Chapitre8: développements limités Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÆÓØ ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ ½º½ ÎÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Bản ghi

1 Chapitre8: développements limités ÌÐ ÑØÖ ½ ÆÓØÓÒ ÔÖÐÑÒÖ ¾ ½º½ ÎÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÊÐØÓÒ ÓÑÔÖ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º ÈÓÐÝÒÑ ØÖÓÒÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ ØÙ ØÓÖÕÙ ¾ ¾º½ ÒØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÖÑÙÐ ÌÝÐÓÖ¹ÓÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ Ù ÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÔÐØÓÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ º½ ËÚÓÖ ÑÒÔÙÐÖ DL º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÐÙÐ ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ØÖÑÒÖ Ð ÔÓ ØÓÒ ³ÙÒ ÓÙÖ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ ÙÒ ÙØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇØÒÖ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÝÑÔØÓØÕÙ Ò Ð³ØÙ ÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº½ ØÙ ³ÙÒ ÙØ ÑÔÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ºº¾ ØÙ ³ÙÒ ÙØ ÖÙÖÖÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

2 ½ ½º½ ÆÓØÓÒ ÔÖÐÑÒÖ ÎÓ Ò ÒØÓÒ ½ ËÓØ a Rº ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ ÔÖØ V R Ø ÙÒ ÚÓ Ò a V ÓÒØÒØ ÙÒ ÔØØ ÒØÖÚÐÐ [a ε,a+ε] ÙØÓÙÖ a Ú ε > 0º ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ ÔÖØ V R Ø ÙÒ ÚÓ Ò + Ö Ô µ V ÓÒØÒØ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ Ð ÓÖÑ [ξ,+ [ Ö Ôº Ð ÓÖÑ ],ξ]µº ÜÑÔÐ ½ Ä ÒØÖÚÐÐ ÓÙÚÖØ ÓÒØ Ð ÙÐ ÒØÖÚÐÐ ÚÓ Ò ØÓÙ ÐÙÖ ÔÓÒØ º ijÒØÖÚÐÐ [0,] Ò³ Ø Ô ÙÒ ÚÓ Ò 0 Ò º ½º¾ ÊÐØÓÒ ÓÑÔÖ ÓÒ ÒØÓÒ ¾ ËÓØ a R = [,+ ] a Ø ÓØ ÙÒ ÒÓÑÖ ÖÐ ÓØ Ð + ÓØ Ð µº ËÓÒØ f Ø g ÙÜ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÚÓ Ò V aº ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ x V \{a} g(x) 0º ÇÒ ÒØ Ð ØÖÓ ÖÐØÓÒ ÓÑÔÖ ÓÒ ÙÚÒØ ÓÒ Ø ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ f Ø ÓÑÒ ÔÖ Ð ÓÒØÓÒ g Ù ÚÓ Ò a Ø ÓÒ ÒÓØ f(x) = O(g(x)) Ù ÚÓ Ò a Ð ÓÒØÓÒ f Ø ÓÖÒ ÙÖ V \{a} g ÓÒ Ø ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ f Ø ÒÐÐ ÚÒØ Ð ÓÒØÓÒ g Ù ÚÓ Ò a Ø ÓÒ ÒÓØ f(x) = (g(x)) f(x) Ù ÚÓ Ò a lim x a g(x) = 0 ÓÒ Ø ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ f Ø ÕÙÚÐÒØ Ð ÓÒØÓÒ g Ù ÚÓ Ò a Ø ÓÒ ÒÓØ f(x) g(x) Ù ÚÓ Ò a lim x a f(x) g(x) = º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ Ú Ð ÒÓØØÓÒ ÒØÖÓÙØ f(x) g(x) Ù ÚÓ Ò a Ø ÙÐÑÒØ f(x) g(x) = (g(x)) Ù ÚÓ Ò a f(x) = (g(x)) Ø g(x) = (h(x)) Ù ÚÓ Ò a ÐÓÖ f(x) = (h(x)) Ù ÚÓ Ò a x q = (x p ) Ù ÚÓ Ò 0 Ø ÙÐÑÒØ p < qº ½º ÈÓÐÝÒÑ ØÖÓÒÕÙ ÒØÓÒ ËÓÒØ P(X) = + n=0 a n X n ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ÓÒØ Ò R Ø q Nº ÇÒ ÔÔÐÐ ÔÓÐÝÒÑ ØÖÓÒÕÙ q Ø ÓÒ ÒÓØ P(X) q Ð ÔÓÐÝÒÑ P(X) q = q a n X n. n=0 ¾ ¾º½ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ ØÙ ØÓÖÕÙ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ËÓØ a Rº ËÓÒØ f : V R ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÚÓ Ò V a Ø n Nº ÇÒ Ø ÕÙ f ÑØ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ Ð³ÓÖÖ n Ò a Ø ÓÒ ÒÓØ f ÙÒ DL n (a) ³Ð Ü Ø ÙÒ ¾

3 ÔÓÐÝÒÑ P(X) R[X] Ö ÒÖÙÖ ÓÙ Ð n ØÐ ÕÙ f(a+h) = P(h)+ (h n ) Ù ÚÓ Ò 0 Ò hº. ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ Ë f ÙÒ DL n (a) ÐÓÖ Ð ÔÓÐÝÒÑ P(X) Ö ÒÖÙÖ ÓÙ Ð n Ø ÙÒÕÙº ÇÒ Ð³ÔÔÐÐ Ð ÔÖØ ÔÓÐÝÒÓÑÐ Ù ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ Ø ÓÒ Ð ÒÓØ T n f(x)º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ë f ÙÒ DL n (a) ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k {0,,n} f ÙÒ DL k (a) Ø T k f(x) = (T n f(x)) k º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ä ÓÒØÓÒ f ÑØ ÙÒ DL 0 (a) Ø ÙÐÑÒØ Ð ÓÒØÓÒ f Ø ÓÒØÒÙ Ò aº Ò Ð DL 0 (a) Ø f(a+h) = f(a)+ ()º Ä ÓÒØÓÒ f ÑØ ÙÒ DL (a) Ø