ÈÈ ÅØÑØÕÙ ¾¼½½¹¾¼½¾ ÙÐÐ ½ ÊÚ ÓÒ Ø ÓÑÔÐÑÒØ º ½ ÓÒØÓÒ ½º ÌÖÓÙÚÖ Ð³Ò ÑÐ ÒØÓÒ Ø ØÙÖ Ð ÔÖØ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ ½º f (x) = 2x 2 +3º ¾º f 2 (x) = 2 x 2 4. º f 3 = x º ½º ¾º Ö Ð ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ ÓÒØ ÓÒØÒÙ ÒØÚ ÙÖØÚ ÓÙ ØÚ f : R [, [ x x 2 ¾º Ä ÓÒØÓÒ g : [,] [,] ÓÒØ Ð ÖÔÕÙ Ø º Ä ÓÒØÓÒ h : [,] [,] ÓÒØ Ð ÖÔÕÙ Ø º ËÓØ f Ø g Ò ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ I R ÓÒ ÙÔÔÓ ÔÐÙ ÕÙ f Ø g ÓÒØ ÔÖ ÓÙ ÑÔÖ º ÉÙ Ö fg º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ I Ø g ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ I 2 º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ g(i 2 ) I ÓÖØ ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ f g ÓØ Ò ÙÖ I º ÇÒ ÙÔÔÓ ÔÐÙ ÕÙ I 2 Ø ÒØÖ Ò ÞÖÓº ØÙÖ Ð ÔÖØ f g Ò ÓÒØÓÒ ÐÐ f Ø gº º ËÓØ f : [,] [,] ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙº ÑÓÒØÖÖ ÕÙ³Ð Ü Ø Ù ÑÓÒ ÙÒ ÖÐ x [,] ØÐ ÕÙ f(x ) = x º ½
º ÇÒ ÖÔÔÐÐ ÕÙ Ð ÔÖØ ÒØÖ ³ÙÒ ÖÐ x ÒÓØ x Ø Ð ÔÐÙ ÖÒ ÒØÖ n ÒÖÙÖ xº ÈÖ ÜÑÔÐ.2 = º Ä ÔÖØ ÒØÖ ³ÙÒ ÒÓÑÖ ÚÖ x x < x +º ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÓÒØÓÒ f Ò ÙÖ R ÔÖ f : { x x x f() = ½º ËÓØ x R ÑÓÒØÖÖ ÕÙ f(x) < x. ¾º ØÙÖ Ð ÓÒØÒÙØ f Ò ÞÖÓº º ÓØ x ÙÒ ÖÐ ÒÓÒ ÒÙÐ ØÙÖ Ð ÓÒØÒÙØ f Ò x º ¾ ÖÚ Ø ÔÖÑØÚ º ØÖÑÒÖ Ð ÖÚ ÓÒØÓÒ f ÙÚÒØ ÙÖ ÐÙÖ Ò ÑÐ ÒØÓÒ ½º f(x) = 3x3 6x+5 x 2 + ¾º f(x) = x++ x 2 +3x+3º º f(x) = xsin xº cosx º f(x) = +cosx º º f(x) = x2 + º ËÓØ f Ð ÓÒØÓÒ R Ò R Ò ÔÖ f(x) = (x+)log x 3 ËÓØ C Ð ÖÔ Ð ÓÒØÓÒ f Ò ÙÒ ÖÔÖ ÓÖØÓÒÓÖÑ (O; i ; j ) ½º ÈÖ Ö Ð³Ò ÑÐ ÒØÓÒ D fº ¾º µ ÈÖ Ö Ð³Ò ÑÐ ÖÚÐØ f Ø ÐÙÐÖ f (x)º µ Ö Ö Ð ØÐÙ ÚÖØÓÒ f º µ ÅÓÒØÖÖ ÕÙ f ³ÒÒÙÐ Ò ÙÒ ÙÐ ÔÓÒØ ÙÖ ],3[º µ Ò ÙÖ Ð ØÐÙ ÚÖØÓÒ fº º ØÙÖ Ð ÐÑØ f ÙÜ ÓÖÒ Dº ÈÖ Ö Ð ÝÑÔØÓØ ÚÒØÙÐÐ Cº º ÊÔÖ ÒØÖ Cº º ËÓØ f гÔÔÐØÓÒ Ò ÙÖ R{} ÔÖ f(x) = x2 x+ x Ö Ö Ð ØÐÙ ÚÖØÓÒ fº ½¼º ËÓØ f Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ R ÔÖ f(x) = x 2 6x+5 Ö Ö Ð ØÐÙ ÚÖØÓÒ fº ¾
