21f09-fake-ex1-solutions.dvi

Bản ghi

1 ½µ Ò Ø ÒØ ÐÑØ ËÓÛ Ø ØÔ ÒÚÓÐÚº µ ËÓÐÙØÓÒ ËÒ ÓØ Ø ÒÙÑÖØÓÖ Ò ÒÓÑÒØÓÖ Ó ØÓ ¼ 4, +4) ØÓÖ Ó ÓØ µ ËÓÐÙØÓÒ ÓÒÙØ ) + 1) 4 + 4) 1) 4 + 1) 1) 4 + 1) 4 1) ) ) ) ) ) ) 2 1) 1 ) ½

2 ¾ 2y 2 5y 3 µ y 5y 2 + 4y ËÓÐÙØÓÒ Ú ÓÙØ Ý y 2 ØÓÔ Ò ÓØØÓÑ Ò Ø ÓÑ ÐÖ 2y 2 5y 3 ) 1 y 2 2y 2 5y 3 y 5y 2 + 4y y y y 2 + 4y) 1 y y 3 ) y 2 0 0) 5 + 0) 2 t 2 µ t 0 t ËÓÐÙØÓÒ Ò ÓÒÙØ ) ) 2 t 2 2 t 2 2 t + 2 t 0 t t 0 t 2 t + 2 ) 2 t) 2 t 0 t 2 t + 2 ) t t 0 t 2 t + 2 ) 1 ) t 0 2 t ¾µ ËÓÛ ØØ ØÖ ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÕÙØÓÒ cos) sin2) Ò Ø ÒØÖÚÐ [0,π/2]ºº ÓÙ Ò ÔÖ ÙÑ ØØ Ø ÙÒØÓÒ cos) Ò sin2) Ö ÓÒØÒÙÓÙ º ÜÔÐØÐÝ ÒÓØ Û ØÓÖÑ ÝÓÙ Ö Ù Òº ËÓÐÙØÓÒ Ì ÔÖÓÐÑ Ð ÛØ Ø ÁÎ̺ Ò ÙÒØÓÒ ØØ ØÐÐ ÝÓÙ ÓÑØÒ ÓÙØ Ø ÕÙØÓÒº ÖØÒÐÝ f) cos) sin2) ØÒ f) 0 ÛÒÚÖ Ø ÕÙØÓÒ cos) sin2) ÓÐ º Ð Ó Ø Ø ÒÔÓÒØ Ó Ø ÒØÖÚÐ 0 Ò π/2 Û Ú Ò f0) fπ/2) cosπ/2) sinπ) ÏØ ÝÓÙ ÓÒ³Ø Ò Ø ÁÎ̺ ÓÙ ÛÖ ÙÔÔÓ ØÓ ÓÛ ØØ ØÖ ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÕÙØÓÒ Ò Ø ÕÙØÓÒ Ø Ñ f) 0 Ò Ö Û Ú fπ/2) 0 Ó ÙÖ ÒÓÙ Ø ÓÐÙØÓÒº ÆÓ ØÓÖÑ ÖÕÙÖº y 2 )