ÙÐÑÒØ Ð ÓÒØÓÒ f Ø ÖÚÐ Ò aº Ò Ð DL (a) Ø f(a+h) = f(a)+f (a) h+ (h)º ÄÓÖ ÕÙ Ð ÙÒ Ò f Ø g ÓÒØ Ò Ù ÚÓ Ò 0 λ Ø ÙÒ ÖÐ ( ) T n (f +g) = T n (f)+t n (g), T n (λ f) = λ T n (f) Ø T n (f g) = T n (f) T n (g) n. ÊÑÖÕÙ ½ Ë Ð ÓÒØÓÒ f ÑØ ÙÒ DL n (a) Ú n 2 Ð Ò ÚÙØ Ô Ö ÕÙ f ÓØ n¹ó ÖÚÐ Ò a 0 ( ) x = 0 ÓÑÑ Ð ØÑÓÒ Ð³ÜÑÔÐ f(x) = x 3 sin x 0 º x 2 Ä ÓÒØÓÒ f Ò³ Ø Ô ÙÜ Ó ÖÚÐ Ò 0 Ø ÔÓÙÖØÒØ ÐÐ ÑØ ÙÒ DL 2 (0) ÚÓÖ f(h) = (h 2 ) ÔÖØ ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÒÙÐк Ë f(x) = o(x p ) Ù ÚÓ Ò 0 ¹Ø¹ÓÒ o(x p ) = f(x) Ù ÚÓ Ò 0 ¾º¾ ÓÖÑÙÐ ÌÝÐÓÖ¹ÓÙÒ ÌÓÖÑ ½ ËÓØ f : V R ÙÒ ÓÒØÓÒ Ð C n º ÐÓÖ Ð ÓÒØÓÒ f ÑØ ÙÒ DL n (a) Ø f(a+h) = f(a)+f (a) h+ f (a) 2! h f(n) (a) n! h n + (h n ). ÜÑÔÐ ¾ ØÖÑÒÖ Ð DL 4 ((0) arcsinº ) 2+x ØÖÑÒÖ Ð DL 3 () ln 3 x+x 2 º

4 ¾º ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ Ù ÙÐ ÅØÓ ÉÙÐ ºÄ n (0) ÖØÒÖ ÎÓ Ð Ð Ø DL(0) ÓÒÒØÖ ÓÙ ÚÓÖ ÖØÖÓÙÚÖ e x = +x+ x2 2! + x3 xn + + 3! n! + (xn ) chx = + x2 2! + x4 4! + x6 x2n + + 6! (2n)! + ( x 2n+) shx = x+ x3 3! + x5 5! + x7 x2n ! (2n+)! + ( x 2n+2) cosx = x2 2! + x4 4! x6 x 2n 6! + +( )n (2n)! + ( x 2n+) sinx = x x3 3! + x5 5! x7 x 2n+ 7! + +( )n (2n+)! + ( x 2n+2) (+x) α = +α x+ α(α ) 2! x α(α ) (α n+) n! +x = x+x2 x 3 +x 4 + +( ) n x n + (x n ) ln(+x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + x ( )(n ) xn n + (xn ) arctanx = x x3 3 + x5 5 x7 x 2n ( )n 2n+ + ( x 2n+2) x n + (x n ) ÊÑÖÕÙ ¾ ÈÙÚÒØ ÙÖ ÖØÑÒØ ÓÖÑÙÐ ÔÖÒØ u = +u+u2 +u 3 + +u n + (u n ) Ø ln( u) = u u2 2 u3 un 3 n + (un ) ÔÔÐØÓÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ º½ ËÚÓÖ ÑÒÔÙÐÖ DL ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ ÙÒ Ä ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ ÙÒ Ä n (x 0 ) f(x) ÖÑÒÖ ÙÒ Ä(0) Ò ÔÓ ÒØ h = x x 0 ØÙÖ Ð Ä n (0) f(x 0 +h) Ò ÓÒØÓÒ hº ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ ÙÒ Ä n (0) Ò ÙÒ ÓÑÑ f(x)+g(x) ÓÙ ÙÒ ÔÖÓÙØ f(x) g(x) ØÙÖ Ð Ä n (0) f(x) Ø