TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN-TIN BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỪA LÀM VỪA HỌC ĐỒNG THÁP

Bản ghi

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN-TIN BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỪA LÀM VỪA HỌC ĐỒNG THÁP - 24

2 MỤC LỤC Lời nói đầu 3 Đạo hàm 4. Tính đạo hàm bằng định nghĩa Tính đạo hàm bằng quy tắc Tính giới hạn bằng cách ứng dụng đạo hàm Ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát tính chất của hàm số Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số bởi đa thức Nguyên hàm và tích phân 2 2. Tính nguyên hàm bằng định nghĩa Tính nguyên hàm bằng quy tắc Tính tích phân xác định bằng định nghĩa Tính tích phân xác định bằng quy tắc Ứng dụng của tích phân Lí thuyết chuỗi 8 3. Tính tổng của chuỗi bằng định nghĩa Xét sự hội tụ của chuỗi số Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Xét tính chất của tổng của chuỗi hàm Đề thi 29 Tài liệu tham khảo 4

3 CHƯƠNG ĐẠO HÀM Trong chương này, chúng ta ôn tập lại một số dạng bài tập liên quan đến đạo hàm.. Tính đạo hàm bằng định nghĩa.. Định nghĩa (Đạo hàm). () Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên (a,b). f (x) f (x Với x (a,b), giá trị f ) (x ) = lim được gọi là đạo hàm của f (x) x x x x tại x. Nếu f (x) có đạo hàm tại mọi x (a,b) thì f (x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b). (2) Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên [x,b). Khi đó giá trị f (x + ) = lim x x + f (x) f (x ) x x được gọi là đạo hàm bên phải của f (x) tại x. (3) Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên (a,x ]. Khi đó giá trị f (x ) = lim x x f (x) f (x ) x x được gọi là đạo hàm bên trái của f (x) tại x...2 Định nghĩa (Đạo hàm cấp cao). Các khái niệm đạo hàm như trong định nghĩa trên còn được gọi là đạo hàm cấp. Khi đó, bằng quy nạp, ta gọi đạo hàm cấp của đạo hàm cấp n là đạo hàm cấp n, nghĩa là f (n) (x) = ( f (n ) ) (x)...3 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x 2 tại x =. 4

4 5 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH Giải. f () = lim x x 2 x = lim x (x + ) = 2. Vậy f () = Mệnh đề. Giả sử y = f (x) xác định trên (a,b) và x (a,b). Khi đó f (x) có đạo hàm tại x khi và chỉ khi f (x) có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tại x đồng thời hai đạo hàm này bằng nhau...5 Ví dụ. Cho hàm số f (x) = Tìm đạo hàm của f (x) tại x =. { x 2 nếu x x 2 nếu x <. Giải. Ta có f ( + ) = lim x + x 2 x = lim x + x =. x 2 f ( ) = lim x x = lim =. x ( x) Vậy f ( + ) = f ( ) =. Do đó f () =...6 Ví dụ. Tính đạo hàm f () của hàm số f (x) = x 2 sin nếu x x nếu x =...7 Ví dụ. Tính đạo hàm f () của hàm số { x nếu x f (x) = x 2 + 2x nếu x >...8 Ví dụ. Chứng tỏ hàm số f (x) = x 2 3 không có đạo hàm tại x =...9 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = x + 3 tại x =..2 Tính đạo hàm bằng quy tắc.2. Mệnh đề (Phép toán số học của đạo hàm). Giả sử f (x),g(x) có đạo hàm tại x. Khi đó f (x) ± g(x), f (x)g(x), f (x) g(x) với g(x) cũng có đạo hàm tại x và

5 6 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH. ( f ± g) (x ) = f (x ) ± g (x ). 2. ( f g) (x ) = f (x )g(x ) + f (x )g (x ). 3. ( f ) (x ) = f (x )g(x ) f (x )g (x ) g g 2. (x ) Thông thường, chúng ta ít khi tính đạo hàm bằng định nghĩa mà thường tính bằng các quy tắc. Ba mệnh đề tiếp theo đóng vai trò rất lớn trong việc tính đạo hàm..2.2 Mệnh đề (Đạo hàm của hàm hợp). Giả sử u(x) có đạo hàm tại x và f (u) có đạo hàm tại u = u(x ). Khi đó hàm số hợp f u có đạo hàm tại x và ( f u) (x ) = f (u )u (x ), viết gọn là f x = f uu x..2.3 Mệnh đề (Đạo hàm của hàm ngược). Giả sử y = f (x) đơn điệu trên (a,b) và f (x ). Khi đó hàm ngược x = ϕ (y) của y = f (x) có đạo hàm tại y = f (x ) và ϕ (y ) = f (x )..2.4 Mệnh đề (Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản).. Hàm hằng có đạo hàm trên R và c =. 2. Hàm luỹ thừa có đạo hàm trên (,+) và (x α ) = αx α. 3. Hàm số mũ có đạo hàm trên R và (a x ) = a x lna,(e x ) = e x. 4. Hàm số lôgarit có đạo hàm trên (,+) và (log a x) = xlna,(lnx) = x. 5. Hàm số lượng giác có đạo hàm trên miền xác định của nó và (sinx) = cosx,(cosx) = sinx,(tgx) = cos 2 x,(cotgx) = sin 2 x. 6. Hàm số lượng giác ngược arcsinx có đạo hàm trên (,) và (arcsinx) = x 2.

6 7 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH Hàm số lượng giác ngược arccosx có đạo hàm trên (,) và (arccosx) = x 2. Hàm số lượng giác ngược arctgx có đạo hàm trên R và (arctgx) = + x 2. Hàm số lượng giác ngược arccotgx có đạo hàm trên R và (arccotgx) = + x Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f (x) = x 2 sin nếu x x nếu x =..2.6 Nhận xét.. Hàm số sơ cấp có đạo hàm (và liên tục) trên tập xác định của nó. 2. Nếu hàm số f (x) được xác định trên D bởi công thức sơ cấp A(x) và A(x) có đạo hàm (liên tục) tại điểm x (a,b) D thì f (x) có đạo hàm (liên tục) tại x..2.7 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số { x nếu x f (x) = x 2 + 2x nếu x >..2.8 Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = x Ví dụ. Cho hàm số f (x) = { xe x 2 nếu x nếu x =.. Tính đạo hàm cấp của hàm số.

7 8 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH 2. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số..2. Ví dụ. Xét tính liên tục của đạo hàm của hàm số f (x) = xsin nếu x x nếu x =..2. Ví dụ. Xét tính liên tục của đạo hàm của hàm số f (x) = x 2 sin nếu x x nếu x =..2.2 Ví dụ. Tính đạo hàm f (6) (x) của hàm số f (x) = sinx..2.3 Ví dụ. Tính đạo hàm f (n) (x) của hàm số f (x) = x 2 3x Ví dụ. Tính đạo hàm f () (x) của hàm số f (x) = x 2 sinx..2.5 Ví dụ. Tính đạo hàm f (n) (x) của hàm số f (x) = x x..3 Tính giới hạn bằng cách ứng dụng đạo hàm f (x).3. Mệnh đề (Quy tắc L hopistal). Nếu giới hạn lim x x gx có dạng hoặc và f (x) f (x) lim x x g = l thì lim (x) x x gx = l. Chúng ta có thể thay x x bởi x, x x +, x x..3.2 Ví dụ. Tính các giới hạn sau: sinx. lim x x. ln(x + ) 2. lim. x x a x 3. lim. x x

8 9 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH.3.3 Ví dụ. Tính các giới hạn sau: (. lim x sin 2 x ). x 2 2. lim x x. x.3.4 Ví dụ. Tính các giới hạn sau:. lim x tanx x x sinx. lnx 2. lim x + x. ( arcsinx) 3. lim x x x 2..4 Ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát tính chất của hàm số.4. Mệnh đề (Fermat). Nếu f (x) đạt cực trị tại x và tồn tại đạo hàm f (x ) thì f (x ) =..4.2 Mệnh đề (Rolle). Nếu f (x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f (a) = f (b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f (c) =..4.3 Mệnh đề (Lagrange). Nếu f (x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f (c) = f (b) f (a). b a.4.4 Mệnh đề (Cauchy). Nếu f (x),g(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và g (x) trên (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho f (c) g (c) = f (b) f (a) g(b) g(a)..4.5 Mệnh đề.. Nếu f (x) > trên (a,b) thì f (x) đồng biến trên (a,b). 2. Nếu f (x) < trên (a,b) thì f (x) nghịch biến trên (a,b).

9 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH.4.6 Ví dụ. Chứng tỏ phương trình x 3 3x + c = không thể có 2 nghiệm phân biệt trong (,)..4.7 Ví dụ. Chứng tỏ đa thức f (x) = x n + px + q không thể có 2 nghiệm thực nếu n chẵn và không thể có hơn 3 nghiệm thực nếu n lẻ..4.8 Ví dụ. Chứng minh các bất đẳng thức sau:. e x + x với mọi x R. 2. x x2 2 < ln( + x) < x với mọi x >. 3. x x3 3 < sinx < x với mọi < x < π 2..5 Ứng dụng đạo hàm xấp xỉ hàm số bởi đa thức.5. Mệnh đề (Công thức Taylor). Giả sử f (x) là một hàm liên tục trên [a,b] và có đạo hàm đến cấp n + trên (a,b), x (a,b). Khi đó với mọi x [a,b] ta có f (x) = n k= f (k) (x ) (x x ) k + R n (x) k! trong đó R n (x) = f (n+) (c) (n + )! (x x ) n+ được gọi là phần dư, với c là một số nằm giữa x và x, là một vô cùng bé so với (x x ) n khi x x. Nếu x = thì ta có công thức Mac Laurin: f (x) = trong đó R n (x) = f (n+) (c) (n + )! xn+. n k= f (k) () x k + R n (x) k!.5.2 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin các hàm số sau:. f (x) = + x.

10 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH 2. f (x) = + x. 3. f (x) = + x..5.3 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin các hàm số sau.. f (x) = e x. 2. f (x) = sinx. 3. f (x) = cosx. 4. f (x) = ( + x) α. 5. x = ln( + x). 6. f (x) = arctanx..5.4 Ví dụ. Tính gần đúng các giá trị sau: arctan,5. ln( + x).5.5 Ví dụ. Viết công thức Mac Laurin cho y = đến số hạng x 4. + x.5.6 Ví dụ. Khai triển Mac Laurin cho hàm f (x) = ln(cosx) đến cấp 5. Từ đó hãy tính (5) ()..5.7 Ví dụ. Viết công thức Taylor cho y = (x 3 x + ) 3 đến số hạng bậc 2 của (x )..5.8 Ví dụ. Viết công thức Taylor cho f (x) = 3 x đến số hạng bậc 3 của (x ).

