Suites.dvi

Bản ghi

1 ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ËÍÁÌ Ë ÆÇÅ Ê Ë Ê ÄË ÇÍ ÇÅÈÄ Ë ØÙ Ù Ø ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ n N u n+1 1+u n ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u n n N Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ü Ö ½ Ø ÖÑ Ò Ö u n Ò ÓÒØ ÓÒ n Ò Ð Ù Ú ÒØ u n+1 = u n Ø u = 3 u n+1 u n = 4 Ø u 5 = 1 u n+1 = u n 1 Ø u 1 = 3 u n+1 = 3u n +4 Ø u 0 = 1 u n+ = u n+1 +u n Ø u 0 = u 1 = 1 u n+ = u n+1 +3u n Ø u 0 = 1 u 1 = 1 Ü Ö ¾ ÉÙ Ô ÙعÓÒ Ö Ð Ù Ø u Ø ÐÐ ÕÙ 0 u n 1 u n n+3 Ü Ö ÇÒ ÔÓ u 0 = 0 Ø u n+1 = fu n Ú fx = 1+x +x ½ Ê ÓÙ Ö fx = x ÇÒ ØÖÓÙÚ ÙÜ ÓÐÙØ ÓÒ l 1 Ø l ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø v n = u n l 1 Ø ÙÒ Ù Ø u n l n N Ö Ö Ò ÐÙÐ Ö ξ = lim u n ÔÙ ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ u n ξ ØÙ Ö Ð Ù Ø Ö ÙÖÖ ÒØ Ù Ú ÒØ u 0 = 1 Ø u n+1 = sinu n u 0 = Ø u n+1 = u n e un u 0 R Ø u n+1 = 1 chu n ½ ËÓ ÒØ u n n N Ø v n n N ÙÜ Ù Ø Ö ÐÐ Ø ÐÐ ÕÙ n N 0 u n 3 Ø 0 v n ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð Ù Ø u n v n n N ÓÒÚ Ö Ú Ö 6 ÉÙ Ô ÙعÓÒ Ö Ù Ø u n n N Ø v n n N ¾ ËÓ Ø w n n N ÙÒ Ù Ø Ö ÐÐ Ø ÐÐ ÕÙ Ð ÓÙ ¹ Ù Ø u n n N u 3n n N Ø u n+1 n N ÓÒÚ Ö ÒØ ÉÙ Ô ÙعÓÒ Ö Ð Ù Ø u n n N ÇÒ ÔÓ u n = n. ËÓ ÒØ a Ø b ÙÜ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÇÒ ÔÓ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N { a0 = a, b 0 = b n N, a n+1 = a n +b n Ø b n+1 =. a n b n ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø a n n N Ø b n n N ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö Ð Ñ Ñ Ð Ñ Ø ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ k N kk +1 k 3 ¾ ÐÙÐ Ö ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N 1 Ð ÓÑÑ kk +1 ÔÙ Ð Ð Ñ Ø ÕÙ Ò n Ø Ò Ú Ö + n 1 Ò Ù Ö ÕÙ Ð Ù Ø k 3 Ø ÓÒÚ Ö ÒØ n N ËÓ Ø u ÙÒ Ù Ø ÓÖÒ ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N Ð ÒÓÑ Ö v n = inf u k k n Ø w n = supu k Ü Ø ÒØ k n ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø v Ø w ÓÒÚ Ö ÒØ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ u ÓÒÚ Ö Ø ÙÐ Ñ ÒØ limv = limw Ü Ö ½¼ ½ Ë ÑÔÐ Ö ÔÓÙÖ ØÓÙØ x 0 shx shx n ¾ ËÓ Ø x R ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ø ÐÙÐ Ö Ð Ñ Ø Ü Ö ½½ ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ù Ø x n n N Ò Ô Ö 1+xn x 0 = 0 Ø n N, x n+1 =. x ch k n N ½

