Correction.dvi

Mathématiques MPSI et PCSI Concours blanc Éléments de correction Problème On considère la fonction f définie sur R + par :. Étude de la fonction f x > 0, f(x) = ln(x) +x µ g Å Ø Ö Ó ÆÒ Ø Ù Ö ]0,] Ú Ð Ù Ö ÆÒ ]0,] Ö Ó ÆÒ Ø Ù Ö [,+ [ Ú Ð Ù Ö ÆÒ [, [ g() = Ø g Ò + º µ ³ Ô Ö Å Ð Ø Ù Ô Ö Ò Ø Ø Ð Ø Ó Ö Ñ Å Ú Ð Ù Ö ÆÒ Ø ÖÆÑ Ö Å Ð Õ Ù Ø Ó Ò g(x) = 0 ³ ÆÒ Ó ÒÆÒ Ù x > 0 ÆÑ Ø ÙÆÒ ÙÆÒ Õ Ù Ó Ð Ù Ø Ó Ò Õ Ù Ð Ó Ò Ò Ó Ø αµº µ g Å Ø Ô Ó«Ø ÆÚ Ù Ö ]0,α] Ò Ø ÆÚ Ù Ö [α,+ [º µ È Ó Ù Ö x > 0 f (x) = g(x) x(+x ) Ä Ó Ò Ø Ó Ò f Å Ø Ö Ó ÆÒ Ø Ù Ö ]0,α] Ö Ó ÆÒ Ø Ù Ö [α,+ [º f(x) Ò 0 Ø f(x) 0 Ò + º. Étude de la primitive de f qui s annule en On pose la fonction F définie sur R + par : x > 0, F(x) = µ F Å Ø Ò ÆÒ Ö f Å Ø Ó Ò Ø ÆÒ Ù º f(t)dt = ln(t) +t dt. È Ó Ù Ö x > 0 F (x) = f(x) F Å Ø Ö Ó ÆÒ Ø Ù Ö [0,] Ö Ó ÆÒ Ø Ù Ö [+ [º µ Ç Ò Ó Ò Ö Ð Ó Ò Ø Ó Ò u : x ÖØ Ò(x) x ÆÒ Ù Ö R +º ÖØ Ò(x) x Ò ¼ Ó Ò u Å Ø Ô Ö Ó Ð Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ò Ø ÆÒ Ù Ø Ò 0º ÆÒ Ð Ù Ø u Å Ò Ð Ó Ò Ø Ó Ò ÆÒ Ô Ö Ó Ð Ó Ò Ò 0º u Å Ø Å Ó ÖÆÑ ÙÆÒ Ó Ò Ø Ó Ò ÆÒ Ø Ó Ò Ø ÆÒ Ù Ù Ö R + º µ È Ö ÆÒ Ø Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ô Ö Ø Å Ô Ó Ù Ö Ø Ó Ù Ø x > 0 F(x) =... = [ ÖØ Ò(x)ln(x)] x ÖØ Ò(t) t ln(t) dt... +t dt = ÖØ Ò(x)ln(x) u(t) dt

µ Ó ÑÆÑ u Å Ø Ó Ò Ø ÆÒ Ù Ò ¼ F ÆÑ Ø ÙÆÒ Ð ÆÑ Ø Ò 0º Ó ÑÆÑ ÖØ Ò(x)ln(x) xln(x) 0 Ò ¼ Ø Ø Ð ÆÑ Ø Å Ø Ð On décide de prolonger F par continuité en posant F(0) = µ È Ó Ù Ö x > 0 F (x) = ln(x) +x Ô Ó Ù Ö x 0º 0 u(t) dt. 0 u(t) dtº µ F Ò ³ Å Ø Ô Ö ÆÚ Ð Ò ¼ Ñ Ó Ò Ö Ô ÆÑ Ø ÙÆÒ ½»¾ Ø ÆÒ Ò Ø Ú Ö Ø Ð º µ x > 0 Ó Ò Ô Ó«u = t Ô Ó Ù Ö t [, x ] ³ Å Ø Ö t = u ÆÒ Ñ Ò Ø Ú Ö Ð Ø C Ö Ô Ö Ó Õ Ù C Ø dt = u du