Á ÅØÓ ³ÙÐÖ ØÚØ ÑØÓ ³ÙÐÖº ÓÑÔØ ÖÒÙ ÇÒ ÙØÐ Ð ÑØÓ ³ÙÐÖ ÔÓÙÖ ÔÔÖÓÜÑÖ Ð ÓÙÖ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÐÐ Ü Øµ ØÐÐ ÕÙ f Ø Ò Ø ÖÚÐ ÙÖ R Ø { f (x) = f(x), x R f(0) = 1 ØØ ÑØÓ ÙØРгÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò ÙÚÒØ f(a + h) f(a) + hf (a) ÚÐÐ ÔÓÙÖ a Ø h ÙÜ ÖÐ h ÔØص Ö f Ø ÖÚÐ ÙÖ Rº ÖÔÕÙÑÒØ Ð ÖÚÒØ ÓÒÓÒÖ Ð ÓÙÖ Ð ÓÒØÓÒ Ú ØÒÒØ ÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ [a ; a + h]º ÓÙ ØÖÓ ÖÔÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ô h = 1 ÔÙ h = 1 4 Ø Ð ØÖÓ Ñ ÔÓÙÖ h = 1 5 ÔÙ h = 1 5 Ò ³ÓØÒÖ Ð ÓÙÖ ÔÓÙÖ ÒØÚ º ÔÐÙ ÐÙ¹ Ø Ò ÙÒ ÖÔÖ ÓÖØÓÒÓÖÑк ÌÓÙ Ð ÖÔÕÙ ØØ Ô ÓÑÔÓÖØÒØ Ù Ò ÔÓÒØÐÐ Ð ÓÙÖ ÐÑØ ÖÖ Ò Õ٠гÓÒ ÚÓØ ÑÙÜ Ð ÓÒÚÖÒ Ð ÑØÓº A A 0 A 1 ËÖ ÖÔÐÑÒØ j ÈËÖ ÖÔÐÑÒØ j ÈËÖ ÖÔÐÑÒØ j O ı O ı O ı ÈÓÙÖ ÔÔÖÓÜÑÖ f(x) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ x ÓÒ ÒÐÑÒØ ÔÓ h = x n Ó n N º ÄÓÖ ÕÙ n ØÒ ÚÖ Ð³ÒÒ Ð Ô h ØÒ ÚÖ ÞÖÓ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ n ÓÒ x n = x ÓÒ ÔÙØ ÓÒ ÔÖÖ ÕÙ y n = ( 1 + n) x n ÕÙ Ø Ð³ÓÖÓÒÒ Ù ÔÓÒØ An (x, y n ) Ð ÑØÓ ³ÙÐÖ ØÒ ÚÖ f(x) ÕÙÒ n ØÒ ÚÖ Ð³ÒÒº ÇÒ Ò³ Ô ÔÖÓÙÚ ÕÙ Ð ÑØÓ ³ÙÐÖ ØØ ÙÒ ÓÒÒ ÑØÓ ³ Ø Ö ÕÙ³ÓÒ ÓØÒØ Ò Ò ÙÒ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ð ÓÒØÓÒ Ö Ò ÕÙ³Ð Ò³Ý ÕÙ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÕÙ ÚÖ Ð ÓÒØÓÒ ÚÓÙÐÙ Ñ Ð ÑØÓ ÓÒÚÖ Ò ÐÓÖ ÒÓØÖ ÓÒØÓÒ f Ü Ø Ø ÐÐ ÚÖ ( x R, f(x) = 1 + x ) n n + n ØØ ÜÔÖ ÓÒ ÒÓÙ ÔÖÑØ ³ÓØÒÖ ÚÐÙÖ ÔÔÖÓ f(x) ÔÓÙÖ ÖØÒÒ ÚÐÙÖ xº ÈÖ ÜÑÔÐ Ë ÓÒ ÚÙØ ÙÒ ÚÐÙÖ ÔÔÖÓ f(1) ÓÒ ÓÒ f(1) = n + (1 + 1 n )n ÇÒ ÑØ ÕÙ ØØ ÐÑØ Ü Ø ºº ÕÙ Ð ÑØÓ ³ÙÐÖ ÓÒÚÖº ÈÓÙÖ ÖÒ ÚÐÙÖ n ÓÒ ÓØÒØ Ð ÚÐÙÖ ÔÔÖÓ ÙÚÒØ (1 + 1 ) =,5 ; (1 + 1 10 )10,594 ; (1 + 10 3 ) 1000,717 ; (1 + 10 6 ) 106,7188 Ô ½»
