Aula_05.dvi

Bản ghi

1 ÙÐ ¼ ¹ ÊØ ÙÖ ÐØÓÒ ÓÒØÒ ½ ÕÙ ÙØÒÓÑ ÊØ ÕÙ ÖÒ ÔÖÑÖ ÓÖÑ Ó Ø ÙØÒÓÑ ÕÙÒÓ ÔÓÑ Ö ÖØ ÓÖÑ dt = f(y) Á ØÓ Ò ÕÙ ØÜ ÚÖÓ ÔÒ ÓÑÒØ Ó ØÓ ØÙÐ ÚÖ ÚÐ ÒÓ Ó ÔÓÒØÓ ÒÓ ØÑÔÓ ÓÒ ÚÖ ÚÐ Úк ÕÙ Ú Ø ÔÖ Ö ÑÒØÓ ÔÓÔÙÐÓ Ó ÜÑÔÐÓ ÕÙ ÙØÒÓÑ º dz ÔÖÑÖ ÓÖÑ ÙØÒÓÑ Ó ÑÔÖ ÔÖ Ú ÔÓÑ Ö Ö ÓÐÚ ÔÓÖ ÒØÖÓ ÑÔÐ º ÕÙ ÙØÒÓÑ ÔÓ ÙÑ ÙÑ ÖØÖ Ø ÑÙØÓ ÑÔÓÖØÒØ ÕÙ ÓÐÙ ÔÖØÙÐÖ ÔÓÑ Ö ÐÓ Ó ÐÓÒÓ Ó ÜÓ tº Ñ ÓÖ ÓÒ ÓÐÙÓ ÙÑ ÕÙÓ ÙØÒÓÑ ÕÙ Ó ÙÑ ÓÒÓ ÒÐ Ô ÔÓ¹ ÓØÖ ÓÐÙ ÔÖ ÓÙØÖ ÓÒ Ò ÑÔÐ ÑÒØ ÐÓÒÓ Ø ÓÐÙÓ ÔÖ ÖØ ÓÙ ÔÖ ÕÙÖº ÄÑÖÒÓ ÔÖ ÐÓÖ ÙÑ ÙÒÓ f(x) Ñ a ÙÒ ÔÖ ÖØ Ø ÚÐÖ f(x a)º ÜÑÔÐÓ ¼½ ÓÐÙÓ Ó ÈÎÁ dt = 1+y2 y(0) = 0 y(t) = tan(t)º ÒÓÒØÖ ÓÐÙÓ ÔÖ ÓÒÓ y(1) = 0º ½º½ ÊØ ÓÑÓ Ú ØÓ ÒØÖÓÖÑÒØ Ó ÑÔÓ Ö ÙÑ ÕÙÓ ÙØÒÓÑ ÓÖÑ y (t) = f(y) ÒÓ Ö ÚÖÖ Ó ÐÓÒÓ tº Ñ ÓÖ ØÖÑÒÓ ÒÐÒÓ ½

