ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG TOÁN CAO CẤP C Giảng viên: Bùi Đức Thắng NĂM HỌC

Bản ghi

1 ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH AN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG TOÁN CAO CẤP C Giảg viê: Bùi Đức Thắg NĂM HỌC 4

2 MỤC LỤC CHƯƠNG TRANG CHƯƠNG : GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM MỘT BIẾN CHƯƠNG : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN CHƯƠNG : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CHƯƠNG 4: ĐẠO HÀM VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƯƠNG 6: CHUỖI SỐ CHƯƠNG 7: MA TRẬN ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3 CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN BỔ TÚC VỀ TẬP HƠP SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ. Một số tíh chất củ tập hợp số thực R Trog R có các tíh chất qu ước su ñâ: i) < <+, R ii) ++ ( ) =+ ; + = ( ) ; ( + ) = ; ( ) =+. iii) i.( + ) =+,.( = ), khi >. i.( + ) =,.( =+ ), khi <. i =, R. + i =, R.. Các khoảg trog R Khoảg ñóg trog R. Khoảg mở trog R. Khoảg ử mở (ử khoảg) trog R. { R } [, b] = b Chú ý { R } { R } { R } (, b) = < < b (, += ) < (, b) = < b { R } { R } { R } { R } [, b) = < b (, b] = < b [, + ) = (, b] = b Nhiều khi gười t cò dùg một chữ i ho ào ñó ñể chỉ một khoảg ñóg, khoảg mở h khoảg ử mở (ử khoảg), chẳg hạ : I, A, B, C.... Tập hợp bị chặ, khôg bị chặ.. Cậ trê Địh ghĩ Số thực gọi là một cậ trê (h là một số chặ trê) củ tập hợp X R ếu X. Khi ñó t cũg bảo X bị chặ trê bởi. NếuX khôg có cậ trê ào thì X gọi là khôg bị chặ trê... Cậ dưới Địh ghĩ Số thực gọi là một cậ dưới (h là một số chặ dưới) củ tập hợp X R ếu X. Khi ñó t cũg bảo X bị chặ dưới bởi. NếuX khôg có cậ dưới ào thì t gọi X khôg bị chặ dưới.

4 .. Tập hợp bị chặ Tập hợp X R gọi là bị chặ, ếu ó vừ bị chặ trê, vừ bị chặ dưới.. 4 Áh ạ và hàm số.4. Khái iệm về áh ạ và hàm số Địh ghĩ Giả sử X và Y là hi tập hợp tuỳ ý. Nếu có một qu tắcf cho tươg ứg mỗi phầ tử X với một phầ tử Y thì t ói f là một áh ạ từ X vào Y và ký hiệu: f: X Y = f ( ) Nếu X và Y là các tập hợp số thìfñược gọi là hàm số. Trog tài liệu à chúg t ét các hàm số thực củ các biế số thực ghĩ là X R& Y R. X ñược gọi là tập hợp ác ñịh (hoặc miề ác ñịh) củ hàm số f. Số thực Xñược gọi là biế số ñộc lập (gọi tắt là biế số hoặc ñối số ). Số thực = f ( ) Y ñược gọi là giá trị củ hàm số tại ñiểm. Tập hợp tất cả các giá trị f ( ) khi lấ mọi số thực thuộc tập hợpx gọi là tập hợp các giá trị (hoặc miề giá trị) củ hàm số f và ñược ký hiệu là fx ( ). Như vậ: { } fx ( ) = Y X: f ( ) =.4. Các phép toá trê các hàm số Giả sử f, g: X R là hi hàm số thực ác ñịh trê tập hợp X. Các hàm số : ) b) c) f+ g: X f g: X fg: X R ( f+ g)( ) = f( ) + g ( ) R ( f g)( ) = f( ) g ( ) Y ( fg.)( ) = f( ).( g) theo thứ tự, gọi là tổg, hiệu, tích củ hi hàm số d) Ngoài r ếu g ( ) với mọi X thì hàm số gọi là thươg củ hi hàm số f & g. Chú ý f & g. f g : X Y f ( ) g = f( ) g( ) Trog hiều trườg hợp gười t cho hi hàm số thực f vàg mà khôg ói rõ tập ác ñịh củ chúg. Khi ñó, tập ác ñịh củ hàm số f+ g ñược hiểu là gio củ các tập ác ñịh củ hi hàm số f vàg. Ví dụ Cho hi hàm số f () = & g ( ) =. Tập ác ñịh củ hàm số f ( ) + g ( ) = + là [,] R \{} = [,) (,]

5 .4. Các loại hàm số ñặc biệt ) Hàm bị chặ, hàm khôg bị chặ - T gọi hàm số = f ( ) là bị chặ trê trog tậpd R ếu tồ tại số M R so cho f () M với mọi D. - T gọi hàm số = f ( ) là bị chặ dưới trog tậpd R ếu tồ tại số N R so cho f () N với mọi D. - Hàm số = f ( ) ñược gọi là bị chặ trog tậpd R ếu ó vừ bị chặ trê và vừ bị chặ dưới, tức là tồ tại số < M R socho f ( ) M với mọi D. Ví dụ Các hàm số cos, R. = si, = cos là các hàm số bị chặ vì R mà si, - Cò hàm số = là hàm số khôg bị chặ trog khoảg (, + ). b) Hàm chẵ, hàm lẻ + Giả sử X là một tập hợp số thực so cho X với mọi X và f: X R là một hàm số ác ñịh trê X. T gọi: if là một hàm số chẵ ếu: f( ) = f ( ) với mọi X. i f là một hàm số lẻ ếu: f( ) = f ( ) với mọi X. + Dễ dàg thấ rằg ñồ thị củ một hàm số chẵ ñối ứg qu trục tug và ñồ thị củ một hàm số lẻ ñối ứg qu gốc tọ ñộ. Ví dụ Hàm số = là một hàm số chẵ, cò hàm số = là một hàm số lẻ. c) Hàm tuầ hoà i Giả sử hàm số f: X R ác ñịh trê tập hợp số thực X. Nếu tồ tại một số dươg T so cho với mọi X t ñều có: + T X& f ( + T) = f ( ) () thì f gọi là một hàm số tuầ hoà. Từ ñẳg thức trê su r: Với mọi X thì f ( ) = f ( + T) = f ( + T) =... i Nếu trog tập hợp các số T> thỏ mã ñẳg thức () có số hỏ hất thì số ñó ñược gọi là chu kì củ hàm số tuầ hoà f. Ví dụ 4 Các hàm số f () si & g () cos( π ) π, hàm số h () = si ( + π) có chu kì π. Chú ý = = + là hữg hàm số tuầ hoà có chu kì 5 Nếu f là một hàm tuầ hoà có chu kỳ T thì t chỉ cầ ét hàm số trê một ñoạ có ñộ dài bằg chu kỳ :[, + T] và vẽ ñồ thị trê ñoạ ñó. T sẽ hậ ñược toà bộ ñồ thị củ hàm số từ phầ củ ñồ thị ñã biết hờ phép tịh tiế theo các véc tơ ( kt,), k Z. Điểm thườg ñược chọ so cho có thể tậ dụg ñược ñặc ñiểm (ếu có) củ hàm số (chẳg hạ tíh chẵ, lẻ củ hàm số ).

6 d) Hàm ñơ ñiệu Địh ghĩ 4 Giả sử X và Y là hi tập hợp số thực.. Hàm số f: X Y gọi là tăg ếu : < f ( ) f ( ),, X. Hàm số f: X Y gọi là tăg ghiêm gặt ếu : < f ( ) < f ( ),, X. Hàm số f: X Y gọi là giảm ếu : < f ( ) f ( ),, X 4. Hàm số f: X Y gọi là giảm ghiêm gặt ếu: < f ( ) > f ( ),, X 4 5. Hàm số f: X Y tăg hoặc giảm gọi là hàm ñơ ñiệu. Hàm số tăg ghiêm gặt hoặc giảm ghiêm gặt gọi là hàm ñơ ñiệu ghiêm gặt. Ví dụ 5 Hàm số f ( ) = 5 là tăg ghiêm gặt trê R. Hàm số ghiêm gặt trê khoảg (,] và tăg ghiêm gặt trê khoảg [, + ) g ( ) = là giảm e) Hàm số hợp Cho b tập hợp X, Y, Z R. Giả sử f: X Y& g: Y Z là hi hàm số. Với mỗi X, = f ( ) Y, g () = gf [()] Hàm số h: X h ( ) gf Z ( ) gọi là hàm số hợp củ hi hàm số f và g, ký = hiệu là h= g f. Như vậ ( g f)( ) = gf [()] h) Hàm số gược Địh ghĩ 5 Giả sử X và Y là hi tập hợp bất kì và f: X Y là một sog áh từ X lê Y. Khi ñó với mỗi Y, tồ tại một phầ tử du hất X so cho f ( ) =. Áh ạ g: Y Chú ý 4 X g() = gọi là áh ạ gược củ áh ạ f, kí hiệu Nếu g: Y X là áh ạ gược củ sog áh f: X Y thì: gf [ ( )] =, X & fg [()] =, Y. Địh lý Giả sử hàm số f: X R là tăg (giảm) ghiêm gặt trê tập hợp số thựcx. Khi ñó f là một sog áh từ tập hợpx lê tập hợp Y= fx ( ) và hàm số gược : f Y X củ f là tăg (giảm) ghiêm gặt trê Y..4.4 Hàm số sơ cấp ) Hàm số mũ =, với >. f. Hàm mũ có miề ác ñịh là R, miề giá trị là (, + ). Nếu > thì hàm ñồg biế, < < thì hàm ghịch biế.

