Assiomi di Peano.dvi

Bản ghi

1 Ð ÓÑ ÈÒÓ ÖØÑØ ÔÖÒÔ ÒÓÚ ÑØÓÓ ÜÔÓ Ø ½µ Ë ÙÑÓÒÓ ÓÒØØ ÔÖÑØÚ ÞÖÓ ÒÙÑÖÓ Ù ÚÓ Ò Ñ Ð µ ÐÑÒØÓ ÔÔÖع ÒÒÞº ½º ÖÓ ÙÒ ÒÙÑÖÓº ¾º ÁÐ Ù ÚÓ ÙÒ ÒÙÑÖÓ ÙÒ ÒÙÑÖÓº º Ë ÙÒ Ð ÒÙÑÖ ÓÒØÒ ÐÓ ÞÖÓ ØÙØØ Ù Ú ÒÙÑÖ ÐÐ Ð Ó ÓÒØÒÒÓ ÙÒ ÒÙÑÖÓ ÓÒØÒ Ð Ù ÚÓµ Ð Ð ÓÒØÒ ØÙØØ ÒÙÑÖ ÔÖÒÔÓ ÒÙÞÓÒµº º Ù ÒÙÑÖ ÒÒÓ Ù Ú ÙÙÐ ÓÒÓ ÙÙк º ÄÓ ÞÖÓ ÒÓÒ Ð Ù ÚÓ ÐÙÒ ÒÙÑÖÓº ÁÒ ÑÓÐ ØÓ N ÙÒ³ÔÔÐÞÓÒ x N x + N ½º 0 N ¾º x N = x + N º (S N, 0 S, n S = n + S) = S = N º n + = m + = n = m º n N, n + 0 Ä ÔÖÑ ÑÓ ØÖÞÓÒ ÐгÒÔÒÒÞ ÙÓ ÒÕÙ ÓÑ ÚÒ Ø ÈÒÓ Ò ÙÒ ÐÚÓÖÓ Ð ½½ ËÙÐ ÓÒØØÓ ÒÙÑÖÓº Ð ÓÑ ÓÒÓ ÕÙ ÔÖ Ò ÐÒÙÓ ÑÓÐÓ ½ ½ Ù ÔÔ ÈÒÓ ½¹½ ¾µ ÚÓÐ ÙÒ ÖÙÓÐÓ ÔÓÒÖ ØÓ ÒÐ ÑÔÓ ÐÐ ÐÓ ÑØÑغ ÎÓÐÒÓ ØÖØØÖ Ð ÐÓ ÓÒÓ Ð ÐÒ ØÒØØ ÔÖ Ð³ÖØÑØ Ð ÓÑØÖ ÓÖÑÙÐ ÐÓ ÑØÑØ ½½µ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÐÓÐÓ ÐÐ ÔÖÓÔÓ ÞÓÒ Ø Ù ÐÙÒ ØÖÑÒ ÔÖÑØÚ Ó ÒÒØ ÖÔÔÖ ÒØØ ÑÓÐ,,, µ Ù ÐÙÒ ÓÑ Ó ÔÖÓÔÓ ÞÓÒ ÔÖÑØÚº ½

