Aula_07_metI.dvi

Bản ghi

1 ÙÐ ¼ ¹ ÕÙÓ ÖØÖ Ø Ç³ ¾ a ÇÖÑ ÐØÓÒ ÓÒØÒ ½ ÕÙÓ ÖØÖ Ø Æ ÙÐ Ô ÚÑÓ Õ٠dz ÙÒ ÓÖÑ ÓÑÓÒ ÓÑ ÓÒØ ÓÒ ØÒØ ÔÓÑ Ö ÜÔÖ ÓÖÑ ÖÐ ÓÑÓ ÓÒ A B C Ó ÓÒ ØÒØ A 0º A d2 y dt 2 +Bdy dt +Cy = 0 ËÙÔÓÒÓ ÙÑ ÓÐÙÓ ÓÖÑ y(t) = e rt ÔÓ¹ ÑÓ ØÖÖ ÕÙ Ø ÓÐÙÓ Ø Þ ÕÙÓ ÖÒÐ ÔÖ Ó ÚÐÓÖ r ÕÙ Ñ ÖÞ ÕÙÓ ÖØÖ Ø Ar 2 +Br +C = 0 Ñ ÓÒ ÖÒÓ Ó ÔÖÒÔÓ ÙÔÖÔÓ Ó ÓÐÙÓ ÔÓ Ö ÜÔÖ ÓÑÓ y(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t ÓÒ r 1 r 2 Ó ÖÞ ÕÙÓ ÖØÖ Øº ÈÖ ÚÐÖ Ø ÓÐÙÓ Ö ÙÑ ÓÒÙÒØÓ ÙÒÑÒØÐ ÓÐÙ ÖÓ ÚÐÓ ÔÖÑÒØ Ó Ó ÓÒ ÕÙÓ ÖØÖ Ø ÔÓ Ù ÖÞ Ö ØÒØ ÖÔØ ÓÙ ÓÑÔÐÜ º ½º½ ÕÙÓ ÖØÖ Ø ÓÑ ÊÞ Ê ØÒØ Ç Ó Ñ ÑÔÐ ÓÓÖÖ ÕÙÒÓ ÕÙÓ ÖØÖ Ø ÔÓ Ù Ù ÖÞ Ö ØÒØ º Æ Ø Ó Ø Ù ØØÙÖ ÖÞ Ò ÕÙÓ y(t) = c 1 y 1 (t)+c 2 y 2 (t) = c 1 e r1t +c 2 e r 2t ÓÐÙÓ ÖÐ Ö ÓÒº ½

