ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI -

Bản ghi

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 25

2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA BẢN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : Người hướng dẫn kho học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI, 25

3 Mục lục Mở đầu Phương trình tích phân Volterr loại hi tổng quát và phương pháp xấp xỉ liên tiếp 3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Các ví dụ Phương trình tích phân Volterr dạng chập và biến đổi Lplce 7 2. Tích phân Gmm và tích phân Bet Biến đổi Lplce Phương trình Volterr trên nử trục Nghiệm tường minh củ một số phương trình tích phân dạng Volterr 5 3. Phương trình tích phân Abel Phương trình tích phân Abel loại một Phương trình tích phân Abel loại hi Phương trình tích phân dạng Abel Phương trình tích phân Abel với nhân tổng quát Phương trình Volterr với các nhân đ thức hy phân thức hữu tỷ Đạo hàm theo thm số trong tích phân xác định Nhân đ thức bậc nhất Nhân đ thức bậc hi Nhân đ thức bậc b Nhân lũy thừ bậc co Nhân phân thức hữu tỷ Phương trình Volterr với nhân căn thức hy lũy thừ phân Nhân căn thức

4 3.3.2 Nhân lũy thừ phân

5 Mở đầu Nhiều vấn đề trong toán học(phương trình vi phân với điều kiện biên hy điều kiện bn đầu, phương trình đạo hàm riêng), cơ học, vật lí và các ngành kĩ thuật khác dẫn đến những phương trình trong đó hàm chư biết chứ dưới dấu tích phân. Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Phương trình tích phân là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được qun tâm nghiên cứu theo nhiều khí cạnh khác nhu như sự tồn tại nghiệm, sự xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hy không chỉnh, nghiệm chỉnh hó,... Lý thuyết tổng quát củ các phương trình tích phân tuyến tính được xây dựng ở buổi gio thời củ các thế kỉ XIX, XX, chủ yếu là ở trong các công trình củ Volterr, Fredholm và Hilbert, v.v.. Phương trình tích phân tuyến tính có dạng αu(x) + b K(x, y)u(y)dy = f(x), < x < b, () trong đó u(x) là hàm cần tìm (ẩn hàm), f(x) và K(x, y) là những hàm cho trước và tương ứng được gọi là vế phải và nhân (hạch) củ phương trình đã cho, α là hằng số đã cho. Phương trình () được gọi là phương trình loại hy loại 2, tùy thuộc vào α =, hy α tương ứng. Thông thường, trong trường hợp (, b) là khoảng hữu hạn và K(x, y) là hàm liên tục hy khả tích trong hình chữ nhât (, b) (, b) thì phương trình () được gọi là phương trình Predholm. Nếu trong phương trình (), cận trên, hy cận dưới b được thy bởi x, biến thiên trong một khoảng nào đó, thì phương trình được gọi là phương trình tích phân voltetrr. Như vậy, phương trình tích phân Volterr có dạng λu(x) + λu(x) + b x K(x, y)u(y)dy = f(x), < x < b,, (2) K(x, y)u(y)dy = f(x), < x < b. (3)

6 Ở đây, có thể xảy r trường hợp là b = +. Nếu K(x, y) có dạng K(x-y) thì phương trình tích phân được gọi là phương trình tích chập. Mục đích củ luận văn này là tìm hiểu và học các phương pháp giải hình thức các phương trình tích phân Volterr. Nội dung củ luận văn được trình bày trong b chương: Chương trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterr loại hi với vế phải và nhân là những hàm liên tục. Chương 2 trình bày phép biến đổi tích phân Lplce và vận dụng phép biến đổi này giải phương trình tích phân Volterr dạng chập trên nử trục thực. Chương 3 trình bày về nghiệm tường minh củ một số phương trình tích phân dạng Volterr là phương trình tích phân Abel và một số phương trình Volterr khác. 2

