C:/Users/Roupoil/Documents/Boulot/Ch16ApplicationsLineaires/TD9cor.dvi

Bản ghi

1 Ì Ò Ó ÓÖÖ ÈÌËÁ ÄÝ Ð ¾ ÚÖ Ð ¾¼½ Ü Ö ½ ½º ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ Ñ ÐÐ ÕÙ ØÖ Ú Ø ÙÖ Ò ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ÓÒ 4 Ð Ù Ø ÓÒ ÔÖÓÙÚ Ö ÕÙ³ ÐÐ Ø Ð Ö ÔÓÙÖ ÕÙ³ Ð ³ ³ÙÒ º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÓÒ ÕÙ a(,0,0,0) + b(0,,,0) +c(,0,0, ) +d(,,,0) = 0º Ä ÖÒ Ö ÓÓÖ ÓÒÒ ÓÒÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ c = 0 Ø Ð ÒÓÙ Ö Ø ÐÓÖ Ð ØÖÓ ÕÙ Ø ÓÒ a + b = b + d = b d = 0º Ä ÓÑÑ Ø Ð Ö Ò ÙÜ ÖÒ Ö ÓÒ Ø ÓÒ ÑÔÐ ÕÙ ÒØ ÕÙ b = d = 0 Ø ÓÒ Ò Ù Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ a = 0º Ä Ñ ÐÐ Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ø ³ Ø ÙÒ R 4 º ¾º ÈÙ ÕÙ Ð Ñ ÐÐ (u,u,u, u 4 ) Ø Ò Ö ØÖ R 4 ÓÒ Ô ÙØ Ö Ø Ñ ÒØ Ö ÕÙ F +G = Vect(u,u,u 3,u 4 ) = R 4 º È Ö ÐÐ ÙÖ Ð ÙÜ ÓÙ ¹ Ô F Ø G ÓÒØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÒØ Ò Ò Ö Ô Ö ÙÒ Ñ ÐÐ Ð Ö ÙÜ Ú Ø ÙÖ µ ÓÒ dim(f) + dim(g) = 4 ÕÙ Ù Ø ÔÖÓÙÚ Ö ÕÙ F G = R 4 º º µ ÁÐ ÙØ Ú Ö Ö ÕÙ f Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ò ÔÓ ÒØ u = (,y,z,t) Ø v = (,y,z,t ) ÓÒ f(λu+v) = (λ+ λy y +λz+z +λt+t,λy+y +λz+z,λy+y + λz+z,0) = λ( y+z+t,y+z,y+z,0)+( y +z +t,y +z,y +z,0) = λf(u)+f(v)º ij ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ð ³ Ø Ò ³ÙÒ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ R 4 º µ ÈÓÙÖ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓÝ Ù ÓÒ Ö ÓÙØ Ð Ý Ø Ñ y + z + t = 0 y + z = 0 y + z = 0 Ò³ Ø Ô ØÖÓÔ ÓÑÔÐ ÕÙ z = y ÓÒ Ö ÔÓÖØ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ( y + t) = 0 Ó Ø t = y Ø ÓÒ ker(f) = {(,y, y,y ) (,y) R } = Vect((,0,0, );(0,,,))º Ä ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ ÒÓØÖ Ñ ÐÐ Ò Ö ØÖ Ø ÒØ Ð u 3 Ð ÔÔ ÖØ ÒØ ÖØ Ò Ñ ÒØ Gº ÔÐÙ (0,,,) = (,,,0) (,0,0, ) = u 4 u 3 ÔÔ ÖØ ÒØ Ù Gº ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ ker(f) G ØÓÙØ Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö ÒÓ ÙÜ Ú Ø ÙÖ ÖÓÒØ Ù Ð Ñ ÒØ Gµº ÇÖ dim(ker(f)) = = dim(g) Ð ÙÜ Ú Ø ÙÖ Ó Ø ÒÙ Ò³ Ø ÒØ Ñ Ò Ø Ñ ÒØ Ô ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒÒ Ð µ ÓÒ ker(f) = Gº µ ÇÒ ÐÙÐ Ð Ñ Ú Ø ÙÖ Ð ÓÒ ÕÙ Im(f) = Vect((,0,0,0);(,,,0); (,,,0);(,0,0,0))º ÇÒ Ô ÙØ Ò Ö ÙÔÔÖ Ñ Ö Ð ÖÒ Ö Ú Ø ÙÖ ÕÙ Ø ÒÙØ Ð Ñ Ù Ð ÙÜ Ñ (,,,0) = (,,,0) (,0,0,0)º ÉÙ ØØ Ú Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ Ô Ö ÙÜ ÓÒ ÓÒ Im(f) = Vect((,0,0,0);(,,,0))º Ä ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ Ø Ð u Ð ÙÜ Ñ u +u Ð ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ ØÓÙ Ð ÙÜ F Ø ÓÒ ÓÒÐÙØ Ü Ø Ñ ÒØ ÓÑÑ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÕÙ Im(f) = F º µ ÐÙÐÓÒ ÓÒ Ø Ñ ÒØ f f(,y,z,t) = f( y + z + t,y +z,y + z,0) = (( y+z+t) (y+z)+(y+z),y+z+y+z,y+z+y+z,0) = f(,y,z,t) Ð ÐÙÐ Ø ( ) f ÚÖ Ñ ÒØ Ð µ ÓÒ Ò Ø f = f º ÇÒ Ô ÙØ Ò Ù Ö ÕÙ = 4 f = f ÕÙ Ö Ú ÒØ Ö ÕÙ f Ø ÙÒ ÔÖÓ Ø ÙÖ ÙÖ F Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ G Ð Ú ÓÒ Ô Ö ÙÜ Ò³ Ý ÒØ ÙÙÒ Ø ÙÖ Ð ÒÓÝ Ù Ø Ð³ Ñ µº ij ÔÔÐ Ø ÓÒ f Ø ÐÓÖ Ð ÓÑÔÓ ØØ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ ÓÑÓØ Ø Ö ÔÔÓÖØ º º ½

2 µ ÇÒ Ô ÙØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÐÙÐ Ö (f id) = f f + id = id ÓÒ g = id Ø g Ø Ü Ö ¾ ÙÒ ÝÑ ØÖ º Ò Ø ÓÒ Ô ÙØ ÓÒ Ø Ø Ö ØÖ ÒØ ÐÐ ÑÑ ÒØ ÕÙ g = f id ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ g Ø Ð ÝÑ ØÖ Ý ÒØ Ð Ñ Ñ Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ø ÙÖ f ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ð ÝÑ ØÖ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ F Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Gº ½º ÇÒ Ô ÙØ ÒÓÖÑ Ð Ö ÙÖ R ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÑÓ Ò y y = 0 ÓÒØ Ð + ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ y h : Ke ln( +) = K + Ú K Rº ¾º Ö ÓÒ ÓÒ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ g Ø ÐÐ ÕÙ g() = a+bº ÇÒ ÐÓÖ g () = a Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ a( + ) a b = + Ó Ø b+a = + ÕÙ ÓÒØ ÓÒÒ Þ Ð Ñ ÒØ Ò ÔÓ ÒØ a = Ø b = º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø g() = ÓÒÚ ÒØ Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ (E) ÓÒØ ØÓÙØ Ð ÓÒØ ÓÒ Ð ÓÖÑ y K : K + + Ú K Rº º ÇÒ ÐÙÐ y K K () = + + ÓÒ y K() = K Ø y K () = + K º Ä Ø Ò ÒØ Ñ Ò ÓÒ ÔÓÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ y = ( + K ) ( )+K = + K + K º º ÁÐ Ù Ø ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ ÐÐ y Ò Ô Ò ÔÐÙ K Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ º ³ Ø Ð ÔÓÙÖ = ÓÒ ÐÓÖ y = ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ ØÓÙØ ÒÓ Ø Ò ÒØ ÓÙÔ ÒØ Ù ÔÓ ÒØ A(, )º º µ ÇÒ Ø ÕÙ + = o( ) ÓÒ o( ) = o( )º ++ = µ ÈÓ ÓÒ ÓÒ h = ÕÙ Ø Ò Ö Ú Ö 0 ÕÙ Ò Ø Ò Ú Ö Ø ÐÙÐÓÒ y K () = y K ( + h) = + h + K (+h) + = h + K +h+ h º ü г Ù ÐÙÐ ÔÖ ÒØ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÐÓÖ y K (+h) = h+k + K h+k 8 h +o(h )º Ë ÓÒ Ø ÒØ Ö Ö ÙÒ ÚÖ Ä½ ÓÒ Ô ÙØ Ð Ö ÓÔ Ö ÓÙ Ð ÓÖÑ y K () = K ( ) + + K ( )+ K 8 ( ) +o(( ) )º µ ij ÖØ ÒØÖ Ð ÓÙÖ Ø Ð Ø Ò ÒØ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ K 8 ( ) Ù Ò Ö K = 0 Ñ Ò Ð ÓÒØ ÓÒ y K Ø Ò Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÓÒ ÓÒ Ù Ú Ø Ò ÒØ µ ÓÒØ Ð Ò Ô Ò ÐÙ Kº Ë K > 0 Ð ÓÙÖ Ö ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ù¹ Ù Ø Ò ÒØ K < 0 ÐÐ Ö ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ò¹ ÓÙ Ð Ø Ò ÒØ º º ÆÓÙ ÔÓ ÓÒ Ò Ö X = Ø ÐÙÐÓÒ f() = X +K + º ÇÒ ÙÔÔÓ X > 0 X ÔÓÙÖ ÓÖØ Ö ÙÒ Ø ÙÖ X Ð Ö Ò ÖÖ Ø Ò Xf() = X+K +X = X+ ( K + ) X +o(x ) = +K X+ K X +o(x ) Ó Ø f() = +K X +K X+o(X) = (K +) + K ( ) +o º ÇÒ Ð Ñ Ò ÒÓÖ ÙÒ Ó Ð K = 0 Ó Ð ÖÓ Ø y = Ø Ò ÒØ Ò Ù ÝÑÔØÓØ ÔÙ ÕÙ³ ÐÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ù Ú Ð ÓÙÖ µº Ë K 0 Ð ÖÓ Ø ³ ÕÙ Ø ÓÒ y = (K +) Ø ÝÑÔØÓØ Ð ÓÙÖ Ò + Ø ÓÑÑ Ð³ ÖØ Ú f() Ø ¾

3 ÕÙ Ú Ð ÒØ K Ð ÓÙÖ C K Ø Ù¹ Ù ÓÒ ÝÑÔØÓØ Ù ÚÓ Ò + ÐÓÖ ÕÙ K > 0 ÐÐ Ø Ò¹ ÓÙ ÒÓÒº Ò ÓÒ Ò ÓÖØ Ô ÙÒ Ø ÙÖ X Ð Ö Ò ÖÖ Ñ ÙÒ Ø ÙÖ º ÇÒ ØÖÓÙÚ X ÐÓÖ f() = K X K X +o(x) = ( K) K ( ) +o º Ä ÖÓ Ø ³ ÕÙ Ø ÓÒ y = ( K) Ø ÓÒ ÝÑÔØÓØ Ó Ð ÕÙ Ø Ú Ð Ñ Ñ ÓÒÐÙ ÓÒ ÕÙ ¹ Ù ÔÓÙÖ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ð Ò Ò Ñ Ð Ý ÙÒ Ú ÒØ Ð ÓÒ Ø ÒØ ÓÑÔ Ò µº º Ä ÓÙÖ C 0 Ø ÙÒ Ø ÖÓ Ø Ô Ó Ò ³ ØØ Ö Ö ÐÓÒ Ù Ñ ÒØ Ù º ÈÓÙÖ ØÖ Ö C Ð Ö Ø ÓÒ ÓÒÒ ØÖ Ð Ú Ö Ø ÓÒ y : + +º Ä ÓÒØ ÓÒ Ø Ö Ú Ð ÙÖ R Ø y () = + + = + + º ÇÖ + > = ÓÒ Ð + ÒÙÑ Ö Ø ÙÖ ÒÓØÖ Ö Ú Ø ØÓÙ ÓÙÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ Rº ÇÒ ÓÒÒ Ø ÝÑÔØÓØ º ÍÒ ÐÙÐ Ö ÓÙÖ Ù Ñ ÒØ ÒØ ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ y Ø ÐÐ ¹ Ù ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ Rº ÎÓ Ð ÓÙÖ C Ò ÖÓÙ C 0 Ò ÒÓ Ö C Ò Ð Ùµ Ü Ö ½º ÁÐ Ý Ô Ò Ó Ò ÐÙÐ Ö ÔÓÙÖ Ó Ø Ò ÖF = Vect((,0,0);(0,,)) ØG = Vect((,,))º ÙÒ Ñ ÐÐ Ó Ø ÒÙ Ø ÓÒ ØÓÙØ Ù ÑÑ Ø ÙÒ ÓÒ ÓÙ ¹ Ô Ú ØÓÖ Ðº ¾º Ë ÙÒ Ú Ø ÙÖ u(,y,z) ÔÔ ÖØ ÒØ Ð Ó F Ø G ÐÓÖ Ô Ö Ò Ø ÓÒ y = z = y Ø z = y ÕÙ ÑÔÓ ØÖ Ð Ñ ÒØ = y = z = 0º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø F G = {0}º ÓÑÑ Ô Ö ÐÐ ÙÖ dim(f) = Ø dim(g) = Ð ÓÑÑ Ñ Ò ÓÒ ÙÜ ÓÙ ¹ Ô Ø Ð ÐÐ R 3 ÕÙ Ù Ø ÔÖÓÙÚ Ö ÕÙ F G = R 3 º º Ö ÓÒ ÓÑÔÓ Ö ÙÒ Ú Ø ÙÖ u(,y,z) ÓÙ Ð ÓÖÑ u = a(,0,0)+b(0,,)+c(,,) ÕÙ Ø ÔÓ Ð Ø ÓÒ ÙÒ ÕÙ Ò Ð Ñ ÙÖ Ó F Ø G ÓÒØ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö µº ÇÒ

4 a Ó Ø ÓÒ Ö ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ + c = b + c = y b + c = z º Ä Ö Ò ÙÜ ÖÒ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒÒ ÑÑ Ø Ñ ÒØ c = z y ÓÒØ ÓÒ Ù Ø b = y z Ø a = +y zº ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ö Ö u = u F +u G Ú u F = a(,0,0)+b(0,,) = (+y z,y z,y z) F Ø u G = c(,,) = (z y,z y,z y) Gº È Ö Ò Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÙÖ F Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ G Ø ÓÒÒ Ô Ö p(u) = u F = ( + y z,y z,y z) Ø ÔÓÙÖ Ð ÝÑ ØÖ ÓÒ s(u) = u F u G = (+y z,3y z,4y 3z)º ÇÒ Ô ÙØ Ù ÙØ Ð Ö Ð Ø ÕÙ s = p id ÔÓÙÖ Ö ØÖÓÙÚ Ö ÖÒ Ö Ö ÙÐØ Øº º µ ÇÒ ÐÙÐ Ñ ÒØ q (,y,z) = (+y z+y y,y,y) = q(,y,z) ÓÒ q = q Ø q Ø ÙÒ ÔÖÓ Ø ÙÖº µ Ä Ý Ø Ñ Ö ÓÙ Ö Ø Ð ÔÓÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ò ¹Ñ Ö Ú ÒÙ +y z = y = 0 ÓÒÒ y = 0 Ø = z Ó Ø ker(q) = Vect((,0,))º µ Å Ò Ø Ñ ÒØ dim(ker(q)) = ÓÒ dim(f)+dim(ker(q)) = 3º È Ö ÐÐ ÙÖ (,0,) / F ÔÙ ÕÙ³ Ð Ò Ú Ö Ô Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ z = y Ò ÒØ Ð ÓÙ ¹ Ô F º ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ ker(q) F = {0} Ø ÓÒ ÕÙ F Ø ker(q) ÓÒØ Ò ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö º µ Å Ø Ó Ð ÕÙ Im(q) = Vect(q(,0,0);q(0,,0);q(0,0,)) = Vect((,0,0);(,,);(,0,0))º ÇÒ Ô ÙØ Ö Ö Ð Ñ ÒØ Ù ÖÒ Ö Ú Ø ÙÖº Ä ÙÜ ÔÖ Ñ Ö ÓÒØ Ô Ö ÐÐ ÙÖ Ú Ø ÙÖ F Ð Ú Ö ÒØ z = yµ ÓÒ Ð ÙÖ ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ù ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ Im(q) F º ÇÖ dim(im(q)) = ³ ÔÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ù Ö Ò ÓÒ Im(q) = F º µ Ë u ker(q) ÐÓÖ Ô Ö Ò Ø ÓÒ q(u) = 0 Ø p q(u) = p(0) = 0º È Ö ÐÐ ÙÖ u F = Im(q) = Im(p) ÐÓÖ p(u) = q(u) = u ÔÙ ÕÙ Ð ÙÜ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒØ ÔÖÓ Ø ÙÖ µ Ø p q(u) = q(u) = uº Ä ÙÜ ÔÔÐ Ø ÓÒ q Ø p q Ó Ò ÒØ ÓÒ ÙÖ ker(q) Ø F ÕÙ³ÓÒ Ô ÙØ Ö ÖÓÙÔ Ö Ò ÙÒ E ÔÙ ÕÙ Ð ÓÙ ¹ Ô ÓÒØ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö º Ð Ù Ø ÙÖ Ö ÕÙ q = p qº ÇÒ ØÙ Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ Ñ Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ÔÖÓÙÚ Ö ÕÙ q p = p Ú ØØ Ó Ð ÓÙ ¹ Ô Ú ØÓÖ Ð F Ø G = ker(p) ÕÙ ÓÒØ ÙÜ Ù ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö µº º µ ÇÒ ÐÙÐ Ò ÜÔÐÓ Ø ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ µ r = (p+q) = p +p q+q p+q = p+q +p+q = rº ij ÔÔÐ Ø ÓÒ r Ò³ Ø ÓÒ Ô ÙÒ ÔÖÓ Ø ÙÖº µ ÇÒ Ô ÙØ ÔÓÙÖ Ô Ö Ð Ø ÑÔ Ö Ö ÕÙ r 3 = r r = r r = r = 4r Ø Ú Ò Ö ÕÙ³ÓÒ Ú ÚÓ Ö r n = n r ÕÙ ÔÖÓÙÚ Ô Ö ÙÒ Ö ÙÖÖ Ò ØÖ Ú Ð º µ ËÙÔÔÓ ÓÒ ÓÒ ÕÙ u Im(r id)º ÁÐ Ü Ø ÐÓÖ ÙÒ Ú Ø ÙÖ v Ø Ð ÕÙ u = r(v) v Ø ÓÒ ÐÓÖ r(u) = r (v) r(v) = 0 ÔÙ ÕÙ r = r ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ u ker(r)º ³ Ø Ü Ø Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÔÓÙÖ Ð³ ÙØÖ ÒÐÙ ÓÒº µ ÙÜ Ô ÓÒØ Ð Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ù Ø 0 ÔÙ ÕÙ³ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ú Ö Ö r(u) = 0 Ø r(u) = u Ò ÚÓ Ö u = 0º È Ö ÐÐ ÙÖ u Ø ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÕÙ ÐÓÒÕÙ ÓÒ Ô ÙØ ØÙ Ù Ñ ÒØ Ö Ö u = u r(u) + r(u)º Ò ØØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ r(u) Im(r) ker(r id) Ø u r(u) = (r(u) u) Im(r id) ker(r) ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÙÚ ÕÙ u ker(r)+ker(r id)º ÇÒ Ò Ø ÔÖÓÙÚ Ò Ö Ú Ò ÒØ Ð Ò Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ Ó µ ÕÙ ÒÓ ÙÜ ÒÓÝ ÙÜ ÓÒØ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö º µ ÇÒ ØÓÙØ ÕÙ³ Ð ÙØ ³ ÔÖ Ð ÐÙÐ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ h(u) = u r(u)º ÓÑÑ r(,y,z) = p(,y,z) ( +q(,y,z) = (+y z,3y z,3y z) ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ h(,y,z) = z y, z y ) 3(z y), º Ü Ö ½º Ä ÓÒØ ÓÒ arctan Ø ÒØ ÑÔ Ö f Ø Ô Ö Ð ÒÙÑ Ö Ø ÙÖ Ø ÑÔ Ö Ð ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ Ù µº Ä ÓÒØ ÓÒ f Ø Ô Ö ÐÐ ÙÖ Ò ÙÖ R º