3 µ Ò Ò ÕÙØÓÒ Ó Ø ØÒÒØ ÐÒ ØÓ Ø ÙÖÚ y 4 Ø Ø ÔÓÒØ 2,16)º ËÓÐÙØÓÒ Ì ÐÓÔ Ó Ø ØÒÒØ ÐÒ Ø ÚÐÙ Ó Ø ÖÚØÚ Ø Ø ÔÓÒØ 2º ÖÙÐ ØÓÙ ÝÓÙ Ò Ø ÐÓÔ Ø ØØ ÔÓÒØ ÒÓØ Ø ÖÚØÚ Ø Ò ÖØÖÖÝ º Ì ÙÖÚ Ø ÖÔ Ó Ø ÙÒØÓÒ f) 4 Ó f ) 4 3 º Ø 2 ØÒ Ø ÐÓÔ º Ì ÕÙØÓÒ Ó Ø ØÒÒØ ÐÒ Ø ÕÙØÓÒ Ó Ø ÐÒ ØÖÓÙ Ø ÔÓÒØ 2,16) ÛØ Ø ÐÓÔ Û Ø ÐÒ y ), Ù Ò Ø ÔÓÒع ÐÓÔ ÕÙØÓÒ Ó Ø ÐÒº Ì ÓÖÖØ Ò ÛÖ Ò Ó y 32 48, Û Ø ÐÓÔ¹ÒØÖÔØ ÓÖÑ Ó Ø Ñ ÐÒº µ ÓÖ Ø ÙÒØÓÒ f) 4 Ò Ø ÚÖØÐ Ò ÓÖÞÓÒØÐ ÝÑÔØÓØ º Í Ø Ò¹ 3 + ÓÖÑØÓÒ ØÓ Ø ÖÔº Ó Ø ÙÒØÓÒ Ú Ò ÒÚÖ ÂÙ ØÝ ÝÓÙÖ Ò ÛÖºµ ËÓÐÙØÓÒ Ì ÖÔ ÚÖØÐ ÝÑÔØÓØ Ø 3 ÛÖ Ø ÒÓÑÒØÓÖ ÚÒ µ Ò ÓÖÞÓÒØÐ ÝÑÔØÓØ Ø y 1 Ø ÐÑØ Ø ± º Ð Ó Ø ÓÒ¹ ÐÑØ Ø 3 Ö Ò , Û Ú Ø ÑÓÖ ÒÓÖÑØÓÒ ÓÙØ Ø ÖÔº ÝÓÙ ÔÔÖÓ 3 ÖÓÑ Ø ÐØ < 3µ Ø ÖÔ ÓÛÒ ØÓ Ò ÝÓÙ ÔÔÖÓ 3 ÖÓÑ Ø ÖØ > 3µ Ø ÖÔ ØÓ + º ÒÐ Ø Ó ØÐ ÓÖ ÚÖÝ ÐÖ ÐØÓÙ 4 3+ ÒÖ 1 ÙØ ÐØÐÝ ÐÖÖ ØÒ 1 Ò Ø ÒÙÑÖØÓÖ ÑÐÐÖ ÒØÚ ÒÙÑÖ ØÒ Ø ÓÔÔÓ Ø Ó Ø ÒÓÑÒØÓÖº Ì ÓÐÙØ ÚÐÙ ÛÐÐ Ð ØÒ ½ Ó Ø ÖØÓÒ Ø ÐÖÖ ØÒ ¹½ Ó Ø ÖÔ ÔÔÖÓ Ø ÓÖÞÓÒØÐ ÝÑÔØÓØ ÖÓÑ ÓÚ Ø ÐÒ y 1º ËÑÐÖÐÝ ÓÒ Ø ÓØÖ ÓÖ ÚÖÝ ÒØÚ f) Ø ÑÐÐÖ ØÒ 1 ÐÖÖ Ò ÓÐÙØ ÚÐÙ ÓÖ ÒØÚÖ ØÒ 1µº ÀÖ Ø ÖÔº -3 y4/3 4 y-1 )) 1 2 µ ËÓÛ ØØ ÓÖ Ø ÙÒØÓÒ f) sin Ø ÐÑØ f) Ü Ø Ò ¼º 0 ËÓÐÙØÓÒ Ì Ù Ø ÕÙÞ ØÓÖÑ ÙØ Ø Ø ÙØк Á³Ñ ÓÒ ØÓ ÔÐØ Ø ÐÑØ ÙÔ ÒØÓ Ø ÐÑØ ÖÓÑ Ø ÖØ ØÒ ÖÓÑ Ø Ðغ ÖÓÑ Ø ÖØ ØØ ÓÖ > 0 ÝÓÙ ÒÓÛ ØØ 0 f)

