coursalgebre.dvi

Bản ghi

1 Ð Ö Ô ØÖ ÈÖÓ Ù Ø Ð Ö º½ ÓÖÑ Ð Ò Ö Ò Ô Ö Ö Ô K Ò R ÓÙ Cº º½º½ Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ð Ò Ø ÓÒ º½º½ ËÓ Ø E ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÍÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö B ÙÖ E Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ B : E E K Ð Ò Ö Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÕÙ Ø ÙÖ Ð³ ÙØÖ Ø ÒØ Ü ³ ع¹ Ö µ (x, y, z) E 3, λ K, B(λx + y, z) = λb(x, z) + B(y, z) µ (x, y, z) E 3, λ K, B(x, λy + z) = λb(x, y) + B(x, z). Ä ÑÑ º½º¾ ËÓ Ø B ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÙÖ Eº ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x E B(x, 0) = B(0, x) = 0º Ä ÑÑ º½º ËÓ Ø B ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÙÖ Eº ËÓ Ø (k, l) (N ) 2 Ø Ó Ø (x 1,...,x k, y 1,..., y l ) E k+l Ø (λ 1,..., λ k, µ 1,..., µ l ) K k+l º ÐÓÖ k l k l B λ i x i, µ j y j = λ i µ j B(x i, y j ). i=1 j=1 i=1 j=1 Ò Ø ÓÒ º½º ÇÒ ÒÓØ B(E) г Ò Ñ Ð ÓÖÑ Ð Ò Ö E ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º ij Ò Ñ Ð B(E) Ø ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÙÖ Kº Ü ÑÔÐ º½º ½º B : (x, y) xy ÙÖ Rº ¾º cov : (X, Y ) cov(x, Y ) ÙÖ Ð R¹ Ô Ú ØÓÖ Ð V Ú Ö Ð Ð ØÓ Ö Ö Ø Ñ ØØ ÒØ ÙÒ Ú Ö Ò º º B : (P, Q) P(x)Q(x) dx ÙÖ R[X] ÓÙ ÙÖ C 0 ([, b])º º B : x 1 º x n, y 1 º y n º p 1 : (x, y) x ÙÖ R n i=1 x i y i ÙÖ R n

2 Ð Ö Ô ØÖ º ÈÖÓ Ù Ø Ð Ö º ϕ : (X, Y ) t XAY ÙÖ R n A M n (R)º ÖÒ Ö Ü ÑÔÐ Ø ØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö E Ø Ñ Ò ÓÒ Ò ØÓÙØ ÓÖÑ Ð Ò Ö Ô ÙØ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ ØØ ÓÖÑ ÔÖ Ó Ü ³ÙÒ E Ò ÕÙ³ÓÒ Ð ÑÓÒØÖ Ò Ð Ô Ö Ö Ô Ù Ú Òغ º½º¾ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ñ ØÖ ÐÐ ³ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö Ò Ô Ö Ö Ô ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ E Ø Ñ Ò ÓÒ Ò nº Ò Ø ÓÒ º½º ËÓ Ø ϕ ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÙÖ E Ø B = (e 1,...,e n ) ÙÒ Eº ÐÓÖ ÓÒ Ò Ø Ð Ñ ØÖ B Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð B Ô Ö Mt B (ϕ) = (ϕ(e i, e j )) 1 i,j n. Ü ÑÔÐ º½º ½º Å ØÖ Ò Ð (1) R (x, y) xy ¾º Å ØÖ Ú Ö Ò ¹ÓÚ Ö Ò º Å ØÖ Ò Ð ÒÓÒ ÕÙ ϕ : (P, Q) 1 0 P(x)Q(x) dx ÙÖ R n [X]º º Å ØÖ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ R n Ò Ð ÒÓÒ ÕÙ Ò Ð B = (b 1,...,b n ) Ó b i Ø ÓÒ Ø ØÙ 1 ÙÖ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ 1 i Ø 0 ÐÐ ÙÖ º Ì ÓÖ Ñ º½º ÜÔÖ ÓÒ Ñ ØÖ ÐÐ ϕ(x, y)µ ËÓ Ø ϕ ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÙÖ E Ø B ÙÒ Eº ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ (x, y) E 2 ϕ(x, y) = t [x] B Mt B (ϕ)[y] Bcl = t XMY, Ó X Ø Y ÓÒØ Ð Ú Ø ÙÖ ÓÐÓÒÒ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ x Ø y Ò Ð B Ø M Ø Ð Ñ ØÖ ϕ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ØØ Ñ Ñ Bº Ò Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð M 1 (R) Ñ ØÖ 1 1 Ú Ð³ Ò Ñ Ð R Ö Ð µ Ì ÓÖ Ñ º½º½¼ ËÓ Ø M M n (K)º Ä Ö Ð Ø ÓÒ ϕ(x, y) = t XMY Ö Ø Ö Ð Ñ ØÖ ϕ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ð B (x, y) E 2, ϕ(x, y) = t [x] B M[y] B, ÐÓÖ M = Mt B (ϕ)º Ü ÑÔÐ º½º½½ ij Ð Ø M bc (ϕ) = I n ØÖ Ù Ø Ô Ö ϕ(x, Y ) = t XI n Y = t XY ³ Ø Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö Ù Ù Ðº ÓÖÓÐÐ Ö º½º½¾ ij ÔÔÐ Ø ÓÒ Φ : B(E) M n (R) ϕ Mt B (ϕ) Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ º ÓÖÓÐÐ Ö º½º½ Ë E Ø Ñ Ò ÓÒ Ò n ÐÓÖ B(E) Ø Ñ Ò ÓÒ Ò Ø dim(b(e)) = n 2.

3 º¾ ÈÖÓ Ù Ø Ð Ö º½º ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½º½ Ê ÔÔ Ð ÙÖ Ð ØÖ Ò ÔÓ µ ½º Ä ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ t ( ) : M n (K) M n (K) Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö º ¾º (A, B) (M n (K)) 2, t (AB) = t B t A º ÈÓÙÖ ØÓÙØ P GL n (R) ÓÒ Ù t P GL n (R) Ø ( t P) 1 = t (P 1 )º Ì ÓÖ Ñ º½º½ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ µ ËÓ Ø E ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÙÖ KK Ñ Ò ÓÒ Ò º ËÓ Ø ϕ ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÙÖ E Ø Ó Ø C Ø D ÙÜ Eº ËÓ Ø P Ð Ñ ØÖ Ô C Dº ÐÓÖ Mt D (ϕ) = t PMP. Ü ÑÔÐ º½º½ ÜÔÐ Ø Ø ÓÒ Ù Ò Ñ ÒØ Ð ÒÓÒ ÕÙ Ð B Ò Ð³ Ü ÑÔÐ º½º ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ º º½º ÓÖÑ Ð Ò Ö ÝÑ ØÖ ÕÙ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø ÓÒ º½º½ ËÓ Ø ϕ ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÙÖ ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Eº ½º ÇÒ Ø ÕÙ ϕ Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ (x, y) E 2, ϕ(x, y) = ϕ(y, x). ¾º ÇÒ Ø ÕÙ ϕ Ø ÔÓ Ø Ú x E, ϕ(x, x) 0. º ÇÒ Ø ÕÙ ϕ Ø Ò x E, ϕ(x, x) = 0 x = 0. Ü ÑÔÐ º½º½ ½º ϕ : (x, y) xy ÙÖ R Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ Ò ÔÓ Ø Ú º ¾º cov Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ ÔÓ Ø Ú Ñ Ô Ò º º Ä ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ ÙÖ R n Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ Ò ÔÓ Ø º º ϕ : (f, g) f(t)g(t) dt ÙÖ C 0 (R) Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ Ò Ø ÔÓ Ø Ú º º¾ ÈÖÓ Ù Ø Ð Ö Ò ØØ Ø ÓÒ E Ò ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÙÖ Rº º¾º½ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ º¾º½ ÍÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÙÖ E Ø ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÝÑ ØÖ ÕÙ Ò Ø ÔÓ ¹ Ø Ú º Ò ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ ϕ : E E R Ø ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÙÖ E Ø ÙÐ Ñ ÒØ µ (x, y, z) E 3, λ K, ϕ(λx + y, z) = λϕ(x, z) + ϕ(y, z) µ (x, y, z) E 3, λ K, ϕ(x, λy + z) = λϕ(x, y) + ϕ(x, z). µ (x, y) E 2, ϕ(x, y) = ϕ(y, x) Úµ x E, ϕ(x, x) 0 Úµ x E, ϕ(x, x) = 0 x = 0. Ê Ñ ÖÕÙ º¾º¾ Ä ÔÓ ÒØ µ Ð Ò Ø ÓÒ ¹ Ù Ø Ö ÓÒ ÒØ Ð Ð Ò Ö Ø Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð ÓÒ Ú Ö Ð ÓÙÐ Ò Ø Ð Ð Ò Ö Ø Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ö Ð µ Ø Ð ÝÑ ØÖ µº

