CHUYÊN MỤC MỖI TUẦN MỘT CHỦ ĐỀ - CHỦ ĐỀ SỐ 2 NGÀY 27/8/2018 CÁC BÀI TOÁN ĐẾM XÁC SUẤT HAY VÀ KHÓ Tạp chí và tư liệu toán học Tiếp nối thành công của s

Bản ghi

1 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Á BÀI TOÁN ĐẾM XÁ SUẤT HY VÀ KHÓ Tạp chí và tư liệu toá học Tiếp ối thàh côg của số trước, trog số ày chúg ta sẽ cñg đi tëm hiểu các bài toá đếm xác suất hay và khó Bê cạh các phươg pháp tìh xác suất cơ bả hư trog sách giáo khoa, trog bài viết ày mìh sẽ giới thiệu cho các bạ một vài côg cụ mạh ữa để giải quyết các bài toá xác suất Bả pdf được đăg trê blog hih phục Olympic toá các bạ chò ó đî đọc hé! I HI BÀI TOÁN TÍNH XÁ SUẤT Ó NHIỀU ỨNG DỤNG BÀI TOÁN HI KẸO EULER Bài toá chia kẹo của Euler là bài toá ổi tiếg trog Lý thuyết tổ hợp Với hữg học sih chuyê Toá cấp thë đây là bài toá que thuộc và có hiều ứg dụg Dưới đây là một cách tiếp cậ bài toá chia kẹo của Euler cho học sih lớp 6 & 7 để thấy rằg các bài toá đếm ói riêg và các bài toá tổ hợp ói chug luô là hữg bài toá mà lời giải của ó chứa đựg sự hồ hiê và gây thơ Trước hết, xi phát biểu lại bài toá chia kẹo của Euler Bài toá chia kẹo của Euler: ó cái kẹo (giốg hau) chia cho k em bé, hỏi có bao hiêu cách chia sao cho em ào cũg cî kẹo Một cách hợp lì, ta hãy xét bài toá trog trườg hợp cụ thể, đơ giả hơ để từ đî địh hướg đưa ra lời giải cho bài toá tổg quát Bài toá ó 0 cái kẹo (giốg hau) chia cho em bé, hỏi có bao hiêu cách chia sao cho a) Mỗi em có ít hất cái kẹo b) Mỗi em có ít hất cái kẹo c) Em thứ hất có ít hất cái kẹo, em thứ hai có ít hất cái kẹo và em thứ ba có hiều hất cái kẹo a) Nhậ thấy rằg, vì mỗi em có ít hất một cái kẹo ê số kẹo của em thứ hất hậ được ít hất là và hiều hất là 8 Xét các trườg hợp Trườg hợp Em thứ hất hậ được cái kẹo, thì số kẹo của em thứ hai có thể là,,,,8 em thứ ba hậ số kẹo cò lại sau khi chia cho em thứ hất và em thứ hai xog, ghĩa là trog trườg hợp ày có 8 cách chia kẹo Trườg hợp Em thứ hất hậ được cái kẹo, khi đî số kẹo của em thứ hai có thể là,,,,7 em thứ ba hậ số kẹo cò lại, ghĩa là trog trườg hợp ày có 7 cách chia kẹo Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá

2 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Hoà toà tươg tự cho các trườg hợp cò lại, ta hậ thấy số cách chia 0 cái kẹo cho em bé sao cho em ào cũg cî kẹo là Phát biểu tổg quát Nếu k thì chỉ có cách chia kẹo Nếu k ta trải chiếc kẹo thàh dà hàg gag, tiếp theo ta dùg k khe giữa các viê kẹo để ó chia thàh k phầ Như vậy có tất cả ả trườg hợp ta đều có k cách chia kẹo chiếc thước đặt vào k cách Trê đây là lời giải của bài toá chia kẹo Euler bài toá đếm ổi tiếg với hiều ứg dụg trog các bài toá đếm khác Bài ày tác giả sẽ trìh bày bài toá gốc cơ bả và một số bài toá đếm dạg ứg dụg mà ếu đếm theo cách thïg thườg sẽ rất khî khă, hưg khi hiểu theo các đếm của bài toá Euler thì bài toá lại trở thàh đơ giả Sau đây ta sẽ cùg tìm hiểu một ứg dụg rất lớ trog việc đếm số ghiệm guyê của phươg trëh Bài toá Phươg trëh x k oi k i có bao hiêu ghiệm guyê dươg? i x i là phầ kẹo của em hỏ thứ i trog bài toá chia kẹo thì số ghiệm của phươg trìh chíh là số cách chia chiếc kẹo cho k em hỏ Vậy phươg trëh cî guyê dươg Bài toá Phươg trëh x k k i có bao hiêu ghiệm guyê khôg âm? i x x x x x x k Ta có k k Đặt x i' xi thì x' i là các số guyê dươg Áp dụg bài toá gốc ta có tất cả k k Bài toá Bất phươg trëh x k Ta luô có x x x' x' phươg trëh k ghiệm ghiệm guyê khôg âm của phươg trëh k i có bao hiêu ghiệm guyê dươg? i k k i i Vậy có tất cả i i Bài toá Bất phươg trëh x k k i k k k i k ghiệm guyê dươg của có bao hiêu ghiệm guyê dươg? Ta có x x x' x' 0 x x'' x'' x' i i i i i i Áp dụg bài toá Euler ta có Bài toá 5 Phươg trëh k ghiệm điều kiệ x d d 0, d k i i i i i k xi có bao hiêu ghiệm guyê thỏa mã đồg thời i k? hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

3 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Đặt Đặt x i ' x ' x d i i i k i i k k x i' k d i i i D d thì theo bài toá chia kẹo, phươg trëh cî BÀI TOÁN ĐẾM HÌNH HỌ k ghiệm kd Bài toá ho đa giác cî đỉh Xét tam giác có đỉh là đỉh của đa giác î đòg cạh chug với đa giác î đòg cạh chug với đa giác Khôg có cạh chug với đa giác Bài toá ho đa giác đều có đỉh Số tam giác vuôg có đỉh là đỉh của đa giác là Bài toá ho đa giác đều có đỉh Số tam giác tñ được tạo thàh từ trog đỉh của đa giác là k k Bài toá ho đa giác đều có đỉh Số tam giác họ được tạo thàh từ trog đỉh của đa giác (số tam giác tù + số tam giác vuôg) Bài toá 5 ho đa giác đều có đỉh ôg thức tổg quát tíh số tam giác tù: Nếu chẵ Nếu lẻ Bài toá 6 ho đa giác cî đỉh Xét tứ giác có đỉh là đỉh của đa giác î đòg cạh chug với đa giác î đòg cạh chug với đa giác î đòg cạh chug với đa giác B Khôg có cạh chug với đa giác B B Và ta có thể chứg mih được Bài toá 7 ho đa giác đều có đỉh 5 Số tứ giác có đỉh là đỉh của đa giác và tạo thàh HÌNH HỮ NHẬT là Bài toá 8 ho đa giác đều có đỉh Số tứ giác có đỉh là đỉh của đa giác và tạo thàh HÌNH VUÔNG là hứg mih Tứ giác có đúg cạh chug với đa giác Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá

4 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ họ cạh trog cạh của đa giác ê cî cách họ đỉh cò lại trog đỉh (tham khảo hìh vẽ trê) ê có hưg đỉh ày khïg được liê tiếp ê trừ cho 5 (vì đỉh liê tiếp sẽ tạo ê cạh mà có đỉh cò lại ê có 5 cạh) Vậy trog trườg hợp ày có 5 Tứ giác có đúg cạh chug với đa giác tứ giác Trườg hợp : Tứ giác có hai cạh kề trùg với cạh của đa giác Vì hai cạh kề cắt hau tại đỉh, mà đa giác cî đỉh ê có cách chọ hai cạh kề trùg với cạh của đa giác họ đỉh cò lại trog 5 đỉh (bỏ đỉh tạo ê hai cạh kề và đỉh hai bê, tham khảo hìh vẽ) Do đî trườg hợp ày có 5 tứ giác Trườg hợp : Tứ giác có hai cạh đối thuộc cạh của đa giác họ cạh trog cạh của đa giác ê cî cách Trog đỉh cò lại (bỏ đỉh tạo ê cạh đã chọ ở trê và đỉh liề kề cạh đã chọ, tham khảo hìh vẽ) sẽ tạo ê 5 cạh họ cạh trog 5 cạh đî ê cî 5 cách Tuy hiê trog trườg hợp ày số tứ giác mëh đếm đế lầ Do đî trườg hợp ày có 5 tứ giác Vậy có 5 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học 5 tứ giác thỏa mã

5 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Tứ giác có đúg cạh chug với đa giác Đáh số thứ tự các đỉh của đa giác, ta cî bộ số: ;;;, ;; ;5,, ; ; ;, ; ;;, ;;;, ;;; Vậy trườg hợp ày có tứ giác thỏa mã II Á BÀI TOÁN TỔNG HỢP âu : ho tập ;;;;08 và các số a,b,c Hỏi có bao hiêu số tự hiê có dạg abc sao cho a b c và a b c 06 Xét phươg trëh a b c 06 Ta biết phươg trëh trê cî 05 ghiệm guyê dươg TH: Xét các cặp ghiệm số trñg hau: a b c 67 TH: Xét các cặp ghiệm cî a b, c a a c 06 Suy ra c là số chẵ thỏa 0 c 06 ê có 007 giá trị c Do đî cî 007 cặp, mà cî cặp trừ cặp 67,67,67 (loại) Do đî cî 006 cặp Tươg tự ta suy ra cî 006 cặp ghiệm cî trog số trñg hau Do số tập hợp gồm ba phầ tử cî tổg bằg 06 là (hia cho! là do a b c ! a, b, c ) ê khïg tìh hoá vị của bộ ba âu : ho tập ;;;;00 họ gẫu hiê số từ tập Tìh xác suất để số được chọ ra khïg cî số ào là số guyê liê tiếp Số cách chọ gẫu hiê số là 0 Ta tëm số cách chọ bộ số a; b; c thỏa mã, theo giả thiết ta cî a b c 8 Đặt b' b ; c' c a b' c' 8 Mỗi cách chọ ra bộ a;b';c' từ tập mã Vậy cî tất cả ;;;8 tươg ứg với một bộ ba số 8 cách chọ thỏa mã Xác suất cầ tëm là a; b; c thỏa Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 5

6 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ âu : Gọi S là tập hợp các số tự hiê gồm chữ số được lập thàh từ tập X ;;;8 Ròt gẫu hiê từ tập X một số tự hiê Tìh xác suất để số ròt được số mà trog số đî chữ số đứg sau luï lớ hơ hoặc bằg chữ số đứg trước? Số các số thuộc tập S là Số ròt ra cî dạg abc với a b c 8 Đặt a' a ; c' c 0 a' b c' 9 Mỗi cách chọ ra bộ a;b';c' từ tập thỏa mã Vậy cî tất cả Vậy xác suất cầ tìh là 0 cách chọ thỏa mã 5 7 0;;;;9 tươg ứg với một bộ ba số a; b; c âu : Gọi S là tập hợp các số tự hiê gồm 5 chữ số Tìh xác suất để số ròt được số mà trog số đî chữ số đứg sau luï lớ hơ hoặc bằg chữ số đứg trước và ba chữ số đứg giữa đïi một khác hau? Số các số thuộc tập S là 90 Số chọ ra cî dạg abcde với a b c d e 9 Đặt a' a ; e' e 0 a' b c d e' 0 Đế đây thực hiệ tươg tự câu trê ta tëm được Vậy xác suất cầ tìh là số âu 5: Từ học sih gồm 5 học sih giỏi, học sih khá, học sih trug bìh, giáo viê muố thàh lập hóm làm bài tập lớ khác hau, mỗi hóm học sih Tíh xác suất để hîm ào cũg cî học sih giỏi và học sih khá Ta có số phầ tử khôg gia mẫu là Đáh số hóm là, B,, D Đáp số: ( ) 9 6 Bước : xếp vào mỗi hóm một học sih khá có! cách Bước : xếp 5 học sih giỏi vào hóm thì có hóm có học sih giỏi họ hóm có học sih giỏi có cách, chọ học sih giỏi có sih giỏi cò lại có! cách Bước : Xếp học sih trug bìh có!cách!!! cách, xếp học 6 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

7 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 âu 6: Trí chơi quay báh xe số trog chươg trëh truyề hëh Hãy chọ giá đòg của kêh VTV Đài truyề hëh Việt Nam, báh xe số cî 0 ấc điểm: 5, 0, 5,, 00 với vạch chia đều hau và giả sử rằg khả ăg chuyể từ ấc điểm đã cî tới các ấc điểm cí lại là hư hau Trog mỗi lượt chơi cî gười tham gia, mỗi gười được quyề chọ quay hoặc lầ, và điểm số của gười chơi được tìh hư sau: Nếu gười chơi chọ quay lầ thë điểm của gười chơi là điểm quay được Nếu gười chơi chọ quay lầ và tổg điểm quay được khïg lớ hơ 00 thì điểm của gười chơi là tổg điểm quay được Nếu gười chơi chọ quay lầ và tổg điểm quay được lớ hơ 00 thë điểm của gười chơi là tổg điểm quay được trừ đi 00 Luật chơi quy địh, trog mỗi lượt chơi gười ào cî điểm số cao hơ sẽ thắg cuộc, hòa hau sẽ chơi lại lượt khác và Bìh cùg tham gia một lượt chơi, chơi trước và có điểm số là 75 Tíh xác suất để Bìh thắg cuộc gay ở lượt chơi ày ách : Ta có Để Bìh thắg ta cî ba trườg hợp Trườg hợp Bìh quay một lầ ra điểm số lớ hơ 75, ta cî 5 khả ăg thuộc tập 5 hợp 80;85;90;95;00 Do đî xác suất là P 0 Trườg hợp Bìh quay lầ đầu ra điểm số là a 75, ta có 5 khả ăg 5 Do đî xác suất là P 0 Khi đî để thắg Bìh cầ phải có tổg hai lầ quay lớ hơ 75, ta cî 5 khả ăg thuộc tập 5 hợp80 a;85 a;90 a;95 a;00 a Do đî xác suất là P 0 Vậy xác suất để Bìh thắg gay trog lượt là P P P P ách : TH: Bìh quay một lầ và thắg luô 7 6 Vì quay ở vị trí 75 ê Bìh chỉ có thể quay vào 5 trog số 0 vị trì để có thể thắg Do đî P 5 0 TH: Bìh quay hai lầ mới thắg Nghĩa là lầ một Bëh quay được kết quả hỏ hơ hoặc bằg 75 và quay tiếp để tổg hai lầ quay lớ hơ 75 đồg thời hỏ hơ hoặc bằg 00 Giả sử lầ Bëh quay được a điểm, lầ quay được b điểm Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 7

8 ầ có: a 75 a b 80,85,90,95,00 Khi đî: họ a có 5 cách, chọ b có 5 cách Suy ra chọ cặp a, b có cách Khôg gia mẫu cho TH có 00 cách Do đî P Kết luậ: P P P TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Gọi là biế cố khïg cî hai gười liề kề cñg đứg 8 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học âu 7: Một số tự hiê được gọi là số thú vị ếu số ày có 8 chữ số đïi một khác hau được lập thàh tự tập ;;;8 và số đî chia hết cho Hỏi có bao hiêu số tự hiê thú vị hư thế? Số cầ tëm cî dạg i aaaabbbb Ta cî tổg các chữ số của số cầ tëm là tổg các chữ số từ đế 8 bằg 6 chia hết cho 9 ê số cầ tëm chia hết cho 9 Do 9 và cî ước chug lớ hất là ê theo giả thiết thë i chia hết cho 9999 Đặt x aaaa, y bbbb Ta có ra x y chia hết cho 9999 i x0 y 9999x x y chia hết cho 9999 từ đî suy Mặt khác 0 x y 9999 x y 9999 Do đî a b a b a b a b 9 Từ các chữ số,,,,5,6,7,8 cî cặp ;8, ;7, ;6, ;5 ê cî 8 cách chọ a ; 6 cách chọ a ; cách chọ a và cách chọ a tức chọ a k có luô b k Vậy số các số thò vị là 86 8 số âu 8: ho tập ;;;;8 họ gẫu hiê 5 số từ tập î bao hiêu cách chọ ra 5 số trog tập sao cho hiệu của số bất kë trog 5 số đî cì trị tuyệt đối khïg hỏ hơ? ác số chọ ra luô sắp xếp theo thứ tự tăg dầ Giả sử dãy 5 số được chọ ra thỏa mã là a a a a a5 Theo giả thiết ta có: a a a a a5 Đặt a ' a,a ' a,a ' a,a 5 ' a5 Đế đây thực hiệ tươg tự câu, ta có số cách chọ là 5 cách chọ âu 9: ó 8 bạ cñg gồi xug quah một cái bà trí, mỗi bạ cầm một đồg xu hư hau Tất cả 8 bạ cñg tug đồg xu của mëh, bạ cî đồg xu gửa thë đứg, bạ cî đồg xu sấp thë gồi Xác suất để khïg cî hai bạ liề kề cñg đứg là

9 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 8 Số phầ tử của khïg gia mẫu là 56 Rð ràg ếu hiều hơ đồg xu gửa thë biế cố khôg xảy ra Để biế cố xảy ra cî các trườg hợp sau: TH: î hiều hất đồg xu gửa Kết quả của trườg hợp ày là 8 9 TH: ó đồg xu gửa Hai đồg xu gửa kề hau: cî 8 khả ăg Suy ra số kết quả của trườg hợp ày là TH: ó đồg xu gửa ả đồg xu gửa kề hau: cî 8 kết quả Trog đồg xu gửa, cî đòg một cặp kề hau: cî 8 kết quả Suy ra số kết quả của trườg hợp ày là TH: ó đồg xu gửa Trườg hợp ày cî kết quả thỏa mã biế cố xảy ra Như vậy Xác suất để khïg cî hai bạ liề kề cñg đứg là P 7 56 âu 0: ho đa giác đều 0 cạh Hỏi cî tất cả bao hiêu hëh chữ hật hữg khïg phải là đỉh của hëh vuïg cî các đỉh là đỉh của đa giác đã cho? Số hëh vuïg cî các đỉh của đa giác đều là 0 5 Đa giác đều ày cî tất cả 0 đườg chéo qua tâm, một hëh chữ hật tạo bởi hai đườg chéo qua tâm ê cî tất cả 0 hëh chữ hật Vậy số hëh chữ hật khïg phải là hëh vuïg cî các đỉh là đỉh của đa giác đều đã cho là hú ý: Số đa giác đều cî m cạh cî đỉh là các đỉh của đa giác đều cạh cî thể cî là m âu : Từ các chữ số thuộc tập hợp S ;;;;8;9 có bao hiêu số có chí chữ số khác hau sao cho chữ số đứg trước chữ số, chữ số đứg trước chữ số và chữ số 5 đứg trước chữ số 6? họ vị trì để xếp chữ số, (số đứg trước ): có họ vị trì để xếp chữ số, (số đứg trước ): có họ vị trì để xếp chữ số 5, 6 (số 5 đứg trước 6 ): có chữ số cò lại có! cách 9 cách 7 cách 5 cách Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 9

10 Vậy có! số TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ âu: ho hìh hộp chữ hật BD B D, tại đỉh có một co sâu, mỗi lầ di chuyể ó bò theo cạh của hìh hộp chữ hật và đi đế đỉh kề với đỉh î đag đứg Tíh xác suất sao cho 9 lầ di chuyể ó dừg tại đỉh Khôg mất tíh tổg quát giả sử tọa độ đỉh 0;0;0 và ;; Ta thây: mỗi lầ sâu di chuyể là cộg thêm tại trog vị trì hoàh độ, tug độ và cao 9 độ từ vị trì sâu đag đứg Do đî số phầ tử của khôg gia mẫu là 968 Sau 9 lầ di chuyể sau đứg tại vị trí ;; khi và chỉ khi sâu di chuyể số lầ tại các tọa độ thàh phầ hoàh độ ; tug độ, cao độ là : hoá vị của bộ 7;; ; ; ; các hoá vị của bộ Do đî số trườg hợp thuậ lợi của biế cố : sâu ở sau 9 bước di chuyể là ; ; 5 ; các âu : ho đa giác có đỉh họ gẫu hiê đỉh của đa giác đî Xác suất để đỉh được chọ tạo thàh một tam giác khôg có cạh ào là cạh của đa giác đã cho bằg bao hiêu? Ta có số tam giác được tạo từ đỉh trog đỉh: Ta có Số tam giác cî đỉh là đỉh của đa giác và cạh là cạh của đa giác: cứ đỉh liê tiếp cho tam giác thỏa mã đề bài, ê có tam giác (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác cî đỉh là đỉh liê tiếp của đa giác tức là có cạh là cạh liê tiếp của đa giác, cạh ày cắt hau tại đỉh, mà đa giác ày cî đỉh ê có tam giác thỏa trườg hợp ày) Số tam giác cî đỉh là đỉh của đa giác và cạh là cạh của đa giác: Trước tiê ta chọ cạh trog cạh của đa giác ê cî cách chọ; tiếp theo chọ đỉh cò lại trog 8 đỉh (trừ đỉh tạo ê cạh đã chọ và đỉh liề kề với cạh đã chọ) Do đî trog trườg hợp ày có 8 tam giác 8 P 8 âu : ho đa giác H có đỉh, Biết số các tam giác có đỉh là đỉh của H và khôg có cạh ào là cạh của H gấp 5 lầ số các tam giác có đỉh là đỉh của H và cî đòg cạh là cạh của H Khẳg địh ào sau đây đòg? ; B ; ;0 D ;8 0 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