F ( ) x = x µ F(x) F(0) Ô Ó Ù Ö x + º ln(t) x +t dt = µ ý Ð ³ ÙÆÒ Ø Ö Ô Ó ÆÒ Ø Ô Ö Ô Ó ÆÒ Ø ln( u ) u (+ ) du = u Ô Ó Ù Ö u [,x]º Ç Ò ÙÆÒ ln(u) (+u du = F(x) ) 3. Calcul d une valeur approchée de F(0) µ Ë Ó Ø x > 0 Ø k Nº È Ö ÆÒ Ø Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ô Ö Ø Å I k (x) = [ t t k k+ ln(t)dt = k+ ln(t) ] x k+ t k dt = xk+ ln(x) k+ xk+ (k +) µ Ä Ó Ò Ø Ó Ò t t k ln(t) Ô Ö Ó Ð Ó Ò Ô Ö Ó Ò Ø ÆÒ Ù Ø Ò ¼ Ô Ö Ð Ú Ð Ù Ö ¼ Ó Ò I k Ù Ø I k (0) = lim x 0 I k (x) = (k +) µ È Ó Ù Ö Ø Ó Ù t > 0 Ø n N Ó Ò n ( t ) k = ( t ) n+ +t Ó Ò +t = ( ) k t k n+ tn+ + ( ) +t

µ Ë Ó Ø x > 0 Ø n Nº Ä Ö Ð Ø Ó Ò Ô Ö Ò Ø Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ô Ö ln(t) Ø ÆÒ Ø Ö Ò Ø Ö ½ Ø x Ó ÒÆÒ F(x) = ( ) k I k (x)+( ) n+ t n+ ln(t) +t dt Ò Ù Ø Ø Ø Ò Ø Ó Ò Ð ÆÒ Ø Ö Ð Ò ³ Å Ø Ô Ø Ó Ù Ó Ù Ö ÆÒ Ð Ó Ò Ò ººº Ë x > Ô Ó Ù Ö t [,x] tn+ ln(t) +t t n+ ln(t)º Ë x < Ô Ó Ù Ö t [x,] tn+ ln(t) +t t n+ ln(t)º Ò ÆÒ Ø Ö ÆÒ Ø Ò Ø Ö ½ Ø x Ó Ù x Ø ½ Ð Ó Ò Ð Ó Ò F(x) ( ) k I k (x) I n+(x) (E) µ Ò Ô ÆÒ Ø Ð Ð ÆÑ Ø Ô Ó Ù Ö x 0 F(0) ( ) k (k +) (n+) (E) µ È Ó Ù Ö Ø Ó Ù Ø n N Ó Ò Ô Ó«S n = ( ) k (k +) º È Ö Ó Ñ Ô Ö Ó Ò Ð Ö Ê Ñ ÆÒÆÒ + Ð Ö k k>0 «Ó Ð ÙÆÑ Ò Ø Ó ÒÆÚ Ö Ò Ø Ó Ò Ó ÒÆÚ Ö Ò Ø º Ä Ù Ø (S n )n N Å Ø Ó Ò Ó ÒÆÚ Ö Ò Ø º µ È Ö Ô Ð Ð ÆÑ Ø Ô Ó Ù Ö x 0 F(0) S n (n+3) º ( ) k (k+) Å Ø µ È Ó Ù Ö n 49 n+3) 0 4 º Ç Ò Ô Ù Ø Ð Ó Ö ÖÆÑ Ö Õ Ù S n Å Ø ÙÆÒ Ú Ð Ù Ö Ô Ô Ö Ó¹ F(0) 0 4 Ô Ö Å º Exercice : (Une guêpe et une fenêtre). µ a 0 = b 0 = 0 s 0 = 0 a = /5 b = 3/5 Ø s = 0º µ s = /5 b = 6/5º ¾º µ Ä Å Ñ ÆÒ Õ Ù Ö Ð Ò Ø Ð Ú Ò Ñ Ò Ø S 3 Ó Ò Ø AABS ABBS º Ä Ô Ö Ó Ð Ø p Õ Ù Ð Ù ÅÔ Ó Ø Ò A Ð ÆÒ Ø ÆÒ Ø t = ÆÒ Ø Õ Ù ³ Ð Ð Å Ø Ó Ö Ø Ð ÆÒ Ø ÆÒ Ø t = 