Aula_03.dvi

Bản ghi

1 ÙÐ ¼ ¹ Ü ØÒ ÍÒ ÐØÓÒ ÓÒØÒ ½ ÔРdz ½ ÇÖÑ ÜÖÓ ¼½ ÚÖÓ ØÑÔÓÖÐ Ò ØÑÔÖØÙÖ ÙÑ ÓÖÔÓ ÕÙÒØ ÜÔÓ ØÓ Ñ ÙÑ ÑÒØ ÓÑ ØÑÔÖØÙÖ T a ÔÓ Ö ÚÐ ØÖÚ Ä ÆÛØÓÒ Ó Ê ÖÑÒØÓ ÔÓÖ dt dt = k(t T ) ÓÒ T ØÑÔÖØÙÖ Ó ÓÖÔÓ t Ó ØÑÔÓ T ØÑÔÖØÙÖ ÑÒØ k ÙÑ ÓÒ ØÒØ ÕÙ ÔÒ Ó ÑØÖÐ Ö ØÖÓ ØÖѺ ÇØÒ ÓÐÙÓ ÖÐ ÔÖ Ø Çº ÜÖÓ ¼¾ ÍÑ ÑØÖÐ ÖÑÓ ÖÑÓÚÓ ÙÑ ÓÖÒÓ ÙÑ ØÑÔÖØÙÖ ½¼¼ à ÜÔÓ ØÓ ÙÑ ÑÒØ 300Kº ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ Ø ÑØÖÐ ÔÓ Ù ÙÑ ÓÒØ k = s 1 ØÖÑÒ ÚÖÓ Ò ØÑÔÖØÙÖ Ó ÑØÖÐ Ñ ÙÒÓ Ó ØÑÔÓº ÉÙÐ ØÑÔÖØÙÖ Ó ÑØÖÐ Ñ t = 3600s ÓÒ Ö ÕÙ ÚÖÓ Ò ØÑÔÖØÙÖ Ù Ä ÆÛØÓÒ Ó Ö ÖÑÒØÓº ÜÖÓ ¼ ÓÒ Ö ÙÑ ÖÙØÓ ÓÒØÒÓ ÙÑ ÓÖ ÐØÖÓÑÓØÖÞ ÕÙ ÔÖÓÙÞ ÙÑ ØÒ Ó E(t) ÙÑ ÔØÓÖ Ñ ÔØÒ C ÙÑ Ö ØÓÖ ÓÑ Ö ØÒ Rº ÔÐÓ Ä ÃÖÓ Ò Ø ØÑ Ö ÙÐØ Ñ RI + Q C = E(t) ÓÒ Q Öº ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ I = dq/dt ÕÙÓ ÔÓ Ö ÜÔÖ ÓÑÓ R dq dt + Q C = E(t) ÙÑÒÓ ÕÙ E(t) ÙÑ ÚÐÓÖ ÓÒ ØÒØ E ÕÙ Ö ÒÐ ÒÙÐ ØÖÑÒ Q(t)º ½

2 ÜÖÓ ¼ ÒÓÒØÖ ÓÐÙÓ ÖÐ ÔÖ ÙÒØ Ç 2xyy = y 2 x 2 ÜÖÓ ¼ ØÖÙÓ ØÑÔÖØÙÖ Ó ÐÓÒÓ ÔÖ ÙÑ ÒÓ ÑØ ÐÓ ÓÑ ÖÓ ÒØÖÒÓ R 1 ÖÓ ÜØÖÒÓ R 2 ÔÓÖ r d2 T dr 2 + dt dr = 0 ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ ØÑÔÖØÙÖ Ñ R 1 T 1 Ñ R 2 T 2 ÓØÒ T(r)º ¾ Ü ØÒ ÍÒ ÔÖ Ç³ ½ a ÇÖÑ ÒØ ÙØÖ Ü ØÒ ÙÒ Ç³ ÔÖ Ó ÚÐÖ Ó ÓÒØÓ ÓÑÒÓ ÙÑ ÕÙÓ ÖÒÐ ÓÑÒÓ ÓÐÙÓ ÙÑ ÔÖÓÐÑ ÚÐÓÖ Òк ÓÒ Ö ÙÑ ÕÙÓ Ó ØÔÓ dt = f(t,y) Ç ÓÑÒÓ Ø ÕÙÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ó ÙÓÑÒÓ Ó ÔÐÒÓ ty ÓÒ ÙÒÓ f(t,y) Òº Ñ ÓÙØÖ ÔÐÚÖ ÔÓ¹ ÞÖ ÕÙ Ó ÓÑÒÓ ÓÐÙÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÖÓ ÓÒ Ó ÑÔÓ Ö ÒÓ ÓÙ ÖÔÖ ÒØ ØÓ Ö ÓÒ ÔÓ ÚÖ ÐÙÑ ÓÐÙÓ ÕÙÓº ÜÑÔÐÓ ¼½ ÚÐ Ó ÓÑÒÓ ÙÒØ Ç³ a) dt = y3 t 2 b) dt = y2 c) dt = y t d) dt = ln(t) ÓÒ Ö ÓÖ Ó ÙÒØ ÔÖÓÐÑ ÚÐÓÖ ÒÐ dt = f(y,t) y(t 0) = y 0 ÓÐÙÓ Ø ÈÎÁ Ü ØÖ Ö ÙÑ ÙÒÓ y(t)º Ç ÓÑÒÓ ÓÐÙÓ Ø ÈÎÁ ÓÖÖ ÔÓÒ Ó ÒØÖÚÐÓ ÒÐÓÒÓ (t 0,y 0 ) ÓÒ Ø ÓÐÙÓ ÓÒØÒÙº ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ó ÙÒØ ÈÎÁ dt = 1 t 2 y( 1) = 2 ¾

3 ÓÐÙÓ Ø ÈÎÁ Ö y(t) = (t 1)/tº Ø ÓÐÙÓ ÒÓ Ò Ñ t = 0 ÔÓ y(t) ÓÒÓÖÑ t 0º ÈÓÖØÒØÓ ÙÑ ÓÐÙÓ ÕÙ ÔÖØ Ó ÔÓÒØÓ ( 1,2) ÒÓ Ö Ú Ð ÔÖ ÚÐÓÖ x 0 ÚÓ Ø ÓÒØÒÙº ÑÔÓÖØÒØ ØÖ ÖÒ ÒØÖ Ó ÓÑÒÓ ÕÙÓ ÖÒÐ Ó ÓÑÒÓ ÓÐÙÓ Ó ÈÎÁº ÈÖ Ó ÜÑÔÐÓ ÒØÖÓÖ Ó ÓÑÒÓ ÕÙÓ Ö ØÓÓ Ó ÔÐÒÓ ÖÐ ÓÑ ÜÓ ÐÒ t = 0º Ñ ÓÒØÖÔÖØ Ó ÒØÖÚÐÓ ÓÐÙÓ Ó ÈÎÁ (,0)º ÓÒ Ö ÓÖ ÕÙ ÓÒÓ ÒÐ ÐØÖ dt = 1 t 2 y(1) = 2 ÓÐÙÓ Ò Ø Ó Ö y(t) = (3t 1)/tº Ø ÙÒÓ ØÑÑ ÒÓ Ò Ñ t = 0 ÔÓÖÑ Ò Ø Ó Ó ÓÑÒÓ ÓÐÙÓ Ó ÒØÖÚÐÓ (0, )º ÒØ ØÒØÖ Ö ÓÐÚÖ Ó ÔÖÓÐÑ Ñ Ù ÙÑ ÓÐÙÓ Ú¹ ÓÒ ÖÖ ÙÑ Ö ÕÙ Ø µ Ü ØÒ Ü Ø ÐÙÑ ÙÒÓ y(t) ÕÙ Ø Þ Ø Ç ÓÑ ÓÒÓ ÒÐ Ô µ ÍÒ Ë ÙÑ ÓÐÙÓ Ü ØÖ Ø Ò ÓÙ Ü ØÑ Ñ ÙÑ ÙÒÓ y(t) ÕÙ Ø ÞÑ ÓÒ µ ÁÒØÖÚÐÓ ÎÐ ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ Ü Ø ÙÑ ÓÐÙÓ Ò Ø ÓÐÙÓ ÔÓ Ö ÙØÐÞ ÔÖ ÚÐÖ y(t) ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ÚÐÓÖ t ÓÙ Ü Ø ÐÙÑ ÒØÖÚÐÓ ÐÑØÓ ÓÒ ÓÐÙÓ Ú Ð ÈÖ ÒÐ Ö ÓÑÓ Ø ÔÖÙÒØ ÔÓÑ Ö Ö ÔÓÒ Ö ÔÖÑÖÑÒØ ÓÒ ¹ ÖÓ Ó Ó ÕÙ ÐÒÖ Ò ÕÙÒ Ó Ö ÙÐØÓ ÖÓ ÒÖÐÞÓ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ØÔÓ Ç ÔÖÑÖ ÓÖѺ ¾º½ dz ½ a ÇÖÑ ÄÒÖ ÍÑ ÔÖÓÐÑ ÚÐÓÖ ÒÐ ÈÎÁµ ÔÖÑÖ ÓÖÑ ÐÒÖ ÔÓ Ö ÖØÓ ÓÖÑ ÖÐ ÓÑÓ y (t)+p(t)y = q(t) y(t 0 ) = y 0 ÈÖ Ø ÓÖÑ ÕÙÓ ÕÙ Ø ÒØÖÓÖ ÔÓÑ Ö Ö ÔÓÒ ÓÒ ÖÒÓ Ó ÙÒØ ØÓÖÑ ÌÓÖÑ ¼½ ¹ Ü ØÒ ÍÒ ÔÖ ÕÙ ÄÒÖ ÍÑ Ç ÔÖÑÖ ÓÖÑ ÐÒÖ y (t) + p(t)y = q(t) ÑØ ÓÐÙÓ Ô ÒÓ ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ

4 y(t 0 ) = y 0 p(t) q(t) Ó ÓÒØÒÙ Ñ t = t 0 º Ø ÓÐÙÓ Ö Ò Ó ÓÑÒÓ ÓÐÙÓ ÔÐÓ ÑÒÓ ÙÐ Ó ÑÓÖ ÒØÖÚÐÓ ÓÒØÒÓ t = t 0 ÓÒ p(t) q(t) Ó ÓÒØÒÙ º ÍÑ ÓÙØÖ ÓÖÑ ÒÙÒÖ Ó ØÓÖÑ ÒØÖÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ö Ó ÙÒØ ÈÎÁ y (t)+p(t)y = q(t) y(t 0 ) = y 0 Ë p(t) q(t) Ó ÙÒ ÓÒØÒÙ Ñ ÙÑ ÒØÖÚÐÓ ÖØÓ α < t < β Ø ÒØÖÚÐÓ ÓÒØÑ t 0 ÒØÓ Ü Ø ÙÑ ÓÐÙÓ Ò ÔÖ Ó ÈÎÁ Ò Ø ÒØÖÚÐÓº Ø ØÓÖÑ ØÐ ÙÑ ÓÒÓ ÙÒØ Ñ ÒÓ Ò Ö ÔÖ ÖÒØÖ Ü ØÒ ÙÒ ÒØÖÚÐÓ ÓÐÙÓ Ó ÈÎÁº ÑÔÓÖØÒØ Ó ÖÚÖ ÕÙ Ø ØÓÖÑ Ò ÖØÖ Ø ÓÐÙÓ ÓÑÒØ ÒÓ ÚÐÓÖ t 0 ÒÓ ÕÙ y 0 ÒÓ Ø ÓÒÐÙ º ÜÑÔÐÓ ¼¾ ØÖÑÒ Ó ÒØÖÚÐÓ ÚÐ Ó ÙÒØ ÈÎÁ (t 2 9)y +2y = ln 20 4t y(4) = 3 Ç ÖØÖÓ ÒÓ ÒÓ ÌÓÖÑ ¼½ Ó Ú ÐÓ ÔÖ Ç³ ÔÖÑÖ ÓÖÑ ÐÒ¹ Ö ÒÓ ÕÙ ÔÖ ÔÖÓÐÑ ÒÓ¹ÐÒÖ ÓÙØÖÓ ØÓÖ ØÑ ÓÐÙÓ ÚÑ Ö ÓÒ ÖÓ º ÙÖ ÖÓ ÚÐ ÔÖÑÒØ ÓÒ ÔÖ Ü ØÒ ÙÒ ÓÐÙÓº ¾º¾ ÌÓÖÑ Ü ØÒ ÈÖÑÖÑÒØ Ú¹ ØÖÑÒÖ Ó ÈÎÁ ÚÐÓ ÔÓ Ù ÐÙÑ ÓÐÙÓº ÓÒÓ Ü ØÒ ÔÖ ÔÖÓÐÑ ½ a ÓÖÑ ÖÒØ ÔÐÓ ÙÒØ ØÓÖÑ ÌÓÖÑ Ü ØÒ ÓÒ Ö ÙÑ ÙÒÓ f(y,t) ÓÒØÒÙ Ñ ÙÑ ÖØÒÙÐÓ ÓÖÑ {(t,y) a < t < b, c < y < d} ÒÓ ÔÐÒÓ tyº Ë (t 0,y 0 ) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò Ø ÖØÒÙÐÓ ÒØÓ Ü Ø ÐÙÑ ÚÐÓÖ ǫ > 0 Ó ÑÒÓ ÙÑ ÓÐÙÓ y(t) ÔÖ Ó ÔÖÓÐÑ ÚÐÓÖ ÒÐ dt = f(t,y) y(t 0) = y 0

