Microsoft Word XSTK_bai 1_tr_1-32__240809_B1..doc

Bản ghi

1 Bài 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Mục tiêu Bài 1 giới thiệu cho học viê một số khái iệm (phép thử, biế cố, xác suất, ) và các côg cụ tíh toá (địh lý, côg thức tíh xác suất, ) cơ bả của lý thuyết Xác suất. Với các kiế thức ề tảg đó, học viê sẽ thực hiệ các bài tập ứg dụg đơ giả của xác suất trog hiều lĩh vực khác hau (kih tế, xã hội, kỹ thuật, quả lý ra quyết địh, ). Các kiế thức cầ có Nhắc lại về giải tích tổ hợp; Quy tắc hâ; Chỉh hợp lặp; Phép thử gẫu hiê và các loại biế cố; Khái iệm phép thử; Xác suất của biế cố; Địh ghĩa cổ điể về xác suất; Địh ghĩa thốg kê về xác suất; Nguyê lý xác suất lớ, xác suất hỏ; Các địh lý và côg thức xác suất; Xác suất có điều kiệ; Côg thức hâ xác suất; Côg thức cộg xác suất; Côg thức xác suất đầy đủ và côg thức Bayes; Côg thức Berouli. Thời lượg 8 tiết STA201_Bai 1_v

2 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tìh huốg Côg ty xử lý ước thải Hà Nội cầ tíh diệ tích mặt Hồ Gươm Hà Nội để xử lý ước. Câu hỏi 1. Nếu coi Hồ Gươm là một hìh trò, thì diệ tích Hồ Gươm tíh hư thế ào? 2. Thực tế, Hồ Gươm khôg phải hìh trò, cũg khôg biểu diễ được dưới dạg các hàm. Vậy làm cách ào để tíh diệ tích mặt hồ? 3. Bạ đưa ra đề xuất để tíh được thể tích đá vôi có thể khai thác được từ một quả úi? 2 STA201_Bai 1_v

3 1.1. Nhắc lại về giải tích tổ hợp Quy tắc hâ Giả sử một côg việc hoặc một quá trìh ào đó được chia thàh k giai đoạ: có 1 cách thực hiệ giai đoạ thứ hất, 2 cách thực hiệ giai đoạ thứ hai,, k cách thực hiệ giai đoạ thứ k. Khi đó ta có cách thực hiệ toà bộ côg việc (hoặc quá trìh): = k Ví dụ: Để bay từ Hà Nội tới Lodo phải qua trạm dừg châ tại Hog Kog, có 2 hãg hàg khôg phục vụ bay từ Hà Nội đế Hog Kog (Vietam Airlie và Pacific Airlie) và có 4 hãg khôg phục vụ bay từ Hog Kog tới Lodo (Air Hog Kog Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways và Hog Kog Airlies). Vậy có = 2 x 4 = 8 cách bay từ Hà Nội tới Lodo (qua trạm dừg châ Hog Kog) Chỉh hợp Hìh 1.1: Giá trị của hàm phâ phối F(x) xác địh qua tích phâ của hàm mật độ f(x) Địh ghĩa: Chỉh hợp chập k của phầ tử (k ) là một hóm có thứ tự gồm k phầ tử khác hau chọ từ phầ tử đã cho. k Ký hiệu A là chỉh hợp chập k của phầ tử, lúc đó ta có côg thức tíh hư sau: k! A ( 1)...( k 1). ( k)! Ví dụ: Có 5 đội bóg tham dự vòg chug kết bóg đá. Kết quả cuối cùg sẽ trao các huy chươg Vàg, Bạc và Đồg cho 3 đội hất, hì và ba. Vậy có thể có bao hiêu bộ ba các đội bóg được hậ huy chươg Vàg, Bạc và Đồg? STA201_Bai 1_v

4 Mỗi bộ ba các đội bóg được hậ huy chươg Vàg, Bạc và Đồg là một chỉh hợp chập 3 của 5 phầ tử, do đó số các khả ăg chọ được các đội đoạt giải là: Chỉh hợp lặp Địh ghĩa: 3 A5 5 x 4 x 3 = 60. Chỉh hợp lặp chập k của phầ tử (k ) là một hóm có thứ tự gồm k phầ tử khôg hất thiết khác hau, được chọ ra từ phầ tử đã cho. Số chỉh hợp lặp chập k của phầ tử được kí hiệu là Ví dụ: Hoá vị A k k. k A và có côg thức tíh là: Có 6 ô tô cầ sửa và ghé gẫu hiê vào 3 trug tâm bảo dưỡg trê cùg một tuyế phố. Có bao hiêu trườg hợp có thể xảy ra? Ta thấy việc đưa 6 ô tô vào 3 trug tâm để sửa là một chỉh hợp lặp chập 6 của 3 (mỗi lầ đưa 1 ô tô vào 1 trug tâm sửa chữa xem hư ta đã chọ 1 trog 3 trug tâm. Do có 6 chiếc xe ê việc chọ trug tâm sửa được tiế hàh 6 lầ). Vậy số trườg hợp có thể xảy ra là: Địh ghĩa: A Hoá vị của m phầ tử là một hóm có thứ tự gồm đủ m phầ tử đã cho. Số hoá vị của m phầ tử được ký hiệu là được tíh bằg côg thức: Ví dụ: Tổ hợp Pm m! P m và Một bà trog lớp học có 5 sih viê. Có mấy cách xếp chỗ gồi? Mỗi cách xếp chỗ của 5 sih viê ở một bà là một hoá vị của 5 phầ tử. Số cách xếp sẽ là: Địh ghĩa: P4 5! Tổ hợp chập k của phầ tử (k ) là một hóm khôg phâ biệt thứ tự, gồm k phầ tử khác hau chọ từ phầ tử đã cho. Số tổ hợp chập k của phầ tử kí hiệu là k C và được tíh qua côg thức: C k! ( 1)...( k 1). k!( k)! k! 4 STA201_Bai 1_v

5 CHÚ Ý Với côg thức tổ hợp, có một số đẳg thức đág hớ sau đây: 0! 1 (quy ước) C k Ví dụ: (học viê có thể tự chứg mih) k C C C C (học viê có thể tự chứg mih) k k 1 k 1 1 Một đề thi gồm 3 câu hỏi lấy trog một gâ hàg 50 câu hỏi cho trước. Có thể lập được bao hiêu đề thi khác hau? Số đề thi có thể lập là: 3 50! C !.(47)! Phép thử gẫu hiê và các loại biế cố Khái iệm phép thử Khi tiế hàh một thí ghiệm, một phép đo lườg hoặc một lầ qua sát, chúg ta có thể coi hư đag thực hiệ một hóm các điều kiệ cơ bả ào đó. Theo lý thuyết xác suất, đó là thực hiệ một phép thử. Địh ghĩa : Phép thử là sự thực hiệ một hóm các điều kiệ xác địh (có thể lặp lại hiều lầ) để qua sát một hiệ tượg ào đó có xảy ra hay khôg. Hiệ tượg có thể xảy ra hoặc khôg xảy ra trog kết quả của phép thử gọi là biế cố (hoặc gọi là kết cục). Để làm rõ khái iệm ày, chúg ta hãy xét các ví dụ sau đây: Ví dụ 1: Gieo một đồg xu (câ đối, đồg chất, trê một mặt phẳg cứg) chíh là thực hiệ một phép thử. Đồg xu lật mặt ào đó (sấp, gửa) là các biế cố. Ví dụ 2: Gieo một co súc sắc (câ đối, đồg chất, trê một mặt phẳg cứg) là một phép thử. Súc sắc gieo được mặt mấy chấm (1, 2, 3, 4, 5, 6) là các biế cố. Ví dụ 3: Bắ một viê đạ vào một tấm bia là một phép thử. Viê đạ trúg hay trượt bia là các biế cố. STA201_Bai 1_v

6 Hìh 1.2: Mặt trời mọc từ đằg đôg là một biế cố chắc chắ Phâ loại các biế cố Tiếp theo, để đơ giả cho việc trìh bày, khi đặt tê các biế cố ta thườg dùg dấu bằg "=", chẳg hạ A ="lấy được sả phẩm tốt". Giả sử phép thử G được thực hiệ, khi ấy biế cố xảy ra có thể được phâ loại theo hiều cách khác hau: CHÚ Ý Trog ội dug bài giảg ày, khi ói gieo đồg xu, gieo co súc sắc ta sẽ giả thiết các điều kiệ câ đối, đồg chất, trê một mặt phẳg cứg được thoả mã Xét dưới góc độ có xảy ra hay khôg trog kết quả phép thử G, ta có các loại biế cố Biế cố gẫu hiê là biế cố có thể xảy ra hoặc khôg xảy ra khi phép thử được thực hiệ, thườg được ký hiệu bằg các chữ i hoa: A, B, C,... Các biế cố gẫu hiê được gọi là đồg khả ăg ếu chúg có khả ăg xuất hiệ hư hau trog một phép thử. Biế cố chắc chắ là biế cố hất địh sẽ xảy ra trog kết quả phép thử. Biế cố chắc chắ được ký hiệu là hay U. Biế cố khôg thể có là biế cố hất địh khôg xảy ra trog kết quả phép thử và được ký hiệu là hay V. Ví dụ 4: Thực hiệ phép thử tug 1 co súc sắc câ đối, đồg chất. Khi ấy : o o o Biế cố tug được mặt chẵ chấm là biế cố gẫu hiê, Biế cố tug được mặt có số chấm hỏ hơ 7 là biế cố chắc chắ, Biế cố tug được mặt 8 chấm là biế cố khôg thể có Xét dưới góc độ có thể phâ tích hỏ biế cố hay khôg, ta có các loại biế cố Biế cố sơ cấp là một biế cố khôg thể phâ tích thàh các biế cố hỏ hơ. 6 STA201_Bai 1_v

7 Biế cố phức hợp là một biế cố có thể phâ tích thàh các biế cố hỏ hơ. Ví dụ 5: Biế cố đồg xu tug được mặt sấp hay gửa là biế cố sơ cấp. Ví dụ 6: Tug co súc sắc được mặt có số chấm là chẵ là một biế cố phức hợp, vì có thể phâ tích ó thàh các biế cố tug được mặt có 2, 4 và 6 chấm Xét dưới góc độ kết hợp giữa các biế cố khác, ta có các loại biế cố Biế cố tổg: Biế cố C được gọi là tổg 2 biế cố A và B, ký hiệu là C A B, ếu C xảy ra khi và chỉ khi ít hất một trog hai biế cố A và B xảy ra. Biế cố tổg cũg là biế cố phức hợp. Một cách tổg quát, tổg của biế cố A 1,A 2,...,A là một biế cố mà ó xảy ra ếu ít hất một trog các biế cố A i xảy ra, ký hiệu Ai A1 A 2... A. i 1 Ví dụ 7: Một côg ty có hai cửa hàg đại lý. Nếu gọi A là biế cố đại lý 1 bá được hàg, B là biế cố đại lý 2 bá được hàg, biế cố tổg C A B sẽ là biế cố côg ty bá được hàg. Ví dụ 8: Một gười khách du lịch đế thăm qua một đất ước có 7 địa điểm du lịch ổi tiếg. Các biế cố A 1,A 2,...,A 7 lầ lượt là các biế cố gười khách du lịch thăm qua địa điểm du lịch thứ i, khi đó biế cố tổg là: 7 A A. i 1 i A = gười khách du lịch đó ghé qua thăm ít hất 1 trog số 7 địa điểm du lịch trê. Biế cố tích: Biế cố C được gọi là tích của hai biế cố A và B, ký hiệu AB, ếu C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùg xảy ra. Tích của biế cố A 1,A 2,...,A là một biế cố mà ó xảy ra ếu tất cả các biế cố xảy ra, ký hiệu: Ai đồg thời A1 A1A 2...A. i 1 Hìh 1.3: Quay được ba số 7 và bạ trúg giải độc đắc STA201_Bai 1_v

8 Ví dụ 9: Gọi A 1 là biế cố đại lý 1 khôg tiêu thụ được sả phẩm của côg ty, B 1 là biế cố đại lý 2 khôg tiêu thụ được sả phẩm của côg ty, biế cố tích C1 A1B1 là biế cố côg ty khôg tiêu thụ được sả phẩm. Biế cố hiệu: Hiệu của 2 biế cố A và B, ký hiệu A\B, là biế cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hưg B khôg xảy ra. Ví dụ 10: Giả sử biế cố A = gieo 1 súc sắc được mặt chẵ chấm và biế cố B = gieo 1 súc sắc được mặt 2 chấm. Khi đó biế cố C = A\B là biế cố gieo 1 co súc sắc được mặt 4 chấm hoặc 6 chấm Xét qua hệ giữa các biế cố trog kết quả phép thử, ta có các loại biế cố Biế cố xug khắc: Hai biế cố A và B được gọi là xug khắc hau ếu chúg khôg thể đồg thời xảy ra khi phép thử được thực hiệ, tức là ếu AB. Các biế cố A 1,A 2,...,A gọi là đôi một xug khắc hau (xug khắc từg đôi) ếu hai biế cố bất kỳ trog chúg xug khắc với hau, tức là: Ví dụ 11: AA =f (" i¹ j;i,j= 1 ). i j Qua sát một doah ghiệp hoạt độg trog 1 ăm, A là biế cố doah ghiệp làm ă có lãi, B là biế cố doah ghiệp làm ă thua lỗ. Khi đó A và B là 2 biế cố xug khắc và AB. Địh ghĩa : Nhóm biế cố A 1,A 2...,A lập ê một hệ đầy đủ các biế cố (hóm đầy đủ các biế cố), ếu thỏa mã hai điều kiệ: o Tổg của chúg là biế cố chắc chắ: A1 A 2... A o Các biế cố A 1,A 2,...A đôi một xug khắc với hau. Ví dụ 12: Gieo một co xúc sắc và ký hiệu Ai "xuất hiệ mặt có i chấm", i = 1,...,6; A = "xuất hiệ mặt có số chấm chẵ"; B = "xuất hiệ mặt có số chấm lẻ"; Các biế cố A 1, A 2,...,A 6 lập ê một hệ đầy đủ các biế cố; các biế cố A, B cũg lập ê một hệ đầy đủ các biế cố. 8 STA201_Bai 1_v

9 Biế cố đối lập: Biế cố khôg xảy ra biế cố A được gọi là biế cố đối lập với biế cố A, ký hiệu là A. Ta có: A A và AA. Biế cố độc lập: Hai biế cố A và B được gọi là độc lập với hau ếu việc xảy ra hay khôg xảy ra biế cố ày khôg ảh hưởg gì đế xác suất xảy ra biế cố kia và gược lại. Khái iệm độc lập có thể tổg quát cho hiều biế cố: o Các biế cố A 1,A 2...A được gọi là độc lập từg đôi ếu mỗi cặp biế cố bất kỳ trog chúg độc lập với hau. Hìh 1.4: Thàh tích của một vậ độg viê trog mỗi lầ chạy là độc lập với hau o Các biế cố A 1,A 2,...,A được gọi là độc lập toà phầ (độc lập trê toà thể) ếu mỗi biế cố trog chúg độc lập với tổ hợp của một số bất kỳ các biế cố cò lại. Biế cố phụ thuộc: Hai biế cố A và B khôg độc lập được gọi là 2 biế cố phụ thuộc hau. Ví dụ 13: Có hai hộp sả phẩm. Hộp I chứa 6 sả phẩm tốt và 4 sả phẩm xấu, hộp II chứ 7 sả phẩm tốt và 3 sả phẩm xấu. Lấy gẫu hiê ở mỗi hộp ra một sả phẩm. Gọi A = "lấy được sả phẩm tốt từ hộp I", B = "lấy được sả phẩm tốt từ hộp II". Khi đó dễ thấy A và B là hai biế cố độc lập. Trog trườg hợp thực hiệ phép thử lấy gẫu hiê 1 sả phẩm ở hộp I bỏ sag hộp II, rồi lấy từ hộp II 1 sả phẩm ữa thì 2 biế cố A và B ói trê là 2 biế cố phụ thuộc hau. Một số khái iệm khác về qua hệ giữa các biế cố được đưa ra trog địh ghĩa tiếp theo đây: Địh ghĩa : Biế cố A được gọi là kéo theo biế cố B ếu A xảy ra dẫ đế B xảy ra. Khi đó ta ký hiệu A B. Biế cố A và B được gọi là tươg đươg khi A B và B A. Khi ấy ta ký hiệu A = B. Mọi biế cố gẫu hiê A đều biểu diễ được dưới dạg tổg của một 1 số biế cố sơ cấp ào đó. Các biế cố sơ cấp trog tổg ày được gọi là các biế cố thuậ lợi cho biế cố A. Biế cố chắc chắ là tổg của mọi biế cố sơ cấp có thể. Do đó biế cố cò được gọi là khôg gia các biế cố sơ cấp. Ví dụ 14: STA201_Bai 1_v

