MIST dvi

Bản ghi

1 Ä Ò Ö Î ÖØ Ü Ã ÖÒ Ð ÓÖ Å Ü ÑÙÑ ÁÒØ ÖÒ Ð ËÔ ÒÒ Ò ÌÖ ÓÖ Îº ÓÑ Ò 1 Ë Ö Ô Ö 2 Ë Ø Ë ÙÖ 1 Ò ËØ Ô Ò Ì ÓÑ 2 1 Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ö Ò ÆÓÖÛ Ýº ß ÓÑ Ò ØÐ ºÙ ºÒÓ 2 ÄÁÊÅÅ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÅÓÒØÔ ÐÐ Ö ¾ ÆÊË Ö Ò º ß Ô Ö Ø ÓÑ ÐÐ ÖÑѺ Ö ØÖ Øº Ï ÔÖ ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ö Ô G Ò ÒØ Ö k 0 Ø Ö Ò Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ ÓÖ ÓÙØÔÙØ Ò Û Ö Ô G R ÓÒ Ø ÑÓ Ø 3k Ú ÖØ Ò Ò ÒØ Ö k Ù Ø Ø G Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ò ÓÒÐÝ G R Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Û ÓÛ Ø Ø Ø Å Ü ÑÙÑ ÁÒØ ÖÒ Ð ËÔ ÒÒ Ò ÌÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ k 3k¹Ú ÖØ Ü ÖÒ Ðº ÇÙÖ Ö ÙÐØ ÓÒ Ò ÒÒÓÚ Ø Ú ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ð Ð Ñ Ò¹Ñ Ü Ö ÙÐØ ÓÙØ ÝÔ ÖØÖ Ò ÝÔ Ö Ö Ô Û Ø Ø Ø Ø ÝÔ Ö Ö Ô H ÓÒØ Ò ÝÔ ÖØÖ Ò ÓÒÐÝ H Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ø º ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø Å Ü ÑÙÑ ÁÒØ ÖÒ Ð ËÔ ÒÒ Ò ÌÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÅÁË̵ Û Ö Ú Ò Ö Ô G Ò Ø Ø ØÓ Ò Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó G Û Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º ÅÁËÌ Ò ØÙÖ Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø À Ñ ÐØÓÒ Ò È Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò n¹ú ÖØ Ü Ö Ô À Ñ ÐØÓÒ Ò Ô Ø Ò ÓÒÐÝ Ø Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø n 2 ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ØÙ Ý Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ú Ö ÓÒ Ó ÅÁË̺ È Ö Ñ Ø Ö Þ ¹ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ý Ô Ý Ò Ø ÒÔÙØ Iµ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö kµ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ò Û Ö º Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ò ÓÐÚ Ò Ø Ñ f(k) I O(1) Û Ö f ÙÒØ ÓÒ Ó k ÐÓÒ ØÓ Ü Ô Ö Ñ Ø Ö ØÖ Ø Ð È̵º Ì Ò ØÙÖ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö k ÓÖ ÅÁËÌ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ò Ø Ô ÒÒ Ò ØÖ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ú Ö ÓÒ Ó ÅÁËÌ p¹áòø ÖÒ Ð ËÔ Ò¹ Ò Ò ÌÖ ÓÖ p¹áëì ÓÖ ÓÖØ ÓÖ Ú Ò Ö Ô G Ò ÒØ Ö k G ÓÒØ Ò Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÊÓ Öع ÓÒ Ò Ë ÝÑÓÙÖ³ Ö Ô Å ÒÓÖ Ø ÓÖÝ Ø Ø p¹áëì ÈÌ ½¼ º ÁÒ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÒÓØ Ú Ò Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ ÐÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ñ ÒÓÖ Ò Ø Ù Ù Ö Ô Ò Ö Ø Ö Þ Ý Ò Ø Ø Ó ÓÖ Ò Ñ ÒÓÖ º ÇÒ Ó Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ø Ö Ô Å ÒÓÖ Ø ÓÖÝ Ø Ø Ú ÖÝ Ö Ô ÔÖÓÔ ÖØÝ Ö Ø Ö Þ Ý Ò Ø Ø Ó ÓÖ Ò Ñ ÒÓÖ ÈÌ Ò Ø Ù p¹áëì È̺ Ì Ö ÙÑ ÒØ Ö ÓÛ Ú Ö ÒÓØ ÓÒ ØÖÙØ Ú º Ì Ö Ø ÓÒ ØÖÙØ Ú Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ p¹áëì Ù ØÓ ÈÖ ØÓ Ò ËÐÓÔ Ö ½¾ Ò ÖÙÒ¹ Ò Ò Ø Ñ 2 4k log k n O(1) º Ê ÒØÐÝ Ø Ö ÙÐØ Û ÑÔÖÓÚ Ý Ó Ò Ø Ðº ¾