7 Chương Phương trình tích phân Volterr loại hi tổng quát và phương pháp xấp xỉ liên tiếp Chương này trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterr loại hi với vế phải và nhân là những hàm liên tục. Nội dung củ chương này được hình thành chủ yếu từ tài liệu [??].. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Định lý.. (Định lý xấp xỉ liên tiếp) Cho λ là một thm số phức và cho f(x) là một hàm liên tục có giá trị phức xác định trên [, b]. Cho K(x, t) là một hạch liên tục có giá trị phức xác định trên tm giác T (, b), với K(x, t) nếu x < t. Khi đó với mỗi giá trị củ λ nghiệm liên tục duy nhất củ phương trình tích phân Volterr là Φ(x) = f(x) + λ K(x, t)φ(t)dt được cho bởi Φ(x) = f(x) + λ R(x, t, λ)f(t)dt trong đó hạch giải thức R(x, t, λ) là duy nhất R(x, t, λ) = λ m K m (x, t) m= 3

8 Một kết quả đáng lưu ý trong định lý này là Φ(x) nếu f(x). Một kết quả khác cũng đáng lưu ý là các hạch Volterr không có giá trị riêng, từ chuỗi giải thức là một hàm hoàn toàn theo λ. Độ lớn củ si lệch do xấp xỉ Φ n (x) trong ước tính nghiệm Φ(x) có thể được ước lượng đều giống như ước lượng thiết lập trong chứng minh. Với mỗi x [, b] t có Φ(x) Φ n (x) λ M f m=n [ λ M(b ) m ] Tổng ở vế phải có thể được ước lượng bởi dạng Lgrnge còn lại củ chuỗi lũy thừ. Làm tương tự t có được ước lượng đều m! b [ λ M(b )]n Φ(x) Φ n (x) e n! Do đó độ lớn củ si lệch sẽ nhỏ như mong muốn với n đủ lớn. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp thiết lập chắc chắn sự tương đương giữ việc giải một phương trình tích phân Volterr củ loại thứ hi với việc tính toán hạch giải thức R(x, t, λ) từ hạch K(x, t) đã cho. Những ví dụ su đây sẽ chứng minh sự tương đương này..2 Các ví dụ Ví dụ.. Xét phương trình tích phân tuyến tính Φ(x) = f(x) + λ xtφ(t)dt Một tích phân sơ cấp biểu diễn K 2 (x, t) = t xs.stds = xt( x3 t 3 ) 3 Dễ dàng thấy trong trường hợp tổng quát t có ( xt x 3 t 3 K m (x, t) = (m )! 3 Do đó hạch giải thức là R(x, t, λ) = ) m { ( )} x λ m 3 t 3 K m (x, t) = xt. exp λ 3 m= 4

9 Một kết quả củ định lý là nghiệm củ phương trình tích phân là { ( )} x 3 t 3 Φ(x) = f(x) + λ xt. exp λ f(t)dt 3 Đặc biệt nếu f(x) = x và λ = thì nghiệm củ phương trình là Φ(x) = x + Φ(x) = x + xtφ(t)dt {( )} x 3 t 3 xt exp tdt = xe x3 /3 3 Ví dụ.2. Nếu một hạch có thể phân chi dưới dạng K(x, t) = (x)b(t) thì các hạch lặp củ nó có thể dễ dàng tính được. Thật vậy K 2 (x, t) = (x)b(s)(s)b(t)ds t = K(x, t) t K(s, s)ds = K(x, t)(l(x) L(t)) trong đó L(s) là một nguyên hàm củ K(s, s). Lặp lại lần nữ t có Trong trường hợp tổng quát t có: Do đó hạch giải thức được cho bởi (L(x) L(t))2 K 3 (x, t) = K(x, t) 2! (L(x) L(t))n K n (x, t) = K(x, t) (n )! R(x, t, λ) = K(x, t) exp {λ (L(x) L(t))} Chú ý rằng tất cả hạch lặp và hạch giải thức đều phân chi. Do đó nghiệm củ phương trình tích phân Φ(x) = f(x) + λ 5 (x)b(t)φ(t)dt