ÁÁ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ý³Ý ÌÓÖÑ ½º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÙÒÕÙ ÓÒØÓÒ f Ò Ø ÖÚÐ ÙÖ R ØÐÐ ÕÙ f = f Ø f(0) = 1º ÒØÓÒ ½º ijÙÒÕÙ ÓÒØÓÒ f Ò Ø ÖÚÐ ÙÖ R ØÐÐ ÕÙ f = f Ø f(0) = 1 ³ÔÔÐÐ Ð ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ Ø ÓÒ Ð ÒÓØ exp : x exp(x) Ü ØÒ Ñ ÓÒ Ú ÔÖÓÙÚÖ Ð³ÙÒغ ÄÑÑ ½º Ë Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ f Ò Ø ÖÚÐ ÙÖ R ØÐÐ ÕÙ f = f Ø f(0) = 1 ÐÓÖ ÐÐ ÚÖ x R f( x)f(x) = 1 Ø ÔÖ ÓÒ ÕÙÒØ f Ò ³ÒÒÙÐ Ô º ÑÓÒ ØÖØÓÒº ÇÒ ÔÓ Ð ÓÒØÓÒ ϕ Ò ÔÖ x R ϕ(x) = f( x)f(x)º ÇÒ ÖÚ ÓÒ ØÖÓÙÚ ϕ = 0 ÓÒ ϕ Ø ÓÒ ØÒØ Ø ÓÑÑ ϕ(0) = 1 ÓÒ ÓÒÐÙغ ÇÒ ÔÖÓÙÚ ÑÒØÒÒØ Ð³ÙÒØ ÑÓÒ ØÖØÓÒº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³Ð Ü Ø ÙÜ ÓÒØÓÒ f Ø g ÕÙ Ò Ø ÖÚÐ ÙÖ R ØÐÐ ÕÙ f = f g = g Ø f(0) = g(0) = 1º ³ÔÖ Ð ÐÑÑ ÓÒØÓÒ Ò ³ÒÒÙÐÒØ Ô Ø ÓÒ ÓÒ ÔÙØ ÓÒ ÖÖ Ð ÓÒØÓÒ ψ Ò Ø ÖÚÐ ÙÖ R ÔÖ ψ = f g º ÇÒ ÖÚ ψ = 0 Ø ψ(0) = 1º ÓÒ ψ Ø ÓÒ ØÒØ Ð ½ Ò f = gº ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ ÚÐÙÖ ÔÔÖÓ exp(x) ÓÒ ÔÙØ ÙØÐ Ö Ð ÑØÓ ³ÙÐÖº ËÒÓÒ Ð Ý ÙÒ ØÓÙ ÙÖ Ð ÐÙÐØÖ ÒÓØ Üº ÇÒ ÙØ Ù ÐÑѽ Ø Ð ÓÒØÒÙØ exp ÙÖ R Ð ÔÖÓÔÖØ ÕÙ Ö ØÖ ÙØÐ ÔÐÙ ØÖ ÔÓÙÖ ØÙ Ò ÈÖÓÔÖØ ½º Ä ÓÒØÓÒ exp Ø ØÖØÑÒØ ÔÓ ØÚ ÙÖ R x R, exp(x) > 0 ÑÓÒ ØÖØÓÒº ÇÒ ÔÖÓÙÚ ³ÓÖ ÕÙ³ÐÐ Ø Ò ÓÒ ØÒغ ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³Ð Ü Ø ÙÜ ÖÐ a Ø b ØÐ ÕÙ 0 > exp(a) exp(b)º ÐÓÖ ÓÑÑ exp Ø ÓÒØÒÙ ÙÖ R ÔÖ Ð ÌºÎºÁº Ð Ü Ø ÙÒ ÖÒ ÔÓÙÖ Ð ÓÒØÓÒ expº ÕÙ Ø ÓÒØÖÖ ÕÙ³ÓÒ ÙØ Ù ÐÑÑ ½º Ò Ð ÓÒØÓÒ exp Ø Ò ÓÒ ØÒØ ÙÖ Rº ÇÖ exp(0) = 1 ³Ó Ð Ö ÙÐØغ ÒØÓÒ ¾º Ä ÚÐÙÖ exp Ò ½ Ø ÒÓØ eº ºº exp(1) = eº ØØ ÓÒ ØÒØ ÚÙØ ÒÚÖÓÒ, 718º Ä ÖÐ e Ø ÙÒ ÒÓÑÖ ÖÖØÓÒÒÐ ÓÒ Ð ÔÖÓÙÚÖ ÔÐÙ ØÖµ Ø ÑÑ ³ Ø ÙÒ ÖÐ ØÖÒ ÒÒØ ÓÑÑ πµº ÖØÒ ÐÙÐØØ ÜÒØ Õ٠гÓÒ ØÔ ½ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ Ð ÖÐ e ³ÙØÖ ÓÒØÒØÒØ º ÁÁÁ ÈÖÓÔÖØ ÐÖÕÙ ÈÖÓÔÖØ ¾º ÈÓÙÖ ØÓÙ ÖÐ a Ø b Ø ØÓÙØ ÒØÖ ÖÐØ n ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ exp( a) = 1 exp(a) exp(a + b) = exp(a) exp(b) exp(a b) = exp(a) exp(b) exp(a n) = (exp(a)) n ½µ ¾µ µ µ Ä ÖÐØÓÒ ¾µ ³ÔÔÐÐ Ð ÖÐØÓÒ ÓÒØÓÒÒÐРгÜÔÓÒÒØÐк Ô ¾»
ÑÓÒ ØÖØÓÒº ½µ ÓÙÐ Ù ÄÑÑ ½º µ ÓÙÐ ¾µ Ø ½µº µ ÔÖÓÙÚ ÔÖØÖ ¾µ ÔÖ ÖÙÖÖÒ ÙÖ nº ij ÒØÐ Ø ÔÖÓÙÚÖ ¾µ exp(x + b) ËÓØ b Rº ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÓÒØÓÒ χ x Ó b Ø ÙÒ ÔÖÑØÖ Ò ÔÖ χ(x) = exp(x) ÇÒ ÖÚ χ = 0 Ø χ(0) = exp(b)º ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ x exp(x + b) = exp(x) exp(b)º ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ bº ³Ó ¾µ ÈÖÙÚ µ ËÓØ a ÙÒ Öк ËÓØ P(n) exp(a n) = (exp(a)) n ÈÖÓÙÚÓÒ ÔÖ ÖÙÖÖÒ ÙÖ n ÕÙ P(n) Ø ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº ÁÒ ÓÑÑ exp(a) 0 exp(a) 0 = 1 = exp(0) Óººº ÁÎ ÆÓØØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ Ä ÓÖÑÙÐ µ ÓÒÒ ÔÓÙÖ a = 1 exp(n) = (exp(1)) n = e n ÈÖ ÒÐÓ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ x ÓÒ ÒÓØ exp(x) = e x º ÇÒ ÓÒ Ð ÖÐ ÐÙÐ Ù ÙÐÐ Ú Ð ÔÙ Ò ÔÓÙÖ ØÓÙ ÖÐ a Ø b Ø ØÓÙØ n Z e a e b = e a+b e a e b = ea b (e a ) n = e a n ÔÖØÙÐÖ ÑÔÓÖØÒØ e 1 = e e 0 = 1 e x = 1 e x ØÓÙ Ð ÐÙÐØغ ØØÒØÓÒ ÐÓÒ ÑÓÐ ÓÒ ØÔ ÓÙ ÒÓÒ Ð ÔÙº ØØÒØÓÒ ÙÜ ÔÖÒØ º ÜÖ ÑÔÐØÓÒ ³ÜÔÖ ÓÒ º ÜÖ Ò Ó ½ ÖÖ ÔÐÙ ÑÔÐÑÒØ Ð ÜÔÖ ÓÒ ÙÚÒØ Ò ÙØÐ ÒØ Ð ÖÐ ÙÖ Ð³ÜÔÓÒÒØÐÐ A = e e 3 B = (e ) 4 e 3 C = ( 1 e x ) D = (ex ) e x e x E = e3x 1 e x ÜÖ Ò Ó ¾ ÈÖÓÙÚÖ Ð ÐØ ÙÚÒØ e x 1 e x + 1 = ex