11 CHƯƠNG 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 2. Tính nguyên hàm bằng định nghĩa 2.. Định nghĩa (Nguyên hàm). Hàm F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm f (x) trên X nếu F (x) = f (x) với mọi x X Ví dụ. Hàm F(x) = x 2 là một nguyên hàm của f (x) = 2x trên R vì (x 2 ) = 2x với mọi x R Mệnh đề. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f (x) thì mọi nguyên hàm của f (x) đều có dạng F(x) +C với C là hằng số Định nghĩa (Tích phân bất định). Họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên (a,b) được gọi là tích phân bất định của f (x), kí hiệu là f (x)dx Ví dụ. Tích phân bất định của f (x) = 2x trên R là 2xdx = x 2 +C. 2.2 Tính nguyên hàm bằng quy tắc Tiếp theo chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của nguyên hàm. ( ) ( ) 2.2. Mệnh đề.. f (x)dx = f (x); d f (x)dx = f (x)dx df(x) = F(x) +C. ( f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx. 2

12 4. Với α, α f (x)dx = α 3 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH f (x)dx Mệnh đề (Công thức đổi biến số). Nếu u = u(x) là một hàm khả vi thì f [u(x)]u (x)dx = f (u)du Mệnh đề (Công thức nguyên hàm từng phần). Nếu u,v là những hàm khả vi thì udv = uv vdu. Tiếp theo là bảng nguyên hàm của một số thường gặp Mệnh đề.. αdx = αx +C. 7. sinxdx = cosx +C. 2. dx = ln x +C. x 3. Với p, a x dx = ax lna +C. e x dx = e x +C. cosxdx = sinx +C. x p dx = xp+ p + +C dx cos 2 = tgx +C. x dx sin 2 = cotgx +C. x dx = arcsinx +C. x 2 dx = arctgx +C. + x 2 xdx Ví dụ. Tính I = x 4 + 2x Ví dụ. Tính I = a 2 x 2 dx Ví dụ. Tính I = xsinxdx Ví dụ. Tính I = ln xdx Ví dụ. Tính I = e x sinxdx Ví dụ. Tính I = dx (x + )(x 2 + ).

13 4 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH 2.3 Tính tích phân xác định bằng định nghĩa 2.3. Định nghĩa (Tích phân xác định). Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a,b]. Xét phân hoạch P gồm các điểm chia x ) = a < x <... < x n = b. Với mỗi i =,...,n, chọn điểm tuỳ ý c i [x i,x i ], lập tổng σ P = n f (c i )(x i x i ) và đặt i= P = max{x i x i : i =,...,n}. Khi đó, giới hạn lim σ P, nếu tồn tại, được gọi P là tích phân xác định của f (x) trên [a,b], kí hiệu là b Khi a = b, ta định nghĩa Khia a > b, ta định nghĩa Nếu tồn tại tích phân a f (x)dx = lim b a a a b a n P i= f (x)dx =. b a f (c i )(x i x i ). a f (x)dx = f (x)dx. b f (x)dx. Như vậy f (x)dx thì hàm f (x) được gọi là khả tích trên [a,b] Mệnh đề (Điều kiện cần để hàm khả tích). Nếu hàm f (x) khả tích trên [a,b] thì f (x) bị chặn trên [a,b] Mệnh đề (Điều kiện đủ để hàm khả tích). Nếu hàm f (x) liên tục trên [a,b] thì f (x) khả tích trên [a,b] Ví dụ. Tính I = b a cdx. 2.4 Tính tích phân xác định bằng quy tắc 2.4. Mệnh đề. Giả sử f (x),g(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn K nào đó và a,b,c K.. 2. b a c a (α f (x) + βg(x))dx = α f (x)dx = b a b a f (x) + β c f (x)dx + f (x)dx. b b a g(x)dx.

14 5 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH 3. Nếu f (x) g(x) với mọi x [a,b] thì b a f (x)dx b a g(x)dx Mệnh đề. Nếu f (t) liên tục trên [a,b] và x [a,b] thì F(x) = một nguyên hàm của f (x) trên [a,b]. x a f (t)dt là Mệnh đề (Newton-Leibnitz). Nếu f (x) liên tục và F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên [a,b] thì b a f (x)dx = F(b) F(a) Mệnh đề (Công thức đổi biến số). Giả sử f (x) liên tục trên [a,b] và x = ϕ(t) là một hàm thoả mãn ϕ(t) khả vi liên tục trên [α,β], ϕ(t) [a,b] với mọi t [α,β] và ϕ(β) = a, ϕ(β) = b. Khi đó b Ví dụ. Tính tích phân Ví dụ. Tính tích phân Ví dụ. Tính tích phân Ví dụ. Tính tích phân Ví dụ. Tính tích phân 2.4. Ví dụ. Tính tích phân 2.4. Ví dụ. Tính tích phân Ví dụ. Tính tích phân. m =. 2. m < Ví dụ. Tính tích phân a f (x)dx = 2 e e 2 e π 2 β α x 2 x dx. x 2 + ln xdx. x + 3lnxlnx dx. x x + x dx. x 2 ln 2 xdx. x 3 + ln xdx. x x 3 xdx. f (ϕ(t))ϕ (t)dt. x 2 2x + m dx với cos 4 2xdx.

