topicos_elementares_matrizes_determinantes.dvi

Bản ghi

1 ÅÌÊÁË ÌÊÅÁÆÆÌË Ä ÈÖÓÒ ¾ ÒÖÓ ¾¼¼ ÊÚ Ó Ñ ¼¼¾¾¼¼ ½ ÓÒØÓ Ò Ñ ÅØÑ Ø Ù ÔÐ ÓÑÙÑ ÕÙ ÒÑÖÓ ÜÔÖ ÐÖ¹ ÔÖÑ Ñ ØÖÙØÙÖ ÖØÒÙÐÖ ÒÓÑÒ ÑØÖÞ ÍÑ ÑØÖÞ ÓÑ m ÐÒ n ÓÐÙÒ ÔÓ Ö ÖÔÖ ÒØ ÔÓÖ a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn ÓÒ a 11, a 12,, a mn ÒÓÑÒÓ ÐÑÒØÓ ÑØÖÞ ÖÔÖ ÒØÑ ÒÑÖÓ ÔÓÐÒÑÓ ÓÙ ÓÙØÖ ØÖÙØÙÖ ÒÐÙ Ú ÑØÖÞ ÜÑÔÐÓ ÔÐ ÑØÖÞ ÒÐÙÑ ÌÖÒ ÓÖÑ ÐÒÖ Ë ØÑ ÕÙ ÐÒÖ ÇÖÒÞÓ Ó ÓÒØÚ ØÓ ÈÖÓ Ó ØÓ ØÓ ÓÑØÖ ½

2 ½½ ÇÔÖ ÓÑ ÑØÖÞ ÈÖ ÑØÖÞ Ñ Ñ ÓÖÑ Ó Ò ÙÒØ ÓÔÖ A = B, a ij = b ij C = A ± B, c ij = a ij ± b ij, A = cb, a ij = c b ij. ÑØÖÞ ØÖÒ ÔÓ Ø ÙÑ ÑØÖÞ A Ñ Ü Òµ ÑØÖÞ A T Ò Ü Ñµ ÜÔÖ ÔÓÖ a 11 a 21 a n1 B = A T a 12 a 22 a n2 =, b ij = a ji, a 1n a 2n a nm ÓØ ÔÖØÖ A ØÖÚ Ó ÒØÖÑÓ ÐÒ ÔÐ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ÓÐÙÒ ÍÑ ÑØÖÞ Ø ÑØÖ ÕÙÒÓ A = A T, a ij = a ji, Òع ÑØÖ ÕÙÒÓ A = A T, a ij = a ji. ÍÑ ÑØÖÞ ÕÙÖ Ø ØÖÒÙÐÖ ÕÙÒÓ ØÓÓ Ó ÐÑÒØÓ ÓÙ Ñ ÓÙ ÜÓ ÓÒÐ ÔÖÒÔÐ a 11, a 22,, a nn µ Ó Ù ÞÖÓ ÉÙÒÓ ØÓÓ Ó ÖÖÓ ÐÑÒØÓ ÓÖÑ ÑÙÐØÒÑÒØ Ù ÞÖÓ ÑØÖÞ Ø ÓÒÐ ÍÑ ÑØÖÞ ÓÒÐ Ñ ÕÙ ØÓÓ Ó ÐÑÒØÓ ÓÒÐ ÓÖÑ Ù 1 ÒÓÑÒ ÑØÖÞ ÙÒ ÅØÖÞ ÙÒ ÒÓ ÑÔÓÖØ ÓÖÑ Ó ÓÑÙÒÑÒØ Ò ÔÓÖ I ½¾ ÈÖÓÙØÓ ÑØÖÞ Ç ÔÖÓÙØÓ ÑØÖÞ ÒÓ ÑÓÓ Ø ÞÖ ÔÖÓÔÖ ØÖÒ ¹ ÓÖÑ ÐÒÖ ËÑ ØÖÒ ÓÖÑ ÐÒÖ y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 ¾

3 z 1 = b 11 y 1 + b 12 y 2 z 2 = b 21 y 1 + b 22 y 2. Ô ÐÙÑ ÑÒÔÙÐÓ ÕÙ ÑÓ ØÖ¹ ÕÙ z 1 = c 11 x 1 + c 12 x 2 z 2 = c 21 x 1 + c 22 x 2, ÓÒ c 11 = b 11 a 11 + b 12 a 21, c 12 = b 11 a 12 + b 12 a 22, c 21 = b 21 a 11 + b 22 a 21, c 22 = b 21 a 12 + b 22 a 22. ½µ Ø ØÖÒ ÓÖÑ ÔÓÑ Ö ÜÔÖ ØÖÚ ÑØÖÞ Ò ÓÖÑ ÓÒ x = ( x1 x 2 ), y = ( y1 y 2 y = Ax, z = By, ) z = ( z1 z 2 ). ÓÒ ÕÙÒØÑÒØ z = B(Ax) = (BA)x = Cx, Ò¹ Ó ÔÖÓÙØÓ ÑØÖÐ B ÔÓÖ A ÓÑÓ ÑØÖÞ C ÓÑ ÐÑÒØÓ Ó ÔÐ Õ ½µ ÓÖÑ ÖÐ ÔÖ Ó ÔÖÓÙØÓ Ù ÑØÖÞ B Ñ Ü Ôµ A Ô Ü Òµ ÖÚ¹ C = BA, ÓÒ c ij = p b ik a kj, i = 1, m, j = 1, n. k=1 ÔÖÓÔÖ ÙÒØ Ó ÔÖÓÙØÓ ÑØÖÞ Ó ÐÑÒØ ÑÓÒ ¹ ØÖ Ú AB BA, A(BC) = (AB)C, AI = IA = A, (AB) T = B T A T. Ñ ÖÐ,

