Chapitre3: nombres complexes Ì Ð Ñ Ø Ö ½ ÈÖÓÔÖ Ø Ð Ö ÕÙ ¾ ½º½ Ê ÔÔ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Bản ghi

1 Chapitre3: nombres complexes ÌÐ ÑØÖ ½ ÈÖÓÔÖØ ÐÖÕÙ ¾ ½º½ ÊÔÔÐ ÓÔÖØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÓÒÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º ÅÓÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÖÓÙÔ ÙÒÑÓÙÐÖ U ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÑÓÙÐ ½ ¾º½ ÈÖ ÒØØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÜÔÓÒÒØÐÐ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÔÔÐØÓÒ Ð ØÖÓÒÓÑØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÓÑÑÒØ ÖØÖÓÙÚÖ ÓÖÑÙÐ ØÖÓÒÓÑØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÓÖÑÙÐ ØÖÓÒÓÑØÖ ÓÒÒØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÓÖÑÙÐ ØÖÓÒÓÑØÖ ÚÓÖ ÖØÖÓÙÚÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÕÙØÓÒ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÙÑÒØ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÕÙØÓÒ ÐÖÕÙ Ò C º½ ÕÙØÓÒ z n = 1 ÖÒ n¹ñ гÙÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÕÙØÓÒ z n = a º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÖØÙÐÖ ÕÙØÓÒ z = a º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÕÙØÓÒ Ù ÓÒ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒØÖÔÖØØÓÒ ÓÑØÖÕÙ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ º½ Ü ³ÙÒ ÔÓÒØ ÑÓÙÐ Ø ÖÙÑÒØ ³ÙÒ ÓÑÔÐÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÁÒØÖÔÖØØÓÒ ÓÑØÖÕÙ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÓÑÔÐÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÔÔÐØÓÒ z a z +b º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÔÔÐØÓÒ z ±z º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

