ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ Ñ ÒÒ Å È»Å Ì ÌÖ Ò ÔÓÖØ Ø Ù ÓÒ º ÐÐ Ö º ÓÐ µ ÓÖÖ Ð³ Ü Ñ Ò Ö Ø Ù ½ Å Ö ¾¼½¼ ¾ ÙÖ µ ½ Ë Ñ ÒÙÑ Ö ÕÙ ½º ÌÓÙØ ³ ÓÖ ÓÒ Ö Ñ ÖÕÙ ÕÙ Ð ÙÜ Ñ Ð Ò Ù Ñ Ø ÒØ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ö ÑÔÐ n Ô Ö n+1/2 Ø j Ô Ö j 1/2º È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ Ð Ù Ø Ú Ö Ö Ð ÓÒ Ø Ò Ø Ð ÔÖ ÓÒ ÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò ÙÐ Ñ Òغ ÇÒ ÐÙРг ÖÖ ÙÖ ØÖÓÒ ØÙÖ Ù Ñ E = u(t n+1,x j ) u(t n,x j ) t + a u(t n+1/2,x j+1/2 ) u(t n+1/2,x j 1/2 ) ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ò ÒØ ÙÒ Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ Ì ÝÐÓÖ ÙØÓÙÖ Ù ÔÓ ÒØ (t n,x j ) E = u t + t 2 u 2 t 2 + a u x + a t 2 Ë u Ø ÓÐÙØ ÓÒ u t + a u x = ÐÐ Ú Ö Ù 2 u t 2 + a 2 u t x = 2 u t x + ( ( t) 2 + () 2). ÕÙ ÔÖÓÙÚ ÕÙ Ð Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ³ÓÖ Ö ¾ Ù ÑÓ Ò º ¾º ÈÙ ÕÙ Ð ÓÒ Ð Ò Ù Ñ Ø ÒØ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÒ ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ò n Ø j ÔÖ ÓÒ Ú Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ð Ø ÎÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò ÙÐ Ñ Òغ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ö Ø Ù ØÝÔ u n j = A(k) n e 2iπkj. È Ö ÓÑÑÓ Ø ÓÒ ÔÓ A(k) = B(k) 2 Ø ÓÒ Ò Ø ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ð ÓÖÑÙÐ Ù Ñ º ÇÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ñ Ø ÙÐ Ñ ÒØ ÓÒ B(k) 2 + 2i a t sin(πk)b(k) 1 =. Ä Ö Ñ Ò ÒØ ÔÓÐÝÒÑ Ù ÙÜ Ñ Ö Ø ( ) a t 2 = 2 1 sin(πk) ½
ÕÙ Ø Ö Ð Ø ÔÓ Ø ÓÙ Ð ÓÒ Ø ÓÒ a t 1º Ò Ð Ö Ò Ù ÔÓÐÝÒÑ ÓÒØ B(k) = i a t sin(πk) ± /2 ÓÒØ Ð ÑÓ ÙÐ Ù ÖÖ Ø ( ) a t 2 ( ) a t 2 B(k) 2 = sin(πk) + 1 sin(πk) = 1. ÇÒ ÓÒ B(k) = 1 ³ ع¹ Ö ÕÙ A(k) 1 Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ð Ø ÎÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ Ø Ø Ø º ¾ Å¹Ñ ØÖ ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ñ ÑÔÐ Ø u n+1 j u n j t + a un+1 j u n+1 j 1 ν un+1 j+1 2un+1 j + u n+1 j 1 () 2 = ÕÙ Ô ÙØ ³ Ö Ö Ú b = a t/ Ø c = ν t/() 2 u n+1 j (1 + b + 2c) u n+1 j 1 (b + c) un+1 j+1 c = tun j. Ä Ñ ÐÐ Ø (t n,x j ) = (n t,j) Ú t = 1/N Ø 1 j Nº Ä ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø Ô Ö Ó Ø ÓÒØ ÕÙ u n N+j = un j ÔÓÙÖ ØÓÙØ jº Ë un Ø Ð Ú Ø ÙÖ ÓÑÔÓ ÒØ u n j ÐÓÖ Ð Ñ ³ Ö Ø Ù Aun+1 = u n Ó A Ø ÙÒ Ñ ØÖ N N 1 + b + 2c c c º A = b c ºº º ºº º ºº º ºº c. c b c 1 + b + 2c ÓÑÑ b > Ø c > Ð Ó ÒØ ÓÒ ÙÜ ÓÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ø Ð Ó ÒØ ÜØÖ ¹ ÓÒ ÙÜ ÓÒØ Ò Ø º È Ö ÐÐ ÙÖ Ð ÓÑÑ Ó ÒØ ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ Ð Ò Ø Ð 1º È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ A Ø ÙÒ Å¹ Ñ ØÖ ØÖ Ø º Ä Ä ÑÑ º¾º Ù ÔÓÐÝÓÔ ÒÓÙ ÙÖ ÐÓÖ ÕÙ A Ø ÒÚ Ö Ð º ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ð Ñ ØÖ A Ø Ð Ö Ñ ÒØ ÖÖ ÙØ Ð ÓÑÑ Ð³ Ø Ð Ñ ØÖ Ö Ø Ø ÓÒ Ù Ä ÔÐ Ò ÚÓ Ö Ð³ Ü Ö º Ù ÔÓÐÝÓÔ µº Ò Ð Ñ ÒØ Ð Ä ÑÑ º¾º ÖÑ Õ٠г ÒÚ Ö ³ÙÒ Å¹Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð ÖÖ ÙØ Ð Ø ÔÓ Ø Ú º È Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ u n+1 = A 1 u n Ø ÔÓ Ø u n г Ø Ø Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò u Ø ÔÓ Ø º ÇÒ ÓÒ ÑÓÒØÖ Ð ÔÖ Ò Ô Ù Ñ Ü ÑÙÑ Ö Ø ÔÓÙÖ Ð Ñ ¹ Ù º ¾
ÕÙ Ø ÓÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ ½º ÇÒ t (wf2 ) + v x (wf 2 ) = dw dt f2 + 2wf ( ) t + v x f = f 2 + 2wfF. ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ wf 2 Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ( ) t + v x (wf 2 ) = 2wfF f 2, (t,x,v) ],T[ R N, (3) wf 2 (t,x,v) =, v n x <, (t,x,v) ],T[ R N, wf 2 t= =. ¾º ËÓ ÒØ V = (1,v) R R N Ø =],T[ º ÇÒ ÒÓØ ν t,x Ð Ú Ø ÙÖ ÒÓÖÑ Ð ÜØ Ö ÙÖ ÙÒ Ø Ö Ù ÔÓ ÒØ (t,x) º ÇÒ ÒÓØ Ð Ñ ÒØ ds(t,x) г Ð Ñ ÒØ ÙÖ ÙÖ Ø dσ(x) ÐÙ ÙÖ º Ò ν,x = ( 1,), x, ν t,x = (,n x ), x, < t < T, ν T,x = (+1,), x. ÇÒ ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ v R N div t,x (wf 2 (t,x,v)v ) = 2wfF f 2 ÓÖØ ÕÙ³ Ò ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ù ÑÔ Ú Ø ÙÖ wf 2 V Ò Ð³ÓÙÚ ÖØ ÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ div t,x (wf 2 (t,x,v)v )dxdt = wf 2 (t,x,v)v ν t,x ds(t,x) = (2wfF f 2 )(t,x,v)dxdt. ÇÖ Ò Ø Ò ÒØ ÓÑÔØ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø µ Ø Ù Ø ÕÙ w(t) = ÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ wf 2 (t,x,v)v ν t,x ds(t,x) = wf 2 (T,x,v)dx wf 2 (,x,v)dx + = T T wf 2 (t,x,v)v n x dσ(x)dt x v nx> wf 2 (t,x,v)v n x dσ(x)dt
ÓÖØ ÕÙ (2wfF f 2 )(t,x,v)dxdt. ³ ÔÖ Ð³ Ò Ð Ø Ù Ý¹Ë Û ÖÞ f 2 (t,x,v)dxdt 2wfF(t,x,v)dxdt ³Ó ÔÓÙÖ ØÓÙØ v R N f 2 (t,x,v)dxdt 2T 2 w L F(,,v) L 2 () f(,,v) L 2 () F 2 (t,x,v)dxdt. º ÇÒ ÔÔÐ ÕÙ Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÓÑÑ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾µ ÕÙ ÓÒÒ (2wgF g 2 )(t,x,v)dxdt = wg 2 (t,x,v)v ν t,x ds(t,x) = wg 2 (T,x,v)dx wg 2 (,x,v)dx + = ÁÒØ ÖÓÒ Ò Ù Ø Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ v (2wgF g 2 )(t,x,v)dvdxdt = T T