2 ÚÐÒÓ ÓÐÙ ÓÖÖ ÔÓÒÑ ÓÐÙ ÙÒÑÒØ y W(y 1,y 2 ) = 1 y 2 y 1 y 2 = e r 1t e r 2t r 1 e r 1t r 2 e r 2t = r 2(e r1t e r2t ) r 1 (e r2t e r1t ) ÓÙ Ò W(y 1,y 2 ) = r 2 e t(r 1+r 2 ) r 1 e t(r 1+r 2 ) ÈÖ ÖÒØÖ ÕÙ ÙÒ ÓÖÑÑ ÙÑ ÓÒÙÒØÓ ÙÒÑÒØÐ Ó ÏÖÓÒ ÒÓ Ú Ö ÖÒØ ÞÖÓº ÙÑÒÓ ÙÑ Ó ÓÒ W(y 1,y 2 ) = 0 ØÓ Ö ÙÐØ Ñ r 2 e t(r 1+r 2 ) r 1 e t(r 1+r 2 ) = e t(r 1+r 2 ) (r 2 r 1 ) = 0 ÓÑÓ ÙÒÓ ÜÔÓÒÒÐ Ö ÖÒØ ÞÖÓ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ÚÐÓÖ Ó ÜÔÓÒØ ØÓ Ù ÕÙ Ò ÑÒÖ Ø ÞÖ ÙÐ ÒØÖÓÖ r 2 = r 1 º ÈÓÖÑ ØÑÓ ÓÒ ÖÒÓ Ó Ó ÓÒ ÖÞ Ó ØÒØ ÑÓÓ ÕÙ ÔÓÖ ÒÓ r 1 r 2 ÔÓÖØÒØÓ Ó ÏÖÓÒ ÒÓ ÒÙÒ Ö ÒÙÐÓ ÒÔÒÒØ Ó ÔÓÒØÓ ÓÒ ÓÒ Ò ÖÓ ÔÐ º ÜÑÔÐÓ ¼½ ÇØÒ ÓÐÙÓ ÖÐ ÙÒØ Ç d 2 y dx 2 +5dy dx +6y = 0 ÓÐÙÓ ÔÖØÙÐÖ ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ y(0) = 2 y (0) = 3º ÜÑÔÐÓ ¼¾ ÇØÒ ÓÐÙÓ ÔÖØÙÐÖ Ó ÙÒØ ÈÎÁ 4y 8y +3y = 0 y(0) = 2 y (0) = 1 2 ÕÙÓ ÖØÖ Ø Ö 4r 2 8r +3 = 0 ÑÓÓ ÕÙ ÖÞ ÖÓ r 1 = 3 2 r 2 = 1 2 ÓÐÙÓ ÖÐ Ö ÓÖÑ y(t) = c 1 e r1t +c 2 e r2t = c 1 e 3t/2 +c 2 e t/2 ÚÐÒÓ ÓÒÓ y(0) = 2 2 = c 1 +c 2 ¾

3 ÖÚ ÓÐÙÓ ÖÐ Ö dy dt = 3c 1 2 e3t/2 + c 2 2 et/2 ÑÓÓ ÕÙ ÓÒÓ y (0) = 1/2 ÖØÓÖÒ Ê ÓÐÚÒÓ Ó ØÑ ÐÒÖ ÓØѹ 1 2 = 3c c 2 2 c 1 = 1 2 c 2 = 5 2 Ñ ÓÐÙÓ ÔÖØÙÐÖ Ö y(t) = 1 2 e3t/ et/2 ½º¾ ÕÙÓ ÖØÖ Ø ÓÑ ÊÞ ÓÑÔÐÜ ÓÒ Ö ÓÖ Ó Ó ÓÒ ÖÞ ÕÙÓ ÖØÖ Ø Ó ÓÑÔÐÜ º Äѹ ÖÒÓ ÕÙ ÖÞ ÓÑÔÐÜ ÕÙ ÙÒÓ ÖÙ ÑÔÖ Ó ÓÑÔÐÜÓ ÓÒ¹ ÙÓ ÖÞ ÔÓÑ Ö ÖØ ÓÑÓ r 1 = a+bi r 2 = a bi ÓÐÙÓ ÖÐ Ò Ø Ó ÔÓÖ y(t) = c 1 e (a+bi)t +c 2 e (a bi)t = c 1 e at e bti +c 2 e at e bti ÓÐÓÒÓ e ax Ñ ÚÒ y(t) = e at (c 1 e bti +c 2 e bti ) ÈÖ ÐØÖ ÑÒÔÙÐÓ ÕÙÓ ÓÒÚÒÒØ ÜÔÖ Ö ÔÖØ ÜÔÓÒÒÐ Ñ ØÖÑÓ ÙÒ ØÖÓÒÓÑØÖ ØÖÚ Ó Ù Ó ÖÑÙÐ ÙÐÖ e ix = cos(x)+isin(x) ÓÒ ÖÒÓ ÖÑÙÐ ÙÐÖ ÜÔÖ Ó ÔÖ y(t) ÔÖØ ÓÑÔÐÜ ÔÓ Ö Ö ÖØ ÓÑÓ y(t) = e at (c 1 (cos(bt)+isin(bt))+c 2 (cos( bt)+isin( bt)))

4 ÓÒ ÖÒÓ Ò ÒØ ØÖÓÒÓÑØÖ cos(θ) = cos( θ) sin(θ) = sin( θ) ÕÙÓ ÖØÓÖÒ y(t) = e at ((c 1 +c 2 )cos(bt)+(c 1 i+c 2 i)sin(bt)) ÓÑÓ c 1 c 2 Ó ÓÒ ØÒØ ÖØÖ Ö ÔÓ¹ ÒÖ c 3 = c 1 +c 2 c 4 = c 1 i+c 2 iº Ñ y(t) = c 3 e at cos(bt)+c 4 e at sin(bt) = c 3 y 1 (t)+c 4 y 2 (t) ÈÖ ÖÒØÖ ÕÙ Ø ÓÐÙÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÐÙÓ ÖÐ Ç ÕÙ y 1 (t) y 2 (t) ÓÖÑÑ ÙÑ ÓÒÙÒØÓ ÓÐÙ ÙÒÑÒØ ÔÖ ÑÓ ÚÐÖ Ó ÏÖÓÒ ÒÓ W(y 1,y 2 )º ÖÚ ÓÐÙ dy 1 dt = aeat cosbt bsinbte at dy 2 dt = aeat sinbt+bcosbte at y W = 1 y 2 y 1 y 2 = e at cos(bt) e at sin(bt) ae at cosbt bsinbte at ae at sinbt+bcosbte at Ô ÑÔÐÖ Ö ÔÓ Ø ÓØѹ ÕÙ W = be 2at Ñ Ó ÏÖÓÒ ÒÓ ÒÙÐÓ b = 0º ÈÓÖÑ Ó b = 0 ÕÙÓ ÖØÖ Ø ÔÓ Ù Ù ÖÞ Ö ÔÓ¹ ÙØÐÞÖ ÓÐÙ Ú Ø ÒØÖÓÖÑÒغ ÜÑÔÐÓ ¼ Ê ÓÐÚ Ó ÙÒØ ÈÎÁ y +y +y = 0 y(0) = 0 y (0) = 1 ½º ÕÙÓ ÖØÖ Ø ÓÑ ÓÒØ ÊÔØÓ ÉÙÒÓ ÕÙÓ ÖØÖ Ø ÔÓ Ù Ù ÖÞ ÒØ r 1 = r 2 = rµ ÓÑÒØ ÙÑ ÓÐÙÓ ÜÔÓÒÒÐ ÔÓ Ö ÓØ y(t) = c 1 e rt ÆÓ ÒØÒØÓ Ø ÒÓ ÓÐÙÓ Ñ ÖÐ ÔÓ Úк ÍØÐÞÒÓ Ó ÑØÓÓ ³ÐÑÖØ ÔÓ¹ ÑÓ ØÖÖ ÕÙ ÙÑ ÙÒ ÓÐÙÓ ÔÓ Ö ÔÓÖ y(t) = c 2 te rt