2 ÙÒÓ f(y) Ó ÐÓÒÓ ÙÑ ÖØ ÖÔÖ ÒØÒÓ ÐÙÑ ÚÐÓÖ ÕÙÐÕÙÖ t ÕÙÐÕÙÖ ÔÓ¹ ÓÒ ØÖÙÖ ØÓÓ Ó ÑÔÓ ÖÓ ÐÓÒÓ Ø ÖØ Ó ÐÓÒÓ Ó ÜÓ tº ÖÔÖ ÒØÓ Ó ÑÔÓ Ö ÓÑÓ ÙÑ Ò ÖØ Ñ ÐÒ º Ø ÐÒ ÓÒ Ø Ñ ÙÑ ÖØ ÒÒÓ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ø ÒÒÓ Ó ÒÐ ÖÚ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ º ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ f(y) ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØÒÙ ÖÒ ÚÐ Ó Ü ØÑ Ó ÔÓÒØÓ a b ÑÓÓ ÕÙ f (a) < 0 f (b) > 0 Ü Ø ÐÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÒØÖ a bº ÈÓÖ Ó ÔÖ ÓÒ ØÖÙÓ ÖØ Ø ÒÖ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ó ÒÐ ÖÚ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ º ÜÑÔÐÓ ¾ ÓÒ ØÖÙ ÐÒ ÔÖ ÕÙÓ dt = 0.5p 450 Æ Ø Ó Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ p = 900º ÜÓ Ð /dt < 0º Ñ ÐÒ ÔÓ Ö ÓÒ ØÖÙ Ñ Ø ÚÐÓÖ /dt > 0 ÈÓ¹ ÚÖ ÕÙ Ó ÚÐÓÖ ÒÐ p ÓÖ ÐÓ ÔÖÜÑÓ Ñ ÒÓ Ùе 900 ÓÐÙÓ Ö ØÖ Ó ÔÓÒØÓ ÜÓº Æ Ø Ó Ó ÔÓÒØÓ ÑÓ ÖÔÙÐ ÓÖ ÓÙ ÓÒصº ÑÓÓ ÖÐ ÞÑÓ ÕÙ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓy 0 ÙÑ ÓÒØ ÕÙÒÓ ÓÐÙÓ ÕÙÓ ÖÒÐ ÓÑ ÚÐÓÖ ÒÐ ÔÖÜÑ Ø ÔÓÒØÓ ØÒ y 0 ÓÒÓÖÑ t º ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ y 0 ÙØÐÞ ÓÑÓ ÓÒÓ ÒÐ ÕÙÐÕÙÖ ÔÕÙÒ ÔÖØÙÓ Ö ÓÑ ÕÙ Ó ØÑ Ø Ó ÔÓÒØÓ y 0 ÓÒÓÖÑ Ó ØÑÔÓ ÚÒ ÔÓÖ Ó Ø ØÔÓ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ø ÓÓ ÓÑ ÙÑ ÓÐÙÓ Ò Ø Úк ÜÑÔÐÓ ¼ ÓÒ ØÖÙ ÐÒ ÔÖ ÕÙÓ ÐÓ Ø (1 dt = kp p ) N ÓÑ Ú ØÓ ÒØÖÓÖÑÒØ Ó ÔÓÒØÓ ÜÓ Ø ÕÙÓ Ó p = 0 p = Nº ÐÒ ÔÓ Ö ÚÐ ÓÑÓ ¾

3 Æ Ø Ó Ó ÔÓÒØÓ y = 0 ÓÑÔÓÖØ ÓÑÓ ÙÑ ÖÔÙÐ ÓÖº Ç ÔÓÒØÓ N ÒÓ ÒØÒØÓ ÔÓ Ù ÙÑ ÓÑÔÓÖØÑÒØÓ ÓÔÓ ØÓ ÒÓ ÕÙ ÙÑ ÓÒÓ ÒÐ ÔÖÜÑ N Ö ØÒÖ Ó ÔÓÒØÓ N Ó ÐÓÒÓ Ó ØÑÔÓº Æ Ø Ó Ó ÔÓÒØÓ N ÑÓ ØÖØÓÖ ÓÙ ÔÓÓµº ÍÑ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ y 0 ÙÑ ÔÓÓ ØÓ ÓÒÓ ÒÐ ÙÒØÑÒØ ÔÖÜÑ y 0 ØÒ ÔÖ y 0 ÓÒÓÖÑ t º Ñ ÕÙÒÓ ÓÒÓ y = y 0 ÔÖØÙÖ Ó ØÑ ÚÓÐØ ÔÖ y 0 Ò Ø Ó Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ø ÓÓ ÙÑ ÓÐÙÓ Ø Úк ÜÑÔÐÓ ¼ ÓÒ ØÖÙ ÐÒ ÔÖ ÕÙÓ dt = y2 cos(y) ÈÖÑÖÑÒØ Ú¹ ÒÓÒØÖÖ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÕÙÓº ÌÑÓ ÕÙ y 2 cos(y) = 0 y 2 = 0 ÓÙ cos(y) = 0 y 2 = 0 ÑÔÐ ÕÙ y = 0º ÙÒÓ cos(y) Ö ÙÐØ Ñ cos(y) = 0 y = ± π 2, ±3π 2, ±5π 2... ÈÖ ÚÐÖ Ó ÐÓ ÖØÓ ÕÙÓ ÔÓ ØÚÓ ÓÙ ÒØÚÓ ÔÓ¹ ÓÒ ÖÖ ÕÙ y 2 ÑÔÖ ÔÓ ØÚÓ ÑÓÓ ÕÙ Ó ÒÐ Ö ÒÓ ÔÐÓ ÚÐÓÖ ÙÒÓ cos(y)º