7 b) Hàm số lôgrit = log, với >. 5 Hàm lôgrit có miề ác ñịh là (, + ), miề giá trị là R. Nếu > thì hàm ñồg biế < < thì hàm ghịch biế. Hàm lôgrit = log là hàm số gược củ hàm số mũ =. c) Hàm số lũ thừ: = α, với α R. i Nếu α - là số hữu tỷ thì miề ác ñịh củ hàm lũ thừ phụ thuộc vào α. Chẳg hạ = có miề ác ñịh là (, + ); hưg hàm số = có miề ác ñịh lại là: R \{}. i Nếu α - là số vô tỷ dươg thì t qu ước miề ác ñịh là [, + ]. i Nếu α - là số vô tỷ âm thì t qu ước miề ác ñịh củ ó là (, + )..4.5 Các hàm số lượg giác. i= si có miề ác ñịh R, miề giá trị [,], là hàm lẻ, tuầ hoà với chu kỳ π. i= cos có miề ác ñịh R, miề giá trị [, ] là hàm chẵ, tuầ hoà với chu kỳ π. i= t có miề ác ñịh: (k+ ) π, k Z, miề giá trị R, là hàm lẻ, tuầ hoà với chu kỳ π. i= cot có miề ác ñịh: kπ, k Z miề giá trị R, là hàm lẻ, tuầ hoà với chu kỳ π..4.6 Các hàm số lượg giác gược. Hàm = rcsi là hàm gược củ hàm số = si Hàm = rccos là hàm gược củ hàm số = cos Hàm = rct là hàm gược củ hàm số = t Hàm = rc cot là hàm gược củ hàm số = cot Tóm tắt ñịh ghĩ củ các hàm số gược: Hàm số lượg giác gược Miề ác ñịh Miề giá trị = rcsi = si π π = rccos = cos π = rct = si + = rc cot = si + GIỚI HẠN HÀM SỐ.. Giới hạ hàm số... Các ñịh ghĩ Địh ghĩ 6 (Lâ cậ củ một ñiểm) T gọi lâ cậ δ củ ñiểm ( π π π δ> ) là tập hợp Vδ = { R < δ } ( ).

8 6 Địh ghĩ 7 (Địh ghĩ giới hạ hàm số theo gô gữ ε δ ) Giả sử I là một khoảg chứ ñiểm và f ( ) là một hàm số ác ñịh trê tập I\{ }. T ói rằg số thực L là giới hạ củ hàm số f ( ) khi dầ tới và viết f ( ) = Lh f ( ) Lkhi, ếu ε>, δ>, I: < < δ f ( ) L < ε. Chú ý 6 Khôg ñược quê ñiều kiệ >, tức là. Hàm số f ( ) có thể ác ñịh h khôg ác ñịh tại. Trog trườg hợp f ( ) ác ñịh tại, giới hạ L củ hàm số f( ) khôg có qu hệ gì với f ( ). Địh ghĩ 8 (Địh ghĩ giới hạ hàm số theo dã) Giả sử I là một khoảg chứ ñiểm và f ( ) là một hàm số ác ñịh trê tập I\ { }.T ói rằg số thực L là giới hạ củ hàm số f ( ) khi dầ tới và viết f( ) Lh f ( ) Lkhi, f ( ) = L. = ếu ( { } I\{ } ).. Các giới hạ một phí mà = Nếu < mà thì t qu ước viết và ếu > mà thì t qu ước t viết +. Địh ghĩ 9 (Giới hạ bê trái) Số L ñược gọi là giới hạ trái củ hàm số f ( ) khi ếu ε>, δ> : < < δ f ( ) L < ε. Khi ñó viết L Địh ghĩ (Giới hạ phải) = f ( ) = f ( ). Số L ñược gọi là giới hạ phải củ hàm số f ( ) khi +, ếu ε>, δ> + < < δ f ( ) L < ε. Khi ñó viết L Địh lý Điều kiệ cầ và ñủ ñể + + = f ( ) = f ( ). f ( ) = L là f ( ) = f ( ) = L... Giới hạ hàm số khi + và - + Địh ghĩ ) Giả sử X là một tập hợp số thực khôg bị chặ trê và f ( ) là một hàm số ác ñịh trê X. T gọi số thực L là giới hạ củ hàm số f ( ) khi + và viết f ( ) = L ếu cho trước số dươg ε hỏ tù ý, có thể chỉ r một số thực M so + cho ( X), > M f ( ) L < ε.

9 7 b) Giả sử X là một tập hợp số thực khôg bị chặ dưới và f ( ) là một hàm số ác ñịh trê X. T gọi số thực L là giới hạ củ hàm số f ( ) khi và viết f ( ) = L ếu cho trước số dươg ε hỏ tù ý, có thể chỉ r một số thực M so cho ( X), < M f ( ) L < ε...4 Giới hạ vô cực bằg Địh ghĩ Giả sử số thực là một ñiểm thuộc khoảg I và f ( ) là một hàm số ác ñịh trê tập hợp \{ } I. ) T gọi + là giới hạ củ hàm số f ( ) khi và viết =+ h f ( ) + khi, ếu với một số thực A cho trước bất kì, tồ tại một số δ> so cho ( I) < < δ f ( ) > A. b) T gọi là giới hạ củ hàm số f ( ) khi và viết= h f ( ) khi, ếu với một số thực A cho trước bất kì, tồ tại một số δ> so cho ( I) < < δ f ( ) < A...5 Giới hạ khi. Địh ghĩ Giả sửx là một tập hợp số thực khôg bị chặ trê và f ( ) là một hàm số ác ñịh trê X. T viết : ) f () =+ f ( ) +khi + ếu với một số thực A cho trước bất + kì, tồ tại một số thực B so cho ( X) > B f ( ) > A. b) f () = f ( ) khi + ếu với một số thực A cho trước bất kì, + tồ tại một số thực B so cho ( X) > B f ( ) < A. Các ñẳg thức: ghĩ tươg tự. f ( ) =+, f ( ) =, f ( ) =+,... ñược ñịh +..6 Một số ñịh lý về giới hạ củ hàm số ) Nếu tồ tại các giới hạ: f ( ) = A& g () = B; AB, R. Khi ñó: ( ) ) f ( ) ± g ( ) = f ( ) ± g ( ) = A± B. ( ) b) f ( ). g ( ) = f ( ). g ( ) = AB.. f ( ) f ( ) A c) Nếu B = =. g ( ) g ( ) B

10 g ( ) g ( ) B d) ( f ( )) = f ( ) = A. e) Từ f ( ) = A f ( ) = A. f) Nếu u( ) = u & fu ( ) 8 ác ñịh tại u và trog lâ cậ củ u thì: f u ( ) f u ( ) fu ( ). = = ) Nếu f ( ) g ( ) trog một lâ cậ ào ñó củ ñiểm thì ) Nếu f ( ) g ( ). f ( ) g ( ) h ( ) V( )& f ( ) = g ( ) = L g ( ) = L.. Một số giới hạ ñág hớ δ si = tg tgα = = α 4 α 5 siα = α α + π tg =+ 6 rcsi = π tg = 7 + π rctg= 8 rccotg= π π rctg= 9 =+, + ( > ) rccotg= + =,( > ) = ; + (< < ) 4 =+; (< < ) 5 log =+, + ( > ) log =, + 6 ( > ) 7 log + (< < ) = log + 8 (< < ) =+ 9 e = = l = ( α> ) = 4 + α + e 5 ( ) + = e 6 p + = e 7 α ( + ) = α l( + ) = =. e. Vô cùg bé và vô cùg lớ... Địh ghĩ vô cùg bé, vô cùg lớ Địh ghĩ 4 Giả sử là một ñiểm trê khoảg (, b) và f ( ) là một hàm số ác ñịh trê tập hợp(, b)\{ }

11 . Hàm số f ( ) gọi là một vô cùg bé (VCB) khi ếu số f ( ) gọi là một vô cùg lớ (VCL) khi ếu 9 + f ( ) =. Hàm f ( ) =+. (Vô cùg bé và vô cùg lớ khi,, + ñược ñịh ghĩ tươg tự ) Chú ý: ) Cầ phâ biệt khái iệm vô cùg bé với khái iệm rất bé : Một hằg số c dù có giá trị tuệt ñối bé ñế mấ cũg chỉ là một số rất bé mà khôg thể em là một vô cùg bé. Chẳg hạ c =,.. thì ó khôg thể bé hơ,.. ñược. Như vậ các số,.. ;,.. chỉ là các số rất bé mà khôg phải là các ñại lươg VCB. Riêg số có thể em VCB vì hàm f ( ) = dầ tới giới hạ (trog mọi quá trìh). ) Cầ phâ biệt khái iệm vô cùg lớ với khái iệm khôg bị chặ : Một hàm số ếu là vô cùg lớ thì khôg bị chặ vì ó có giá trị tuệt ñối lớ hơ mọi số dươg k cho trước, kể từ một lúc ào ñó củ quá trìh. Nhưg một hàm khôg bị chặ có thể khôg phải là một vô cùg lớ... Tíh chất củ VCB và VCL Vì VCB, VCL là hữg giới hạ, do ñó theo tíh chất củ giới hạ, với các VCB và VCL khi t có:. Tổg hi (VCB) là một (VCB). Tích củ một (VCB) và một ñại lượg bị chặ là một (VCB). Tích củ hi (VCL) là một (VCL) 4. Tổg củ một (VCL) và một ñại lượg bị chặ là một (VCL) 5. Nếu α ( ) là một (VCB) và α( ) α( ) là một (VCL) 6. Nếu α ( ) là một (VCL) là một (VCB) α ( ) 7. f ( ) = L f ( ) = L+α( ), trog ñó α ( ) là một VCB khi... So sáh các VCB. Địh ghĩ 5 Xét hi VCB f ( ) và ( ) i) Nếu ( ) g ( khi h ). f () = thì t ói f ( ) là VCB bậc co so với g ( )(ghĩ là f ( ) dầ g () tới hh hơ g ( ) ñế ỗi tỷ số ii) Nếu iii) Nếu ( ) f( ) vẫ cò dầ tới ) g ( ) f () = k thì t ói f ( ) và g ( ) là VCB cùg cấp. g () f () = thì f ( ) và g ( ) ñược gọi là hi VCB tươg ñươg, ký g ( ) ( )