2 ½ ½º½ ÈÖÓÔÖØ ÐÖÕÙ ÊÔÔÐ ÓÔÖØÓÒ ÒØÓÒ ½ ÇÒ ÑÙÒØ Ð³Ò ÑÐ R ÓÙÔÐ ÒÓÑÖ ÖÐ ÙÜ ÐÓ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ð³ØÓÒ (a,b)+(a,b ) = (a+a,b+b ) Ð ÑÙÐØÔÐØÓÒ (a,b) (a,b ) = (a a b b,a b +a b) ÇÒ ÚÖ ÕÙ Ð ÐÓ + Ø Ò Ò ÓÒØ ÓØÚ ÓÑÑÙØØÚ ÑØØÒØ ÙÒ ÐÑÒØ ÒÙØÖ (0,0) ÔÓÙÖ + Ø (1,0) ÔÓÙÖ Ø Ø ØÖÙØÚ ÙÖ +º ÇÒ ÔÓ i = (0,1) ÔÙ ÓÒ Ó ÕÙ ÓÙÔÐ (a,b) R Ð ÓÑÔÐÜ z = a+ibº ÇÒ ÖÑÖÕÙ ÕÙ i = 1º Ä³Ò ÑÐ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ Ø ÒÓØ C Ø Ð ÒÓÑÖ a Ø b ³ÔÔÐÐÒØ Ö ÔØÚÑÒØ Ð ÔÖØ ÖÐÐ Ø ÑÒÖ z a = Re(z) Ø b = Im(z)º Ä ÐÙÐ ³ØÓÒ + Ø ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÓÙ ÙÖ Ð ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÓÒØ ÑÒÖ ØÙÐк ½º¾ ÓÒÙÙ ÒØÓÒ ¾ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÓÑÔÐÜ z = a+ib ÓÒ ÒØ Ð ÓÒÙÙ z ÒÓØ z ÔÖ z = a ib. ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ Ð ÔÖØ ÖÐÐ ÓÙ ÑÒÖ ³ÙÒ ÕÙÓØÒØ z z ÑÙÐØÔÐÖ Ð ÒÓÑÒØÙÖ ÔÖ Ð³ÜÔÖ ÓÒ ÓÒÙÙ Ð ÒÓÑÒØÙÖ ÚÒØ ÖÐ Ö Ð ÐÙÐ ÙÖ Ð³ÜÔÖ ÓÒ ØÖÒ ÓÖѺ ÜÑÔÐ ½ ÐÙÐÖ Ð ÔÖØ ÖÐÐ 1+i 1+3i Ø Ð ÔÖØ ÑÒÖ (1+i 3) n º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ ÇÒ z +z = z +z Ø z z = z z ÔÓÙÖ z C 1 z = 1 z z C Re(z) = 1 (z +z) Ø Im(z) = 1 (z z) i z C z z R + º ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ³ÙÒ ÓÑÔÐÜ Ø ÖÐ ÓÙ ÑÒÖ ÔÙÖ ÓÑÔÖÖ z z z = z ÐÓÖ z Ø ÖÐ z = z ÐÓÖ z Ø ÑÒÖ ÔÙÖº ½º ÅÓÙÐ ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ ÑÓÙÐ z Ð ÒÓÑÖ z = zzº ÊÑÖÕÙ ½ ÐÙÐÖ Ð ÑÓÙÐ ÓÙ Ð ÚÐÙÖ ÓÐÙ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÖÐ ÕÙ Ø Ò Ø ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐܵ ÖÚÒØ Ù ÑѺ ¾

3 ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ z C z = Re(z) +Im(z) R + z C, z = 0 z = 0 (z,z ) C, z z = z z Ø z = z z C 1 z = 1 z (z,z ) C, z+z z + z Ø Ð³ÐØ ÐÙ Ø ÙÐÑÒØ Ð Ü Ø ρ R + ØÐ ÕÙ z = ρ z ÓÙ z = ρ zº ÓÒ Ø ÕÙ z Ø z ÓÒØ ÔÓ ØÚÑÒØ Ð µ ¾ ¾º½ ÖÓÙÔ ÙÒÑÓÙÐÖ U ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÑÓÙÐ ½ ÈÖ ÒØØÓÒ ÒØÓÒ ÇÒ ÒØ Ð ÖÓÙÔ ÙÒÑÓÙÐÖ ÒÓØ U ÔÖ Ð³Ò ÑÐ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÑÓÙÐ Ð 1 { U = {z C z = 1} = z C z = 1 }. z ¾º¾ ÜÔÓÒÒØÐÐ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÒØÓÒ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ z ÓÒ ÒÓØ ( ) e z = e Re(z) cos(im(z))+isin(im(z)), Ó