4 ÓÒ ØÖÙÒÓ ÐÒ Ø ÐÒ ÔÓ Ù ÚÖ Ó ØÖØÓÖ ÖÔÙÐ ÓÖ º Ç ÔÓÒØÓ y = 0 ÔÓ Ù ÙÑ ÓÑÔÓÖØÑÒØÓ ÖÓ ÔÓ ÓÐÙ ÔÖØÒÓ ÐÙÑ ÔÓÒØÓ ÔÓÙÓ ÜÓ ¼ ØÒÑ ¼ ÓÐÙ ÔÖØÒÓ ÔÓÒØÓ ÔÓÙÓ Ñ ¼ ØÒÑ Ó ÔÖÜÑÓ ÔÓÒØÓ ÜÓº Ø ØÔÓ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÑÓ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÑ ÓÐÙÓ Ñ¹ Ø Úк ÜÑÔÐÓ ¼ ÓÒ ØÖÙ ÐÒ ÔÖ ÕÙÓ dt = 3y3 12y 2 Ð ÕÙ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÓÑÓ ÓÒØ ÔÓÓ ÓÙ Ò º ¾ ÙÖ ÖÒ ÑÓÖ Ó ÑÓÐÓ ÑØÑ ØÓ ÒÚÓÐÚ ÐÑ ÚÖ Ú ÔÒÒØ ÒÔÒÒØ ÙÑ ÖØÓ ÒÑÖÓ ÔÖÑØÖÓ º ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÒÓ ÑÓÐÓ Ö ÑÒØÓ ÜÔÓÒÒÐ dt = kp Ü Ø Ó ÔÖÑØÖÓ k ÕÙ Ö ÔÒÖ ÔÓÔÙÐÓ ÓÒ ÚÐ º Ñ ÐÙÒ Ó ÙÑ ÔÕÙÒ ÚÖÓ ÒÓ ÚÐÓÖ ÐÙÑ ÔÖÑØÖÓ ÐÚ ÙÑ ÖÒ ÚÖÓ ÒÓ ÓÑÔÓÖØÑÒØÓ Ó ØÑ Ó ÐÓÒÓ Ó ØÑÔÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ ÕÙ¹ ÐÖÓº Ø ÑÙÒ ÓÑÔÓÖØÑÒØÓ Ñ ÙÖÓº

5 ÜÑÔÐÓ ¼ ÓÒ Ö ÒÓÚÑÒØ ÕÙÓ ÐÓ Ø ÑÓ ÔÖ ÒÐÙÖ ÙÑ ØÖÑÓ ÖÖÒØ Ó ÒÑÖÓ ÒÚÙÓ Ó (1 dt = kp p ) c N Ø ÕÙÓ ÔÓ Ù ØÖ ÔÖÑØÖÓ ØÜ Ö ÑÒØÓ ÒØÖÒ k Ô Ö N ØÜ ÓÒ ØÒØ ÖÑÓÓ cº ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ Ó ÔÖÑØÖÓ k N Ó ÜÓ ØÖÑÒ ÔÖ ÕÙ ÚÐÓÖ c ÕÙÓ ÐÓ Ø ÑÓ ÔÓ Ù ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ö º Ê c < kn/4 ÈÖ ÚÐÖ Ó ÓÑÔÓÖØÑÒØÓ Ó ØÑ ÓÒÓÖÑ ÙÑ ÔÖÑØÖÓ a ÚÖÓ ÓÒ¹ Ö Ó ÑÓÐÓ ÑÔÐÓ dt = y(1 y) a ÈÖ a = 0 ÕÙÓ ÔÓ Ù Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ y = 0 y = 1 ÒÓ ÕÙ y = 0 ÙÑ ÓÒØ y = 1 ÙÑ ÔÓÓº ÓÒ Ö ÓÖ ÕÙ a = 1/8º Ç ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÖÓ ÖÞ ÕÙÓ y(1 y) 1 8 = 0 8y2 +8y 1 = 0 y = 8± ÓÙ y = 1 2 ± y 1 = y 2 = ÚÐÒÓ ÐÒ ÓØѹ ÙÑ ÓÑÔÓÖØÑÒØÓ ÑÐÒØ Ó Ó a = 0 ÔÓÖÑ ÓÑ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ñ ÔÖÜÑÓ º ÓÒ ÖÒÓ ÓÖ a = 1/5 Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÖÓ y(1 y) 1 5 = 0 5y2 +5y 1 = 0 y = 5± ÓÙ Ò y = 1 2 ± 5 10 y 1 = y 2 = ÚÐÒÓ ÓÖ ÔÖ a = 1/4 y(1 y) 1 4 = 0 4y2 +4y 1 = 0 y = 4± = 1 2 Æ Ø Ó ÓØѹ ÓÑÒØ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓº ÚÐÒÓ ÐÒ ÔÖ¹ ÕÙ Ø ÔÓÒØÓ ÙÑ Òº