15 6 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH Ví dụ. Tính tích phân Ví dụ. Tính tích phân π 2 x (2x + ) 3dx. sinx cos 2 x + 3 dx. 2.5 Ứng dụng của tích phân Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong lí thuyết cũng như thực tế. Trong mục này chúng tôi chỉ đề cập đến ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích Mệnh đề (Diện tích của hình phẳng). Giả sử f (x),g(x) liên tục trên [a,b]. Khi đó diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của f (x), g(x) trên [a,b] và hai đường thẳng x = a, x = b là S = b a f (x) g(x) dx Mệnh đề (Thể tích của vật thể tròn xoay quanh Ox). Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f (x) trên [a,b], trục Ox và hai đường thẳng x = a,x = b quanh trục Ox là b V = π f 2 (x)dx. a Mệnh đề (Thể tích của vật thể tròn xoay quanh Oy). Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục x = g(y) trên [c,d], trục Oy và hai đường thẳng y = c,y = d quanh trục Oy là d V = π g 2 (y)dy. c Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x 2 4x+3 và y = x Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường xy =, xy = 2, y = x, y = 3x với x,y > Ví dụ. Trên mặt phẳng Oxy cho D là miền giới hạn bởi parabol y = x 2 và đường thẳng y = x.

16 7 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH. Tính diện tích của miền D. 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay nhận được khi quay miền D quanh trục Ox. 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay nhận được khi quay miền D quanh trục Oy Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = 2 x 2, y 3 = x Ví dụ. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x, x = 3, y = quanh trục Ox Ví dụ. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin 2 x, x = 3, y = 4 quanh. trục Ox. 2. đường thẳng x = Ví dụ. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng được xác định bởi x 2 2x y 3, x 3 quanh trục Oy.

17 CHƯƠNG 3 LÍ THUYẾT CHUỖI 3. Tính tổng của chuỗi bằng định nghĩa Dạng bài tập này đòi hỏi người học phải nắm vững khái niệm tổng của chuỗi. 3.. Định nghĩa (Chuỗi số). Giả sử {u n } n là một dãy số. Khi đó tổng hình thức u + u u n +... hay u n được gọi là một chuỗi số. n= Với mọi n N, u n được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi còn giá trị S n = n u i = u u n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. i= Nếu tồn tại lims n = S R thì chuỗi u n được gọi là hội tụ và ta viết n= u n = S. n= Giá trị S được gọi là tổng của chuỗi. Chuỗi không hội tụ được gọi là phân kì. Chuỗi i=n+ u i được gọi là phần dư thứ n của chuỗi Ví dụ (Chuỗi cấp số nhân). Với q R, chuỗi nhân. Tổng riêng thứ n của chuỗi cấp số nhân n nếu q =, S n = q q n = q qn q nếu q. q n được gọi là chuỗi cấp số n= Chuỗi hội tụ nếu q <, phân kì nếu q. Hơn nữa, nếu nếu q < thì 8 q n = n=

18 9 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH q q và nếu q thì q n = +. n= 3..3 Định nghĩa. Giả sử {u n (x)} n là một dãy hàm xác định trên X. (a) u (x) + u 2 (x) u n (x) +... hay xác định trên X, ở đây, với mỗi x X, n= u n (x) được gọi là một chuỗi hàm u n (x) là một chuỗi số. n= (b) Nếu tại x X, chuỗi số u n (x ) hội tụ thì chuỗi hàm u n (x) được gọi n= n= là hội tụ tại x ; ngược lại, chuỗi hàm u n (x) được gọi là phân kì tại x. n= (c) Với mỗi n N, hàm S n (x) = n u n (x) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi i= hàm u n (x). Với mỗi x X, giới hạn hữu hạn của dãy tổng riêng {S n (x)} n (nếu n= có) được gọi là tổng của chuỗi hàm u n (x) và ta viết n= u n (x) = lims n (x). n= (d) Nếu dãy hàm {S n (x)} n hội tụ đều trên X thì chuỗi hàm u n (x) được gọi là n= hội tụ đều trên X. (e) Chuỗi hàm u n (x) được gọi là hội tụ tuyệt đối trên X nếu chuỗi u n (x) n= n= hội tụ trên X Ví dụ. Xét dãy hàm {x n } n với x R. Khi đó ta có chuỗi hàm x n. n= x x. Tổng riêng thứ n: S n (x) = n x n = x xn i= x. Nếu x < thì lims n (x) = x x, do đó chuỗi hàm x n hội tụ và x n = n= n= Nếu x thì không tồn tại giới hạn hữu hạn lims n (x), do đó chuỗi hàm phân kì Ví dụ. Tính tổng của chuỗi số ( n n + + n). n= x n n=

19 2 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH 3.2 Xét sự hội tụ của chuỗi số Để xét sự hội tụ của chuỗi số chúng ta có thể sử dụng hai cách. Cách : Tính tổng của chuỗi số, nếu tổng là một số thực thì kết luận chuỗi số hội tụ. Cách này trở về bài toán tính tổng của chuỗi số. Cách 2: Xét chuỗi số đã cho thuộc loại nào (chuỗi dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kì,... ) rồi sử dụng những dấu hiệu phù hợp Mệnh đề. Chuỗi n= u n hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε >, tồn tại n sao cho với mọi n n, với mọi p N ta có u n u n+p < ε Hệ quả (Điều kiện cần của chuỗi hội tụ). Nếu chuỗi. Một cách tương đương, nếu limu n thì chuỗi u n hội tụ thì limu n = n= u n phân kì. n= Ví dụ. Xét chuỗi cấp số nhân, với q ta có limq n, suy ra chuỗi phân kì Mệnh đề (Tính chất số học của chuỗi). Giả sử u n, v n là hai chuỗi hội n= n= tụ. Khi đó, với a,b R, chuỗi (au n + bv n ) là một chuỗi hội tụ và n= n= (au n + bv n ) = a n= u n + b Định nghĩa (Chuỗi số dương). Chuỗi số u n được gọi là chuỗi số dương n= nếu u n với mọi n N Ví dụ. Chuỗi 2 n là một chuỗi số dương. n= n= Mệnh đề. Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn trên (bị chặn) Ví dụ. Chứng minh rằng chuỗi số n= Giải. Tổng riêng thứ n của chuỗi đã cho là S n = hội tụ. n2 v n. n i= i 2 < n(n + ) = 2 n + < 2. Vậy chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ.