T wg 2 v n x dσ(x)dt wg 2 v n x dσ(x)dt. R N wg 2 (t,x,v)v n x dvdσ(x)dt. Ò Ð³ ÒØ Ö Ð Ù Ñ Ñ Ö ÖÓ Ø ÓÒ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ (t,x) [,T] Ð Ò Ñ ÒØ Ú Ö Ð u = v 2(v n x )n x ³ Ø Ö Ð Ö Ü ÓÒ Ô ÙÐ Ö Ù Ú Ø ÙÖ Ú Ø ÙÖ Ð ÔÐ Ò Ø Ò ÒØ Ù ÔÓ ÒØ xº ØØ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÙÒ ÓÑ ØÖ ÐÐ Ð ÒÚ Ö ÒØ Ð Ñ ÙÖ Ä Ù dv Ò Ö Ú Ò u n x = v n x ÓÖØ ÕÙ wg 2 (t,x,v)v n x dv = wg 2 (t,x,u 2(u n x )n x )u n x du R N R N = wg 2 (t,x,u)u n x du = R N ³ ÔÖ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø Ö Ü ÓÒ Ú Ö Ô Ö gº ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ (2wgF g 2 )(t,x,v)dvdxdt = Ø ÓÒ ÓÒÐÙØ ÓÑÑ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾µº
º ij ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÕÙ Ñ Ñ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ö Ô Ö f Ô Ö pw f p 1 Ò(f) Ó ÓÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ Ò(z) = +1 z > 1 z < Ø Ô Ö Ü ÑÔÐ µ z = Ø Ö Ö ÕÙ ( t + v x ) f p = p f p 1 Ò(f) ( ) t + v x f. Å Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ z z Ò³ Ø Ô Ð C 1 ÓÖØ ÕÙ Ð ÐÙÐ ¹ Ù Ò³ Ø Ô Ð Ø Ñ ÔÓÙÖ p = 1º ÁÐ ÙØ ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ö Ð ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ Ò Ð ÙÐ p = 1º Ò ÕÙ Ù Ø ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ Ý Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ô ÚÓ Ö Ø Ò Ù Ö Ð p = 1º ÈÓÙÖ n 1 ÓÒ Ò Ø φ n ÓÑÑ Ø ÒØ Ð ÓÒØ ÓÒ ÑÔ Ö ÙÖ R Ø ÐÐ ÕÙ φ n (z) = min(1,nz) ÔÓÙÖ z Ø Φ n (z) = z φ n (ζ)dζ. ÈÓÙÖ ØÓÙØ n 1 Ð ÓÒØ ÓÒ Φ n C 1 (R) ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ò ÖÓ ÒØ ÐÓÖ ÕÙ n + º ÈÓÙÖ ØÓÙØ p 1 ÓÒ Ú Ö ÕÙ Φ n (z) z, Ø Φ n (z) z t (wφ n(f) p ) + v x (wφ n (f) p ) = dw dt Φ n(f) p ( ) +pwφ n (f) p 1 φ n (f) t + v x f = pwφ n (f) p 1 φ n (f)f Φ n (f) p. Ò ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÓÑÑ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½µ ÓÒ ØÖÓÙÚ ÕÙ Φ n (f) p (t,x,v)dxdt p wφ n (f) p 1 φ n (f)f(t,x,v)dxdt p w L Φ n (f) p 1 F (t,x,v)dxdt pt Φ n (f) p 1 L p () F L p () = pt Φ n (f) p 1 L p () F L p () Ó Ð ÓÒ Ò Ð Ø ÓÙÐ Ù Ø ÕÙ φ n (f) 1 Ô Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø Ò ÕÙ Ð ØÖÓ Ñ ÓÙРг Ò Ð Ø À Ð Ö Ú p = p p 1 p > 1 Ø p = + p = 1º Ù ØÓØ Ð Φ n (f) p (t,x,v)dxdt pt F p (t,x,v)dxdt.
È Ö ÓÒÚ Ö Ò ÑÓÒÓØÓÒ Φ n (f) p (t,x,v)dxdt ÐÓÖ ÕÙ n + ÓÖØ ÕÙ f p (t,x,v)dxdt pt f p (t,x,v)dxdt F p (t,x,v)dxdt. Ä Ð ÓÒØ ÓÒ g ØÖ Ø Ñ Ò Ö ÒØ ÕÙ º