4 Ù 0 sin 1 )) 2 1 Ó 0 sin 1 )) 2 ÖÑÑÖ > 0µº ÆÓÛ Ð Ó Ó Ý Ø ÕÙÞ ØÓÖÑ 0 0 Ó ÓÙÖ µ Ò 0 + 0, 0 + f) Ò Ø ØÖÔÔ ØÛÒ ØÛÓ ÙÒØÓÒ Û Ö ØÓ ¼º ÆÓÛ ÛÝ Ó Û Ò ØÓ Ð ÔÖØÐÝ ÛØ < 0 ÈÖÑÖÐÝ Ù ÓÖ < 0 ØØ ËØÐÐ Ó Ý Ø ÕÙÞ ØÓÖÑ ÒÐÐÝ Ò 0 f), f) Ó ÓÙÖ µ Ò 0 0, 0 f) 0. 0 f) 0 f), f) 0, 0 µ Û ÛØ Û Òº µ ËØØ Ø ÒØÓÒ Ó Ø ÖÚØÚ Ó ÙÒØÓÒ f) ÐÑص f ) ËÓÐÙØÓÒ Ì ÒØÓÒ Ó Ø ÖÚØÚ Ó ÙÒØÓÒ f) ÐÑØ f f + h) f) ). h 0 h µ Í Ø ÒØÓÒ ØÓ ØÖÑÒ f ), ÓÖ Ø ÙÒØÓÒ f) 1 +1.

5 ËÓÐÙØÓÒ ) 1 f + h) f) + 1 h 0 h h 0 h 0 1 +h h +1) +h+1) +1)+h+1) + 1) + h + 1) h 0 h + 1) + h + 1) h h 0 h + 1) + h + 1) 1 h ) + h + 1) 1 + 1) 2. h ) ÛØ f) 1 + 1, Ó µ Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÖÚØÚ Ù Ò Ø ÖÙÐ Û Ú Ù Ò Ð º µ ) ËÓÐÙØÓÒ Ì Ø ÓÒ ÖÚØÚ Ø ÖÚØÚ Ó Ø ÖÚØÚº µ ) ) 2 ËÓÐÙØÓÒ ÉÙÓØÒØ ÖÙÐ ) ) ) ) ) 5 1) 2 5 1) 2) 2 + 3) 5 1) 4. ÌÒ Û Ù Ø Ò ÖÙÐ ÓÖ Ø ÓÒ ÖÚØÚ ÓÒ Ø ÖØ ) ) 5 1) 2 5 1) 2) 2 + 3) 5 1) 2 5 1) 4 2) 5 1)2 25 1) 5) 2 + 3) 5 1) ) ) 2 + 3) 5 1) 4. Ç ÓÙÖ Ù ÙÐ ÝÓÙ ÓÒ³Ø ÑÔÐÝ ÝÓÒ Ø ÔÓÒغ µ e )) ËÓÐÙØÓÒ e )) e ) ) + e ) e ) ) + e ).

6 µ Á f) cos) 1 + 2sin) ØÒ f 0) ËÓÐÙØÓÒ f ) Ó cos)) 1 + 2sin)) 1 + 2sin)) cos)) 1 + 2sin)) 2 sin)1 + 2sin)) 2cos)cos)) 1 + 2sin)) 2, f sin0)1 + 2sin0)) 2cos0)cos0)) 0) 1 + 2sin0)) 2 2 1) 2 2. µ ÄØ µ sin 2 ) + cos 2 ) ) ËÓÐÙØÓÒ ËÒ sin 2 ) + cos 2 ) 1 sin 2 ) + cos 2 ) ) 0º ÓÙ ÓÙÐ Óѹ ÔÙØ Ø Ù Ò Ø Ò ÖÙÐ ÛÐÐ ÙØ Ø ÕÙÖº µ ) 3 5) ) ËÓÐÙØÓÒ ) 3 5) ) ) 3 5) ) 3 5) 2 + 2) 3 5) )3 2 ) f) : { 2, 2 m + b, > 2. Ò Ø ÚÐÙ Ó m Ò b ÓÖ Û Ø ÙÒØÓÒ f ÛÐÐ ÖÒØÐ ÚÖÝÛÖº ËÓÐÙØÓÒ Ì ÓÒÐÝ Ù Ø 2º Ø ÐÐ ÓØÖ ÔÓÒØ Ø ÙÖÚ ØÖ ÔÖÓÐ ÓÖ ØÖØ ÐÒ Ò Ó ÖÒØк Ö Ø ÝÓÙ Ò ØÓ ÖÖÒ Ø Ó ØØ Ø ÙÒØÓÒ ÛÐÐ ÓÒØÒÙÓÙ º ÌØ Ò ÖÖÒ Ý ÑÒ ÙÖ ØØ ÙØ f2) 4 Ò f) 2 + ËÓ Ø ÓÒØÓÒ ÛÐÐ ÓÐ ÛÒ f) f2). 2 f) 4, 2 f) 2m + b m + b 4. ÆÓÛ ØÓ Ø Ø ÙÒØÓÒ ØÓ ÖÒØÐ Ø Ý ÛÝ ØÓ Ñ ÙÖ ØØ f ) 2 + f ), 2

