Á ¼¾¼½ ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð Á Ì Ö ÖÓ ÈÖÓ ØÓ ÁÒ ØÖÙ Ö ÙÑ Ö Ø Ö Ó ÈÊÇÂ Ù Ô Ñ» ÓÑ»Ô٠л ÁË ÇÅȾ¼½¼¹¾»ÈÊÇ ÈÖÓØ Ù Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ò Ó Ö Ð Ó ÔÓÖ Ó Ü ÒÓ Ö Ø Ö Ó Ô Ò ÖÕÙ Ú

Bản ghi

1 Á ¼¾¼½ ÓÑÔÙØÓÒÐ Á ÌÖÖÓ ÈÖÓØÓ ÁÒ ØÖÙ Ö ÙÑ ÖØÖÓ ÈÊÇÂ Ù Ô Ñ»ÓÑ»ÔÙлÁËÇÅȾ¼½¼¹¾»ÈÊÇ ÈÖÓØ Ù ÖØÖÓ ÔÖ ÒÓ Ö ÐÓ ÔÓÖ Ó Ü ÒÓ ÖØÖÓ ÔÒ ÖÕÙÚÓ ÒÓÑ ÜÖº¼ ÜÖº¼ ÜÖº¼ Ç Ó ÚÑ ÙÖ ÖÓÖÓ ÑÒØ Ó ÔÖ ÔÓ ÜÓ ÔÖ ÒØÖ» ÆÓØ ÜÖ ÞÖ ÐÙÑ ÜÖÓ ÒÓ ÒÐÙ Ó ÖÕÙÚÓ ÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÒØ ÜÖÓ µ ÓÒ Ö Ó ÔÖÓÐÑ ÖÒÓ ÒÙÑÖº ÙÑ ÙÒÓ f n = f(x n ) = f(x 0 + nh) com n = 0, ±1, ±2,... ÔÓ¹ Ù Ö ÜÔÒ Ó ÌÝÐÓÖ Ó ÖÓÖ x 0 ÓÒ f(x) = f 0 + (x x 0 )f + (x x 0) 2 2! f + (x x 0) 3 f ! f = df dx x=x 0 f = d2 f dx 2 x=x 0 f = d3 f dx 3 x=x 0... Í ÒÓ ÖÐÓ x n = x 0 + nh ÔÓÑÓ ØÑÑ ÖÚÖ f n = f 0 + nhf + n2 h 2 Á Ó ÒÓ ÔÖÑØ ÓØÖ ÖÐ 2! ÖÚ ÔÖ ÖÒØ ¾ ÔÓÒØÓ f = f 1 f 0 h ÖÚ ÔÖ ØÖ ¾ ÔÓÒØÓ f = f 0 f 1 h f + n3 h 3 f ! + O(h) + O(h) ½

2 ÖÚ ÑØÖ ÔÓÒØÓ f = f 1 f 1 2h ÖÚ ÑØÖ ÔÓÒØÓ + O(h 2 ) f = f 2 8f 1 + 8f 1 f 2 12h ÖÚ ÙÒ ÑØÖ ÔÓÒØÓ + O(h 4 ) f = f 1 2f 0 + f 1 h 2 + O(h 2 ) ÖÚ ÙÒ ÑØÖ ÔÓÒØÓ f = f f 1 30f f 1 f 2 12h 2 + O(h 