2 Û Ó ÓÐÚ ÑÓÖ Ò Ö Ð Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ñ 49.4 k n O(1) º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ØÙ Ý p¹áëì ÖÓÑ Ø ÖÒ Ð Þ Ø ÓÒ Ú ÛÔÓ Òغ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ñ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÖÒ Ð Ø Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ö Ø Ö Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ô Ò ÒØ Ó kµ ÐÐ ÖÒ Ð Þ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ö Ù Ø ÒÔÙØ Ò Ø Ò ØÓ Ò Ò Ø Ò Û Ó Þ ÓÙÒ Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p(k) Ò k Û Ð ÔÖ ÖÚ Ò Ø Ò Û Öº Ì Ö Ù Ò Ø Ò ÐÐ p(k) ÖÒ Ð ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ä Ø Ù Ö Ñ Ö Ø Ø Ø Ò Ø Ò Þ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ Ò Ø Ò Ø Ò Ñ Ý Ö ÒØ Ò Ø Ù ÓÖ ÓÙÒ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ Ò Ø Ö Ù Ö Ô Ø Ø ÖÑ p(k)¹ú ÖØ Ü ÖÒ Ð Ó Ø Ò Ù º Ï Ð Ñ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö Ô Ö ÒÓÛÒ ØÓ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÖÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ý Ø ÓÐÙØ ÓÒ Þ µ Ø Ö Ö ÒÓØ Ó Ñ ÒÝ O(k) ÓÖ Ð Ò Ö¹Ú ÖØ Ü ÖÒ Ð ÒÓÛÒ Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ º ÆÓØ Ð Ü ÑÔÐ ÒÐÙ 2k¹Ú ÖØ Ü ÖÒ Ð ÓÖ Î ÖØ Ü ÓÚ Ö k¹ú ÖØ Ü ÖÒ Ð ÓÖ Ë Ø ËÔÐ ØØ Ò Ò 6k¹Ú ÖØ Ü ÖÒ Ð ÓÖ ÐÙ Ø Ö Ø Ò º ÆÓ Ð Ò Ö¹Ú ÖØ Ü ÖÒ Ð ÓÖ p¹áëì Û ÒÓÛÒ ÔÖ ÓÖ ØÓ ÓÙÖ ÛÓÖ º ÈÖ ØÓ Ò ËÐÓÔ Ö ½½ ÔÖÓÚ Ò O(k 3 )¹ ÖÒ Ð ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ò ÑÔÖÓÚ Ø ØÓ O(k 2 ) Ò ½¾ º Ì Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ô Ô Ö Ø Ø p¹áëì 3k¹Ú ÖØ Ü Ö¹ Ò Ðº Ì ÖÒ Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÈÖ ØÓ Ò ËÐÓÔ Ö ÓÒ Ø Ó¹ ÐÐ ÖÓÛÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Å Ø Ó ½ º À Ö Û Ù Ö ÒØ Ñ Ø Ó ÓÒ Ñ Ò¹ Ñ Ü Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÝÔ Ö Ö Ô ÓÒØ Ò Ò ÝÔ ÖØÖ Ý Ö Ò Ø Ðº º ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó Ø Ò Û ÖÒ Ð Þ Ø ÓÒ Û Ó Ø Ò Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÐÚ Ò p¹áëì ÖÙÒÒ Ò Ò Ø Ñ 8 k n O(1) º Ì Ô Ô Ö ÓÖ Ò Þ ÓÐÐÓÛ º ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾ Û ÔÖÓÚ Ò ÖÝ Ò ¹ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÙØ Ö Ô Ò ÝÔ Ö Ö Ô º ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û Ú Ø ÖÒ Ð¹ Þ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñº Ë Ø ÓÒ ÚÓØ ØÓ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ñ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ð ÑÑ Û ÒØÖ Ð ØÓ Ø ÓÖÖ ØÒ Ó Ø ÖÒ Ð Þ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñº ¾ ¾º½ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö Ö Ô Ä Ø G = (V, E) Ò ÙÒ Ö Ø ÑÔÐ Ö Ô Û Ø Ú ÖØ Ü Ø V Ò Ø Eº ÓÖ ÒÝ ÒÓÒ ÑÔØÝ Ù Ø W V Ø Ù Ö Ô Ó G Ò Ù Ý W ÒÓØ Ý G[W]º Ì Ò ÓÖ ÓÓ Ó Ú ÖØ Ü v Ò G N G (v) = {u V : {u, v} E} Ò ÓÖ Ú ÖØ Ü Ø S V Û Ø N G (S) = v S N G(v) \ Sº Ì Ö Ó Ú ÖØ Ü v Ò G d G (v) = N G (v) º ËÓÑ Ø Ñ Û Ò Ø Ö Ô Ð Ö ÖÓÑ Ø ÓÒØ ÜØ Û ÓÑ Ø Ø Ù Ö ÔØ º ¾º¾ Ì ÀÝÔ Ö Ö Ô Å ØÖÓ Ä Ø H = (V, E) ÝÔ Ö Ö Ô º ÝÔ Ö e E Ù Ø Ó V º Ù Ø F Ó ÝÔ Ö ÝÔ Ö ÓÖ Ø F F + 1 ÓÖ Ú ÖÝ Ù Ø F Ó F Û Ö F ÒÓØ Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ú ÖØ ÓÒØ Ò Ò Ø ÝÔ Ö Ó F º Ì ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ó ÐÐ Ø ØÖÓÒ À ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ö ØÖÓÒ Ø Ò ÓÖ Ø ÜØÖ ÔÐÙ ÓÒ ØÓ Ø Ù Ù Ð À ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒº ÝÔ Ö ÓÖ Ø Û Ø V 1