2 ¾ ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ËÍÁÌ Ë ÆÇÅ Ê Ë Ê ÄË ÇÍ ÇÅÈÄ Ë ½ ØÙ Ö Ð Ù Ø x n n N ¾ ÅÓÒØÖ Ö Õ٠гÓÒ Ô ÙØ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ò Ù ÔÖÓ Ù Ø Ò¹ + 1+x n Ò ÔÙ ÐÙÐ Ö Ð Ú Ð ÙÖ C ÔÖÓ Ù Ø n=0 Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÔÓÙÖÖ ØÙ Ö θ n = arccosx n Ü Ö ½¾ ËÓ Ø u n n N Ð ÒÓÑ Ö ³ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n Ö ¹ Ò Ø Ò ÓÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ð ÕÙ Ò 13 Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ñ Ð Ò u 0 = 1 Ö ÙÐ 0 Ò³ Ñ Ø ÙÙÒ Ö Ò Ø Ø u = # 10,99 \{13} = 89 Ô Ö Ü ÑÔÐ ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ n N u n+ = 10u n+1 u n ¾ Ø ÖÑ Ò Ö u n Ò ÓÒØ ÓÒ n Ü Ö ½ ËÓ Øu n n N ÙÒ Ù Ø ÇÒ ÔÓ v n = u 1 +u + +u n n ÑÓÝ ÒÒ ÖÓ ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ u Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ø l ÐÓÖ v Ù ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ u Ø ÖÓ ÒØ Ð Ö ÔÖÓÕÙ Ù ½ Ø ÚÖ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ u n+1 u n 1 ÐÓÖ u n n Ä Ö ÔÖÓÕ٠٠ع ÐÐ ÚÖ ËÓ Ø u n n Z ÙÒ Ñ ÐÐ ÒÓÑ Ö Ö Ð Ø ÐÐ ÕÙ n Z, u n u n 1 +u n+1. ÇÒ ÙÔÔÓ ÔÐÙ Ð Ñ ÐÐ u n n Z Ñ ÓÖ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ÐÐ u n n Z Ø ÓÒ Ø ÒØ ÇÒ ÔÖ Ò ÙÒ Ù ÐÐ Ô Ô Ö Ø ÓÒ Ö Ð n Ó Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒ ÔÐ Ð Ù ÐÐ Ò ÙÜ Ò ÔÓÖØ ÒØ Ð Ø ÖÓ Ø ÙÖ Ð Ø Ù ÇÒ ÔÐ Ò Ù Ø Ð Ù ÐÐ Ø ÓÒ ÒÓØ u n Ð ÒÓÑ Ö Ö ÙÜ Ø v n Ð ÒÓÑ Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ö u n Ø v n Ò ÓÒØ ÓÒ n ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù Ø Ù Ú ÒØ Ò ÕÙ Ð Ò ØÙÖ Ð Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ÓÙ Ú Ö ÒØ µ n 3n sinn 3 +e n 3n 4 17n 3 +8lnn ln 5 n 1 3 n 3n n+1 ln3 lnn 5 n +3 n +4 n 3 n 4 n +5 n + n+3 lnn 7n 4 ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u n = ØÓÒ ÔÙ ÓÒÚ Ö ÒØ ¾ Ë ÑÔÐ Ö u n +u n+ π/4 0 tan n t dt Ø ÑÓÒÓ¹ Ò Ù Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ù Ø u n n N ½ ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г ÕÙ Ø ÓÒ x 3 = 1 nx Ñ Ø ÙÒ ÙÐ ÓÐÙØ ÓÒ ÙÖ [0,+ [ Õ٠гÓÒ ÒÓØ x n ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø x n n N Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ¹ ÒØ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø x n n N Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ø ÐÙ¹ Ð Ö Ð Ñ Ø l Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ x n l Ù ÚÓ Ò + Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù Ø Ù Ú ÒØ n + lnn n n n +n! 3 n n+1! e lnn n n n+1 e n n cose n 1 n N Ü Ö ¾¼ ÐÙÐ Ö lim u n Ò Ð Ù Ú ÒØ 1 k u n+1 = 1 u n +3 u n+ = 5 6 u n u n Ø u 0 = 1 Ø u = 1 k 1 k= Ü Ö ¾½ ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ x R sinx x x k ¾ Ø ÖÑ Ò Ö lim sin n Ü Ö ¾¾ ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ù Ø u n n N Ò Ô Ö u 0 > 0 Ø n N u n+1 = u n n. ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø n 0 N Ø Ð ÕÙ u n0 n 0 ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ n n 0 u n n Ø Ð Ö ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÒØÖ u n+ u n ÔÓÙÖ ØÓÙØ n n 0 ÓÒÒ Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ u n ÐÓÖ ÕÙ n Ø Ò Ú Ö + Ü Ö ¾ ËÓ Ø u Ð Ù Ø ÓÒØ Ð Ù ÓÒ Ú Ð ÙÖ Ø 1 ÔÙ ÙÜ Ó ÔÙ ØÖÓ Ó 3 ÔÙ ÕÙ ØÖ Ó 4 Ø ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ lim u n = + ¾ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ u n