11 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Số tam giác tạo thàh có đỉh là đỉh của đa giác là Số tam giác tạo thàh cî đòg cạh là cạh của đa giác là Số tam giác tạo thàh cî đòg cạh là cạh của đa giác là (điều kiệ và ) Suy ra số tam giác tạo thàh khôg có cạh ào là cạh của đa giác là Theo giả thiết, ta có 5 họ ý D 5 t /m L âu : ho đa giác đều gồm 00 đỉh họ gẫu hiê ra đỉh, xác suất để đỉh được chọ là đỉh của một tam giác tù là bao hiêu? Đáh số các đỉh là,,, 00 Xét đườg chéo 5 của đa giác là đườg kíh của đườg trò goại tiếp đa giác đều chia đườg trò ra làm hai phầ, mỗi phầ có 9 điểm: từ đế 50 và 5 đế 00 Khi đî, mỗi tam giác có dạg i j là tam giác tù ếu đườg trò họ ửa đườg trò: có cách chọ i và j cùg ằm trog ửa họ hai điểm i, j là hai điểm tñy ó được lấy từ 9 điểm,,, 50 có Giả sử 9 76 cách chọ i ằm giữa và j i i j j thì tam giác i j tù tại đỉh ê kết quả bị lặp hai lầ ó 00 cách chọ đỉh i Mà Vậy số tam giác tù là hú ý: ho đa giác đều có đỉh ôg thức tổg quát tíh số tam giác tù: Nếu chẵ thì số tam giác tù là Nếu lẻ thì số tam giác tù Áp dụg côg thức hah ta có âu 5: ho đa giác lồi H có cạh Gọi X là tập hợp các tam giác cî ba đỉh là ba đỉh của H họ gẫu hiê tam giác trog X, xác suất để chọ được tam giác cî đòg cạh là cạh của đa giác H và tam giác khôg có cạh ào là cạh của H bằg bao hiêu? Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá

12 X P 995 Ta có TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ âu 6: ho một đa giác đều gồm đỉh, họ gẫu hiê ba đỉh trog số đỉh của đa giác, xác suất ba đỉh được chọ tạo thàh một tam giác vuôg là 5 Tìm Ta có khôg gia mẫu Để ba đỉh được chọ tạo thàh tam giác vuôg khi và chỉ khi cî hai đỉh trog ba đỉh là hai đầu mút của một đườg kíh của đườg trò goại tiếp đa giác và đỉh cò lại là một trog số đỉh cò lại của đa giác Đa giác cî đỉh ê có đườg kíh Số cách chọ đườg kíh là Số cách chọ đỉh cò lại trog đỉh là Suy ra Theo đề bài ta cî phươg trëh 8 5 âu 7: ho đa giác đều có 5 đỉh Gọi M là tập tất cả các tam giác cî ba đỉh là ba đỉh của đa giác đã cho họ gẫu hiê một tam giác thuộc tập M, xác suất để tam giác được chọ là một tam giác câ hưg khïg phải là tam giác đều là bao hiêu? Gọi O là tâm đườg trò goại tiếp của đa giác đều Xét một đỉh bất kỳ của đa giác: ó 7 cặp đỉh của đa giác đối xứg với hau qua đườg thẳg O, hay có 7 tam giác câ tại đỉh Như vậy, với mỗi một đỉh của đa giác cî 7 tam giác hậ î làm đỉh tam giác câ Số tam giác đều cî đỉh là các đỉh của đa giác là 5 5 tam giác Tuy hiê, trog các tam giác câ đã xác địh ở trê có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thë đều câ tại đỉh ê tam giác đều được đếm lầ Suy ra Ta có P hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

13 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 âu 8: ho đa giác đều cî 0 đỉh họ gẫu hiê đỉh của đa giác đều, xác suất để đỉh được chọ là đỉh của một tam giác vuïg khïg câ là bao hiêu? Số tam giác vuôg là 08 Số tam giác vuôg câ: ứ mỗi cách chọ đườg kíh là có tam giác câ ( điểm tạo ê tam giác câ là giao điểm của đườg thẳg qua tâm vuôg góc với đườg kìh đã chọ với đườg trí) Do đî cî 0 tam giác vuôg câ âu 9: Lấy gẫu hiê một số tự hiê cî 5 chữ số Xác suất để chọ được số tự hiê cî dạg aaaaa 5 mà a a a a a5 bằg bao hiêu? Vì a 5 a a a Số có dạg 0a5 có 0 cách chọ a 5 Số có dạg 0a5 có 9 cách chọ a 5 Số có dạg 09a5 có cách chọ a 5 Vậy hữg số cî dạg 0aa 5 có 0 5 số Số có dạg 05a5 có 9 cách chọ a 5 Số có dạg 05a5 có 8 cách chọ a 5 Số có dạg 059a5 có cách chọ a 5 Vậy hữg số cî dạg 05aa 5 có 5 0 số Vậy hữg số cî dạg 06aa 5 có 9 số Vậy hữg số cî dạg 07aa 5 có 8 5 số Vậy hữg số cî dạg 08aa 5 có số Vậy hữg số cî dạg 09aa 5 có 8 6 số Kết luậ: Nhữg số cî dạg 0aaa 5 có số Nhữg số cî dạg a a a a 5 5 Nhữg số cî dạg a a a a 6 5 Nhữg số cî dạg a a a a 7 5 Nhữg số cî dạg a a a a 8 5 Nhữg số cî dạg 5a a a a 9 5 có số có số có số có 8 0 số có số Kết luậ: Nhữg số cî dạg aaaa 5 có số Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá

14 Từ đî ta lập luậ hư sau: Nhữg số cî dạg a a a a a 5 Nhữg số cî dạg a a a a a 5 Nhữg số cî dạg a a a a a 5 Nhữg số cî dạg 5a a a a a 5 Nhữg số cî dạg 6a a a a a 5 5 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ có số có số có số có 0 số có số Vậy hữg số thỏa yêu cầu bài toá là Vậy xác suất cầ tëm là âu 0: ho một đa giác đều đỉh ( lẻ, ) họ gẫu hiê đỉh của đa giác đều đî Gọi P là xác suất sao cho đỉh đî tạo thàh một tam giác tù Biết các ước guyê dươg của là bao hiêu? họ gẫu hiê ra đỉh có cách Giả sử chọ được một tam giác tù B với góc họ, B tù và họ 5 P Số 6 họ một đỉh bất kì lấy làm đỉh có cách Kẻ đườg kìh qua đỉh vừa chọ, chia đườg trò thàh hai phầ (trái và phải chẳg hạ) Để tạo thàh tam giác tñ thë hai đỉh cò lại được chọ sẽ hoặc cùg ằm bê trái hoặc cùg ằm bê phải Hai đỉh cò lại cùg ằm bê trái có Hai đỉh cò lại cùg ằm bê phải có Vậy có thể có tất cả cách hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học cách tam giác tù, tuy hiê ứg với mỗi tam giác vai trò góc họ của và hư hau ê số tam giác được tíh lặp lầ Do đî số tam giác tù tạo thàh là Mà xác suất P 5 6 Do lẻ ê đặt k ( k ) k 6 k 5 k k k! k! 6 k 5! k!! k! k 5 k k 6

15 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Vậy k Do đî số các ước guyê dươg của là âu : Biể số xe máy tỉh K gồm hai dòg Dòg thứ hất là 68 XY, trog đî X là một trog chữ cái, Y là một trog 0 chữ số Dòg thứ hai là abcde, trog đî a, b, c, d, e là các chữ số Biể số xe được cho là đẹp khi díg thứ hai có tổg các số là số có chữ số tậ cùg bằg 8 và cî đòg chữ số giốg hau Hỏi có bao hiêu cách chọ biể số trog các biể số đẹp để đem bá đấu giá? họ X từ chữ cái và chọ Y từ 0 chữ số, ta có 0 0 (cách chọ) họ chữ số giốg hau từ các chữ số ta có 0 cách chọ; Mỗi bộ gồm chữ số giốg hau, ta có một cách chọ duy hất chữ số cò lại để tổg các số là số có chữ số tậ cùg bằg 8, chẳg hạ: chữ số 0, chữ số cò lại sẽ là 8 ; chữ số, chữ số cò lại sẽ là ; ; chữ số 9, chữ số cò lại sẽ là ) Sắp xếp 5 chữ số vừa chọ có 5 cách xếp Do đî, cî tất cả (cách chọ số ở dòg thứ hai) Suy ra có tất cả (biể số đẹp) họ biể số trog các biể số " đẹp" ta có (cách) âu : ó 8 bë thư được đáh số,,,, 5, 6, 7, 8 và 8 tem thư cũg được đáh số,,,, 5, 6, 7, 8 Dá 8 tem thư lê 8 bë thư (mỗi bë thư chỉ dá tem thư) Hỏi cî thể cî bao hiêu cách dá tem thư lê bë thư sao cho cî ìt hất một bë thư được dá tem thư cî số trñg với số của bë thư đî Ta xét bài toá tổg quát tem thư được dá vào bë thư sao cho cî ìt hất một bë thư được dá vào tem thư cî số trñg với số của bë thư đî Đáh số các tem thư là T, T,, T và các bë thư là B, B,, B Bài toá được giải quyết bằg guyê lý phầ bù: Lấy hoá vị phầ tử trừ đi trườg hợp xếp mà khôg có tem thư ào được dá cùg số với bë thư Để giải quyết bài toá khïg cî tem thư ào được dá cùg số với bë thư Ta xây dựg dãy số f hư sau: ïg việc dá tem thư vào bë thư sao cho khôg có bë thư ào được dá vào tem thư cî số trñg với số của bë thư đî ïg việc ày gồm cî hai bước sau: Bước : Dá tem T lê một bë thư B j khác B, có cách Bước : Dá tem thư Tj vào bë thư ào đî, cî hai trườg hợp xảy ra hư sau: Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 5

