complexes.dvi

Bản ghi

1 ½ ÒÖÐØ ½º Ò ÑÐ C ÌÓÖÑ ÁÐ Ü Ø ÙÒ Ò ÑÐ C Ò ÑÐ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ µ ÓÒØÒÒØ R Ø ÚÖ¹ ÒØ C Ø ÑÙÒ ³ÙÒ ØÓÒ Ø ³ÙÒ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÕÙ ÔÖÓÐÓÒÒØ ÐÐ R Ø ÙÚÒØ Ð ÑÑ ÖÐ ÐÙк ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÐÑÒØ C ØÐ ÕÙ 2 = 1º ÌÓÙØ ÐÑÒØ C ³ÖØ ÑÒÖ ÙÒÕÙ = a+b a Ø b ÖÐ µ ¾º ÎÓÙÐÖ = a+b a Ø b ÖÐ µ a Ø Ð ÔÖØ ÖÐÐ ÒÓØ Ê Þµº b Ø Ð ÔÖØ Ñ¹ ÒÖ ÒÓØ ÁÑ Þµº Re() Ø Im() ÓÒØ ÒÓÑÖ ÖÐ º Ë b = 0 = Im() = 0 Ø Ø relº Ë a = Re() = 0 Ø Ø imaginaire purº = b Ú b Öе º ÐØ ÙÜ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ a,b,a,b ÓÒØ ÒÓÑÖ ÖÐ ÕÙÐÓÒÕÙ º = a+b = a + b a = a Ø b = b º Ò ÔÖØÙÐÖ a+b = 0 a = b = 0º º Ä ÔÐÒ ÓÑÔÐÜ Ä ÔÐÒ ÑÙÒ ³ÙÒ ÖÔÖ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ ÖØ (O; u,) Ø ÔÔÐ ÔÐÒ ÓÑÔÐܺ ËÓØ = x + y ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ Ð ÔÓÒØ M ÓÓÖÓÒÒ (x,y) Ø Ð³Ñ ÒÓØ M()º Ë Ð ÔÓÒØ M ÔÓÙÖ ÓÓÖÓÒÒ (x,y) ÓÒ ÐÙ Ó Ð ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ = x + y ÔÔÐ Ü M Ø ÒÓØ M º Ü ÖÐ y r M() x Ü ÑÒÖ ÇÒ ÒØ Ù Ð³Ü ³ÙÒ ÚØÙÖ r = x u + y ÓÒ ÒÓØ u = x+y B( B ) AB = B A ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÔÓÒØ A OA = A ÉÙÐ ÕÙ ÓÒØ Ð ÚØÙÖ r Ø s Ø Ð ÖÐ λ r+ s = r + s Ø λ r = λ u 0 A( A ) ÈÓÙÖ ØÓÙ ÔÓÒØ A Ø B AB = B A I ÑÐÙ AB I = B + A 2 º ËÓÑÑ Ø ÔÖÓÙØ ÙÜ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÇÒ ÙØÐ Ð ÑÑ ÖÐ ÐÙÐ ÕÙ Ò R Ò ØÒÒØ ÓÑÔØ Ù Ø ÕÙ 2 = 1 ÎÓÖ ÜÑÔÐ Ò Ð³ØÚØ ÓÙÚÖغ ÅÝ ÅØ ËÔ ½ ½»

