Chapitre 12: fractions rationnelles à une indéterminée ÌÐ ÑØÖ ½ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ù ÓÖÔ KX) ÓÔÖØÓÒ ¾ ½º½ ÒØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Ö ³ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º ÖÚ ³ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ ¾º½ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ ÒÖÐ Ò K[X] º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ Ò CX) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ Ò RX) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ ½º½ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ù ÓÖÔ KX) ÓÔÖØÓÒ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ½ ËÓØ K ÙÒ ÓÖÔ ÓÑÑÙØغ ÇÒ ÖÔÔÐÐ ÕÙ K[X] Ò Ð³ÒÒÙ ÒØÖ ÔÓÐÝÒÑ ÙÒ ÒØÖÑÒ Ø ÓÒØ Ò Ð ÓÖÔ Kº ÇÒ ÒØ ÙÖ E = K[X] K[X]\{0}) Ð ÖÐØÓÒ R ÔÖ ) P 1,Q 1 ),P 2,Q 2 ) E 2, P 1,Q 1 )RP 2,Q 2 ) P 1 Q 2 = P 2 Q 1 ÇÒ ÚÖ ÕÙ Ð ÖÐØÓÒ R Ø ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÕÙÚÐÒ ÙÖ Eº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÐÑÒØ P,Q) K[X] K[X]\ {0}) ÓÒ ÒÓØ P PX) PX) ÓÙ Ð ³ÕÙÚÐÒ ÑÓÙÐÓ Rº Ä Ð ³ÔÔÐÐ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Q ÓÒØ Ò Ð ÓÖÔ Kº ÇÒ ÒÓØKX) Ð³Ò ÑÐ ÕÙÓØÒØE/R ³ ع¹Ö Ð³Ò ÑÐ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ º ÇÒ ÚÖ ÐÑÒØ ÕÙ PX) Ø ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Ð Ü Ø ÙÒ ÙÐ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ØØ ÖØÓÒ Ò P 1X) Q 1 X) Ú P 1 Q 1 = 1 Ø Q 1 ÙÒØÖº ØØ ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ø ÔÔÐ ÖØÓÒ ÖÖÙØк Ä ÖÒ PX) ÓÒØ ÔÔÐ Ð ÞÖÓ Ø Ð ÖÒ ÓÒØ ÔÔÐ Ð ÔÐ Ð ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐк ÇÒ ÒØ ÙÖ KX) Ð ØÖÓ ÓÔÖØÓÒ ÙÚÒØ ÙÒ ØÓÒ ÒÓØ + P 1 Q 1 + P 2 Q 2 = P 1 Q 2 +P 2 Q 1 Q 1 Q 2 ÙÒ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÒÓØ P 1 Q 1 P 2 Q 2 = P 1 P 2 Q 1 Q 2 ÙÒ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÔÖ Ð ÐÖ ÒÓØ λ P Q = λ P Q ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ Ä³Ò ÑÐ KX),+, ) Ø ÙÒ ÓÖÔ ÓÑÑÙØØ ³ÐÑÒØ ÒÙÐ 0 = 0 ³ÐÑÒØ ÙÒØ 1 1 = 1 1 º º ½º¾ Ö ³ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ ÒØÓÒ ¾ ËÓØ FX) = PX) ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐк ÇÒ ÔÔÐÐ Ö ØØ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Ø ) P ÓÒ ÒÓØ degf) Ð ÒÓÑÖ degf) = deg = degp) degq) ÔÔÖØÒÒØ Z { }º Q ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ ËÓÒØ F 1 Ø F 2 ÙÜ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Ò KX)º ÐÓÖ degf 1 +F 2 ) max{degf 1 ),degf 2 )}, Ú ÐØ ÐÓÖ ÕÙ degf 1 ) degf 2 ) degf 1 F 2 ) = degf 1 )+degf 2 ) ½º ÖÚ ³ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ ÒØÓÒ ËÓØ FX) = PX) ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐк ÇÒ ÔÔÐÐ ÖÚ ØØ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Ø ÓÒ ÒÓØ F X) Ð ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ F X) = P X) PX) Q X) 2 ¾
ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓÒØ F 1 Ø F 2 ÙÜ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ º ÐÓÖ F 1 +F 2 ) = F 1 +F 2 Ø F 1 F 2 ) = F 1 F 2 +F 1 F 2 ¾ ¾º½ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ ÒÖÐ Ò K[X] ÌÓÖÑ ½ ËÓØ FX) = PX) ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ ÖÖÙØк ÇÒ ÔÓ = ξ r ØÓÖ ØÓÒº ÐÓÖ ÓÒ ÔÙØ ÖÖ Ð ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ FX) ³ÙÒ ÙÒÕÙ ÑÒÖ ÓÙ Ð ÓÖÑ FX) = PX) r = EX)+ R1,k X) π k X) + R 2,kX) π k X) 2 + + R ) α k,kx) π k X) α, k π k X) αk Ú EX) ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ÔÔÐ ÔÖØ ÒØÖ ÓÙ ÔÓÐÝÒÓÑÐ Ø degr k ) < degπ k X))º ÍÒ ØÐÐ ÖØÙÖ ³ÔÔÐÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ ÙÖ K Ð ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ FX)º ¾º¾ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ Ò CX) ÅØÓ ÓÑÑÒØ ØÖÑÒÖ Ð ººËº ³ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Ò CX) ËÓØ FX) = PX) ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ Ò CX)º ÈÓÙÖ ØÙÖ ººË ÚÖÖ ÕÙ FX) Ø ÖÖÙØÐ ÒÓÒ Ð ÑÔÐÖ ØÙÖ Ð Ú ÓÒ ÙÐÒÒ PX) ÔÖ Ð ÕÙÓØÒØ EX) Ø Ð ÔÖØ ÔÓÐÝÒÓÑÐ Ø RX) Ø Ð Ö Ø degp) < degq) ØØ ØÔ Ø ÒÙØÐ r ØÓÖ Ö Ù ÑÜÑÙÑ Ð ÒÓÑÒØÙÖ Ò C[X] = ξ X λ k ) α k ÖÖ Ð ÓÖÑ ÒÖÐ Ð ººËº RX) = r c1,k X λ k + c 2,k X λ k ) 2 + + c αk,k X λ k ) α k ÓÑÑÒÖ ÔÖ ÐÙÐÖ ÕÙ ÓÒ ØÒØ c αk,k ÖÓØ ) Ò ÕÙ ÔÖÒØ X λk ) α k PX) ÙØÐ Ö Ð ÓÖÑÙÐ c αk,k = ÚÐÙ Ò λ k ÐÓÖ ÕÙ Ð ÔÐ λ k Ø ÑÔÐ α k = 1µ ÙØÐ Ö ÚÒØÙÐÐÑÒØ Ð ÓÖÑÙÐ c αk,k = Pλ k) Q λ k ) ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ Ð ÙØÖ ÓÒ ØÒØ Ù Ò ÕÙ ÔÖÒØ x Rx) ÙØÐ Ö Ð ÓÖÑÙÐ c 1,1 +c 1,2 + +c 1,r = lim x + Qx) ÐÙÐÖ Ð ÐÑØ Ò ÔÖÒÒØ Ð ØÖÑ ÔÐÙ ÙØ Ö ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ ÒÓÖ ³ÙØÖ ÓÒ ØÒØ ØÙÖ ÚÐÙØÓÒ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ ³ÙØÖ ÕÙØÓÒ ÙØÐ Ö ³ÚÒØÙÐÐ ÝÑØÖ FX) ÔÖ ÜÑÔÐ F X) ÒØÖ Ð ÙÜ ººËº Óع ÒÙ º ) ÜÑÔÐ ½ ËÓØ PX) ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ ÒÓÒ ÒÙÐ ÓÒØ ÓÑÔÐÜ º ÇÒ ÒÓØ λ 1,,λ r Ð ÖÒ Óѹ ÔÐÜ ÖÒØ Ù ÔÓÐÝÒÑ PX) ÑÙÐØÔÐØ Ö ÔØÚ α 1,,α r º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ
Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ Ð ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ P X) PX) Ø P X) r PX) = α k X λ k Ò ÙÖ ØÓÙ Ð ÔÓÐÝÒÑ PX) C[X] ØÐ ÕÙ Ð ÔÓÐÝÒÑ P X) Ú Ð ÔÓÐÝÒÑ PX)º ¾º ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ Ò RX) ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ Ð ººËº Ò RX) ËÓØ FX) = PX) Ò RX)º ÈÓÙÖ ØÙÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò RX) ÚÖÖ Ð ÖØÓÒ Ø Ò ÖÖÙØÐ ØÙÖ Ð ÒØ Ð Ú ÓÒ ÙÐÒÒ PX) = EX) +RX) ØÓÖ Ö Ò RX) ÖÖ Ð ÓÖÑ ÒÖÐ Ð ººËº RX) c Ú ØÖÑ Ò X λ) α Ø dx +e )X 2 +ax +b) β c X λk ) αk PX) ÔÓÙÖ Ð ÐÙÐ ÓÒ ØÒØ X λ k ) α ÙØÐ Ö c = ÓÙ k ÚÐÙ Ò λ k c = Pλ k) Q λ k ) λ k Ø ÙÒ ÔÐ ÑÔÐ ÔÓÙÖ Ð ÐÙÐ ÓÒ ØÒØ ÙÖ ÖÖÙØÐ Ö 2 ³ÜÔÓ ÒØ ÑÜÑÐ ÐÙÐÖ ÙÒ ÖÒ ÓÑÔÐÜ z 0 πx) πx) β k ) PX) ÙØÐ Ö Ð ÓÖÑÙÐ cz 0 +d = ÚÐÙ Ò z 0 ÒØÖ ÔÖØ ÖÐÐ Ø ÑÒÖ ÔÓÙÖ Ð ÙØÖ ÓÒ ØÒØ ÐÙÐÖ ÙÜ ÑÒÖ ÖÒØ ØÙÖ ÚÐÙØÓÒ ÙØÐ Ö ÝÑØÖ ÚÒØÙÐÐ FX)º xrx) lim x + Qx) cx +d πx) β k ÜÑÔÐ ¾ ØÙÖ Ð ººË ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ ÙÚÒØ 1 X n 1 Ø X +2X3 +4X 4 X 2 +2X 3) 2 º ÜÑÔÐ ØÖÑÒÖ Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ Ò RX) Ø CX) ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ X7 6X 4 +2X 2 +1 X 2 +4) X +1) X5 +X 4 X 2 +X X 2 +4) X +1) 2 X5 +X 4 X 2 +X X 2 +4) 2 X +1) 2 X 3 +2 X 2 +4) X 2 +1) º
ÜÑÔÐ ØÙÖ Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÐÑÒØ ÑÔÐ Ò RX) ÖØÓÒ X4 5X +1 X 2 +1) 7 X 2 2X 3 6X 2 +6X 2 º ÜÑÔÐ ÅØØÖ Ð³ÜÔÖ ÓÒ ω U n ω X ω ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÔÓÐÝÒÑ = X 8 +X 7 X +3º ½º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ Ø Ò ÖÒ ÑÔÐ Ò Cº 1 ¾º ËÑÔÐÖ 3 z º z ZQ) ÓÙ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ ÖØÓÒ ÖØÓÒÒÐÐ ÖÖÙØк