4 ) ÖÚ ØÖÖ Òع ÑØÖ ÔÓÒØÓ f = f 2 v2f 1 + 2f 1 f 2 2h 3 + O(h 2 ) ÖÚ ÙÑ Ó ÕÙ ÓÖÒ Ó Ó ØÐ ÜÓ ÔÖ ÖÚ ÙÒÓ f(x) = exp(4x)cos(x/2) ÔÖ x = 1/3º ÖÚ Ò ØÐ ÔÒ Ó ÚÓ ÒÓ ÔÖÓÙÔ ÓÑ Ó ÒÐ Ó ÚÓµ Ñ ÖÐÓ Ó Ö ÙÐØÓ ÜØÓ º Ä ÔÖØÖ ÙÑ ÖÕÙÚÓ ÒØÖ Ø½ ÒºØ ½º Ó ÒÑÖÓ ÚÐÓÖ Ò ÔÖÑÖ ÐÒµ ¾º ÕÙÒ Ø ÚÐÓÖ Ò ÙÒ ÐÒµ ÖÑ Ø ØÓ º Ç ÔÓÒØÓ ÐÙÐÓ ÙÒÓ Ü ½» µ ÚÖ Ö ÜÓ ÓÑÓ ÔÖÑØÖÓ Ó ÔÖÓÖѺ Ú Ö ÙÑ ØÐ ÒÓ ÖÕÙÚÓ Ø½ ÓÙØºØ ÓÒ¹ ØÒÓ Ò ÔÖÑÖ ÓÐÙÒ Ó ÚÐÓÖ Ò ÓÐÙÒ ÙÒØ Ó Ö ÙÐØÓ Ó Ú ÖÓ ÚÓ ÓÑÓ ÖØÓ Ò ØÐ ÜÓº Ç ÔÖÑÖ ÐÒ Ó ÖÕÙÚÓ ÔÓ Ö Ö ÖÚ ÔÖ ÖÓ ÓÐÙÒ ÕÙ ÙÑ ÐÒ º Ø ÑÓÓ ØÐ ÔÖ ½ ÚÐÓÖ ÔÓÖ ØÖ ½ ÐÒ º ÒÑ ÒÓ ØÖÑÒÐ Ñ Ó ÕÙÐ Ó ÚÐÓÖ Ñ ÔÖÓÔÖÓ Ù ØÕÙ Ù ÓÐ ÒÓ ÓÖÑØÓ ÕÙ Ö ÑÐÓÖµº ¾

3 ÖÚ ÖÚ ÖÚ ÖÚ ÖÚ ÖÚ ÑØÖ ÔÖ ÖÒØ ÔÖ ØÖ ÑØÖ ÙÒ ØÖÖ ÔÓÒØÓ ¾ ÔÓÒØÓ ¾ ÔÓÒØÓ ÔÓÒØÓ ÑØÖ Òع ÑØÖ ÔÓÒØÓ ÔÓÒØÓ ¼º ¼º¾ ¼º½ ¼º¼ ¼º¼½ ¼º¼¼ ¼º¼¼½ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼½ ¼º¼¼¼¼¼½ ¼º¼¼¼¼¼¼½ ¼º¼¼¼¼¼¼¼½ µ ÓÒ Ö Ó ÔÖÓÐÑ ÕÙÖØÙÖ ÒÙÑÖº ÒØÖÐ f(x)dx, N = (b )/h ÙÑ ÒÑÖÓ ÒØÖÓ ÔÖº ÈÓÑÓ ÒØÓ ÖÚÖ f(x)dx = +2h f(x)dx+ +4h +2h f(x)dx+ +6h +4h f(x)dx+ + f(x)dx b 2h ÈÖ ÒØÖÚÐÓ ÜØÒ Ó 2h ºº ÔÖ ÒØÖÐ Ó ØÔÓ h h f(x)dx, ÔÓÑÓ Ù Ö ÙÑ ÙÒØ ÖÖ ÖÖ Ó ØÖÔÞÓ h h f(x)dx = h 2 (f 1 + 2f 0 + f 1 ) + O(h 3 ) ÖÖ ËÑÔ ÓÒ h h f(x)dx = h 3 (f 1 + 4f 0 + f 