10 Trog phép thử gieo một đồg xu thì khôg gia biế cố sơ cấp là: S; N. Trog phép thử gieo một co súc sắc thì khôg gia biế cố sơ cấp là: Nhậ xét A,A,A,A,A,A Qua ội dug đã trìh bày trê đây, ta thấy: Các khái iệm biế cố tổg, tích, hiệu, đối lập tươg ứg với các khái iệm hợp, giao, hiệu, phầ bù của lý thuyết tập hợp. Ta có thể áp dụg các phép toá trê các tập hợp cho các phép toá trê các biế cố. Cụ thể ta có A A B; AB A; A B C AB AC; A B B A A B C A B C; AB BA; A BC AB C AC B Hai biế cố đối lập hau lập thàh một hệ đầy đủ biế cố. Quy tắc đối gẫu De Morga có thể áp dụg được cho các biế cố: A B AB ; AB A B. Quy tắc de Morga cũg đúg với biế cố. Augustus De Morga( ) 10 STA201_Bai 1_v

11 Có thể dùg biểu đồ Ve để miêu tả các biế cố: Hìh 1.5: Biểu diễ các loại biế cố bằg biểu đồ Ve 1.3. Xác suất của biế số Cho A là một biế cố trog phép thử G. Rõ ràg việc A xảy ra hay khôg xảy ra khi thực hiệ phép thử là khôg thể đoá trước được. Tuy hiê vẫ có thể qua tâm tới khả ăg xảy ra biế cố A trog phép thử đã cho, khả ăg ày được gọi là xác suất của biế cố A, ký hiệu là P(A) (P là viết tắt của từ Probability). Trog mục ày sẽ chỉ đề cập một số địh ghĩa đơ giả về xác suất Địh ghĩa cổ điể về xác suất Địh ghĩa : Giả sử phép thử có kết cục duy hất đồg khả ăg có thể xảy ra, trog đó có m kết cục đồg khả ăg thuậ lợi cho biế cố A xảy ra. Khi đó xác suất của biế cố A là tỷ số giữa số kết cục thuậ lợi cho A trog phép thử và tổg số các kết cục duy hất đồg khả ăg xảy ra trog phép thử đó: Ví dụ 1: m P A. (1.1) Gieo một co xúc sắc câ đối đồg chất. Tíh xác suất để: Xuất hiệ mặt 6 chấm, Xuất hiệ mặt có số chấm chẵ. Giải: Khi gieo co xúc sắc thì có 6 kết cục duy hất đồg khả ăg xảy ra, = 6. Gọi A là biế cố "xuất hiệ mặt 6 chấm", khi đó số kết cục thuậ lợi cho A là ma 1 1 P A. 6. Vậy STA201_Bai 1_v

12 Gọi B là biế cố "xuất hiệ mặt có số chấm chẵ", khi đó số kết cục thuậ lợi cho B là m 3. Vậy: B 3 1 P B. 6 2 Ví dụ 2: Một hộp có 6 sả phẩm tốt và 4 sả phẩm xấu. Lấy gẫu hiê từ hộp ra một sả phẩm, tíh xác suất để lấy được sả phẩm tốt. Lấy gẫu hiê đồg thời từ hộp ra hai sả phẩm, tíh xác suất để lấy được hai sả phẩm tốt. Lấy gẫu hiê có hoà lại lầ lượt từ hộp ra hai sả phẩm, tíh xác suất để lấy được hai sả phẩm tốt. Giải: Gọi A, B, C tươg ứg là các biế cố ở câu hỏi a, b, c. Khi lấy gẫu hiê từ hộp ra một sả phẩm, có 10 sự lựa chọ đồg khả ăg, trog đó có 6 cách thuậ lợi để lấy được sả phẩm tốt. Vậy: 6 3 P A Khi lấy gẫu hiê từ hộp ra hai sả phẩm, có trog đó có 2 C 6 cách thuậ lợi để lấy được hai sả phẩm tốt. Vậy: C P B. C C 10 sự lựa chọ đồg khả ăg, Lầ thứ hất lấy gẫu hiê từ hộp ra một sả phẩm, ta có 10 sự lựa chọ đồg khả ăg, khi đã biết sả phẩm thứ hất là tốt hay xấu rồi hoà lại sả phẩm ày vào hộp sau đó lấy gẫu hiê lầ thứ hai, rõ ràg lầ ày cũg có 10 sự lựa chọ đồg khả ăg. Vậy khi lấy gẫu hiê có hoà lại, lầ lượt từ hộp ra hai sả phẩm ta có sự lựa chọ đồg khả ăg. Lập luậ tươg tự ta thấy có 6.6 cách thuậ lợi để cả hai lầ đều lấy được sả phẩm tốt. Vậy: PC Ví dụ 3: Một lớp gồm 50 học sih trog đó có 30 học sih giỏi tiếg Ah, 25 học sih giỏi tiếg Pháp, 15 học sih giỏi tiếg Trug, 12 học sih giỏi tiếg Ah và tiếg Pháp, 7 học sih giỏi tiếg Ah và tiếg Trug, 5 học sih giỏi tiếg Pháp và tiếg Trug, 2 học sih giỏi cả ba thứ tiếg trê. Chọ gẫu hiê một học sih trog lớp để kiểm tra. Tíh xác suất để: Học sih đó giỏi ít hất một trog goại gữ trê. Học sih đó chỉ giỏi tiếg Ah Học sih đó giỏi hai trog ba goại gữ trê. 12 STA201_Bai 1_v

13 Hìh 1.7: Biểu đồ về phâ bố trìh độ goại gữ Giải: Gọi A, B, C tươg ứg là biế cố trog câu hỏi a, b, c. Sử dụg sơ đồ Ve hư hìh vẽ, ta có các kết quả thu được là: Ví dụ 4: P A ; P B ; P C Trog một hóm gồm N sả phẩm cùg loại có M sả phẩm đạt tiêu chuẩ và N M sả phẩm khôg đạt tiêu chuẩ. Lấy gẫu hiê cùg lúc sả phẩm. Tíh xác suất trog số sả phẩm lấy ra có m sả phẩm đạt tiêu chuẩ (0 m ). Giải: Gọi A là biế cố "trog sả phẩm lấy ra có m sả phẩm đạt tiêu chuẩ". Phép thử có tất cả C N kết cục đồg khả ăg. Do có thể lấy m sả phẩm đạt tiêu chuẩ từ M m sả phẩm theo C N cách, cò m sả phẩm khôg đạt tiêu chuẩ có thể lấy từ N M m sả phẩm theo C m m N Mcách, ê có C M.C N M thuậ lợi cho biế cố A. Vậy: m C M.C P A C m N M N CHÚ Ý Địh ghĩa cổ điể về xác suất có ưu điểm là dễ vậ dụg tuy hiê địh ghĩa ày chỉ áp dụg được với các phép thử có hữu hạ kết cục đồg khả ăg xảy ra, trog hiều bài toá thực tế, việc tíh hết các kết cục của một phép thử khôg dễ dàg, bê cạh đó điều kiệ các kết cục đồg khả ăg trê thực tế thườg khó thỏa mã. Bê cạh địh ghĩa xác suất cổ điể, ta sẽ xét thêm địh ghĩa thốg kê về xác suất STA201_Bai 1_v