12 hiệu là : f ( ) g ( )... So sáh các VCL Địh ghĩ 6 Xét hi VCL f () và g ()( khi h ) i) Nếu ii) Nếu iii) Nếu f () =+ thì t ói f ( ) là VCL bậc co so với g ( ). g () ( ) f ( ) = k ( k= cost) thì t ói f ( ) và g ( ) là hi VCL cùg bậc. g () ( ) f ( ) = thì f ( ) và g ( ) ñược gọi là hi VCL tươg ñươg, ký g () ( ) hiệu là: f ( ) g ( ). Địh lý (Địh lý th thế VCB h VCL tươg ñươg) Giả sử f ( ), F ( ), g ( ), G ( ) là các (VCB) (h các VCL) ñồg thời khi f ( ).( g) F ( ). G ( ) f ( ) F ( ) i = Nếu g ( ) G ( ) f ( ) F ( ) i = g ( ) G ( ) Chú ý 7 f ( ) F ( ) Nếu g ( ) G ( ) f ( ) ± g ( ) F ( ) ± G ( ) khi khi Ví dụ 6 f ( ) g ( ) + = f ( ) = + F ( ) + G ( ) = ) F ( ) = f ( ) F ( ) f ( ) + g ( ) F ( ) + G ( ) g ( ) = G ( ) = g ( ) G ( ) Khi vì =. f ( ) F ( ) g ( ) G ( ) f ( ) cos = Khi ) Cho: F ( ) = g ( ) G ( ) = = g ( ) f ( ) = si G ( ) F ( ) = ( ) ( ) ( g ( ) f ()) ( G ( ) F ( ))

13 vì: si si =.si =. =. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Khi giải bài toá f () ( hoặc f ( )), chúg t ê tập thói que th giá trị = ( h= ) vào biểu thức củ f ( ). Nếu ñược một số cụ thể thì bài toá khôg phải dạg vô ñịh, số ñó chíh là ñáp số củ bài toá. Lúc ñó chúg t kết thúc giải bài toá. Nếu trog quá trìh th ñó mà chúg t ñược một trog 7 dạg vô ñịh :,,.,,,, thì phải tìm cách khử dạg vô ñịh. Các ký hiệu,, ở trog các dạg vô ñịh khôg ñược hiểu là hữg số cụ thể. Chẳg hạ ký hiệu khôg ñược hiểu là số trog tập số thực R mà ở ñâ là một ñại lượg tiế tới. Với cách hiểu ñó thì dạg vô ñịh khôg phải là phép chi số () cho số, ñâ là một ký hiệu tượg trưg cho việc tìm f (hoặc g f ( ) ) () g ( ) mà f ( ), g ( ) ñồg thời là các VCB khi h ( ). Tươg tự ký hiệu ói lê việc tìm f () g ( ) mà f ( ) = cò g ( ) =,... Nắm vữg ý ghĩ vô ñịh và ký hiệu dạg vô ñịh chúg t sẽ khôg mắc phải hữg si lầm kiểu: = (!), = (!),. = (!), = (!), = (!), = (!), = (!) Su ñâ chúg t sẽ êu một số dạg toá tìm giới hạ củ hàm số thườg gặp: DẠNG DÙNG ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN ĐỂ CHỨNG MINH GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ NÀO ĐÓ. Ví dụ 9 4 Chứg mih: ) = ; b) 6 =, c) =+ ( ) 4 4 ( ) ( ).(+ ) ( ) ) = = ( ) = ( ) (+ ) ( ) 4 = = 6 < ε 6< ε ε 4 4 6< 6< δ < ε =, (ñpcm). 6 δ

14 b) Cho ε> bé tù ý. T có: M= ε R thì với mọi thỏ mã ñiều kiệ Với một số A> cho trước bất kỳ, < εh < ε > do ñó ếu lấ ε > M <ε =. c) f () = > A >. Chọ ( ) A δ= t ñược f ( A) > với mọi mà < < δ =+ A ( ) DẠNG DÙNG ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN THEO DÃY ĐỂ CHỨNG MINH MỘT HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN KHI HOẶC Ví dụ Chứg mih hàm số f ( ) = cos khôg có giới hạ khi. Nếu chọ hi dã số có số hạg tổg quát : = & = π (+ ) π f( ) cos i = cos π = = π = = f( ) cos cos( π i = π) = + = (+ ) π Như vậ: f = = f f () khôg tồ tại. = = hưg ( ) ( ) o DẠNG TÌM GIỚI HẠN KHÔNG VÔ ĐỊNH Nếu bài toá tìm giới hạ khôg thuộc dạg vô ñịh thì khôg cầ thiết biế ñổi gì, chỉ việc áp dụg các ñịh lý phép tíh giới hạ ñể tíh trực tiếp. Ví dụ Tìm các giới hạ su: ) I c) I c = + 5, b) + + I =, b + = +

15 Vì: ), b) khôg thuộc dạg vô ñịh ào, ê t có: ) I = = = b) I = = = =. b. + + c) Vì : = =, cò =+, ê Theo kiế thức về hàm số mũ + I c = + ñã biết thì khi cơ số < < thì =. Do + ñó I c= =. Nhậ ét : Loại toá tìm giới hạ dạg khôg vô ñịh ói chug khôg hiều và dù so cũg tươg ñối ñơ giả. Phầ lớ hữg bài toá tìm giới hạ thườg thuộc vào một trog 7 dạg vô ñịh ñã ói ở trê.. DẠNG 4 KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH Phươg pháp Khi giải bài toá tìm F () (hoặc ) mà F () có dạg vô ñịh thì t phải biế ñổi F ( ) về G ( ) so cho F ( ) = G ( ) mà G ( ) khôg có dạg vô ñịh. Dưới ñâ chúg tôi gợi ý, hướg dẫ một số phươg pháp biế ñổi ñể khử dạg vô ñịh: ( ) DẠNG 5 KHI TÌM f g ( ) TRONG ĐÓ f ( ) VÀ g ( ) LÀ HAI ĐA THỨC ĐỐI k VỚI THÌ TA CHIA CẢ TỬ THỨC VÀ MẪU THỨC CHO VỚI k LÀ LŨY THỪA CAO NHẤT ĐỐI. CŨNG CÓ THỂ DÙNG CÁCH NÀY CHO NHIỀU TRƯỜNG HỢP TRONG PHÂN THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC. Ví dụ ) = = =,( chicho ) b) = = ( chi cho )

16 4 DẠNG 6 KHI TÌM Ví dụ f ( ) TA PHÂN TÍCH CẢ TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ g ( ) ( ) THÀNH NHÂN TỬ, SAU ĐÓ RÚT GỌN ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH + + ) = 6 4 = = 5 5. ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) + ( ) = + + b) = = ( )( ) + + ( )( + + ) + ( ) ( + ) + = = = = =. ( )( + + ) ( ) ( + + ) + + DẠNG 7 KHI TÌM ( ) f MÀ f ( ) CÓ CHỨA CĂN THỨC THÌ CHÚNG TA NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH. Ví du 4 ( )( + )( + + ) ( )( + + ) = = ( )( + )( + + ) ( )( + ) + + = =. + Chú ý 8 Các ñẳg thức su ñâ thườg dùg ñể khử dạg vô ñịh khi có chứ că thức : N mà lẻ: + b = ( + b)( b+ b... b + b ) N: b = ( b)( + b+ b b + b ) DẠNG 8 KHI TÌM f ( ) MÀ f ( ) LÀ MỘT BIỂU THỨC CHỨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC THÌ TA BIẾN ĐỔI f ( ) VÀ DÙNG Ví dụ 5 Tíh + cos I=. KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH. si = ĐỂ

17 5 I ( + cos )( + + cos ) (+ cos ) = = ( + + cos ) ( + + cos ) cos si = = =.. = ( + + cos ) 4. ( + + cos ) 4 ( + ) 8 ( ) DẠNG 9: TÌM GIỚI HẠN DẠNG : I = ( f) ( ) ( ) () g Phươg pháp ) Nếu f ( ) = A (hữu hạ) và ( ) g () = B (hữu hạ) ( ) B I= A + ) Nếu A cò B=± I= A I= A. ) Nếu A= cò B= thì : g( ) I = ( f() ) ( f () ) + = + ( ) ( ) = e ( f( ) ). g( ) ( ). ( f( ) ) ( f( ) ) g( ) Ví dụ ) I = = (hữu hạ) và + + hạ) su r I = =. + = (hữu ) b I = = = =. b + + c) I = c = + =

18 6 ( ) = + = e = e = e. 4+ DẠNG : KHI GẶP GIỚI HẠN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN lôgrit CHÚNG TA l( + ) NÊN BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG CÁC GIỚI HẠN: = hoặc log( + ) = ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH. l Ví dụ 7 + ( ) ( + ) ( + ) l( + ) l l l l ) = = = = ( + ) l l l le l e e b) = = = e e e e e e e e e l + e = =. e e e e e DẠNG : KHI GẶP GIỚI HẠN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN hàm số mũ CHÚNG TA NÊN BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG CÁC GIỚI HẠN: Ví dụ 8 e = l hoặc = ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH. e e ) =. =. =. si si si si e e e e b) = sì sì. ( e ) si ( e ) si =.. si si sì sì e si e si =.. =..= =. si si

19 7 DẠNG : ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ THAY THẾ (VCB) HAY (VCL) TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH. Để giúp cho việc th thế tươg ñươg ñược dễ dàg chúg t ê hớ một một số côg thức th thế tươg ñươg su: si khi t khi cos khi 4 rcsi khi 5 rct khi 6 e khi 7 l khi 8 l( + ) khi α 9 ( + ) α khi và α> ( α± β± γ) α ( A± B ± C) A Ví dụ 9 7+ si ) I = = = =. si5 si b) I = = =. b α, β, γ là các (VCB) khi và α là (VCB) bậc thấp hất (Qu tắc gắt bỏ (VCB) bậc co ) A, B, C là các (VCL) khi và A là (VCL) bậc co hất (Qu tắc gắt bỏ (VCL) bậc thấp ) rcsi( + ) + c) I = = = =. c l(+ 7 ) rcsi 6 rcsi e ( 6 ) + + e d) I = = d l(+ t ) l(+ t ) = 6. rcsi 6 e ( + 6 ) rcsi 6 + = + l(+ t ) l(+ t ) t t