1 ) + O(h 5 ) ÓÒ f ±1 = f(±h) f 0 = f(0)º ÆÓ Ó ÙÑ ÒØÖÚÐÓ ÜØÒ Ó 4h ºº ÔÖ ÒØÖÐ Ó ØÔÓ ÔÓÑÓ Ù Ö ÖÖ ÖÖ Ó x 4 x 0 f(x)dx = 2h 5 (7f f f f 3 + 7f 4 ) + O(h 7 ) ÓÒ f i = f(x i ) x 1 = x 0 + h x 2 = x 0 + 2h x 3 = x 0 + 3h x 4 = x 0 + 4hº ÐÖÑÒØ Ò Ø Ó Æ Ú Ö ÙÑ ÑÐØÔÐÓ ÒØÖÓ º 1 ÖÚ ÙÑ Ó ÕÙ ÐÙÐ ÒØÖÐ exp(x/4)sin(x)dx Ù ÒÓ Ó 0 ÚÖ Ó ÑØÓÓ Ñ ÔÖ ÖÒØ ÒÑÖÓ Æ ÔÓÒØÓ º ØÑ ÔÒ Ó ÚÓ ÒÓ ÔÖÓÙÔ ÓÑ Ó ÒÐ Ó ÚÓ µ Ñ ÖÐÓ Ó ÚÐÓÖ ÜØÓº

4 Ä ÔÖØÖ ÙÑ ÖÕÙÚÓ ÒØÖ Ø¾ ÒºØ Æ ÊÖ Ó ØÖÔÞÓ ÊÖ ËÑÔ ÓÒ ÊÖ Ó ¼º¾¼¼¼¼¼¼ ¼º½¾¼¼¼¼¼ ½ ¼º¼¾¼¼¼¼ ¾ ¼º¼ ½¾¼¼¼ ¼º½¾¼¼¼ ½¾ ¼º¼¼½¾¼ ¾ ¼º¼¼ ¾ ½¾ ¼º¼¼½ ½¾ ½¼¾ ¼º¼¼¼ ¾¼ ¼º¼¼¼¾ ¼ ¼º¼¼¼¾½ ½º Ó ÒÑÖÓ ÚÐÓÖ Æ Ò ÔÖÑÖ ÐÒµ ¾º ÕÙÒ Ø ÚÐÓÖ Æ Ò ÙÒ ÐÒµ ÖÑ Ø ØÓ º ËÙ ÔÖÓÖÑ ÐÙÐÖ Ó ÚÐÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ hº ÚÖ Ö ÙÑ ØÐ ÒÓ ÖÕÙÚÓ Ø¾ ÓÙØºØ ÓÒØÒÓ Ò ÔÖÑÖ ÓÐÙÒ Ó ÚÐÓÖ Æ Ò ÙÒ ÓÐÙÒ Ó ÚÐÓÖ Ò ÓÐÙÒ ÙÒØ Ó Ö ÙÐØÓ Ó Ú ÖÓ ÚÓ ÓÑÓ ÖØÓ Ò ØРѺ Ç ÔÖÑÖ ÐÒ Ó ÖÕÙÚÓ ÔÓ Ö Ö ÖÚ ÔÖ ÖÓ ÓÐÙÒ ÕÙ ÙÑ ÐÒ º ÒÑ ÒÓ ØÖÑÒÐ Ñ Ó ÕÙÐ Ó ÚÐÓÖ Ñ ÔÖÓÔÖÓ Æ Ù ØÕÙ Ù ÓÐ ÒÓ ÓÖÑØÓ ÕÙ Ö ÑÐÓÖµº µ ÓÒ Ö Ó ÔÖÓÐÑ ÒÓÒØÖÖ ÖÞ ÙÑ ÙÒÓ Üµº ÓÑÓ ÔÖÑÖ ØÒØØÚ ÔÓѹ ÙØÖ ØÖØÚÑÒØ ÚÐÓÖ x i Ó ÖÓÖ ÖÞ ÚÖÖ ÕÙÒÓ Ó ÚÐÓÖ f(x) ÔÖÓÜÑ ÞÖÓ ÔÓÖ ÜÑÔÐÓ ÚÖÒÓ ÑÙÒ ÒÐ f(x i )º Ø ÑØÓÓ Ù ÖØ ÐÖÑÒØ ÒÓ Ö Ó Ñ Òغ ÆÓ ÑØÓÓ ÆÛØÓÒ¹ÊÔ ÓÒ ÖÞ f(x) Ó ÐÙÐ Ù ÒÓ ÙÒØ ØÖ x i+1 = x i f(x i) f (x i ) com i = 0,1,2,... ÈÖ ÒØÒÖ ÖÐÓ Ó ÖÚ ÕÙ ÕÙÓ ØÒÒØ ÙÒÓ ÒÓ ÔÓÒØÓ x i ÔÓÖ f(x i )+(x x i )f (x i )º Ñ x i+1 ÖÔÖ ÒØ Ó ÒØÖ¹ Ó ØÒÒØ ÓÑ Ó ÜÓ º ÆÓØ ÕÙ ÓÒÚÖÒ ÓÙ ÒÓ ÓÒÚÖÒµ Ó ÑØÓÓ ÆÛØÓÒ¹ÊÔ ÓÒ ÔÒ ÓÐ Ó ÙØ ÒÐ x 0 º ÆÓ ÑØÓÓ ÒØ ØÖ ÔÓÑ Ö ÖØ ÓÑÓ x i+1 = x i f(x i ) + f(x i ) f(x i 1 ) com i = 0,1,2, ÖÐÓ ÓÒ ÓÑ ÖÐÓ Ó ÑØÓÓ ÆÛØÓÒ¹ÊÔ ÓÒ Ù ÒÓ¹ ÔÖ ÖÚ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ü ÔÖÓÜÑÓ f (x i ) + f(x i) f(x i 1 )

5 ÓÑØÖÑÒØ ÒÓØ ÕÙ f(x i ) + (x x i ) f(x i) f(x i 1 ) ÕÙÓ ÖØ ÕÙ Ô ÒÓ ÔÓÒØÓ (x i 1,f(x i 1 )) (x i,f(x i )) ºº ÒØ ÙÒÓ f(x) Ò Ó ÔÓÒØÓ º Ñ x i+1 ÒØÖ Ó ÒØ ÓÑ Ó ÜÓ º ÐÖÑÒØ Ó ÑØÓÓ ÒØ ÖÕÙÖ Ó ÚÐÓÖ Ò ºº x 0 x 1 ÕÙ ÚÑ Ö ÔÖÖÒÐÑÒØ ÓÐÓ ÔÖÜÑÓ ÖÞº ÖÚ ÙÑ Ó ÕÙ ÐÙÐ ØÖ µ ÖÞ ÔÓ ØÚ»ÓÙ ÒØÚ µ ÙÒÓ f(x) = 18x 3 9x 2 5x + 2, Ù ÒÓ Ó ÖÒØ ÑØÓÓ Ñ ÔÖ ÐÙÐÓ ÖÞ Ä Ó ØÖÑÒÐ Ó ÒÑÖÓ ØÖ ºº µ ÖÑ ÖÐÞ º ÓÐ Ó ÚÐÓÖ Ò Ö Ø ÒØÖÓ Ó ÔÖÔÖÓ ÔÖÓÖѺ ÖÚ ÒÓ ÖÕÙÚÓ Ø ÓÙØºØ ÓÒØÒÓ ½¼ ÓÐÙÒ ÓÑÓ Ò ØÐ ÜÓº ÔÖÑÖ ÐÒ ÔÓ Ö Ù ÔÖ ÖÓ ÓÐÙÒ ÔÓÖ ÜÑÔÐÓ ØÖ Ö½ Ö¾ Ö Æʽ Æʾ ÆÊ ½ ¾ ÔÖ ÙØÖ Ó ÚÐÓÖ Ò ÔÖ Ù ÓÖÒع ÔÐÓ Ö Ó f(x) ÓØÓ ÓÑ Ó ÔÖÓÖÑ ÒÙÔÐÓغ Ù ÖØ ÆÛØÓÒ¹ÊÔ ÓÒ ÑØÓÓ ËÒØ ÁØÖÓ r1 r2 r3 r1 r2 r3 r1 r2 r3 ½ ¾