ(x x 0 F exp( π jνx 0 Ø δ(x + x 0 F exp( π jνx 0 ÓÒ ÓÒ f(x = δ(x x 0 + δ(x δ(x + x 0 F exp( π jνx 0 + exp( π jνx 0 ( = exp( π jνx 0 + exp( π jνx 0 = cos(πνx 0 = 4 sin (πνx 0 ÓÒ f(x = δ(x x 0 + δ(x δ(x + x 0 F F(ν = 4 sin (πνx 0 º µ Ä ÓÒØ ÓÒ x T (t Ø ÑÔ Ö Ì Ö ÓÒ Ñ Ò Ö ÔÙÖ º x T (t Ø ÒØ ÔÐÙ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÐÐ Ì Ö ÓÒ ÝÑ ØÖ ÖÑ Ø ÒÒ º Ë Ì Ö ÓÒ Ñ Ò Ö ÔÙÖ Ø ÑÔ Ö º ÔÐÙ Ð Ò Ð Ø ÒØ ÒÓÒ Ô Ö Ó ÕÙ Ì Ö ÓÒØ ÒÙ Ø x T (t ÔÓ ÒØ ÙÜ ÓÒØ ÒÙ Ø Ð³ÓÖ Ò µ Ì Ñ Ò Ö ÙÓÙÔ ³ ÖÑÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ Ö ÓÒ ØÖÙ Ö ØØ ÓÒØ ÒÙ Ø ÕÙ ØÖ Ù Ö Ô Ö ÙÒ ÙÔÔÓÖØ Ö ÕÙ ÒØ Ð Þ Ö Ò ØØ ÖÒ Ö Ö Ñ ÖÕÙ Ö ³ ÙØ ÒØ ÔÐÙ ÚÖ ÐÓÖ ÕÙ T Ø Ò Ö Ú Ö 0 ÒØ ÔÔ Ö ØÖ ÙÒ ÓÒØ ÒÙ Ø ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ð Ö Ú Ò ÔÓ ÒØ Ö Ò Ò µº º µ ÇÒ ØÖÓÙÚ Ð Ñ ÒØ ÕÙ x T (t ³ ÜÔÖ Ñ Ô ÖØ Ö Ð ÓÒ¹ Ø ÓÒ ÔÓÖØ ÔÔ Ð ( Ù ÓÒØ ÓÒ ÓÙÚ ÖØÙÖ ÓÙ Ö Ø Ò Ð µ º º x T (t = T Π t T º T X T (t = T T/ T/, Π t ( t T

4 º µ Ú Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò t ν ÓÒ Ú ÖÚ Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ú Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÔÙÐ ÕÙ F[f (t] = (πjνf(ν Ø Ò ÙÖ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ö Ö x T (t = ( t T Π F sin πνt (πjνf(ν = T πνt ÕÙ ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø ØÖÓÙÚ Ö F(ν = F[f(t] = F[x T (t] : F[x T (t] = πjν sin πνt πνt = j sin(πνt π ν T ÆÓØ Ø ÓÒ Ô ÙØ Ú Ö Ö ÕÙ ÕÙ Ú Ø Ø ÒØÙ Ø Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½º µ Ø ÚÖ ÚÓ Ö ÕÙ Ð Ì x T (t Ø ÓÒØ ÒÙ Ñ Ò Ö ÔÙÖ Ø ÑÔ Ö Ø Ö Ò ÙÔÔÓÖØ Ö ÕÙ ÒØ Ðº º µ ÉÙ Ò lim T 0 ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÒÓØ Ò(t Ø ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ t > 0 Ò(t = 0 t = 0 t < 0 { } sin πνt ÓÒØ Ð Ì ÚÖ Ø ØÖ lim T 0 πjν πνt = F(ν = πjν Ø ÓÒ Ò³ ÙÖ Ø Ô ÔÙ ÐÙÐ Ö ØØ Ì Ô ÖØ Ö Ð Ò Ø ÓÒ ÒØ Ö Ð ÙÖ x T (t Ö ÐÐ ¹ Ò³ Ø Ô ÖÖ ÓÙ ÓÐÙÑ ÒØ ÓÑÑ Ð º º µ È Ö Ð Ò Ö Ø Ð Ì H(x = ( Ò Üµ + F H(ν = ( π j ν + δ(ν = j π ν + δ(ν º µ ÇÒ F[xf(x] = F (ν πj ÔÙ ÕÙ F[f (x] = πjνf(ν Ø ÓÒ Ô Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ð F [F (ν] = πjxf(xµº Ø Ó Ø R(ν Ð Ì Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÑÔ ÓÒ r(x = xh(x F R(ν = ( ( j πj π ν + δ(ν = j 4πj π ν + δ (ν = 4 π ν + j δ (ν 4 π º µ ÇÒ F[f (x] = πjν F(ν, Ø ÓÒ ÔÙ ÕÙ r (x = H(x F ( π j νr(ν = H(ν = j π ν + δ(ν j δ(ν R(ν = 4 π + ν 4 π ν ÆÓØ Ð Ö Ð Ø ÓÒ º µ Ø º µ ÓÒ ÚÓ Ø ÕÙ Ò Ö Ñ ÒØ j δ (ν 4 π = j δ(ν 4 π ν ν δ (ν = δ(ν ÓÙ xδ (x = δ(x ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ð Ð Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÒØ Ð Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ö Ú Ø Ò Ü Ö ÑÓ µº

5 º Ú Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ x F ν ÓÒ ÚÙ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ð Ø Ø ÓÒ Ø ÑÓÒØÖ Ò ÓÙÖ ÕÙ exp( π x f(ax ÓÒ exp( x = exp( π ( x π ( ( Ø ÓÒ Ô ÙØ Ú Ö Ö ÕÙ σ s σ ν = π = π F exp( π ν F ( ν a F a F π exp ( πν = π exp( π ν Ò Ù º ÁÁº Ì Ø ËÔ ØÖ 8 ÔØ µ ½º ÈÓÙÖ ÙÒ Ü Ô Ø Ø Ñ ÜØÖ Ø Ð³ Ñ Ä Ò Ò ÕÙ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÑÓ ÙÐ µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÔÖ ÚÓ Ö ÓÙÖÒ ÙÒ ÜÔÐ Ø ÓÒ ÓÙ ÙÒ Ù Ø Ø ÓÒ ÚÓÙ ÔÓÙÚ Þ ÔÖÓ Ö Ò ÙØ Ð ÒØ Ù Ð Ø Ò ÕÙ ³ Ð Ñ Ò Ø ÓÒµº ÈÓÙÖ Ð Ñ ØØ Ù ÖÓ Ø Ø ÙØ Ò ÓÒ Ð³ Ñ ØØ Á Ð Ò Ú ÖØ Ð µ ÁÁ Ð Ò ÓÒ Ð µ ÁÁÁ Ô Ùµ ÁÎ Ó Ðµ Î Ø ÜØÙÖ Ù Ô Ùµ ÎÁ Ô ÙÐ µ Ø ÔÓÙÖ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ù ÙØ Ò Ô ØÖ µ Ø ÖÓ Ø ÙØ Ò Ô ØÖ µº ½ ÔØ ¾º µ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö Ð Ø ÕÙ ÐÐ Ø Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ ³ÙÒ Ì ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø µ ÙÖ ÙÒ Ñ Ø ÐÐ N N lignes colonnes f(x,y Q(u,y F(u,v TFD D sur les lignes TFD D sur les colonnes µ Ö Ò Ð Ù Ø ÒØ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ³À Ñ Ö Ú Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ x F u Ø y F νµ ÓÒÒ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ ¹ ÓÙ ÔÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö Ð Ø ÓÑÑ Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öº H(u, ν = N N N x=0 y=0 f(x, y( P n i=0 bi(xai(u+bi(yai(ν