16 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ + TH: tem thư Tj được dá vào bë thư B Khi đî cí lại tem (khác T và T,, Tj, Tj,, T phải dá vào bë thư (khác B và giốg hư trê Nê TH ày cî số cách dá bằg f + TH: tem thư Tj khïg được dá vào bë thư B T j ) là B j ) Quy trëh được lập lại Khi đî các tem là T,, Tj, T j, Tj,, T sẽ được đem dá vào các bë B, B,, Bj, Bj,, B (mà tem thư Tj khïg được dá vào bë thư B ) Thì chất giốg T, ta đáh số lại Tj T Nghĩa là tem T,, Tj, T, Tj T j lúc ày bả,, T sẽ được đem dá vào bì B, B,, Bj, Bj,, B với việc đáh số giốg hau ôg việc ày lại được lập lại hư từ ba đầu Nê TH ày có số cách dá bằg f Ta xét dãy u f hư sau: u 0 u u u u Như vậy kết quả của bài toá: tem thư được dá vào bë thư sao cho cî ìt hất một bë thư được dá vào tem thư cî số trñg với số của bë thư đî sẽ là P u Áp dụg với 8, ta được kết quả là 8! âu : Trê mặt phẳg Oxy, ta xét một hëh chữ hật BD với các điểm ;0, ;, B ;, D ;0 (hëh vẽ) Một co châu chấu hảy trog hëh chữ hật đî tìh cả trê cạh hëh chữ hật sao cho châ î luï đáp xuốg mặt phẳg tại các điểm cî tọa độ guyê (tức là điểm cî cả hoàh độ và tug độ đều guyê) Tìh xác suất để î đáp xuốg các điểm M x; y mà x y Số các điểm có tọa độ guyê thuộc hìh chữ hật là 7 điểm vì x ; ;0;;;; y 0;; 6 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

17 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Để co châu chấu đáp xuốg các điểm M x, y có x y thì co châu chấu sẽ hảy trog khu vực hìh thag BEI Để M x, ycó tọa độ guyê thì Nếu x ; thì y 0;; Nếu x 0 thì y 0; có 6 điểm cî điểm Nếu x y 0 cî điểm Suy ra có tất cả 6 9 điểm thỏa mã Vậy xác suất cầ tíh 9 P 7 x ; ;0;; y 0;; âu : Trog mặt phẳg với hệ tọa độ Oxy, chọ gẫu hiê một điểm mà tọa độ là số guyê cî giá trị tuyệt đối hỏ hơ hay bằg Nếu các điểm đều cî cñg xác suất được chọ hư hau, vậy thë xác suất để chọ được một điểm mà khoảg cách đế gốc tọa độ hỏ hơ hoặc bằg là bao hiêu? Gọi tọa độ điểm M x; y thỏa x, y và Suy ra 99 8 x ê y Gọi điểm M' x; y thỏa x, y và theo giả thiết ta có: x ; ; ; ;0;;;; y ; ; ; ;0;;;; x, y x y x y OM x 0; ; x, y x, y y x Nếu x 0 y 0; ; Do đî cî 5 5 cách chọ Nếu x y 0; Do đî cî 6 cách chọ Nếu x y 0 Do đî cî cách chọ Suy ra 5 6 Vậy xác suất cầ tíh P 8 âu 5: Trog mặt phẳg tọa độ Oxy, ở góc phầ tư thứ hất ta lấy điểm phâ biệt; cứ thế ở các góc phầ tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lầ lượt lấy,, 5 điểm phâ biệt (các điểm khôg ằm trê các trục tọa độ) Trog điểm đî ta lấy điểm bất kỳ Tíh xác suất để đoạ thẳg ối hai điểm đî cắt hai trục tọa độ Khôg gia mẫu là số cách chọ điểm bất kỳ trog điểm đã cho Suy ra số phầ tử của khôg gia mẫu là 9 Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 7

18 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Gọi là biế cố '' Đoạ thẳg ối điểm được chọ cắt hai trục tọa độ'' Để xảy ra biế cố thë hai đầu đoạ thẳg đî phải ở góc phầ tư thứ hất và thứ ba hoặc phầ tư thứ hai và thứ tư Hai đầu đoạ thẳg ở góc phầ tư thứ hất và thứ ba, có Hai đầu đoạ thẳg ở góc phầ tư thứ hai và thứ tư, cî Suy ra số phầ tử của biế cố là Vậy xác suất cầ tíh P 9 5 cách 5 cách âu 6: ho hai đườg thẳg sog sog d và d Trê d cî 6 điểm phâ biệt, trê d có điểm phâ biệt, Tìm, biết rằg có 96 tam giác cî đỉh là các điểm đã cho ứ điểm khôg thẳg hàg là tạo thàh tam giác Do đî số tam giác được tạo thàh từ 6 điểm gồm: 6 điểm (thẳg hàg) thuộc d và điểm (thẳg hàg) thuộc d là Theo giả thiết, ta có 6 6 8L N Bài tập tươg tự ho hìh vuôg BD Trê các cạh B, B, D, D lầ lượt lấy,, và điểm phâ biệt, từ 6 điểm đã cho là 9 Đáp số 0 Hướg dẫ Theo giả thiết, ta có khác, B,, D Tìm, biết số tam giác lấy 6 9 âu 7: î bao hiêu số tự hiê cî chữ số dạg abc thỏa a, b, c là độ dài cạh của một tam giác câ ( kể cả tam giác đều )? 0 y x Gọi độ dài cạh bê và cạh đáy của tam giác câ là x, y 0 y 9 0 x 9 TH: TH: 0 y 9 5 x 9 x i y i suy ra có 95 5 cặp số với x Với mỗi giá trị của i, có i số Do đî, trườg hợp ày có: 6 cặp số Suy ra có 6 cặp số x, một chữ số y x; y Với mỗi cặp x; y ta viết số có chữ số trog đî cî chữ số 8 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

19 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Trog 6 cặp có: + 9 cặp x y, viết được 9 số + 5 cặp x y, mỗi cặp viết được số ê có 5 56 số Vậy tất cả có 65 số âu 8: Gọi là tập các số tự hiê cî 8 chữ số đïi một khác hau họ gẫu hiê một số thuộc Tìh xác suất để số được chọ chia hết cho 5 Gọi số cầ tìm có dạg: abcdefgh ta có a có 9 cách chọ ác chữ số cò lại có 7 9 Nê số phầ tử của khôg gia mẫu: Gọi B 0,,,,,5,6,7,8, Ta có: Ta có các bộ số mà tổg chia hết cho 9 : B \ 0,9, B \,8, B \,7, B \,6, B \,5 Xét B \ 0,9,,,,5,6,7,8 Gọi số cầ tìm có dạg: abcdefgh họ h có một cách họ 7 chữ số cò lại xếp vào 7 vị trí có: 7! Nê trườg hợp ày có 7! cách Xét B \,8 0,,,,5,6,7,9 Tậ cùg là chữ số 0 : có 7! cách Tậ cùg là chữ số 5 : a có 6 cách; các chữ số cò lại có: 6! cách Suy ra: 7! 66! 960 ác trườg hợp B \,7, B \,6 tươg tự hư B \,8 Xét B \,5 0,,,,6,7,8,9 Gọi số cầ tìm có dạg: abcdefgh họ h có một cách họ 7 chữ số cò lại xếp vào 7 vị trí có: 7! Nê trườg hợp ày có 7! cách Suy ra số phầ tử của biế cố là: 7! Vậy xác suất của biế cố là: Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 9

20 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ âu 9: ho tập X 6;7;8;9, gọi E là tập các số tự hiê khác hau có 08 chữ số lập từ các số của tập X họ gẫu hiê một số trog tập E, tíh xác suất để chọ được số chia hết cho Gọi, B lầ lượt là tập các số chia hết, khôg chia hết cho Với mỗi số thuộc có hai cách thêm vào cuối một chữ số 6 hoặc một chữ số 9 để được và hai cách thêm một chữ số 7 hoặc một chữ số 8 để được B Với mỗi số thuộc B có một cách thêm vào cuối một chữ số 7 hoặc một chữ số 8 để được và có ba cách thêm một chữ số để được B Như vậy B B B 5 Hay B B 5 Xét dãy số a, ta có a, a 6, a 5a a ; Nê Suy ra có Mà Vậy a 08 E 08 số chia hết cho 08 P âu 0: họ gẫu hiê số từ tập S ;;;;0 Xác suất để chọ được số mà tích của chúg là một số chìh phươg bằg bao hiêu? Số cách chọ ra gẫu hiê số là 0 Ta cầ tìm số cách chọ ra cặp số a; b thỏa mã ó tất cả cặp số hư thế Xác suất cầ tíh là 90 a b 0,ab c, c 9 âu : ho tập ;;;;08, hỏi có bao hiêu cách chọ ra 5 số từ tập mà các số đî lập thàh một cấp số hâ tăg và cïg bội là một số guyê dươg? 5 số được chọ ra xếp được duy hất dãy tăg, giả sử x x x x x5 Theo giả thiết các số đî là x,qx,q x,q x,q x,q,q Ta có q x 08 q 08 q ;; ;5;6 08 x 0 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học 0

21 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/ Mặt khác x x q q 08 q Với mỗi số guyê q ;; ;5;6 ta có tất cả cách chọ x và các số cò lại cî tươg ứg duy hất một cách chọ Vậy theo quy tắc cộg và quy tắc hâ ta có tất cả: 6 Bài tập tươg tự k k 5 6 họ gẫu hiê số từ tập ;;;00 Tíh xác suất để chọ được số mà các số đî lập thàh một cấp số hâ tăg cî cïg bội là một số guyê dươg? âu : ho tập ;;;;0 họ gẫu hiê phầ tử của, tíh xác suất để phầ tử được chọ lập thàh một cấp số cộg? Số cách chọ gẫu hiê phầ tử là 0 Ta tìm số các bộ số a; b; c thỏa mã a, b, c; a b c 0;a c b Ta có a, c sẽ cùg tíh chẵ lẻ Vậy có tất cả Nếu a, c cùg chẵ có Nếu a, c cùg lẻ có 5 cách chọ 0 âu : ho tập S,,, log a b là một số guyê bằg? Số phầ tử của khôg gia mẫu Ta thấy rằg ếu Thật vậy vì guyê lớ hơ Vậy 5 cách chọ a, c và b có duy hất một cách chọ 5 cách chọ a, c và b có duy hất một cách chọ 0 họ gẫu hiê phầ tử a, b của S, tíh xác suất để log a b là một số guyê dươg thë đî phải là số guyê dươg lớ hơ a, b log a b 0 mặt khác số ày khác hau ê log a b phải là một số log b k,k b a Nếu a b 0 ; ;; Nếu a b ; ; ; Nếu a b 6 9 ; Nếu a b 8 Nếu a 5 b 0 a, có 9 cách chọ, có cách chọ, có cách chọ, có cách chọ, có cách chọ Vậy có tất cả 7 cách chọ Xác suất cầ tíh là 7 5 Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá k