3 ÐÐ ÝÔ ÖØÖ º ÄÓÖ ÔÖÓÚ ÓÖ µ Ø Ø M H = (E, F) Û Ö F ÓÒ Ø Ó Ø ÝÔ Ö ÓÖ Ø Ó H Ñ ØÖÓ ÐÐ Ø ÝÔ Ö Ö Ô Ñ ØÖÓ º Ç ÖÚ Ø Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ö Û Ðй ÒÓÛÒ Û Ò Ö ØÖ Ø ØÓ Ö Ô º ÄÓÚ Þ ÔÖÓÚ µ Ø Ø F ÝÔ Ö ÓÖ Ø Ò ÓÒÐÝ Ú ÖÝ ÝÔ Ö e Ó F Ò ÖÙÒ ÒØÓ Ò e Ø Ø e e ÓÒØ Ò ØÛÓ Ú ÖØ Ó eµ Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø Ø F ÓÒ Ø Ò Ó Ø ÓÒØÖ Ø ÓÖÑ ÓÖ Ø Ò Ø Ù Ù Ð Ò Ø Ø ÓÖ Ø Ó Ö Ô º Ç ÖÚ Ø Ø F ÝÔ ÖØÖ Ø Ò Ø Ø Ó ÓÒØÖ Ø F ÓÖÑ Ô ÒÒ Ò ØÖ ÓÒ V º Ì ÓÖ Ö Ó Ô ÖØ Ø ÓÒ P = {V 1,...,V p } Ó V Ø Ø δ(p) Ó ÝÔ Ö Ó H Û ÒØ Ö Ø Ø Ð Ø ØÛÓ Ô ÖØ Ó Pº ÝÔ Ö Ö Ô Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ÓÒÒ Ø Û Ò δ(p) P 1 ÓÖ Ú ÖÝ Ô ÖØ Ø ÓÒ P Ó V º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÙÒ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º º Ì ÓÖ Ñ ½º H ÓÒØ Ò ÝÔ ÖØÖ Ò ÓÒÐÝ H Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ÓÒÒ Ø º Ì ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ò ØÙÖÒ ÒØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ú Ò ÝÔ Ö Ö Ô H = (V, E) Û Ò Ø Ö Ò ÝÔ ÖØÖ ÓÖ Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ P Ó V Ù Ø Ø δ(p) < P 1 Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º ÓÖ Ø Ó ÓÑÔÐ Ø Ò Û Ö Ý Ñ ÒØ ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ó Ø Ø ÓÙ Ø ÖÙÒÒ Ò Ø Ñ Ñ Ý ÐÝ ÑÔÖÓÚ º Ê ÐÐ Ø Ø M H = (E, F) Û Ö F ÓÒ Ø Ó Ø ÝÔ Ö ÓÖ Ø Ó H Ñ ØÖÓ Ò Ò Û Ò ÓÒ ØÖÙØ ÝÔ ÖØÖ ÓÒ Ü Ø Ö Ðݺ Ï Ø ÖØ Û Ø Ò ÑÔØÝ ÓÖ Ø Ò Ø Ö Ø Ú ÐÝ ØÖÝ ØÓ ÖÓÛ ÓÙÖ ÙÖÖ ÒØ ÝÔ Ö ÓÖ Ø Ý Ò Ò Û º Ï Ò Ò Ô Ø Ò Ò Û Û Ø Ö Ö Ø ÓÖ ÔØ Ø Ò ÓÙÖ ÙÖÖ ÒØ ÝÔ Ö ÓÖ Ø Ô Ò Ò ÓÒ Û Ø Ö Ý Ò Ø Û Ø ÐÐ Ú ÝÔ Ö ÓÖ Øº Ì ÓÒÐÝ ÕÙ Ø ÓÒ ØÓ Ð ØÓ Ø Ø ÒØÐÝ Ú Ò ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ÓÖÑ ÝÔ Ö ÓÖ Øº ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Û Ú ØÓ Ø ØÖÓÒ À ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ º Ì Ò ÓÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ý ÑÔÐÝ ÖÙÒÒ Ò Ø Û Ðй ÒÓÛÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ò Ø Ù Ù Ð À ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÖÝ Ù ÝÔ Ö Ö Ô H \ v Û Ö v Ú ÖØ Ü Ò H \ v Ø ÝÔ Ö Ö Ô ÓÒØ Ò Ò ÐÐ ÝÔ Ö e \ v ÓÖ e Eº Ï Ò Ð Ó Ò ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ó ÝÔ ÖØÖ ÒØÓ Ô ÒÒ Ò ØÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º ÓÖ Ø ÓÒ Ö ÒÝ e Ó Ø ÝÔ ÖØÖ Û Ø ÑÓÖ Ø Ò ØÛÓ Ú ÖØ ÒÓÒ Ü Ø Û ÐÖ Ý Ú ÓÙÖ ØÖ µº Ý Ö ÙÐØ Ó ÄÓÚ Þ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÓÒ Ó Ø Ú ÖØ v e Ò Ð Ø ÖÓÑ e Ò Ù Û Ý Ø Ø Û Ø ÐÐ Ú ÝÔ ÖØÖ º À Ò Û Ù Ø Ò Ø Ú ÖØ Ü Ý Ò Ø ØÖÓÒ À ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÖÝ Ó Ó e \ v Û Ö v eº Ì ÑÔÐ Ø Ø Û Ò ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø Ø Ø ØÖÓÒ À ÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÑÓ Ø V Ø Ñ ØÓ Ó Ø Ò Ø Ö Ô ÒÒ Ò ØÖ º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ö Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ò