½½º ËÓØ I ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÓÙÚÖØ R a I Ø f,g : I R ÖÚÐ Ò aº ÐÙÐÖ f(x)g(a) f(a)g(x) lim x a x a ½¾º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ [,] Ø ÓÒØÒÙ Ò ØÐÐ ÕÙ f(2x) f(x) lim = λ. x x ÅÓÒØÖÖ ÕÙ f Ø ÖÚÐ Ò Ø ÐÙÐÖ f ()º ½ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ ÖÚÐ ÙÖ Rº ÅÓÒØÖÖ Ð ÖØÓÒ ÙÚÒØ ½º Ë f Ø ÔÖ ÐÓÖ f Ø ÑÔÖº ¾º Ë f Ø ÑÔÖ ÐÓÖ f Ø ÔÖº º Ë f Ø Ì¹ÔÖÓÕÙ ÐÓÖ f Ø Ì¹ÔÖÓÕÙº ÉÙ Ö ÖÔÖÓÕÙ º ½º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ R Ø g ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ], [ ØÐ ÕÙ lim g(x) =. x ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ ÕÙÐÕÙ ÓØ (x,y) R 2 x y ÓÒ Ø ÅÓÒØÖÖ ÕÙ f Ø ÓÒ ØÒغ f(x) f(y) x y g( x y ) ½º ÌÖÓÙÚÖ ØÓÙØ Ð ÔÔÐØÓÒ f ÚÖÒØ Ð ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ ½º f : R R ÖÚÐ ÙÖ R ØÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ (x,y) R 2 ÓÒ Ø f(x+y) = f(x)+f(y). ¾º f :],[ R ÖÚÐ ÙÖ ],[ ØÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ (x,y) ] ;[ 2 ÓÒ Ø ( ) x+y f(x)+f(y) = f. +xy ½º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ R ÔÖ f(x) = x 5π/2 f(x) = sinx+ 5π/2 < x f(x) = e x x > ½º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ f Ø ÓÒØÒÙ ÙÖ Rº ¾º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ f Ø ÖÚÐ ÙÖ Rº ½º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N Ø x [, [ ÓÒ x n+ (n+)x+n. ½º ÐÙÐÖ Ð ÒØÖÐ ÙÚÒØ
3 ( I = 2t 7 +2t 3 t ) x dt, I 2 = 3 (x 2 +) 2dx, I 3 = π 5 sin 5 (x)cos(x)dx, I 4 = 5π 3π sin(x)cos 5 (x)dx ½º Ò Ø ÓÒ Ö ÐÙÐÖ Ð ÒØÖÐ ÙÚÒØ ½º ÐÙÐÖ Iº I = π 4 π cos 2 (x) dx, J = 4 cos 4 (x) dx. ¾º ËÓØ f Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ [,π/4] ÔÖ f(x) = sin(x) cos 3 (x) º ÐÙÐÖ f (x) Ø Ò ÙÖ ÙÒ ÖÐØÓÒ ÒØÖ I Ø Jº º ÐÙÐÖ Jº ¾¼º ËÓØ I = ½º ËÓØ f Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ [,] ÔÖ ÐÙÐÖ f º ¾º ÐÙÐÖ Iº f(x) = log x2 + dx. ( x+ ) x 2 +. ¾½º ËÓØ f Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ R{± 2 } ÔÖ f(x) = 8x2 +32x+2 (4x 2 ) 2. ½º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ³Ð Ü Ø ÙÜ ÓÒ ØÒØ ÖÐÐ a Ø b ØÐÐ ÕÙ Ø Ð ØÖÑÒÖº f(x) = a (2x+) 2 + b (2x ) 2 ¾º Ò ÙÖ 2 f(t)dt. ¾¾º ËÓØ n ÙÒ ÒØÖ ÖÐØ n Ø x º ½º ÐÙÐÖ Ð³ÒØÖÐ ÙÚÒØ I n = º ¾º Ò ÙÖ I n = º x x t n lntdt t n (lnt) 2 dt
