aula_08_metII.dvi

Bản ghi

1 ÙÐ ¼ ¹ ØÐ ÅØÓÓ ÆÙÑÖÓ ÔÖ Ç³ ÕÙ Ê ÐØÓÒ ÓÒØÒ ½ ØÐ Ó ÅØÓÓ Ê ÓÐÙÓ Ç³ Æ Ô Ñ Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÜÔÐØÓ ÔÖ ÑØÓÓ Ñ ÓÑÔÐÜÓ Ó ÔÖÒÔÐ ÓØÚÓ Ó ÓØÖ ÑØÓÓ ÓÑ ÑÐÓÖ ÔÖ Ó ÖÙÞÖ Ó ÖÖÓ ØÖÙÒÑÒØÓµº ÆÓ ÒØÒØÓ Ñ ÑÙØÓ Ó Ó Ö ÙÐØÓ ÓØÓ ÒÓ ÔÓ ÙÑ ÙÑ Ü ÔÖ Ó ÓÑÓ ØÑÑ Ó Ø ØÖÓÑÒØ ØÒØÓ ÓÐÙÓ Üغ ÙÖº ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ó ÙÒØ ÈÎÁ dt = 12y y(0) = 1 ÙØÐÞÓ Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÜÔÐØÓ ÓÑ t = 0.2 Ö Ó Ö ÙÐØÓ ÐÙ ØÖÓ Æ Ø Ó Ó ÖÖÓ ÙÑÒØ ÖÔÑÒØ ÓÒÓÖÑ ÚÒ Ò ÓÐÙÓº Ø ÔÖÓÐÑ Ø ÓÓ ÓÑ ÐØ ØÐ Ó ÑØÓÓ ÑÔÖÓº ÒØ ÚÐÖ ØÐ Ó ÑØÓÓ Ò ÖÓ ÒÖ Ó ÓÒØÓ Öй ÓÒÓ Ò Ð ØÐ ½

2 ÓÒ ØÒ ÍÑ ÑØÓÓ Ô Ó ÒÓ ÓÑÓ Ó ÑÐ ÊÙÒ¹ÃÙØص ØÓ ÓÒ ØÒ Ó ÖÖÓ ØÖÙÒÑÒØÓ ÐÓÐ e i ØÒ ÞÖÓ ÓÒÓÖÑ t 0 ÔÖ ØÓÓ Ó Ô Ó ØÑÔÓ ÓÙ lim max e i = 0 t 0 1 i N ÓÒ N ÖÔÖ ÒØ Ó ÒÑÖÓ ØÓØÐ ØÖ º ÓÒÚÖÒ ÍÑ ÑØÓÓ Ô Ó ÒÓ ØÓ ÓÒÚÖÒØ ÓÑ Ö ÔØÓ Ó ÔÖÓ¹ ÐÑ ÚÐÓÖ ÒÐ dt = f(t,y) y(t 0) = y 0 ÖÒ ÒØÖ ÓÐÙÓ ÓØ ØÖÚ Ó ÑØÓÓ ÒÙÑÖÓ y i ÓÐÙÓ ÜØ ÒÓ Ñ ÑÓ ÔÓÒØÓ φ i ØÒÖ ÞÖÓ ÓÒÓÖÑ t 0 lim max y i φ i = 0 t 0 1 i N ÓÖÑ ÙÑ ÑØÓÓ ÓÒ ØÒØ ÔÓ Ù ÔÖÓÔÖ ÕÙ ÕÙ ÓØ ÔÖ Ô Ó ÔÖÓÜÑ ÔÖÔÖ ÕÙÓ ÖÒÐ ÓÒÓÖÑ Ó Ô Ó ØÑÔÓ ØÒ ÞÖÓ ÑÓÓ ÕÙ Ó ÖÖÓ ØÖÙÒÑÒØÓ ÐÓÐ ØÑÑ ØÒ ÞÖÓº ÈÓÖÑ ÐÑ Ó ÖÖÓ ØÖÙÒÑÒØÓ Ú¹ ÓÒ ÖÖ ÒÙÒ Ó ÖÖÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ ÓÓ Ó ØÓ ÕÙ Ó ÚÐÓÖ ÒÙÑÖÓ ÒÓ Ó ÖÔÖ ÒØÓ ÓÖÑ Üغ Æ ÔÖ Ø Ó ÔÖÑØÖÓ Ó ØÑ ÓÒ Ò ØÓÓ Ó ÔÖÓ¹ Ó ÖØÑØÓ Ù ÕÙÒØ ÔÓ ÙÑ ÖÖÓ ÓÓ ÓÑ ÔÖ Ó ÒÙÑÖ ÒØ Ó ÚÐÓÖ ÑÔÖÓ º ÈÖ ÖÒØÖ ÕÙ ÙÑ ØÖÑÒÓ ÑØÓÓ ÓÒÚÖÒØ Ú¹ ÒØÓ ÖÒØÖ ÕÙ ÐÑ Ö ÓÒ ØÒØ Ó ÖÖÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ Ú Ö ÐÑØÓ ÙÑ ÚÐÓÖ Ø Úк Ç ÓÒØÖÓÐ Ó ÖÖÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ Ø ÓÓ ÓÑ ØÐ Ó ÑØÓÓº Ø ÓÒØÓ ÑÙØÓ ÑÐÖ Ó ÓÒØÓ ÓÒÓÒÑÒØÓ ÙÑ ØÑ ÐÒÖ ÒÓ ÒØÓ ÕÙ ÙÑ ÑØÓÓ ØÓ Ø ÚÐ ÕÙÒÓ ÔÕÙÒ ÚÖ ÒÓ ÔÖÑØÖÓ ÓÙ ÓÒ Ò ÐÚÑ ÙÐÑÒØ ÔÕÙÒ ÚÖ Ò ÓÐÙÓ Óغ ÙÖ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ò Ð ØÐ ÔÖ Ó ÑØÓÓ Ô Ó ÒÓº ÈÖ Ó ÑØÓÓ Ô Ó ¹ÑÐØÔÐÓ ÓÑÓ Ü ØÑ ÚÖ ØÔ ÔÖÓÜÑÓ ÒÚÓÐÚ Ñ Ô Ó Ò Ð Ñ ÓÑÔÐܺ ¾

3 ¾ Ò Ð ØÐ ÅØÓÓ È Ó ÒÓ ÈÖ ÚÐÖ ØÐ ÙÑ Ó ÑØÓÓ ÓÒ Ö Ó ÙÒØ ÈÎÁ dt = f(t,y) y(t 0) = y 0 ÓÒ Ö ÕÙ ÓÐÙÓ ÜØ Ø ÈÎÁ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ t n ÔÓÖ φ(t n ) ÕÙ ÓÐÙÓ ÓØ ÓÑ Ó Ù Ó ÑØÓÓ ÒÙÑÖÓ Ò Ø ÔÓÒØÓ y n º ÓÑÓ ÓÑÒØÓ ÒØÖ¹ ÓÖÑÒØ Ò Ö ÓÐÙÓ ÓÑÔÙØÓÒÐ Ó ÔÖÓÐÑ Ü ØÑ ÓÓ ÖÖÓ ÖÖÓÒ¹ ÑÒØÓ ÚÓ ÔÖ Ó ÐÑØ ÖÔÖ ÒØÓ ÒÙÑÖº ÓÒ Ö ÕÙ y n Ó ÚÐÓÖ ÖÖÓÒÓ ÓØÓ Ñ ÙÑ Ñ ÕÙÒ ÖÐ y n Ó ÚÐÓÖ ÓÑ ÔÖ Ó ÒÒØ ÓØÓ Ñ ÙÑ Ñ ÕÙÒ Ðº Ç ÖÖÓ ØÓØÐ ÓÓ Ö ÖÒ ÒØÖ ÓÐÙÓ ÜØ Ó ÚÐÓÖ ÓÖÒÓ ÔÐÓ ÓÑÔÙØÓÖ ÖÖÓ ØÓØÐ = φ(t n ) y n = (φ(t n) y n )+(y n y n ) Ç ÔÖÑÖÓ ØÖÑÓ ÖÔÖ ÒØ Ó ÖÖÓ ØÖÙÒÑÒØÓ Ó ÙÒÓ Ó ÖÖÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ ÓÓ Ó ÔÓÒØÓ t n º ÈÖ ÕÙ ÙÑ Ó ÑØÓÓ ÒÙÑÖÓ ÕÙÓ Ó Ò Ö Ù ÓÒ ¹ Ç ÖÖÓ ØÖÙÒÑÒØÓ ÙÑÙÐÓ ÐÓе Ú ØÒÖ ÞÖÓ ÓÒÓÖÑ t 0 ÓÒ ØÒµ ¹ Ç ÖÖÓ ÖÖÓÒÑÒØÓ ÙÑÙÐÓ ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ö ÐÑÒÓµ Ú Ö ÔÕÙÒÓ Ñ ÓÑÔÖÓ ÓÑ ÓÐÙÓ ÜØ Øеº ¾º½ ÕÙÓ ÅÓÐÓ ÑÒØÓ ÈÖÑÖ ÇÖÑ ÈÖ ÐÙ ØÖÖ ÖØÖ Ø ØÐ ÙÑ ÑØÓÓ ÓÒ Ö ÕÙÓ dt = λy y(0) = 1 ÓÒ λ > 0º Ø ÕÙÓ ÖÔÖ ÒØ ÙÑ ØÜ ÑÒØÓ ÔÖÑÖ ÓÖÑ ÕÙ ÙÖ ÔÓÖ ÜÑÔÐÓ Ò Ò Ð ÚÖÓ Ò ÖÓ ÙÑ Ó ÖÒØ Ñ ÙÑ ÖÓ ÔÖÑÖ ÓÖѺ ÓÒ ÖÒÓ ÒÓÚÑÒØ ÕÙ φ(t) ÓÐÙÓ ÜØ ÕÙÓ Ó ÚÐÓÖ ÐÙÐÓ ÒÙÑÖÑÒØ ÔÓ Ö ÜÔÖ Ó ÓÑÓ y(t) = φ(t)+ε(t)

4 ËÙ ØØÙÒÓ Ò ÕÙÓ ÖÒÐ d(φ+ε) dt = λ(φ+ε) ÓÑÓ ÓÐÙÓ ÜØ Ú Ø ÞÖ ÕÙÓ ÖÒÐ ØÑÓ ÕÙ dε dt = λε Ø ÕÙÓ ÖÚ ÓÑÓ ÙÑ ÖÐÓ ÔÖ ØÖÑÒÖ ÓÑÓ Ó ÖÖÓ ÚÖ Ó ÐÓÒÓ Ó ØÑÔÓ ÓÙ Ó ÐÓÒÓ Ó Ô Ó ÚÐÓ º Ë Ó ÖÖÓ ÑÒÙÖ ÓÑ Ó ØÑÔÓ Ó ÑØÓÓ Ø ÚÐ Ó ÓÒØÖ ÖÓ Ö Ò Ø Úк ε(t) ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÓÒ Ö ÕÙ Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÜÔÐØÓ ÙØÐÞÓ ÔÖ ÚÐÖ ε n+1 = ε n + t( λε n ) = ε n (1 tλ) ε n+1 ε n = 1 tλ ÈÖ ÖÒØÖ ØÐ ÔÖ Ó ÕÙ Ó ÖÖÓ Ñ t n+1 ÑÒÓÖ ÕÙ Ó ÖÖÓ Ñ t n Ñ ÓÒ ÖÒÓ ÖÐÓ ÒØÖÓÖ ε n+1 ε n 1 1 tλ 1 ÑÓÓ Ó Ô Ó ØÑÔÓ ÔÖ ÖÒØÖ ØÐ Ú Ö ÑÓÖ ÕÙ ÞÖÓ ÑÒÓÖ ÕÙ 2/λº ÖÓ ÓÒØÒÓ Ó ÚÐÓÖ λ t ÕÙ ÐÚÑ ÙÑ ÓÐÙÓ Ø ÚÐ ÑÓ ÓÑÒÓ ØÐ ÐÒÖº Ç ÔÖÑØÖÓ λ ÔÓ Ö ÙÑ ÒÑÖÓ ÓÑÔÐÜÓ ÑÓÓ ÕÙ Ó ÓÑÒÓ ØÐ Ó ØÙÑ Ö ÖÔÖ ÒØÓ ÒÓ ÔÐÒÓ ÓÑÔÐÜÓº ÒÒÓ z = λ t ØÑÓ ÕÙ ÔÖ Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÜÔÐØÓ Ö Ø ÚÐ ÙÒØ ÓÒÓ Ú Ö Ø Ø 1+z 1 ÞÒÓ z = a+bi 1+(a+bi) 1 (a+1)+bi 1 ÈÖ ÙÑ ÒÑÖÓ ÓÑÔÐÜÓ ÕÙÐÕÙÖ α+βi Ó ÑÙÐÓ ÒÓ ÓÑÓ α+βi = α 2 +β 2