Ò ÓÒØÖ Ø Ô ÒÒ Ò ØÖ ÓÙØ Ó Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ÓÒÒ Ø ÝÔ Ö Ö Ô º Ï ÒÓÛ ØÙÖÒ ØÓ Ø Ó¹ÆÈ ÖØ Ø Ø Ø Û Û ÒØ ØÓ Ü Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ P Ó V Ù Ø Ø δ(p) < P 1 Û Ò H ÒÓØ Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ÓÒÒ Ø º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÔÐÝ ØÖ ØÓ ÓÒØÖ Ø Ú ÖÝ Ô Ö Ó Ú ÖØ Ò H = (V, E) Ò Ø Ö ÙÐØ Ò ÝÔ Ö Ö Ô Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ÓÒÒ Ø º Ï Ò Ø ÒÓØ Û ÓÒØÖ Ø Ø ØÛÓ Ú ÖØ Ò Ö ÙÖ º Ï ØÓÔ Û Ò Ø Ö ÙÐØ Ò ÝÔ Ö Ö Ô H ÒÓØ Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ ÓÒÒ Ø Ò Ú ÖÝ ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ö ÙÐØ Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ÓÒÒ Ø ÝÔ Ö Ö Ô º

4 Ç ÖÚ Ø Ò Ø Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ P Ó H Ù Ø Ø δ(p) < P 1 Ò P Ô ÖØ Û ÒÓØ Ò Ð ØÓÒ Ø Ò ÓÒØÖ Ø Ò ØÛÓ Ú ÖØ Ó Ø Ô ÖØ Ö ÙÐØ Ò ÒÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ÓÒÒ Ø ÝÔ Ö Ö Ô º À Ò Ø Ò Ð ØÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ø ÙÒ ÕÙ Ô ÖØ Ø ÓÒ P Ó H Ù Ø Ø δ(p) < P 1º Ì Ò Ð ØÓÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó H Û Ú ÓÙÖ Ó¹ÆÈ ÖØ Ø º à ÖÒ Ð Þ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Ø G = (V, E) ÓÒÒ Ø Ö Ô ÓÒ n Ú ÖØ Ò k N Ô Ö Ñ Ø Öº ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ø G Ò k Ò ÒÔÙØ Ò Ò Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø Þ Ó G Ø Ö ÓÐÚ p¹áëì ÓÖ ÔÖÓ Ù Ö Ù Ö Ô G R ÓÒ Ø ÑÓ Ø 3k Ú ÖØ Ò Ò ÒØ Ö k k Ù Ø Ø G Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ò ÓÒÐÝ G R Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Û ÓÛ Ø Ø p¹áëì 3k¹Ú ÖØ Ü ÖÒ Ðº Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ð ÑÑ Û Ò¹ Ø Ö Ø Ò ÓÒ Ø ÓÛÒº ÓÖ ØÛÓ Ó ÒØ Ø X, Y V Û ÒÓØ Ý B(X, Y ) Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô Ó Ø Ò ÖÓÑ G[X Y ] Ý Ö ÑÓÚ Ò ÐÐ Û Ø ÓØ Ò ÔÓ ÒØ Ò X ÓÖ Y º Ä ÑÑ ½º Á n 3 Ò I Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó G Ó Ö Ò Ð ØÝ Ø Ð Ø 2n/3 Ø Ò Ø Ö Ö ÒÓÒ ÑÔØÝ Ù Ø S V \ I Ò L I Ù Ø Ø µ N(L) = S Ò µ B(S, L) Ô ÒÒ Ò ØÖ Ù Ø Ø ÐÐ Ú ÖØ Ó S Ò S 1 Ú ÖØ Ó L Ö ÒØ ÖÒ Ðº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ú Ò Ö Ô ÓÒ Ø Ð Ø 3 Ú ÖØ Ò Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó Ö ¹ Ò Ð ØÝ Ø Ð Ø 2n/3 Ù Ù Ø Ò ÓÙÒ Ò Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø Þ Ó Gº Ì ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½ ÔÓ ØÔÓÒ ØÓ Ë Ø ÓÒ º ÆÓÛ Û Ú Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÖÒ Ð Þ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ù Ä ÑÑ ½ ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÖÖ ØÒ º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ Ø Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ º ÊÙÐ ½ Á n 3k Ø Ò ÓÙØÔÙØ Ö Ô G Ò ØÓÔº ÁÒ Ø G 3k¹Ú ÖØ Ü ÖÒ Ðº ÇØ ÖÛ ÔÖÓ Û Ø ÊÙÐ ¾º ÊÙÐ ¾ ÓÓ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ú ÖØ Ü v V Ò ÖÙÒ Ë ÔØ Ö Ø Ö µ ÖÓÑ vº Á Ø Ë ØÖ T Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ø Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ØÓÔ º ÇØ ÖÛ Ù n > 3k T Ø Ð Ø 2n/3+2 Ð Ú Ò Ò ÐÐ Ð Ú ÙØ Ø ÖÓÓØ Ó Ø Ë ØÖ Ö Ô ÖÛ ÒÓÒ ÒØ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÙÒ Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó G Ó Ö Ò Ð ØÝ Ø Ð Ø 2n/3º ÈÖÓ Û Ø ÊÙÐ º