5 ¾º Ä ÓÙÖ ÒÓÙ Ø ÕÙ arctan() = o( 4 ) Ù ÚÓ Ò 0 ÓÒ f() = ( ( + ) ) 3 3 +o( 4 ) = ( + ) 3 3 +o( 4 ) = + 3 +o( 3 )º º ÈÙ ÕÙ f Ñ Ø ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ð³ÓÖ Ö Ò 0 ÐÐ Ý Ø Ö Ú Ð ÔÖ ÚÓ Ö Ø ÔÖÓÐÓÒ Ô Ö ÓÒØ ÒÙ Ø Ò ÔÓ ÒØ f(0) = º ÔÐÙ f (0) = 0 ÕÙ Ò³ Ø Ú ÑÑ ÒØ Ù Ö ÙÖÔÖ Ò ÒØ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ô Ö º Ò Ò f() 3 > 0 ÓÒ Ð ÓÙÖ Ö Ù¹ Ù Ø Ò ÒØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ù ÚÓ Ò 0º ( ) º ³ Ø ÝÔ Ö Ð ÕÙ ÓÒ ÔÓ Ô Ö Ü ÑÔÐ g() = arctan() +arctan g Ø Ò Ø Ö Ú Ð ÙÖ ]0,+ [ Ö Ú g () = + + = + = 0 ÓÒ + g Ø ÓÒ Ø ÒØ ÙÖ R + º ÁÐ Ù Ø ÐÓÖ ÐÙÐ Ö g() = arctan() = π ÔÓÙÖ ÓÒÐÙÖ º º ÓÑÑ ÒÓÒ ÓÑÑ ³ ØÙ Ô Ö ÔÓ ÖX = ( +)arctan( X ÔÓÙÖ ÐÙÐ Öf() = X ) = X (+X )( π arctan(x)) ( π Ó Ø Xf() = ( + X ) X X + ) 3 X3 +o(x 4 ) = π X + π X 3 X3 +o(x 3 ) ÓÒØ ÓÒ Ù Ø ÕÙ f() = π + π ( ) 3 +o º ÇÒ Ó ÖÚ Ò Ð ÔÖ Ò ³ÙÒ ÝÑÔØÓØ Ó Ð ÕÙ ³ ÕÙ Ø ÓÒ y = π ( π ) Ø f()? π Ø ÔÓ Ø Ù ÚÓ Ò + Ð ÓÙÖ f Ö ÓÒ Ù¹ Ù ÓÒ ÝÑÔØÓØ Ò ÙÒ Ø Ð ÚÓ Ò º Ò Ð ÐÙÐ ÔÖ ÒØ Ò³ Ø ÔÐÙ Ö Ø Ñ ÒØ Ú Ð Ð Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ Ú Ð ÙÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú Ñ ÓÒ Ô ÙØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙØ Ð Ö Ð Ô Ö Ø f ÓÒ ÙÖ ÙÒ ÝÑÔØÓØ Ó Ð ÕÙ ³ ÕÙ Ø ÓÒ y = π Ø Ð ÓÙÖ Ö Ð Ñ ÒØ Ù¹ Ù ØØ ÝÑÔØÓØ ÙÖ ÙÒ ÚÓ Ò º º Ä ÓÒØ ÓÒh Ø Ò Ø Ö Ú Ð ÙÖ]0,[ Ø ÙÖ],+ [ Øh () = ( ) = + + ( ) = ( ) ( +) 4 ( +)( ) = ( +)( ÕÙ Ø ØÓÙ ÓÙÖ Ò Ø º ) È Ö ÐÐ ÙÖ h(0) = 0 lim = h() lim = + ÐÙÐ Ò ÙÐØ Ø ³ ÐÐ ÙÖ +h() ÒÙØ Ð ÓÒ Ò Ú ÙØ ÕÙ Ð Ò Ð ÓÒØ ÓÒ hµ Ø lim h() = π º ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ö Ö Ð + Ø Ð Ù Ú Ö Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ 0 + h 0 + π º ÙÐÓÒ ÓÒ f () = arctan()+ ( +)arctan() = ( )arctan()+ = h()º ÓÑÑ Ø ØÓÙ ÓÙÖ Ù Ñ Ñ Ò ÕÙ h() ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ f Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÔÓ Ø Ú Ø ÓÒ ÕÙ f Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ R + º Ò ÒØ Ò Ù Ô Ö Ô Ö Ø f ØØ ÖÒ Ö Ö ÖÓ ÒØ ÙÖ ],0[º º ÇÒ Ò³ÓÙ Ð Ò Ö Ô Ö Ð ÐÐ ÝÑÔØÓØ

6