4 ½ ØÖÑÒÒØ ÙÑ ÑØÖÞ Æ ÓÐÙÓ ØÑ ÕÙ ÐÒÖ ÖØ ÜÔÖ ÒÚÓÐÚÒÓ Ó ÐÑÒØÓ ÑØÖÞ Ó ÓÒØ ØÓ ÑÔÖ ÔÖ ÒØ ÍÑ Ð ÖÖ ÓÑÓ Ó ØÖÑÒÒØ ÑØÖÞ Ó ÓÒØ Ò ÔÓÖ Ø(A) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21, Ò ¾, a 11 a 12 a 13 Ø(A) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 32a 21 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 32 a 23, Ò. ÑÓÓ ÖÐ Ó ØÖÑÒÒØ ÙÑ ÑØÖÞ ÕÙÖ ÓÖÑ n ÒÓ ÔÓÖ Ø(A) = e p a i1 1a i2 2 a inn, p ÓÒ ÓÑ ÜØÒ ÓÖ ÔÖÑÙØ p = (i 1, i 2,, i n ) (1, 2,, n) { +1, ÔÖÑÙØÓ ÔÖ e p = 1, ÔÖÑÙØÓ ÑÔÖ. ÙÒØ ÔÖÓÔÖ ØÖÑÒÒØ ÔÓÑ Ö ÑÓÒ ØÖ Ø Aµ Ø A T µ Ó ÐÑÒØÓ ÙÑ ÐÒ ÓÙ ÓÐÙÒ ÙÑ ÑØÖÞ Ó ÑÙÐØÔÐÓ ÔÓÖ k Ó ÚÐÓÖ Ó ØÖÑÒÒØ ÑØÖÞ Ö ÙÐØÒØ Ö ÙÐ k ÚÞ Ó ØÖÑÒÒØ ÑØÖÞ ÓÖÒÐ Ó ØÖÑÒÒØ ÓÓ ÙÑ ÑØÖÞ ÕÙ ÔÓ Ù Ó ÐÑÒØÓ ÙÑ ÐÒ ÓÙ ÓÐÙÒ Ù ÞÖÓ ÙÐ ÞÖÓ a 11 + v 1 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 v 1 a 12 a 13 a 21 + v 2 a 22 a 23 a 31 + v 3 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 v 2 a 22 a 23 v 3 a 32 a 33, Ó ÒØÖÑÓ Ù ÐÒ ÓÙ Ù ÓÐÙÒ ÙÑ ÑØÖÞ Ö ÙÐØ Ñ ÙÑ ÑØÖÞ ÙÓ ØÖÑÒÒØ ÙÐ 1 Ó ÚÐÓÖ Ó ØÖÑÒÒØ ÑØÖÞ ÓÖÒÐ Ó ÐÑÒØÓ Ù ÐÒ ÓÙ ÓÐÙÒ ÙÑ ÑØÖÞ Ó ÑÐØÔÐÓ ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÑÓ ØÓÖ Ó ÚÐÓÖ Ó ØÖÑÒÒØ ÓÓ ÙÐ ÞÖÓ