14 Địh ghĩa thốg kê về xác suất Tiế hàh phép thử lầ, giả sử có m lầ biế cố A xuất hiệ. Khi đó số m được gọi là tầ số xuất hiệ biế cố A và tỷ số m được gọi là tầ suất xuất hiệ của biế cố A trog phép thử. Ký hiệu : m f(a) (1.2) Hìh 1.7: Tỉ lệ am ữ theo thốg kê là xấp xỉ 1:1 Địh ghĩa : Khi cho số phép thử tăg lê vô hạ thì tầ suất xuất hiệ của biế cố A sẽ hội tụ về một giá trị hất địh, đó chíh là xác suất xuất hiệ biế cố A P(A) lim f(a) (1.3) Khi khá lớ, với sai số cho phép, có thể lấy tầ suất f(a) thay thế cho P(A). Ví dụ 5: Một xạ thủ bắ 1000 viê đạ vào bia. Có xấp xỉ 50 viê đạ trúg bia. Khi đó xác suất để xạ thủ bắ trúg bia là 50/1000 = 5%. Ví dụ 6 Khi gieo một đồg xu hiều lầ gười ta thu được kết quả sau: Người thí ghiệm Số lầ gieo () Số lầ sấp (m) Tầ suất (f) Buffo ,5080 Pearso ,5016 Pearso , STA201_Bai 1_v

15 Từ đó có thể thấy rằg khi số lầ gieo càg lớ, tầ suất xuất hiệ mặt sấp càg gầ với xác suất xuất hiệ mặt sấp là 0,5. Từ các địh ghĩa trê dễ dàg suy ra một số tíh chất đơ giả của xác suất hư sau: 0 P(A) 1với mọi biế cố A P( ) 1 P( ) 0 Nếu A B thì P(A) P(B) P(A) + P(Ā) = 1 P(A) P(AB) P(AB) CHÚ Ý Địh ghĩa thốg kê về xác suất khôg đòi phép thử phải có hữu hạ kết cục đồg khả ăg hưg lại yêu cầu phải lặp lại hiều lầ phép thử, trog một số trườg hợp điều ày là khôg hiệ thực. Để có một ghiê cứu đầy đủ về lý thuyết Xác suất, gười ta thườg sử dụg địh ghĩa xác suất theo hệ tiê đề của Kolmogorov. Trog phạm vi bài giảg ày sẽ khôg trìh bày địh ghĩa đó Nguyê lý xác suất lớ, xác suất hỏ Trê thực tế, các sự kiệ mà khả ăg xảy ra rất lớ (gầ bằg 1) thì có thể coi hư chắc chắ xảy ra trog kết quả 1 phép thử, các sự kiệ mà khả ăg xảy ra rất hỏ (gầ bằg 0) thì có thể coi hư sẽ khôg xảy ra trog kết quả 1 phép thử. Tuỳ từg bài toá cụ thể mà có thể chấp hậ các mức xác suất lớ, hỏ thích hợp Các địh lý và côg thức xác suất Xác suất có điều kiệ Thôg thườg khi ói đế xác suất của biế cố A ta hiểu xác suất đó được tíh trog một phép thử xác địh. Trog hiều bài toá, đôi khi goài các điều kiệ ba đầu cò có thêm hữg điều kiệ phụ có thể ảh hưởg đế khả ăg xuất hiệ biế cố A. Địh ghĩa: Xác suất của biế cố A được tíh với giả thiết biế cố B đã xảy ra gọi là xác suất của A với điều kiệ B, ký hiệu là P(A B). Ví dụ 1: Có hai hộp sả phẩm. Hộp I có 7 sả phẩm tốt và 3 sả phẩm xấu, hộp II có 6 sả phẩm tốt và 4 sả phẩm xấu, lấy gẫu hiê một sả phẩm từ hộp I bỏ vào hộp II sau đó lấy gẫu hiê từ hộp II ra Hìh 1.8: Xác suất có điều kiệ STA201_Bai 1_v

16 một sả phẩm. Xét xác suất để sả phẩm lấy ra từ hộp II là tốt. Gọi A = "sả phẩm từ hộp I bỏ sag hộp II là tốt", B = "sả phẩm lấy từ hộp II là tốt". Có hai trườg hợp xảy ra. Nếu sả phẩm từ hộp I bỏ sag hộp II là tốt, ta có: 7 P(B A). 11 Nếu sả phẩm từ hộp I bỏ sag hộp II là xấu, ta có: 6 P(B A). 11 CHÚ Ý Ta có thể địh ghĩa lại khái iệm biế cố độc lập một cách chíh xác hư sau: Hai biế cố A và B độc lập là 2 biế cố thỏa mã điều kiệ P(A) P(A B) P(A B) và P(B) P(B A) P(B A) Côg thức hâ xác suất Cho A và B là hai biế cố trog một phép thử. Từ địh ghĩa xác suất, ta chứg mih được địh lý sau: Địh lý (Địh lý hâ xác suất): Xác suất của tích hai biế cố bằg tích xác suất của một trog chúg hâ với xác suất có điều kiệ của biế cố kia với giả thiết biế cố thứ hất đã xảy ra: P(AB) P(A) P(B A) P(B) P(A B) (1.4) Từ Địh lý hâ xác suất, dễ dàg suy ra được các hệ quả sau: Hệ quả 1: Nếu P(B) = 0 thì P(A B) khôg xác địh. Hìh 1.9: Nhâ xác suất Nếu P(B) > 0 thì: Tươg tự, ếu P(A) 0 thì: P(AB) P(A B). (1.5) P(B) P(AB) P(B A). P(A) Hệ quả 2: Hai biế cố A và B là hai biế cố độc lập khi và chỉ khi P(AB) P(A) P(B). 16 STA201_Bai 1_v

17 Bằg quy ạp có thể tổg quát địh lý hâ xác suất với biế cố hư sau: Địh lý : Nếu P A1A 2...A 1 0 thì: P(A A...A ) P(A ) P(A A )... P(A A A...A ). (1.6) Từ đó dễ dàg thu được các hệ quả sau: Hệ quả 3: Nếu các biế cố A 1,A 2...,A độc lập toà phầ thì ta có: P(A1A 2...A ) P(A 1) P(A 2)... P(A ). (1.7) Ví dụ 2: Một hộp đựg 8 bi xah và 7 bi đỏ. Lấy gẫu hiê 1 viê bi sau đó lấy tiếp bi thứ hai. Tíh xác suất lầ thứ hất lấy được bi xah và lầ thứ hai lấy được bi đỏ. Giải: Gọi A là biế cố lầ thứ hất được bi xah, B là biế cố lầ thứ hai được bi đỏ. Ta có: P(AB) P(A) P(B A) Ví dụ 3: Một côg hâ đứg 3 máy, biết các máy hoạt độg độc lập với hau, xác suất để trog thời gia T máy 1, 2, 3 khôg bị hỏg hóc tươg ứg là 0,9; 0,8; 0,7. Tíh xác suất để cả 3 máy đều bị hỏg trog thời gia trê. Giải: Gọi A, B, C tươg ứg là sự kiệ máy 1, 2, 3 khôg bị hỏg trog thời gia T. Theo giả thiết, ta có: P(A) = 0,9; P(B) = 0,8; P(C) = 0,7. Xác suất tươg ứg để mỗi máy bị hỏg trog thời gia T là: P(A) = 0,1; P(B) = 0,2; P(C) = 0,3. Do các máy hoạt độg độc lập với hau ê các biế cố A, B, C độc lập toà phầ. Vậy xác suất để cả ba máy bị hỏg trog thời gia T là: P(ABC) = P(A) P(B) P(C) = 0,1 0,2 0,3 = 0,006. CHÚ Ý Hệ quả 3.2 cug cấp một phươg pháp dễ thực hàh để kiểm tra tíh độc lập: Hai biế cố A và B là độc lập khi và chỉ khi P(AB) P(A) P(B) STA201_Bai 1_v