3 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö n г ÕÙ Ø ÓÒ x = lnx+ n Ñ Ø ÙÒ ÙÐ ÓÐÙØ ÓÒ x n Ò ]0,1[ ÔÙ ØÙ Ö Ð Ù Ø x n Ø ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÙÜ Ø ÖÑ Ò Ø ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n Þ Ö Ò Ù¹ Ô Ö ÙÖ ÙÒ ÒØ Ö n 0 г ÕÙ Ø ÓÒ chx = nx+ 1 Ñ Ø ÙÜ ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÐÐ x n < y n ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø x n n n0 Ø y n n n0 ÓÒØ ÑÓ¹ ÒÓØÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÙÜ ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ Ò Ð Ú ÐÓÔ¹ Ô Ñ ÒØ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÕÙ ÒØ Ø x n Ø y n ÐÓÖ ÕÙ n Ø Ò Ú Ö + ÐÙÐ Ö lim u n Ò Ð Ù Ú ÒØ k 4 k k +3k 1 k coskx k 1 n k ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ n N!x n > 0 x n n +x n = 1 ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø x n Ø ÖÓ ÒØ ÔÙ ÓÒÚ Ö¹ ÒØ Ú Ö ÙÒ Ð Ñ Ø l Ø ÖÑ Ò Ö ÐÙÐ Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ x n l ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö n 3 г ÕÙ Ø ÓÒ e x = nx Ñ Ø Ü Ø Ñ ÒØ ÙÜ ÓÐÙØ ÓÒ Ò R ÇÒ ÒÓØ a n < b n ÙÜ ÓÐÙØ ÓÒ ¾ ØÙ Ö Ð Ù Ø a n n 3 Ø b n n 3 Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÕÙ ÒØ Ø a n Ø b n ØÖÓ Ø ÖÑ Ò Ø ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö n г ÕÙ Ø ÓÒ e x = n x ³ ÒÓÒÒÙ x R Ñ Ø ÙÜ ÓÐÙØ ÓÒ Ö ÐÐ u n < v n ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u n n Ø v n n ÓÒØ ÑÓÒÓ¹ ØÓÒ ËÓÒع ÐÐ ÓÒÚ Ö ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÙÜ ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ Ò Ð Ú ÐÓÔÔ ¹ Ñ ÒØ ÝÑÔØÓØ ÕÙ ÕÙ ÒØ Ø u n Ø v n ÐÓÖ ÕÙ n Ø Ò Ú Ö + ËÙ Ø ÒÓÑ Ö ÓÑÔÐ Ü Ü Ö ¼ ½ ËÓ Ø u n n N Ø v n n N ÙÜ Ù Ø Ú Ð ÙÖ Ò [0,1] ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ϕ : N N ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ Ø ÐÐ ÕÙ Ð ÙÜ ÓÙ ¹ Ù Ø u ϕn n N Ø v ϕn n N Ó ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ¾ ËÓ Ø z n n N ÙÒ Ù Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÐ ÕÙ p q z p z q 1 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ lim z n = + Ü Ö ½ ØÙ Ö Ð Ù Ø z Ò Ô Ö z n+1 = z n + z n Ø z 0 C Ü Ö ¾ ËÓ Ø z n n N ÙÒ Ù Ø ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ p q Ò N ÐÓÖ z p z q 1 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ lim z n = + Ì Ñ Ú Ö Ü Ö