22 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ âu : họ gẫu hiê số phâ biệt a,b,c từ tập S ;;;;0 Tíh xác suất để a b c chia hết cho? Số phầ tử của khôg gia mẫu Ta có hậ xét: 0 k 9k 0mod k 9k 6k mod k 9k k mod Vậy để a b c chia hết cho thì a,b,c cùg chia hết cho hoặc a,b,c cùg khôg chia hết cho Tập S có 0 phầ tử chia hết cho, 0 phầ tử khôg chia hết cho Vậy số cách chọ là Xác suất cầ tíh là âu 5: ó bao hiêu số tự hiê gồm 08 chữ số và tổg các chữ số chia hết cho? Vì tổg các chữ số bằg ê chữ số lớ hất trog dãy ày có thể bằg, ta xét các trườg hợp sau: Số tạo thàh từ số và 07 số 0, có duy hất số thỏa mã Số tạo thàh từ số và số có Số tạo thàh từ số có Vậy có tất cả 077 số Bài tập tươg tự ó bao hiêu số tự hiê hỏ hơ Đáp số: số thỏa mã 07 số thỏa mã 08 0 và tổg các chữ số bằg? âu 6: Một chuồg có co thỏ trắg và co thỏ âu Người ta bắt gẫu hiê lầ lượt từg co ra khỏi chuồg cho đế khi ào bắt được cả co thỏ trắg mới thôi Xác suất để cầ phải bắt đế ít hất 5 co thỏ là? ách Xét biế cố đối : ''bắt được thỏ trắg trog hoặc lầ'' TH: Bắt được co thỏ trắg trog lầ đầu: Ta có 765 và! Suy ra! P 765 TH: Bắt được co thỏ trắg trog lầ đầu: Suy ra lầ bắt được co trắg; lầ, và bắt được co trắg và co âu hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học T

23 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Ta có 765 và! Suy ra 5 5 Suy ra P P P P ách Ta mô tả khôg gia của biế cố hư sau Suy ra P P 5 5! P 765 TTT; TNNN; NTNN; NNTN âu 7: ho tập hợp ; ; ; ; 5; 6; 7; 8; 9 Gọi S là tập hợp các số tự hiê có chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập họ gẫu hiê một số từ S, xác suất để số được chọ chia hết cho 6 bằg bao hiêu? Tập S có 9 phầ tử Gọi số thỏa mã biế cố là aaaa Do aaaa 6 aaaa Suy ra a,6,, 8 : có cách; và a, a có Nếu a a a k a ;6; 9 9 cách chọ ê a có cách chọ Nếu a a a k a ;5;8 ê a có cách chọ Nếu a a a k a ; ;7 Vậy Ta có ê a có cách chọ 9 97 a luô luô có cách chọ ê 9 9 P 7 âu 8: Trog buổi sih hoạt hóm của lớp, tổ một có học sih gồm học sih ữ trog đî cî Hoa và 8 học sih am trog đî cî Vih hia tổ thàh hóm, mỗi hóm gồm học sih và phải có ít hất học sih ữ Xác suất để Hoa và Vih cùg một hóm là bao hiêu? Khôg gia mẫu là số cách chia học sih thàh hóm và phải đảm bảo mỗi hóm có ít hất học sih ữ Giả sử Nhóm thứ hất có ữ và am, có Nhóm thứ hai có ữ và am, có 8 cách 6 Sau khi chia hóm thứ hất và thứ hai xog thì cò lại ữ và am ê hóm thứ ba có duy hất cách 670 Suy ra số phầ tử của khôg gia mẫu là 8 6 Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá

24 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Gọi là biế cố '' Hoa và Vih cùg một hóm'' Ta mô tả các khả ăg thuậ lợi cho biế cố hư sau: Trườg hợp Hoa và Vih cùg với bạ am và bạ ữ thàh một hóm ê có 7 cách Nhóm thứ hai có bạ am và bạ ữ ê có 6 uối cùg cò lại bạ am và bạ ữ ê có cách duy hất cho hóm thứ ba Do đî trog trườg hợp ày có cách Trườg hợp Hoa và Vih cùg với bạ am thàh một hóm ê có Nhóm thứ hai có bạ am và bạ ữ ê có 7 cách 5 uối cùg cò lại bạ am và bạ ữ ê có cách duy hất cho hóm thứ ba Do đî trog trườg hợp ày có cách Trườg hợp Hoa và Vih cùg với bạ am thàh một hóm Nhóm thứ hai có bạ am và bạ ữ Suy ra hóm thứ ba có bạ am và bạ ữ Trườg hợp ày trùg với trườg hợp thứ hai ê ta khôg tíh Suy ra số phầ tử của biế cố là Vậy xác suất cầ tíh 70 7 P 670 âu 9: và Bëh cñg tham gia kë thi THPTQG ăm 08, goài thi ba mô Toá, Vă, Tiếg h bắt buộc thë và Bëh đều đăg kì thi them đòg hai mï tự chọ khác trog ba mï Vật lì, Hîa học và Sih học dưới hëh thức thi trắc ghiệm để xét tuyể Đại học Mỗi mï tự chọ trắc ghiệm cî 8 mã đề thi khác hau, mã đề thi của các mï khác hau là khác hau Tìh xác suất để và Bëh cî chug đòg một mï thi tự chọ và chug một mã đề Gọi là biế cố: và Bëh cî chug đòg một mï thi tự chọ và chug một mã đề Số khả ăg chọ mï thi tự chọ và mã đề của mô thi là Số khả ăg Bëh chọ mï thi tự chọ và mã đề của mô thi là 8 8 Do đî, số phầ tử của khïg gia mẫu là 8 8 Bây giờ ta đếm số khả ăg để và Bëh cî chug đòg một mï thi tự chọ và chug một mã đề: Số khả ăg chọ mï thi tự chọ và mã đề của mô thi là 8 Sau khi chọ thë Bëh cî cách chọ mï thi tự chọ để cî đòg một mï thi tự chọ với, để chug mã đề với thë số cách chọ mã đề mï thi của Bëh là 8 8 cách Như vậy, số cách chọ mï thi và mã đề thi của Bëh là Do đî: hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

25 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Bởi vậy: P âu 0 : Trog khôg gia cho điểm phâ biệt (, ), trog đî khïg cî ba điểm ào thẳg hàg và trog điểm đî cî đòg điểm cñg ằm trê một mặt phẳg và khïg cî điểm ào goài điểm trog điểm ày đồg phẳg Tëm sao cho từ điểm đã cho tạo ra đòg 0 mặt phẳg phâ biệt ách Số cách chọ điểm trog điểm phâ biệt đã cho là Số cách chọ điểm trog điểm cùg ằm trê một mặt phẳg là Số mặt phẳg được tạo ra từ điểm đã cho là Như vậy: Vậy 6 ách î các trườg hợp sau : Vậy có TH : điểm đồg phẳg tạo ra mặt phẳg TH : điểm khïg đồg phẳg tạo ra 6 mặt phẳg TH : điểm trog điểm đồg phẳg kết hợp với điểm trog điểm khôg đồg phẳg tạo ra mặt phẳg TH : điểm trog điểm đồg phẳg kết hợp với điểm trog điểm khôg đồg phẳg tạo ra mặt phẳg 0 6 âu : Tug một đồg xu khïg đồg chất 00 lầ Biết rằg xác suất xuất hiệ mặt sấp là 0,6 Tìh xác suất để mặt sấp xuất hiệ đòg 00 lầ Ta có cách chọ 00 vị trí trog 00 lầ tug đồg xu để mặt xấp xuất hiệ, các lầ tug cò lại khôg xuất hiệ mặt sấp Ứg với mỗi cách chọ cố địh 00 vị trí xuất hiệ mặt xấp ta có xác suất của trườg hợp đî tìh hư sau: Tại hữg lầ mặt xấp xuất hiệ thì xác suất xảy ra là 0,6 Tại hữg lầ mặt gửa xuất hiệ thì xác suất xảy ra là 0,6 Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 5

26 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Do có 00 lầ xuất hiệ mặt sấp và 00 xuất hiệ mặt gữa ê ứg với mỗi cách chọ cố địh 00 vị trí xuất hiệ mặt xấp thì có xác xuất là 0,6 0,6 0, 00 Vậy xác xuất cầ tíh là 00 0, 00 âu : ho 5 chữ số,,,, 6 Lập các số tự hiê cî chữ số đïi một khác hau từ 5 chữ số đã cho Tìh tổg của các số lập được Mỗi số số tự hiê cî chữ số đïi một khác hau từ 5 chữ số,,,, 6 là một chỉh hợp chập của các chữ số ày Do đî, ta lập được 5 60 số Do vai trí các số,,,, 6 hư hau, ê số lầ xuất hiệ của mỗi chữ số trog các chữ số ày ở mỗi hàg (hàg đơ vị, hàg chục, hàg trăm) là hư hau và bằg 60 : 5 lầ Vậy, tổg các số lập được là S âu : ho tập hợp ;;; ;00 Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập co của, mỗi tập co ày gồm phầ tử của và cî tổg bằg 9 họ gẫu hiê một phầ tử của S Xác suất chọ được phầ tử cî số lập thàh cấp số hâ bằg? Giả sử tập co bất kì a,b,c Đây là bài toá chia kẹo Euler ê số bộ a, b, c là S a,b,c 00 ; a, b, c phâ biệt và a b c 9 9 Tuy hiê trog các bộ trê vẫ chứa các bộ có chữ số giốg hau, số bộ có chữ số giốg hau là :! 65 ( bộ) Vậy 90 Gọi là biế cố: a, b, c lập thàh cấp số hâ Gọi q là côg bội của cấp số hâ theo bài ra ta có q 0 a aq aq 9 a a Trườg hợp : q q 9 q 9 a 9 a 9 Trườg hợp : (loại) q q q 0 a q q 9 7 a a Trườg hợp : (thỏa mã) q q 7 q a 7 a 7 Trườg hợp : (thỏa mã) q q q P 65 Vậy 6 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