18 Côg thức cộg xác suất Cho A và B là hai biế cố. Từ địh ghĩa xác suất, ta chứg mih được địh lý sau: Địh lý : Xác suất của tổg hai biế cố bằg tổg các suất của chúg trừ đi xác suất của tích các biế cố ấy: P(A B) P(A) P(B) P(AB). (1.8) Từ địh lý 3.3, dễ dàg suy ra được các hệ quả sau: Hệ quả 4: Nếu A và B là hai biế cố xug khắc thì ta có: Hệ quả 5: P(A B) P(A) P(B). (1.9) Côg thức tíh xác suất của tổg biế cố trog trườg hợp các biế cố A 1, A 2,..., A đôi một xug khắc hau. Cụ thể, ta có: i i 1 2 i 1 i 1 (1.10) P A P(A ) P(A ) P(A )... P(A ). Hơ ữa, ếu A 1,A 2,...,Alà một hệ thốg đầy đủ biế cố trog một phép thử thì: Hệ quả 6: P(A 1) P(A 2)...P(A ) 1. (1.11) Đối với mọi biế cố A ta đều có: P(A) 1 P(A). (1.12) Ví dụ 4: Hai xạ thủ mỗi gười bắ một phát vào bia. Xác suất trúg đích của gười thứ hất là 0,7 và của gười thứ hai là 0.8. Tíh xác suất để có ít hất 1 phát đạ trúg bia. Giải: Gọi A là biế cố xạ thủ thứ hất bắ trúg bia, B là biế cố xạ thủ thứ hai bắ trúg bia. Ta có: P(A B) P(A) P(B) P(AB). Vì A và B độc lập ê: P(AB) = P(A).P(B) = 0,7 0,8 = 0,56. Vậy: P(A+ B) = 0,7+ 0,8-0,56= 0,94. Ví dụ 5: Một sả phẩm xuất xưởg phải qua ba lầ kiểm tra. Xác suất để một phế phẩm bị loại ở lầ kiểm tra đầu là 0,8. Đồg thời, ếu ở lầ kiểm tra đầu sả phẩm khôg bị loại thì xác suất ó bị loại ở lầ thứ hai là 0,9. Tươg tự ếu lầ thứ hai ó cũg khôg bị loại thì xác suất ó bị loại ở lầ kiểm tra thứ ba là 0,95. Tíh xác suất để một phế phẩm bị loại qua ba lầ kiểm tra. 18 STA201_Bai 1_v

19 Giải: Đặt A = "phế phẩm bị loại qua ba lầ kiểm tra", A i = "phế phẩm bị loại ở lầ kiểm tra thứ i", i = 1, 2, 3. Ta có A là tổg của ba biế cố xug khắc Do đó: A A1 A1A2 A1A2A3. P(A) P(A 1) P(A 1)P(A2 A 1) P(A 1)P(A2 A 1)P(A3 A1A 2) = 0,8 + 0,2 0,9 + 0,2 0,1 0,95 = 0,999. Tíh theo cách khác, ta có: P(A) 1 P(A1A2A 3) 1 P(A 1)P(A2 A 1)P(A3 A1A 2) =1 0,2 0,1 0,05 = 0, Côg thức xác suất đầy đủ và côg thức Bayes Côg thức xác suất đầy đủ Cho A 1,A 2,...,Alà một hệ đầy đủ các biế cố trog một phép thử và A là một biế cố trog phép thử đó. Giả sử ta biết các xác suất P(A i) và P(A A i) với mọi i = 1,...,. Khi đó xác suất của biế cố A được tíh theo côg thức: i i (1.13) i 1 P(A) P(A ) P(A A ). Côg thức trê được gọi là côg thức xác suất đầy đủ. Ví dụ 6: Có 5 hộp bóg đè, trog đó gồm 3 hộp loại 1 mỗi hộp có 9 bóg chất lượg tốt và 1 bóg chất lượg kém. Hai hộp loại 2 mỗi hộp gồm 4 bóg chất lượg tốt và hai bóg chất lượg kém. Lấy gẫu hiê một hộp và từ đó rút ra một bóg đè. Tìm xác suất để bóg lấy ra là bóg đè có chất lượg kém. Giải: Gọi A là biế cố "bóg đè lấy ra là bóg có chất lượg kém", A 1 là biế cố "hộp lấy ra là hộp loại 1", A 2 là biế cố "hộp lấy ra là hộp loại 2". Vì việc chọ hộp bóg đè chỉ có thể là hộp loại 1 hoặc loại 2 ê A 1 và A 2 lập thàh một hệ đầy đủ các biế cố. Theo côg thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) P(A 1) P(A A 1) P(A 2) P(A A 2). Theo thôg ti trê ta có: P(A 3 2 1) ; P(A 2) ; 5 5 P(A A ) ; P(A A 2) Vậy: P(A) STA201_Bai 1_v

20 Ví dụ 7: Có 2 lô sả phẩm. Lô 1 có 50 sả phẩm trog đó có 20 sả phẩm xấu. Lô 2 có 40 sả phẩm, trog đó có 15 sả phẩm xấu. Lấy gẫu hiê một lô và từ đó lấy ra 1 sả phẩm. Tìm xác suất để sả phẩm lấy ra là sả phẩm tốt. Giải: Ký hiệu H i là biế cố Sả phẩm lấy ra từ lô i, i = 1, 2. Khi đó {H 1, H 2 } lập thàh hệ đầy đủ các biế cố. Đặt A là biế cố Sả phẩm lấy ra là sả phẩm tốt thì theo côg thức xác suất toà phầ ta có: Côg thức Bayes P(A) P(H 1) P(A H 1) P(H 2) P(A H 2) P(A) Với cùg giả thiết hư trog côg thức xác suất đầy đủ, thêm điều kiệ phép thử đã được thực hiệ và kết quả là biế cố A xảy ra, ta qua tâm đế việc A xảy ra cùg với biế cố A ào của hệ đầy đủ biế cố trê. Theo địh lý hâ xác suất ta có: i P(A A) i P(A A) P(A) P(A ) P(A A ) i i i. (1.14) P(A) Côg thức trê gọi là côg thức Bayes. Trog côg thức đó, các xác suất P(Ai A) thườg được gọi là các xác suất hậu ghiệm, cò các xác suất P(A i) được gọi là xác suất tiê ghiệm. Ví dụ 8: Hai máy sả xuất ra cùg một loại lih kiệ hư hau. Các lih kiệ ày được đóg chug vào một thùg. Năg suất của máy thứ hai gấp đôi ăg suất của máy thứ hất. Máy thứ hất sả xuất trug bìh được 63% lih kiệ loại tốt, cò máy thứ hai được 81% lih kiệ loại tốt. Từ thùg hàg lấy gẫu hiê một lih kiệ thì thấy được lih kiệ loại tốt. Tìm xác suất để lih kiệ đó là do máy thứ hất sả xuất. Giải: Ký hiệu A i là biế cố lih kiệ do máy thứ i sả xuất, i = 1, 2 và A là biế cố lih kiệ lấy ra thuộc loại tốt. Ta cầ tìm P(A1 A) P(A) 1 = ; P(AA) 1 = ; P(A) = 0,63+ 0,81= 0, Theo côg thức Bayes ta có: Vậy: P(A 1) P(A A 1) P(A1 A) =. P(A) 1 0,63 P(A 3 1 A) = = 0,28. 0,75 20 STA201_Bai 1_v

21 Ví dụ 9: Một dây chuyề sả xuất các loại bộ phậ khác hau của một thiết bị: các bộ phậ phức tạp chiếm 35%, các bộ phậ đơ giả chiếm 65% tổg số lih kiệ của toà bộ thiết bị. Xác suất hỏg sau khoảg 8 ăm hoạt độg của các loại bộ phậ của thiết bị tươg ứg là 15% và 35%. Máy đag hoạt độg bỗg bị hỏg, hãy tíh xác suất bị hỏg của từg loại bộ phậ cấu tạo máy (giả thiết các loại bộ phậ cấu tạo thiết bị khôg hỏg đồg thời). Giải: Gọi A là biế cố máy bị hỏg, A là biế cố lih kiệ bị hỏg thuộc loại i, với i = 1,2. i Khi đó các biế cố A i lập ê một hệ đầy đủ biế cố. Ta cầ tíh các xác suất P(Ai A). Theo côg thức xác suất đầy đủ ta có: Áp dụg côg thức Bayes ta lại có: P(A) = P(A 1) P(A A 1) + P(A 2) P(A A 2) = 0,35 0,15+ 0, 65 0,35 = 0, 28. 0,35 0,15 P(A1 A) = = 0, , 28 Tươg tự ta tíh được: P(A2 A) = 0,8125. Ví dụ 10: Biết rằg tỷ lệ côg hâ ghiệ thuốc lá ở một hà máy là 30%, tỷ lệ gười viêm họg trog số côg hâ ghiệ thuốc là 60%, cò trog số gười khôg ghiệ thuốc là 40%. Chọ gẫu hiê một côg hâ, thấy côg hâ ày viêm họg. Tíh xác suất để côg hâ đó ghiệ thuốc. Nếu côg hâ đó khôg bị viêm họg, hãy tíh xác suất để côg hâ đó ghiệ thuốc. Giải: Gọi A là biế cố chọ ra được côg hâ viêm họg, B là biế cố côg hâ được chọ ra là gười ghiệ thuốc. Khi đó B và B lập thàh một hệ đầy đủ biế cố. Ta có: P(B) = 0,3 P(B) = 0,7; P(A B) = 0,6 P(A B) = 0,4. Theo côg thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = 0,3 0, 6 + 0, 7 0, 4 = o Xác suất để gười côg hâ đó ghiệ thuốc ếu viêm họg là: 0,3 0, 6 P(B A) = = 0,39. 0, 46 STA201_Bai 1_v

22 o Xác suất để gười côg hâ đó ghiệ thuốc ếu khôg bị viêm họg là: P(A) = 1- P(A) = 0, Côg thức Beroulli P(B) P(A B) 0,3 0, 4 P(B A) = = = 0,222 P(A) 0,54 Thực hiệ lặp lại lầ một phép thử một cách độc lập. Trog mỗi lầ thử ta qua tâm sự xuất hiệ biế cố A. Giả sử xác suất xuất hiệ A trog mỗi lầ thử là hư hau và bằg p (xác suất thàh côg). Khi đó, xác suất để trog lầ thử đã cho có đúg x lầ biế cố A xuất hiệ (x lầ thàh côg) được tíh bởi côg thức Beroulli: P(x) Cp (1 p) với x 0,1,2,...,. (1.15) x x x Ví dụ 11: Một gười bắ 3 viê đạ vào một tấm bia với xác suất bắ trúg của mỗi viê đạ là 0,7. Tíh xác suất để có 1 viê đạ trượt bia. Tíh xác suất để bia bị trúg đạ. Giải: o Gọi A i là biế cố viê đạ thứ i bắ trượt bia với i 1,2,3 o o Ta đag có 1 bài toá xác suất với lược đồ Beroulli 3 p(a i ) = 0,3 i 1,2,3. p(a i ) 0,7 Gọi A là biế cố "trog 3 viê đạ bắ vào bia có 1 viê bị trượt". Khi ấy: P(A) P (1) C 0,3 0,7 0, 441. Gọi B là biế cố "bia bị trúg đạ". Dễ dàg thấy: P(B) 1 P (0) 1 C 0,3 0,7. Ví dụ 12: Một đại lý lấy hàg từ tổg kho của côg ty SAMSUNG 14 chiếc ti vi. Giả sử việc các ti vi bị hỏg là độc lập với hau và xác suất bị hỏg của mỗi chiếc ti vi là 0,04. Tíh xác suất để: Có hiều hất một chiếc tivi bị hỏg, Có hiều hất là hai chiếc tivi bị hỏg. Giải: o Gọi A là biế cố "có hiều hất một chiếc tivi bị hỏg" và A i là biế cố chiếc ti vi thứ i bị hỏg với i 1,...,14. Theo giả thiết P(A i) 0,04. Ta có một lược đồ Beroulli với = 14 hư sau: P(A) P (0) P (1) C 0,04 0,96 C 0,04 0,96 22 STA201_Bai 1_v

23 o Gọi B là biế cố "trog 14 chiếc ti vi lấy ra có hiều hất là hai chiếc tivi bị hỏg". Ta có: P(B) P (0) P (1) P (2) C 0, 04 0,96 C 0, 04 0,96 C 0, 04 0,96. Ví dụ 13: Tỷ lệ gười mắc bệh lao ở một vùg là 10%. Kiểm tra gẫu hiê 100 gười vùg đó. Tíh xác suất để trog 100 gười được kiểm tra khôg gười ào bị bệh lao. Tíh xác suất để trog 100 gười được kiểm tra có ít hất 1 gười bệh lao. Giải: o o Gọi A là biế cố "gười được kiểm tra bị bệh lao, theo giả thiết P(A) = 0,1. Lập luậ tươg tự hư trog ví dụ bê trê với = 100, p = 0,1, ta có: = 100 = ( ) ( ) P (0) C 0,1 0,9 (0,9) Gọi B là biế cố "trog 100 gười được kiểm tra có ít hất 1 gười mắc bệh lao". Khi đó B là biế cố "trog 100 gười được kiểm tra khôg có gười ào mắc bệh lao". Ta có: P(B) = 1- P(B) = 1- P (0) = 1 -(0,9). STA201_Bai 1_v

24 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Chươg ày giới thiệu hữg vấ đề mở đầu cơ bả hất của lý thuyết xác suất thốg kê, giới thiệu hữg khái iệm và côg thức tíh xác suất. Các bạ cầ phải ắm vữg các khái iệm và côg thức trog mỗi bài học hư các côg thức cộg, hâ xác suất, côg thức tíh xác suất qua biế cố đối, côg thức xác suất đầy đủ, côg thức Bayes và côg thức Beroulli. 24 STA201_Bai 1_v

25 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1. Cho 3 biế cố A, B, C. Biế cố Có ít hất một trog 3 biế cố A, B, C xảy ra là: a. ABC b. A B C c. ABC BAC CAB d. ABC 2. Cho hai biế cố A và B. Khẳg địh ào dưới đây là đúg a. AB \ AB b. Các biế cố A, A và A B, khôg xug khắc từg đôi c. Các biế cố A, A và A B, tạo thàh hệ đầy đủ các biế cố d. Các biế cố A\B,AB,AB và A B tạo thàh hệ đầy đủ các biế số 3. Cho các biế cố A, B thoả mã 0 < P(A), P(B) < 1. Kết luậ ào dưới đây kéo theo A và B xug khắc? a. A và B xug khắc b. A và B xug khắc P AB P A P B c. d. P(A B) P A P B P AB 4. Cho A, B là các biế cố thoả mã 0 < P(A), P(B) < 1. Khẳg địh ào dưới đây là đúg P AB mi P A,P B a. b. Nếu P A P B thì A B c. P AB 1 P AB d. P A P A B \P B 5. Khẳg địh ào dưới đây là đúg cho mọi biế cố A, B với 0 < P(A) < 1 và 0 < P(B) <1? a. P(A B) P(B A) 1 b. P A B P A B c. Nếu P(A) = P(B) thì P A B P B A d. Nếu P A B P B A thì P(A) = P(B) 6. Cho các biế cố A và B thỏa mã 0 P(A),P(B) 1.Nếu P(A B) P(B A) thì: a. A và B là các biế cố đọc lập b. A và B là các biế cố xug khắc P A B P B A c. d. P A B P B A STA201_Bai 1_v