10 có dạng Φ(x) = f(x) + λ (x)b(t) exp {λ(l(x) L(t))} f(t)dt Trong ví dụ trước K(x, t) = xt. Sử dụng phương pháp này t tính được nguyên hàm L(s) = K(s, s)ds = s 2 ds = s3 3 Do đó { ( )} x 3 t 3 R(x, t, λ) = xt. exp λ 3 Kết quả này đúng chính xác so với kết quả đã tính ở ví dụ trên. Một ví dụ khác về tính khả dụng củ phương pháp này, xét với hạch đơn giản K(x, t) = e x t. Từ K(s, s) =, L(s) = s. Vì thế hạch giải thức được xác cho bởi R(x, t, λ) = e x t e λ(x t) = e (λ+)(x t) 6

11 Chương 2 Phương trình tích phân Volterr dạng chập và biến đổi Lplce Chương này trình bày phép biến đổi tích phân Lplce và vận dụng phép biến đổi này giải phương trình tích phân Volterr dạng chập trên nử trục thực. Nội dung củ chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [??], [??]. 2. Tích phân Gmm và tích phân Bet Tích phân Gmm Tích phân Gmm (Hàm Gmm) với biến phức z = x + iy(i 2 = ) được xác định theo công thức Γ(z) = Tích phân Bet e t t z dt, Rez >. Có một số định nghĩ tương đương củ hàm Bet B(p, q) (hàm Bet)được định nghĩ theo công thức B(p, q) = trong đó p và q dương để tích phân tồn tại. u p ( u) q du, 2.2 Biến đổi Lplce Định nghĩ 7

12 Cho f(t) xác đinh trên [, ). Biến đổi Lplce củ f(t) được cho bởi tích phân suy rộng F (s) := L{f(t)} = e st f(t)dt = lim A A e st f(t)dt. Tích phân sẽ tồn tại nếu f(t) liên tục từng mảnh trên [, A] với mọi A và có cấp tăng không quá dạng mũ. Các tính chất củ biến đổi Lplce Tính chất 2.. Cho các hàm gốc f k có các chỉ số tăng là λ k, biến đổi Lplce là F k, k =, 2,..., n. Khi đó biến đổi Lplce củ hàm tổ hợp tuyến tính f củ các hàm f k f (t) = c k là hằng số, là hàm F định bởi F (p) = n c k f k (t), k= n c k F k (p) (2.) k= Với miền xác định Rep > mx α k. Tính chất 2.2. Cho hàm gốc f có chỉ số tăng là λ,l [f] = F (p), và c > là hằng số. Khi đó L [t f (ct)] = p c F ( p c Tính chất 2.3. Cho L [f (t)] = F (p), Rep >. Đặt { nếu t < τ f τ (t) = f (t τ) nếu t τ ), Rep > cα (2.2) Khi đó L (f τ ) = p e pτ F (p), Rep > α (2.3) Tính chất 2.4. Cho L (f) = F, f có chỉ số tăng là α, λ là hằng số. Khi đó L [ e λt f (t) ] = F (p λ), Rep > α + Reλ (2.4) 8

13 Tính chất 2.5. Cho L (f) = F. Giả sử f (k) f (k ) ( +) tồn tại, k =, n, thì t có [ ) L (f (n) = p n F (p) f ( +) f ( + +) p p 2 tồn tại và là hàm gốc, ( f (n ) ) ] + Tính chất 2.6. Cho L (f) = F, f có chỉ số tăng là α. T có p n (2.5) L [ ( t) n f (t) ] = F (n) (p), n, Rep > α. (2.6) Tính chất 2.7. Cho L (f) = F và f liên tục. Khi đó, ánh xạ t t f (τ)dτ cũng là hàm gốc (nếu f liên tục thì ánh xạ này là nguyên hàm củ f ) và ( t ) L f (τ)dτ = F (p) (2.7) p Tính chất 2.8. Giả sử R (f) = F, và t f(t) t là hàm gốc. Khi đó [ ] f (t) L = F (u)du (2.8) t Trong đó, z = lim p Rez p. Tích chập Lplce. Nếu f(t) và g(t) khả tích trên [; ) thì tích chập củ f(t) và g(t) được định nghĩ bởi tích phân (f g)(t) = t p f(t u)g(u)du Định lý 2.. Giả sử L (f) = F, L (g) = G, f và g lần lượt là các hàm gốc có các chỉ số tăng là α và β, liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn củ R +. Nếu t xem f và g xác định trên R, triệt tiêu trên khoảng (, ) thì tích chập f g cũng là hàm gốc có chỉ số tăng γ mx {α, β } và Công thức biến đổi Lplce ngược L [f g] = F.G (2.9) 9