20 8 = + = + = + =. DẠNG 5 CÁC SAI LẦM VÀ THIẾU SÓT KHI TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ví dụ Tíh I= + Si lầm thườg gặp : ( + )( + + ) I= ( + ) = = = ( + + ) + + Nguê hâ si lầm Cách giải trê ñã khôg ét các giới hạ riêg khi : +h Lời giải ñúg là: ii = ( + ) = ( ) + ( ) = ( + ) + +=+, ( + ) ( + )( + + ) i I= ( + ) = = ( + + ) + + = = ( ++ ) + Từ (+) và (++) ( + ) ( + ) ( + ) + mà chỉ tồ tại giới hạ trái, giới hạ phải củ hàm số ñã cho khi. Ví dụ Tíh I= + Si lầm thườg gặp : I= = = = = i ( + ) ( ) 4 4 Nguê hâ si lầm: Vì Lời giải ñúg () I= = = = = ( + ) ( ) 4 4

21 ( ) I= = + 9 ( ) = = = + ( ) + + ( ) 4 4 Từ( ) và ( ) chỉ tồ tại giới hạ phải và giới hạ trái củ hàm số ñã cho khi. Ví dụ Tíh I Si lầm thườg gặp : = cos4 + cos4 si si si I= = = = =. Nguê hâ si lầm là: Lời giải ñúg : Vì : si.si. cos4 si si = =. Do ñó : cos4 si si si i = = = = (*) cos4 si si si i = = = = (**) cos4 cos4 Từ (*) & (**) + cos4, chỉ tồ tại giới hạ trái và giới hạ phải củ hàm số f ( ) tại ñiểm =. HÀM LIÊN TỤC. Hàm số liê tục tại một ñiểm Địh ghĩ 7 Hàm số f ( ) ñược gọi là liê tục tại = (h liê tục tại ñiểm ) ếu thỏ mã : i f ( ) ác ñịh tại và trog lâ cậ V ( ) i f () = f ( ). δ. Các ñiều kiệ tươg ñươg Địh lý 4 Giả sử hàm số f () ác ñịh trê khoảg (, b) và (, b). Các ñiều kiệ su ñâ tươg ñươg: ) f ( ) liê tục tại ñiểm. b) ε> bé tuỳ ý, δ> so cho < δ f ( ) f ( ) < ε c) Mọi dã { } (, b) mà = f ( ) = f ( )

22 . Hàm liê tục một phí... Hàm số liê tục bê phải Địh ghĩ 8 Giả sử hàm số f ( ) ác ñịh trê ử khoảg [, b) R. T ói rằg hàm số f ( ) liê tục phải tại ñiểm ếu f ( ) = f ( ). +.. Hàm số liê tục bê trái Địh ghĩ 9 Giả sử hàm số ( ) f ác ñịh trê ử khoảg (, ] R. T ói rằg hàm số f( ) liê tục trái tại ñiểm ếu f ( ) = f ( ). Hiể hiê f ( ) liê tục tại khi và chỉ khi f ( ) liê tục phải và liê tục trái tại..4 Địh ghĩ hàm số liê tục trê :(, b);[, b];[, b) h(, b ] Địh ghĩ (Hàm số liê tục trê khoảg (, b )) Hàm số f ( ) ác ñịh trê khoảg (, b )( Rh=, b R hb=+) gọi là liê tục trê khoảg à ếu ó liê tục tại mọi ñiểm củ (, b ). Địh ghĩ (Hàm số liê tục trê ñoạ [, b ]) Hàm số f ( ) ác ñịh trê khoảg [, b ] gọi là liê tục trê ñoạ à ếu ó liê tục trê khoảg (, b ), liê tục phải tại ñiểm và liê tục trái tại ñiểm b. Hàm số liê tục trê ử khoảg [, b ) (h trê ử khoảg (, b ]) ñược ñịh ghĩ tươg tự).5 Điểm giá ñoạ.5. Hàm số giá ñoạ tại một ñiểm Địh ghĩ T bảo là ñiểm giá ñoạ củ hàm số f ( ) khi f ( ) khôg liê tục tại. Như vậ là ñiểm giá ñoạ củ hàm số f () ẩ r trog các trườg hợp su: - f ( ) khôg ác ñịh tại. - f ( ) khôg tồ tại hoặc tồ tại hưg bằg. - f ( ) ác ñịh tại và có giới hạ hữu hạ hưg f ( ) f ( )..6 Sự liê tục củ một số hàm số thườg gặp Địh lý 5 Nếu hàm số f ( ) liê tục tại ñiểm thì hàm số f () cũg liê tục tại ñiểm. Địh lý 6 i Nếu hi hàm số f ( ) và g ( ) liê tục tại I thì các hàm số f ( ) ± g ( );( fg)( ) cf ( )( c R ) cũg liê tục tại. i Ngoài r ếu g ( ) thì hàm số f ( ) g ( ) liê tục tại.

23 Địh lý 7 Nếu f ( ) là một hàm số sơ cấp và thuộc miề ác ñịh củ ó thì f ( ) liê tục tại. Một số dạg bài tập về hàm liê tục DẠNG DÙNG NGÔN NGỮ ( ε δ) ĐỂ CHỨNG MINH TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM Ví dụ SỐ TẠI = Chứg mih rằg các hàm số ) =, b) = liê tục tại R. R ) ε>, : = ( ) + ( ) + < ε + ε< (). Đặt t= () t + t ε< () ε ε ε., = + = + t = ± + với t< + + ε thì thỏ mã (), ê < + + ε Lại ñặt: + + ε= δ> thì = liê tục tại R. b) ε> & R, t có: δ < < ε ê hàm số = = < ε < ε Đặt : δ=.. ε < δ 4 4 o < ε ê hàm số = liê tục tại ñiểm = R. 4 DẠNG Phươg pháp XÉT SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI ĐIỂM =. i Để ét sự liê tục củ hàm số tại ñiểm t cầ ét: f ( ) có ác ñịh tại và trog lâ cậ củ h khôg và ( ) f có bằg f ( )? - Nếu f () thỏ mã các ñiều kiệ trê thì kết luậ f () liê tục tại. - Nếu một trog hữg ñiều kiệ trê khôg thỏ mã thì f ( ) giá ñoạ tại.

24 i Trog một số trườg hàm số f ( ) cho bởi hiều côg thức, có thể dùg ñịh ghĩ liê tục trái, liê tục phải ñể ét : - Nếu f ( ) = f ( ) thì f ( ) liê tục trái tại. - Nếu - Nếu + ( ) = f ( ) thì f ( ) liê tục phải tại. f () = f ( ) = f ( ) f ( ) liê tục tại. Ví dụ 4 + cos si π, π \ Cho hàm số: + { } f ( ) = si khi= củ hàm số tại =.. Xét tíh liê tục cos si si π, π \{} f () = si+ = si+ = si+ si si si si i f ( ) = si+ = si+ = + =. + + si si i f () = si = si = =. si Vì f ( ) = = f ( ) f ( ) giá ñoạ tại ñiểm =. + Ví dụ 5 khi ( ) 6 = Chof = + + khi. Xét tíh liê tục củ hàm số tại =. + + ( + ) ( + ) f () = = + + = = = = f(). Vậ f () liê tục tại ñiểm 6 =. Ví dụ 6 si khi Cho hàm số f ( ) =. Xét tíh liê tục củ hàm số tại ñiểm =. khi = Chọ hi dã ñiểm { } và { } với = & =. Khi ñó t có: π π(+ 4 )

25 i f ( ) = si = siπ = () π π f ( ) si si π i = = + =,() π(+ 4 ) Từ () và () f ( ) f ( ) f () khôg tồ tại, ê hàm số f () khôg liê tục tại ñiểm =. Ví dụ 7 Tíh f () ñể si7 si e e f () = liê tục tại =. si7 si si7 si e e e e 7 f ( ) = = = = 4 Vậ: Để f ( ) liê tục tại = thì f () = 4. DẠNG XÉT SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TOÀN BỘ R. Phươg pháp Để ét tíh liê tục củ hàm số trê toà bộ R, t có thể tiế hàh theo các bước su : i Tìm miề ác ñịh củ hàm số ñã cho. i Nếu hàm số ñã cho là hàm số sơ cấp thì ó liê tục tại mọi ñiểm thuộc miề ác ñịh củ ó. i Nếu hàm số cho bởi hiều côg thức, thì chúg t cầ phải ét tại ñiểm biê giữ hi khoảg và dùg ñịh ghĩ liê tục trái và liê tục trái ñể ét. Ví dụ 8 siπ khi Cho hàm sốf ( ) =. π khi = Chứg tỏ rằg hàm số f ( ) liê tục trê toà bộ R. siπ i Nếu si π& là các hàm số sơ cấp liê tục, ê f ( ) = là thươg củ hi hàm sơ cấp liê tục ê f ( ) liê tục với mọi, () = t+ siπ si π( t+ ) si( π+ πt) iđặt: t= = = t t t t t si( π+ πt) siπt = π = π = π. = π= f() f ( ) liê tục tại πt πt πt πt

26 4 =,(). Từ () và () su r f ( ) liê tục trê toà bộ R. Ví dụ 9 e khi < Cho f ( ) =. Chọ hư thế ào ñể f () liê tục trê toà bộ R. + khi Hàm số f ( ) cho bởi hi côg thức, ê ó khôg phải là hàm số sơ cấp. Miề ác ñịh củ f ( ) là toà bộ R. i Nếu< f ( ) = e là hàm số sơ cấp ê ó liê tục R mà <. i Nếu > f ( ) = + cũg hàm số sơ cấp ê ó liê tục R mà>. i Nếu = t có: + f ( ) = e = e =, () + + o + f ( ) = ( + ) =, () + f() = () Từ (), () và () t su r hàm số f ( ) liê tục tại = =. Vậ : Với = thì hàm số ñã cho liê tục trê toà bộ R.