5 Ñ ÔÖ Ó Ó ÒØÖÓÖ ØÑÓ ÕÙ (a+1)+bi = (a+1) 2 +b 2 1 (a+1) 2 +b 2 1 Ø ÖÐÓ ÖÔÖ ÒØ ÙÑ ÖÙÐÓ ÖÓ ÑÒÓÖ ÓÙ ÙÐ ½ ÐÓÓ Ñ ÙÑ ÙÒ ÔÖ ÕÙÖ ÒÓ ÜÓ ÕÙÚÐÒØ aº ÓÑÓ a ÔÖØ ÖÐ z b ÔÖØ ÑÒ Ö z Ó ÓÑÒÓ ØÐ Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÜÔÐØÓ ÖÔÖ ÒØ ÖÓ Ò Ò ÙÖ ÙÖº ÓÒ Ö ÓÖ ÕÙ ÑÔÖÓ Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÑÔÐØÓ ε n+1 = ε n + t( λε n+1 ) ε n+1 (1+ tλ) = ε n ÓÑ Ó ε n+1 ε n = 1 1+ tλ ÓÑÓ λ > 0 t > 0 Ø ÖÐÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÑÔÐØÓ Ø ÚÐ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ ÚÐÓÖ t Ó ÕÙ ÙÑ ÖØÖ Ø ÓÑÙÑ Ó ÑØÓÓ ÑÔÐØÓ º ÓÒ Ö ÓÖ ÑÓÓ ÙÒ ÓÖÑ Ò ÖÖ Ó ÔÓÒØÓ ÑÓ ÑÓÓ ÕÙ ε n+1 = ε n + t 2 ( λε n λε n+1 ) ε n+1 (1+ tλ/2) = ε n (1 tλ/2) ε n+1 ε n = 1 tλ/2 1+ tλ/2 ÓÒ ÖÒÓ ÓÒÓ ÔÖ ØÐ 1 tλ/ tλ/2

6 Æ Ø Ó ÓÐÙÓ ØÑÑ Ö Ø ÚÐ ÔÖ ÕÙÐÕÙÖ t > 0º ÈÖ Ó Ñ ÑØÓÓ ÜÔÐØÓ ØÐ ØÑÑ Ø ÓÒÓÒ ÙÑ ÓÑÒÓ ÔÓº Ñ ÔÖØÙÐÖ ÔÖ Ó Ó Ó ÑØÓÓ Êà ÓÖÑ ÑÓÖ ÕÙ ½ ÔÓ¹ ÑÓ ØÖÖ ÕÙ Ó ÓÑÒÓ ØÐ ÐÒÖ ÒÐÓ Ó ÓÑÒÓ ÓÓ Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÜÔÐØÓ Êà ÔÖÑÖ ÓÖѵº Ñ ÓÒÓ t < 2/λ ÓÖ Ö ÔØ Ó ÑØÓÓ Êà ÓÖÑ ÙÔÖÓÖ ÖÓ Ø Ú º Ç ÓÑÒÓ ØÐ ÑØÓÓ ÊÙÒ¹ÃÙØØ ÓÖÑ ½ Ø ÖÔÖ ÒØÓ Ò ÙÖ ÙÖ ÈÖÓÐÑ ÊÓ Ëص ÐÙÑ ÕÙ ÓÙ ØÑ ÕÙ ÖÒ Ó Ð Ó ÓÑÓ ÖÓ Øµº ÆÓ Ü Ø ÙÑ ÒÓ ÔÖ ÔÖ Ð Ö ÙÑ Ç ÓÑÓ Ö Ñ Ø ØÔÓ ÔÖÓÐÑ ÓÑÔÖØÐÑ ÖØÖ Ø Ñ ÓÑÙÑ