14 Định lý 2.2. Cho hàm F thỏ mãn các điều kiện su (i) F giải tích trong miền Rep > α. (ii) Khi p trong mỗi miền Rep > α, thì hàm F tiến về đều theo rg p [ π 2, π 2 ]. (iii) Với mọi x > α tồn tại hằng số dương M, so cho x+i x i F (x + iy) dy M. (2.) Khi đó hàn F xác định trên Rep > α là biến đổi Lplce củ hàm f định bởi f (t) = 2πi x+i x i e pt F (p) dp, x > α Định lý dưới đây cho phép t tìm hàm gốc củ một hàm chính qui tại vô cực. Định lý 2.3. Giả sử rằng thác triển giải tích củ F lên nử mặt phẳng trái là một hàm giải tích đơn trị. Giả sử L (f) = F và p = là điểm chính qui củ F, i.e., F có khi triển tại vô cực như su F (p) = n= c n p n (2.) Khi đó f (t) = n= t n c n+, t >. (2.2) n! 2.3 Phương trình Volterr trên nử trục Ví dụ 2.. Nếu hạt nhân là tách được, thì phương trình tích phân kỳ dị thường được biến đổi thành phương trình đạo hàm riêng hoặc hệ tuyến tính các phương trình đạo hàm riêng.

15 Xét phương trình tích phân kỳ dị Volterr φ(x) = e x + 2 e 3(x t) φ(t)dt. Nếu t nhân vào phương trình này e 3x rồi lấy đạo hàm, t thu được phương trình tuyến tính cấp một φ (x) + φ(x) = 4e x su khi thực hiện phép rút gọn. Nghiệm củ phương phương vi phân này tùy thuộc vào điều kiện bn đầu rằng φ () + φ() = 4. Su khi giải phương trình này, t thu được nghiệm φ(x) = (φ() 2)e x + 2e x. Ví dụ 2.2. Phương trình tích phân kỳ dị Volterr loại hi φ(x) = f(x) + + x k(x t)φ(t)dt, mà có hạt nhân là tích chập hoặc hạt nhân si phân, có thể được giải với biến đổi Lplce, mặc dù nghiệm có thể không là duy nhất. Công thức biến đổi cần thiết là trong đó L { + x K( s) = + K(x t)φ(t)dt } = K( s)φ(s), (2.3) k( x)e sx dx và Φ(s) = L{φ(x)}. Để giải thích quá trình này, xét phương trình tích phân φ(x) = 3e x x e x t φ(t)dt. Vì k(x) = e x, K( s) = /( s). Su khi biến đổi phương trình tích phân, rút gọn, t tìm được từ đó t kết luận rằng Φ(s) = 3 s + 6 (s + ) 2, φ(x) = 3e x 6xe x. Tuy nhiên, nghiệm này không duy nhất. Giả sử tồn ti hi nghiệm phân biệt, cụ thể φ (x) và φ 2 (x). Nếu t đặt δ(x) = φ (x) φ 2 (x), thì δ(x) phải thỏ mãn phương trình δ(x) = 2 + x e x t δ(t)dt.

