livro_exercicios_I.dvi

Bản ghi

1 º Ì ÇÊ Å ÍÆ Ç ÁÅÈÄ ÁÌ º Ì ÓÖ Ñ ÙÒÓ ÑÔÐ Ø º Ø Ó Ó ÐÙÐÓ Ö Ú ÙÒ Ò ÓÖÑ ÑÔÐ Ø º ÆÓ Ò Ð Ó Ó ÐÙÒÓ Ú Ö Ô Þ ÒÙÒ Ö ÓÒ Ñ ÕÙ ÔÐ Ú Ð Ó Ø ÓÖ Ñ ÙÒÓ ÑÔÐ Ø ÐÙÐ Ö Ö Ú Ô Ö ÙÒ Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ º Ü Ö Ó Ö ÓÐÚ Ó º ½º ÅÓ ØÖ ÕÙ ÕÙ Ó xz 2 +y 2 z = e xyz Ò ÑÔÐ Ø ¹ Ñ ÒØ z ÓÑÓ ÙÒÓ x y ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ (1,0,1)º ¾º ÐÙÐ x (1,0) y (1,0)º º Ö Ú ÙÑ ÕÙ Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó ÙÒÓ z = z(x,y) ÒÓ ÔÓÒØÓ (1,0,1)º Ê ÓÐÙÓ ½º Ò ¹ F(x,y,z) = xz 2 +y 2 z e xyz º Ì Ñ¹ F Ð Ô ÐÓ Ñ ÒÓ C 1 (1,0,1) Ô ÖØ Ò ÙÔ Ö Ò Ú Ð Ó Ó Ò Ú Ð 0 F F (1,0,1) = 2xz + y2 xye xyz (x,y,z)=(1,0,1) = 1 0 ÐÓ Ó ÕÙ Ó Ò z = z(x,y) Ò Ú Þ Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ ((1,0,1))º ¾º Ö Ú Ò Ó Ñ ÓÖ Ñ x Ñ Ó Ó Ñ Ñ ÖÓ ÕÙ Ó Ø Ò Ò Ó ÕÙ z = z(x,y) ÙÒÓ xµ ÓÙ ÓÒ z 2 +2xz x +y2 x = exyz y (z +x x ) [ x (1,0) = z 2 +yze xyz 2xz +y 2 xye ](1,0,1) xyz x (1,0) = 1 2. Ö Ú Ò Ó ÓÖ Ñ ÓÖ Ñ y Ñ Ó Ó Ñ Ñ ÖÓ ÕÙ Ó Ø Ò Ò Ó ÕÙ z = z(x,y) ÙÒÓ yµ 2xz +2yz +y2 y y = exyz x(z +y y )

2 È ÌÍÄÇ º ýä ÍÄÇ Á Ê Æ Á Ä ÓÙ ÓÒ [ 2yz +xze xyz x (1,0) = 2xz +y 2 xye ](1,0,1) xyz x (1,0) = 1 2. º ÍÑ ÕÙ Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ Ó Ö Ó ÙÒÓ z = z(x,y) ÒÙÑ ÔÓÒØÓ (x 0,y 0,z 0 ) ÓÖÑ ÆÓ ÔÓÒØÓ (1,0,1) Ú Ñ z z 0 = x (x 0,y 0 )(x x 0 )+ y (x 0,y 0 )(y y 0 ). z 1 = 1 2 (x 1)+ 1 2 y.

3 º Ì ÇÊ Å ÍÆ Ç ÁÅÈÄ ÁÌ º Ü Ö Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ ½º Ë f ÙÑ ÙÒÓ Ö Ð Ú Ö Ú Ð Ö Ðº Ø Ð ÓÒ ÕÙ Ö ÒØ Ñ ÕÙ ÕÙ Ó 2f (x+y) = f (x)+f (y) Ò y ÓÑÓ ÙÒÓ Ð C 1 x ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ (1,1)º ÅÓ ØÖ ÕÙ Ó Ø ÓÒ y (1) = 1º ¾º ÓÒ Ö ÕÙ Ó e x2 +y 2 +z 2 = x+y +e z. µ ÈÖÓÚ ÕÙ ÕÙ Ó Ò z ÓÑÓ ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ð C 1 x y ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò (0,0,1)º µ Ë Ò Ó z = h(x,y) ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ö Ö Ò Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÐÙÐ Ö Ú Ô Ö ÔÖ Ñ Ö ÓÖ Ñ ÙÒÓ h ÒÓ ÔÓÒØÓ (0,0)º º Í Ò Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÙÒÓ ÁÑÔÐ Ø ÔÓ Ú Ð ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ÙÑ Ú ØÓÖ Ô ÖÔ Ò ¹ ÙÐ Ö ÙÑ ÙÔ Ö Ó Ø ÔÓ F(x,y,z) = 0 F Ð C 1 µ ÒÙÑ ÖØÓ ÔÓÒØÓ Ó Ú ØÓÖ Ö ÒØ F ÐÙÐ Ó Ò ÔÓÒØÓº Ø ÖÑ Ò Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ ÙÔ Ö S Ò Ô Ð ÕÙ Ó ÕÙ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ó ÔÐ ÒÓ x+y +z = 0º x y2 9 + z2 4 = 1, º ÓÒ Ö ÙÒÓ f ÔÓÖ f(x,y,z) = 3xy +z 2 º µ ÐÙÐ Ó Ö ÒØ ÙÒÓ ÒÙÑ ÔÓÒØÓ Ò Ö Óº µ Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ ÙÔ Ö Ò Ú Ð ÕÙ Óf(x,y,z) = 4 ÒÓ ÔÓÒØÓ (1,1,1)º º ÈÖÓÚ ÕÙ ÕÙ Ó Ò x 2 +y 2 +z 2 3xyz = 0 µ z ÓÑÓ ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ð C 1 x y ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ(1,1,1).