2 º ÁÒÚÖ Ø ÕÙÓØÒØ ÜÖ ÐÙÐÖ (a+b)(a b) a Ò ÙÖ Ð ÚÐÙÖ Ù ÔÖÓÙØ ÙÚÒØ (a+b)( a 2 +b 2 b a 2 +b 2) ÈÖÓÔÖØ ÌÓÙØ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÒÓÒ ÒÙÐ ÑØ ÙÒ ÒÚÖ ÒÓØ 1 Ø ÓÒ ÔÙØ ÒÖ Ð ÕÙÓØÒØ = 1 ÜÖ ÅØØÖ ÓÙ Ð ÓÖÑ a+b Ð ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ º ÓÒÙÙ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ Ø 1 1+ º ÒØÓÒ ËÓØ = a+b ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ a Ø b ÖÐ µº ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒÙÙ Ð ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ = a b Ð ÙØ ÐÖ ÖÖµ ÜÖ ÉÙÐ ÓÒØ Ð ÓÒÙÙ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÈÖÓÔÖØ Ð Ð ÓÒÙ ÓÒ ÖÐ = ÑÒÖ ÔÙÖ = ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ = ÈÓÙÖ ØÓÙ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ Ø Ø ØÓÙØ ÒØÖ n + = + = = n = n ( 1 ) = 1 Ø ( ) = ¾ ÅÓÙÐ Ø ÖÙÑÒØ ÌÓÙØ ÔÓÒØ M Ù ÔÐÒ ÔÙØ ØÖ ÖÔÖ ÔÖ ÙÒ ÓÙÔÐ ÓÓÖÓÒÒ ÔÓÐÖ (r,θ) r > 0 θ Öе r Ø Ð ØÒ OM θ Ø ÙÒ Ñ ÙÖ Ð³ÒÐ ( u, OM)º r = OM M ÄÒ ÒØÖ ÓÓÖÓÒÒ ÖØ ÒÒ Ø ÓÓÖÓÒÒ ÔÓÐÖ (r,θ) Ø ÙÒ ÓÙÔÐ ÓÓÖÓÒÒ ÔÓÐÖ M Ø (x,y) Ð ÓÓÖ¹ ÓÒÒ ÖØ ÒÒ M ÇÒ x = rcos(θ) Ø y = rsin(θ) r = x 2 +y 2 Ø cos(θ) = x r sin(θ) = y r º θ ½º ÒØÓÒ ËÓØ ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÒÓÒ ÒÙÐ M Ð ÔÓÒØ ³Ü Ø (r,θ) ÙÒ ÓÙÔ ÓÓÖÓÒÒ ÔÓÐÖ Mº ÇÒ ØÖÑ ÙÚÒØ r Ø Ð ÑÓÙÐ Ø Ð ÒÓØ r = θ Ø ÙÒ ÖÙÑÒØ Ø Ð ÒÓØ θ = arg()[2π] ÅÝ ÅØ ËÔ ¾ ¾»

3 ¾º ÈÖÓÔÖØ = x+y ÓÒ 2 = x 2 +y 2 = ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ x Ð ÑÓÙÐ x Ø Ð ÚÐÙÖ ÓÐÙ x Ø x > 0 arg(x) = 0[2π] x < 0 arg(x) = π[2π] 0 ÑÒÖ ÔÙÖ arg() = ± π 2 [2π] = Ø arg() = arg()[2π] = Ø arg( ) = π +arg()[2π] º ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ Ð ÑÓÙÐ Ø Ð³ÖÙÑÒØ = 1+ º ÓÖÑ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÌÓÖÑ ½ ÌÓÙØ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÒÓÒ ÒÙÐ ÔÙØ ³ÖÖ ÓÙ Ð ÓÖÑ = r(cos(θ) + sin(θ)) Ó r = Ø θ = arg()[2π]º ÊÔÖÓÕÙÑÒØ ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÒÓÒ ÒÙÐ ³ÖØ ÓÙ Ð ÓÖÑ = r(cos(θ)+sin(θ)) Ú r > 0 ÐÓÖ = r Ø arg() = θ[2π]º ijÖØÙÖ = r(cos(θ)+sin(θ)) ³ÔÔÐÐ Ð ÓÖÑ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ º ÜÖ ½º ÉÙÐÐ Ø Ð ÓÖÑ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ 1 = Ø 2 = 2 + Ò ÙÖ Ð ÓÖÑ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ 1 1 º ¾º ÉÙÐÐ Ø Ð ÓÖÑ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ = 3(cos(θ)+sin(θ)) ÌÓÖÑ ¾ ËÓØ = r(cos(θ) + sin(θ)) Ø = r (cos(θ ) + sin(θ )) ÙÜ ÒÓÑÖ Óѹ ÔÐÜ º ÐÓÖ ÓÒ = rr (cos(θ +θ )+sin(θ+θ )) = r r (cos(θ θ )+sin(θ θ )) ( 0) ÌÐÙ ÖÔØÙÐØ ÉÙÐ ÕÙ ÓÒØ Ð ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ Ø Produit = arg( ) = arg()+arg( )[2π] Puissance n = n arg( n ) = narg()[2π] Inverse 1 = 1 arg( 1 ) = arg()[2π] Quotient = arg( ) = arg() arg( )[2π] Conjugu = arg() = arg()[2π] Oppos = arg( ) = π +arg()[2π] ÜÑÔÐ ³ÙØÐ ØÓÒ Ð ÓÖÑ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ ÐÙÐÖ (1+ 3) 5 Ö ÓÙÖ Ò C гÕÙØÓÒ 3 = 1º ÅÝ ÅØ ËÔ»

4 ÆÓØØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ ½º ÆÇÌÌÁÇÆ e θ Ë Ð³ÓÒ ÔÓ f(θ) = cos(θ)+sin(θ) Ð ØÓÖÑ ¾ ÔÖÓÙÚ ÕÙ f(θ+θ ) = f(θ) f(θ ) ÔÐ٠гÓÒ ÔÔÐÕÙ Ð ÓÖÑÙÐ Ð ÖÚ ³ÙÒ ÓÑÑ Ð ÓÒØÓÒ f = cos + sin ÓÒ ÓØÒØ f (θ) = f(θ) ³Ó ÔÖ ÒÐÓ Ú Ð ÖÐØÓÒ ÚÖ ÔÖ Ð³ÜÔÓÒÒØÐÐ ÓÒ ÒØ ÒØÓÒ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ θ ÓÒ ÔÓ e θ = cosθ + sinθ ÓÒ ÕÙÒ ÌÓÙØ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÒÓÒ ÒÙÐ ÑÓÙÐ r Ø ³ÖÙÑÒØ θ ³ÖØ = re θ ØØ ÖØÙÖ Ø ÔÔÐ ÓÖÑ ÜÔÓÒÒØÐÐ Ø Ð ÑÑ ÑÒÖ ÕÙ³Ú Ð ÓÖÑ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ = re θ Ø r > 0 ÐÓÖ = r Ø arg() = θ[2π]º ÑÔÓÖØÒص e θ = 1 Ø arg(e θ ) = θ[2π]º Ö ÙÜ ÔÖÓÔÖØ ÖÙÑÒØ ÚÙ ÔÖÑÑÒØ Ð³ÜÔÓÒÒØÐÐ ÓÑÔÐÜ ÔÓ ÔÖÓÔÖØ ÕÙ ÖÔÔÐÐÒØ ÐРгÜÔÓÒÒØÐÐ ÖÐÐ e θ e θ = e (θ+θ ) e θ = e θ θ (e θ ) n = e nθ e e θ = e θ º θ ÜÖ ÓÒÒÖ Ð ÓÖÑ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÒÓÑÖ ÙÚÒØ (1 )8 º ¾º ÇÊÅÍÄË ÅÇÁÎÊ Ø ³ÍÄÊ ÓÖÑÙÐ ÅÇÁÎÊ ÈÓÙÖ ØÓÙØ θ Ø ØÓÙØ ÒØÖ n ÓÖÑÙÐ ³ÙÐÖ (cos(θ)+sin(θ)) n = cos(nθ)+sin(nθ) (cos(θ) sin(θ)) n = cos(nθ) sin(nθ) ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ θ cos(θ) = eθ +e θ 2 Ø cos(θ) = eθ e θ 2 ÕÙØÓÒ Ù ÓÒ Ö ½º ÊÒ ÖÖ ³ÙÒ Öк ijÕÙØÓÒ 2 = a Ó a Ø ÙÒ ÖÐ ÕÙÐÓÒÕÙ ÑØ ØÓÙÓÙÖ ÓÐÙØÓÒ Ë a 0 гÕÙØÓÒ 2 = a ÑØ ÙÜ ÓÐÙØÓÒ ÖÐÐ ÓÔÔÓ a Ø a Ë a 0 гÕÙØÓÒ 2 = a ÑØ ÙÜ ÓÐÙØÓÒ ÑÒÖ ÓÒÙÙ a Ø a º ÜÑÔÐ ÉÙÐÐ ÓÒØ Ð ÓÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ 2 = 8 ¾º ÕÙØÓÒ ax 2 +bx+c = 0 Ú a,betc ÖÐ a 0µ ijÕÙØÓÒ ax 2 +bx+c = 0 Ú a,betc ÖÐ a 0µ ÑØ ÓÐÙØÓÒ Ò Cº ÇÒ ÒÓØ ÐÑÒØ = b 2 4ac Ð ÖÑÒÒØ Ð³ÕÙØÓÒº ÅÝ ÅØ ËÔ»

5 Ë = 0 ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÙÒÕÙ x = b 2a Öе Ë > 0 ÙÜ ÓÐÙØÓÒ ÖÐÐ x = b± 2a Ë < 0 ÙÜ ÓÐÙØÓÒ ÓÑÔÐÜ ÓÒÙÙ x = b± 2a ÜÑÔÐ Ê ÓÙÖ Ò C гÕÙØÓÒ x 2 +x+1 = 0º ÆÓÑÖ ÓÑÔÐÜ Ò ÓÑØÖ ½º ÎØÙÖ Ø ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ËÓØ w ÙÒ ÚØÙÖ ³Ü Ø A Ð ÔÓÒØ ØÐ ÕÙ OA = wº ³ÔÖ ÕÙ ÔÖ = OA = A O = A Ö O = 0 ÓÒ ÒÓÙ ÚÓÒ r = OA A w { = A = OA = w arg() = arg( A ) = ( u, OA) = ( u, w)[2π] θ ÈÖÓÔÖØ ( ) ÑÔÓÖØÒØ ËÓØ w ÙÒ ÚØÙÖ ÒÓÒ ÒÙÐ ³Ü ÓÒ arg = arg( ) arg() = ( u, w ) ( u, w) = ( w, w )[2π] ÈÖÓÔÖØ ËÓØ w Ø w ÚØÙÖ ÒÓÒ ÒÙÐ ³Ü Ö ÔØÚ Ø º = w Ø arg() = ( u, w)[2π] ( ) arg = ( w, w )[2π] w Ø w ÓÐÒÖ ÖÐ w Ø w ÓÖØÓÓÒÙÜ ÑÒÖ ÔÙÖ º ¾º ÊÁÌÍÊ ÇÅÈÄ ÌÊÆËÇÊÅÌÁÇÆË ËÓØ Ω ÙÒ ÔÓÒØ Ù ÔÐÒ ³Ü ω Ø θ ÙÒ Öк Ä ÖÓØØÓÒ ÒØÖ Ω Ø ³ÒÐ θ Ó Ù ÔÓÒØ M() Ð ÔÓÒØ M ( ) ØÐ ÕÙ ω = e θ ( ω)º ij ÓÑÓØØ ÒØÖ Ω Ø ÖÔÔÓÖØ k k ÖÐ ÒÓÒ ÒÙе Ó Ù ÔÓÒØ M() Ð ÔÓÒØ M ( ) ØÐ ÕÙ ω = k( ω)º Ä ØÖÒ ÐØÓÒ ÚØÙÖ b ³Ü b Ó Ù ÔÓÒØ M() Ð ÔÓÒØ M ( ) ØÐ ÕÙ = +bº ÅÝ ÅØ ËÔ»