26 7. Cho 2 biế cố A, B thoả mã 0 < P(A) < 1 và 0 < P(B) <1. Khi đó: a. Nếu P A B P A b. Nếu A B thì P B A 1 thì A và B độc lập c. Nếu A và B xug khắc thì P A B 0 d. P A B P A B 1 8. Cho các biế cố A, B thoả mã 0 < P(A), P(B) < 1. Khi đó: a. P A P B A P B P A B 1 b. P A B P A c. P A P A B P B P B A d. P B P A B P A P B A 9. Có hai thùg hàg, thùg A có 80 sả phẩm loại I và 40 sả phẩm loại II; thùg B có bao hiêu sả phẩm loại I? có 70 sả phẩm loại II. Chọ gẫu hiê 1 thùg, từ đó lấy ra 1 sả phẩm thì thấy đó là sả phẩm loại II. Xác suất để đó là thùg B là: a. 0,554 b. 0,555 c. 0,556 d. 0, Có 2 hộp sả phẩm: hộp thứ hất có 7 chíh phẩm và 3 phế phẩm; hộp thứ hai có 6 chíh phẩm và 4 phế phẩm. Người ta lấy mỗi hộp ra 2 sả phẩm. Xác suất để số phế phẩm cò lại hai hộp bằg hau là: a. 0,3 b. 0,31 c. 0,32 d. 0,33 26 STA201_Bai 1_v

27 BÀI TẬP 1. Một gười mua lầ lượt 3 sả phẩm cùg loại ở một cửa hàg. Gọi A i là biế cố mua được sả phẩm tốt ở lầ thứ i (i 1, 2,3). a. Hãy mô tả bằg lời các biế cố sau: AAA AAA A1 A2 A3 A1 A2 A3 AAA b. Hãy biểu diễ các biế cố sau theo các biế cố A i A = "Có ít hất 1 lầ gười ấy mua được sả phẩm tốt" B = "Có đúg 1 lầ gười ấy mua được sả phẩm tốt" C = "Có hiều hất 1 lầ gười ấy mua phải sả phẩm xấu" D = "Có đúg lầ thứ hất mua được sả phẩm tốt". 2. Tug đồg thời 3 đồg xu (giốg hau; câ đối và đồg chất có 2 mặt sấp - gửa). a. Có bao hiêu "kết cục duy hất, đồg ăg" có thể xảy ra. Hãy êu một cách tíh. b. Có bao hiêu kết cục thuậ lợi cho biế cố A với A = "có ít hất 2 đồg xu xuất hiệ mặt gửa"? 3. Gieo đồg thời hai co xúc sắc (giốg hau, câ đối và đồg chất). Tíh xác suất của các biế cố sau: a. Tổg số chấm xuất hiệ trê 2 co súc sắc là 7 chấm b. Tổg số chấm xuất hiệ trê 2 co súc sắc là 8 c. Tổg số chấm xuất hiệ trê hai co lớ hơ 7 chấm. d. Tổg số chấm xuất hiệ trê hai co bằg 10 biết rằg một co đã xuất hiệ mặt 3 chấm. e. Có ít hất một co xuất hiệ mặt 6 chấm biết rằg số chấm trê hai co là khác hau. f. Số chấm xuất hiệ trê 2 co súc sắc hơ kém hau đúg 2 chấm g. Số chấm xuất hiệ trê hai co là khác hau. 4. Một gười gày ào cũg tug 5 co xúc xắc để cầu may vào buổi ság sớm, ah ta cho rằg ếu tug được ít hất 1 co xúc xắc có 6 thì gày hôm đó là gày may mắ của ah ta. Tuầ vừa rồi ah ta có 3 gày may mắ. Tíh xác suất trog 3 lầ đó khôg lầ ào có hiều hơ 1 co xúc xắc có mặt Có 12 khách hàg vào 1 siêu thị có 4 tầg một cách gẫu hiê. Tìm xác suất để: a. Mỗi tầg có 3 khách hàg b. Một tầg có 6 khách hàg, một tầg có 4 khách hàg, hai tầg cò lại mỗi tầg có 1 khách hàg 6. Có mười tấm thẻ được đáh số từ 0 đế 9. Lấy gẫu hiê 2 tấm thẻ xếp thàh 1 số gồm 2 chữ số. Tìm xác suất để số đó chia hết cho 18. STA201_Bai 1_v

28 7. Cho ba biế cố A, B,C có các xác suất: P(A) = 0,525 P(B) = 0,302 P(C) = 0,48 P(AB) = 0,052 P(BC) = 0,076 P(CA) = 0,147 P(ABC) = 0,03 Chứg mih rằg các số liệu đưa ra là khôg chíh xác. 8. Cho biết các câu sau đây câu ào đúg, câu ào sai, câu ào chưa xác địh. Vì sao? Mỗi giải thích hãy cho 1 ví dụ. a. Hai biế cố xug khắc thì phụ thuộc. b. Hai biế cố độc lập thì khôg xug khắc. c. Hai biế cố đối lập thì độc lập. 9. Chứg mih rằg: ếu A và B là hai biế cố độc lập thì mỗi cặp biế cố sau đều là các biế cố độc lập. a. A và B. b. A và B c. A và B. 10. Có thẻ đáh số từ 1 đế được xếp gẫu hiê thàh một hàg. Thẻ mag số k được gọi là ằm đúg vị trí ếu ó ằm đúg ở vị trí thứ k. Tíh xác suất để khi xếp gẫu hiê thẻ trê, ta có ít hất một thẻ ằm đúg vị trí. 11. Cho H 1 ; H 2 là hai biế cố tạo thàh một hóm đầy đủ các biế cố, các câu sau đây câu ào là đúg, tại sao? a. H 1 và H 2 là hai biế cố đối lập b. H 1 và H 2 là hai biế cố độc lập c. H 1 và H 2 là hai biế cố khôg xug khắc 12. Một hộp đựg 12 sả phẩm trog đó có 8 chíh phẩm và 4 phế phẩm. a. Lấy đồg thời hai sả phẩm từ hộp, tíh xác suất lấy được 2 chíh phẩm. b. Lấy lầ lượt hai sả phẩm từ hộp theo phươg thức khôg hoà lại, tíh xác suất lấy được hai chíh phẩm. 13. Một lô hàg trog đó có 80% chíh phẩm và 20% phế phẩm. a. Lấy đồg thời hai sả phẩm từ lô hàg, tíh xác suất lấy được hai chíh phẩm. b. Lấy lầ lượt hai sả phẩm từ lô hàg theo phươg thức khôg hoà lại, tíh xác suất lấy được hai chíh phẩm. 14. Một côg ty cầ tuyể hâ viê, sau khi hết hạ hậ hồ sơ dự tuyể, côg ty đó thôg báo: 28 STA201_Bai 1_v