6 Ê ÔÓÒ ½º ÇÒ Ú ÙØ Ð Ö Ò Ð Ù Ø Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ x F ν Ø y F v Ú y ÓÖ ÒØ Ò Ð Ò ÓÐÓÒÒ Ð Ö ÙÖ Ð³ Ñ µ ÖÓ ÒØ Ø x ÓÖ ÒØ Ò Ð Ò Ð Ò ÐÓÒ Ù ÙÖ Ð³ Ñ µ ÖÓ ÒØ º ÇÒ Ú ÔÖÓ Ö Ô Ö Ð Ñ Ò Ø ÓÒ Ò ÐÐ ÒØ Ù ÔÐÙ Ú ÒØ Ù ÑÓ Ò Ú ÒØ V I f : ij Ñ ØØ ÎÁ Ô ÙÐ µ ÔÖ ÒØ ÙÒ Ö ÓÒ ÔÖ ÕÙ ÓÑÓ Ò Ò Ò Ú ÙÜ Ö Ö Ð Ø Ú ¹ Ñ ÒØ ÑÓÓØ Ð Ú ØÖ Ô Ù ÙØ Ö ÕÙ Ò ³ ع¹ Ö ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ ØÖÓÙÚ Ö Ð Ô ØÖ Ð ÔÐÙ ÓÒ ÒØÖ Ò Ð Ö ÕÙ Ò Ò Ú Ð ÙÖ Ô ØÖ Ð Ü ÒØ ÙÒ Ö Ø ÓÒ ÔÖ Ú Ð º ³ Ø ÓÒ Ò Ñ Ù Ø Ð Ô ØÖ fº II d : ij Ñ ØØ ÁÁ Ð Ò ÓÒ Ð µ ÔÖ ÒØ ÙÜ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÕÙ Ù Ò Ú Ù Ù Ô ØÖ ÓÒ ÙÖ ÓÒ ÙÒ Ò Ñ Ð Ó ÒØ Ô ØÖ ÙÜ ÓÖ ÒØ Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ô ÖÔ Ò Ù¹ Ð Ö º ÙÙÒ ÓÙØ ÔÓ Ð ³ Ø Ð Ô ØÖ dº ÇÒ ÒÓØ Ù ÙÒ Ð Ö Ö Ø Ø ÓÒ Ò ØØ Ö Ø ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÕÙ ÒÓÙ Ò ÕÙ ÕÙ³ÙÒ ÑÓØ Ö Ô Ø Ò Ð ÓÑ Ò Ô Ø Ð ³ Ø Ò Ø Ð Ð Ò ÓÒ Ð ÕÙ Ö Ô Ø ÙÜ Ó º III b : ij Ñ ØØ ÁÁÁ Ô Ùµ ÔÖ ÒØ ÙÒ Ð Ò ÓÒ Ð ÓÙ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÒ Ð º Ù Ò Ú Ù Ù Ô ØÖ ÓÒ ÙÖ ÓÒ ÙÒ Ò Ñ Ð Ó ÒØ Ô ØÖ ÙÜ ÓÖ ÒØ Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º ÙÙÒ ÓÙØ ÔÓ Ð ³ Ø Ð Ô ØÖ bº V c : ij Ñ ØØ Î Ø ÜØÙÖ Ù Ô Ùµ Ø ÐÐ ÕÙ Ð ÔÐÙ ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ô Ø Ð ÓÙ Ø Ð Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ º Ù Ò Ú Ù Ù Ô ØÖ ÓÒ ÙÖ ÙÒ Ô ØÖ Ú ÙÓÙÔ ÙØ Ö ÕÙ Ò Ò ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ ÔÓ Ð Ø ÙÒ ÙÔÔÓÖØ Ð ÔÐÙ Ö Ò ÔÓ Ð º ÙÙÒ ÓÙØ ÔÓ Ð ³ Ø Ð Ô ØÖ cº IV e : ij Ñ ØØ ÁÎ Ó Ðµ ÔÓ ÙÓÙÔ Ø Ð ³ ع¹ Ö ÙØ Ö ÕÙ Ò Ñ Ô ÙØ ÒØ Õ٠г Ñ ØØ Îº ÔÐÙ Ò Ð³Ó Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ò ÓÖÑ Ð Ò Ú ÖØ Ð ÒÓ Ö Ø Ð Ò Ð³Ó Ðµ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ò Ð³Ó Ð Ø Ô ÙÔ Ö µ ÔÔ Ö Øº ËÓÒ Ô ØÖ ÓÒØ Ò Ö ÙØ Ö ÕÙ Ò ÔÖ Ú Ð ÒØ Ó ÒØ Ô ØÖ ÙÜ ÓÖØ ÓÒ Ð Ò Ð Ò Ò Ð Ö Ø ÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ú ÖØ Ð º ÙÙÒ ÓÙØ ÔÓ Ð ³ Ø Ð Ô ØÖ eº I a : ij Ñ ØØ Á Ð Ò Ú ÖØ Ð µ ÓÑÔÓÖØ ÓÑÑ ØÓÙØ Ô Ù Ø Ð Ñ ÙÒ ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÙ ÓÖÑ Ð Ò Ú ÖØ Ð Ú ÙÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÒ Ô Ù ÓÙ º ËÓÒ Ô ØÖ ÓÑÔÓÖØ Ö Ô Ù ÙØ Ö ÕÙ Ò Ñ ÙÒ ÓÒØ ÒÙ Ø Ô ØÖ Ð ÓÙ ÓÖÑ ³ÙÒ Ð Ö Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð º ÙÙÒ ÓÙØ ÔÓ Ð ³ Ø Ð Ô ØÖ aº ¾º µ ÈÓÙÖ ÕÙ Ð Ò Ø ÓÐÓÒÒ Nµ ÓÒ Ø ÙÒ Ì ½ ÕÙ Ñ Ò ÐÙÐ Ö N Ó ÒØ Ô ØÖ ÙÜ Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ³ ÙÜ ÙÒ ÓÑÑ ÙÖ N Ú Ð ÙÖ Ö Ø Ù Ò Ð Ø Ò Ö º ËÓ Ø ÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ø O(N 3 º ¾º µ ÇÙ Ð ÒÓÝ Ù ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ô ÙØ ØÖ Ô Ö Ò ÙÜ Ø ÖÑ ( P n i=0 bi(xai(u Ø ( P n i=0 bi(yai(ν Õ٠гÓÒ Ô ÙØ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ù Ú Ø ÙÖ ½ Ð Ò ÔÙ ÓÐÓÒÒ Ð³ Ñ º

7 ÁÁÁº ÐØÖ ËÔ Ø Ð Ø Ö ÕÙ ÒØ Ð 3 ÔØ µ ½º ËÓ Ø Ð³ Ñ ¹ ÓÙ Ö Ô Ö ÙÒ ÙØ ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ô Ö Ð Ò ÕÙ Ò Ö Ô ÖØ ³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ ÐÐ ¹ ØÖ Ù ÒØ ÙÖ Ð³ Ñ Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ñ ÒØ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÒÓ Ö ³ Ô ÙÖ Ô Ü Ð Ø Ø ÐÐ Ú Ö Ð º µ ÌÖÓÙÚ Ö Ô ÖÑ Ð ÐØÖ ÔÖÓÔÓ Ð ÐØÖ Ô Ø Ð ÕÙ ÚÓÙ Ñ Ð Ð ÔÐÙ ÕÙ Ø ÔÓÙÖ Ö Ø ÙÖ Ö Ô Ö ÐØÖ Ô Ø Ðµ ØØ Ñ Ö Ô Ö ÙØ ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ô Ö Ð Ò º ÂÙ Ø Ö Ò ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ º ˳ ع Ð 3 ÓÙ 0 ÓÙ 3 ÓÙ ½ ¼ ½ ÓÙ 9 ÓÙ 8 ½ ¼ ½ µ ÇÒ Ñ Ö Ø ÐÙÐ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ò ÑÓ ÙÐ ÓÙ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ µ H(ν Ù Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ú ÒØ h(x = 0 Ë Ò ÐÙÐ Ö Ì ÒÙÑ Ö Ö ØÓÙØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ ÔÓ H(ν Ô ÖØ Ö ÔÖÓÔÖ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ö Ø h(xº Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ì ÐÙÐ Ö ÔÙ ØÖ Ö ÓÑÑ Ö Ñ ÒØ Ð³ ÐÐÙÖ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ ÑÓ ÙÐ µº ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ð³ ÐÐÙÖ ØØ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ º ÕÙ Ð ØÝÔ ÐØÖ Ô ¹ Ô ¹ ÙØ È ¹ Ò Øºµ ³ ع Ð ÉÙ Ð Ø ÙÖ ÐØÖ ÙÖ ÙÒ Ñ Ò ØÙÖ ÐÐ ÒÓÒ ÝÒØ Ø ÕÙ µ ½¾ ÔØ µ ËÙÔÔÓ ÓÒ Õ٠гÓÒ ÓÒÚÓÐ٠г Ñ Ö i(x, yµ Ú ÐØÖ Ú Ð ÓÖÑÙÐ ¹ ØÙ ÐÐ i= x, y o(x, y = i(x, y h(x = i(x + i, yh(i ÓÑÑ ÒØ ÔÓÙÖÖ Ø¹ÓÒ Ñ Ð ÓÖ Ö Ð Ö Ø ÙÖ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÕÙ ÐÐ ¹ Ó Ø Ñ ÐÐ ÙÖ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÒ ÑÔÐ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒµ ÕÙ Ô ÖÑ ØØÖ Ø ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ ÒØ ÐÐ ÑÑ ÒØ Ð Ø ÕÙ Ò Ð ³ÙÒ Ñ Ö Ô Ö ÙÒ ÙØ Ð Ò Ð Ô Ü Ð Ø Ô Ö ØØ Ö Ø ÓÒ ÓÒØ Ò Ö Ñ ÒØ ÒÓ Ö º º ÓÒØ ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ Ò Ú ÙÜ Ö ÒÙÐÐ ¾º ÇÒ Ñ Ö Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ ÒÐ Ú Ö ÓÙ ØØ ÒÙ Ö ØØ Ö Ø ÓÒ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÐØÖ Ö ÕÙ ÒØ Ð º º Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ì µº ÁÒ ÕÙ Ö ³ÙÒ Ô ÖØ ÓÑÑ ÒØ ØØ Ö Ø ÓÒ Ò Ù Ò Ö Ð ÑÓ ÙÐ Ð Ì ØØ Ñ Ø ÕÙ ÐÐ ÔÓÙÖÖ Ø ØÖ Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³ ØØ ÒÙ Ö ØØ Ö Ø ÓÒº i=

8 Ê ÔÓÒ ½º µ Ù Ø ÕÙ Ð Ð Ò ÓÒØ ³ Ô ÙÖ ÙÒ ÙÐ Ô Ü Ð Ð Ø ÔÐÙ Ù ÙÜ Ò Ò Ô Ø Ò Ö Ò ÓÑÔØ Ò ÐØÖ Ô Ø Ð Ù Ò Ú Ù Ö Ù Ô Ü Ð ÒØÖ Ð ÕÙ Ø Ö º ÔÐÙ Ð Ð Ò Ø ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒ ÖØ ³ Ñ Ð Ð ÐØÖ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÙ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú ÙÒ ÐØÖ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÑÑ Ð ÐØÖ Ô Ø ÙÜ ÔÖÓÔÓ ¾ µ ÕÙ ÑÓÝ ÒÒ ÖÓÒØ ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ò ÞÓÒ Ö ÕÙ Ú Ð ÙÖ Ò Ú ÙÜ Ö ÖÖÓÒ º ÁÐ Ò Ö Ø ÕÙ Ð ÐØÖ 3 Ð Ò Ú ÖØ Ðµ Ù Ú ÒØ 0 ÕÙ Ô ÖÑ ØØÖ Ò Ö ØÓÖ Ö ØØ Ñ º ½º µ ÌÓÙ Ð Ó ÒØ ÐØÖ ÓÒØ ÔÓ Ø ³ Ø ÓÒ ÙÒ ÐØÖ Ô ¹ ÕÙ Ò Ò Ö Ô Ð ÑÓÝ ÒÒ Ð³ Ñ Ö Ñ ÕÙ Ø ÒÓÖÑ Ð Ú ÙÒ ÓÑÑ Ó ÒØ Ð ÙÒµº ÔÐÙ Ð ÅÌ H(ν Ö Ö ÐÐ Ø Ô Ö Ö Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ø Ô Ö Ø Ö Ðº Ú x F ν, F(h(x = H(ν = + x= h(x exp ( πjνx = + x= h(x exp ( πjνx = [exp (πjν + exp( πjν] = [ cos(πν] = cos(πν ÆÓØ ¹½¹ ÇÒ ÙÖ Ø ÔÙ Ð Ñ ÒØ ÔÖ ÚÓ Ö Ð³ ÐÐÙÖ Ô ØÖ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø Ð³ Ü Ö Áº¾º Ò Ø Ò Ð ÓÑ Ò Ô Ø Ð h(x г ÐÐÙÖ f(x ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ö ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÓÒ ÓÙØ δ(xº Ù ÓÙÔ Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ð Ù Ð Ð Ò Ö Ø Ð Ì ÓÒ Ó Ø ÒØ F(ν ÑÙÐØ ÔÐ Ô Ö ³ Ø Ö F(ν cos(πν x 0 º ÓÑÑ x 0 = x = Ò ÒÓØÖ ÓÒ ³ ØØ Ò ÓÒ ÙÒ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ù