4 ¼ Ð Ö Ô ØÖ º ÈÖÓ Ù Ø Ð Ö Ü ÑÔÐ º¾º ½º (f, g) f(t)g(t) dt Ø ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÙÖ C 0 (R) ÓÙ ÙÖ R[X]µ ¾º Ä ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓÒ ÕÙ R n Ø ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö Ù Ò ØØ Ò Ø ÓÒº º ÍÒ ÙØÖ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÙÖ R n (X, Y ) t XMY Ó M = (min(i, j)) 1 i,j n º Ò ÓÒ Ò³ Ô ÙÒ Ø ³ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÙÖ ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Eº ÆÓØ Ø ÓÒ º¾º ËÓ Ø ϕ ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÙÖ E ÓÒ ÒÓØ ÓÙÚ ÒØ ϕ(x, y) = x, y ÓÙ ϕ(x, y) = (x y). ËÓ Ø ϕ ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÒÓØ ϕ(x, y) = x, y º ÐÓÖ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ϕ Ø ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö Ø B = (e 1,..., e n ) Ø ÙÒ E Mt B (ϕ) = ( e i, e j ) 1 i,j n ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º Ä Ñ ØÖ ³ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö Ò ÙÒ ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ º Ä Ö ÖÔÓÕÙ Ø Ù º º¾º¾ ÆÓÖÑ ÙÐ ÒÒ Ò Ø ÓÒ º¾º ÍÒ ÒÓÖÑ ÙÖ ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð E Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ N : E R Ø ÐÐ ÕÙ µ x E, N(x) = 0 x = 0 µ λ R, forllx E, N(λx) = λ N(x) µ (x, y) E 2, N(x + y) N(x) + N(y)º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º Ë N Ø ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÖ E ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x E N(x) 0º ÆÓØ Ø ÓÒ º¾º ËÓ Ø, ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÙÖ Eº ÈÓÙÖ ØÓÙØ x E ÓÒ ÒÓØ x = x, x º Ä ÑÑ º¾º ËÓ Ø, ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÙÖ Eº ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ (x, y) E 2 x + y 2 = x x, y + y 2, Ó Ø x, y = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2). Ð ÑÑ Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑÑ ÒØ Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö, Ô Ö Ð ÙÐ ÓÒÒ Ò Ð ÒÓÖÑ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾º½¼ ÈÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ (x 1,..., x n ) E n x x n 2 = n x i 2 + i=1 Ä ÑÑ º¾º½½ ÁÒ Ð Ø Ù Ý¹Ë Û ÖØÞµ 1 i<j n ËÓ Ø, ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö º ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ (x, y) E 2 ÓÒ x, y x y. x i, x j.

5 º¾ ÈÖÓ Ù Ø Ð Ö ½ Ì ÓÖ Ñ º¾º½¾ ËÓ Ø, ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÙÖ Eº ÐÓÖ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÕÙ x Ó x Ø ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÖ Eº ØØ ÒÓÖÑ Ø ÔÔ Ð ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ Ó Ù ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö, º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½ ½º ³ ÔÖ ÕÙ ÔÖ Ø ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ Ó ÙÒ ÖØ Ò ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö Ø Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ô Ö (x, y) E 2, x, y = 1 ( x + y 2 x 2 y 2) 2 Ò ÙÒ Ñ Ñ ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ Ò Ô ÙØ Ô ØÖ Ó ÙÜ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö Ö ÒØ ¾º ÌÓÙØ Ð ÒÓÖÑ Ò ÓÒØ Ô ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ º ÈÓÙÖ Ú Ö Ö ÙÒ ÒÓÖÑ Ø Ù¹ Ð ÒÒ ÓÙ ÒÓÒ Ð Ù Ø Ú Ö Ö Ð ÙÐ Ò Ø ØÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö Ó ÚÓ Ö (x, y) E 2, ϕ(x, y) = 1 ( x + y 2 x 2 y 2), 2 Ø Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö Ü ÑÔÐ º¾º½ ½º N : (x 1,...,x n ) mx( x 1,..., x n ) Ø ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÖ R n Ñ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ º ¾º ÆÓÖÑ ÙÐ ÒÒ Ù Ù ÐÐ ÙÖ R n Ø Ð³ Ò Ð Ø Ù Ý¹Ë Û ÖÞ ÒÙÑ Ö ÕÙ º º ÆÓÖÑ ÙÐ ÒÒ ÒÓÒ ÕÙ ÙÖ C 0 ([, b]) Ø Ò Ð Ø Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ó º