5 ÓÑ Ó ÓÐÙÓ ÖÐ ÔÖ Ç Ö y(t) = c 1 e rt +c 2 te rt = e rt (c 1 +c 2 t) ÚÐÒÓ ÓÐÙ ÓÖÖ ÔÓÒÑ ÓÐÙ ÙÒÑÒØ y W = 1 y 2 y 1 y 2 = e rt re rt re rt e rt +r 2 e rt = e2rt +rte 2rt rte 2rt = e 2rt ÓÑÓ ÙÒÓ ÜÔÓÒÒÐ ÒÙÒ 0 ÓÐÙ ÔÖÓÔÓ Ø Ó ÙÑ ÓÒÙÒØÓ ÓÐÙ ÙÒÑÒØ º ÜÑÔÐÓ ¼ Ê ÓÐÚ Ó ÙÒØ ÈÎÁ y y + y 4 = 0 y(0) = 2 y (0) = 2 ¾ ÕÙ ÆÓ¹ÀÓÑÓÒ ÅØÓÓ Ó ÓÒØ ÁÒØÖÑÒÓ ÓÒ Ö ÓÖ Ó Ó ÙÑ Ç ÙÒ ÓÖÑ ÐÒÖ ÒÓ¹ÓÑÓÒ y +p(t)y +q(t)y = g(t) ÓÒ p(t) q(t) g(t) Ó ÓÒØÒÙ Ñ ÙÑ ÒØÖÚÐÓ ØÓ Iº ÕÙÓ y +p(t)y +q(t)y = 0 Ñ ÕÙÓ ÓÑÓÒ Ó ÕÙÓ ÓÖÒк ÈÖ Ù Ö ÙÑ ÓÐÙÓ ÖÐ ÔÖ ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ ÚÑÓ ÔÖÑÖÑÒØ ÓÒ ÖÖ Ó ÙÒØ ØÓÖÑ ÌÓÖÑ ¼½ ÓÐÙÓ ÖÐ Ç y +p(t)y +q(t)y = g(t) ÔÓ Ö ÖØ ÓÖÑ y(t) = y h (t)+y n (t) ÓÒ y h (t) ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÓÑÓÒ Ó y n (t) ÐÙÑ ÓÐÙÓ Ô ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒº

6 Ø ÓÖÑ ÔÖ ÒÓÒØÖÖ ÓÐÙÓ ÖÐ Ç ÒÓ¹ÓÑÓÒ Ú¹ Ù Ö ÐÙÑ ÓÐÙÓ ÔÖ ÕÙÓº Ñ ÓÒÙÒØÓ ÓÑ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÓÑÓÒ Ó Ø ÙÒ ÖÓ ÓÑÔÓÖ ÓÐÙÓ Öк ÒØÖ Ó ÑØÓÓ ÔÖ ÒÓÒØÖÖ ÓÐÙ ÔÖ ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ Ó Ñ ÑÔÐ Ó ÑØÓÓ Ó ÓÒØ ÒØÖÑÒÓ ÕÙ ÓÒ Ø Ñ ÙÔÓÖ ÙÑ ÓÖÑØÓ ÔÖ ÓÐÙÓ y n (t) ÓÒØÒÓ ÙÑ ØÖÑÒÓ ÒÑÖÓ ÓÒØ ÒØÓ ØÖÑÒÖ Ó ÚÐÓÖ Ø ÓÒØ ØÖÚ Çº Ç ÓÖÑØÓ ÓÐÓ ÔÖ y n (t) ÓÐÙÓ Ö ÔÒÖ ÙÒÓ g(t)º ÓÖÑ ÖÐ Ø ÑØÓÓ ÙÒÓÒ ÔÖ ÙÒ g(t) ÖÐØÚÑÒØ ÑÔÐ º ÓÑÓ ÔÓÐÒÑÓ ÜÔÓÒÒ ÒÓ Ó¹ ÒÓº ÆÓ ÒØÒØÓ ÑÓÖ ÔÖØ ÔÐ ÕÙ ÒÚÓÐÚÑ ÕÙ ÒÓ¹ÓÑÓÒ Ó ØÙÑÑ ÔÖ ÒØÖ Ø ÙÒ ÓÑÓ ÔÖØ ÒÓ¹ÓÑÓÒº ÜÑÔÐÓ ¼ ÒÓÒØÖ ÓÐÙÓ ÖÐ ÙÒØ Ç y 3y 4y = 3e 2t Ç ÔÖÑÖÓ Ô Ó ÓØÖ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÓÑÓÒ y 3y 4y = 0 ÞÒÓ y = e rt ÓØѹ ÙÒØ ÕÙÓ ÖØÖ Ø r 2 3r 4 = 0 ÖÞ Ø ÕÙÓ Ó r 1 = 4 r 2 = 1º Ñ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÓÑÓÒ Ö y h (t) = c 1 e 4t +c 2 e t Ç ÙÒÓ Ô Ó ÒÓÒØÖÖ ÐÙÑ ÙÒÓ ÕÙ Ø ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒº Æ Ø Ó Ó Ñ ÔÐÙ ÚÐ ÙÔÓÖ ÕÙ ÓÐÙÓ ÙÑ ÙÒÓ ÜÔÓÒÒÐ y n (t) = A n e 2t ÓÒ A n Ó ÓÒØ Ö ØÖÑÒÓº Ó ÔÓ ÚÐ ÓØÖ ÐÙÑ ÚÐÓÖ ÔÖ A n ÕÙ Ø ÕÙÓ ÒØÓ y n (t) ÙÑ ÓÐÙÓº Ó ÒÓ ÔÓ ÚÐ Ú¹ ØÒØÖ ÐÙÑ ÓÙØÖ ÙÒÓº ËÙ ØØÙÒÓ y n (t) Ò ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ d 2 (A n e 2t ) 3 d(a ne 2t ) 4(A dt 2 n e 2t ) = 3e 2t dt