27 5 BÀI TẬP CHƯƠNG : GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN Dạg khôg vô ñịh TT Đề r ĐS TT Đề r ĐS Khử dạg vô ñịh bằg cách phâ tích thàh hâ tử * * ( + 5) Khử dạg vô ñịh bằg cách hâ lượg liê hợp ( )( )...( ) ( ) + +!.8 cos cos. * + ( N )

28 cos + cos π + cos π Khử dạg vô ñịh I = ( f) e ( ) ( ) ( ) g ( + si ) e.48 (cos ) (cos ) cos e e e e 4 cot ( + gπ si π) e.5 ( si) π tg

29 7.5 + tg + si si Dùg VCB (h VCL) tươg ñươg ñể khử dạg vô ñịh l( + tg) + si si l( + ) si( e ) l si.si...si! ( e )( cos ) 4 + si l(+ si ) tg Dùg các giới hạ: lcos lcos b lcos si l( + ) log( ) ; ; + e = = = ; = l ; = l (hoặc biế ñổi lượg giác) ñể khử dạg vô ñịh l.64 [l( + ) l ] +.65 [sil( + ) sil ].66 [si + si ] e si si e b e e b si si si si.si4 4 tg tg 6 π π cos e cos cosm cos.7 π cos 6.7 π π tgtg 4 π 4 b m i Xét tíh liê tục củ hàm số tại ñiểm cho trước (Từ bài.75.78) i Xét tíh liê tục củ hàm số trê ử khoảg (ñoạ) ñã cho (Từ bài.79.8) khi.75 f ( ) = (tại = ) f ( ) liê tục tại =. khi<

30 8.76 khi - f ( ) = + khi=- (tại = ) f () liê tục tại = khi> + si+ f ( ) = khi< 4 khi= 8 (tại = ) f () khôg liê tục tại =. + 4 khi.78 f ( ) = khi= + khi.79 f ( ) > = + khi=.8 f ( ) = 4 (trê ñoạ [ ;] ) (tại = ) f () liê tục tại =. trê[; + ) f () liê tục trê ử khỏg: [; + ) f ( ) liê tục trê ñoạ:[ ;] Tìm giá trị củ thm số (hoặc các thm số) ñể các hàm số su ñâ liê tục tại ñiểm o (Từ bài.8.84) khi> f ( ) = + 7 khi + khi< f ( ) = 4 + khi + si f ( ) khi< = + m khi + b+ khi < f ( ) = 5 khi = b khi > (tại = ) = (tại = ) = (tại = ) m= tại = o 4 6+ = b=

31 9 Tìm giá trị củ thm số (hoặc các thm số) ñể các hàm số su ñâ liê tục trê toà bộ R (Từ bài.85.9) () = + khi>.85 * f b + 4 khi + khi.86 f ( ) = + khi > + khi >.87 f ( ) = + khi ( ).88 f ( ) = khi khi = + khi.89 f ( ) = khi < π + khi.9 f ( ) = π si+ b khi > = b= = = = = b π = Hết

32 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM. Địh ghĩ (Số gi ñối số, số gi hàm số) Giả sử hàm số = f ( ) ác ñịh trê khoảg ( b, ) & ( b, ). i Gọi = là số gi củ ñối số tại. i Gọi = f ( + ) f ( ) là số gi củ hàm số tại.. Đạo hàm, ñạo hàm bê phải, ñạo hàm bê trái Địh ghĩ i Nếu tồ tại và hữu hạ thì giới hạ ñó gọi là ñạo hàm củ hàm số f ( ) tại và ñược ký hiệu là d d f ( ) h. Như vậ: f ( ) = =. d d + i Nếu chỉ tồ tại và hữu hạ f ( ) = h f ( ) = + thì các giới hạ ñó lầ lượt gọi là ñạo hàm bê phải hoặc ñạo hàm bê trái củ hàm số f ( ) tại ñiểm. Địh lý Hàm số = f ( ) có ñạo hàm tại ñiểm f ( ) có ñạo hàm bê phải và ñạo hàm bê trái tại ñiểm và các ñạo hàm ñó bằg hu. Từ ñịh lý trê chúg t su r : + i Nếu f ( ) f ( ) = f ( ) = f ( ). + i Nếu f ( ) f ( ) f ( ).. Ý ghĩ hìh học củ ñạo hàm. Trog mặt phẳg toạ ñộ, ếu ñườg cog có phươg trìh = f ( ) và ñiểm M( f( )) thuộc ñườg cog à. Nếu tại ñiểm ( ) thì phươg trìh tiếp f tuế với ñườg cog = f ( ) tại ñiểmm (, f ( )) là : f ( ) = f ( )( )..4 Đạo hàm trê (, b), [, b] Địh ghĩ i T ói rằg f ( ) có ñạo hàm trê khoảg ( b, ), ếu ó có ñạo hàm tại mọi ñiểm ( b, ). i T ói rằg hàm số f ( ) có ñạo hàm trê ñoạ [, b ] ếu: f ( ) có ñạo hàm trê khoảg ( b, ). f ( ) có ñạo hàm bê phải tại và f ( ) có ñạo hàm bê trái tại b..5 Mở rộg khái iệm ñạo hàm. Địh ghĩ 4 (Đạo hàm bằg )

33 i Giả sử hàm số = f ( ) ác ñịh trê khoảg ( b, ) & ( b, ) ếu =+ f ( ) =+ i f thì t ói rằg ñạo hàm củ f ( ) tại bằg + và viết ( ) = ñịh ghĩ tươg tự..6 Qu hệ giữ ñạo hàm và liê tục. Địh lý Hàm số = f ( ) có ñạo hàm tại thì ó liê tục tại. Từ Địh lý Nếu hàm số = f ( ) khôg liê tục tại thì ó khôg có ñạo hàm tại. Chú ý Điều gược lại khôg phải bo giờ cũg ñúg ghĩ là: Nếu f ( ) liê tục tại thì chư chắc f ( ) có ñạo hàm tại. Ví dụ Xét sự liê tục và có ñạo hàm củ hàm số f ( ) = tại =. Hàm số f ( ) = ác ñịh tại = và trog lâ cậ củ ñiểm =. T thấ: i f ( ) = = + + f ( ) = f ( ) = f() = f ( ) ( ) + i = = f ( ) liê tục tại =. Mặt khác chúg t có: if() = = f ( ) f() + + if ( ) = = = f ( ) f ( ). + + f ( ) f() if ( ) = = = f ( ) khôg có ñạo hàm tại =. Vậ: hàm số f ( ) = liê tục tại =, hưg f ( ) khôg có ñạo hàm tại=..7 Bảg ñạo hàm củ các hàm số sơ cấp cơ bả Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm c R cos si α α α t cos (< ) l cot si

34 e e rcsi log l l rccos rct + si cos rc cot +.8 Các qu tắc lấ ñạo hàm - Đạo hàm củ một tổg : ( u + v) = u + v - Đạo hàm củ một tích : ( uv) = uv + uv u uv uv - Đạo hàm củ một thươg : = v v 4- Đạo hàm củ hàm hợp: Nếu hàm số = fu ( ) mà u= ϕ( ) thì = f ( ) ϕ là một hàm hợp củ. Khi ấ : =. u. u 5- Đạo hàm củ hàm số gược Địh lý Giả sử hàm số = f ( ) liê tục và tăg ghiêm gặt trog khoảg ( b, ) và gả thiết rằg = ϕ( ) là hàm gược ác ñịh trog lâ cậ củ ñiểm = f ( ) với ( b, ). Khi ñó ếu hàm số = f ( ) có ñạo hàm tại = & f ( ) thì hàm số = ϕ( ) có ñạo hàm tại ñiểm & ( ) =. f ( ) Ví dụ Cho hàm số = có hàm gược là = ( ) =. VI PHÂN. Hàm khả vi và vi phâ củ hàm số Địh ghĩ 5 (Hàm khả vi) i Giả sử hàm số f ( ) = ác ñịh trê khoảg ( b, ) & ( b, ). Cho số gi so cho + = ( b, ) và gọi = f ( + ) f ( ) là số gi củ hàm số ứg với số gi củ ñối số. i T ói f ( ) khả vi tại ếu có thể viết = A + ( ), trog ñó A là một hằg số, ( ) ) là VCB bậc co hơ.. Địh ghĩ 6 (Vi phâ củ hàm số) Nếu f ( ) khả vi tại thì biểu thức: d= A gọi là vi phâ củ hàm số f ( ) tại. Từ ñịh ghĩ t thấ g rằg: Với bé thì d. o

35 . Qu hệ giữ ñạo hàm và vi phâ Địh lý 4 Hàm số = f ( ) khả vi tại khi và chỉ khi ó có ñạo hàm tại. Chú ý Từ ñịh lý ở trê t su r : i Nếu f ( ) có ñạo hàm tại thì biểu thức vi phâ củ f ( ) là d= f ( d ). i Muố chứg mih hàm số f ( ) khả vi tại ñiểm t ñi chứg mih f ( ) có ñạo hàm tại ñiểm.. Các qu tắc lấ vi phâ Nếu uv, là hi hàm số có ñạo hàm trê khoảg ( b, ) thì : ) dc= với c= cost ) d= ếu là biế ñộc lập. ) du ( ± v) = du± dv. 4) dcu ( ) = cdu với c= cost 5) duv ( ) = vdu+ udv. u vdu udv 6) d = v ếu v. v ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO. Đạo hàm cấp co Địh ghĩ 7 Cho hàm số = f ( ). Nếu f ( ) có ñạo hàm với mọi ( b, ) thì f ( ) cũg là một hàm củ trê ( b, ). Khi ñó ếu f ( ) có ñạo hàm trê (, ) b thì t gọi ( ( )) f là ñạo hàm cấp hi củ hàm f() và ký hiệu f ( ). Đạo hàm cấp củ f ( ) ñược ký hiệu ( ) ( + ) ( ) f ( ). Theo ñịh ghĩ t có : f ( ) = ( f ( ) ). T qu ước:. Côg thức tíh ñạo hàm bậc co củ tổg, củ tích. ( ) ( ) ( ) ( ) f + g = + ) ( ) ( ) f ( ) g ( ) ( fg) ( ) k ( k) ( k) k= ) ( ) ( ) = C f ( ). g ( ), với C (Côg thức: ) gọi là côg thức Leibitz). Côg thức ñạo hàm bậc co củ một số hàm số ( ) ) ( ) = l ( > ). ( ) ) (si ) = si( + π ) ( ) ( ) = + π ) cos cos( ) ( ) ( m ) m 4) = m.( m )( m )...( m + ). ( ) 5) l ( ) ( ) ( )! =. k! =. k!( k)! ( o f ) ( ) = f ( ).