5 ÑØÖÞ ÓØ ØÖÚ Ó Ó ÐÑÒØÓ ÙÑ ÐÒ ÓÙ ÓÐÙÒ ÑØÖÞ ÓÖÒÐ Ó ÐÑÒØÓ ÓÙØÖ ÐÒ ÓÙ ÓÐÙÒ ÑÙÐØÔÐÓ ÓÙ ÒÓ ÔÓÖ ÙÑ ÓÒ ØÒØ ÔÖ ÒØ ØÖÑÒØ ÙÐ Ó ÑØÖÞ ÓÖÒÐ Ø ABµ Ø Aµ Ø Bµ ½ Ë ØÑ ÕÙ ÐÒÖ Ç ØÑ ÕÙ ÐÒÖ a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x m = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x m = b 2 a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x m = b m ÔÓ Ö ÜÔÖ Ó ÑØÖÐÑÒØ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ax = b, A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn,x = x 1 x 2 x 3 b = b 1 b 2 b 3. Ë m = n Ó ÒÑÖÓ ÕÙ Ö ÙÐ Ó ÒÑÖÓ ÚÖ Ú Ó ØÑ ÔÓÖ ÓÙ ÒÓ ÔÖ ÒØÖ ÓÐÙÓ ÍÑ ÓÒÓ ÙÒØ ÔÖ Ü ØÒ ÙÑ ÓÐÙÓ ÔÓÖ Ø(A) 0 Ë Ó ØÑ ÓÖ ÒÓ ÓÑÓÒÓ b i 0 ÔÖ ÔÐÓ ÑÒÓ ÙÑ ÚÐÓÖ i Ø(A) = 0 Ó ØÑ ÒÓ ØÖ ÓÐÙÓ Ë Ó ØÑ ÓÖ ÓÑÓÒÓ Ø(A) = 0 Ó ØÑ ÔÖ ÒØÖ ÒÒØ ÓÐÙ Ë m > n Ó ØÑ ØÖ ÙÔÖ¹ Ó ÔÓ ÙÒÓ Ñ ÕÙ ÕÙ ÚÖ Ú ÔÖ ÒØÖ ÓÐÙÓ ÓÑÒØ Ñ Ó Ô ÕÙÒÓ m n ÕÙ ÓÖÑ ÐÒÖÑÒØ ÔÒÒØ Ñ Ë m < n ÔÓÖ Ù ÚÞ Ó ØÑ ØÖ Ù¹ ÔÓ ÔÓ ÙÒÓ Ñ ÚÖ Ú Ó ÕÙ ÕÙ ÓÖÑ ÖÐ ÙÑ ÓÒÓ ÙÒØ Ò Ö ÔÖ ÕÙ Ó ØÑ ÕÙ ÔÓ Ù ÓÐÙÓ ÕÙ ÑØÖÞ Ó ÓÒØ ÑØÖÞ

6 ÙÑÒØ ÓØ ÔÖØÖ Ð a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2, a m1 a m2 a mn b m ÔÓ ÙÑ Ó Ñ ÑÓ ÔÓ ØÓ Ç ÔÓ ØÓ ÙÑ ÑØÖÞ ÒÓ ÓÑÓ ÓÖÑ Ù ÑÓÖ ÙÑØÖÞ ÕÙÖ ÓÑ ØÖÑÒÒØ ÒÓ¹ÒÙÐÓ ËÙÑØÖÞ ÙÑ ÑØÖÞ A Ó ÓØ ÔÖØÖ A ØÖÚ ÙÔÖ Ó ÐÒ ÓÐÙÒ ½½ ËÓÐÙÓ ÙÑ ØÑ ÕÙ ÐÒÖ ¹ ÅØÓÓ ÖÑÖ Ç ÑØÓÓ ÔÐ ØÑ ÓÑ n ÕÙ n ÒÒØ a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 a n1 x 1 +a n2 x 2 + +a nn x n = b n, ÓÒ Ø ÒÐÑÒØ Ñ ÓÑÔÙØÖ Ó ØÖÑÒÒØ ÑØÖÞ ÓÒ ¹ ØÖÙ ÔÖØÖ Ù ØØÙÓ ÓÐÙÒ ÑØÖÞ Ó ÓÒØ A ÔÐ ÓÐÙÒ ØÖÑÓ ÒÔÒÒØ b i ÓÑÓ ÑÓ ØÖÓ ÜÓ D 1 = b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a n2 a nn, D 2 = a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n a n1 b n a nn,, D n = Ë D = Ø(A) ÖÒØ ÞÖÓ ÓÐÙÓ Ó ØÑ ÒØÓ ÔÓÖ x 1 = D 1 /D, x 2 = D 2 /D,, x n = D n /D. a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a n1 a n2 b n. ½ ÁÒÚÖ ÙÑ ÑØÖÞ ÒÚÖ ÙÑ ÑØÖÞ ÕÙÖ ÓÖÑ n ÑØÖÞ A 1 ØÐ ÕÙ AA 1 = A 1 A = I. ÓÒÓ Ò Ö ÙÒØ ÔÖ Ü ØÒ ÒÚÖ ÙÑ ÑØÖÞ A ÔÓÖ Ø(A) 0 ÙÒØ ÔÖÓÔÖ ÒÚÖ ÙÑ ÑØÖÞ ÔÓÑ Ö ÑÓÒ ¹ ØÖ

7 Ø(A 1 ) = 1 Ø(A) (AB) 1 = B 1 A 1 Ax = b Ø(A) 0, ÒØÓ x = A 1 b ÒÚÖ ÙÑ ÑØÖÞ A ÔÓÖ A 1 = MT Ø(A), ÓÒ M ÑØÖÞ Ó ÓØÓÖ Ç ÐÑÒØÓ m ij ÑØÖÞ Ó ÓØÓÖ ÙÐ Ó ØÖÑÒÒØ Ù¹ÑØÖÞ A ÓØ ØÖÚ ÙÔÖ Ó ÐÒ i ÓÐÙÒ j ÑÙÐØÔÐÓ ÔÓÖ ( 1) i+j