BÀI 4: MỘT SỐ ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Các iế thức cầ có Địh lý Poisso Luật số lớ Địh lý giới hạ trug tâm Mục tiêu Giới thiệu hữg dạg đơ giả hất (hôg chứg mih) của một số địh lý cơ bả hất của Lý thuyết Xác suất Đây là hữg cơ sở qua trọg của lý thuyết Ước lượg và Lý thuyết Kiểm địh Thời lượg 4 tiết 97
4 Địh lý Poisso Trog thực hàh ta thườg bắt gặp tìh huốg cầ xác địh hả ăg xuất hiệ lầ biế cố A trog phép thử, được biết trước xác suất p của việc xảy ra biế cố A trog một phép thử Lúc đó ta có thể dùg các côg thức của phâ phối hị thức để tíh toá Tuy hiê côg thức đó chỉ thích hợp cho trườg hợp số lượg các phép thử tươg đối hỏ, cò hi số lượg phép thử lớ thì có thể áp dụg Địh lý Poisso để tíh gầ đúg Địh lý Poisso: Xác suất của một biế cố xuất hiệ lầ trog phép thử (xác suất xuất hiệ biế cố trog một phép thử là p) với tươg đối lớ, p và p λ với λ là một số cố địh ào đó, được tíh xấp xỉ theo côg thức:! (p) ( ) P () p ( p) e p λ = e λ!( )!!! Trog trườg hợp cầ tíh xác suất biế cố A xuất hiệ từ đế lầ trog phép thử, ý hiệu xác xuất đó là P (, ), áp dụg địh lý Poisso để tíh xấp xỉ cho giá trị P (, ) ta có côg thức: ( λ) P (, ) = P () e λ = =! Ví dụ : Tổg sả phẩm của xí ghiệp A trog một quý là 800 Xác xuất để sả xuất ra một phế phẩm là 0,005 Tìm xác suất để cho Có 3 sả phẩm là phế phẩm Có hôg quá 0 phế phẩm Giải: Ta có = 800, p = 0,005 Vậy λ = p = 4, từ đó 4 = = 3! 3 4 P 800(3) e 0,954 4 0 4 P 800(0,0) = e = 0,997 = 0! 4 Luật Số lớ Đối với mỗi một tham số của biế gẫu hiê (ỳ vọg, phươg sai, xác suất, vv), gười ta có thể dùg hiều thốg ê hác hau để ước lượg Do vậy gười ta đã đưa ra một số tiêu chuẩ để đáh giá các ước lượg của tham số hư tíh vữg, tíh hôg chệch, tíh hiệu quả, vv Luật Số lớ là một côg cụ giúp đáh giá tíh vữg cho ước lượg của hai tham số thốg ê là xác suất và ỳ vọg 98
Địh lý Beroulli: Nếu f là tầ suất xuất hiệ biế cố A trog phép thử độc lập và p là xác suất xuất hiệ biế cố đó trog mỗi phép thử thì với mọi ε dươg hỏ tùy ý ta luô có lim P( f p <ε ) = Địh lý trê cò được gọi là Luật số lớ Beroulli Địh lý ày cho thấy tầ suất là một ước lượg vữg của xác suất Đối với ỳ vọg, ta có địh lý dạg tổg quát, được phát biểu hư sau: Luật Số lớ: Giả sử X,X,,X, là dãy các biế gẫu hiê độc lập có cùg phâ bố với ỳ vọg chug μ và phươg sai tùy ý ta luô có 43 Địh lý Giới hạ trug tâm X+ X + + X lim P μ < ε = σ hữu hạ Khi đó với mọi ε dươg hỏ Trê đây ta thấy có thể tíh xấp xỉ các xác suất của luật phâ phối hị thức với số lượg phép thử lớ thôg qua luật phâ phối Poisso Các địh lý Giới hạ trug tâm trìh bày dưới đây sẽ cug cấp một côg cụ hác để tíh xấp xỉ các xác suất thôg qua luật phâ phối chuẩ tắc Địh lý Moivre-Laplace: Giả sử X là biế gẫu hiê có phâ bố hị thức với tham số (,p) Đặt S = X p Khi đó với mọi x + (, ) ta có ( < ) = ( < ) lim P S x P Z x trog đó Z là biế gẫu hiê có phâ bố chuẩ tắc Địh lý trê cho thấy có thể tíh xấp xỉ xác suất P() để một biế cố xuất hiệ lầ trog phép thử (p) là xác suất xuất hiệ biế cố A trog một phép thử của lược đồ Beroulli với tươg đối lớ theo côg thức / ( p ) / p( p) P() = π e =ϕ (x ) ( ) với ϕ là hàm mật độ của phâ bố chuẩ tắc: ( ) x / ϕ (x) = π e 99
