exam-sols-1.dvi

Bản ghi

1 ÅØÑ Ø Á ¹ ÒÓØÙÖÒÓµ ¹ ž¼ ÜÑ ½ ¼»¼»½ ÊÁÌÇ ½º ÈÖ ÒÖ ÙÒÓ ÓÑÔÐÜ wz) z /n ÔÖ Ó Ù Ö ÙÒÓ ÐÓÖØÑÓ Ò ÕÙÐ ÔÖ Ó ÓÒ ÖÖ ÜÔÐØÑÒØ ØÓ ÓÐ ÙÔÖ ÊÑÒÒº Ñ ÓÑ z ρexpıθ) ÓÒ θ [ π,π] ØÑÓ ÕÙ wz) e n lnz), ÓÒ lnz) lnρ)+ıθ +ıkπ, ÓÒ k ÙÑ ÒÑÖÓ ÒØÖÓ ÕÙÐÕÙÖ lnρ) ÙÒÓ ÐÓÖØÑÓ ÖÐ Ù Ùк µ ÖÚÒÓ wz) ÜÔÐØÑÒØ ØÑÓ wz) e n [lnρ)+ıθ+ıkπ] e n lnρ) e ı θ n) e ı k n π) ρ n e ı θ n) e ı k n π). ÓÑÓ θ Ø ÒØÖ π π n > θ/n ÒÙÒ ÙÑ ÚÓÐØ ÓÑÔÐØ Ñ ØÓÖÒÓ ÓÖÑ ÓÖÑ ÕÙ ØÒØÓ Ó ØÓÖ ÒÚÓÐÚÒÓ ρ ÕÙÒØÓ ÔÖÑÖ ÜÔÓÒÒÐ ÑÒ Ö Ó ÙÒ ÓÑÔÐÜ ÚÐÓÖ ÒÓº  ÙÒ ÜÔÓÒÒÐ ØÖÙ ÙÒÓ Ú ÖÓ ÚÐÓÖ ÓÒÓÖÑ k ÚÖ ÔÐÓ ÒØÖÓ º ÒØÖØÒØÓ ÓÑÓ ØÒØÓ n ÕÙÒØÓ k Ó ÒØÖÓ ØÐ ÙÑ ÔÖÓ Ò Ø ÙÒÓ ÔÓ Ó ÚÐÓÖ Ð ÔÖ k ÓÒ ÓÑ Ó ÚÐÓÖ ÔÖ k n ÙÑ ÚÞ ÕÙ Ò Ø Ó Ó ÖÙÑÒØÓ ÜÔÓÒÒÐ πıº Æ ÖÐ ØÓÓ Ó ÚÐÓÖ k Ó ÔÓÖ k mn ÓÒ m ÙÑ ÒÑÖÓ ÒØÖÓ ÕÙÐÕÙÖ Ö ÙÐØÑ ÒÓ Ñ ÑÓ ÚÐÓÖ ÔÖ ÙÒÓ ÒÐÙÒÓ ÒÓ Ó Ó ÑÐØÔÐÓ ÒØÚÓ nº Ñ Ö ØÑ ÔÒ n ÚÐÓÖ ÖÒØ ÙÒÓ ÕÙ ÔÓÑ Ö ÖÔÖ ÒØÓ ÔÓÖ ÜÑÔÐÓ ÔÓÖ k [,...,n ]º ÎÑÓ Ñ ÕÙ ÙÒÓ wz) z /n ÙÑ ÙÒÓ n ÚÐÓÖ ÕÙ ØÖÙ n ÚÐÓÖ ÖÒØ ÚÐÓÖ zº µ ÓÑÓ ØÑÓ Ó n ÚÐÓÖ ÙÒÓ ÖØÓ ÜÔÐØÑÒØ Ñ ÓÖÑ ÔÓÐÖ wz) ρ n e [ı θ n +k n π)], ÔÖ k,...,n, ÚÖÑÓ ÑØÑÒØ ÕÙ Ó ÖÓ ρ /n ÒÓ ÔÒ k ÓÖÑ ÕÙ Ó Ñ ÑÓ ÔÖ ØÓÓ Ó n ÚÐÓÖ ÕÙ ØÓ ÔÓÖØÒØÓ ÐÓÐÞÓ ÓÖ Ó ÖÙÐÓ ÓÑ Ø ÖÓº ÐÑ Ó ÙÑ Ó ÚÐÓÖ ØÑ ÒÙÐÓ ÙÐ Ó ÒØÖÓÖ ÙÑÒØÓ ÕÙÒØ ÓÒ ØÒØ π/n ÓÖÑ ÕÙ Ó n ÚÐÓÖ ØÓ ÙÐÑÒØ ÔÓ Ó ÐÓÒÓ Ó ÖÙÐÓº µ ÓÑÓ ÚÑÓ ÒÓ ØÒ ÒØÖÓÖ Ó ÖÓ ρ /n Ó n ÒÙÐÓ Ó Ó ÔÓÖ θ n +kπ, ÔÖ k,...,n. n