ÌÖÓÒÓÑØÖ ¾ º ÐÙÐÖ ÓÙ ÑÔÐÖ Ð ÜÔÖ ÓÒ ÙÚÒØ A = sin(x)+sin(nx)+sin((2n )x) cos(x)+cos(nx)+cos((2n )x), ( x ) B = Πn k=cos 2 k. ¾º ÐÙÐÖ Ð³ÒØÖÐ ÙÚÒØ π 3 π 4 ( cos 2 (2x) cos 2 (x) ) dx ¾º Ä ÔÐÒ Ø ÖÔÔÓÖØ ÙÒ Ý ØÑ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ (O; i ; j ) Ú ÓÑÑ ÙÒØ ÖÔÕÙ ½ Ѻ ËÓØf Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ[,π] ÔÖf(x) = sin 2 (x) ØC ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚº ÇÒ ÓÒ Ö ³ÙØÖ ÔÖØ Ð ÓÑÒ D ÙÖ ÓÙ C 2 3 ½º ØÖÑÒÖ Ð³Ö Ù ÓÑÒ D Ò cm 2 º ¾º ÐÙÐÖ π sin 4 (x)dx. ÆÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ¾º ÅØØÖ ÓÙ ÓÖÑ ÐÖÕÙ Ð ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÙÚÒØ z = +i 2 2 i, z 2 = ( ) 2 i, z 3 = i+ +i i. ¾º ËÓØ z = 3+i 3, z 2 = 2+i 6 Ø z 3 = 8 i 8 ØÖÓ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ º ÇÒ ÔÓ Z = z3 z3 4 z2 6 º ½º ÖÖ z,z 2 Ø z 3 ÓÙ ÓÖÑ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙ ÔÙ ÜÔÓÒÒØÐк ¾º Ò ÙÖ Ð ÓÖÑ ÜÔÓÒÒØÐÐ Z ÔÙ ÓÖÑ ÐÖÕÙº ¾º ÐÙÐÖ Ð ÓÖÑ ÐÖÕÙ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÙÚÒØ z = (+i), z 2 = ( i) 5.
ÕÙ Ø Öк ¾º ËÓØ z Ø z ÙÜ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÑÓÙÐ ØÐ ÕÙ +zz º ÅÓÒØÖÖ Z = z +z +zz ¼º ÄÒÖ Ö Ð³ÜÔÖ ÓÒ A = cos 2 (x)sin 3 (x)º 6 i 2 ½º ËÓØ z =, z 2 = i Ø z 3 = z /z 2 º 2 ½º ÅØØÖ z 3 ÓÙ ÓÖÑ ÐÖÕÙº ¾º ØÖÑÒÖ Ð ÑÓÙÐ Ø Ð³ÖÙÑÒØ z Ø z 2 º ( π º ÖÖ z 3 ÓÙ ÓÖÑ ØÖÓÒÓÑØÖÕÙº Ò ÙÖ sin 2) ( π Ø cos º 2) ¾º Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ z 3 5z 2 +2z 6º º ÐÙÐÖ Ð ÖÒ ÖÖ ÓÑÔÐÜ 2 iº º ijÓØ Ø Ø ÑÓÒØÖÖ Ð³ÒÐØ ØÖÒÙÐÖº ËÓØ z Ø z 2 ÙÜ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÓÒ ÓÙØ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ z +z 2 z +z 2. ½º ËÓØ z ÙÒ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ Re(z) z º ¾º ÐÙÐÖ z +z 2 2 Ò ÓÒØÓÒ z z 2 Ø Re(z z 2 )º º ÓÒÐÙÖº