2 Ë ÔÓ ÓÒÓ ÐÖ ¾ ¼º Á ÒÙÑÖ ÓÖÑÒÓ ÙÒ Ð º ½º ijÙÒØ ÙÒ ÒÙÑÖÓº ¾º ÁÐ ÒÓ Ñ Ó ÓÔÓ ÙÒ ÒÙÑÖÓ ÔÖÓÙ ÙÒ ÒÙÑÖÓº º Ë a b ÓÒÓ Ù ÒÙÑÖ ÐÓÖÓ Ù Ú ÓÒÓ ÙÙÐ Ò³ ÓÒÓ ÙÙк º ijÙÒØ ÒÓÒ Ù ÐÙÒ ÒÙÑÖÓº º Ë s ÙÒ Ð ÓÒØÒÒØ Ð³ÙÒØ Ð Ð ÓÖÑØ Ù Ú s ÓÒØÒÙØ Ò s ÐÐÓÖ ÓÒ ÒÙÑÖÓ ÓÒØÒÙØÓ ÒÐÐ Ð sº ÁÒÔÒÒÞ Ð ÓÑÔÐ Ó ÔÓ ØÙÐØ ÈÒÓ Æ ÙÒÓ ÔÙ Ö ØÖÐ ØÓ ÒÞ ÐØÖÖ Ð ÓÒØØÓ Ò Ñ ÒÙÑÖ ÒØÙÖÐ Ó ØÙØØ ÓÒÓ Ò Ö ÔÖ ÖØØÖÞÞÖ ÙÒ ØÑ Ð ÔÖÓÔÖØ ÒØÙØÚ ÒÙÑÖ ÒØÙÖк ¾ Ë ÒÓØ Ð ÒÙÑÖÓ ÒÞÐ ÐÐ ØÒ Ó Ð ÒÙÑÖÓ ÒÞ ÒØÒØ ÓÖÒÖÑÒØ Ö ½º ÈÒÓ Ù ÚÑÒØ ÐÓ ÑÓ Ò ÞÖÓº ÆÓÒ Ñ Ð ØÖÙØØÙÖ Ð ÓÑ ÓÐÓ Ð ÒÓÑ Ð ÔÖÑÓ ÐÑÒØÓ Ñ ÐÓ ÞÖÓ ÒÞÐ ÒÐÐÓ ÚÐÙÔÔÓ ÐгÖØÑØ ÓÑ ÐÑÒØÓ ÒÙØÖÓ ÐгÞÓÒº ij ÓÑ ¼ ÖÒØ ÐÐ Ð ÒÙÑÖ ÒØÙÖÐ ÔÙ ÔÔÐÖ Ð ÐÓÐÓ ÐÐ Ð ÈÒÓ Ø Ó ÚÚ ÚÐÙÔÔØÓ ÔÖÒØÑÒغ ÍÒ ÐÐÚÓ ÈÒÓ Ù ÔÔ ÈÓ ÔÖÓÔÓ ÕÙØØÖÓ ÓÐ ÓÑ Ó ØØÙÒÓ Ð ÔÖÑÓ Ð³ÙÐØÑÓ ÓÒ Ð ÓÐÓ ÓÑ Ø ÙÒ ÒÙÑÖÓ ÐÓ ÞÖÓ ÒÓÒ Ù ÚÓ ÐÙÒ ÐÑÒØÓº ÓÑ ÔÓ Ð ÒÕÙ ÓÑ ÓÒÓ ÒÔÒÒØ ¾

3 ÑÔÓ {0, 1, 2, 3, 4} ÓÚ 0 + = 1, 1 + = 2, 2 + = 3, 3 + = 4 ÒÓÒ ÚÖ Ð ÓÐÓ ÔÓ ØÙÐØÓ ¾ ÒÓÒ Ù ÚÓµ {0, 1, 2, 3} ÓÚ 0 + = 1, 1 + = 2, 2 + = 3, 3 + = 0 ÒÓÒ ÚÖ Ð ÓÐÓ ÔÓ ØÙÐØÓ ¼ Ð Ù ÚÓ µ {0, 1, 2, 3, 4, 5} ÓÚ 0 + = 1, 1 + = 2, 2 + = 3, 3 + = 4, 4 + = 5, 5 + = 2 ÒÓÒ ÚÖ Ð ÓÐÓµ ÔÓ ØÙÐØÓ 1 + = 5 + = 2µ ր ց 5 3 տ ւ 4 {0, 1, 2, 3,...} {α, β} ÓÒ n + = n+1, α + = β, β + = α Ó Ð³Ò Ñ Ð Ù ÙÐ ÒØÙÖÐ ÓÒ Ð³ÙÒØ Ù ÐÑÒØ ÒÓÒ ÚÖ Ð ÓÐÓµ ÔÖÒÔÓ ÒÙÞÓÒ ÔÓ ØÙÐØÓ µº ÔÖØÖ Ð ÓÑ ÈÒÓ ÔÓ Ð ÒÖ Ð ÓÔÖÞÓÒ Ð ÖÐÞÓÒ ³ÓÖÒ ÒØÙÖÐ ÖÚÖ Ð ÐÓÖÓ ÔÖÓÔÖØ Ù ÙÐ

4 ÞÓÒ ÅÓÐØÔÐÞÓÒ a+0 = a a 0 = 0 a+b + = (a+b) + a b + = (a b)+a ÈÖÓÔÖØ ÓÑÑÙØØÚ a+b = b+a ÓØÚ (a+b)+c = a+(b+c) ÒÐÐÞÓÒ a+c = b+c = a = b ÓÑÑÙØØÚ a b = b a ÓØÚ (a b) c = a (b c) ÒÐÐÞÓÒ c 0, a c = b c = a = b гÐÑÒØÓ ÒÙØÖÓ Ð³ÐÑÒØÓ ÒÙØÖÓ a+0 = a a N a 1 = a a N ÒÒÙÐÐÑÒØÓ ÒÒÙÐÐÑÒØÓ a+b = 0 a = 0 b = 0 a b = 0 a = 0 b = 0 ØÖÙØÚ a (b+c) = ab+ac ÊÐÞÓÒ < a < b a ÑÒÓÖ b x 0 ØÐ a + x = b x ØØÓ ÖÒÞ ØÖ b a ÖÚ x = b aº ËÓØØÖÞÓÒ ÇÔÖÞÓÒ ÒØ ØÖ a b ÕÙÒÓ b < aº ÊÐÞÓÒ <,,, > a < b ÕÙÒÓ x 0 ØÐ a+x = bº a b ÕÙÒÓ x ØÐ a+x = bº