29 một gười muố trúg tuyể phải qua ba vòg thi, trúg tuyể ở vòg trước mới được dự thi ở vòg sau, vòg 1 lấy 90% số gười dự tuyể(lấy từ cao xuốg thấp) vòg 2 lấy 80%, vòg 3 lấy 60%. Một gười dự thi vào Côg ty đó bị trượt, tíh xác suất để gười đó bị trượt ở vòg Một gười có 1 chùm chìa khó gồm 15 chiếc trog đó có 2 chìa mở được một chiếc khoá, Ah ta thử lầ lượt từg chìa cho đế khi mở được khoá(chiếc ào thử xog được đáh dấu). Tíh xác suất để ah ta thử lầ thứ 6 thì mở được kho. 16. Có hai túi hàg. Túi I có 6 sả phẩm tốt và 4 sả phẩm xấu cò túi II có 4 sả phẩm tốt và 3 sả phẩm xấu. a. Lấy gẫu hiê 2 sả phẩm từ túi I cho sag túi II rồi từ túi II ta lại lấy ra 3 sả phẩm. Tíh xác suất để trog 3 sả phẩm chọ ra ày ta có 2 sả phẩm tốt. b. Từ mỗi túi lấy gẫu hiê ra 1 sả phẩm. Các sả phẩm cò lại được dồ vào túi III và từ túi III ta lấy ra 1 sả phẩm. Tíh xác suất để sả phẩm chọ ra ày là sả phẩm tốt. 17. Một hộp đựg m quả cầu trắg và quả cầu đỏ (m >1; > 1). Lấy ra lầ lượt từg quả cầu. a. Tíh xác suất để lầ thứ hất lấy được cầu trắg b. Tíh xác suất để lầ thứ 3 lấy được cầu đỏ c. Tíh xác suất để lầ cuối lấy được cầu trắg. d. Khi lấy có hoà lại, tíh lại các xác suất trê 18. Một hà máy sả xuất tivi có 4 máy sả xuất. Sau khi qua sát, thốg kê được máy A sả xuất 30% số tivi của hà máy, máy B sả xuất 40% số tivi của hà máy. Tỷ lệ tivi chưa đạt tiêu chuẩ xuất xưởg của các máy tươg ứg là 0,35% và 0,28%. Các máy khác cho tỷ lệ thàh phẩm đạt chuẩ xấp xỉ 100% và có tỷ lệ sả xuất là gag hau. a. Lấy gẫu hiê một tivi của hà máy sả xuất, tíh xác suất để lấy được bóg đè tốt. b. Tíh xác suất để lấy được bóg đè do máy A sả xuất biết rằg lấy được bóg bị hỏg. c. Nếu tỷ lệ sả phẩm khôg đạt chuẩ của 2 máy cò lại lầ lượt là 0,15% và 0,23%, hãy tíh lại các xác suất trê. 19. Biết rằg tỷ lệ gười mắc bệh ug thư ở một địa phươg là 1,2%. Người ta sử dụg một phả ứg mà ếu gười bị bệh thì phả ứg luô luô dươg tíh, ếu khôg bị bệh thì phả ứg có thể dươg tíh với xác suất 0,2. a. Tìm xác suất phả ứg dươg tíh. b. Tìm xác suất bị bệh, khôg bị bệh trog hóm gười có phả ứg dươg tíh. c. Nếu chọ gẫu hiê 1 gười trog địa phươg và kiểm tra ah ta 2 lầ đều có phả ứg dươg tíh, tíh xác suất ah ta khôg bị bệh. 20. Để hoà thàh một mô học, mỗi sih viê phải qua 3 lầ thi và để được dự lầ thi tiếp theo, gười đó phải thi đỗ lầ trước đó. Biết xác suất thi đỗ ở lầ 1, 2 và 3 tươg ứg là 0,9; 0,8 và 0,7. Chọ gẫu hiê một sih viê thấy sih viê đó khôg hoà thàh mô học. Tíh xác suất để sih viê đó bị trượt ở lầ thi thứ Biết rằg một gười có hóm máu AB có thể hậ máu của bất kỳ hóm máu ào. Nếu gười đó có các hóm máu cò lại (A, B hay O) thì chỉ có thể hậ được máu của gười có cùg hóm máu với họ hoặc gười có hóm máu O. Cho biết tỷ lệ gười có hóm mãu O, A, STA201_Bai 1_v

30 B và AB tươg ứg là 33,7% - 37,5% - 20,9% và 7,9%. a. Chọ gẫu hiê một gười cầ tiếp máu và một gười cho máu. Tíh xác suất để sự truyề máu được thực hiệ. b. Chọ gẫu hiê một gười cầ tiếp máu và 2 gười cho máu. Tíh xác suất để sự truyề máu được thực hiệ. c. Chọ gẫu hiê 1 ca truyề máu đã được thực hiệ thàh côg. Biết gười cho máu thuộc hóm máu B. Tíh xác suất để gười vừa hậ máu là thuộc hóm máu AB. d. Chọ gẫu hiê 1 ca truyề máu đã được thực hiệ thàh côg. Biết gười vừa hậ máu thuộc hóm máu A. Tíh xác suất để gười vừa cho máu là thuộc hóm máu O. 22. Một hộp chứa a bút đỏ và b bút đe. Chọ gẫu hiê ra một chiếc bút, xem là bút màu gì rồi trả lại vào hộp cùg với c chiếc bút khác cùg màu. a. Tiếp tục chọ gẫu hiê ra một chiếc bút thấy đó là bút đỏ. Tíh xác suất để chiếc bút chọ ra ở lầ đầu là bút đe. b. Giả sử ta lặp lại quá trìh êu trog đề bài hiều lầ. Tíh xác suất để ở lầ lấy thứ, ta lấy được bút đỏ, Hai côg ty A và B cùg kih doah 1 sả phẩm. Xác suất thua lỗ của côg ty A là 0,2 và xác suất thua lỗ của côg ty B là 0,4. Tuy hiê trê thực tế, xác suất để cả hai côg ty cùg thua lỗ trê thị trườg chỉ là 0,1. Tíh xác suất của các biế cố sau : a. Chỉ có 1 côg ty thua lỗ b. Có ít hất 1 côg ty làm ă khôg thua lỗ 24. Chia đôi số quả cầu có trog thùg gồm 6 quả trắg và 4 quả xah thàh 2 phầ đều hau. Tìm xác suất các biế cố sau : a. Cả hai phầ có số quả đỏ hư hau b. Một phầ có 4 quả đỏ 25. Để thi âg bậc, một côg hâ chọ gẫu hiê 1 trog 3 loại sả phẩm để gia côg hoà thiệ. Xác suất để một côg hâ gia côg sả phẩm đạt tiêu chuẩ với 3 loại sả phẩm trê lầ lượt là 0.8, 0.9 và Sau khi thi biết gười côg hâ đó thi đỗ, tìm xác suất gười đó đã chọ được đúg loại sả phẩm mà ah ta thàh thạo hất, biết là khi thi thì cả 5 sả phẩm phải hoà thiệ đều phải đạt tiêu chuẩ. 26. Một bệh hâ vào bệh việ khám. Bác sỹ chuẩ đoá sơ bộ là gười đó có thể mắc bệh A với xác suất 1/2, bệh B với xác suất 1/6 và bệh C với xác suất 1/3. Biết khi xét ghiệm sih hóa thì bệh A có phả ứg dươg tíh là 10%, bệh B có phả ứg dươg tíh là 20% cò bệh C có phả ứg dươg tíh là 90%. Qua 3 lầ xét ghiệm thì thấy có 2 lầ phả ứg dươg tíh. Bác sỹ kết luậ bệh hâ mắc bệh C. Kết luậ của bác sỹ đúg được bao hiêu phầ trăm? 27. Chiếc máy có ba bộ phậ 1, 2, 3. Xác suất của các bộ phậ trog thời gia làm việc bị hỏg tươg ứg là 0.2, 0.4, 0.3. Cuối gày làm việc có thôg báo có 2 bộ phậ bị hỏg. Tìm xác suất 2 bộ phậ bị hỏg là 1 và Điều tra sở thích xem TV của các cặp vợ chồg cho thấy 30% ác bà vợ thườg xem chươg 30 STA201_Bai 1_v

31 trìh thể thao, 50% ôg chồg thườg xem chươg trìh ày và khi thấy vợ xem thì chồg xem cùg là 60%. Lấy gẫu hiê 1 cặp vợ chồg. Tìm xác suất : a. Cả hai cùg thườg xem chươg trìh thể thao b. Có ít hất 1 gười thườg xem c. Khôg có ai thườg xem d. Nếu chồg xem thì vợ xem cùg e. Nếu chồg khôg xem thì vợ vẫ xem 29. Một côg ty bảo hiểm chia đối tượg bảo hiểm làm 3 loại: ít rủi ro (chiếm 20%), rủi ro trug bìh (chiếm 50%), rủi ro cao (chiếm 30%). Biết tỷ lệ khách hàg gặp rủi ro trog một ăm tươg ứg với các đối tượg trê là: 0.05, 0.15 và 0.3. a. Tíh tỷ lệ khách hàg gặp rủi trog 1 ăm. b. Gặp một khách hàg bị rủi ro, tíh xác suất để gười đó thuộc loại ít rủi ro. 30. Có hai học sih có ăg lực hư hau cùg tham dự một cuộc thi, mỗi gười phải trả lời hai câu hỏi. Mỗi câu hỏi trả lời đúg ở 15 giây đầu được 20 điểm. Trả lời đúg ở 15 giây sau được 10 điểm, sau 30 giây khôg có câu trả lời hoặc trả lời hoặc trả lời sai được 0 điểm. Biết rằg khả ăg của mỗi học sih trả lời đúg câu hỏi ở 15 giây đầu là 0,4. Nội dug các câu độc lập. Tíh xác suất để hai học sih có số điểm bằg hau. STA201_Bai 1_v