7 ¹ ÆÓÖÑÐÑÒØ Ü ØÑ ØÖÑÓ ÕÙ ÐÚÑ ÙÑ Ö Ô ÚÖÓ Ò ÓÐÙÓ ¹ ÈÖÓÐÑ ÖÓ ÔÓ ÙÑ ÙÑ ÚÖ Ð ØÑÔÓ Ó ÓÙ Ñ ØÖÑÒÓ ÔÓÒØÓ ÓÐÙÓ ÚÖ ÑÙØÓ Ñ ÖÔÑÒØ ÕÙ Ñ ÓÙØÖ ¹ ÅØÓÓ ÜÔÐØÓ Ó Ø Ú ÔÖ Ö ÓÐÙÓ Ç³ Ö Ó Ô Ó ØÑÔÓ ÙØÐÞÓ ÓÖ ÑÙØÓ ÔÕÙÒÓ ¹ Í ÙÐÑÒØ Ó Ô Ó ØÑÔÓ ÙØÐÞÓ ÔÖ ÖÒØÖ ØÐ ÑÒÓÖ ÕÙ Ó Ò ÖÓ ÔÖ ÖÒØÖ ÓÒÚÖÒ º ÕÙÓ Ø Ø ÙØÐÞ ÒØÖÓÖÑÒØ dt = λy y(t 0) = y 0 ÙÑ ÜÑÔÐÓ ÕÙÓ Ö ÔÐÑÒØ ÔÖ ÐØÓ ÚÐÓÖ λº Ø ÕÙÓ ÔÓ Ù ÓÐÙÓ ÓÖÑ y = y 0 e λt ÓÑÓ Ú ØÓ ÒØÖÓÖÑÒØ ÙÑ ÑØÓÓ ÜÔÐØÓ ÓÖ ÑÔÖÓ Ú¹ Ù Ö ÙÑ ÚÐÓÖ t ÙÒØÑÒØ ÔÕÙÒÓ ÔÖ ÖÒØÖ ØÐ ÓÐÙÓº ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ ÔÖ Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÜÔÐØÓ t < 2 λ Ó ÓÖ Ò ÖÓ ÚÐÖ ÓÐÙÓ Ø ÙÑ ØÑÔÓ ÒÐ t 1 Ó ÒÑÖÓ Ô Ó Ò ÖÓ nµ Ö λº n = t 1 t n > λt 1 2 Ñ Ó ÒÑÖÓ Ô Ó ÑÒÑÓ Ò ÖÓ ÖØÑÒØ ÔÖÓÔÓÖÓÒÐ Ó ÚÐÓÖ º½ Ë ØÑ ÕÙ ÖÒ Ê ÄÒÖ ÓÒ Ö Ó ÙÒØ ÈÎÁ 1 dt = 500.5y y 2 y 1 (0) = 2 ÓÐÙÓ Ø ÔÖÓÐÑ ÙÒØ 2 dt = 499.5y y 2 y 2 (0) = 1 y 1 (t) = 1.5e t +0.5e 1000t

8 y 2 (t) = 1.5e t 0.5e 1000t Ñ ÓÐÙÓ ÔÓ Ù Ó ØÖÑÓ ÙÑ ØÖÑÓ e t ÕÙ ÚÖ ÐÒØÑÒØ ÓÑ Ó ØÑÔÓ ÓÙØÖÓe 1000t ÕÙ ÚÖ ÖÔÑÒغ ÈÖ ÖÒØÖ ØÐ ÔÖ Ó ÕÙ ÓÐÙÓ ÑÒØÒ Ø ÚÐ ÙÖÒØ ØÓ Ö ÓÐÙÓ ÔÓÖ Ó ØÐ Ú Ö ÙÖ ÔÖ Ó ØÖÑÓ e 1000t º ÑÓÓ ÖÐ Ó ÚÐÓÖ t ÑÔÖÓ ÚÑ Ö ØÖÑÒÓ Ñ Ó ÓÒ¹ ÑÒØÓ ÓÐÙÓº Ç ÈÎÁ ÒØÖÓÖ ÔÓ Ö Ö ÖØÓ ÓÑÓ dy dt = Y = AY Ç ÚÐÓÖ t Ò ÖÓ ÒÓ ÓÑ ÒÓ ÙØÓÚÐÓÖ ÑØÖÞ Aº ÄÑÖÒÓ ÕÙ Ó ÙØÓÚÐÓÖ λ Ó ÒÓ ÓÑÓ Ó ÚÐÓÖ ÓÒ A λi = 0 Ñ ÔÖ Ø Ó λ λ ( λ) = 0 Ê ÓÐÚÒÓ ÕÙÓ ÙÒÓ ÖÙ ÓØѹ ÙÒØ ÖÞ λ 1 = 1 λ 2 = 1000 ÈÖ ÖÒØÖ ØÐ Ñ ÙÑ ÑØÓÓ ÜÔÐØÓ ÔÓ¹ ÓÒ ÖÖ ÙÒÓ Ø Ø Ù ÒØÖÓÖÑÒØ /dt = λy ÓÑ λ ÒÓ Ó ÑÓÖ Ó ÙØÓÚÐÓÖ Ñ ÑÙÐÓµ ¹ ÓÓ ÓÑ Ó ÔÖÓÐѺ ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ Ó Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÜÔÐØÓ ÑÔÖÓ Ú¹ ÖÒØÖ ÕÙ t 2 λ max ÓÒ ÖÒÓ ÕÙ ÒÓ ÜÑÔÐÓ λ max = 1000 ÒØÓ ØÑÓ ÕÙ Ó Ô Ó ØÑÔÓ Ñ ÜÑÓ 0.002º Ó Ó ÑÒÓÖ ÙØÓÚÐÓÖ Ó ÑÔÖÓ Ö ÓØÓ ÙÑ ÚÐÓÖ t max = 2º Ô Ó Ò ØÒØ Ò Ó ÔÖÓÐÑ Ô Ö ÓÒØÖÓÐÓ ÔÐÓ ÑÒÓÖ ÙØÓÚÐÓÖº ÈÖ ÑÖ ÑÔÓÖØÒ ÖÞ Ò Ö ÓÐÙÓ Ó ÔÖÓÐÑ ÔÓ¹ ØÖÑÒÖ Ó ÖÙ ÖÞ ØÒ ÖØÓµ Ó ÔÖÓÐÑ ÒÓ ÓÑ SR = λ max λ min ÆÓÖÑÐÑÒØ ÔÖ SR > 20 Ó ÔÖÓÐÑ Ð Ó ÓÑÓ ÖÓ ÒÓ Ò ÖÓ ÚÐÖ ÓÑ ÙÓ Ó Ô Ó ØÑÔÓ ÑÔÖÓ º

9 º¾ Ë ØÑ ÆÓ¹ÄÒÖ ÈÖ ÔÖÓÐÑ ÒÓ¹ÐÒÖ Ò Ð Ñ ÓÑÔÐܺ ÈÖ ÔÖÓÐÑ ÙØÒÓÑÓ ÓÖÑ dy dt = f(y) ÔÓ¹ ÐÒÖÞÖ ÕÙÓ ØÖÚ ÙÑ ÜÔÒ Ó Ñ Ö ÌÝÐÓÖ Ñ ØÓÖÒÓ Ó ÔÓÒØÓ t n º ÓÒ ÖÒÓ Ó ØÖÑÓ ÐØ ÓÖÑ dy dt = f(y n)+j(t n )(Y Y n ) ÓÒ J(t n ) ÑØÖÞ ÂÓÒ ÚÐ Ñ t = t n Ò ÓÑÓ [ ] fi (y) J(t n ) = a ij = y j ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ Ñ ÙÑ ØÑ 2 2 ÓÖÑ t n dt = f(x,y) dx dt = g(x,y) Ç ÂÓÒÓ Ñ ÙÑ ÔÓÒØÓ t n ØÖÑÒÓ ÓÖÑ f f x y J(t n ) = tn tn g x tn g y tn Æ Ø Ó ÖÞÓ ÖÞ Ò ÓÑ ÒÓ ÙØÓÚÐÓÖ ÑØÖÞ ÂÓÒº ÓÑÓ J(t n ) ÔÓ ÔÒÖ Ó ØÑÔÓ ÖÞÓ ÖÞ ÔÓ ÚÖÖ Ó ÐÓÒÓ ÓÐÙÓº Ç ÚÐÓÖ t Ò ÖÓ ÔÖ ÖÒØÖ ØÐ ØÑÑ ÔÓÑ Ö ÒÓ ÓÑ ÒÓ ÙØÓÚÐÓÖ ÑØÖÞ ÂÓÒº Ç º Ó t n ÓÖ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÜÓ Ó ÙØÓÚÐÓÖ Ó ÂÓÒÓ ØÑÑ ÖÚÑ ÔÖ ÒÖ Ó ÔÓÒØÓ Ø ÚÐ ÓÙ ÒÓ ÒÓ Ò Ø ÚÐ Ó ÐÙÑ ÙØÓÚÐÓÖ ØÒ ÔÖØ ÖÐ ÔÓ ØÚº ÜÑÔÐÓ ÓÒ Ö Ó ÙÒØ ÈÎÁ dt = y2 x y(0) = 2 dx dt = 400yx2 x(0) = 1 ØÖÑÒ ÖÞÓ ÖÞ Ñ t = 0º Ó Ó ÑØÓÓ ÙÐÖ ÜÔÐØÓ ÓÖ ÑÔÖ¹ Ó ÕÙÐ Ó ÚÐÓÖ Ñ ÜÑÓ t