16 Su khi biến đổi phương trình tích phân này thành phương trình vi phân, t thu được δ (x) + δ(x) =. Do đó, δ(x) = ce x, trong đó c là hằng số tùy ý. Suy r nghiệm tổng quát nhất củ phương trình tích phân có dạng φ(x) = φ()e x 6xe x. Nếu phương trình tích phân được biến đổi thành phương trình vi phân theo quán trình tóm tắt như trong ví dụ trước thì nghiệm tổng quát này thu được một cách trực tiếp. Ví dụ 2.3. Xét phương trình tích phân sin (x t) Φ(t)dt = x sin x (2.4) 2 với K(x, t) = sin(x t). Nếu phương pháp biến đổi Lplce được miêu tả trong các mục trước áp dụng trong phương trình này t được s s 2 L {Φ (x)} = + từ đây t kết luận được φ(x) = cosx. L {Φ (x)} = (s 2 + ) 2 s s 2 + Nhận xét 2.. Nếu t lấy đạo hàm theo x hi vế phương trình tích phân (2.4) t được phương trình Volterr loại một su: cos(x t)φ (t) dt = 2 x cos x + sinx. (2.5) 2 Bây giờ lấy đạo hàm hi vế phương trình (2.5) t được phương trình Volterr loại hi Φ (x) sin (x t) Φ(t)dt = cos x x sin x. (2.6) 2 Các phương trình (2.5), (2.6) cũng có nghiệm Φ(x) = cos x như phương trình (2.6)và có thể được tìm bằng chs sử dumgj biến đổi Lplce. 2

17 Ví dụ 2.4. ( Phương trình tích phân Abel trên nử trục). Phương trình Abel là phương trình tích phân dạng Volterr với nhân có kỳ dị yếu lũy thừ. Xét phương trình tích phân Abel loại một trên nử trục trong đó < α <. f(x) = φ(t)dt, < x <, (2.7) (x t) α Chúng t sẽ giải phương trình (3.) bằng phương pháp biến đổi Lplce. Nếu F (s) = L{f(x)} và Φ(x) = L{φ(x)}, thì t có phương trình biến đổi F (s) = mà có thể được sắp xếp lại dưới dạng Φ(s) s Đảo ngược lại, t thu được { } L φ(t)dt từ đó t kết luận rằng = s α Γ(α) Γ( α)γ(α) φ(x) = sin(απ) π Γ( α) s α Φ(s), F (s) = sin(απ) π = sin(απ) L{x α } L{f(x)} π { = sin(απ) L π ( d dx Ví dụ 2.5. Xét phương trình tích phân Volterr e x t Φ (t) dt = sinx Γ(α) s α F (s). f(t)dt (x t) α ) f(t)dt. (x t) α Từ e x t là một hạch chập, t có thể áp dụng biến đổi Lplce cho phương trình này. Su một số bước đơn giản t tìm được L {Φ (x)} = s s 2 + = L {cos x sinx} từ đây t có thể kết luận Φ (x) = cos x sinx là nghiệm duy nhất củ phương trình. Mặt khác tích phân e x t Φ (t) dt = cos x 3 },

18 không có nghiệm liên tục trên một đoạn có dạng [, b] với b bất kì, từ cos x. Tuy nhiên t vẫn có thể sử dụng biến đổi Lplce cho phương trình này, t được L {Φ (x)} = s s 2 + s 2 + = L {δ (x) cos x sinx} từ đây t kết luận Φ (x) = δ (x) cos x sinx là một nghiệm củ phương trình, trong đó δ (x) là hàm δ-dirc 4

19 Chương 3 Nghiệm tường minh củ một số phương trình tích phân dạng Volterr Chương này trình bày về nghiệm tường minh củ một số phương trình tích phân dạng Volterr là phương trình tích phân Abel, phương trình Volterr với các nhân đ thức hy phân thức hữu tỷ, phương trình Volterr với nhân căn thức hy lũy thừ phân, v.v.. Nội dung củ chương này được hình chủ yếu từ các tài liệu [??], [??]. 3. Phương trình tích phân Abel 3.. Phương trình tích phân Abel loại một Phương trình tích phân Abel loại một là phương trình có dạng trong đó < α <. f(x) = φ(t)dt, (3.) (x t) α Abel đã chứng minh rằng có thể tim được nghiệm củ phương trình này bằng cách sử dụng chuỗi vô hạn. Trong mục này sẽ trình bày hi phương pháp tìm nghiệm hình thức củ phương trình Abel, đó là phương pháp chuỗi lũy thừ và phương pháp sử dụng biến đổi Lplce. 5