Cò: x = p Ví dụ : Xác suất để sả xuất ra một chi tiết loại tốt là 0,4 Tìm xác suất để trog 6 chi tiết sả xuất ra thì có 3 chi tiết loại tốt Giải: Ta cầ tìm P 6 (3) với = 6, p = 0,4, p = 0,6 và ( p) 0, 33 x = =,04, ϕ (x ) =ϕ (,04) = 0,33, P 6(3) = 0, 093,5 Khi áp dụg Địh lý Moivre - Laplace để tíh xấp xỉ cho giá trị P(,)ta có côg thức Với: P(,) = Φβ ( ) Φα ( ) α= ( p), β= ( p) Và: x 0 x Φ (x) = e dx π Ví dụ 3: Một phâ xưởg sả xuất bóg đè đạt trug bìh là 70% sả phẩm loại tốt Tìm xác suất để trog 000 bóg đè có từ 65 đế 760 bóg đè loại tốt Giải: Ta có = 000, p = 0,7, -p = 0,3, = 65, = 700 Xác suất phải tìm là P 000 (65 ;760) Như vậy ( p) α= = 3,3 ; Φ( α ) = Φ( 3,3) = - 0,49950 β= ( p) = 4,4 ; Φ( β ) = Φ (4,4) = 0,499968 Từ đó P 000 (65 ;760) = Φβ ( ) Φ( α ) = 0,999488 00
Địh lý Moivre Laplace trê đây là một dạg đặc biệt của Địh lý Giới hạ trug tâm, được áp dụg cho các biế gẫu hiê có phâ phối 0 Đối biế gẫu hiê có phâ phối dạg bất ỳ, ta có địh lý tổg quát sau đây: Địh lý Giới hạ trug tâm: Nếu X,X,,X, là một dãy các biế gẫu hiê độc lập cùg tuâ theo một quy luật phâ phối xác suất với ỳ vọg toá μ và phươg sai hữu hạ σ, thì quy luật phâ phối xác suất của biế gẫu hiê U S E(S ) S μ = = V(S ) σ với S = X = sẽ hội tụ tới quy luật chuẩ tắc N(0,) hi Các địh lý Giới hạ trug tâm có ý ghĩa rất qua trọg đối với việc áp dụg thốg ê toá học trog thực tế, hôg hữg chỉ với côg dụg tíh xấp xỉ các xác suất hư đã trìh bày ở trê mà cò cả trog quá trìh tiế hàh các phép iểm địh thốg ê Thật vậy, phầ lớ các tiêu chuẩ iểm địh thốg ê cổ điể hư iểm địh so sáh các tầ suất, so sáh các giá trị trug bìh, so sáh phươg sai, vv đều được xây dựg dựa trê cơ sở ba đầu của các biế gẫu hiê có phâ phối chuẩ Tuy hiê trog các số liệu thực tế hầu hư rất hi bắt gặp một biế gẫu hiê thực sự có phâ phối chuẩ Lúc đó phải dựa vào hiệu lực của các địh lý Giới hạ trug tâm để áp dụg các tiêu chuẩ iểm địh thốg ê một cách gầ đúg cho các trườg hợp số liệu có cỡ mẫu đủ lớ 0
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Bài ày cug cấp cho học viê một số địh lý cơ bả trog Lý thuyết Xác suất : Địh lý Poisso, Luật Số lớ, Địh lý Giới hạ trug tâm Nhữg địh lý ày sẽ là cơ sở qua trọg của Lý thuyết Ước lượg và Lý thuyết Kiểm địh được trìh bày trog phầ của giáo trìh ày, cũg hư cug cấp cho học viê hữg côg thức tíh gầ đúg với một số bài toá xác suất phổ biế 0