Chpitre 17: espces préhilbertiens réels ÌÐ ÑØÖ ½ ÈÖÓÙØ ÐÖ ¾ ½º½ ÒØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÆÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º ÆÓÖÑ ÙÐÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º ÁÒÐØ ÙݹËÛÖÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÑÐÐ ÓÖØÓÓÒÐ ÑÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ ¾º½ ÒØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖÓ ³ÓÖØÓÒÓÖÑÐ ØÓÒ ËÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ù ÔÖÓÙØ ÐÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇÖØÓÓÒÐ ³ÙÒ ÔÖØ ÒÓÒ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖØÓÓÒÙÜ º½ ÒØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÖÓÙÔ ÓÖØÓÓÒÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅØÖ ÓÖØÓÓÒÐ º½ ÒØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÄÒ ÒØÖ ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖØÓÓÒÙÜ Ø ÑØÖ ÓÖØÓÓÒÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑØÖ ÚØÓÖÐÐ Ò ÙÒ Ô ÙÐÒ º½ ÒØÓÒ Ø ÔÖÓÔÖØ ÒÖÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÑØÖ ÚØÓÖÐÐ Ò R 2 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ ½º½ ÈÖÓÙØ ÐÖ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ½ ËÓØ E ÙÒ Ô ÚØÓÖÐ ÙÖ Ð ÓÖÔ Rº ËÓØ Φ : E 2 R ÙÒ ÔÔÐØÓÒº ÇÒ Ø ÕÙ Φ Ø ÙÒ ÔÖÓÙØ ÐÖ ÙÖ E гÔÔÐØÓÒ Φ Ø ÝÑØÖÕÙ (x,y) E 2, Φ(x,y) = Φ(y,x). гÔÔÐØÓÒ Φ Ø ÐÒÖ Ð ÔÔÐØÓÒ x Φ(x,y) Ø y Φ(x,y) ÓÒØ ÐÒÖ µ гÔÔÐØÓÒ Φ Ø Ò ÔÓ ØÚ ÄÓÖ ÕÙ Φ Ø ÙÒ ÔÖÓÙØ ÐÖ ÓÒ ÒÓØÖ x E, Φ(x,x) Ø Φ(x,x) = = x = E (x,y) E 2, Φ(x,y) = (x y). ÄÓÖ ÕÙ E Ø ÙÒ R¹ Ô ÚØÓÖÐ ÑÙÒ ³ÙÒ ÔÖÓÙØ ÐÖ ÓÒ Ø ÕÙ E Ø ÙÒ Ô ÔÖÐÖØÒ Öк ÄÓÖ ÕÙ E Ø ÙÒ Ô ÚØÓÖÐ ÑÒ ÓÒ Ò ÓÒ Ø ÕÙ Ð³Ò ÑÐ (E,( )) Ø ÙÒ Ô ÙÐÒº ÜÑÔÐ ½ ÙÖ R n (x y) = x i y i ÙÖ C ([,b],r) (f g) = ÙÖ R[X] (P Q) = ÙÖ R n [X] (P Q) = 1 i=1 b f(t) g(t) dt P(t) Q(t) dt P(i) Q(i) i= ÙÖ M n (R) (A B) = Tr(A T B)º ½º¾ ÆÓÖÑ ÒØÓÒ ¾ ËÓÒØ E ÙÒ R¹ Ô ÚØÓÖÐ Ø N : E R ÙÒ ÔÔÐØÓÒº ÇÒ Ø ÕÙ N Ø ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÖ E u E N(u) Ø N(u) = = u = (u,v) E 2 N(u+v) N(u)+N(v) ÒÐØ ØÖÒÙÐÖµ u E λ R N(λ u) = λ N(u)º ½º ÆÓÖÑ ÙÐÒÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ ËÓØ (E,( )) ÙÒ Ô ÔÖÐÖØÒº ÐÓÖ Ð³ÔÔÐØÓÒ x (x x) ÒØ ÙÒ ÒÓÖÑ ÙÖ E ÔÔÐ ÒÓÖÑ ÙÐÒÒ Ó Ù ÔÖÓÙØ ÐÖ ( )º ÇÒ ÒÓØÖ x = (x x). ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ ÇÒ (x,y) E 2, x+y 2 = x 2 +2(x y)+ y 2. ¾
½º ÁÒÐØ ÙݹËÛÖÞ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ (E,( )) ÙÒ Ô ÔÖÐÖØÒº ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙ ÚØÙÖ x Ø y E ÓÒ (x y) x y Ø Ð³ÐØ ÐÙ Ø ÙÐÑÒØ Ð ÚØÙÖ x Ø y ÓÒØ ÓÐÒÖ º ÓÖÓÐÐÖ ½ ËÓØ (E,( )) ÙÒ Ô ÔÖÐÖØÒº ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙ ÚØÙÖ x Ø y E ÓÒ x+y = x + y Ø ÙÐÑÒØ Ð ÚØÙÖ x Ø y ÓÒØ ÓÐÒÖ Ø ÑÑ Ò º ÜÑÔÐ ¾ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ f Ø g ÙÖ [,b] ÓÒ b b b f(t) g(t) dt f 2 (t) dt g 2 (t) dt. Ä ÒÓÖÑ ÙÐÒÒ 2 ÙÖ M n (R) Ø ÙÒ ÒÓÖÑ ³ÐÖ (A,B) M n (R) 2, A B 2 A 2 B 2. R n R ÜÑÔÐ Ä ÒÓÖÑ 1 : x x k 2 : k=1 R n R { } ÓÒعÐÐ ÒÓÖÑ ÙÐÒÒ x mx x k ; k 1,n R n R x n k=1 x 2 k ÓÙ : ¾ ¾º½ ÑÐÐ ÓÖØÓÓÒÐ ÑÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ËÓØ (E,( )) ÙÒ Ô ÔÖÐÖØÒº ÙÜ ÚØÙÖ x Ø y E ÓÒØ Ø ÓÖØÓÓÒÙÜ (x y) = º ËÓØ (x 1,,x p ) ÙÒ ÑÐÐ p ÚØÙÖ Eº ÇÒ Ø ÕÙ Ð ÑÐÐ (x 1,,x p ) Ø ÓÖØÓÓÒÐ (i,j) {1,,p} 2, i j = (x i x j ) =. ÇÒ Ø ÕÙ Ð ÑÐÐ (x 1, x p ) Ø ÓÖØÓÒÓÖÑÐ (i,j) {1,,p} 2, (x i x j ) = δ i,j, { i j Ó δ i,j Ø Ð ÝÑÓÐ ÃÖÓÒÖ Ò ÔÖ δ i,j = 1 i = j ÊÑÖÕÙ ½ Ä ÑØÖ (δ i,j ) 1i,jn M n (R) Ø Ð ÑØÖ I n º ÍÒ ÚØÙÖ x E Ø Ø ÙÒØÖ x = 1º ÍÒ ÑÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ø ÙÒ ÑÐÐ ÓÖØÓÓÒÐ ÚØÙÖ ÙÒØÖ º
ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÌÓÙØ ÑÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ø ÐÖº ÜÑÔÐ Ä³Ò ÑÐ E ÓÒØÓÒ f : R R ÓÒØÒÙ Ø 2π¹ÔÖÓÕÙ ÑÙÒ (f g) = 1 2π 2π f(t) g(t) dt Ø ÙÒ Ô ÔÖÐÖØÒ Öк ) Ä ÑÐÐ (c n : t cos(nt);n N Ø s n : t sin(nt);n N Ø ÙÒ ÑÐÐ ÐÖº ¾º¾ ÈÖÓ ³ÓÖØÓÒÓÖÑÐ ØÓÒ ËÑØ ÌÓÖÑ ½ ËÓØ (E,( )) ÙÒ Ô ÙÐÒº ËÓØ (u 1,,u p ) ÙÒ ÑÐÐ ÐÖº ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒÕÙ ÑÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ (e 1,,e p ) ØÐÐ ÕÙ i {1,,p}, Vect(e 1,,e i ) = Vect(u 1,,u i ) i {1,,p} (e i u i ) > º ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ö ÙÒ ÑÐÐ ÐÖ ÈÓÙÖ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ö ÙÒ ÑÐÐ ÐÖ (u 1,,u p ) ÔÖ Ð ÔÖÓ ÖѹËÑØ Ò ÙÒ Ô ÔÖÐÖØÒ (E,( )) ÔÓ Ö e 1 = u 1 u 1 ÙÒ Ó e 1,,e k ÓÒ ØÖÙØ k ÔÓ Ö v k+1 = u k+1 (u k+1 e j ) e j ÖÖ ÑÒØ u k+1 j=1 ÔÓ Ö e k+1 = v k+1 v k+1 ÒÓÖÑÐ ØÓÒ ØÓÖÑ ÓÒ Ò ÙØ Ð Ö ÙÐØØ ØÖ ÑÔÓÖØÒØ ÙÚÒØ ÓÖÓÐÐÖ ¾ ËÓØ (E,( )) ÙÒ Ô ÙÐÒº ÐÓÖ Ð Ü Ø ÓÖØÓÒÓÖÑÐ º ÌÓÙØ ÑÐÐ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ ÔÙØ ØÖ ÓÑÔÐØ Ò ÙÒ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Eº ÜÑÔÐ ÇÖØÓÒÓÖÑÐ Ö Ò R 3 ØÙÐ Ð ÑÐÐ ËÓØ ω : [,1] R + ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ Ø ÒÓÒ ÒÙÐк ½º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ (P Q) 1 ( ) (1,1,),(1,,1),(,1,1) º P Q ω ÒØ ÙÒ ÔÖÓÙØ ÐÖ ÙÖ R[X]º ¾º ØÖÑÒÖ Ð³Ü ØÒ ³ÙÒ ÑÐÐ (P n ) n N ÓÖÑÒØ ÙÒ ºÓºÒº R[X] ØÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N deg(p n ) = nº º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ ÕÙ ÔÓÐÝÒÑ P n Ø Ò ÖÒ ÑÔÐ Ò [,1]º
¾º ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ù ÔÖÓÙØ ÐÖ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ØÓÖÑ ÈÝØÓÖ ËÓØ (E,( )) ÙÒ Ô ÙÐÒº ËÓØ (e 1,,e n ) ÙÒ ÓÖØÓ¹ ÒÓÖÑÐ Eº ÈÓÙÖ ØÓÙ ÚØÙÖ x = x i e i Ø y = y i e i E ÓÒ (x y) = x i y i x 2 = i=1 x 2 i º i=1 i=1 i=1 ¾º ÇÖØÓÓÒÐ ³ÙÒ ÔÖØ ÒÓÒ Ú ÒØÓÒ ËÓØ (E,( )) ÙÒ Ô ÙÐÒº ËÓØ A ÙÒ ÔÖØ ÒÓÒ Ú Eº ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÖØÓÓÒÐ A Ø ÓÒ ÒÓØ A Ð³Ò ÑÐ ØÓÙ Ð ÚØÙÖ x E ÕÙ ÓÒØ ÓÖØÓÓÒÙÜ ØÓÙ Ð ÚØÙÖ A { } A = x E A, ( x) = ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ú Ð ÒÓØØÓÒ ÔÖÒØ Ð³Ò ÑÐ A Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ô ÚØÓÖÐ E F Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ô E F F = E Ø B 1 Ø ÙÒ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ F Ø F = ( F ) B2 Ø ÙÒ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ F ÐÓÖ B = B 1 B 2 Ø ÙÒ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ E (e 1,,e n ) Ø ÙÒ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ E Ø k Ø ÙÒ ÒØÖ ÒØÖ 1 Ø n F = Vect(e 1,,e k ) Ø G = Vect(e k+1,,e n ) ÐÓÖ G = F Ø F = G º ÜÑÔÐ Ë E Ø ÙÒ Ô ÔÖÐÖØÒ ÖÐ F Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ô E ÓÒ ØÓÙÓÙÖ Ð³ÒÐÙ ÓÒ F (F ). ÄÓÖ ÕÙ E Ø ÙÒ Ô ÙÐÒ Ø F Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ô E ÓÒ Ð³ÐØ F = (F ). Ë Ð³ÓÒ ÓÒ Ö Ð³ Ô ÔÖÐÖØÒ E = C ([,1],R) ÑÙÒ Ù ÔÖÓÙØ ÐÖ Ø F = (f g) = 1 f g, { } f E f() = ÐÓÖ F = {} ÓÒ ÓÒ Ò³ Ô Ð³ÐØ ÒØÖ F Ø (F ) º ÜÑÔÐ Ë E Ø ÙÒ Ô ÙÐÒ ØÓÙØ Ð ÓÖÑ ÐÒÖ ϕ : E R ÓÒØ Ð ÓÖÑ ϕ : x (x u) ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØÒ ÚØÙÖ uº ØÓÖÑ Ê Þ
ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖØÓÓÒÙÜ º½ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ËÓÒØ (E,( )) ÙÒ Ô ÙÐÒ Ø f L(E)º ÇÒ Ø ÕÙ f Ø ÙÒ ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖØÓ¹ ÓÒРгÙÒ ØÖÓ ÖØÓÒ ÕÙÚÐÒØ ÙÚÒØ Ø ÚÖ (x,y) E 2 (f(x) f(y)) = (x y) x E f(x) = x f ØÖÒ ÓÖÑ ÙÒ ºÓºÒº Ò ÙÒ ÙØÖ ºÓºÒº º¾ ÖÓÙÔ ÓÖØÓÓÒÐ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ (E,( )) ÙÒ Ô ÙÐÒº ÇÒ ÒÓØ O(E) Ð³Ò ÑÐ ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖØÓÓÒÙÜ E ³ Ø ÙÒ ÓÙ ¹ÖÓÙÔ (GL(E), ) ÔÔÐ ÖÓÙÔ ÓÖØÓÓÒÐ ÙÖ Eº ÇÒ ÒÓØ SO(E) Ð³Ò ÑÐ ÐÑÒØ O(E) ØÖÑÒÒØ Ð 1 ³ Ø ÙÒ ÓÙ ¹ÖÓÙÔ (O(E), ) ÔÔÐ ÖÓÙÔ ÔÐ ÓÖØÓÓÒÐ ÙÖ Eº º½ ÅØÖ ÓÖØÓÓÒÐ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ËÓÒØ n N Ø A M n (R)º ÇÒ Ø ÕÙ Ð ÑØÖ A Ø ÓÖØÓÓÒÐ A T A = I n º ÊÑÖÕÙ ¾ ÌÓÙØ ÑØÖ ÓÖØÓÓÒÐ Ø ÒÚÖ Ð ³ÒÚÖ A 1 = A T º Ä ÑØÖ A Ø ÓÖØÓÓÒÐ Ø ÙÐÑÒØ A A T = I n º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÑØÖ ÓÖØÓÓÒÐ A M n (R) ÓÒ det A = ±1º Ä ÖÔÖÓÕÙ Ø Ù º ÇÒ ÒÓØ O n (R) Ð³Ò ÑÐ ÑØÖ ÓÖØÓÓÒÐ M n (R) Ø SO n (R) Ð ÖÓÙÔ ÔÐ ÓÖØÓÓÒк º¾ ÄÒ ÒØÖ ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖØÓÓÒÙÜ Ø ÑØÖ ÓÖØÓÓÒÐ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓÒØ n N (E,( )) ÙÒ Ô ÙÐÒ ÑÒ ÓÒ n f L(E) Ø B = (e 1,,e n ) ÙÒ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Eº ÇÒ ÔÓ A = Mt B (f)º ÐÓÖ f O(E) A = Mt B (f) O n (R). ³ÙØÖ ÔÖØ ÓØ A M n (R)º ÐÓÖ A Ø ÙÒ ÑØÖ ÓÖØÓÓÒÐ Ø ÙÐÑÒØ A Ø ÙÒ ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖØÓÓÒÐ ÙÖ R n ØÙк º½ ÓÑØÖ ÚØÓÖÐÐ Ò ÙÒ Ô ÙÐÒ ÒØÓÒ Ø ÔÖÓÔÖØ ÒÖÐ ÒØÓÒ ËÓØ E ÙÒ Ô ÙÐÒ ÑÙÒ ³ÙÒ ÔÖÓÙØ ÐÖ ( )º ËÓØ u L(E)º ÇÒ Ø ÕÙ u Ø ÙÒ ÝÑØÖ ÓÖØÓÓÒÐ u Ø Ð ÝÑØÖ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Ker(u id E ) ÔÖÐÐÐÑÒØ Ker(u id E ) º ÇÒ Ø ÕÙ u Ø ÙÒ ÔÖÓØÙÖ ÓÖØÓÓÒÐ u Ø Ð ÔÖÓØÙÖ ÙÖ F = Im(u) ÔÖÐÐÐÑÒØ F º ÊÑÖÕÙ ÍÒ ÔÖÓØÓÒ ÓÖØÓÓÒÐ Ò³ Ø Ô ÙÒ ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÓÖØÓÓÒÐ Ù ÔÓÙÖ Ð³ÒØغ ÍÒ ÝÑØÖ ÓÖØÓÓÒÐ u ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÝÑØÖ ØÐÐ ÕÙ Ker(u id E ) = Ker(u+id E )º
ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ u L(E) ÙÒ ÝÑØÖº ÐÓÖ Ð ÝÑØÖ u Ø ÓÖØÓÓÒÐ Ø ÙÐÑÒØ Ð³ÒÓ¹ ÑÓÖÔ Ñ u Ø ÓÖØÓÓÒк ÒØÓÒ ËÓØ F ÙÒ ÓÙ ¹ Ô E Ø x Eº ÇÒ ÔÔÐÐ ØÒ x F Ø ÓÒ ÒÓØ d(x,f) Ð ÒÓÑÖ d(x,f) = inf y F x y. ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ Ð ØÒ ³ÙÒ ÚØÙÖ ÙÒ ÓÙ ¹ Ô Ò ÙÒ Ô ÙÐÒ E ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ Ð ØÒ ³ÙÒ ÚØÙÖ x ÙÒ ÓÙ ¹ Ô F E ÒØÖÓÙÖ Ð ÔÖÓØÓÒ ÓÖØÓÓÒÐ p ÙÖ F ÔÖÐÐÐÑÒØ F µ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ (e 1,,e r ) F ÐÙÐÖ p(x ) ÔÓÙÖ Ð r ÔÓ Ö p(x ) = λ k e k k=1 ÐÙÐÖ Ð λ k Ú Ð r ÕÙØÓÒ (x p(x ) e k ) = ÓÒÒÖ Ð Ö ÙÐØØ d(x,f) = x p(x ) º { π ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ inf (e x sinx b cosx) 2 dx (,b) R }º 2 ( ) ÐÙÐÖ Ð ØÒ ÒØÖ Ð ÚØÙÖ (1,1,1,1) R 4 Ø F = Vect (1,,2,1),(,,3,2) º º¾ ÓÑØÖ ÚØÓÖÐÐ Ò R 2 ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÖÙÖ ÙÒ ÑØÖ Ò O 2 (R) ËÓØ A M 2 (R)º ÈÓÙÖ Ð ÖØÖ Ö ÓÑØÖÕÙÑÒØ ÚÖÖ ÕÙ A T A = I 2 Ð ÑØÖ Ø Ò ÓÖØÓÓÒÐ ÐÙÐÖ det A ÓÒ ØÖÓÙÚ ±1 det A = 1 Ð Ü Ø θ R ØÐ ÕÙ A = ( cosθ sinθ sinθ cosθ A Ø ÙÒ ÖÓØØÓÒ ³ÒÐ θ det A = 1 ØÖÓÙÚÖ ε 1 ÒÓÒ ÒÙÐ ØÐ ÕÙ A(ε 1 ) = ε 1 A Ø Ð ÝÑØÖ ÓÖØÓÓÒÐ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Vect(ε 1 )º ) ÜÑÔÐ ÓÑÔÐØÖ Ð ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÑØÖ A = Ð ÑØÖ ÓØÒÙº 3 2 1 2 ÓØ ÓÖØÓÓÒк ÖØÖ Ö Ò ÙØ