Ð ÔÖÑÖ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÔÔÐÕÙ Re(z) Ø Ð ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ Õ٠гÓÒ ÓÒÒØ ÔÓÙÖ Ð ÒÓÑÖ ÖÐ º ÌÓÖÑ ½ ÇÒ θ R e iθ U ØÓÙØ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ z ÑÓÙÐ 1 Ø Ð ÓÖÑ z = e iθ ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØÒ θ Ò R ÔÓÙÖ ØÓÙ z Ø z Ò C ÐÓÖ e z e z = e z+z º ÓÖÓÐÐÖ ½ ÓÖÑÙÐ ÅÓÚÖ Ø ³ÙÐÖµ ÇÒ n Z θ R (cosθ+isinθ) n = cosnθ +isinnθ θ R cosθ = eiθ +e iθ Ø sinθ = eiθ e iθ i ¾º ¾º º½ ÔÔÐØÓÒ Ð ØÖÓÒÓÑØÖ ÓÑÑÒØ ÖØÖÓÙÚÖ ÓÖÑÙÐ ØÖÓÒÓÑØÖ ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÜÔÖÑÖ cos(nθ) ÓÙ sin(nθ) Ò ÓÒØÓÒ cosθ ÓÙ sinθ ÔÔÐÕÙÖ Ð ÓÖÑÙÐ Ù ÒÑ ÆÛØÓÒ a = cosθ Ø b = isinθ ÔÖÒÖ Ð ÔÖØ ÖÐÐ ÓÙ ÑÒÖµ Ò ØØ ÜÔÖ ÓÒ ÔÓÙÖ ÚÓÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÔÓÙÖ cos(nθ) ÓÙ ÔÓÙÖ sin(nθ)º

4 ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÒÖ Ö cos n θ ÓÙ sin n θ ÔÔÐÕÙÖ Ð ÓÖÑÙÐ ³ÙÐÖ ÔÓÙÖ cosθ ÓÙ sinθ ÔÔÐÕÙÖ Ð ÓÖÑÙÐ Ù ÒÑ ÆÛØÓÒ ÖÖÓÙÔÖ Ð ØÖÑ Ð ÓÑÑ ÙÜ ÔÖ ÙÜ ÔÖ ÜÔÖ ÓÒ ÓÒÙÙ º ÜÑÔÐ ¾ ÜÔÖÑÖ sin5t Ò ÓÒØÓÒ cost Ø sintº ÄÒÖ Ö sin 5 x Ò ÓÒØÓÒ cosx Ø sinxº ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ ÙÒ ÓÑÑ Ó ÒÙ ÓÙ ÒÙ ÔÓ Ö ÕÙ Ó ÒÙ Ö Ôº ÕÙ ÒÙ µ ÓÑÑ ÔÖØ ÖÐÐ Ö Ôº ÑÒÖµ ³ÙÒ ÖØÒ ÓÑÔÐÜ ÐÙÐÖ Ð ÓÑÑ ÓÑÔÐÜ ÔÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ù ÒÑ ÓÙ ÓÑØÖÕÙµ ÔÖÒÖ Ð ÔÖØ ÖÐÐ Ö Ôº ÑÒÖµ Ò Ð ÓÖÑÙÐ ØÖÓÙÚº ÜÑÔÐ ÑÓÒØÖÖ Ð ÓÖÑÙÐ θ R\πZ, n coskθ = k=1 sin n+1 θ sin θ 1. ¾º º¾ ÓÖÑÙÐ ØÖÓÒÓÑØÖ ÓÒÒØÖ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÈÓÙÖ ØÓÙ a Ø b Ò R ÓÒ cos(a+b) = cosa cosb sina sinb cos(a b) = cosa cosb+sina sinb sin(a+b) = sina cosb+sinb cosa sin(a b) = sina cosb sinb cosa ¾º º ÓÖÑÙÐ ØÖÓÒÓÑØÖ ÚÓÖ ÖØÖÓÙÚÖ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÈÓÙÖ ØÓÙ p Ø q Ò R ÓÒ Ä Ó Ð Ø Ò Ò Ò ÔÓ ÒØ t = tan θ cosp+cosq = cos p+q cosp cosq = sin p+q sinp+sinq = sin p+q sinp sinq = cos p+q cos p q sin p q cos p q sin p q cosθ = 1 t t t 1+t, sinθ = Ø tanθ = 1+t 1 t