20 3..2 Phương trình tích phân Abel loại hi Phương trình tích phân Abel loại hi có dạng φ(x) = f(x) + λ x t φ(t)dt. Giả sử φ(x) liên tục tại x =. Nếu t thy x bởi s, nhân với ds/ x s, và lấy tích phân theo s, t thu được x s φ(s)ds = + λ x s f(s)ds s x s s t φ(t)dtds. Tiếp theo, nếu t đổi thứ tự tích phân trong tích phân kép và su đó nhân với λ, t được λ φ(s)ds = λ x s x s f(s)ds + λ 2 π φ(t)dt. Su khi lấy phương trình cuối trừ đi phương trình Abel, t được trong đó t đặt φ(x) = g(x) + λ 2 π φ(t)dt. g(x) = f(x) + λ f(s)ds. x s Su khi đạo hàm, t thấy rằng φ(x) phải thỏ mãn phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất φ (x) λ 2 πφ(x) = g (x). Lấy tích phân phương trình vi phân này, t có e λ2 πx φ(x) φ() = Lấy tích phân từng phần cho vế phải, suy r e λ2 πt g (t)dt. e λ2 πx φ(x) φ() = e λ2 πx g(x) g() + λ 2 π Nhưng vì φ() = g(), cuối cùng t có φ(x) = g(x) + λ 2 π 6 e λ2 π(x t) g(t)dt. e λ2 πx g(t)dt.

21 3..3 Phương trình tích phân dạng Abel x [ b + (x t) λ ] y(t)dt = f(x), < λ <. Phương trình được viết lại dưới dạng: y(t)dt x (x t) λ = f(x) b y(t)dt. Giả sử vế phải củ phương trình đã biết, t giả phương trình giống phương trình Abel dạng tổng quát. Su một vài biến đổi t có được phương trình Abel loại thứ hi: trong đó y(x) + b sin(πλ) π F (x) = b sin(πλ) π y(t)dt = F (x) λ (x t) d dx y(t)dt (x t) λ Phương trình tích phân Abel với nhân tổng quát Bn đầu Abel xét phương trình (3.) với α = /2 khi nghiên cứu bài toán đẳng thời mà nghiệm phổ biến trong sách. Mặc dù phương trình (3.) đôi khi được coi như phương trình Abel tổng quát, thậm chi dạng tổng quát hơn củ nó tồn tại. Ví dụ, nếu B(x, t) bị chặn và liên tục trong tm giác T (, ) với B(x, x), thì phương trình f(x) = B(x, t) (x t) α φ(t)dt cũng được khảo sát. Nó được giải bằng cách biên đổi thành phương trình tích phân Volterr loại tương đương như su. Nếu t thy x bởi s, nhân với /(x s) ( α), và lấy tích phân kết quả thu được, su khi rút gọn t đạt được phương trình trong đó J(x, t) = t f α (x) = J(x, t)φ(t)dt, B(s, t) (x s) α (s t) α ds = 7 B(t + (x t)u, t) ( u) α u α du

22 và f α (x) = f(s)ds (x s) α là khả vi liên tục theo x. Nếu cần thiết, phương trình biến đổi có thể khả vi để thu được phương trình tích phân Volterr loại hi. Còn có một dạng tổng quát nữ. Nếu γ : [, ] R có đạo hàm dương và liên tục, thì phương trình tích phân kỳ dị có nghiệm f(x) = φ(x) = sin(απ) π ( d dx (γ(x) γ(t))α φ(t)dt ) γ (t) f(t)dt. (3.2) (γ(x) γ(t)) α 3.2 Phương trình Volterr với các nhân đ thức hy phân thức hữu tỷ 3.2. Đạo hàm theo thm số trong tích phân xác định Cho F (x, t) là một hàm biến phức liên tục trên hình vuông Q(, b). Nếu F (x, t) khả vi liên tục theo biến x thì d dx F (x, t)dt = F (x, x) Nhân đ thức bậc nhất. Trước hết xét phương trình Volterr đơn giản nhất F (x, t)dt (3.3) x y(t)dt = f(x), x. (3.4) Hàm f(x) phải thỏ mãn điều kiện f() =. Đạo hàm theo x hi vế đẳng thức trên đây t được công thức nghiệm củ phương trình (3.4): y(x) = f (x), f() =. 2. Xét phương trình (x t)y(t)dt = f(x), x. (3.5) 8