º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ z z 2 z 2 z º º Ò ÙÖ ÕÙ z z 2 z z 2 º º ËÓØ f : C C ÙÒ ÔÔÐØÓÒº ËÓØ x R ÓÒ ÙÔÔÓ ÐÓÖ ÕÙ f(x) = xº ËÓÒØ (z,z ) ÙÜ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÓÒ ÙÔÔÓ ÐÓÖ f(z +z ) = f(z)+f(z ), f(zz ) = f(z)f(z ). ÅÓÒØÖÖ ÕÙ f Ø ÓØ Ð³ÒØØ ÙÖ C ÓØ Ð ÓÒÙ ÓÒ ÓÑÔÐܺ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ º Ê ÓÙÖ Ð ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÙÚÒØ ½º y (2x+)y =. ¾º y y = +x 2 º y x x 2 + y = º y +ay = b Ó (a,b) R Rº º ÇÒ ÓÒ Ö Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ y +2y = 3e 3x ½µ
½º ÖÖ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ½µ ÓÙ Ð ÓÖÑ g a (x) = ae 3x º ¾º Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÓÑÓÒ Ó ½µº º Ê ÓÙÖ ½µ Ø ØÖÓÙÚÖ Ð ÓÐÙØÓÒ ³ÒÒÙÐÒØ Ò º º ËÓØ (E) ÙÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÐÒÖ Ù ÓÒ ÓÖÖº ËÓØ y Ø y 2 ÙÜ ÓÐÙØÓÒ (E)º ½º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ y +y 2 ÓÐÙØÓÒ (E)º ¾º ËÓØ λ R ÑÓÒØÖÖ ÕÙ λy ÓÐÙØÓÒ (E)º º Ê ÓÙÖ Ð ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÙÚÒØ ½º y +2y +2y = xe x. ¾º y +y +y = e x +e 3x. ¼º ÌÖÓÙÚÖ Ð ÓÐÙØÓÒ y : R R y y 6y = 6e 4x 6e x ØÐÐ ÕÙ y() = Ø y () = º ½º Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÙÚÒØ y +4y = sin(x). ¾º ÌÖÓÙÚÖ ØÓÙØ Ð ÔÔÐØÓÒ f : R R ÙÜ Ó ÖÚÐ ØÐÐ ÕÙ ÕÙÐÕÙ ÓØ x R ÓÒ Ø f(x)+f( x) = xe x. º ÌÖÓÙÚÖ ØÓÙØ Ð ÔÔÐØÓÒ f : R R ÙÜ Ó ÖÚÐ ØÐÐ ÕÙ ÕÙÐÕÙ ÓØ x R ÓÒ Ø f (x)+f( x) = x. ÇÒ ÔÓÙÖÖ ÒØÖÓÙÖ Ð ÓÒØÓÒ g(x) = f( x) Ø ÖÖ ÙÜ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÚÖ ÔÖ f +g Ø f gº ÐÓÕÙ ÐÓÕÙ º ÜÔÖÑÖ Ð ÔÖ ÙÚÒØ Ð³ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÖÐ ÔÖ ÓÒÒØÙÖ ½º Ë Ð ÔÔÖ ÚÒØ ÖÓÙ Ð ÓÐÙØÓÒ Ø º ¾º Ä ÔÔÖ ÚÒØ ÖÓÙ Ð ÓÐÙØÓÒ Ø º º ÎÓÙ ÙÖÞ ÙÒ ÑÖ ÓÒØÓÒ ÕÙ ÚÓÙ Ò³ÝÞ Ô Òº ÉÙÐÐ Ø Ð ÒØÓÒ ÐÓÕÙ ØØ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º Ë³Ð Ý Ù ÓÐØ Ñ Ô ÒÐ Ò Ð ÓÐÙØÓÒ Ð ÔÔÖ ÚÒÖ ÖÙÒº ÉÙÐÐ Ø Ð ÒØÓÒ ÐÓÕÙ ØØ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ º ÇÒ ÙÔÔÓ Õ٠гÒÓÒ ÙÚÒØ Ø ÚÖ Ë³Ð ÔÐÙØ Ð ÑØÒ ÔÖÒ ÑÓÒ ÔÖÔÐÙº Ä ÖÙÑÒØØÓÒ ¹ ÓÙ ÓÒعÐÐ ÓÖÖØ