36 .4 Vi phâ cấp co Tươg tự hư với ñạo hàm cấp co, t có thể ói về vi phâ cấp co. Giả sử hàm số = f ( ) khả vi trê ( b, ). 4 ) Như ñã biết biểu thức d= d là vi phâ cấp một củ hàm số f ( ). Hàm số à phụ thuộc vào hi biế ñộc lập và. b) Nếu hàm à khả vi trê ( b, ) thì vi phâ củ ó: dd ( ) gọi là vi phâ cấp hi củ hàm = f ( ), ký hiệu là d. d = = ( ). Nhưg do d= d= d Như vậ: ( ) ( ) c) Một cách tổg quát: d = d (ếu - khả vi cấp trê ( b, )).Vì hệ thức à ê ñạo hàm cấp cò có thể viết : ñạo hàm cấp hi có thể viết : ( ) d d =, =, ) d d d = (chẳg hạ các ñạo hàm cấp một h d MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẤN ĐỀ TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phươg pháp Cho hàm số = f ( ) có ñạo hàm trê miề D. Muố tíh f ( ) chúg t có thể dùg một trog hi phươg pháp su : Phươg pháp (Làm chậm) Bước : Cho một số gi và tíh f ( + ) Bước : Tíh số gi củ hàm số = f( + ) f ( ) f( + ) f ( ) Bước : Tíh giới hạ : = f ( ) Ví dụ 7 Cho f ( ) =. Tíh f ( ). Bước : Cho một số gi và tíh f( + ) = + Bước : Số gi củ hàm số là = f( + ) f ( ) = + Bước : Tíh giới hạ ( ) f ( + ) f ( ) = + + = = = f ( ) =

37 Phươg pháp (Làm hh) Bước : Lấ bất kỳ D. Bước : Tíh giới hạ 5 f ( ) f ( ) : = f ( ) Bước : Từ côg thức f ( ) su r côg thức f (). Ví dụ 8 Cho f ( ) =. Tíh f ( ). Lấ bất kỳ. Theo ñịh ghĩ ñạo hàm tại một ñiểm t có: f ( ) f ( ) f ( ) = = = o ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = = = f ( ) = o. Chú ý Phươg pháp (Làm hh) hư trê, có thể áp dụg ñể tíh ñạo hàm củ hàm số cho bởi hiều biểu thức toá học. si π Ví dụ 9 Cho hàm số f ( ) = khi khi = Hã ét em tại ñiểm =, hàm số f ( ) có ñạo hàm h khôg? f ( ) f() si π = t+ si π Xét: =. Đặtt=. ( ) t ( ) si ( t) siπt π + π = =. π π. t = t t πt Vậ f ( ) có ñạo hàm tại ñiểm = và f () = π. VẤN ĐỀ TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC VÀ QUY TẮC Phươg pháp: ) Dự vào bảg ñạo hàm củ các hàm số sơ cấp cơ bả. ) Áp dụg các côg thức và qu tắc tíh ñạo hàm. ) Cầ chú ý thêm một số trườg hợp su ñâ: ) Đạo hàm củ hàm phụ thuộc thm số: Hàm số phụ thuộc thm số ñược cho dưới dạg = ϕ( t), = ψ ( t); t ( αβ, ). Nếu hàm = ϕ( t) trog khoảg ( αβ, ) có hàm gượct = ϕ ( ) thì t có ϕ = ψ [ ( )],().

38 Lấ ñạo hàm hi vế theo phươg trìh () và áp dụg côg thức ñạo hàm củ hàm ψ t t gược, t thu ñược: = ψ. t = =. t ϕ Ví dụ Cho: = ψ( t) = sit, = ϕ ( t) = cos t với t, π. Tíh. cost ϕ = cost si t, ψ = cost =. t t. cost.sit = sit b) Đạo hàm củ hàm số mũ dạg 6 t ( ) = f ( ) g ( ) ( ) ( ) = g ( )l f ( ) + g ( )( l f ( ) ) g ( ). f ( ) g ( ) = g ( )l f ( ) + = f ( ) ( g ( f ) ( )l f ( ) + gf ( ) ( )). f ( ) g( ) = f l = g ( )l f ( ) l = g ( )l f ( ) c) Đạo hàm củ hàm số lôgrit dạg = log g ( ) f ( ) l ( ) l ( ) ( l f ( ) ) l g ( ) l f ( )( l g ( ) f f ) log g ( ) f ( ) = = = = ( ) lg l g ( ) l g ( ) f ( ) g ( ). l g ( ) l f ( ). f ( ) g ( ) f ( ) g ( )l g ( ) g ( ). f ( ).l f ( ) = = l g ( ) f ( ). g ( ).l g ( ) VẤN ĐỀ TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ. ỨNG DỤNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH GẦN ĐÚNG Phươg pháp i Muố tìm vi phâ củ một hàm số = f ( ), t áp dụg côg thức d= f ( ) d. i Áp dụg vi phâ ñể tíh gầ ñúg : Với bé thì : d f ( + ) f ( ) + f ( ) với ñộ chíh ác là ( ), một vô cùg bé bậc co hơ Ví dụ. ) Tíh vi phâ củ các hàm số su : t = rctg ; s= e. t t ) d= ( rctg ) d= d; ds= e dt t. e dt 6 = + = = = Tíh giá trị gầ ñúg ) f ( ),,,8. f (, 8) = (, 8) =? f(, 8) = (+, 8) f() + f ().(, 8) +..(, 8), 6 là giá trị gầ ñúg củ (,8). T biết rằg giá trị ñúg củ (, 8) =, 64. So sáh giữ

39 hi giá trị ñúg và gầ ñúg củ 7 (,8) chúg t thấ khá gầ hu. ) Cho f ( ) =, =, =,5, Tíh giá trị gầ ñúg củ,5. Vì:, 5 f() + f ()., 5 +.(, 5) +.(, 5), 5. Nếu. chúg t so sáh giá trị ñúg củ, 5 =, với giá trị gầ ñúg củ,5 t thấ hi giá trị à rất gầ hu. VẤN ĐỀ 4 TÍNH ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO Ví dụ () ) Cho= e. Tíh (). b) = cos. Tíhd. ) Theo côg thức Lepit t có :( fg) ( ) () ( o) () (9) ( ) k ( k) ( k) k= ( ) ( ) = C f ( ). g ( ), t có : () o (8) o ( ) =. = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = + ( ) e C e C e C e C e C e ()! 8! 9.. o + C.. e () = C e + C (.) e + C.. e = C. =.= = 8.!8! 8!. b) Theo coâg thöùc tíh vi phâ cáp co : d d C ( cos ) o o( cos ) ( cos ) ( cos ) () ( ) () (9) (8) = = + C + C d π π =.cos cos + 9. =.cos..si ( ) 9 9 C d d ( ) ( ) 9 =.cos..5.si d =..cos + 5.si d. VẤN ĐỀ 5 DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN (QUY TẮC L / Hospitl ) Qu tắc L / Hospitl (Dùg ñể khử dạg vô ñịh ) Giả sử các hàm số = f ( ), = g ( ) có ñạo hàm ở lâ cậ và và g ( ) ở lâ cậ củ ñiểm khi ñó ếu l=± ) thì t có: f ( ) f ( ) = = l. g ( ) g ( ) f ( ) = g ( ) = f ( ) = l (l hữu hạ h g ( )

40 8 Qu tắc L / Hospitl (Dùg ñể khử dạg vô ñịh ) Giả sử các hàm số = f ( ), = g ( ) có ñạo hàm ở lâ cậ và f ( ) = g ( ) ( ) = và g ( ) ở lâ cậ củ ñiểm khi ñó ếu f = l (l hữu hạ h g ( ) l=± ) thì t có: Chú ý 4 f ( ) f ( ) = = l.. g ( ) g ( ) f ( ) ) Trườg hợp vẫ thuộc dạg vô ñịh g ( ) h mà tỷ số f ( ) thoả g ( ) mã ñiều kiệ củ qu tắc L / Hospitl, t lại áp dụg ñược qu tắc lầ ữ và có thể ét tiếp tục hư thế (ếu thoả mã) tức là : ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = = =... = = l. ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) b) Lấ ñạo hàm tử số riêg, lấ ñạo hàm mẫu số riêg, chứ khôg phải lấ ñạo hàm củ một thươg. + c) Trog qu tắc L / Hospitl chỉ phát biểu cho o. Nhưg khi, h khi ± thì các qu tắc trê vẫ ñúg. Ví dụ 4 Tìm các giới hạ su ñâ : tg ( tg ) + cos + ) A = = = = = =. si ( si ) cos cos ( cos ) si (si ) cos b) B= = = = = = ( ) ( ) cos πtg π ( tg ) π π cos π cos tg ( tg) cos (cos ) c) C= = = = = π π π π ( cos ) si6 si 6 (si 6 ) 6cos6 6.( ) = = = = = =. si si (si ) cos.( ) II) DÙNG QUY TẮC L / HOSPITAL ĐỂ KHỬ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC ) Dùg qu tắc L / HOSPITAL ñể khử các dạg vô ñịh. Phươg pháp: Dạg vô ñịh. ñư về dạg h dạg ñể áp dụg qu tắc Lôpit. f ( ) I fg ( ) ( ) = = f ( ) i = i g ( ) = g ( ) g ( ) i = I fg ( ) ( ) i = = f( ) Giả sử: I fg ( ) ( )(. )