2 µ Ç ÔÓÒØÓ ÒÙÐÖ Ó ÔÓÒØÓ z ÓÒ Ó ÒÙÐÓ ÕÙ ÖÒÑ ÓÐ ÊÑÒÒ Ñ ÒÒÓ º Ñ ÔÖ ÓÒ ØÖÙÖ ÙÔÖ ÊÑÒÒ Ò ÖÓ ÖØÖÖ Ø ÔÓÒØÓ Ó ÓÑÒÓ ÓÒ ÖÖ ÓÑÓ ÓÐ n Ô ÙÔÖÔÓ Ø Ó ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓ ÙÑ ÓÑ ÓÖÑ ÖØÖº ØÖÙÑÓ ÙÑ Ø n ÓÐ ÙÑ ÚÐÓÖ k Ñ [,...,n ]º ÙÑ Ø ÓÐ Ú Ö ÓÖØ ÓÖÑ Ø Ó ÒÒØÓ Ó ÐÓÒÓ ÙÑ ÙÖÚ ÑÔÐ ÖØÖ Ö Ñ Ñ ÔÖ ØÓ ÓÐ ÔÓÖ ÜÑÔÐÓ Ó Ñ¹ÜÓ ÖÐ ÒØÚÓº Ñ Ù ÙÑ ÐÓ ÙÑ Ø ÓÖØ ÓÐÓ Ó ÐÓ ÓÔÓ ØÓ Ó ÓÖØ ÓÐ ÙÒØ ÓÖÑÒÓ Ñ ÙÑ Ô ÙÔÖ ÔÖÐ n ÚÓÐØ º ÈÓÖ Ñ Ó ÐÓ Ö ØÒØ ÔÖÑÖ ÐØÑ ÓÐ Ó ÓÐÓ ÓÖÑÒÓ ÙÔÖ ÊÑÒÒ ÕÙ ÖÔÖ ÒØ Ó ÓÑÒÓ ÙÒÓ ÓÖ ÕÙÐ ÔÓ Ö ÖÔÖ ÒØ ÓÖÑ ÓÑÔÐØ ÙÒÚÓ ÑÑ ÙÒÓº µ Å ÙÑ ÚÞ ÔÖØÑÓ ÓÖÑ ÔÓÐÖ ÜÔÐØ ÙÒÓ wz) ρ n e [ı θ n +kπ)] n [ ρ θ n cos n + k ) n π θ +ısin n + k )] n π, ÙØÐÞÑÓ ÚÖ Ó ÔÓÐÖ ÓÒ ÙݹÊÑÒÒ ÔÖ ÚÖÖ ÒÐع º ÌÑÓ ÔÖ ÜÔÖ ÖÐÚÒØ ÒÚÓÐÚÒÓ ÖÚ ÔÖ u ρ v ρ θ u ρ θ n ρ θ n cos n + k ) n π, ρ θ n n cos n + k ) n π, ρ ) θ n n sin n + k ) n π v ρ ) n ρ n sin, θ n + k ) n π, ÕÙ ÚÖ ÕÙ Ù ÓÒ ÙݹÊÑÒÒ ØÓ Ø Ø ÔÖ ØÓÓ Ó ÚÐÓÖ ρ θ ÜØÓ ÔÖ ρ ÔÓ Ò Ø Ó ÖÚ ÒÓ Ü ØÑ ÙÑ ÚÞ ÕÙ Ó ÜÔÓÒØ /n) ÒØÚÓ ÔÓ n > º ÐÑ Ó ÚÑÓ ÕÙ Ù ÓÒ ØÓ Ø Ø ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ÚÐÓÖ k ÓÒ Ù ÕÙ ÙÒÓ ÒÐØ ÓÖ ØÓ ÙÔÖ ÊÑÒÒº ¾º ÎÑÓ ÜÔÒÖ Ñ ÙÑ Ö ÔÓØÒ Ñ ØÓÖÒÓ z ÙÒÓ wz). µ ÙÒÓ Ò ÓÑÓ ÖÞÓ Ù ÙÒ ÒÓ ÕÙÐ Ñ ÒÓÑÒÓÖ ÙÒÓ ÓÒ ØÒØ ÒÐØ Ñ ØÓÓ Ó ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓ ÕÙÐ Ñ ÒÓÑÒÓÖ ÙÑ ÖÞ ÕÙÖ ÒÐØ Ñ ØÓÓ Ó ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓ ÜØÓ ÔÐÓ ÔÓÒØÓ z 4 ÒÓ ÕÙÐ ÐÑ ÒÓ¹ÒÐØ Ð ÒÙк Ñ ÙÒÓ Ö ÙÐØÒØ ÒÐØ Ñ ØÓÓ Ó ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓ ÜØÓ ÔÐÓ ÔÓÒØÓ z 4º ØÓ ÓÑÓ ÙÒÓ Ò ÓÑÓ ÙÑ ÖÞ ÕÙÖ Ð ÒÐØ ÓÖ ÙÑ ÙÔÖ ÊÑÒÒ Ù ÓÐ Ñ ÒØ Ó ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓ ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ z 4 ÖØÖÓº ÆÓ ÔÓÒØÓ z 4 ÙÒÓ ØÑ ÙÑ ÒÙÐÖ Ó ØÔÓ ÔÓÒØÓ ÖÑÓº ¾

3 µ ÐÙÐÒÓ ÔÖÑÖ ÔÓÙ ÖÚ ØÑÓ w z), w z) w z) w z), 5 w 4 z) w 5 z) , 5 7 7, Ë ØÑØÞÒÓ Ö ÔÓ Ø ÔÓÑÓ ÖÚÖ ÕÙ 9,, w n z) n )!! n n+ n+)!! n n+) n+. ÔÐÒÓ ØÓ Ñ z ÓÐÒÓ ÓÐ ÊÑÒÒ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ 4 + ÓÑÓ ÐÓÐÞÓ Ó ÔÓÒØÓ z ØÑÓ w n ) n+)!! n n+) 4 n+ n+)!! n n+) n+ n+)!! n n+) n+)!!n)!! n n)!!n+) n+)! 4n n!n+) n)! 4n n!. ÌÑÓ ÔÓÖØÒØÓ ÔÖ Ö ÌÝÐÓÖ ÙÒÓ Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÞÖÓ wz) n n n+)!! n n!n+) zn n)! 4n n!) zn.