20 2 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH Mệnh đề (Dấu hiệu so sánh). Giả sử đó n= a n, b n là hai chuỗi số dương. Khi n= () Nếu tồn tại c > và n sao cho a n cb n với mọi n n thì chuỗi kéo theo chuỗi n= a n hội tụ, chuỗi n= a n phân kì kéo theo chuỗi Đặc biệt với c = ta có a n cb n trở thành a n b n. (2) Nếu lim a n b n = k [,+) thì chuỗi (3) Nếu lim a n b n = k (,+] thì chuỗi (4) Nếu lim a n = k (,+) thì chuỗi b n kì Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi b n hội tụ kéo theo chuỗi n= b n phân kì kéo theo chuỗi n= b n và chuỗi n= ntg π n= 2 n+. n= b n hội tụ b n phân kì. n= a n hội tụ. n= a n phân kì. n= a n cùng hội tụ hoặc phân n= Giải. Với x [, π ], ta có tgx 2x. Do đó với mọi n N ta có 4 chuỗi Ta có lim ntg π 2π n 2n+ 2 n+ = π n 2 n. n 2 n n 3 = lim 2 n = và chuỗi n 2 n= π n hội tụ, suy ra chuỗi đã cho hội tụ. n= 2n 3.2. Mệnh đề (Dấu hiệu Cauchy). Giả sử lim n a n = C. Khi đó () Nếu C < thì chuỗi hội tụ. (2) Nếu C > thì chuỗi phân kì. n 2 hội tụ nên chuỗi n= n= (3) Nếu C = thì chưa có kết luận về sự hội tụ của chuỗi. n hội tụ. Vậy 2n a n là chuỗi số dương và tồn tại

21 22 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH (2n ) n Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi n= 3n 2 (2n Giải. Vì lim n ) n 2 = < nên chuỗi đã cho hội tụ. 3n Mệnh đề (Dấu hiệu D lambert). Giả sử a n là chuỗi số dương và tồn tại n= lim a n+ a n = D. Khi đó () Nếu D < thì chuỗi hội tụ. (2) Nếu D > thì chuỗi phân kì. (3) Nếu D = thì chưa có kết luận về sự hội tụ của chuỗi Mệnh đề (Dấu hiệu tích phân). Giả sử f (x) là một hàm dương và giảm trên [,+). Khi đó chuỗi + + f (n) và tích phân suy rộng f (x)dx cùng hội tụ hoặc phân kì. n= Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số + n= nlnn. Giải. Xét f (x) = trên [,+), ta có f (x) dương, giảm và xlnx + Vậy chuỗi đã cho phân kì Định nghĩa (Chuỗi đan dấu). Chuỗi Ví dụ. Chuỗi f (x)dx = lim b + ln(lnx) b = +. ( ) n là chuỗi đan dấu. n= ( ) n u n được gọi là chuỗi đan dấu. n= Mệnh đề (Dấu hiệu Leibnitz). Giả sử ( ) n a n là chuỗi đan dấu và {a n } n là dãy số dương giảm về. Khi đó chuỗi Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi n= ( ) n a n hội tụ. n= ( ) n n= n.

22 23 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH Giải. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu và { n } n là dãy số dương giảm về. Vậy chuỗi đã cho là chuỗi hội tụ Định nghĩa (Chuỗi hội tụ tuyệt đối). Chuỗi đối nếu chuỗi a n hội tụ. n= Mệnh đề. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là một chuỗi hội tụ Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi cosn n= n 2. Giải. Ta có cosn n 2 n 2 với mọi n N. Kết hợp với chuỗi chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối. Vậy chuỗi đã cho hội tụ. a n được gọi là hội tụ tuyệt n= Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a n với a n như sau. n=. a n = 2n 2 n 2 + n a n = (n!)2 (2n)!. n= 5. a n = hội tụ nên ta có n2 n n n a n = 2n n! n n. 4. a n = ln( + tg n 2). 6. a n = (n + ) 2. n 2 n Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau.. 2. n= n= nln( + n). ( ) n 3 n + ( ) n n= n= nlnn. lnn! e n n n= n n. ( + ) n 2 e n. n= n 3.3 Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Để tìm miền hội tụ của chuỗi hàm chúng ta có thể sử dụng hai cách. Cách : Tính tổng của chuỗi hàm, nếu trên miền X tổng là một hàm số thì kết luận chuỗi hàm hội tụ trên X. Cách này trở về bài toán tính tổng của chuỗi hàm. Cách 2: Xét chuỗi hàm đã cho thuộc loại nào (chuỗi luỹ thừa,... ) rồi sử dụng những dấu hiệu phù hợp.