41 9 Ví dụ 5 α l α + + α + α α + l ( > ) = = α = = ) Dùg qu tắc L / HOSPITAL ñể khử các dạg vô ñịh : - Phươg pháp Giả sử: f ( ) = & g ( ) =, khi ñó chúg t có: g ( ) f ( ) ( f ( ) g ( )) = = (Dạg ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) Trog thực tế bằg các biế ñổi hiều khi t có thể ñư một dạg vô ñịh ào ñó về dạg hoặc khá ñơ giả. Ví dụ 6 cos si ( cos si ) cos si cos ( cotg ) = = = si ( si ) si+ cos = = = = =. + + cos + cos si si ) Dùg qu tắc L / HOSPITAL ñể khử khử các dạg vô ñịh : ; ; Phươg pháp o o o o Các dạg vô ñịh ; ; bo giờ cũg ñư về ñược dạg. bằg cách lôgrit hoá biểu thức ñã cho. Giả sử cầ tìm ( ) f ( ) g (dạg ). T làm hư su: g ( ) = f ( ) l g ( )l f ( ) ( l) l = = = g ( )l f ( ) (Dạg. ). Đế ñâ thì có thể dùg qu tắc L / Hospitl ñể khử dạg vô ñịh. + + Ví du 7 Tìm, + (Dạg ) Đặt: A= la l ( ) l + = = (( ). ( ).) + + ( ) l. + ( ) ( + ) ( ) = = = ( + ) ( + ) ( + ) + + = :.. ( )( ) = = + ( )( ) + ( + ) α

42 =. =. = la= A= e Chú ý 5 ) Theo qu tắc L / Hospitl ếu là l thì thể kết luậ : ( ) ( ) f ( ) = l, tức là ếu tỷ số các ñạo hàm có giới hạ g ( ) ( ) f ( ) f ( ) = = l,hưg ếu g ( ) g ( ) f ( ) cũg khôg tồ tại. g ( ) ( ) f ( ) g ( ) ( ) khôg tồ tại thì khôg si Ví dụ 8 Tíh (dạg + si ) si ( si ) cos = =. Khi cos + si ( + si ) + cos cos khôg ác ñịh. Nhưg ếu kết luậ khôg tồ tại + cos si vì: ếu dùg phươg pháp biế ñổi t có si = + si + si + si = =. + b) i) Nhờ qu tắc L / Hospitl t có thêm phươg pháp mới ñể tìm giới hạ các dạg vô ñịh một cách khá hiệu ghiệm. Tu hiê áp dụg qu tắc L / Hospitl ñòi hỏi gười giải toá phải lấ ñạo hàm thàh thạo, ếu ñạo hàm si và hất là ñạo hàm sót khi tíh ñạo hàm củ hàm hợp thì kết quả sẽ gược lại với ñiều t mog muố, vì kết quả si thì ói gì ñế phươg pháp hiệu ghiệm (!) ii) Nhưg chúg t cũg cầ hớ rằg qu tắc L / Hospitl khôg phải là chì khoá vạ ăg giúp cho chúg t giải ñược mọi bài toá về giới hạ (bởi vì hàm số dưới dấu với biế số khôg liê tục thì khôg áp dụg ñược qu tắc L / Hospitl). Trog một số trườg hợp có khi càg áp dụg qu tắc L / Hospitl lại càg phức tạp, khôg giải ñược bài toá, hưg ếu dùg phươg pháp khác lại rất gọ: Ví dụ 9 Tìm giới hạ e (dạg si b ) si si Vì : e ( khi ) & si b b khi ( ). Do ñó chúg t e.. có: = = =. Nếu khôg dùg phươg pháp sib b b. b th thế tươg ñươg mà áp dụg qu tắc Lôpit ñể giải bài toá trê thì sẽ gặp khôg ít khó khă, phức tạp. là

43 4 TÓM LẠI Kết hợp các phươg pháp tìm giới hạ ñã học trog các chươg trước ñâ t rút r: Đế t có b phươg pháp tìm giới hạ dạg vô ñịh: ) Phươg pháp biế ñổi. b) Phươg pháp th thế tươg ñươg. c) Phươg pháp áp dụg qu tắc L / Hospitl. Như t ñã biết hi phươg pháp b) và c) khá hiệu ghiệm cầ vậ dụg. Tu hiê mỗi phươg pháp cũg có hữg hạ chế riêg và có vị trí riêg củ ó. Vì thế chúg t cầ ắm vữg cả phươg pháp ñể có thể tù cơ mà vậ dụg. Khi giải một bài toá Giới hạ có thể vậ dụg một h vài phươg pháp vừ êu ở trê miễ là làm so tìm r kết quả ñúg và hh hất.

44 4 BÀI TẬP BÀI ĐỀ RA ĐÁP SỐ HOẶC HƯỚNG DẪN. Xác ñịh một ñiểm trê ñườg cog = + tuế sog sog với ñườg thẳg =.. Cho. Tíh ( ) Tíh ñạo hàm cấp củ các hàm số với mà tại ñó tiếp = = ( + ) Cho =. Tíh ( ). Đáp số : ( ) l l ( ) =. l l Cho=. Tíh ( ). Cho= Cho= Tíh ( ). 4 ( 4) ( ). ( ) 7. Tíh ( ). 4 Cho hàm =. các phươg trìh =, =. l ( ) =. 4 ( ).. 4 = + ( ) ( ) = 6 4. ( ). ( ) Cho hàm =. các phươg trìh =, =. Cho hàm = (5 ). các phươg trìh =, =. si khi Cho f ( ) = khi= ) Tíh f ( ) tại mỗi ñiểm R. b) Chứg mih rằg: f ( ) khôg liê tục tại =. si cos khi ) f ( ) = khi = b) Tự giải.

45 Cho ( ) e. f = khi khi= Tíh f ( ). Cho = ( ) cos cos. 5 Tíh ( ). Cho = rc cos. Tíh ( ). Cho + + = + l. Tíh ( ). Cho hàm số = rcsi si. Tíh ( ). + Cho hàm số = Tíh ( ).. f ( ) e e = + khi khi = 4 si. 7 cos 4 cos 4 = + 5 ( ) = = = = +. + ( ) cos si si ( ) Cho = cos π với,. Tíh ( ). Cho hàm số = log (+ ). Tíh ( ). Cho = log ( ). Tíh ( ). = = = si 8 8 l( ) (+ )l(+ ) (+ )l ( ) l( ) ( ) l( ) ( )l ( ). Cho hàm số = + +. Tíh ( ). Đáp số: =

46 44. Cho hàm số = log (si ). Tíh ( ). Đáp số: = ( e ). ( e )cotg l( e ) + ( e + )l(si ) ( e )l ( e ). 4 4 Cho hàm số = Tíh ( ). Đáp số: ( ) = ( ) Tíh ñạo hàm cấp củ các hàm số..4 Cho=. + Tíh ( ) ( ) ( ). ( ) = ( ) ( + )! ( ) + () ( ) Chof ( ) =. Tíh f ( ); f ( ). f () ( ) =!( ).5 + () Chof ( ) =. Tíh f ( ). () (99 ) f ( ) =. ( ).6.7 Cho hàm số = e. Tíh Đáp số ( ) ( ). ( ) ( ) = + + e C e C e Cho hàm số ( = si. Tíh ) ( ). ĐS: ( ) ( ). π π π = si cos ( ) si Chot= + b+ c+. Tíh d. Chot = Tíh vi phâ cấp các hàm số +. Tíh. d d= = 4t d ( t ) +. Chot=. Tíh d. 6t d= ( t ) t + bt+ c dt ( t+ b) dt dt

47 45. Cho t= tg,( π< < π). Tíh d. d dt = +t. L. L = Dùg qu tắc Lôpit ñể tìm giới hạ 4 = si tg si.4 L = l rctg 4 + π.5 * L = 5 l l( + ) L 6 ( l) =.7 * ( ) L = 7 L = l. l( ) 4 π.9 * l L = 9 b lb.4 L = 4 cos π π + si cos.4 L = 4 + si cos tg si.4 L = 4 si e l l b Hết

48 46 ` CHƯƠNG : PHEÙP TÍNH TÍCH PHAÂN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH. Nguê hàm Địh ghĩ Hàm số F ( ) ñược gọi là guê hàm củ hàm số f ( ) trê khoảgi ếu với mọi I, t có: F ( ) = f ( ). Nếu khoảg I có chứ các ñầu mút thì tại các ñầu mút F ( ) chỉ cầ có ñạo hàm một phí.. Một số ñịh lý Địh lý Nếu F ( ) là một guê hàm củ hàm số f ( ) trê khoảg I thì :. Với mọi hằg số C F ( ) + C cũg là một guê hàm củ f ( ) trê khoảg I.. Ngược lại, mọi guê hàm củ hàm số f ( ) trê khoảg I ñều có thể viết dưới dạg F ( ) + C Nói cách khác: F ( ) là một guê hàm củ ( ) f trê khoảgi { F ( ) + CC R } là họ các guê hàm củ f ( ) trê khoảg I. Địh lý (Sự tồ tại guê hàm) Mọi hàm số f ( ) liê tục trê ñoạ [, b ] ñều có guê hàm trê ñoạ ñó.. Tích phâ khôg ác ñịh Địh ghĩ ) Biểu thức F ( ) + C trog ñó F( ) là guê hàm củ hàm số f ( ) trê khoảg I và C - là hằg số tuỳ ý, ñược gọi là tích phâ khôg ác ñịh (thườg gọi tắt là tích phâ) củ hàm số f ( ) trê I và ký hiệu: fd ( ) = F ( ) + C. b) Dấu ñọc là tích phâ, f ( ) gọi là hàm dưới dấu tích phâ, fd ( ) gọi là biểu thức dưới dấu tích phâ, gọi là biế số dưới dấu tích phâ. Chú ý ) Muố tíh một tích phâ khôg ác ñịh củ hàm số f ( ) chỉ cầ tíh một guê hàm củ ó. b) Nếu F ( ) là một guê hàm củ f ( ) thì fd ( ) = F ( d ) = df ( ( )). Do ñó biểu thức dưới dấu tích phâ fd ( ) khôg phải là một ký hiệu gẫu hiê, mà thực sự là một vi phâ: vi phâ củ chíh guê hàm F ( ). c) Có một số hàm số hì vào t thấ rất ñơ giả hưg lại khôg có guê hàm vì chúg khôg thể biểu diễ dưới dạg các hàm số sơ cấp: e d cosd sid d l (Tích phâ Potôg) (Tích phâ Freset) (Tích phâ logrit)