e x e x + e x Î ØÙ Ð ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐРκ½ ÖÚ Ø ÚÖØÓÒ ÈÖÓÔÖØ º Ø ÔÖÓÔÖ ÖÚ (e x ) = e x ³ÔÖ Ð ÔÖÓÔÖØ ½ ÓÒ Ò ÙØ ÈÖÓÔÖØ º Ø ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ R ÈÖÓÔÖØ ÖÚ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÑÔÓ Ú e x µº Ë u Ò ÙÒ ÓÒØÓÒ ÖÚÐ ÙÖ R ÐÓÖ exp(u) Ø ÖÚÐ Ø [e u(x) ] = u (x) e u(x) κ¾ ÕÙØÓÒ Ø ÒÕÙØÓÒ ÈÖÓÔÖØ º a, b R, e a e b a b ÑÓÒ ØÖØÓÒº ÇÒ ÔÖÓÙÚ ÕÙ Ò ÔÖÑÒغ ËÓØ a Ø b ÙÜ ÖÐ º ( =) a b = e a e b Ö exp Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ Rº (= ) Ë e a e b º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ a ÓØ ØÖØÑÒØ ÙÔÖÙÖ b ÐÓÖ ÓÑÑ exp Ø ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ R ÓÒ ÙÖØ e a ØÖØÑÒØ ÙÔÖÙÖ e b º Ô»
ÈÖÓÔÖØ º a, b R, e a = e b a = b ÑÓÒ ØÖØÓÒº ÇÒ ÔÖÓÙÚ ÕÙ Ò ÔÖÑÒغ ËÓØ a Ø b ÙÜ ÖÐ º ( =) a = b = e a = e b Ö exp Ø ÙÒ ÔÔÐØÓÒº (= ) Ë ÓÒ e a = e b ÓÒ ÔÖÓ ÔÖ ÓÙÐ ÒÕÙØÓÒ e a = e b = e a e b = a b e a = e b = e a e b = a b ÇÒ ÓÒ a = bº ijÕÙØÓÒ e x = a Ò³ Ô ÓÐÙØÓÒ a 0 Ñ Ö Ù ÌÎÁ ÓÒ ÔÙØ ÔÖÓÙÚÖ ÕÙ ÈÖÓÔÖØ ÄÓÖØÑ ÒÔÖÒµº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ ØÖØÑÒØ ÔÓ Ø a гÕÙØÓÒ Ò x e x = a µ ÙÒ ÙÒÕÙ ÓÐÙØÓÒ Õ٠гÓÒ ÒÓØ ln(a) ÔÔÐ ÐÓÖØÑ ÒÔÖÒ aº ÇÒ ØÖÓÙÚ ØØ ÓÒØÓÒ ÙÖ Ð ÐÙÐØØ ÙÖ Ð ÑÑ ØÓÙ ÕÙ expº Æ Ô ÓÒÓÒÖ ln Ú logº ÜÑÔÐ e x = = x = ln()º ÜÖ Ò Ó Ê ÓÙÖ Ò R e x + 3e x 4 = 0 ËÓÐÙØÓÒ = 5, X1 = 1, X = 4 ÜÖ Ò Ó Ê ÓÙÖ Ò R µ e 5x 1 = 1 µ e x 1 = e 3x µ e 5x 1 = µ ee x = ( e x+1) ÜÖ Ò Ó Ô ½ Ò Ó ½ ½ ¾ ¾ ¾ ¾º ÜÖ Ò Ó Ê ÓÙÖ Ò R e x 1 (e x ) 0 ÜÖ Ò Ó ÇÒ ÒØ ÙÜ ÓÒØÓÒ Ó ÒÙ ÝÔÖÓÐÕÙ Ø ÒÙ ÝÔÖÓÐÕÙ ÔÖ (x) = ex + e x Ø (x) = ex e x ½º ÈÖÓÙÚÖ ÕÙ x R (x) + (x) = 1º ¾º