7 ÓÖ Ù f ) m ÓÖ > 2 Ò f ) 2 ÓÖ < 2º Ó m 4 Ò Ó b 4º µ ËÓÛ ØØ m , ) 8 3 Ý Ù Ò Ò ǫ δ ÖÙÑÒغ ËÓÐÙØÓÒ Á ÝÓÙ ÐÓÓ Ö Ø Ø ÖØ ÛÓÖ ÝÓÙ Ò ØÓ Ñ 2 + 4) 8 ÑÐÐ Ù Ø Ý ØÒ ÒÖ º ÙØ 2 + 4) ) + 4) ÆÓÛ 3 Ò Ñ ÑÐÐ Û ÛÒØ ÙØ Û Ò ØÓ Ð Ó ÓÒØÖÓÐ + 4 º ËÓ Û ØÖØ ÛØ Ò ÒØÐ ØÑØ ÓÒ ÖÑÑÖ ÐÐ Û Ò Ó ÓÒØÖÓÐ ÓÛ ÐÓ ØÓ º ËÓ ÒØÐÐÝ Ðس Ý 3 < 1 Û ÔÙØ Ò Ø ÖÒ 1 < 3 < 1 ÓÖ 2 < < 4º ËÒ Ò ØØ ÖÒ 6 < +4 < 8 Ó ÒÓ ÑØØÖ ÛØ + 4 < 8º ÆÓÛ ÐÓÓ ÙÔ Ø Ø ÛÓÖ Û ÓÖ 2 + 4) 8 º Ï Ò ØÓ Ô Ò Ø ÖÒ 2 < < 4 Ó Ø ØÑØ ÛÐÐ ÛÓÖ Ò Û Ò 3 ÑÐÐ ÒÓÙ Ó ØØ ÚÒ ÛÒ ÑÙÐØÔÐ Ý + 4 Ò Û µ Ø ÚÐÙ Ó 2 + 4) 8 Ð ØÒ ǫº ËÓ 3 ØÓ < 1 Ò Ð Ó < ǫ/8º ÆÓÛ ØÓ Ø ÔÖÓÓº ÈÖÓÓº ÄØ ǫ > 0 ÚÒº ÓÓ δ min { 1, ǫ 8} º ÌÒ ÛÒÚÖ 0 < 3 < δ 2 + 4) ) + 4) < 3 8 < ǫ 8 8 ǫ. ½¼µ ÐÐ ØÓ ÙÔ Ò Ø Ö Ó ØØ Ø Ø ÓÚ Ø ÖÓÙÒ t ÓÒ ØÖ Ò ØÓ st) 16t t + 5 غ µ ÀÓÛ Ø Û Ø ÐÐ ÑÓÚÒ Ø Ø Ò ØÒØ ÛÒ Ø Û ØÓ ËÓÐÙØÓÒ Ì ÚÐÓØÝ vt) s t) 32t + 32º Ø t 0 Ø Ò ØÒØ Ø ÐÐ Û ØÓ v0) 32º µ ÀÓÛ Û Ø ÐÐ ÓÚ Ø ÖÓÙÒ ÓÒ ÓÒ ØÖ Ø Û ØÓ ËÓÐÙØÓÒ Ì ÛÓÙÐ Ø Ø Ø t 1 s1) µ ÏØ Û Ø Ò ØÒØÒÓÙ ÚÐÓØÝ Ø t 1 ËÓÐÙØÓÒ Ì Ó ÓÙÖ v1) º