27 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 âu : Một tòa hà có tầg, các tầg được đáh số từ đế theo thứ tự từ dưới lê ó thag máy đag ở tầg Biết rằg mỗi thag máy cî thể dừg ở đòg tầg (khïg kể tầg ) và tầg ày khïg là số guyê liê tiếp và với hai tầg bất kỳ ( khác tầg ) của tía hà luï cî một thag máy dừg được ở cả hag tầg ày Hỏi giá trị lớ hất của là bao hiêu? Giả sử thag máy đî là,b,,d Do khi bốc hai thag bất kỳ luô có một thag máy dừg được ê: Khi bốc hai tầg, có một thag dừg được giả sử đî là thag, ê tầg khôg phải thag dừg Khi bốc hai tầg, có một thag dừg được giả sử đî là thag B, ê tầg 5 khôg phải thag B dừg Khi bốc hai tầg, 5 có một thag dừg được giả sử đî là thag, ê tầg 6 khôg phải thag dừg Khi bốc hai tầg 5,6 có một thag dừg được giả sử đî là thag D Khi bốc hai tầg 6,7 có một thag dừg được khi đî khïg thể là thag,b, vì sẽ dừg (mâu thuẫ), thag D khôg thể ở tầg 7 do khôg thể ở ba tầg liê tiếp Vậy khách sạ có tối đa sáu tầg âu 5: họ gẫu hiê một số tự hiê cî chữ số Tìh xác suất để số được chọ cî dạg abcd, trog đî a b c d 9 ách : Số tự hiê có bố chữ số có dạg abcd Ta có a ;;; ;5;6;7;8;9 suy ra có 9 cách chọ, bcd có Suy ra số phầ tử của khôg gia mẫu là cách chọ Gọi là biế cố số được chọ có dạg abcd, trog đî a b c d 9 Số dạg aaaa có 9 số Số dạg abcd ( a b c d ) có Số dạg aaab có Số dạg aabb có Số dạg abbc có Số dạg abbc có Số dạg abcc có 9 số 9 số 9 số 9 số 9 số số Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 7

28 Vậy 95 P ách : Số phầ tử của khôg gia mẫu là TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Từ giả thiết a b c d 9 a b c d 9 Số cách chọ a, b, c, d và sắp xếp chúg theo một thứ tự duy hất là Vậy 95 P âu 6 : Gọi S là tập hợp tất cả các số tự hiê cî 7 chữ số và chia hết cho 9 họ gẫu hiê một số từ tập S, tìh xác suất để các chữ số của số đî đïi một khác hau Số chia hết cho 9 có dạg: 9m, với m Ta có m m Do đî cî số có 7 chữ số và chia hết cho 9 Từ các chữ số 0;; ;;9 ta có các bộ gồm 7 số có tổg chia hết cho 9 là 0;;; ;5;6;7 ; 0;;; ;5;6;8 ; 0;;; ;5;7;8 ; 0;;;;6;7;8 ; 0;; ;5;7;8;9 ; 0;; ;6;7;8;9 ; 0;;5;6;7;8;9 ; 0;;;; ;8;9 ; 0;;;;5;7;9 ; ;; ;5;6;8;9 ; ;; ;5;7;8;9 ; ;;;6;7;8;9 ;; ;5;6;7;9 ; ó 9 bộ số gồm 7 số có tổg chia hết cho 9 trog đî cî số 0 ê từ các bộ số ày lập được: 966! 8880 số có 7 chữ số đïi một khác hau và chia hết cho 9 ó bộ số gồm7 số có tổg chia hết cho 9 tươg tự hư bộ số ;; ;5;6;7;9, ê từ các bộ số ày lập được 7! 060 số có 7 chữ số đïi một khác hau và chia hết cho 9 Vậy, xác suất chọ một số từ tập S để được một số có các chữ số của số đî đïi một khác hau là P âu 7: Trog mặt phẳg tọa độ Oxy, cho hëh chữ hật OMNP với M 0;0, N00;0, P 00;0 Gọi S là tập hợp tất cả các điểm x; y với x, y ằm bê trog kể cả trê cạh của hëh chữ hật OMNP Lấy gẫu hiê điểm x; y Tìh xác suất để x y 90 ách : Tập hợp S gồm có 0 điểm Ta xét S x; y : x y 90 với 0 x 00 và 0 y 0 Khi y 0 x 90 x 9;00 ó 0 giá trị của x Khi y x 89 x 90;00 ó giá trị của x S 8 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

29 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Khi y 0 x 90 x 9;00 có 0 giá trị của x Như vậy S có 65 phầ tử Vậy xác suất cầ tìm là ách : y Nhậ thấy các điểm cầ tìm ằm trê các đườg thẳg y m, m 0;0 Dễ thấy trê các đườg thẳg y 0, y, y, y 0 có lầ lượt 9, 90, 89,8 điểm Vậy xác suất cầ tìm là p ách : y 0 M O ;0 d E P 00 x N Ta có 0 Ta thấy x y 90 có miề ghiệm là ửa mặt phẳg có bờ là đườg thẳg d chứa điểm O Số điểm thuộc hìh chữ hật ENPD là Số điểm thuộc EDK tíh cả cạh EK là Suy ra x y 90 có điểm và x y 90 có P 0 O âu 8: Hai thí sih và B tham gia một buổi thi vấ đáp á bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sih một bộ câu hỏi thi gồm 0 câu hỏi khác hau, được đựg trog 0 phog bì dá kí, có hìh thức giốg hệt hau, mỗi phog bë đựg câu hỏi; thí sih chọ phog bì trog đî để xác địh câu hỏi thi của mìh Biết rằg bộ 0 câu hỏi thi dàh cho các thí sih là hư hau, xác suất để câu hỏi chọ và câu hỏi B chọ có ít hất câu hỏi giốg hau là bao hiêu? D K P Khôg gia mẫu là tập hợp gồm các cặp hai bộ câu hỏi, mà ở vị trí thứ hất của cặp là bộ câu hỏi thí sih chọ và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ câu hỏi thí sih B chọ Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 9 x

30 Thí sih có Thí sih B có Suy ra số phầ tử của khôg gia mẫu là TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ 0 cách chọ câu hỏi từ bộ gồm 0 câu hỏi 0 cách chọ câu hỏi từ bộ gồm 0 câu hỏi 0 0 Gọi X là biế cố '' câu hỏi chọ và câu hỏi B chọ có ít hất câu hỏi giốg hau'' Để tìm số phầ tử của X, ta đi tëm số phầ tử của X hư sau Giả sử chọ trước ê có 0 cách chọ câu hỏi từ bộ gồm 0 câu hỏi Để B chọ khác thì B phải chọ trog 7 câu hỏi cò lại từ bộ 0 câu hỏi ê có 7 cách chọ Suy ra số phầ tử của biế cố X là Vậy xác suất cầ tíh PX X X X âu 9: Trog kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sih dự thi hai mô thi trắc ghiệm Vật lí và Hóa học Đề thi của mỗi mô gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có phươg á lựa chọ; trog đî cî phươg á đòg, làm đòg mỗi câu được 0, điểm Mỗi mô thi thí sih đều làm hết các câu hỏi và chắc chắ đòg 5 câu, 5 câu cò lại thí sih chọ gẫu hiê Xác suất để tổg điểm mô thi của thí sih khïg dưới 9 điểm là bao hiêu? ách Thí sih khïg dưới 9 điểm khi và chỉ khi trog 0 câu trả lời gẫu hiê ở cả hai mô Vậy lí và Hóa học thì phải đòg ìt hất 5 câu Khôg gia mẫu là số phươg á trả lời 0 câu hỏi mà thí sih chọ gẫu hiê Suy ra 0 số phầ tử của khôg gia mẫu là Gọi X là biế cố '' Thí sih làm được ít hất 5 câu trog 0 được cho là chọ gẫu hiê '' ê ta cî các trườg hợp sau đây thuậ lợi cho biế cố X Mỗi câu đòg cî phươg á trả lời, mỗi câu sai cî phươg á trả lời 5 5 câu đòg 5 câu sai: có câu đòg câu sai: có 7 7 câu đòg câu sai: có 8 8 câu đòg câu sai: có 9 câu đòg câu sai: có 0 câu đòg: cî khả ăg thuậ lợi 0 khả ăg thuậ lợi 0 khả ăg thuậ lợi 0 khả ăg thuậ lợi khả ăg thuậ lợi 0 0 khả ăg thuậ lợi X 89 Suy ra 0 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

31 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 89 Vậy xác suất cầ tíh P 0 ách Xác suất trả lời đòg câu hỏi là, trả lời sai là Ta cî các trườg hợp: Xác suất thí sih trả lời đòg 5 trê 0 câu là Xác suất thí sih trả lời đòg 6 trê 0 câu là Xác suất thí sih trả lời đòg 7 trê 0 câu là Xác suất thí sih trả lời đòg 8 trê 0 câu là Xác suất thí sih trả lời đòg 9 trê 0 câu là Xác suất thí sih trả lời đòg 0 trê 0 câu là ộg các xác suất trê ta được xác suất cầ tíh Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá âu 50 : Trog kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sih dự thi mô thi trắc ghiệm Toá Đề thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có phươg á lựa chọ; trog đî cî phươg á đòg, làm đòg mỗi câu được 0, điểm Bạ làm chắc chắ đòg câu, trog 8 câu cò lại chỉ có câu bạ loại trừ được mỗi câu một đáp á chắc chắ sai Do khôg cí đủ thời gia ê bắt buộc phải khoah bừa các câu cò lại Xác suất bạ được 9, điểm là bao hiêu? Ta chỉ qua tâm 8 câu cò lại Trog 8 câu cò lại mìh chia làm loại: Loại : gồm câu cî đáp á, B, Suy ra xác suất chọ đáp á đòg là, xác suất chọ đáp á đòg là Loại : gồm 5 câu cî đáp á, B,, D Suy ra xác suất chọ đáp á đòg là, xác suất chọ đáp á đòg là Để bạ đạt được 9, điểm (tức cầ đòg thêm 5 câu trog 8 câu cí lại) thì xảy ra một trog các khả ăg sau 5 Đòg 0 câu loại & Đòg 5 câu loại suy ra xác suất 5 Đòg câu loại & Đòg câu loại suy ra xác suất 0 5 5