½º ³ ÔÖ ÑÓÒ ÔÖÔÐÙ ÓÒ Ð ÔÐÙ ÑØÒº ¾º  ҳ Ô ÔÖ ÑÓÒ ÔÖÔÐÙ ÓÒ Ð Ò ÔÐÙÚØ Ô ÑØÒº º ÁÐ Ø Ù ÓÒ Ò³ Ô ÔÖ ÑÓÒ ÔÖÔÐÙº º ËÓØ Ð³Ò ÑÐ ÖÒ º ÇÒ ÒÓØ ÔÓÙÖ ÙÒ ÐÑÒØ Ü ÊÔÓÒÖ ÙÜ ÕÙ ØÓÒ ÙÚÒØ P(x), Ð ÔÖÓÔÖØ Ü Ø ÖÙÒ, Q(x), Ð ÔÖÓÔÖØ Ü Ø ÖÒ. ½º ËÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ Ñ ÖÔÖ ÒØÖ Ò Ð³Ò ÑÐ ÐÑÒØ ÔÓÙÖ Ð ÕÙÐ È Üµ Ø ÚÖ ÔÙ Ð³Ò ÑÐ ÐÑÒØ ÔÓÙÖ Ð ÕÙÐ É Üµ Ø ÚÖº ¾º ÓÒ ÖÖÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÙÚÒØ ( x F)((P(x) ÓÙ Q(x)) Ø ( x F,P(x)) ÓÙ ( x F,Q(x)) Ö ÙÜ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÓÒØ ÚÖ ÓÙ Ù Ò ÒÓØÖ ÙÖº ÊÔÖ ÒØÖ Ò ÓÑÑÒØ ÓÒ ÚÖÖØ Ð Ø ÕÙ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÓÒØ ÚÖ º ËÓÒعÐÐ ÕÙÚÐÒØ ÊÖÖ ÚÒØÙÐÐÑÒØ Ð ÖÐØÓÒ ÐÓÕÙ ÕÙ Ð ÐÒغ º ÖÖ Ð ÒØÓÒ ÐÓÕÙ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÙÚÒØ ½º ÌÓÙ Ð ÓÑÑ ÓÒØ ÑÓÖØÐ º ¾º ÌÓÙØ ÒØÖÚÐÐ Ê ÓÒØÒØ ÙÒ ÐÑÒØ Ð³ÒØÖÚÐÐ [,]º º p N, n Z,p nº º x R,x < x2 <. º ËÓØ E ÙÒ Ò ÑÐ Ø A Ø B ÙÜ ÔÖØ Eº ÕÙÐÐ µ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ µ ¹ ÓÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð³ ÖØÓÒ A B ½º x A,x Bº ¾º x E,(x B x A)º º y E,(y A y B)º º ( x E,x A) ( x E,x B)º º ÑÓÒØÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØ ÙÚÒØ ÔÖ Ð³ ÙÖ ÌÓÙØ ÒØÖ ÖÖ ÑÔÖ Ø ÑÔÖº ¼º ËÓØ Ò ÙÒ ÒØÖº ÒÓÒÖ Ø ÑÓÒØÖÖ Ð ÓÒØÖÔÓ Ð³ÑÔÐØÓÒ ÙÚÒØ ¹Ø¹ÓÒ ÑÓÒØÖ Ð³ÑÔÐØÓÒ Ë n 2 Ø ÑÔÖ ÐÓÖ n Ø ÑÔÖº ½º Ä ÙØ Ø Ø ÑÓÒØÖÖ ÔÖ ÓÒØÖÔÓ ØÓÒ Ð ÔÖÓÔÖØ ÙÚÒØ ÔÓÙÖ n N Ë Ð³ÒØÖ n 2 Ò³ Ø Ô Ú Ð ÔÖ 8 ÐÓÖ Ð³ÒØÖ n Ø ÔÖº
½º ÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØ ¹ Ù ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÑØÑØÕÙº ¾º ÖÖ Ð ÓÒØÖÔÓ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÒÒ Ð ÕÙ ØÓÒ ½µº º Ò ÖÑÖÕÙÒØ ÕÙ³ÙÒ ÒØÖ ÑÔÖ Ò ³ÖØ ÓÙ Ð ÓÖÑ n = 4k+r Ú k N Ø r,3 Ù ØÖµ ÔÖÓÙÚÖ ÕÙ Ð ÓÖÑÙÐ Ð ÕÙ ØÓÒ ¾µ Ø ÚÖº º ¹Ø¹ÓÒ ÑÓÒØÖ Ð ÔÖÓÔÖØ Ð³ÒÓÒ ¾º ËÓÒØ P n Ð ÔÖÓÔÖØ 9 Ú n Ø Q n Ð ÔÖÓÔÖØ 9 Ú n + Ó n Nº ½º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ P n P n+ Ø Q n Q n+ º ¾º ¹Ø¹ÓÒ n N,P n n N,Q n