5 Ö Ú a a ÒØ ÑÑØÖ a b, b a = a = b ØÖÒ ØÚ a b, b c = a c ÓÑÔØÐ ÓÒ Ð ÓÔÖÞÓÒ a b = a+c b+c a b, c d = a+c b+d a b = ac bc ÒÐÓ ÔÖÓÔÖØ ÔÖ º < ØÖÒ ØÚ ÒÓÐØÖ a, b N ÚÖ ÑÔÖ ÙÒ ÙÒ ÓÐØÒØÓ ÐÐ ØÖ ÖÐÞÓÒ a < b, b = a, b < a N ØÓØÐÑÒØ ÓÖÒØÓ ÓÒ Ð ÖÐÞÓÒ º Ë a 0 = a > 0º Ë a > b = a b 1º N ÓÚÙÒÕÙ ÒÓÒ Ò Ó ÒÞ ÖØÓº ÇÒ ÒÙÑÖÓ N ÓÐØÓº ÈÖÓÔÖØ ÖÑ a, b N, a > 0, b > 0 = n N : na > bº Ê ÙÑÒÓ N ÓÖÒØÓ ÔÖ Ð ÓÔÖÞÓÒ ÖÑÓ ÓÚÙÒÕÙ ÒÓÒ Ò Óº

6 Ú ÐØ a, b N, b 0º Ë a Ú Ð ÔÖ b ÓÔÔÙÖ a ÑÙÐØÔÐÓ b b Ú a b Ú ÓÖ a b ÓØØÓÑÙÐØÔÐÓ aµ x N : a = bxº ijÓÔÖÞÓÒ ÕÙÒÓ ÔÓ Ð ØØ Ú ÓÒ a 0 a 0 a Ú ¼ ÔÖ ÓÒ a 0µ 1 a a a a a 0 c a, c b = c a±b c Ú a c Ú b ÐÐÓÖ c Ú a±bµ b a, c b = c a b Ú a c Ú b ÐÐÓÖ c Ú a µ Ú ÓÒ ÓÐ Ö ØÓ a, b N, b 0 = ÙÒ³ÙÒ ÓÔÔ q, r N ØÐ a = bq +r 0 r < b ÐÓÖØÑÓ ÙÐÓ ÐÐ Ú ÓÒ Ù Úµ ÑÒØ Ð ÕÙÐ ØÖÑÒ Ð³ÒØÖÓ d = Å(a, b) ÓÚÚÖÓ Ð Ñ ÑÓ ÓÑÙÒ Ú ÓÖ a bº ÆÙÑÖ ÔÖÑ a, b ÓÒÓ ÔÖÑ Ö ÐÓÖÓ Å(a, b) = 1º a ÔÖÑÓ a > 1 a Ú Ð ÓÐÓ ÔÖ ½ ÔÖ Ø Óº N ÚÒ ÖÔÖØØÓ Ò ÓØØÓÒ Ñ ½º ÐÓ ÞÖÓ ¾º Ð ÒÙÑÖÓ ½ º ÒÙÑÖ ÔÖÑ º ÒÙÑÖ ÓÑÔÓ Ø

7 ÌÓÖÑ ÓÒÑÒØÐ ÐгÖØÑØ ÖÞÓÒÐ ÇÒ ÒÙÑÖÓ ÑÓÖ ÙÒÓ ÔÖÑÓ ÓÔÔÙÖ ÔÙ ÖÔÔÖ ÒØÖ Ò ÙÒÓ Ò ÙÒ ÓÐÓ ÑÓÓ ÔÖ ÒÖ ÐгÓÖÒµ ÓÑ ÔÖÓÓØØÓ ØØÓÖ ÔÖÑ n = p h 1 1 p h p hs s (n > 1) ÓÚ p 1,...,p s ÓÒÓ ÔÖÑ ØÒØ ÓÒ p i p j (i j) h i 1, s 1 Ð ÖÔÔÖ ÒØÞÓÒ n = i p h i i ÙÒ p i < p i+1 ÓÒ i = 1,..., s 1º