32 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Đòg câu loại & Đòg câu loại suy ra xác suất Đòg câu loại & Đòg câu loại suy ra xác suất ộg các xác suất lại ta được xác suất cầ tíh 99 P âu 5: ó gười xếp thàh một hàg dọc (vị trí của mỗi gười trog hàg là cố địh), họ gẫu hiê gười trog hàg Tíh xác suất để gười được chọ khôg có gười đứg ào cạh hau 0 Số phầ tử của khôg gia mẫu: Giả sử chọ ba gười có số thứ tự trog hàg lầ lượt là m,, p Theo giả thiết ta có: m p m p m,,p;;; Đặt a, b, c là ba số bất kì trog tập ;;;;0 ó Vậy xác suất là P a b c a m b a b c b c p a b c p 0 cách chọ hay 0 0 âu 5: ó hai học sih lớp, ba học sih lớp B và bố học sih lớp xếp thàh một hàg gag sao cho giữa hai học sih lớp khôg có học sih ào lớp B Hỏi có bao hiêu cách xếp hàg hư vậy? Xét các trườg hợp sau: TH: Hai học sih lớp đứg cạh hau có!8! cách TH: Giữa hai học sih lớp có một học sih lớp có TH: Giữa hai học sih lớp có hai học sih lớp có TH: Giữa hai học sih lớp có ba học sih lớp có TH5: Giữa hai học sih lớp có bố học sih lớp có Vậy theo quy tắc cộg có! 7! cách! 6! cách! 5! cách!! cách! 8! 7! 6! 5!! 55 cách âu 5: Từ các số 0; ; ; ; ; 5; 6 viết gẫu hiê một số tự hiê gồm 6 chữ số khác hau có dạg aaaaa5a 6 Tíh xác suất để viết được số thoả mã điều kiệ a a a a a5 a6 0 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

33 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Ta dễ cî số phầ tử của khïg gia mẫu là 6 0 Gọi là biế cố chọ được số thoả mã yêu cầu bài toá Khi đî ta cî phươg á để chọ số aaaaa5a 6 hư sau: Phươg á : a a a a a5 a6 5 Khi đî a,a ; a,a ; a 5,a6 0,5 ;, ;, + Phươg á : a,a 0,5 có + Phươg á : a,a 0,5 có Vậy cî!! 0 cách chọ 5 6! cách chọ! cách chọ Phươg á : a a a a a5 a6 6 Khi đî a,a ; a,a ; a 5,a6 0,6 ;,5 ;, Phươg á ày hoà toà tươg tự phươg á do đî cî Phươg á : a a a a a5 a6 7 Khi đî Suy ra có!! 8 cách chọ a,a ; a,a ; a 5,a6,6 ;,5 ;, Vậy số phầ tử của : Suy ra!! 0 cách chọ 8 p 0 5 âu 5: î bi xah, bi đỏ, bi trắg và bi vàg (các viê bi cùg màu giốg hau) Hỏi có bao hiêu cách xếp viê bị thàh một hàg gag sao cho các bi cùg màu khôg cạh hau? Xếp bi xah trước: có cách (tạo ra khoảg trốg kể cả hai đầu) Tiếp theo xếp bi đỏ vào khoảg trốg: có cách Bây giờ có tất cả 6 viê bi (gồm bi xah và bi đỏ) tạo ê 7 khoảg trốg, tiếp tục xếp bi trắg vào 7 khoảg trốg: có cách Thời điểm ày có tất cả 9 viê bi (gồm bi xah, bi đỏ và bi trắg), tiếp tục xếp bi vàg vào 0 khoảg trốg: có 0 cách Vậy có 7 0 cách Tuy hiê khi xếp bi xah xog, kế tiếp xếp bi đỏ vào khoảg trốg hư đã trìh bày ở trê thë cî trườg hợp mà bi xah cạh hau Đ X X Đ X Đ 7 Đ X Đ X X Đ Ứg với mỗi trườg hợp ày sẽ kéo theo việc xếp bi trắg khôg thỏa mã là xếp bi vàg khôg thỏa mã là là 6 9 cách 6 và việc 0 Vậy số trườg hợp khôg thỏa mã (cầ phải trừ ra) Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá

34 Ta có!!!!! P TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ âu 55: ó 6 viê bi gồm bi xah, bi đỏ, bi vàg (các viê bi bá kíh khác hau) Tíh xác suất để khi xếp 6 bi trê thàh một hàg gag thì khôg có hai viê bi cùg màu ào đứg cạh hau Trườg hợp ó cặp cạh hau: có!!!! 8 cách Trườg hợp ó cặp cạh hau Khả ăg thứ hất: ặp xah cạh cặp đỏ Ta xem cặp xah hư vị trí, cặp đỏ hư vị trí cùg với viê bi vàg ê có! cách xếp Hai viê bi trog cặp bi xah đổi vị trí ê có! cách, hai viê bi trog cặp bi đỏ đổi vị trí ê có! cách Nhưg ta đếm thế ày là thừa trườg hợp cặp bi cạh hau Do đî khả ăg thứ hất có!!! 8 8 cách Khả ăg thứ hai: ặp xah cạh cặp vàg có 8 cách Khả ăg thứ ba: ặp đỏ cạh cặp vàg có 8 cách Vậy trườg hợp có cách Trườg hợp ó cặp cạh hau Khả ăg thứ hất: hỉ có viê bi xah cạh hau Ta xem cặp xah hư vị trí, cùg với viê bi đỏ và viê bi vàg ê có 5! cách xếp Hai viê bi trog cặp bi xah đổi vị trí ê có! cách Nhưg ta đếm thế ày là thừa trườg hợp cặp bi cạh hau (cặp xah cạh cặp đỏ & cặp xah cạh cặp vàg) và trườg hợp cặp bi cạh hau Do đî khả ăg thứ hất có 5!! cách Khả ăg thứ hai: hỉ cî viê bi đỏ cạh hau có 96 cách Khả ăg thứ ba: hỉ có viê bi vàg cạh hau có 96 cách Vậy trườg hợp có cách Suy ra số cách xếp 6 bi thỏa mã bài toá là 6! cách Nhậ xét Bài ày ta khôg thể làm hư bài trước được vì các viê bi khác hau Ta có 6! P 0 âu 56: ó học sih lớp, học sih lớp B và học sih lớp xếp thàh một hàg gag sao cho giữa hai học sih lớp khôg có học sih lớp B Hỏi có bao hiêu cách xếp hàg hư vậy? Gọi k là số học sih lớp ở giữa hai học sih lớp với k 0;; ; ; hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

35 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Trước tiê ta đếm cách tạo thàh cụm họ học sih lớp xếp đầu có! hai học sih lớp có oi cụm k k k cách Do đî có k cách họ k học sih lớp xếp vào giữa! là một vị trí cùg với 9 k trí Xếp hàg cho các vị trí ày có 8 k! cách Vậy với mỗi k k hư trê cî! 8 k! cách xếp hàg k Suy ra số cách xếp hàg thỏa mã đề bài là: cách tạo ra cụm k học sih cò lại thàh 8 k vị! 8 k! 55 cách k0 âu 57: ho một đa giác lồi H cî 0 đỉh Gọi gẫu hiê đỉh của đa giác đî Gọi P là xác suất sao cho đỉh được chọ tạo thàh một tứ giác có bố cạh đều là đườg chéo của H Tìm P Số phầ tử của khôg gia mẫu là 0 Gọi : đỉh được chọ tạo thàh một tứ giác co bï ca h đêu là đườg chéo của H Để chọ ra một tứ giác thỏa mã đề bài ta làm hư sau: Bước : họ đỉh đầu tiê của tứ giác, có 0 cách Bước : họ đỉh cò lại sao cho hai đỉh bất kỳ của tứ giác cách hau ít hất đỉh Điều ày tươg đươg với việc ta phải chia m 0 chiếc kẹo cho đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít hất k cái, có thế mỗi tứ giác lặp lại lầ Số phầ tử của biế cố là Vậy xác suất của biế cố là m(k) P 0, cách, hưg làm hư Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 5

36 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ âu 58: ho đa giác đều 08 đỉh Hỏi cî bao hiêu tam giác cî đỉh là đỉh của đa giác và cî một gîc lớ hơ 00? j i k O Gọi,,, 08 là các đỉh của đa giác đều 08 đỉh Gọi O là đườg trò goại tiếp đa giác đều 08 ác đỉh của đa giác đều chia O thàh 08 cug trò bằg hau, mỗi cug trò có số đo bằg Vì tam giác cầ đếm cî đỉh là đỉh của đa giác ê các gîc của tam giác là các góc ội tiếp của O Suy ra góc lớ hơ 00 sẽ chắ cug có số đo lớ hơ 00 ố địh một đỉh 08 cách chọ i Gọi i i ó,, là các đỉh sắp thứ tự theo chiều kim đồg hồ sao cho cug hỏ j k 60 thì cug lớ i k i o k i j k 00 và tam giác i j k là tam giác cầ đếm Khi đî i k là hợp liê tiếp của hiều hất ói trê 896 cug trò ày có 897 đỉh Trừ đi đỉh i thì cò 896 đỉh Do đî cî hai đỉh Vậy có tất cả, j k tam giác thỏa mã yêu cầu bài toá hú ý: Phâ tích sai lầm khi giải bài tập ày: Giả sử mp 00 thì cug m p (khôg chứa điểm cug trò cách chọ ) sẽ có số đo lớ hơ 00 6 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

37 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Tức là cug m p (khôg chứa điểm cug trò bằg hau ói trê ) sẽ là hợp liê tiếp của ít hất Từ đî ta cî cách dựg tam giác thỏa mã yêu cầu bài toá hư sau: Bước : Đáh dấu một cug trò là hợp liê tiếp của cug trò bằg hau ói trê î 08 cách đáh dấu Bước : Trog điểm khôg thuộc cug trò ở bước (bao gồm cả Vậy có tất cả hai điểm đầu mút của cug), chọ ra điểm bất kì, có sẽ tạo thàh tam giác có một góc lớ hơ tam giác thỏa mã yêu cầu bài toá 897 cách chọ, điểm ày ách lập luậ ày là khôg chíh xác, vì ta chưa trừ đi các trườg hợp trùg hau! âu 59: ó bao hiêu số tự hiê có 08 chữ số sao cho trog mỗi số tổg các chữ số bằg 5? Vì 5 ê ta cî các trườg hợp sau: Trườg hợp : Số tự hiê có một chữ số 5 đứg đầu và 07 số 0 đứg sau: ó số Trườg hợp : Số tự hiê có một chữ số, một chữ số và 06 số 0 + Khả ăg : Nếu số đứg đầu thì số đứg ở một trog 07 vị trí cò lại ê ta có 07 số + Khả ăg : Nếu số đứg đầu thì số đứg ở một trog 07 vị trí cò lại ê ta có 07 số Trườg hợp : Số tự hiê có một chữ số, một chữ số và 06 số 0 + Khả ăg : Nếu số đứg đầu thì số đứg ở một trog 07 vị trí cò lại ê ta có 07 số + Khả ăg : Nếu số đứg đầu thì số đứg ở một trog 07 vị trí cò lại ê ta có 07 số Trườg hợp : Số tự hiê có hai chữ số, một chữ số và 05 số 0 + Khả ăg : Nếu số đứg đầu thì số và số cò lại đứg ở hai trog 07 vị trí cò lại ê ta có 07 số + Khả ăg : Nếu số đứg đầu thì hai chữ số đứg ở hai trog 07 vị trí cò lại ê ta có 07 số Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 7