5 ÊÙÐ Ö ÙØ ÓÒµ Ò ÒÓÒ ÑÔØÝ Ù Ø Ó Ú ÖØ S, L V Ò Ä ÑÑ ½º Ú ÖØ Ü v S Ò Ñ Ø ÒØ ØÓ Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò N(S) \ L Ò Ú ÖØ Ü v L Ò Ñ Ø ÒØ ØÓ v S º Ò ÐÐÝ Ö ÑÓÚ ÐÐ Ú ÖØ Ó S Lº Ä Ø G R = (V R, E R ) Ø Ò Û Ö Ô Ò k = k 2 S + 2º Ó ØÓ ÊÙÐ ½ Û Ø G := G R Ò k := k º ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ÓÙÒ Ò Ó ÊÙÐ Û Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ º À Ö S Ò L Ö Ò Ä ÑÑ ½º Á T ØÖ Ò X Ú ÖØ Ü Ø Û ÒÓØ Ý i T (X) Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ Ó X Ø Ø Ö ÒØ ÖÒ Ð Ò T º Ä ÑÑ ¾º Á G Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ø Ò G Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ò Û ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó S Ò Ü ØÐÝ S 1 Ú ÖØ Ó L Ö ÒØ ÖÒ Ðº ÈÖÓÓ º Ä Ø T Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó G Û Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º ÒÓØ Ý F Ø ÓÖ Ø Ó Ø Ò ÖÓÑ T Ý Ö ÑÓÚ Ò ÐÐ Ò ÒØ ØÓ Lº Ì Ò ÐÓÒ 2 Ú ÖØ Ó S Ö Ò Ø Ñ ÓÒÒ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò F Ö ÑÓÚ Ò ÖÓÑ F Ò ÒØ ØÓ ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ú ÖØ º ÆÓÛ Ó Ø Ò Ø Ô ÒÒ Ò ØÖ T Ý Ò Ø Ó Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó B(S, L) ØÓ F Ò Û ÐÐ Ú ÖØ Ó S Ò S 1 Ú ÖØ Ó L Ö ÒØ ÖÒ Ð Ä ÑÑ ½µº Ð ÖÐÝ ÐÐ Ú ÖØ Ó S Ò S 1 Ú ÖØ Ó L Ö ÒØ ÖÒ Ð Ò T º ÁØ Ö Ñ Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø T Ø Ð Ø Ñ ÒÝ ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ T º Ä Ø U := V \ (S L)º Ì Ò Û Ú Ø Ø i T (L) u L d T(u) L Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò ØÖ Ö Ø Ð Ø 1 Ò ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ú Ö Ø Ð Ø 2º Ï Ð Ó Ú i T (U) i T (U) ( L + S 1 u L d T(u)) Ø ÑÓ Ø S 1 ( u L d T(u) L ) Ò ÒØ ØÓ S Ö Ö ÑÓÚ ÖÓÑ F ØÓ Ô Ö Ø F \ L ÒØÓ S ÓÒÒ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÓÖ Ú ÖØ Ü Ó Sº Ì Ù i T (V ) = i T (U) + i T (S L) i T (U) ( L + S 1 u Ld T (u)) + i T (S L) = i T (U) + ( d T (u) L ) S i T (S L) u L i T (U) + i T (L) S i T (S L) = i T (U) + i T (L) ( S 1) + ( S + S 1) = i T (U) + i T (L) + S i T (U) + i T (L) + i T (S) = i T (V ). Ì Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ð ÑÑ º Ä ÑÑ º ÊÙÐ ÓÙÒ V R < V Ò k kº ÈÖÓÓ º Ï Ð Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ò Ö Ô G R = (V R, E R ) Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k = k 2 S + 2 ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÖ Ò Ð Ö Ô G Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø Ø Ð Ø k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º ÁÒ ÙÑ