4 È ÌÍÄÇ º ýä ÍÄÇ Á Ê Æ Á Ä µ y ÓÑÓ ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ð C 1 x z ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ(1,1,1). º ÐÙÐ f x (1,1) ÓÒ f (x,y) = xy2 z 3 Ò Ó z = z(x,y) ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ò Ñ µº º ÐÙÐ g x (1,1) ÓÒ g(x,z) = xy2 z 3 Ò Ó y = y(x,z) ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ò Ñ µº º Ë g : R R ÙÑ ÙÒÓ Ð C 1 Ø Ð ÕÙ g(π) = 1. µ ÈÖÓÚ ÕÙ ÕÙ Ó ( y x 2 +2cos(yz) g = 0, z) Ò x ÓÑÓ ÙÒÓ ÑÔÐ Ø Ð C 1 y z ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò ( 1,π,1). µ ÅÓ ØÖ ÕÙ y x y +z x = 0. (π,1) º ÅÓ ØÖ ÕÙ ÕÙ Ó x 2 y xy xyz 3 = 0 Ò z ÓÑÓ ÙÒÓ Ð C 1 Ö Ø ÒØ Ú Ö Ú ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ P = ( 2,1,2) Ø ÖÑ Ò x, dz Ñ ( 2,1)º y ½¼º Ë H :R 2 R ÙÒÓ Ò ÔÓÖH(x,y) = sin(3x y). ÐÙÐ (H(x(z),y(z))) ÒÓ ÔÓÒØÓ ÓÒ ÕÙ x 3 +2y = 2z 3 x y 2 = z 2 +3z Ò Ñ ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ (x,y) ÓÑÓ ÙÒÓ Ú ØÓÖ Ð Ð C 1 z. ½½º Ë Ñ f : R 2 R ϕ : R R ÙÒ Ð C 1 Ñ R 2 R Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ µ Ø ÕÙ ϕ(1) = 0 ϕ (1) = 1 f(0,1) = 1 f f (0,1) = 2 (0,1) = 3º u v µ ÅÓ ØÖ ÕÙ ÕÙ Ó

5 º Ì ÇÊ Å ÍÆ Ç ÁÅÈÄ ÁÌ º f(y,e y )ϕ(xz) = 0 Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ z Ñ ÙÒÓ x y ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò Ó ÔÓÒØÓ (1,0,1)º µ Ë Ò Ó z = z(x,y) ÙÒÓ Ù Ü Ø Ò Ó ÔÖÓÚ Ò Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ø ÖÑ Ò (1,0) x y (1,0)º ½¾º ÓÒ Ö ÕÙ Ó g(x 2 + y 2 ) + z + g(2x z) = 0 ÓÒ g ÙÑ ÙÒÓ Ö Ð Ú Ö Ú Ð Ö Ðº µ Ø Ð ÓÒ Ó Ö g ÕÙ Ö ÒØ Ñ ÕÙ ÕÙ Ó ÔÓ Ò Ö y ÓÑÓ ÙÒÓ x z ÒÙÑ Ú Þ Ò Ò (0,1, 1) ÓÑ y = y(x,z) Ð C 1 Ø Ð ÕÙ y y (0, 1)+ (0, 1) = y(0, 1). x µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ò ÓÒ Ø Ð Ò Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ø Ñ 2 y y x (0, 1) (0, 1) = 0º z ½ º ÓÒ Ö ÙÔ Ö S Ò ÔÓÖ ÙÑ ÕÙ Ó ÓÖÑ F (x,y,z) = 0, ÓÒ F ÙÑ ÙÒÓ Ð C 1 ÑR 3 P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) ÙÑ ÔÓÒØÓ Ô ÖØ Ò ÒØ Sº µ ËÙÔÓÒ Ó ÕÙ Ú Ö ÓÒ Ó F (P 0) 0, ÙÞ ÙÑ ÕÙ Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ S ÒÓ ÔÓÒØÓ P 0. µ Ë Ò Ó F : R 3 R ÙÒÓ Ò Ô Ð ÜÔÖ Ó F (x,y,z) = x 2 +y 2 +z 2 2, Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÕÙ Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ S ÒÓ ÔÓÒØÓ ( ) 2 2 2, 2, 1 º ½ º ÙÒ Ö Ò Ú u v Ú Ö Ú Ò Ô Ò ÒØ x y Ó ÑÔÐ ¹ Ø Ñ ÒØ Ô ÐÓ Ø Ñ ÕÙ u = x+y uv = y.

6 ¼ È ÌÍÄÇ º ýä ÍÄÇ Á Ê Æ Á Ä ÐÙÐ u u (0,1), x y (0,1), 2 u x 2 (0,1), 2 u x y (0,1), 2 u y 2 (0,1), v v (0,1), x y (0,1), 2 v x 2 (0,1), 2 v x y (0,1), 2 v y 2 (0,1). ½ º Ø ÖÑ Ò ÙÑ ÕÙ Ó Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ ÙÔ Ö S Ò ÔÓÖ e xyz = 1, ÒÓ ÔÓÒØÓ (1,1,0)º ½ º ÓÒ Ö ÙÔ Ö S Ò Ô Ð ÕÙ Ó x 2 +y 2 z 2 = 2x. Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÒØÓ S ÒÓ ÕÙ Ó ÔÐ ÒÓ Ø Ò ÒØ Ó Ô Ö Ð ÐÓ Ó ÔÐ ÒÓ X0Y, X0Z Y0Zº