3 Å Ø ÙÆÒ Ô Ö Ó Ð Ø Ó Ò Ø Ó ÒÆÒ Ð Ð p = Proba(A S 3 ) Proba(S 3 ) º È Ö Ð Ó ÖÆÑ Ù Ð Å Ô Ö Ó Ð Ø Å Ø Ó Ø Ð Å s 3 = b /5 = (a 3/5 + b /5) /5 = (/5 3/5+/5 /5) /5 Ñ Ñ Proba(A S 3 ) = /5 3/5 /5 ÆÒ Ð Ñ Ò Ø p = /3º Ç Ò Ô Ù Ø Ù Ò Ö Ö Ö Õ Ù Ð Å Ù ÅÔ Å Õ Ù Ó Ö Ø Ò Ø Ð ÆÒ Ø ÆÒ Ø º µ Ç Ò Ù Ô Ô Ó«Õ Ù Ð Ù ÅÔ Ø Ø Ò B Ð ÆÒ Ø ÆÒ Ø t = º

Ç Ò Ô Ù Ø Ö ÅÔ Ö Ò Ö Ð Å Ð Ù ÐÅ ÆÚ Ð Å Ñ ÆÒ Ð Ó Ò Ù Ù Ö ¾ Õ Ù Ô Ö Ø Ò Ø B Ð Ò ³ Ý Ò Õ Ù ³ ÙÆÒ BS Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ø Ö Ú Ù Ø Ð Ó Ö Proba = /5 /5 = /5 º µ Ë Ó Ø n Nº Ä Å Ô Ö Ó Ð Ø Å Ø Ó Ø Ð Å a n+ = /5 a n +/5 b n Ø b n+ = 3/5 a n +/5 b n º µ Ç Ò Ò Ó Ø X n = a n º Ç Ò Ô Ó Ù Ö Ø Ó Ù Ø n N X n = M n /5 /5 X 0 M = º b n 3/5 /5 º Ç Ò Ô Ó«Ð Ñ Ø Ö A = Ø Ó Ò Ò Ó Ø u Ð Ò Ó Ñ Ó Ö Ô ÆÑ R ÆÒ Ó Ò Õ Ù Ñ Ò Ø 3 Ó Aº µ Ë Ó Ø λ Rº det(u λid) = λ 3λ 4 = 0 ³ Å Ø Ö λ = 4 Ó Ù º ÆÒ Ð Ò Ó Ñ Ó Ö Ô ÆÑ (u λá ) Ò ³ Å Ø Ô Ø Ø Ù Ð Ñ Ò Ø λ Ú Ù Ø 4 Ó Ù º µ ker(u 4Á ) Ô Ó Ù Ö Ø ker(u+á ) Ô Ó Ù Ö º 3 µ Ç Ò A = P 4 0 P Ô Ó Ù Ö P = º 0 3 µ P = 3 5 º º µ A n = (4)n 0 P = 3 4n + ( ) n 4 n + ( ) n 5 0 ( ) n 5 3 4 n 3 ( ) n 4 n +3 ( ) n Ë ÆÒ Ø Õ Ù X n = ( 5 A)n Ò Ô Ô Ð Õ Ù ÆÒ Ø Ù Ú Ø Ù Ö X 0 Ó Ò Ø Ö Ó ÙÆÚ a n = 3.4n +.( ) n Ø 5 n+ b n = 3.4n 3.( ) n 5 n+ a n 0 Ø b n 0 Ð Ó Ö Õ Ù n Ø Ò Ú Ö + º µ È Ó Ù Ö n > 0 s n = 5 b n = 3.4n 3.( ) n 5 n+ º µ a n 0 Ø b n 0 Ð Ó Ö Õ Ù n Ø Ò Ú Ö + Ð Ù ÅÔ Ø ÆÒ Ø Ò Õ Ù Ð Õ Ù Ô Ö Ø Ð Ô Ö Ó Ð Ø Õ Ù Ð Ù ÅÔ Ó Ø Ó Ö Ð ÆÒ Ø ÆÒ Ø t = n Ø Ò Ú Ö Ð Ó Ö Õ Ù n Ø Ò Ú Ö + º Exercice : (Équation sur un espace de polynômes) ½º T (X) = ax T X (X) = X (ax) T X (X) = X (ax)3 3 ºº ¾º Ä Ó Ò Ø Ó Ò T P Å Ø Ð Ñ Ò Ø Ô Ó Ð Ý Ò Ó Ñ Ð Ø deg(t P ) = deg(p)+º

º ³ Ô Ö Å Ð Õ Ù Å Ø Ó Ò Ô Ö Ò Ø (E) ÆÑ Ø ÙÆÒ Ó Ð Ù Ø Ó Ò P Ð Ó Ö P R n [X]º º ij Ô Ô Ð Ø Ó Ò Φ : R n[x] R n+ [X] Å Ø Ò ÆÒ Ô Ö Ö Ó Ò Ö Ø P T P Ð ÆÒ Ö Ô Ö Ð ÆÒ Ö Ø Ð ÆÒ Ø Ö Ð º º Ç Ò Ò Ó Ø Ö Å Ô Ø ÆÚ Ñ Ò Ø C n Ø C n+ Ð Å Å ÆÒ Ó Ò Õ Ù Å R n [X] Ø R n+ [X]º Á Ð Ý n+ Ð Ò Å Ø n+ Ó Ð Ó ÒÆÒ Å º a [0] a A = / º ºº ººº [0] an+ n+ º Ë Ó Ø Ã Ð Ñ Ø Ö Ó Ñ Ô Ó«Å n+ Ô Ö Ñ Ö Å Ð Ò Å Aº Ã Å Ø ÆÒÆÚ Ö Ð Ö Ð Ð Å Ø Ó Ò Ð ÆÚ Å ½ Ù Ö Ó Ò Ð º º Ä Ö ÆÒ Φ Å Ø Ù Ñ Ó ÆÒ n+ Ø Ù Ô Ð Ù n+ Ô Ó Ù Ö Ö Ó Ò Ø Ð Ð Ú Ù Ø n+º º È Ö Ð Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ù Ø Ó Ö Ñ Ù Ö ÆÒ Φ Å Ø ÆÒ Ø ÆÚ º º Ë (E) ÆÑ Ø ÙÆÒ Ó Ð Ù Ø Ó Ò P R n [X] Ð Ó Ö Ø Ø Ó Ð Ù Ø Ó Ò Å Ø ÙÆÒ Õ Ù ³ Å Ø Ð ÆÒ Ø ÆÚ Ø Φº ½¼º ³ Ô Ö Å Õ Ù Ô Ö ÁÑ(Φ) Å Ø ÆÑ Ò Ó Ò n + ÆÒ R n+ [X] ÆÑ Ò Ó Ò n+º Ì Ó Ù Ð Å Ô Ó Ð Ý Ò Ñ Å ÁÑ(Φ) Ð Ü ÅÔ Ø Ó Ò Ù Ô Ó Ð Ý Ò Ñ Ò Ù Ð Ó Ò Ø Ò Ó Ò Ó Ò Ø ÆÒ ØÅ Ô Ó Ù Ö Ö Ó Ò Ö µ Ù Ø Ö Ñ Ò Ø Ø Î Ø() ÁÑ(Φ) = {0}º Ç Ò Ó Ò º ½½º Ç Ò ( Φ Î Ø() ÁÑ(Φ) = R n+ [X] +ax + a3 X + a6 a++3+ +(n ) 6 X3 + ++ (n )! ax +a (X )+ (X a X a3 a3 3 X3 + a++3+ +(n ) (n )! )+ a6 (X n ann Xn )+ a++3+ +n n! a++3+ +n+(n+) = X n+ (n+)! 6 ) X n a++3+ +n + X n = n! ) (X 3 a4 +... 4 X4 ) (X n an+ n+ Xn+

a(n+)(n+) Ó Ò Ô Ó Ù Ö Q = X n+ Ð Õ Ù Ø Ó Ò (E) ÆÑ Ø ÙÆÒ ÙÆÒ Õ Ù µ Ó Ð Ù Ø Ó Ò (n+)! P = +ax + a3 X + a6 6 X3 + + a n(n ) (n )! Xn + a n(n+) n! X n ½¾º ³ Ô Ö Å Ð Ð Ù Ð Ô Ö Ò Ø λ = A = (n+)! a (n+)(n+) Ð Ó Ö Ð Õ Ù Ø Ó Ò ÙÆÒ Ó Ð Ù Ø Ó Ò º Ê Ô Ö Ó Õ Ù Ñ Ò Ø Ô Ó Ù Ö Q = λ X n+ Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ô Ó«ÙÆÒ Ó Ð Ù Ø Ó Ò Ð Ó Ö λ A R ÁÑ(Phi) = {0} Ó Ò λ = Aº Á Ð Ý Ó Ò ÙÆÒ Ø ÙÆÒ Ù Ð Ú Ð Ù Ö λ Ô Ó Ù Ö Ð Õ Ù Ð Ð Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ô Ó«ÆÑ Ø ÙÆÒ Ó Ð Ù Ø Ó Ò (n+)! º a (n+)(n+)