23 24 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH Trong trường hợp chuỗi luỹ thừa thì tìm bán kính hội tụ R rồi xét thêm sự hội tụ của chuỗi tại ±R Mệnh đề (Weierstrass). Nếu u n (x) c n với mọi n N, x X và chuỗi số c n hội tụ thì chuỗi hàm u n (x) hội tụ tuyệt đối và đều trên X. n= n= Ví dụ. Chứng minh rằng chuỗi hàm sinnx n= n 3 hội tụ tuyệt đối và đều trên R. Giải. Ta có sinnx n 3 n 3 với mọi x R và n N. Vì chuỗi số chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều Định nghĩa. Chuỗi luỹ thừa là chuỗi hàm có dạng a n (x x ) n, n= với a n là hằng số với mọi n =,,2,..., x là hằng số và x X. Khi x = thì chuỗi luỹ thừa có dạng a n x n. n= Khi x, nếu đặt X = x x thì chuỗi luỹ thừa a n X n. n= n= hội tụ nên n3 a n (x x ) n trở thành n= Chúng ta có thể thay n = trong a n x n bởi n = n với n nào đó thuộc Z. n= Mệnh đề (Abel). Nếu chuỗi lũy thừa a n x n hội tụ tại x thì nó hội tụ n= tuyệt đối tại x mà x < x Định nghĩa. Giá trị R = sup{ x : tụ của chuỗi lũy thừa a n x n. n= a n x n hội tụ } được gọi là bán kính hội n= Nhận xét. Giả sử R là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa a n x n. Khi đó n=. R là giá trị thoả mãn chuỗi lũy thừa với mọi x > R. n= 2. Nếu R = thì chuỗi hội tụ tại duy nhất x =. a n x n hội tụ với mọi x < R và phân kì

24 25 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH 3. Nếu R = + thì chuỗi hội tụ tại mọi x R. Như vậy để tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa chúng ta có thể đi tìm bán kính hội tụ của nó Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa a n x n thoả mãn lim a n+ n= a n lim n a n = r. Khi đó bán kính hội tụ nếu r, r R = nếu r = +, + nếu r =. = r hoặc Bài toán xét sự hội tụ của chuỗi hàm có nghĩa là tìm miền hội tụ của chuỗi hàm đó. Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa chúng ta đi tìm bán kính hội tụ R và xét sự hội tụ tại hai giá trị cụ thể x = ±R nếu R (,+) Ví dụ. Xét sự hội tụ của các chuỗi luỹ thừa. 2. x n n= n!. n n x n. n= (x + 2) n n= n3 n. x n n= n. Giải. (). Ta có a n+ = khi n. Do đó bán kính hội tụ của chuỗi a n n + đã cho là R = +. Vậy chuỗi hội tụ trên R. (2). Ta có lim n a n = limn = + nên R =. Vậy chuỗi lũy thừa hội tụ tại điểm duy nhất x =. (3). Đặt X = x + 2 ta có chuỗi n= bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa n= Tại X = 3, ta có chuỗi Tại X = 3 ta có chuỗi phân kì. n= n X n n3 n. Vì lim a n+ a n X n ( ) n hội tụ. n= n là R = 3. n3n = lim n 3(n + ) = 3. Vậy

25 26 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH Vậy miền hội tụ là X [ 3,3) hay x [ 5,) Ví dụ. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau n= n= n= x n với p R. np (n!) 2 (2n!) 2xn. 2n + ( x) n. + x x n n= n 2. ( + ) n 2 x n. n= n n= 3 n + ( 2) n (x + ) n. n 3.4 Xét tính chất của tổng của chuỗi hàm Khi u n (x) hội tụ trên X, ta có hàm một biến số u(x) = u n (x) xác định n= n= trên X. Vấn đề đặt ra là nghiên cứu tính liên tục, khả vi và khả tích của u(x) trên X. Cách. Tính tổng u(x) cụ thể của chuỗi hàm u n (x) đã cho và xét trực tiếp n= tính chất của u(x). Cách này dẫn đến bài toán tính tổng của chuỗi hàm. Cách 2. Sử dụng dấu hiệu tương ứng với tính chất cần xét Mệnh đề (Tính liên tục của tổng chuỗi hàm). Giả sử u n (x) liên tục trên X với mọi n N, u n (x) hội tụ đều và u n (x) = u(x) trên X. Khi đó u(x) liên tục n n= trên X Mệnh đề (Tính khả tích của tổng chuỗi hàm). Giả sử u n (x) liên tục trên [a,b] với mọi n N, u n (x) hội tụ đều và u n (x) = u(x) trên [a,b]. Khi đó u(x) khả n n= tích trên [a,b] và b b b u n (x)dx = u n (x)dx = u(x)dx. n= a a n a Mệnh đề (Tính khả vi của tổng chuỗi hàm). Giả sử u n(x) liên tục trên [a,b] với mọi n N, chuỗi u n (x) hội tụ, u n(x) hội tụ đều và u n (x) = u(x) trên n= n= n= [a,b]. Khi đó u(x) khả vi trên [a,b] và ( u n (x)) = u (x) = n= u n(x). n=