5 ÊÑÖÕÙ ¾ ÑÒÖ ÒÖÐ ÐÓÖ Õ٠гÓÒ ÙÒ ÓÑÑ ÓÙ ÙÒ ÖÒ ÙÜ ÐÑÒØ U Ð ÙØ ÔÒ Ö ØÓÖ Ö ÔÖ Ð Ñ¹ ÓÑÑ ÒÐ ØÒÕÙ Ð³Ö ÑÓص (θ 1,θ ) R, e iθ1 +e iθ = e iθ 1 +θ cos θ 1 θ Ò ÔÖØÙÐÖ e iθ +1 = cos θ eiθ Ø e iθ 1 = isin θ eiθ º Ø e iθ1 e iθ = e iθ 1 +θ isin θ 1 θ ¾º ÕÙØÓÒ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÓÙÖ cosθ = α ÓÙ sinθ = α ÓÙ tanθ = α ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÔÖØÙÐÖ θ 0 ÓÒÒÖ ÖØÑÒØ Ð ÓÐÙØÓÒ cosθ = cosθ 0 θ = ±θ 0 [π] { θ = θ0 [π] sinθ = sinθ 0 θ = π θ 0 [π] tanθ = tanθ 0 θ = θ 0 [π]. ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÓÙÖ acosθ +bsinθ = c ÄÓÖ ÕÙ (a,b) = (0,0) c = 0 ØÓÙØ Ø ÓÐÙØÓÒ Ø c 0 Ð Ò³Ý ÙÙÒ ÓÐÙØÓÒº ÄÓÖ ÕÙ (a,b) (0,0) ÔÓ Ö r = a +b ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÒÐ θ 0 ØÐ ÕÙ cosθ 0 = a r Ø sinθ 0 = b r ØÖÒ ÓÖÑÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÐÓÒ acosθ+bsinθ = c cos(θ θ 0 ) = c r ØÒÙÖ Ð c > 1 Ó Ð Ò³Ý ÙÙÒ ÓÐÙØÓÒ Ø Ð c 1 ÔÓÙÖ ÖÑÒÖ ÙÒ r r ÕÙØÓÒ Ù ØÝÔ cosθ = cosθ 0 º ÜÑÔÐ Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ cos(x) sin(x) = 1 ³ÒÓÒÒÙ x Rº Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ 3sin(3x)+cos(3x) = 1 ³ÒÓÒÒÙ x Rº ÖÙÑÒØ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÒØÓÒ ØÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ z 0 ÓÒ ÔÔÐÐ ÙÒ ÖÙÑÒØ z ØÓÙØ ÒÓÑÖ ÖÐ θ ØÐ ÕÙ e iθ = z z º ÈÖ Ù ÒÓØØÓÒ ÙÒ ÖÙÑÒØ z Ø ÒÓØ argzº Ò Ø θ 0 Ø ÙÒ ÖÙÑÒØ z ØÓÙ Ð ÖÙÑÒØ ÓÒØ θ 0 +kπ ÔÓÙÖ k ÖÚÒØ Zº ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ ÖÙÑÒØ ÔÖÒÔÐ z Ð ÙÐ ÖÙÑÒØ z ÕÙ ÔÔÖØÒØ ] π,π]º ÊÑÖÕÙ ÌÓÙØ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ z 0 ÔÙØ ³ÖÖ ³ÙÒ ÙÒÕÙ ÓÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ z = r e iθ Ó (r,θ) R + ] π,π]º ØØ ÒÓØØÓÒ Ø ÔÔÐ ÒÓØØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÐÐ Ø ØÖ ÔØ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ ÔÖÓÙØ ÕÙÓØÒØ Ø ÔÙ Ò ÒØÖ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐܺ

6 ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÈÓÙÖ ØÓÙ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ z Ø z Ò C ÓÒ arg(z z ) = argz +argz [π], arg 1 ( ) z z = argz [π] Ø arg = argz argz [π] z ÜÑÔÐ ËÓØ Z Cº Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ e z = Z ³ÒÓÒÒÙ z Cº º½ ÕÙØÓÒ ÐÖÕÙ Ò C ÕÙØÓÒ z n = 1 ÖÒ n¹ñ гÙÒØ ÒØÓÒ ËÓØ n N º ÇÒ ÔÔÐÐ ÖÒ n¹ñ гÙÒØ Ð ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ z ØÐ ÕÙ z n = 1º ÇÒ ÒÓØ U n Ð³Ò ÑÐ ÖÒ n¹ñ гÙÒغ ÌÓÖÑ ¾ Ä³Ò ÑÐ U n ÓÒØÒØ ÜØÑÒØ n ÐÑÒØ ÕÙ ÓÒØ { } { } U n = ω k = e ikπ n, k Z = ω k = e ikπ n, k {0,1,,n 1} ÜÑÔÐ ÇÒ U 1 = {1}, U = { 1,1}, U 3 = ÇÒ ÒÓØ Ò ØÓÙØ Ð ÙØ Ð ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ j = e iπ 3 º { } 1,e iπ 4iπ 3,e 3 Ø U 4 = {1, 1,i, i}. º¾ ÕÙØÓÒ z n = a ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÓÙÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ Ð ÓÖÑ z n = a ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÔÖØÙÐÖ z 0 Ò ÐÙÐÒØ a = r e iθ ÓÒÒÖ ÖØÑÒØ ØÓÙØ Ð ÓÐÙØÓÒ z = z 0 e ikπ/n ÔÓÙÖ k ÒØÖ 0 Ø (n 1)º ÜÑÔÐ ØÖÑÒÖ Ð ÖÒ ¹Ñ 9 3 (1 i 3)º

7 º ÔÖØÙÐÖ ÕÙØÓÒ z = a ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÓÙÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ Ð ÓÖÑ z = a ÓÒ ÔÙØ ÑØØÖ a ÓÙ Ð ÓÖÑ a = r e iθ ÖÔÓÖØÖ Ð ÑØÓ ÔÖÒغ ÒÓÒ ÔÓ Ö a = α+iβ Ú α Ø β ÖÐ ÔÓ Ö Ð³ÒÓÒÒÙ z = x+iy Ú x Ø y ÖÐ ÐÚÖ z Ù ÖÖ ÔÙ ÒØÖ ÔÖØ ÖÐÐ Ø ÑÒÖ ÖÓÙØÖ Ð³ÕÙØÓÒ z = a ÐÙÐÖ x Ø y ÙØÐ Ö ÙÒ ÕÙØÓÒ ÔÓÙÖ ÚÓÖ Ð Ò ÒØÖ x Ø yº ÜÑÔÐ ØÖÑÒÖ Ð ÖÒ ÖÖ = 15+8iº º ÕÙØÓÒ Ù ÓÒ Ö ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÓÙÖ az +bz +c = 0 ÐÓÖ ÕÙ a 0 ÐÙÐÖ Ð ÖÑÒÒØ = b 4ac ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ δ 0 гÕÙØÓÒ δ = ÑØÓ ÔÖÒص ÓÒÒÖ Ð ÓÐÙØÓÒ az +bz +c = 0 z = b±δ 0 º a ÜÑÔÐ Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ z iz 1+i = 0º Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ iz 3z 1 3i = 0º º½ ÁÒØÖÔÖØØÓÒ ÓÑØÖÕÙ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ Ü ³ÙÒ ÔÓÒØ ÑÓÙÐ Ø ÖÙÑÒØ ³ÙÒ ÓÑÔÐÜ ÒØÓÒ ÇÒ ÑÙÒØ Ð ÔÐÒ P ³ÙÒ ÖÔÖ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÖØ (O, ı, j)º ü ØÓÙØ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜz ÓÒ ÔÙØ ÓÖ Ð ÙÐ ÔÓÒØ M Ù ÔÐÒ P ÓÓÖÓÒÒ (Re(z),Im(z))º ÔÓÒØ Ö ÒÓØ M(z)º ÊÔÖÓÕÙÑÒØ ØÓÙØ ÔÓÒØ M Ù ÔÐÒ P ÓÒ ÔÙØ ÐÙ ÓÖ Ð ÓÙÔÐ (x,y) R ÓÓÖÓÒÒ Ø Ò ÒÖ Ð ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ z = x+iyº ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ Ö ÔÔÐ Ð³Ü Ù ÔÓÒØ Mº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÇÒ ÔÓ ÔÖÓÔÖØ ÙÚÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙ A(a) Ø B(b) Ò Ð ÔÐÒ Ð ÐÓÒÙÙÖ AB ÚÙØ b a ÔÓÙÖ ØÓÙ ÔÓÒØ A(a) B(b) C(c) D(d) Ù ÔÐÒ ØÐ ÕÙ A B Ø C D ÐÓÖ Ð³ÒÐ ÓÖÒØ ( ( ) AB, CD) d c ÚÙØ arg º b a ÜÑÔÐ ½¼ ËÓÒØ a Ø b ÙÜ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÖÒØ º ØÖÑÒÖ ÓÑØÖÕÙÑÒØ Ð³Ò ÑÐ ÓÑÔÐÜ z ØÐ ÕÙ Ð ÕÙÒØØ z a z b ÔÓ Øº ÓØ ÙÒ ÒÓÑÖ ÖÐ

8 ØÖÑÒÖ ÓÑØÖÕÙÑÒØ Ð³Ò ÑÐ ÓÑÔÐÜ z ØÐ ÕÙ Ð ÕÙÒØØ z a ÓØ ÙÒ ÒÓÑÖ ÖÐ z b Òغ ØÖÑÒÖ ÓÑØÖÕÙÑÒØ Ð³Ò ÑÐ ÓÑÔÐÜ z ØÐ ÕÙ Ð ÕÙÒØØ z a ÓØ ÙÒ ÒÓÑÖ ÑÒÖ z b ÔÙÖ ÔÖØ ÑÒÖ ÔÓ ØÚº ØÖÑÒÖ ÓÑØÖÕÙÑÒØ Ð³Ò ÑÐ ÓÑÔÐÜ z ØÐ ÕÙ Ð ÕÙÒØØ z a ÓØ ÙÒ ÒÓÑÖ ÑÒÖ z b ÔÙÖ ÔÖØ ÑÒÖ ÒØÚº ÒØÓÒ{ ½¼ ÈÓÙÖ a C Ø} r R + ÓÒ ÔÔÐÐ ÕÙ ÓÙÚÖØ ÒØÖ a Ø ÖÝÓÒ r Ð³Ò ÑÐ D(a,r) = z C z a < r. { } ÇÒ ÔÔÐÐ ÕÙ ÖÑ ÒØÖ a Ø ÖÝÓÒ r Ð³Ò ÑÐ D(a,r) = z C z a r. º¾ ÁÒØÖÔÖØØÓÒ ÓÑØÖÕÙ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÓÑÔÐÜ º¾º½ ÔÔÐØÓÒ z a z +b ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÒØÖÔÖØÖ ÙÒ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ Ð ÓÖÑ f : z a z +b a = 1 Ð ÓÒØÓÒ f Ø Ð ØÖÒ ÐØÓÒ ÚØÙÖ ³Ü bº ÒÓÒ ÑØØÖ a ÓÙ ÓÖÑ ÜÔÓÒÒØÐÐ a = r e iθ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÔÓÒØ Ü ω Ò Ö ÓÐÚÒØ z = a z +b Ð ÓÒØÓÒ f Ø Ð ÑÐØÙ ÒØÖ Ω(ω) ÖÔÔÓÖØ ³ÓÑÓØØ r Ø ³ÒÐ ÖÓØØÓÒ θº ÜÑÔÐ ½½ ÁÒØÖÔÖØÖ ÓÑØÖÕÙÑÒØ Ð³ÔÔÐØÓÒ z (1+i)z +º º¾º¾ ÔÔÐØÓÒ z ±z ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ä³ÔÔÐØÓÒ z z Ø Ð ÝÑØÖ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Ð³Ü º ijÔÔÐØÓÒ z z Ø Ð ÝÑØÖ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Ð³Ü ÓÖÓÒÒ º