7 ÚÐÒÓ ÖÚ 4A n e 2t 6A n e 2t 4A n e 2t = 3e 2t 6A n = 3 A n = 1/2 Ñ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ Ö y n (t) = 1 2 e2t ÓÐÙÓ ÖÐ Ç Ö ÓÑ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÓÑÓÒ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ y(t) = y h (t)+y n (t) = c 1 e 4t +c 2 e t 1 2 e2t ÜÑÔÐÓ ¼ y 3y 4y = 2sin(t) ÓÐÙÓ ÔÖØ ÓÑÓÒ ÙÐ Ó Ó ÒØÖÓÖ Ñ y h (t) = c 1 e 4t +c 2 e t ÈÖ ÚÐÖ ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ Ú¹ ÙÔÓÖ ÙÑ ÓÖÑØÓ ÔÖ ÓÐÙÓº ÙÒÓ f(t) ÒÚÓÐÚ ÙÒÓ ÒÓ ÒØÓ ÔÐÙ ÚÐ ÙÔÓÖ ÕÙ ÓÐÙÓ y n (t) ÒÚÓÐÚ ÙÒ ÒÓ Ó ÒÓ ÕÙ ÖÚ ÔÖÑÖ Ó Ó ÒÓ ÖÚ ÙÒ Ó ÒÓ ÖØÓÖÒÑ ÚÐÓÖ Ñ ÙÒÓ ÒÓ º Ñ Ö ÙÑÓ ÕÙ y n (t) = Asin(t)+Bcos(t) ÚÐÒÓ ÖÚ ÔÖÑÖ ÙÒ Ø ÙÒÓ ËÙ ØØÙÒÓ Ø ÜÔÖ Ò Ç dy n dt = Acos(t) Bsin(t) d 2 y n dt 2 = Asin(t) Bcos(t) Asin(t) Bcos(t) 3(Acos(t) Bsin(t)) 4(Asin(t)+Bcos(t)) = 2sin(t) ÖÙÔÒÓ Ó ØÖÑÓ ( A+3B 4A)sin(t)+( B 3A 4B)cos(t) = 2sin(2t)