6 ÒÐÑÒØ ÓÒ ÖÒÓ a = 3/8 Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ó y(1 y) 3 8 = 0 8y2 +8y 3 = 0 y = 8± Æ Ø Ó Ó ØÑ ÒÓ ÔÖ ÒØ ÒÒÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÖÐ ÓÑ /dt < 0 ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ÚÐÓÖ y ÓÙ ØÜ Ö ÑÒØÓ ÒØÚ ÒÓ ÑÔÓÖØÒÓ Ó ÚÐÓÖ Òк ÖØ ÔÖ Ø Ó ÔÖ ÒØ Ò ÙÖ ÙÖ ÄÒÓ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÔÖ ÙÑ ÒÑÖÓ ÙÒØÑÒØ ÖÒ ÚÐÓÖ a ÓØѹ Ó ÖÑ ÙÖÓ ÕÙÓ ÖÒÐ Æ Ø Ó Ó ÔÓÒØÓ a = 1/4 ÖÔÖ ÒØ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÙÖÓº ÐÒ Ð ÙØÐÞ ÔÖ ÖÔÖ ÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ø Ú ÔÓÓ µ ÒÕÙÒØÓ ÕÙ ÐÒ ØÖ Ù ÔÖ ÖÔÖ ÒØÖ ÔÓÒØÓ Ò Ø Ú ÓÒØ µº Ç ÖÙÐÓ ÔÖÒÓ ÔÐ ÑØ ÖÔÖ ÒØ ÙÑ ÔÓÒØÓ Òº Ø ØÔÓ ÙÖÓ ÓÒ ÙÑ ÓÐÙÓ Ø ÚÐ ÙÑ Ò Ø ÚÐ ÓÐÔ Ñ Ñ ÙÑ Ò Ñ ÙÖÓ Ð¹Òº

7 ÙÖ Ó ØÔÓ Ð¹Ò ØÑÑ ÙÖÑ Ò Ò Ð ÕÙ ÓÑ ÙÒØ ÓÖÑ dt = y2 +r ÓÒ r ÙÑ ÔÖÑØÖÓº ÖØ ÓÖÑ Ø ÕÙÓ ÖÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ñ ÑÔÐ ÕÙ ÓÖÒ Ø ØÔÓ ÙÖÓ ÔÓÖ ØÓ Ñ ÓÖÑ ÒÓÖÑÐ ÙÓ Ð¹Òº Ô Ö Ö ÓÖÑ Ñ ÑÔÐ ÕÙÒÓ ÒÐ Ó ÔÖÜÑÓ Ó ÔÓÒØÓ ÙÖÓ ØÓÓ Ó ØÑ ÕÙ ÔÖ ÒØÑ ÙÑ ÙÖÓ Ø ØÔÓ ÔÓ ÙÑ ÙÑ Óѹ ÔÓÖØÑÒØÓ ÑÐÒØ Ó ÔÓÒØÓ ÜÓ ÓÐÔ ÒÓ ÔÖÒÓµ ÔÓÖ Ó ÓÖÑ ÒÓÖÑÐ ÖÔÖ ÒØ ÕÙÐØØÚÑÒØ ÕÙÐÕÙÖ ØÑ ÓÑ Ø ÓÖÑ ÙÖÓº ÈÖ Ó Ó ÒØÖÓÖ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ó ÓÐÙ ÕÙÓ y(1 y) a = 0 y 2 +y a = 0 y = 1± 1 4a 2 ÈÖ ÚÐÓÖ a ÔÓÑ Ö ÓØÓ ÞÖÓ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÖÞ Ö µº ÈÖ Ö ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ø ÚÐ ÓÙ Ò Ø ÚÐ ÔÓ¹ ÖÓÖÖÖ Ó ÙÒØ ØÓÖÑ ÌÓÖÑ ¼½ ÓÒ ØÐ Ò Øк ÓÒ ÖÒÓ ÙÑ ÙÒÓ f(y) ÓÒØÒÙ ÓÑ df/ ØÑÑ ÓÒØÒÙ ÕÙÓ ÖÒÐ /dt = f(y) ÔÓ Ù ÙÑ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ñ y 0 ÕÙÒÓ f(y 0 ) = 0º Ë df/(y 0 ) < 0 ÒØÓ Ø ÔÓÒØÓ ÙÑ ÔÓÓ Ø Úе df/(y 0 ) > 0 ÒØÓ Ø ÔÓÒØÓ ÙÑ ÓÒØ Ò Ø Úеº Ç ÖÑ ÙÖÓ ÔÓ Ö ÓØÓ ÔÐÓØÒÓ¹ ÙÒÓ ÕÙ ÖÐÓÒ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÓÑ Ó ÔÖÑØÖÓ ÚÐÓº ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÔÖ Ó Ó ÒØÖÓÖ ÔÖØ Ø ÚÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÖÚ ÔÖØ Ò Ø ÚÐ ÓÖÖ ÔÓÒ y 1 = a 2 y 2 = a 2 ÚÐÒÓ ÙÒÓ ÓÖÒÐ f(y) = y(1 y) a df = f (y) = 1 2y ËÙ ØØÙÒÓ ÜÔÖ ÔÖ Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ f (y 1 ) = 1 2 ( ) 1 4a 1 4a = = 1 4a