ÑÓÒØÖÖ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ x (x) = (x) 1 Ø (x) = (x) (x) º ÈÖÓÙÚÖ ÕÙ (x + y) = (x)(y) + (x) (y) Ø (x + y) = (x)(y) + (x) (y)º º ÇÒ ÒØ ØÒÒØ ÝÔÖÓÐÕÙ ÔÖ Ø»º ÈÖÓÙÚÖ ÕÙ Ø(x) = ex 1 e x +1 Ø Ø = 1 Ø ÜÖ Ò Ó Ê ÓÙÖ Ð ÕÙØÓÒ ÙÚÒØ ÕÙ ÖÑÒÒØ ÕÙØÓÒ Ù ÓÒ Öº ÇÒ ÔÓÙÖÖ ÔÓ Ö X = e x e x 3e x + 1 = 0 e x e x = 0 e x + 1e x + 7 = 0 µ µ µ Ô»
κ ÓÙÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò 4 3 e y = x + 1 ÈËÖ ÖÔÐÑÒØ y = e x 4 3 1 O 1 ËÙÖ Ð ÓÙÖ ØÖ ¹ Ù ÓÒ Ù ØÖ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ y = x + 1 ÕÙ Ø Ð ØÒÒØ Ò ÞÖÓ Ð ÓÙÖ expº ÈÖÓÔÖØ º ÈÓÙÖ x ÔÖÓ ÞÖÓ e x Ø ÔÖÓ x+1º ÈÐÙ ÔÖ ÑÒØ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ ε ÕÙ ØÒ ÚÖ ÞÖÓ Ò ÞÖÓ x 0 ε(x) = 0µ ØÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ x 1 e x = x + 1 + xε(x) ÑÓÒ ØÖØÓÒº ÇÒ ÔÔÐÕÙ Ð ÓÖÑÙРгÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ò ÚÙ Ò ÔÖÑÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÖÚÐ Ù ÚÓ Ò a f(x+a) = f(a)+xf (a)+xε(x)º ÓÑÑ exp(0) = 1 ÓÒ Ð Ö ÙÐØØ ÓÙØ ÔÓÙÖ a = 0º ÈÖÓÔÖØ ½¼º C exp Ø Ù Ù ØÒÒØ Ò ÞÖÓº ºº x R, e x x + 1 ÑÓÒ ØÖØÓÒº ÇÒ ÔÓ ϕ Ð ÓÒØÓÒ Ò ÔÖ ϕ(x) = e x x 1 Ø ÓÒ ÚÙØ ÔÖÓÙÚÖ ÕÙ ØØ ÓÒØÓÒ Ø ÔÓ ØÚ ÙÖ R ÔÓÙÖ Ð ÓÒ Ð³ØÙº ϕ Ø ÖÚÐ ÙÖ R Ø ÓÒ ϕ (x) = e x 1º ÇÖ e x 1 0 e x e 0 x 0 ³Ó Ð ÚÖØÓÒ ϕ ÕÙ ÑØ Ò ÙÒ ÑÒÑÙÑ Ò ÞÖÓ ÕÙ ÚÙØ ϕ(0) = 0º ÓÒ ϕ Ø ÔÓ ØÚ ÙÖ Rº κ ÔÖÑØ ³ØÐÖ Ð ÐÑØ Ð ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ Ò + ÄÑØ ÖÓ Ò ÓÑÔÖ ÇÒ ÑÓÒØÖ Ò Ìºº ÔÖ ÓÑÔÖ ÓÒ Ð ÐÑØ ÙÚÒØ Ó n N ) x ex = 0 x + ex = + x xn e x = 0 e x x + x n = + Ä ÔÖÑÖ ÐÑØ ÒÕÙ ÕÙ Ð³Ü Ø ÝÑÔØÓØ C exp Ò º Ä ÙÜ Ö¹ ÒÖ ÓÒØ ÔÖÓÖ ÓÖÑ ÒØÖÑÒ Õ٠гÓÒ ÖØÒØ ÔÖ Ä³ÜÔÓÒÒØÐРгÑÔÓÖØ ÙÖ Ð ÔÙ Ò xº Ô»