5 ÒÓ ÒØÖÚÐÓ t 0 ǫ < t < t 0 + ǫº Ø ÓÒÓ ÙÒØ Ñ ÒÓ Ò Öµ ÔÖ ÖÒØÖ ÕÙ Ó ÈÎÁ ÔÓ Ù Ó ÑÒÓ ÙÑ ÓÐÙÓº Ç ÔÖÑØÖÓ ǫ ÒÓ ÔÓ Ù ÙÑ ÚÐÓÖ ÓÒ ØÒØ Ñ Ñ Ö ÚÖÖ ÔÒÒÓ Óº Ø ÔÖÑØÖÓ ÔÓ Ö ÔÒ Ó ÓÑÓ ÐÙÑ ÚÐÓÖ ÔÖ ÕÙÖ ÔÖ ÖØ Ó ÔÓÒØÓ t 0 ÓÒ Ó ÈÎÁ Ú ÔÓ ÙÖ ÓÐÙÓº ÓÑÓ Ö ÐÙ ØÖÓ ÒÓ ÜÑÔÐÓ ÙÖ Ñ ÐÙÒ Ó ÔÓ¹ ØÖÑÒÖ Ó ÚÐÓÖ ǫ ÓÑ Ò ÓÐÙÓ Ó ÈÎÁ ÔÓÖÑ ÑÓÓ ÖÐ Ó ÑÔÓÖØÒØ ÕÙ Ø ÚÐÓÖ Ü Øº Ñ ÓÙØÖ ÔÐÚÖ ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ f(t,y) ÓÒØÒÙ Ñ ÙÑ ÖØÒÙÐÓ ÒÐÓÒÓ Ó ÔÓÒØÓ (t 0,y 0 ) ÒØÓ Ü Ø ÐÙÑ ÓÐÙÓ ÔÖ Ó ÈÎÁ Ò Ñ ÔÐÓ ÑÒÓ ÙÑ ÔÕÙÒ ÖÓ Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÔÓÒØÓ (t 0,y 0 )º ÜÑÔÐÓ ¼¾ ØÖÑÒ Ó ÚÐÓÖ ǫ ÔÖ Ó ÙÒØ ÈÎÁ dt = 1+y2 y(0) = 0 Æ Ø Ó ÙÒÓ f(t,y) = 1+y 2 ÓÒØÒÙ Ñ ØÓÓ ÔÐÒÓ ty ÔÓÖØÒØÓ Ö Ü ØÖ Ó ÑÒÓ ÙÑ ÓÐÙÓ ÕÙ Ô Ñ ÕÙÐÕÙÖ ÔÓÒØÓ (t 0,y 0 )º ÈÓÖÑ Ó ÚÐÓÖ ǫ ÔÖ ÔÓÒØÓ ÒÓ Ö Ò ÖÑÒØ Ó Ñ ÑÓº Ø ÕÙÓ ÙØÒÓÑ ÔÓ Ö ÔÖ ÓÖÑ 1+y 2 = ÍØÐÞÒÓ ÓÒÓ ÒÐ dt arctany = t+k y = tan(t+k) 0 = tan(0+k) k = 0

6 Ñ ÓÐÙÓ Ó ÈÎÁ y(t) = tan(t) ÙÒÓ ØÒÒØ ÒÓ Ò Ñ t = ±π/2º ÓÒÓÖÑ t ÔÖÓÜÑ π/2 ÙÒÓ y(t) ØÒ Ó ÒÒØÓ ÒÕÙÒØÓ ÕÙ ÓÒÓÖÑ t ÔÖÓÜÑ π/2 ÓÐÙÓ ØÒ º Ñ ÓÒÓ ÒÐ Ú ØÖ Ò Ñ ÙÑ ÒØÖÚÐÓ ( π/2,π/2) ÔÖ ÕÙ ÓÐÙÓ Ó ÈÎÁ Ü Øº ÓÑ t 0 = 0 Ó ÖØÖÓ ÔÖ Ü ØÒ Ö ÙÐØ Ñ t 0 ǫ < t < t 0 +ǫ π/2 < t < π/2 ǫ = π/2 Ë ÓÒÓ ÒÐ Ó ÔÓÖ ÜÑÔÐÓ y(π/4) = 1 ØÖÑÓ ÕÙ ǫ = π/4º ÔÖÒÔÓ ÔÓ¹ ÑÒÖ ÕÙ ÓÒØÒÙ ÓÐÙÓ Ñ t = ±π/2 Ó Ñ¹ ÔÖ ÕÙ ÐÙÑ ÓÐÙÓ Ô ÒÓ ÔÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ (π/2,y 0 ) Ü Ø Ó ÕÙ Ö ÓÒØÖÞÖ Ó ØÓÖѺ ÆÓ ÒØÒØÓ Ó ÙÑ ÓÒÓ Ò Ø ÔÓÒØÓ Ó Ô ÓÐÙÓ Ö ÐÓ ÔÖ ÕÙ ÙÖÚ Ô ÔÓÖ Ø ÔÓÒØÓ ÔÓÖØÒØÓ Ó ØÓÖÑ ÓÒØÒÙ Ú ÐÓº ¾º ÌÓÖÑ ÍÒ Ñ ÐÙÒ Ó ÔÓ¹ ÓØÖ Ñ ÙÑ ÓÐÙÓ ÕÙ Ø ÙÑ ÒÓ ÈÎÁº ÈÖ ØÖÑÒÖ ÕÙÒÓ ÙÑ ÈÎÁ ÔÓ Ù ÓÑÒØ ÙÑ ÓÐÙÓ ÔÓ¹ ÙØÐÞÖ Ó ØÓÖÑ

7 ÙÒ ÌÓÖÑ ÍÒ ËÙÔÓÒ ÕÙ f(t,y) f/ y Ó ÙÒ ÓÒØÒÙ Ñ ÙÑ ÖØÒÙÐÓ ÓÖÑ {(t,y) a < t < b, c < y < d} ÒÓ ÔÐÒÓ ty (t 0,y 0 ) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ò Ø ÖØÒÙÐÓ y 1 (t) y 2 (t) Ó Ù ÙÒ ÕÙ Ö ÓÐÚÑ Ó ÈÎÁ dt = f(t,y) y(t 0) = y 0 ÔÖ ØÓÓ t ÒÓ ÒØÖÚÐÓ t 0 ǫ < t < t 0 +ǫ ÓÒ ǫ ÐÙÑ ÚÐÓÖ ÔÓ ØÚÓµ ÒØÓ y 1 (t) = y 2 (t) ÔÖ t 0 ǫ < t < t 0 +ǫº ÇÙ ÓÐÙÓ Ó ÈÎÁ Òº ÓÖÑ f(t,y) f/ y ÓÖÑ ÓÒØÒÙ Ñ ÙÑ ÒØÖÚÐÓ ÓÒØÒÓ Ó ÔÓÒØÓ ÒÐ Ó ØÓÖÑ Ü ØÒ ÙÒ ÖÒØ ÕÙ ÚÖ ÙÑ Ò ÓÐÙÓ ÕÙ Ø Þ ÕÙÓ ÖÒÐ ÓÒÓ ÒÐ Ôº Ç º ÖÚ ÙÒÓ Ú Ö ÚÖ Ú ÉÙÒÓ ÚÐ ÖÚ ÔÖÐ ÙÑ ÙÒÓ f(t,y) Ñ ÖÐÓ ÙÑ ÚÖ Ú t ÓÙ y ÓÒ Ö¹ ÓÙØÖ ÚÖ ÚÐ ÓÑÓ ÙÑ ÓÒ ØÒغ ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÓÒ Ö ÙÒÓ f(t,y) = t 2 +y 3 +5ty f t = 2t+5y f y = 3y2 +5t ÖÚ ØÓØÐ ÙÒÓ f(t,y) Ñ ÖÐÓ t ÔÓÖ d f (f(t,y)) = dt t + f y dt Ç ØÓÖÑ Ö Ü ØÒ ÙÒ ØÐÑ ÓÒ ÐÓ ÜÑÔÐÓ ¼ ÚÐ Ü ØÒ ÙÒ Ó ÙÒØ ÈÎÁ³ µ = x y +1 y(1) = 2 dx µ dx = 2y x y(x 0 ) = y 0 ÜÑÔÐÓ ¼ ÚÐ ÓÑÓ Ó ÒØÖÚÐÓ ÚÐ ÔÖ Ó ÙÒØ ÈÎÁ ÔÒ Ó ÚÐÓÖ y 0 dt = y2 y(0) = y 0