8 ( ) 1 1 4a 1 4a f (y 2 ) = = 1 1+ = + 1 4a 2 2 ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ a < 1/4 ÔÖ ÕÙ ÕÙÓ ÔÓ Ù ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ö ÔÓ¹ ÚÖ ÕÙ f (y 1 ) < 0 f (y 2 ) > 0 ÑÓÓ ÕÙ ÙÖÚ y 1 ÖÔÖ ÒØ ÓÐÙ Ø Ú ÙÖÚ y 2 ÓÐÙ Ò Ø Ú ÓÒÓÖÑ Ó ÖÚÓ ÒØÖÓÖÑÒغ ÜÑÔÐÓ ¼ ÒÓÒØÖ Ó ÔÓÒØÓ ÙÖÓ Ó Ó ÖÑ ÙÖÓ ÔÖ ÕÙÓ ÐÓ Ø ÑÓ Ñ ÙÒÓ Ó ÔÖÑØÖÓ cº (1 dt = f(p) = kp p ) c N ÓÑÓ Ú ØÓ ÒØÖÓÖÑÒØ Ø ÕÙÓ ÔÓ Ù ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ö ÓÑÒØ c kn/4 ÔÓÖØÒØÓ Ó ÔÓÒØÓ ÙÖÓ c = kn/4º Æ Ø Ó ÕÙÓ Ö ÔÓ ÙÖ ¾ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÙÒÓ ÕÙÖ Øµº ÐÑ Ó Ó ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ ÓÓÖÖÑ ÕÙÒÓ p = k ± k 2 (4kc/N) 2k/N Ó Ó ÖÑÓ ÓÐÙÓ ÔÓÑ Ö ÜÔÖ Ó ÓÑÓ p 1 = k + k 2 (4kc/N) 2k/N p 2 = k k 2 (4kc/N) 2k/N ÓÑÓ Æ Ó ÓÒ ØÒØ ÔÓ ØÚ Ø ÙÖÚ ÖÔÖ ÒØÑ ÙÑ ÔÖ ÓÐ Ñ ÖÐÓ Ó ÜÓ p ÑÐÒØ Ó ÖÑ ÓØÓ ÒØÖÓÖÑÒصº ÓÑÓ Ú ØÓ Ñ Üѹ ÔÐÓ ÒØÖÓÖ ÓÐÙÓ p 1 ÖÔÖ ÒØ ÔÓÒØÓ ÕÙÐÖÓ Ø Ú ÓÐÙÓ p 2 ÔÓÒØÓ Ò Ø Ú º Ç º Æ Ø Ó ÒÓ ÔÓ ÚÐ ÔÐÖ Ó ØÓÖÑ ÔÓ Ó ÚÐÓÖ Æ ÒÓ Ó ÔÓ µº

9 ÜÑÔÐÓ ¼ ÓÖÑ ÒÓÖÑÐ ÔÖ ÙÑ ÙÖÓ ÓÖÕÙÐ ÙÖØ ÔÓÖ dt = ry +y3 ÓÒ r ÙÑ ÔÖÑØÖÓº ÙÑ ÓÓ Ó ÖÑ ÙÖÓ ÔÖ Ø ÕÙÓº