6 G Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø l k ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º Ì Ò Ð Ø B(S, L) Ò Ä ÑÑ ½ Ò T Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó G Û Ø l ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ù Ø Ø ÐÐ Ú ÖØ Ó S Ò S 1 Ú ÖØ Ó L Ö ÒØ ÖÒ Ð Û Ü Ø Ý Ä ÑÑ ¾µº Ù T[S L] ÓÒÒ Ø Ú ÖÝ ØÛÓ Ø ÒØ Ú ÖØ u, v N T (S) \ L Ö Ò Ö ÒØ ÓÒÒ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó T \(L S)º ÙØ Ø Ñ Ò Ø Ø Ø Ö Ô T Ó Ø Ò ÖÓÑ T \(L S) Ý ÓÒÒ Ø Ò v S ØÓ ÐÐ Ò ÓÖ Ó S Ò T \(S L) Ð Ó ØÖ Ò Û Ø Ö Ó Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò N G (S) \L ÙÒ Ò º Ì Ö Ô T Ó Ø Ò ÖÓÑ T Ý Ò v L Ò ÓÒÒ Ø Ò v L ØÓ v S Ð Ó ØÖ º Ì Ò T Ü ØÐÝ l 2 S + 2 ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º ÁÒ Ø ÓÔÔÓ Ø Ö Ø ÓÒ G R ØÖ T Û Ø l 2 S + 2 ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ø Ò ÐÐ Ò ÓÖ Ó v S Ò T Ö Ò Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó T \ {v S }º Ý Ä ÑÑ ½ Û ÒÓÛ Ø Ø B(S, L) Ô ÒÒ Ò ØÖ T SL Ù Ø Ø ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó S Ò S 1 Ú ÖØ Ó L Ö ÒØ ÖÒ Ðº Ï Ó Ø Ò Ô ÒÒ Ò ØÖ T Ó G Ý ÓÒ Ö Ò Ø ÓÖ Ø T = T \ {v S, v L } T SL Ò Ò ØÛ Ò Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ ØÓ Ñ Ø ÓÒÒ Ø º ÓÖ Ú ÖØ Ü u N T (v S ) \ {v L } Ò uv ØÓ T Û Ö uv Ò Ó G Ò v Sº Ý ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Û ÒÓÛ Ø Ø Ù Ò ÐÛ Ý Ü Ø º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ö Ó Ø Ú ÖØ Ò N G (S) \L Ö Ø Ñ Ò T Ò T º Ì Ù T Ô ÒÒ Ò ØÖ Û Ø l ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ º Ò ÐÐÝ S 1 Ò L S 3 Û Ú Ø Ø V R < V Ò k kº Ì Ù ÊÙÐ ÓÑÔÖ Ø Ö Ô Ò Û ÓÒÐÙ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ó¹ Ö Ñº Ì ÓÖ Ñ ¾º p¹áëì 3k¹Ú ÖØ Ü ÖÒ Ðº ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º p¹áëì Ò ÓÐÚ Ò Ø Ñ 8 k n O(1) º ÈÖÓÓ º Ç Ø Ò 3k¹Ú ÖØ Ü ÖÒ Ð ÓÖ Ø ÒÔÙØ Ö Ô G Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ù Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò ÖÙÒ Ø 2 n n O(1) Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Æ ÖÐÓ ÓÒ Ø ÖÒ Ðº ÈÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÔÖÓÚ Ø ÔÓ ØÔÓÒ ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º Ä Ø G = (V, E) ÓÒÒ Ø Ö Ô ÓÒ n Ú ÖØ I Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø Ó G Ó Ö Ò Ð ØÝ Ø Ð Ø 2n/3 Ò C := V \ Iº Ä Ø Y Ù Ø Ó V º Ù Ø X (V \ Y ) Y ¹ ÜÔ Ò ÓÒ c ÓÖ ÓÑ c > 0 ÓÖ Ù Ø Z Ó X N(Z) Y c Z º Ï Ö Ø Ò Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø L I Û Ó Ò ÓÖ ÓÓ L¹ ÜÔ Ò ÓÒ 2º ÓÖ Ø Û Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ Ä ÑÑ ½ µº Ä Ø B ÒÓÒ ÑÔØÝ Ô ÖØ Ø Ö Ô Û Ø Ú ÖØ Ü Ô ÖØ Ø ÓÒ (X, Y ) Û Ø Y 2 X Ò Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ó Y Ø Ð Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ò Xº Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ Ù Ø X X Ò Y Y Ù Ø Ø Ø Ø Ó Ò ÓÖ Ó Y Ò B Ü ØÐÝ X Ò Ù Ø Ø X Y ¹ ÜÔ Ò ÓÒ ¾º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ù Ù Ø X, Y Ò ÓÙÒ Ò Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø Þ Ó Bº