ËÓ Ø α > 0 ÙÒ ÒÓÑ Ö ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð ÇÒ ÔÓ Ð³ Ò Ñ Ð { A = p α q ; p,q N }. ½ ËÓ Ø n N µ ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г Ò Ñ Ð { } {kα} ; k 1,n ÓÒØ ÒØ n Ð Ñ ÒØ Ó {x} Ò Ð Ô ÖØ ¹ Ñ Ð Ù Ö Ð x ] µ Ò Ù Ö Õ٠г Ò Ñ Ð A 1 n, 1 [ ÓÒØ ÒØ n Ù ÑÓ Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ µ Ò Ù Ö Õ٠г Ò Ñ Ð A Ø Ò Ò R ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø sinn n N Ø cosn n N ÓÒØ Ò Ò [ 1,1] ËÓ ÒØ r N ÔÙ a 1,,a r Ð Ñ ÒØ Ò 0,9 Ú a 1 0 µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö α = ln Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð ln10 µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÔÙ Ò ÓÒØ Ð³ Ö ¹ ØÙÖ Ñ Ð Ø Ð ÓÖÑ a 1 a a r ÇÒ Ò Ø u 0 = 0 Ø u n+1 = fu n Ú fx = 1+x 3+x ½ Ê ÓÙ Ö fx = x ÇÒ ØÖÓÙÚ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ l ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ n N u n l ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø w n = 1 u n l Ö Ö Ò Ø ÙÒ Ù Ø n N

4 ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ËÍÁÌ Ë ÆÇÅ Ê Ë Ê ÄË ÇÍ ÇÅÈÄ Ë ÐÙÐ Ö ξ = lim u n ÔÙ ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ u n ξ ÇÒ ÔÓ u n = 1 k 1 k ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u n n N Ø u n+1 n N ÓÒØ ÒØ ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u n n N ÓÒÚ Ö ÐÙÐ Ö Ð Ð Ñ Ø ØØ Ù Ø ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ö ÒØ Ö¹ Ú Ò Ö ÒØ Ö Ð ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø n cosk k Ø ÓÒÚ Ö ÒØ n N ¼ ÈÓÙÖ ØÓÙØ n N ÓÒ ÒÓØ d n Ð ÒÓÑ Ö Ú ÙÖ ØÖ Ø ¹ Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ð³ ÒØ Ön Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ò Ñ Ð Ú Ð ÙÖ ³ Ö Ò Ð Ù Ø d n n N ½ ËÓ Ø f : [0,1] [0,1] ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÖÓ ÒØ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f Ù ÑÓ Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ Ü ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u n = ÓÒØ ÒØ 1 k! Ø v n = u n + 1 n n! ¾ ÇÒ ÔÓ e = lim u n ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ e Ø Ö Ø ÓÒ¹ Ò Ð ÇÒ ÔÓ e = p/q Ú p Ø q Ò N µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ n N u n < e < v n µ Ò Ù Ö ÕÙ e Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N Ð ÒÓÑ Ö 3+ 5 n n Ø ÙÒ ÒØ Ö ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø sin 3+ 5 n π n N Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ê ÔÖ Ò Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÑÔÐ ÒØ Ô Ö 3+ 5 Ø 3 5 Ô Ö 3 5 ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ Ù Ø Ø Ø Ø ÓÒÒ Ö ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ù Ø ³ ÒØ Ö Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ø ÙÐ Ñ ÒØ ÐÐ Ø Ø Ø ÓÒÒ Ö ¾ ÉÙ³ Ò Ø¹ Ð ³ÙÒ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ð ÙÖ Ò Z ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ Ù Ø Ö ÐÐ u n n N Ø Ù Ý ε > 0, n 0 N, p q n 0, u p u q ε. ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙØ Ù Ø Ö ÐÐ ÓÒÚ Ö ÒØ Ø Ù¹ Ý ¾ Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ Ó Ø u n n N ÙÒ Ù Ø Ö ÐÐ Ù¹ Ý µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u n n N Ø ÓÖÒ µ ÇÒ Ø ÐÓÖ ÕÙ Ð Ù Ø Ñ Ø ÙÒ Ú Ð ÙÖ ³ ¹ Ö Ò l ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u n n N ÓÒÚ Ö Ú Ö l application: Ó Ø u n n N ÙÒ Ù Ø Ö ÐÐ ÇÒ ÔÓ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N S n = u k Ø R n = u k. ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø R n n N ÓÒÚ Ö ÐÓÖ Ð Ù Ø S n n N ÓÒÚ Ö ÍÒ Ô Ù ÔÐÙ Ð ¾ ËÓ Ø u ÙÒ Ù Ø Ö ÐÐ Ø ÐÐ ÕÙ lim u n+1 u n = 0 ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г Ò Ñ Ð Ú Ð ÙÖ ³ Ö Ò Ð Ù Ø u ÓÖÑ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ØÙ Ö Ð Ù Ø u Ò Ô Ö un + u n+1 u n+ = 0 < u 0,u 1 < 1 Ø ËÓ Ø σ : N N ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ù Ø σn l n ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ l = 1 ËÓ Ø F ÙÒ ÙÖ Ù ÔÐ Ò ÓÑÔÓÖØ ÒØ ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ò ÔÓ ÒØ Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ø Ò ÒØÖ ÙÜ ÔÓ ÒØ F Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ ÒØ Ö ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙ Ð ÔÓ ÒØ F ÓÒØ Ð Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù ÒÓÑ Ö ÔÓ ÒØ ÓÓÖ ÓÒÒ ÒØ Ö Ò Ð ÕÙ ÒØÖ O Ø Ö ÝÓÒ n È ÙعÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ô ÖØ Ö Ö ÕÙ Ñ Ñ Ø ÐÐ Ò Ð ÔÓ ÒØ Ð ÙÒ ÙÖ Ð ÙØÖ ÓÒ ÕÙ ÕÙ Ö ÕÙ Ó Ø Ò ÓÒØ Ø Ú Ù Ñ Ü ÑÙÑ ÙÜ Ö ÕÙ Ø Ø Ð Õ٠г ÔÐÓÑ Ó Ø Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ö Ò ËÓ ÒØ a {0,,9} Ø k N ËÓ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N fn Ð ÒÓÑ Ö ³ ÒØ Ö j {0,,n} Ø Ð ÕÙ Ð k¹ Ñ Ö ÔÖ Ð Ú Ö ÙÐ Ù Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ñ Ð j Ó Ø Ð a Ø ÖÑ Ò Ö lim fn Ø lim fn n ËÓ Ø r ÙÒ Ö Ø ÓÒÒ Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÒØ Ö q 1,,q n ØÓÙ Ö ÒØ Ò N 1 Ø Ð ÕÙ r = q k

5 ¾ ÓÑ Ò Ý ¹Ø¹ Ð ÔÓ Ð Ø ÔÓÙÖ Ð q k ¼ ËÓ ØPX ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ó ÒØ Ö Ð Ò ÙØ Ð ÒØ Ð³ Ô¹ ÔÐ Ø ÓÒ : QX QX +1 QX ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø expipk Ñ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò Ú Ð ÙÖ k N ³ Ö Ò ÐÓÖ PX P0 π Q[X] ½ ËÓ Ø u n n N ÙÒ Ù Ø Ö ÐÐ Ø ÐÐ ÕÙ lim u n+1 u n u n = 0 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ó Ø u n n N Ø Ò Ú Ö 0 Ó Ø u n n N Ø Ò Ú Ö +