ØÝÔ F(ν cos(πνº ÆÓØ ¹¾¹ ÇÒ ÙÖ Ø ÔÙ Ù Ð ÑÓÒØÖ Ö Ò ÒØ ÕÙ h(x Ø Ô Ö Ø Ö ÐÐ ÓÒ H(ν Ö Ö Ð Ø Ô Ö Ø Ð ÐÙÐ ÓÙ ÓÙ ÒÓÙ ÓÒÒ Ö Ð Ñ Ñ Ó º Ä ÐÙÐ h(x Ø ÙÒ Ò Ð Ö ÕÙ Ò ÔÙÖ Ò Ð³ ÙØÖ Ô Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÙÒ cos Ö ÐÙ ¹ Ø Ô Ö º Ä ÐÙÐ Ð Ö ÕÙ Ò cos ÓÑÑ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ Ø Ò Ù Ø ÓÑÑ Ò ÆÓØ ¹½¹º Ä Ô ØÖ Ø Ô Ö Ó ÕÙ ÔÙ ÕÙ Ð Ò Ð Ò Ð ÓÑ Ò Ô Ø Ð Ø Ö Ø Ø Ð Ö Ô Ø ØÓÙ Ð /T e = / x = Ö ÕÙ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ ÔÙ ÕÙ³ ÙÙÒ ÑÓÑ ÒØ ÓÒ Ò ÓÒÒ Ø Ð Ô Ö Ó ³ ÒØ ÐÐÓÒÒ µº ÓÒ ÙÒ ÙÔÔÓÖØ Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ð Ø Ù Òغ ÓÑÑ ÓÒ Ø ÒØ Ö ÚÓ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ Òص г ÐÐÙÖ Ô ØÖ Ð ØØ ÅÌ ÒØÖ Ò 0 ÙÒ Ö ÔÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ ÙÖ [ 0.5, 0.5] Ø Ø ÒØ º Ä ØÖ H(ν ÒÓÙ ÓÒÒ.5 cos(piu H(u H(u u Ä ÐØÖ Ó Ø ÒÙ Ø ÙÒ ÐØÖ Ô ¹ Ù ÕÙ³ Ð Ö ÕÙ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ ν = 0.5 ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ cos(πν = /4 ³ ÒÒÙÐ º ÔÖ ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ø Ø Ö ÕÙ Ð ÐØÖ ÓÑÔÓÖØ ÙÒ ØÖ ÖÓ ÐÓ ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ò ÓÖØ

9 Ò Ô ØØ ÒÙ Ö ÙÓÙÔ Ð Ö ÕÙ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ ØÖ Ð Ú ÚÓ Ö Ñ Ñ Ô Ù ØÓÙØ ÐØÖ Ö º º ØØ ÒÙ Öµ Ð Ö ÕÙ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ ν = 0.5 H(ν = 0.5 = º ÈÓÙÖ ÙÒ Ñ Ò ØÙÖ ÐÐ ÒÓÒ ÝÒØ Ø ÕÙ µ ÓÒ Ø ÕÙ Ð Ô ØÖ Ø ÓÒ ÒØÖ Ò Ð ÓÙ ÑÓÝ ÒÒ Ö ÕÙ Ò < 0.5 ÓÙ Ô ØÖ ÓÒ ÒØÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓ Ø Ù ÙÔÔÓÖØ Ö ÕÙ ÒØ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ØÓØ Ð 0.5µº Ä ÐØÖ ÓÑÔÓÖØ Ö ÓÒ ÓÑÑ ÙÒ ÐØÖ È ¹ Ð Ñ Ò ÒØ Ð ÙØ Ö ÕÙ Ò Ò Ð Ò ³ Ø Ö Ð ÓÒØ ÒÙ Ø ÓÑÑ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÒÓ Ö ³ Ô ÙÖ Ô Ü Ð Ö Ô Ö ÙÒ ÙØ ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ô Ö Ð Ò µº ÆÓØ ÓÑÑ Ð Ø ÔÖ ÑÑ ÒØ Ø ÐØÖ Ú Ð Ö Ô Ö Ð ÙØ Ö ÕÙ Ò ν = 0.5 Ò Ð ØØ ÒÙ Öº ÍÒ Ö ÕÙ Ò ÒÙÑ Ö ÕÙ ν = 0.5 ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒÖ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ô Ö Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ T = Ô Ü Ð ÙÒ Ö ÕÙ Ò Ô Ý ÕÙ ν = 0.5 f e ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ô Ö Ó Ô Ý ÕÙ T T e Ø T e = x = µº ÓÒ Ð ÐØÖ Ú Ð Ö Ô Ö ØÓÙØ Ð Ö Ø ÓÒ Ò Ð ØØ ÒÙ Ö Ö ÕÙ Ò ν = 0.5 ÓÙ Ô Ö Ó T = Ô Ü Ð Ò yº ÍÒ Ø ÐÐ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ó T = Ô Ü Ð Ò y ÔÓÙÖÖ Ø ØÖ ÓÒÒ Ô Ö ÙÜ Ð Ò ÒÓ Ö ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ô ÙÒ Ô Ü Ð image image image image image image image image Apres Filtrage avec / 0 Ø Ò ÓÒ ÚÓ Ø Ò ÕÙ ÒÓØÖ ÐØÖ Ð Ö Ø Ô Ö ÙÒ Ø ÐÐ Ö Ø ÓÒº ÇÒ ÚÓ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÑÔÖ Ò Ù µ Ò Ð Ð Ñ Ø ÒÓØÖ ÐØÖ h(x ÕÙ Ò Ó Ø Ô ØÖ ÓÒ ÖÓÒØ ÙØ Ð Ò Ô Ö ³ÙÒ ÙÐ Ô Ü Ðº ½º µ ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ø¹ÓÒ Ñ Ð ÓÖ Ö Ð Ö Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ø ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ ÒØ ÐÐ ÑÑ ÒØ Ð Ø ÕÙ Ò Ð ³ÙÒ Ñ Ö Ô Ö ÙÒ ÙØ Ð Ò Ð Ô Ü Ð Ø Ô Ö ØØ Ö Ø ÓÒ ÓÒØ ÙÒ Ò Ú ÙÜ Ö ÒÙÐÐ Ò Ò ÐØÖ ÒØ Ô Ö ÐØÖ ÕÙ Ð Ô Ü Ð ÔÓ ÒØ Ð Ò Ú ÙÜ Ö ÒÙк (i(x, y == 0 o(x, y = i(x, y h(x = i= i= i(x + i, yh(i ¾º ü Ù Ð Ò ÒÓ Ö ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÒØ ÔÔ Ö ØÖ ÔÐÙ ÙÖ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò Ð³ Ñ ÓÒ ³ ØØ Ò ÕÙ Ð ÑÓ ÙÐ Ð Ì ØØ Ñ Ð ÔÔ Ö ØÖ ÙÒ Ð Ò Ð Ò Ú ÖØ Ð ÒØÖ Ò ÓÒ Ô ØÖ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ø Ò Ø ÓÖØ Ó ÒØ Ô ØÖ ÙÜ Ò Ö ÔÓÙÖ Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ð³ Ñ Ú Ö Ø ÓÒ º ijÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ ÕÙ Ð Ñ Ò Ö Ø Ñ ØØÖ Ø Þ ÖÓµ Ð Ô ÖØ ÙØ Ö ÕÙ Ò ØØ Ð Ò Ð Ò Ú ÖØ Ð Ò Ð Ô ØÖ Ð³ Ñ Ö Ø ÓÒ Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö ÕÙ ÒØ ÐÐ ÔÔÖÓÔÖ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³ ØØ ÒÙ Ö ÓÖØ Ñ ÒØ ØØ Ö Ø ÓÒº ÆÓØ Ä Ø Ò ÕÙ ÐØÖ ÕÙ Ö Ø ØÓÙØ Ñ Ñ Ð ÔÐÙ Ø ÐÐ ÓÒÒ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½º ÕÙ ÙØ Ð Ö Ø Ù Ñ ÙÜ ØÓÙØ Ð³ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ö Ø ÓÒ ÒÓØ ÑÑ ÒØ Ð Ø ÕÙ Ð Ô Ü Ð ÐØ Ö Ö Ø ØÓÙ ÓÙÖ Ú ÙÒ Ò Ú ÙÜ Ö ÒÙÐÐ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ð Ö Ü Ø Ñ ÒØ ÓÙ ØÖÓÙÚ Ð Ö Ø ÓÒ Ø ÓÖÖ Ö ÙÐ Ñ ÒØ Ô Ü Ð Ö º