7 Ý Ù Ò Ä ÑÑ Û Ò ÒÓÒ ÑÔØÝ Ø Ó Ú ÖØ S C Ò L I Ù Ø Ø N(L ) = S Ò S L ¹ ÜÔ Ò ÓÒ 2º Ä ÑÑ º Ä Ø G = (V, E) ÓÒÒ Ø Ö Ô ÓÒ n Ú ÖØ I Ò Ò ¹ Ô Ò ÒØ Ø Ó G Ó Ö Ò Ð ØÝ Ø Ð Ø 2n/3 Ò C := V \ Iº ÙÖØ ÖÑÓÖ Ð Ø S C Ò L I Ù Ø Ø N(L ) = S Ò S L ¹ ÜÔ Ò ÓÒ 2º Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ Ù Ø S S Ò L L Ù Ø Ø B(S, L) Ô ÒÒ Ò ØÖ Ò Û ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó L Ú Ö Ø ÑÓ Ø 2 S L¹ ÜÔ Ò ÓÒ 2 Ò N(L) = Sº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ù Ø S Ò L Ò ÓÙÒ Ò Ø Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ø Þ Ó Gº ÈÖÓÓ º Ì ÔÖÓÓ Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ S º Á S = 1 Ø Ð ÑÑ ÓÐ Û Ø S := S Ò L := L º Ä Ø H = (S, E ) Ø ÝÔ Ö Ö Ô Û Ø Ø E = {N(v) v L }º Á H ÓÒØ Ò ÝÔ ÖØÖ Ø Ò Ø S 1 ÝÔ Ö Ò Û Ò Ó Ø Ò ØÖ T S ÓÒ S Ý ÓÒØÖ Ø Ò º Ï Ù Ø ØÓ Ò Ù ØÖ T Ó B(S, L ) Ô ÒÒ Ò S ÓÐÐÓÛ ÓÖ Ú ÖÝ e = uv Ó T S Ø Ö Ü Ø ÝÔ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ò Ò ÙÒ ÕÙ Ú ÖØ Ü Ý w Ò L Û Ð Ø Ø e = uv ÖÓÑ T S Ò Ø wu Ò wv ØÓ T S º Ç ÖÚ Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ò Ù ØÖ T Ó B(S, L ) Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ò T Û Ò L Ö 2 Ò Øº Ò ÐÐÝ Û ÜØ Ò T ØÓ Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó B(S, L ) Ý Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ú ÖØ Ó L Ô Ò Ò Ú ÖØ º ÐÐ Ø Ò ÓÒ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ù Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ë Ø ÓÒ ¾º¾º Ì Ù S Ò L Ö Ø Ø Ó Ú ÖØ Û Ö ÐÓÓ Ò ÓÖº ÇØ ÖÛ H Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÝÔ ÖØÖ Ø Ò H ÒÓØ Ô ÖØ Ø ÓÒ¹ÓÒÒ Ø Ý Ì ÓÖ Ñ ½º Ì Ò Û Ò Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ P = {P 1, P 2,...,P l } Ó S Ù Ø Ø Ø ÓÖ Ö δ(p) ÓÒØ Ò Ø ÑÓ Ø l 2 ÝÔ Ö Ó H Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ º Ä Ø b i Ø ÒÙÑ Ö Ó ÝÔ Ö ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÓÒØ Ò Ò P i Û Ö 1 i lº Ì Ò Ø Ö j, 1 j l, Ù Ø Ø b j 2 P j º ÁÒ ÓØ ÖÛ L (l 2)+ l i=1 (2 P i 1) < 2 S Û ÓÒØÖ Ø Ø Ó Ó L Ò S Ò Ø Ø Ø Ø S Ò L ¹ ÜÔ Ò ÓÒ 2º Ä Ø X := P j Ò Y := {w L N(w) P j }º Ï ÒÓÛ Ø Ø Y 2 X Ò Ò Ý Ä ÑÑ Ø Ö Ü Ø S X Ò L Y Ù Ø Ø S L ¹ ÜÔ Ò ÓÒ 2 Ò N(L ) = S º Ì Ù Ý Ø Ò ÙØ ÓÒ ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ö Ü Ø S S Ò L L Û Ø Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØ º Ä Ø S Ò L, Ò Ä ÑÑ º Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó B(S, L) Ù Ø Ø ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó S Ò Ü ØÐÝ S 1 Ú ÖØ Ó L Ö ÒØ ÖÒ Ðº ÆÓØ Ø Ø Ø Ö ÒÒÓØ ÑÓÖ Ø Ò 2 S 1 ÒØ ÖÒ Ð Ú ÖØ Ò Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó B(S, L) Û Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ÝÐ º Ý Ä ÑÑ Û ÒÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó B(S, L) Ò Û S 1 Ú ÖØ Ó L Ú Ö Ü ØÐÝ 2º ÓÒ Ö Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô B 2 Ó Ø Ò ÖÓÑ B(S, L) Ý Ò ÓÔÝ S c Ó S Ú ÖØ Ü Ò S Ø Ñ Ò ÓÖ ÓÓ Ø ÓÔÝ Ò S c Ò ÒÓ Ú ÖØ Ü Ó S c ÒØ ØÓ Ú ÖØ Ü Ò Sµº L S S c Ò Ù Ø Z Ó S S c Ø Ð Ø Z Ò ÓÖ Ò L Ý À Ðг Ø ÓÖ Ñ Ø Ö Ü Ø Ñ Ø Ò Ò