g(x) Ö Ð ÓÑÑ ÓÙ Ð ÔÖÓÙØ ÔÖØ ÔÓÐÝÒÓÑÐ Ð Ö ØÓÑÖ ØÓÙ Ð ØÖÑ Ò x n+ x n+2 غ ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ ÙÒ Ä n (0) Ò ÙÒ ÕÙÓØÒØ f(x) g(x) ØÙÖ Ð Ä n (0) f(x) Ø g(x) Ù ÒÓÑÒØÙÖ ØÓÖ Ö ÔÖ Ð ØÖÑ ÔÖÔÓÒÖÒØ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ Ð ÓÖÑ +ε(x) Ú ε(x) 0 ÙØÐ Ö Ð Ä n (0) +u = u+u2 + +( ) n u n + (u n ) Ò ÖÑÔÐÒØ ÕÙuÔÖε(x) Ð Ö ØÓÑÖ ÕÙ ØÖÑ Ò x p Ú p > n ÓÒ ÓØÒØ Ð Ä n (0) ØÙÖ Ð Ä n (0) Ù ÔÖÓÙØ f(x) g(x) º g(x)

5 ÜÑÔÐ ØÖÑÒÖ Ð DL 6 ((0) argshº ) 2+x ØÖÑÒÖ Ð DL 4 () ln 3 x+x 2 º ÜÑÔÐ ËÓØ f : I R ÙÒ ÓÒØÓÒ ÑØØÒØ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ ØÓÙØ ÓÖÖ Ò 0 Ó I Ø ÙÒ ÚÓ Ò 0º ½º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ f Ø ÔÖ Ö Ôº ÑÔÖµ ÐÓÖ ØÓÙ Ð ØÖÑ ÔÙ Ò ÑÔÖ Ö Ôº ÔÙ Ò ÔÖ µ ÓÒØ ÒÙÐ Ò Ð DL(0) Ð ÓÒØÓÒ fº R R ¾º Ä ÖÔÖÓÕ٠عÐÐ ÚÖ ÇÒ ÔÓÙÖÖ ÓÒ ÖÖ Ð ÓÒØÓÒf : 0 ( x 0 x exp ) º x > 0 x ÜÑÔÐ ØÖÑÒÖ Ð ÚÐÓÔÔÑÒØ ÐÑØ ÙÚÒØ DL 5 (0) ( x ln( x+2x 2 ) π ) DL 4 x exp(cosx) 3 DL 3 () t +t2 3 t+t 3 DL 6 (0) t (cost) sin(t2 +t 3 ) ln(2+t) º ÅØÓ ÓÑÑÒØ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ Ä ÔÖ ÒØÖØÓÒ ÈÓÙÖ ÓØÒÖ ÙÒ Ä n (a) f(x) ÔÖ ÒØÖØÓÒ ÖÑÒÖ ÙÒ Ä n (0) Ò ÔÓ ÒØ h = x a ÔÓ Ö g(h) = f(a+h) ÐÙÐÖ Ð Ä n (0) g (h) ÒØÖÖ ØÖÑ ØÖÑ ÒØÖ 0 Ø h ÓÒ Ð Ä n (0) g(h)º ÜÑÔÐ ØÖÑÒÖ Ð DL ÙÚÒØ DL n (0) arcsin Ø arccos DL 0 (0) x tanx DL 4 (+ ) x cos(2arctanx) = x2 ( +x 2 DL 2 (0) x ln chx+ cosx ) 2+sinx º¾ ÐÙÐ ÐÑØ ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÚÖ ÙÒ ÓÖÑ ÒØÖÑÒ Ð ÓÖÑ 0 0 ÇÒ ÚÙØ ÐÙÐÖ lim ÙÒ ØÐÐ ÓÖÑ ÒØÖÑÒº ÈÓÙÖ Ð ÐÚÖ g(x) ÔÓ Ö h = x a Ö ÙÒ Ä (0) f(a+h) Ø g(a+h) ÔÖÓÖ ³ÚÒØÙÐÐ ÑÔÐØÓÒ ÔÓÙÖ ÓÙØÖ ÙÒ ÓÖÑ ØÖÑÒ Ð Ò ÓÒÒ ÖÒ Ô Ö Ð³ÓÖÖ ÙÔÖÙÖº x a f(x)