26 27 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH Những tính chất này được cụ thể vào chuỗi lũy thừa như sau Mệnh đề. Nếu chuỗi lũy thừa a n x n có bán kính hội tụ R thì chuỗi hội tụ n= tuyệt đối và đều trên [ r,r] với mọi < r < R Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa a n x n có bán kính hội tụ là R. Khi đó n=. Hàm u(x) = u n (x) liên tục trên ( R,R). n= 2. Với mọi x ( R,R) ta có x u(t)dt = 3. Với mọi x ( R,R) ta có u (x) = na n x n. n= Mệnh đề. Giả sử chuỗi lũy thừa u(x) = (,+). Khi đó x a n t n dt = n= n= n= a n n + xn+. a n x n có bán kính hội tụ R. Nếu chuỗi số a n R n hội tụ thì lim u(x) = a n R n. n= x R n= 2. Nếu chuỗi số a n ( R) n hội tụ thì lim u(x) = a n ( R) n. n= x R + n= Ví dụ. Chứng minh rằng chuỗi hàm sinnx n= n 3 liên tục trên R. Giải. Ta có sinnx n 3 n 3 với mọi x R và n N. Vì chuỗi số chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều. n= hội tụ nên n3 Mặt khác, u n (x) = sinnx n 3 liên tục trên R nên chuỗi hàm đã cho liên tục trên R Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm (x 2)n ( ) n. n= 3n Ví dụ. Tính tổng của chuỗi luỹ thừa n(n + )x n 2. n= 3.4. Ví dụ. Cho chuỗi hàm ( ) n n= 3n (2x )n.

27 28 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH (a) Tìm miền hội tụ của chuỗi đã cho. (b) Tính tổng của chuỗi đã cho trong miền hội tụ của nó Ví dụ. Tính tổng của chuỗi hàm n(n + )x n 2 trong miền hội tụ của nó. n= Ví dụ. Cho chuỗi hàm n= 2 n(x + 2)n. (a) Tìm miền hội tụ và hội tụ đều của chuỗi đã cho. (b) Tính tổng của chuỗi đã cho trong miền hội tụ Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm (2 n + 3 n )x n. n= Ví dụ. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm ( ) n n (x ) n. n= x +

28 CHƯƠNG 4 ĐỀ THI Trong chương này chúng tôi trình bày một số đề thi để các học viên tham khảo. TRƯỜNG ĐHSP ĐỒNG THÁP Đề thi tuyển sinh đại học lt năm 28 ĐỀ SỐ Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 8 phút Câu. (2 điểm). Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = x 28 sin nếu x, x nếu x =. 2. Tìm đạo hàm f (28) (x) của hàm số f (x) = 2x + 3 x 2 với x,x x + 2 Câu 2. (2 điểm). Chứng minh rằng e x x + với mọi x R. 2. Áp dụng công thức f (x) f (x ) + f (x ) x tính gần đúng. Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = π 2 sinxcosx sin 2 x + 2 dx. 2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi elip x2 a 2 + y2 = với a,b >. b2 Câu 4. (2 điểm) 29

29 3 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH. Tính tổng 2 n. n= 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Câu 5. (2 điểm). Chứng minh rằng n= x n n 2 +. x 28 e x2 dx e. 2. Khai triển Taylor hàm số f (x) = x 4 + tại x = Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm TRƯỜNG ĐHSP ĐỒNG THÁP Đề thi tuyển sinh đại học lt năm 28 ĐỀ SỐ 2 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 8 phút Câu. (2 điểm). Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = x Tìm đạo hàm f (28) (x) của hàm số f (x) = 2x + 4 x 2 với x,x x + 3 Câu 2. (2 điểm). Chứng minh rằng x sinx với mọi x. 2. Áp dụng công thức f (x) f (x ) + f (x ) x tính gần đúng 99. Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = π 2 sinx cosx + 2 dx. 2. Tính thể tích của của vật thể tròn xoay khi quay elip x2 a 2 + y2 = với a,b > b2 quanh trục Ox. Câu 4. (2 điểm)

30 3 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH. Tính tổng 3 n. n= 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Câu 5. (2 điểm). Chứng minh rằng n= x n n + 2. x 28 sinx 2 dx. 2. Khai triển Taylor hàm số f (x) = x 3 + tại x = 2. Đề thi tuyển sinh đại học liên thông năm 2 Môn thi: Giải tích Đề số Câu. (2 điểm). Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = x 2 cos nếu x, x nếu x =. 2. Tìm đạo hàm f (2) (x) của hàm số f (x) = Câu 2. (2 điểm) x 2 với x,x x + 2. Chứng minh rằng e x ex với mọi x. 2. Tính giới hạn lim x tgx x sinx x. Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = ln2 e x dx. 2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = x 2 và đường thẳng x + y = 2. Câu 4. (2 điểm). Xét sự hội tụ của chuỗi số 2n n= 2 n.

31 32 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Câu 5. (2 điểm) nguyên hàm. Chứng minh rằng n= x n n 2 +. x 2 cos πx dx Khai triển Taylor hàm số f (x) = x 4 + x 3 + x 2 + tại x =. Câu. (2 điểm) Đề thi tuyển sinh đại học liên thông năm 2 Môn thi: Giải tích Đề số 2. Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = { x 2 nếu x, x 2 nếu x <. 2. Tìm đạo hàm f (2) (x) của hàm số f (x) = lnx với x >. Câu 2. (2 điểm). Chứng minh rằng sinx x với mọi x. x 2 2. Tính giới hạn lim x + 2 x. Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = π 2 (x + 2)cosxdx. 2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol y = x 2 và y = 2 x 2. Câu 4. (2 điểm). Xét sự hội tụ của chuỗi số n= 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm n (2n)!. n= x n n2 n.