38 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ Trườg hợp 5: Số tự hiê có chữ số, một chữ số thë tươg tự hư trườg hợp ta có số Trườg hợp 6: Số tự hiê có một chữ số, ba chữ số và 0 số 0 + Khả ăg : Nếu số đứg đầu thì ba chữ số đứg ở ba trog 07 vị trí cò lại ê ta có 07 số + Khả ăg : Nếu số đứg đầu và số đứg ở vị trí mà khôg có số ào khác đứg trước ó thì hai số cò lại đứg ở trog 06 vị trí cò lại ê ta có 06 số + Khả ăg : Nếu số đứg đầu và số đứg ở vị trì mà đứg trước ó có hai số thì hai số và cò lại đứg ở trog 06 vị trí cò lại ê ta có 06 số Trườg hợp 7: Số tự hiê cî ăm chữ số và 0 số 0, vì chữ số đứg đầu ê bố chữ số cò lại đứg ở bố trog 07 vị trí cò lại ê ta có Áp dụg quy tắc cộg ta có tìm 07 số số cầ âu 60: ó viê bi xah, viê bi vàg và viê bi đỏ (các viê bi có bá kíh khác hau) Hỏi có bao hiêu cách xếp 6 viê bi thàh một hàg gag sao cho các viê bi cùg màu khôg xếp cạh hau? Ta đáh số thứ tự các ô cầ xếp bi Trườg hợp thứ hất I II III IV V VI Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, V ê có! cách Bi màu vàg và màu xah ở các vị trí cò lại II, IV, VI ê cũg cî! cách Do đî trog tườg hợp ày có!! 6 cách Trườg hợp thứ hai (hư trườg hợp thứ hất) Bi màu đỏ ở các vị trí II, IV, VI ê có! cách Bi màu vàg và màu xah ở các vị trí cò lại I, III, V ê cũg cî! cách Do đî trog tườg hợp ày có!! 6 cách Trườg hợp thứ ba Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, VI ê có! cách Bi màu vàg và màu xah ở tùy ý các vị trí cò lại thì có! cách hưg trog đî cî vị trí IIx IV v V v khôg thỏa mã Do đî trog tườg hợp ày có!! cách Trườg hợp thứ tư (hư trườg hợp thứ ba) Bi màu đỏ ở các vị trí I, IV, VI ê có! cách 8 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

39 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Bi màu vàg và màu xah ở tùy ý các vị trí cò lại thì có! cách hưg trog đî cî vị trí IIv IIIv V x khôg thỏa mã Do đî trog tườg hợp ày có!! cách Vậy có tất cả cách thỏa mã bài toá âu 6: Trog trậ đấu bîg đá giữa đội Real madrid và Barceloa, trọg tài cho đội Barceloa được hưởg một quả Pealty ầu thủ sòt phạt gẫu hiê vào trog bố vị trí,,, và thủ mï bay gười cả phá gẫu hiê đế trog vị trì,,, với xác suất hư hau (thủ mï và cầu thủ sòt phạt đều khïg đoá được ó địh của đối phươg) Biết ếu cầu thủ sòt và thủ mï bay cñg vào vị trì (hoặc ) thë thủ mï cả phá được cò sòt đî, ếu cñg vào vị trì (hoặc ) thë xác suất cả phá thàh cïg là 50% Tìh xác suất của biế cố cò sòt đî khïg vào lưới? ách : Số phầ tử của khôg gia mẫu là 6 Gọi biế cố ò sòt đî khïg vào lưới Khi đî biế cố ò sòt đî vào lưới Số phầ tử của là Trườg hợp : ầu thủ sút vào vị trí thủ mô bay vào trog vị trí cò lại ầu thủ có cách sút Thủ mô có cách bay Do đî, cî khả ăg xảy ra Trườg hợp : ầu thủ sút vào vị trí thủ mô bay vào trog vị trí cò lại ầu thủ có cách sút Thủ mô có cách bay Do đî, cî khả ăg xảy ra Trườg hợp : ầu thủ sút vào vị trí thủ mô bay vào trog vị trí cò lại ầu thủ có cách sút Thủ mô có cách bay Do đî, cî khả ăg xảy ra Trườg hợp : ầu thủ sút vào vị trí thủ mô bay vào trog vị trí cò lại ầu thủ có cách sút Thủ mô có cách bay Do đî, cî khả ăg xảy ra Trườg hợp 5: ầu thủ sút vào vị trí thủ mô bay vào vị trí ầu thủ có cách sút Thủ mô có cách bay Do đî, cî khả ăg xảy ra Trườg hợp 6: ầu thủ sút vào vị trí thủ mô bay vào vị trí ầu thủ có cách sút Thủ mô có cách bay Do đî, cî khả ăg xảy ra Khi đî Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá 9

40 Xác suất xảy ra biế cố là ra chỉ là 50%) Vậy ách : Gọi TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ p (Do trườg hợp 5, 6 thì xác suất xảy p p 6 6 i là biế cố cầu thủ sút phạt vào vị trí i B i là biế cố thủ mï bay gười cả phá vào vị trí thứ i Và là biế cố ò sòt phạt khïg vào lưới Dễ thấy P PB i i Ta có P P P B P P B P P B P P B 6 âu 6: Trog một lớp có học sih có ba bạ,b, cùg học sih khác Khi xếp tùy ý học sih ày vào một dãy ghế dài cî đáh số từ đế ( mỗi học sih gồi một ghế) Xác suất để số ghế của bằg trug bìh cộg số ghế của B và bằg 675 Tìm? Số cách xếp tùy ý là! Ta tìm số cách xếp thỏa mã; giả sử số ghế của,b, lầ lượt là a,b,c Theo giả thiết ta có xét khả ăg của Trườg hợp : m Nếu b,c chẵ có khác Nếu b,c lẻ có Vậy xác suất cầ tíh là: b c a b c a Do đî b và c cñg chẵ hoặc cùg lẻ Ta cách xếp B và ; cách xếp và! cách xếp học sih cách xếp B và ; cách xếp và! cách xếp học sih khác m!! m! m m 70 m! m! m m m m! Trườg hợp ày khôg thỏa mã Trườg hợp : m Nếu b,c chẵ có khác Nếu b,c lẻ có m cách xếp B và ; cách xếp và cách xếp B và ; cách xếp và m m! cách xếp học sih m! cách xếp học sih khác 0 hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học

41 HUYÊN MỤ MỖI TUẦN MỘT HỦ ĐỀ - HỦ ĐỀ SỐ NGÀY 7/8/08 Vậy xác suất cầ tíh là: Vậy 7 m 7 m! m m m 675 m! m m m m m m âu 6: ho tam giác đều H cî cạh bằg 8 hia tam giác ày đều thàh 6 tam giác đều cî cạh bằg bởi các đườg thẳg sog sog với các cạh của tam giác đều đã cho Gọi S là tập hợp các đỉh của 6 tam giác đều cî cạh bằg họ Ngẫu hiê đỉh của tập S Tìh xác suất để đỉh chọ được là bố đỉh của một hëh bëh hàh ằm trog miề trog tam giác đều H ách : Ta thấy có loại hìh bìh hàh dựa vào cách chọ phươg của hai cạh của hìh bìh hàh Số hìh bìh hàh của mỗi loại là bằg hau ê chỉ cầ tíh một loại rồi hâ với Dựg thêm một đườg thẳg sog sog với cạh đáy và cách cạh đáy một khoảg bằg khoảg cách giữa hai đườg thẳg sog sog kề hau, tạo thàh một tam giác đều mở rộg hư hëh vẽ Ta chia cạh mới thàh 9 phầ bằg hau bởi 8, cộg thêm đầu mút ữa thàh 0 điểm ác điểm được đáh số từ trái sag phải từ đế 0 Khi đî, với hìh bìh hàh có hai cạh sog sog với hai cạh bê tươg ứg với bố số a b c d 0 theo quy tắc sau: Nối dài các cạh của hìh bìh hàh, cắt các cạh Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học hih phục olympic toá

42 TỔ HỢP XÁ SUẤT VÀ Á BÀI TOÁN ĐẾM KHÓ mới tại điểm có số thứ tự là a, b, c, d Ví dụ với hëh bëh hàh màu đỏ trê ta có bộ,5,7,9 Ngược lại ếu có một bộ số a b c d 0 ta sẽ kẻ các đườg thẳg từ điểm a, b sog sog với cạh bê trái và từ c, d sog sog với cạh bê phải giao hau ra một hìh bìh hàh Vậy số hìh bìh hàh loại ày là số cách lấy ra bố số phâ biệt a;b;c;d từ 0 số tự hiê,,,,0 và ta được Vậy kết quả là hìh bìh hàh Ta thấy có 9 5 giao điểm giữa các đườg thẳg ê số phầ tử của khôg gia mẫu là 5 Vậy xác suất cầ tíh là P ách : Để chọ được một hìh bìh hàh mà đỉh chọ được là bố đỉh của một hìh bìh hàh ằm trog miề trog tam giác đều H ta làm hư sau: họ trog 7 điểm trê một cạh ( trừ hai điểm đầu mút của cạh), cùg với hai điểm trog 5 điểm ằm tươg ứg trê một cạh trog hai cạh cò lại của tam giác ( trừ mỗi đầu cạh đi điểm) Qua điểm ày có đườg thẳg tươg ứg của đầu bài sẽ cắt hau tạo thàh một hìh bìh hàh thỏa mã bài toá Vì vài trò các cạh hư hau ê số hëh bëh hàh thu được là: (hìh) Ta thấy có 9 5 giao điểm giữa các đườg thẳg ê số phầ tử của khôg gia mẫu là 5 Vậy xác suất cầ tíh là P 7 âu 6: î tất cả bao hiêu hëh chữ hật trê bà cờ vua 8x8? 0 5 Số các hìh chữ hật chỉ chứa ô vuôg là 6 Số cách chọ ra ô vuôg phâ biệt trog 6 ô vuôg ày là 06 Trog đî số cách chọ ô thuộc 6 cùg hàg hoặc cột là 6 8 Suy ra có 8 hìh chữ hật mà có chiều rộg là (các ô vuôg của ó cùg thuộc hàg hoặc cột) Vậy số cách chọ ô vuôg mà khôg cùg hàg hay cột là: Nhậ xét: Với ô vuôg khôg cùg hàg cùg cột ta có thể tạo ra hìh chữ hật bằg cách chiếu hih phục olympic toá Fapage: Tạp chí và tư liệu toá học