8 (3B 5A)sin(t)+( 3A 5B)cos(t) = 2sin(t) ÈÖ ÒÓÒØÖÖ Ó ÓÒØ A B Ú¹ ÙÐ Ó ÓÒØ Ó Ñ ÑÓ ØÖÑÓ Ó ÐÓ ÖØÓ ÕÙÓº ÓÑÓ ÒÓ Ü Ø ÒÒÙÑ ØÖÑÓ ÒÚÓÐÚÒÓ Ó ÒÓ ÒÓ ÐÓ ÖØÓ ÓÒ Ö¹ ÕÙ Ù ÓÒØ ÞÖÓº Ñ ÕÙ 3B 5A = 2 3A 5B = 0 ÅÙÐØÔÐÒÓ ÔÖÑÖ ÕÙÓ ÔÓÖ 5/3 ÓÑÒÓ ÓÑ ÙÒ ÕÙÓ ØÑÓ 25 3 A 3A = A = 10 3 A = 5 17 ËÙ ØØÙÒÓ Ò ÙÒ ÕÙÓ ( 3 5 ) = 5B = = 5B B = 3 17 Ñ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ Ö y n (t) = 5 17 sin(t) cos(t) ÓÐÙÓ ÖÐ Ç Ö ÓÑ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÓÑÓÒ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ y(t) = c 1 e 4t +c 2 e t 5 17 sin(t) cos(t) ÜÑÔÐÓ ¼ y 3y 4y = 4t 2 ÓÐÙÓ ÔÖØ ÓÑÓÒ ÙÐ Ó Ó ÒØÖÓÖ Ñ y h (t) = c 1 e 4t +c 2 e t ÈÖ ÚÐÖ ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ Ú¹ ÙÔÓÖ ÙÑ ÓÖÑØÓ ÔÖ ÓÐÙÓº ÓÑÓ ÔÖØ ÒÓ ÓÑÓÒ ÙÑ ÔÓÐÒÑÓ ÙÒÓ ÖÙ Ö ÓÒ ÖÓ ÕÙ y n (t) = At 2 +Bt+C ÑÓÓ ÕÙ dy n dt = 2At+B d 2 y n dt 2 = 2A

9 ËÙ ØØÙÒÓ Ø ÚÐÓÖ Ò Ç 2A 3(2At+B) 4(At 2 +Bt+C) = 4t 2 ÖÙÔÒÓ Ó ØÖÑÓ Ñ Ñ ÓÖÑ 4At 2 +( 6A 4B)t+(2A 3B 4C) = 4t 2 +0t+0 ÁÙÐÒÓ Ó ÓÒØ Ó ØÖÑÓ Ñ Ñ ÓÖÑ 4A = 4 6A 4B = 0 2A 3B 4C = 0 ÔÖÑÖ ÕÙÓ ØÑÓ ÕÙ A = 1º ËÙ ØØÙÒÓ Ò ÙÒ ÕÙÓ ÓØѹ ÕÙ B = 3/2 Ò ØÖÖ C = 13/8º Ñ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÒÓ¹ÓÑÓÒ Ö ÓÐÙÓ ÖÐ Ç Ö y n (t) = t t 2 8 y(t) = c 1 e 4t +c 2 e t t t 13 8 ÓÖÑ ÑÔÐ Ò ØÐ ÙÖ Ó ÔÖ ÒØÓ ÔÓ Ú ÚÐÓÖ ÔÖ y n (t) ÕÙ ÔÓÑ Ö ÔÐÓ ÔÒÒÓ Ó ÓÖÑØÓ g(t) g(t) c 1 e at c 1 t+c 2 c 1 t 2 c 1 cos(at)+c 2 sin(at) c 1 e at cos(bt) c 1 e at sin(bt) y n (t) Ae at At+B At 2 +Bt+C Acos(at)+Bsin(at) e at (Acos(bt)+Bsin(bt)) e at (Acos(bt)+Bsin(bt)) ¾º½ ËÓÑØÖÓ ÙÒ ØÒØ Ó ÔÖØ ÒÓ¹ÓÑÓÒ Ç ÓÖ ÖÔÖ ÒØ ÔÐ ÓÑ Ñ ÙÑ ÙÒÓ ÓÐÙÓ ÖÐ Ö ÓÑ ÓÐÙ ÖÖÒØ ÙÒÓº

10 ÜÑÔÐÓ ¼ y 3y 4y = 3e 2t +2sin(t)+4t 2 ÓÐÙÓ Ø ÕÙÓ Ö ÓÑ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÓÑÓÒ ÓÐÙ ÓØ ÓÒ ÖÒÓ ÙÑ ÙÒ Ó ÐÓ ÖØÓ ÜÑÔÐÓ ÒØÖÓÖ µ y(t) = c 1 e 4t +c 2 e t 1 2 e2t 5 17 sin(t) cos(t) t t 2 8 ½¼