8 B 2 ØÙÖ Ø Ò S S c º Ì Ñ Ò Ø Ø Ò B(S, L) Ø Ö Ü Ø ØÛÓ ¹ Ó ÒØ Ñ Ø Ò M 1 Ò M 2 ÓØ ØÙÖ Ø Ò Sº Ï Ö Ö ØÓ Ø ÖÓÑ M 1 M 2 Ø ÚÓÖ Ø º Ä ÑÑ º B(S, L) Ô ÒÒ Ò ØÖ T Ù Ø Ø ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó S Ò S 1 Ú ÖØ Ó L Ö ÒØ ÖÒ Ð Ò T º ÈÖÓÓ º Ä Ø T Ô ÒÒ Ò ØÖ Ó B(S, L) Ò Û ÐÐ Ú ÖØ Ó L Ú Ö Ø ÑÓ Ø 2 Ó Ø Ò Ù Ò Ä ÑÑ º T ØÖ Ü ØÐÝ S 1 Ú ÖØ Ó L Ú Ö 2 Ò T º ÐÓÒ Ú ÖØ Ü v S ÒÓØ ÒØ ÖÒ Ð Ò T ÚÓÖ Ø uv ØÓ T Û Û ÒÓØ Ý Ø Ò T u Lµ Ò Ö ÑÓÚ Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÖÓÑ Ø ØÖ Û Ò ÒØ ØÓ u Ó Ø Ø T Ö Ñ Ò Ô ÒÒ Ò ØÖ º Î ÖØ Ü v ÓÑ ÒØ ÖÒ Ð Ò Ø Ö Ó u Ò T Ö Ñ Ò ÙÒ Ò º u ÓÒÐÝ Ò ÒØ ØÓ ÓÒ ÚÓÖ Ø Ø ÖÙÐ ÒÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÚÓÖ Ø Ò T Ú Ò Ø ÓÙ Ø ÔÓ Ð Ø Ø ÓÑ ÓØ Ö Ú ÖØ Ü Ò S ÛÓÙÐ Ú ÓÑ Ð º Ï ÔÔÐÝ Ø ÖÙÐ ÙÒØ Ð ÒÓ ÐÓÒ Ö ÔÓ Ð º Ï ÒÓÛ Ø Ø Ø ÖÙÐ Ò ÓÒÐÝ ÔÔÐ Ø ÑÓ Ø S Ø Ñ º ÁÒ Ø Ò ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó S Ö ÒØ ÖÒ Ð Ò S 1 Ú ÖØ ÑÓÒ L Ö ÒØ ÖÒ Ð Ø Ö Ö Ö Ñ Ò Ø Ñ º ÌÓ ÓÒÐÙ Û Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½ Û Ó ÖÚ Ø Ø S C L I Ò N(L) = S Ý Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó S Ò L Ò Ý Ä ÑÑ B(S, L) Ô ÒÒ Ò ØÖ Ò Û ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó S Ò S 1 Ú ÖØ Ó L Ö ÒØ ÖÒ Ðº Ê Ö Ò ½º º ƺ Ù¹Ã Þ Ñ Åº ʺ ÐÐÓÛ Åº º Ä Ò ØÓÒ Ò Ïº Àº ËÙØ Ö º ÖÓÛÒ ËØÖÙØÙÖ ÓÖ Î ÖØ Ü ÓÚ Ö Ã ÖÒ Ð Þ Ø ÓÒº Ì ÓÖÝ ÓÑÔÙغ ËÝ Øº ½ µ ¾¼¼ µ ÔÔº ½½¹ ¼º ¾º ƺ Ó Ò º κ ÓÑ Ò º ÙØ Ò º º Ã Ñ Ëº Ë ÙÖ Ò º Ó Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ò k¹î ÖØ Ü ÇÙعØÖ Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ k¹áòø ÖÒ Ð ÇÙع Ö Ò Ò ÈÖÓ Ð Ñº ÁÒ Ø ÔÖÓ Ò Ó Ç ÇÇÆ ¾¼¼ ÚÓÐÙÑ ¼ Ó ÄÆ Ë ÔÔº º ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼ º º º Ò Áº º Ã Ò Ò Ïº  º Î ÖØ Ü ÓÚ Ö ÙÖØ Ö Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò ÙÖØ Ö ÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ º º Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ¾µ ¾¼¼½µ ÔÔº ¾ ¼ ¼½º º º Ö Ò Ìº Ã Ö ÐÝ Ò Åº ÃÖ ÐÐ ÇÒ ÓÑÔÓ Ò ÝÔ Ö Ö Ô ÒØÓ k ÓÒ¹ Ò Ø Ù ¹ ÝÔ Ö Ö Ô Ö Ø ÔÔк Å Ø º ½ ½ ¾¼¼ µ ÔÔº º º º ÙÓº ÑÓÖ Ø Ú Ð Ò Ö ÖÒ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÖ ÐÙ Ø Ö Ø Ò º Ì ÓÖº ÓÑÔÙغ Ë º ½¼ ¹½¼µ ¾¼¼ µ ÔÔº ½ ¹ ¾ º º º ÄÓ Ø ÒÓÚ Ò Ëº Ë ÙÖ º Ú Ò Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ë Ø ËÔÐ ØØ Ò ÌÓ ÔÔ Ö Ò Ø ÔÖÓ Ò Ó ÁÏÈ ¾¼¼ º º ź ÄÓÖ ÀÝÔ Ö Ö Ô Ø Ñ ØÖÓ Ö ÒØÖ ØÙ º Ê º ÇÔ Öº ½ ½ µ ÔÔº ¾ ¾ ½º º ĺ ÄÓÚ Þ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ã Ò ³ Ø ÓÖ Ñ Ø º Å Ø º º Ë º ÀÙÒ Öº ¾½ ½ ¼µ ÔÔº º º º Æ ÖÐÓ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¹ Ô Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ò Å Ù ÒÚ Ö ÓÒ ÁÑÔÖÓÚ Ò ÓÒ ËØ Ò Ö ÌÖ Ò Ö Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ º ÁÒ Ø ÈÖÓ Ò Ó Á ÄÈ ¾¼¼ ÚÓÐÙÑ Ó ÄÆ Ë ÔÔº ½ ¾ º ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼ º

9 ½¼º ƺ ÊÓ ÖØ ÓÒ Ò Èº º Ë ÝÑÓÙÖ Ö Ô Ñ ÒÓÖ ¹ ÙÖÚ Ýº ÁÒ Áº Ò Ö ÓÒ ºµ ËÙÖÚ Ý Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ñ Ö ÍÒ Úº ÈÖ ½ µ ÔÔº ½ ½ ½º ½½º º ÈÖ ØÓ Ò º ËÐÓÔ Öº Ø Ö»ÓÖ Í Ò Ú ÖØ Ü ÓÚ Ö ØÖÙØÙÖ Ò Ò Ò È̹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ó k¹ ÒØ ÖÒ Ð Ô ÒÒ Ò ØÖ º ÁÒ Ø ÔÖÓ Ò Ó Ï Ë ¾¼¼ ÚÓÐÙÑ ¾ Ó ÄÆ Ë ÔÔº º ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼ º ½¾º º ÈÖ ØÓ Ò º ËÐÓÔ Ö Ê Ù Ò ØÓ ÁÒ Ô Ò ÒØ Ë Ø ËØÖÙØÙÖ Ø Ó k¹áòø ÖÒ Ð ËÔ ÒÒ Ò ÌÖ ÆÓÖ º º ÓÑÔÙغ ½¾ µ ¾¼¼ µ ÔÔº ¼ ¹ ½ º ½ º ˺ Ì ÓÑ ÕÙ Ö Ø ÖÒ Ð ÓÖ Ú ÖØ Ü Ø ÁÒ Ø ÔÖÓ Ò Ó ËÇ ¾¼¼ ËÁ Å ÔÔº ½½ ½½ º