23 T có nghiệm củ phương trình (3.5) y(x) = f (x), f() = f () = Nhân đ thức bậc hi. (x t) 2 y(t)dt = f(x), f () = f () = f () = Nghiệm củ phương trình được cho bởi công thức: y (x) = 2 f (x) Nhân đ thức bậc b. (x t) 3 y(t)dt = f(x) với giả thiết f () = f () = f () = f () =. Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp bốn. Bằng cách lấy đạo hàm theo x bốn lần liên tiếp t được nghiệm củ phương trình là: y(x) = 6 f (4) (x) Nhân lũy thừ bậc co. (x t) n y(t)dt = f(x), n =, 2,... Giả thiết rằng vế phải củ phương trình thỏ mãn điều kiện Nghiệm củ phương trình: f() = f x() =... = f (n) x () =. y(x) = n! f x (n+) (x) 9

24 3.2.6 Nhân phân thức hữu tỷ. y(t) dt = f(x). x + t o. Cho f(x) = y(x) = N A n x n, nghiệm củ phương trình có dạng: n= N n= A n B n x n, B n = ( ) n [ ln 2 + ] n ( ) k. k 2 o. Cho f(x) = x λ N A n x n, trong đó λ là một số rbitrry (λ > ), n= nghiệm củ phương trình có dạng: y(x) = x λ N n= A n x n, B n = B n k= t λ+n dt + t ( N 3 o. Cho f(x) = ln x A n x ), n nghiệm củ phương trình có dạng: B n = ( ) n [ln o. Cho f(x) = n= y(x) = lnx N n= n ( ) k k= k A n x n + B n ] N n= A n I n Bn 2 x n, I n = ( ) n [ π ] n ( ) k k= N A n (ln x) n, nghiệm củ phương trình có dạng: n= y(x) = N A n Y n (x) n= trong đó các hàm Y n = Y n (x) được cho bởi 5 o. Cho f(x) = trình có dạng: Y n (x) = { d n dλ n [ x λ I(λ) ]} N A n cos (λ n ln x) + n= y(x) =, I(λ) = λ= z λ dz + z k 2 N B n cos (λ n ln x), nghiệm củ phương n= N C n cos (λ n ln x) + n= 2 N D n cos (λ n ln x) n=

25 trong đó các hằng số C n và D n được tìm bằng phương pháp hệ số bất định. 6 o. Cho rbitry f(x), biến đổi x = 2 e2z, t = 2 e2τ, y(t) = e τ w(τ), f(x) = e z g(z) đư tới một phương trình tích phân z w(τ)dτ cosh(z τ) = g(z) 3.3 Phương trình Volterr với nhân căn thức hy lũy thừ phân 3.3. Nhân căn thức. x ty(t)dt = f(x). Lấy đạo hàm hi vế theo biến x, t được phương trình Abel y(t)dt x t = 2f (x) Nghiệm củ phương trình:y(x) = 2 π d2 dx 2 x f (t)dt x t Nhân lũy thừ phân x. (x t) λ y(t)dt = f(x), f() =, < λ <. Giả sử f(x) là hàm khả vi liên tục. Đạo hàm hi vế củ phương trình đã cho thep x, t được phương trình tích phân Abel: y(t)dt (x t) λ = λ f x(x). Nghiệm củ phương trình trên đây được cho bởi công thức : y(x) = sin(πλ) πλ d 2 dx 2 f(t)dt (x t) λ, k = sin(πλ) πλ. 2