4 µ ÓÑÓ ÙÒÓ ØÑ ÙÑ Ò ÒÙÐÖ ÐÓÐÞ Ñ z 4 Ó Ó ÓÒÚÖÒ ÙÑ Ó ÖÓ 4 ÒØÖÓ Ò ÓÖѺ ÒØÖ Ó Ø Ó ÓÑ Ó ÜÓ ÖÐ Ó ÒØÖÚÐÓ ÖØÓ 4,4) ÓÙ ÒÓ Ó y Ö ÓÒÚÖ ÔÖ 4 < x < 4º µ Ë ÐÙÐÖÑÓ ÙÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ z ÕÙ Ø Ñ ÒØÖÓ Ó ÒØÖÚÐÓ ÖÐ ÓÒÚÖ¹ Ò Ö ÓØÑÓ w), ÓÖÑ ÕÙ Ó ÐÙÐÓ Ö ÔÖ z ÒÓ ÙÑ ÓÖÑ ÐÓÖØÑ ÐÙÐÖ w) n n n)! 4n n!) n n)! 4n n!). µ ÓÑÓ Ó ØÓÖÐ n)! ÙÑ ÒÑÖÓ ÒØÖÓ Ó ÒÙÑÖÓÖ ØÖÑÓ Ö ÒØÖÓº ÓÑÓ ØÒØÓ 4n ÕÙÒØÓ n!) ØÑÑ Ó ÒÑÖÓ ÒØÖÓ Ó ÒÓÑÒÓÖ ØÑÑ ÒØÖÓ Ù ÕÙ ØÖÑÓ Ö ÙÑ ÒÑÖÓ ÖÓÒк ÓÑÓ ÓÑ ÒÑÖÓ ÖÓÒ ÖÓÒÐ ÙÑ ÚÞ ÕÙ Ó ÖÓÒ ÓÖÑÑ ÙÑ ÓÖÔÓ ÓÑ ÔÖÐ Ö ÙÑ ÒÑÖÓ ÖÓÒк ÕÙÒ ÓÑ ÔÖ ÓÖÑ ÔÓÖØÒØÓ ÙÑ ÕÙÒ ÒÑÖÓ ÖÓÒ ÕÙ ÓÒÚÖ ÔÖ Ó ÒÑÖÓ ÖÖÓÒÐ º º ÊÓÖÑÓ ÕÙ Ö ÌÝÐÓÖ sinz) sinz) ) k k +)! zk+. µ ËÑÔÐ ÑÒØ ÓÑÔÓÒÓ Ö sinz) ÓÑ ÙÒÓ z ØÑÓ Ö sin z ) ) k k +)! z4k+. µ ÓÒ ÖÒÓ ÓÖ ÙÒÓ fz) sin z ) /z ÔÖ z ÔÓÑÓ ÖÚÖ ÔÖ Ð Ö fz) ) k k +)! z4k. µ Ç ÖÚ¹ ÕÙ Ø Ö ÒÓ ØÑ ÒÒÙÑ ÔÓØÒ ÒØÚ z ÕÙ ÔÓÖØÒØÓ ÙÑ Ö ÌÝÐÓÖ ÒÓ ÄÙÖÒغ Ñ Ö ÙØÓÑØÑÒØ ØÒ Ó ÓÑÒÓ ÒÐØ ÙÒÓ Ñ ÖÐÓ ÒÓ ÒÐ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ö Ù Ñ z º ÓÑÓ Ö sinz) ÓÒÚÖÒØ Ñ ØÓÓ Ó ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓ Ù ÕÙ Ø Ö ØÑÑ ÓÒÚÖÒØ Ñ ØÓÓ Ó ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓº

5 µ Ë ÐÙÐÖÑÓ Ó ÐÑØ z Ù ÒÓ Ö ÔÖ ÖÔÖ ÒØÖ ÙÒÓ Ù Ñع ÑÒØ ÕÙ ÔÒ Ó ÔÖÑÖÓ ØÖÑÓ ÒÓ¹ÒÙÐÓ ÔÓÖØÒØÓ ÕÙ lim fz) lim z z. ) k k +)! z4k ) k k +)! lim z z4k µ Ë ÒÖÑÓ ÙÒÓ Ñ z ÔÐÓ ÖØÖÓ ÓÒØÒÙ ÓÙ f) ÕÙ Ó ÚÐÓÖ ÖØÓÖÒÓ ÔÐ Ö ÒÕÙÐ ÔÓÒØÓ Ù ÕÙ ÙÒÓ ÖÔÖ ÒØ ÔÐ Ö Ñ ØÓÓ Ó ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓ ÓÑÓ Ö ÓÒÚÖ ÔÖ ÙÑ ÙÒÓ ÒÐØ Ù ÕÙ ÙÒÓ Ö ÙÐØÒØ ÒÐØ ÓÖ ØÓÓ Ó ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓº º ÚÑÓ ÐÙÐÖ ÒØÖÐ ÒØØ I x x 4 +x + dx. µ ØÒÒÓ ÚÖ ÚÐ ÖÐ x ÔÖ ÙÑ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÚÖ ÚÐ ÓÑÔÐÜ z x + ıy ÔÓÑÓ ÖÚÖ ÒØÖÐ ÓÑÓ I C z z 4 +z + dz, ÓÒ Ó ÓÑÒÓ ÒØÖÓ C Ó ÜÓ ÖÐ ÓÖ Ó ÔÐÒÓ z ÓÑÔÐÜÓ ÓÙ < x < ÓÑ y º µ Í ÑÓ ÖÑÙÐ Ö ÔÖ Ö ÖÞ Ó ÔÓÐÒÑÓ ÕÙÖ ØÓ Ñ z z± ± 9 8 ± ±. ÓÑÓ Ú Ó Ó Ö ÙÐØÓ Ó ÒØÚÓ ÔÓ ØÑÓ ÔÓ Ð 4/ / º ËÙ ÕÙ ÖÞ ÔÖ z Ó ØÓ ÑÒ Ö z ± ı z ±ı ÓÖÑ ÕÙ Ó ÔÓÐÒÑÓ ÔÓ Ö ØÓÖÓ ÓÑÓ z 4 +z + z ) ı z + ) ı z ı)z +ı), ÓÖÑ ÕÙ ÒØÖÐ ÔÓ Ö ÖØ ÓÑÓ I C z z ı ) z + ı ) z ı)z +ı) dz, ÕÙ Ò ØÒ ÓÖ Ó ÜÓ ÖÐ ÒÓ ÔÐÒÓ z ÓÑÔÐÜÓº ËÙ ÕÙ ÒÙÐÖ Ó ÒØÖÒÓ Ó ÕÙØÖÓ ÔÓÐÓ ÑÔÐ ÐÓÐÞÓ Ñ z ±ı z ±ı º

6 µ ÈÓÑÓ Ö Ó ÖÙØÓ Ù ÒÓ ÙÑ ÖÓ ÕÙ ØÒ Ó ÒÒØÓ ØÒØÓ ÒÓ ÑÔÐÒÓ ÙÔÖÓÖ ÕÙÒØÓ ÒÓ ÑÔÐÒÓ ÒÖÓÖº Ë Ù ÖÑÓ Ó ÖÓ ÒÓ ÑÔÐÒÓ ÙÔÖÓÖ ÒÙÐÖ ÖÐÚÒØ Ó z ı z ıº Ë Ù ÖÑÓ Ó ÖÓ ÒÓ ÑÔÐÒÓ ÒÖÓÖ ÒÙÐÖ ÖÐÚÒØ Ó z ı z ıº ÆÓ ÕÙ Ù ÚÑÓ Ù Ö ÔÖÑÖ ÐØÖÒØÚº µ ÒØÖÐ ÓÒÐ I Ò ÓÖ ÙÑ Ñ¹ÖÓ ÖÓ R ÓÑ θ ÒÓ π ÒÓ ÐÑØ Ñ ÕÙ ÞÑÓ R º Í ÒÓ z Rexpıθ) ÔÓÖØÒØÓ dz ız ÓÖ Ó ÖÓ ØÑÓ ÔÖ Ø ÒØÖÐ I ı R dz z z 4 +z + z z 4 +z + R e ıθ R 4 e ı4θ +R e ıθ + e ıθ e ı4θ +e ıθ /R +/R 4. ız ıre ıθ ÎÑÓ ÕÙ ÒÓ ÐÑØ R Ó ÒØÖÒÓ ÑÔÐ ÓÖÑ ÕÙ ÐÙÐÒÓ Ó ÑÙÐÓ ÒØÖÐ Ò Ø ÐÑØ ØÑÓ lim I lim R R R lim R R lim R lim R lim R. R R π R e ıθ e ı4θ +e ıθ /R +/R 4. e ıθ e ı4θ +e ıθ /R +/R 4 e ı4θ ÓÑÓ Ó ÑÙÐÓ I ÔÓ ØÚÓ Ø ÐÑØÓ ÙÔÖÓÖÑÒØ ÔÓÖ ÞÖÓ ÒÓ ÐÑØ Ù ÕÙ Ó ÐÑØ Ó ÑÙÐÓ ÞÖÓº Ë Ó ÑÙÐÓ ØÒ ÞÖÓ Ò ÖÓ ÕÙ Ó ÒÑÖÓ ØÑÑ ØÒ ÞÖÓ ÓÖÑ ÕÙ ØÑÓ lim I. R µ Ç ÖÙØÓ Ø ÒÓ ÔÖÓÖÖÓ Ò ÖÓ ÔÓ ØÚ Ó Ö ÙÓ R R Ó ÔÓÐÓ ÖÐÚÒØ Ó ÒØÖÒÓ ÔÓÑ Ö ÐÙÐÓ ØÖÚ Ó ÐÑØ z z ı) R lim ) ) z ı z ı z + ı z ı)z +ı) z lim ) ) z ı z ı z + ı z +ı)

7 ) ı + ) ıı) R ı, ı ) ı ) z z ı ) lim z ) ) ı z ı z + ı z ı)z +ı) z lim z ) ı z + ı z ı)z +ı) ) ) ) ı ı + ı ı ) ı ) ı. ËÙ ÕÙ ØÑÓ ÔÖ ÒØÖÐ º ÎÑÓ ÐÙÐÖ ÔÓÖ Ö ÙÓ ÒØÖÐ ÖÐ I I πı)r +R ) ı ı πı π ) ) π sinθ). µ ÖÚÒÓ Ó ÒÓ Ñ ØÖÑÓ ÜÔÓÒÒ ÓÑÔÐÜ ØÑÓ sinθ) ı ı e ıθ e ıθ) z ), z ÓÒ ÐØÑ ÓÖÑ Ú Ð ÕÙ ØÑÓ ÓÖ Ó ÖÙÐÓ ÙÒØ ÖÓ ÒÓ ÔÐÒÓ z ÓÑÔÐÜÓ ÓÑ z ρexpıθ) ρ º

8 µ ÖÚÒÓ z Ò ÖÔÖ ÒØÓ ÔÓÐÖ ØÑÓ ÓÖÑ ÕÙ ØÑÓ z ρe ıθ dz ız, ız dz. Á ØÓ ÚÐ ÒÔÒÒØÑÒØ Ó ÚÐÓÖ ρ Ñ ÓÑÓ ÚÑÓ Ñ ÔÒ ÔÖ ρ Ó ÒÓ ÔÓ Ö ÖØÓ ÓÖÑ ÑÔÐ Ñ ØÖÑÓ z ÓÖÑ ÕÙ Ó ÑÒÓ ÒØÖÓ ÒÓ ÔÐÒÓ z ÓÑÔÐÜÓ Ó ÖÙÐÓ ÙÒØ ÖÓº µ ÞÒÓ Ò ÒØÖÐ ØÖÒ ÓÖÑ Ò Ñ ÓØÑÓ I ız ız ÓÒ Ó ÖÙØÓ Ó Ó ÖÙÐÓ ÙÒØ ÖÓº 5 ız /z) dz ı 5z ız ) dz 5ız +z, µ ÔÖ Ó ÓÖ ØÓÖÖ Ó ÔÓÐÒÑÓ Ñ ÒÓÑÒÓÖº Í ÒÓ¹ ÖÑÙÐ Ö ÒÓ Ð ÚÖÖ ÕÙ Ù ÖÞ Ó ı ı/ ÓÖÑ ÕÙ ØÑÓ ÔÖ ÒØÖÐ I 4 4 dz z +5ız dz z +ı)z +ı/). µ ÔÒ Ó ÔÓÐÓ Ó ÔÓÖ z ı/ ÒØÖÓ Ó ÖÙØÓ ÒØÖÓ ÓÖÑ ÕÙ ÔÒ Ó Ù Ö ÙÓ R Ö ÓÒØÖÙÖ ÔÖ ÒØÖк Ç Ö ÙÓ ÖÐÚÒØ Ó ÒØÖÒÓ ÔÓ Ö ÐÙÐÓ ÓÖÑ ÑÙØÓ ÑÔÐ ØÖÚ Ó ÐÑØ R lim z ı/ z +ı/) z +ı)z +ı/) lim z ı/ z +ı) ı+4ı ı. ËÙ ÕÙ Ó ÚÐÓÖ ÒØÖÐ Ó Ñ ÕÙÐÕÙÖ ÙÐ ÔÓÖ I 4πı)R 8π.