32 33 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH Câu 5. (2 điểm). Chứng minh rằng x 2 sinxdx. 2. Khai triển Taylor hàm số f (x) = x 4 x 3 + x 2 tại x =. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2 ĐỀ SỐ Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 8 phút, không kể thời gian phát đề Câu. (2 điểm). Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = 2xcos 2 nếu x, x nếu x =. 2. Tìm đạo hàm f (2) (x) của hàm số f (x) = x với x. + x Câu 2. (2 điểm). Chứng minh rằng lnx < x + với mọi x. 2 x 2. Tính giới hạn lim. x sinx Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = π 2 sinx cos 2 x + 3 dx. 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x, y = và x = 2 quay quanh trục Ox. Câu 4. (2 điểm). Xét sự hội tụ của chuỗi số 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Câu 5. (2 điểm) cos 2n n= n 2. n= x n n2 n.

33 . Chứng minh rằng x 2 e x2 dx e. 2. Biểu diễn hàm số f (x) = x 4 x 3 +x 2 dưới dạng tổng của các lũy thừa của (x 2). Câu. (2 điểm) ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 2 ĐỀ SỐ 2 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 8 phút, không kể thời gian phát đề. Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = { x 2 nếu x, x 2 nếu x <. 2. Tìm đạo hàm f (2) (x) của hàm số f (x) = lnx với x >. Câu 2. (2 điểm). Chứng minh rằng sinx x với mọi x. 2. Tính giới hạn lim x + Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = x 2 2 x. π 2 (x + 2)sinxdx. 2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y = x 2 và y = 8 x 2. Câu 4. (2 điểm). Xét sự hội tụ của chuỗi số 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Câu 5. (2 điểm). Chứng minh rằng sin 2n n= 2n 2. n= x n 2 n +. x 2 cosxdx.

34 2. Biểu diễn hàm số f (x) = x 4 + x 3 + x 2 dưới dạng tổng các lũy thừa của (x ). TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHLT NĂM 22 ĐỀ SỐ Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 5 phút, không kể thời gian phát đề Câu. (2 điểm). Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = x.cos 22 nếu x, x nếu x =. 2. Tìm đạo hàm f (22) (x) của hàm số f (x) = ln(x + 22) với x > 22. Câu 2. (2 điểm). Chứng minh rằng lnx x với mọi x >. 22x 2. Tính giới hạn lim x + 22 x. Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = π 2 cosx sinx + 3 dx. 2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x 2 và y 3x+ 2 =. Câu 4. (2 điểm). Xét sự hội tụ của chuỗi số n= 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Câu 5. (2 điểm). Chứng minh rằng sinn n 22. n= x n n x 22 sinx 22 dx.

35 36 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH 2. Biểu diễn hàm số f (x) = x 5 x 3 + dưới dạng tổng của các lũy thừa của (x ). Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐHLT NĂM 22 ĐỀ SỐ 2 Câu. (2 điểm). Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 5 phút, không kể thời gian phát đề { x 22 nếu x, x 22 nếu x <. 2. Tìm đạo hàm f (22) (x) của hàm số f (x) = lnx với x >. Câu 2. (2 điểm). Chứng minh rằng e x + x với mọi x R. 2. Tính giới hạn lim x + Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = x 2 22 x. π 2 (x + 22)cosxdx. 2. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y = x 2 và y 5x+ 6 =. Câu 4. (2 điểm). Xét sự hội tụ của chuỗi số 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Câu 5. (2 điểm). Chứng minh rằng cos(22n) n= 22n 3. n= x n 22 n + 3. x 22 cos(22x)dx.

36 2. Biểu diễn hàm số f (x) = x 5 + x 3 dưới dạng tổng các lũy thừa của (x ). Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 23 ĐỀ SỐ Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 5 phút, không kể thời gian phát đề Câu. (2 điểm) 24. Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = nếu x, x nếu x =. 2. Tìm đạo hàm f (24) (x) của hàm số f (x) = 2x + 5 x 2 với x,x x + 4 Câu 2. (2 điểm). Chứng minh rằng e x x + với mọi x R. 2. Tính giới hạn lim x + Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = ln(23 + x). 23x π 2 (x + 23).cosxdx. 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi y = x 2, x =, y = quanh trục Ox. Câu 4. (2 điểm). Xét sự hội tụ của chuỗi số n= 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Câu 5. (2 điểm) (3n ) n. 4n + 2 n= x n 23 n +.

37 2. Chứng minh rằng cos 2 x x 2 dx. 2. Áp dụng công thức f (x) f (x ) + f (x )(x x ) tính gần đúng 2. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm TRƯỜNG ĐH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LIÊN THÔNG NĂM 23 ĐỀ SỐ 2 Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 8 phút, không kể thời gian phát đề Câu. (2 điểm) 23. Tìm đạo hàm f (x) của hàm số f (x) = nếu x, x nếu x =. 2. Tìm đạo hàm f (23) (x) của hàm số f (x) = 2x + 5 x 2 với x,x x + 4 Câu 2. (2 điểm). Chứng minh rằng e x x + với mọi x R. 2. Tính giới hạn lim x + Câu 3. (2 điểm). Tính tích phân I = ln(23 + x). 23x π 2 (x + 23).cosxdx. 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi y = x 2, x =, y = quanh trục Ox. Câu 4. (2 điểm). Xét sự hội tụ của chuỗi số n= (3n ) n. 4n + 2

38 39 BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Câu 5. (2 điểm). Chứng minh rằng 2 n= cos 2 x x 2 dx. x n 23 n Áp dụng công thức f (x) f (x ) + f (x )(x x ) tính gần đúng 2. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [] Đậu Thế Cấp, Nguyễn Huỳnh Phán, Nguyễn Thái Sơn và Trần Đình Thanh Giải tích toán học, NXB Giáo dục, 27. [2] Nguyễn Dương Hoàng, Đề cương ôn tập giải tích đại học hóa toán, Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm Đồng Tháp, 26. 4