6 ( ÜÑÔÐ Ë z C ÐÙÐÖ lim + z nº n + n) (8cos 2 x 2cosx ) 2 ÐÙÐÖ lim º x π/3 e 4x2 e 4π2 /9 Ë α > 0 ÐÙÐÖ Ð ÐÑØ ÚÒØÙÐÐ sh(sin(t)) sin(sh(t)) t α ÐÓÖ ÕÙ t ØÒ ÚÖ 0º º Ä ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ ÅØÓ ÓÑÑÒØ ØÖØÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ ÐÓÐÑÒØ ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ð C Ò Ù ÚÓ Ò aº ÈÓÙÖ ÚÓÖ f ÖÐ ÐÓÐÑÒØ ÙÒ ØÓÒ Ò a ÑÓÒØÖÖ ÕÙ f (a) 0 Ð ÓÒØÓÒ f ÖÐ ÐÓÖ ÙÒ ØÓÒ ³ÙÒ ÚÓ Ò a ÚÖ ÙÒ ÚÓ Ò f(a) Ø ÐÓÐÑÒØ Ò f(a) Ð ÓÒØÓÒ f Ø ÖÚк ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ ÙÒ DL n (f(a)) f ÐÙÐÖ Ð Ä n (0) f(a+h) ÔÓ Ö f (f(a)+h) = a+α h+ +α n h n + (h n ) ÙØÐ Ö ÚÒØÙÐÐÑÒØ Ð ÝÑØÖ f f ÔÖ Ö Ôº ÑÔÖµ f ÐÑÒØ Ø Ð ØÖÑ ³Ò ÔÖ Ö Ôº ÑÔÖ µ ÓÒØ ÒÙÐ ÙØÐ Ö Ð ÓÖÑÙÐ f (f(a+h)) = a+h ÔÓ Ö Ò Ð DL n (0) f (f(a)+h) h = f(a+h) f(a) ÒØÖ Ð ØÖÑ Ò Ð ÙÜ Ä n (0) ÓØÒÖ ÖØÑÒØ α ÔÙ α 2 غ ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ Ð DL 4 (0) arcsin ÔÖ ÖÚØÓÒ Ø ÔÖ ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙº ÅÓÒØÖÖ ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ f : x x 2 +shx ÖÐ ÙÒ ØÓÒ C Ò 0 Ø Ö Ð DL 3 (0) f º º ØÖÑÒÖ Ð ÔÓ ØÓÒ ³ÙÒ ÓÙÖ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ ÙÒ ÙØÖ ÅØÓ ÓÑÑÒØ ØÙÖ ÙÒ ÖÒ ÒÒ ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò Ù ÚÓ Ò + º ÈÓÙÖ ØÙÖ ÖÒ ÒÒ ÑÔÐÖ f(x) x ÓÑÑÒÖ Ð Ä(+ ) Ò ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÔÓ ÒØ h = x Ð ØÖÑ ÓÒ ØÒØ a 0 ÒÕÙ Ð ÖØÓÒ ÝÑÔØÓØÕÙ Ð ØÖÑ a h ÒÕ٠г ÝÑÔØÓØ Ø Ð ØÖÑ ÙÚÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ ÒÕÙ Ð ÔÓ ØÓÒ ÓÙÖ» ÝÑÔØÓغ ÜÑÔÐ ØÙÖ Ð ÖÒ ÒÒ Ð ÓÒØÓÒ x 4 2x ( 4 +3x 3 ) x 2 +x+4º 2x ØÙÖ Ð ÖÒ ÒÒ Ð ÓÒØÓÒ x (x+5) exp x 2 º

7 º ºº½ ÇØÒÖ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÝÑÔØÓØÕÙ Ò Ð³ØÙ ÙØ ØÙ ³ÙÒ ÙØ ÑÔÐØ ÜÑÔÐ ½¼ ½º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N гÕÙØÓÒ tanx = x ÑØ ÙÒ ÙÐ ÓÐÙØÓÒ Ò Ð³ÒØÖÚÐÐ I n = ] π 2 +nπ, π 2 +nπ [ º ÇÒ Ð ÒÓØ u n º ¾º ØÖÑÒÖ ÙÒ ÚÐÓÔÔÑÒØ ÝÑÔØÓØÕÙ Ð ÙØ (u n ) n N ØÖÓ ØÖÑ ÒØ º ºº¾ ØÙ ³ÙÒ ÙØ ÖÙÖÖÒØ ÜÑÔÐ ½½ ÇÒ ÒØ Ð ÙØ v ÔÖ v 0 = Ø n N, v n+ = argsh(v n ). ½º ØÙÖ Ð ÙØ vº ( ¾º ØÖÑÒÖ α > 0 Ø l 0 ØÐ ÕÙ Ð ÙØ w n = vn+ α ) vn α ÓØ ÓÒÚÖÒØ ÐÑØ lº n N º ØÖÑÒÖ ÙÒ ÕÙÚÐÒØ v n ÐÓÖ ÕÙ n ØÒ ÚÖ + º