49 47 cos d (Tích phâ cosus) si d (Tích phâ sius).. Bảg các guê hàm cơ bả ) Việc lấ tích phâ một hàm ào ñó thực chất là việc ñư dầ từ một tích phâ phức tạp về một tích phâ ñơ giả hơ. Cuối cùg t ñư ñế một tích phâ ñơ giả hất ñựơc gọi là tích phâ cơ bả. Dự vào bảg các ñạo hàm cơ bả và ñịh ghĩ tích phâ khôg ác ñịh chúg t có các tích phâ cơ bả su: Chú ý ) d= C ) d= d= + C ) 4) α+ α d= + C,( α ) α+ d d= = l + C 5) d= + C,(< ) (Đặc biệt: l ed = e + C ) 6) sid= cos+ C 7) cosd= si+ C 8) 9) ) ) d rctg C rccot C + = + = + d = rcsi+ C = rccos d cotg C si = + d tg C cos = +. Côg thức 4) chỉ có ghĩ trê một khoảg (, b) khôg chứ ñiểm = : i Nếu (, b) (, + ) tức là l = (l ) =. i Nếu (, b) (,) tức là < thì ( l ) = [l( )] = ( ) =. Một số tích phâ tu khôg thể rút trực tiếp từ các ñạo hàm cơ bả hưg thườg ñược dùg hiều khi giải bài tập: d ) l C = + > thì ( )

50 ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) 48 simd= cos m+ C, m. m cosmd= si m+ C, m m d rctg C,( ) + = + d d = l + C + + = l + C d = rcsi + C= rccos + C, ( > ) d = l+ + + C + d = l+ + C + ) + d= + l+ + + C Việc chứg mih các côg thức trê khôg ñế ỗi khó khă em ñó là các bài tập... Các tíh chất củ tích phâ khôg ác ñịh Tíh chất ( ) d fd ( ) = df ( ( ) + C) = df ( ( )) = F ( d ) = fd ( ) fd ( ) = F ( ) = f ( )) ( H ( ) Tíh chất dfd ( ) = F ( ) + C Tíh chất kfd ( ) = k fd ( ) (Với k là một hằg số) Tíh chất 4 f ( ) g ( ) + d= fd ( ) + gd ( ).4 Các phươg pháp lấ tích phâ Phươg pháp ñổi biế số. Giả sử cầ tíh tích phâ fd ( ) ().Mặc dù biết rằg tích phâ tồ tại hưg trog hiều trườg hợp t khôg thể tíh trực tiếp tích phâ ñó. Khi ñó t có thể dùg phươg pháp ñổi biế. Nội dug củ phươg pháp ñó hư su: Đư vào biế mới t và Đặt : = ϕ() t d= ϕ () tdt th vào (*) t ñược: fd ( ) = f ϕ() t ϕ () tdt= gtdt (). Bâ giờ bài toá qu về việc tìm tích phâ củ hàm gt (). Su khi tìm ñược tích phâ ñó t lại ñư biế mới t trở về biế cũ.

51 49. Phươg pháp ñổi biế là một trog hữg phươg pháp tích phâ hiệu lực hất. Ng cả hữg khi sử dụg các phươg khác hưg rất hiều trườg hợp trog các phép tíh trug gi vẫ cầ ñế phươg pháp ñổi biế. Tu hiê cầ ói thêm rằg việc áp dụg phươg pháp ñổi biế, thàh côg ñế mức ào là tuỳ thuộc vào sự khéo léo và kih ghiệm củ mỗi gười khi chọ hàm số = ϕ() t, ñể việc tíh toá ñược ñơ giả và hh chóg cho r kết quả. Su ñâ chúg t êu một số cách khi áp dụg phươg pháp ñổi biế số: i) Áp dụg côg thức theo chiều thuậ Ví dụ Tíh tích phâ I Hàm số = d ( > ) có ghĩ khi và chỉ khi:. π π id= cos tdt; t Đặt: = sit i = cos; t t= rcsi isi t= ;cost= I= d= cos tdt= ( + cost) dt= t+ sit+ C 4. = ( t+ sit cos) t = rcsi C rcsi C + + = + + Chú ý Khi gặp các tích phâ: d hoặc + d hoặc d ( > ) Thôg thườg các tích phâ ñó sẽ dễ tíh hơ khi khử că thức. Lợi dụg các côg thức lượg giác si + cos = h+ tg= chúg t có thể khử că thức củ cos các biểu thức trê bằg một phép ñổi biế số tươg ứg trog bảg su ñâ: Biểu thức Phép ñổi biế số Biểu thức su biế ñổi d = π π = si, t t, ( h= cos, t t [, π]) cost sit π π + tgt, t, = cos cost sitdt dt cos t t

52 5 Với > π =, t, cost Với <- π =, t, cost tgt tgt sit dt cos t sit dt cos t ii ) Áp dụg côg thức theo chiều gược Để tíh tích phâ I =fd ( ), t phâ tích biểu thức dưới dấu tích phâ ñể ñư về dạg fd ( ) = g[ ϕ( )] ϕ ( d )( ϕ( )). Đặt t= ϕ( ) I = gtdt (). Ví dụ t t ) I= e d= e d ( ). Đặt: t= I= edt e C e C = + = b) I= + 9 d= ( + 9) d ( + 9). 4 Đặt t= + 9 t 4 I=. ( 9). 4 t dt= + C = t + C = + + C 4. 6 Phươg pháp tích phâ từg phầ. Nội dug phươg pháp Giả sử u ( )& v ( ) là hi hàm số củ biế số có ñạo hàm liê tục. Theo qu tắc vi phâ củ một tích t có: duv ( ) = udv+ vdu duv ( ) = uv= udv+ vdu udv= uv vdu (). Côg thức () ñược gọi là côg thức tích phâ từg phầ. Phươg pháp tích phâ từg phầ ñược áp dụg trog trườg hợp có thể phâ tích biểu thức dưới dấu tích phâ, thàh tích hi thừ số. Một thừ số là một hàm u ( ) và thừ số thứ hi là vi phâ củ một hàm v ( ) ào ñó. Khi ấ việc tíh tích phâ udv th bằg việc tíh tích phâ vdu ếu tích phâ vdu ñơ giả hơ tích phâ ñã cho. Phươg pháp tích phâ từg phầ có thể áp dụg hiều lầ liê tiếp khi tíh một tích phâ ào ñó, cho ñế khi tìm ñược kết quả thì thôi.. Một số dạg tích phâ có thể dùg phươg pháp tích phâ từg phầ ñể tíh i) Dạg Pe ( ) d trog ñó P ( ) là một ñ thức. Phươg pháp T ñặt u= P ( ), dv= e d. Khi ñó du là một ñ thức P ( ) có bậc giảm ñi một ñơ vị so với bậc củ P ( ), v= e. Như vậ mỗi lầ tích phâ từg phầ sẽ dẫ tới một tích phâ dạg cũ, hưg bậc củ ñ thức giảm ñi một ñơ vị. Qu hiều lầ tích phâ từg phầ có thể bậc củ ñ thức P ( ) giảm tới. Lúc ñó t dễ dàg tíh ñược tích phâ cuối cùg.

53 5 Ví dụ Tíh tích phâ I= e d I= e d e d( ) e e d = e de ( ) = = 9 e e e d e e e C = = + + = + e + C 9 i i) Dạg P ( )sid ( hoặc P ( )cosd ). Phươg pháp Đặt u= P ( ); dv= sid (hoặc dv= cosd ). Khi ñó du là ñ thức có bậc giảm ñi một ñơ vị so với bậc củ P ( ), cò v là hàm số cos (hoặc hàm số si ). Như vậ tích phâ dạg à sẽ chuể thàh tích phâ dạg tươg tự, cò bậc củ ñ thức giảm ñi một ñơ vị. Tích phâ từg phầ hiều lầ sẽ làm cho bậc củ ñ thức P ( ), giảm tới. Ví dụ 4 Tíh tích phâ I= sid I= si d= d(cos ) cos cosd cos = + = + + si sid cos si cos C 9 = iii) Dạg P ( )ld, Prctgd ( ), P ( )rcsid. Phươg pháp Đặt u= l (hoặc u= rcthu= rcsi,... ) dv= Pd ( ).Khi ñódu sẽ chứ một biểu thức hữu tỷ hoặc vô tỷ ñối với, cò v ( ) là ñ thức có bậc tăg lê một ñơ vị so với bậc củ P ( ). Tu hiê khi lấ tích phâ từg phầ thì sẽ dẫ ñế tích phâ hàm số hữu tỷ hoặc vô tỷ, chứ khôg cò tích phâ các hàm số siêu việt ữ. = Ví dụ 5 Tíh tích phâ I rctd rct rct ( ) rct + I= d= d = d = rct + rctg + C. iv) Dạg ( ) P e sibd (hoặc Pe ( ) cosbd ). Phươg pháp Đặt: u= P ( ), dv= e sibd (hoặc dv= e cosbd ) sib bcosb T có: du= P ( ) d& v= e si bd= e. (+C) + b

54 5 bsib+ cosb (hoặc v= e cos bd= e. ( + C) ) + b Như vậ mỗi lầ tích phâ từg phầ t ñã chuể ñược các tích phâ trê về các tích phâ cùg dạg, hưg bậc củ ñ thức giảm ñi một ñơ vị. Thực hiệ tích phâ từg phầ hiều lầ có thể giảm bậc củ ñ thức tới và t qu trở lại với các tích phâ dạg: e sibd hoặc e cosbd mà chúg t ñã biết cách giải. v) Dùg tích phâ từg phầ ñể lập côg thức qu ạp khi tíh tích phâ. Ví dụ 6 Tíh I = si d( ) I = si d= si d( cos ) = si cos + ( ) si cos d d ( ) si d = si cos + ( ) si si cos = si cos + ( ) ( ) = + I I I I I T ñã biết I = d=, I = sid= cos + ( C) si.cos I si d ( C) i = = + + si.cos i = = + I si d cos ( C) d Ví dụ 7 Tíh tích phâ : I = (,,, ) = ( + ) d Đặt: iu = du= + d ( ) ( ) I = ( ) = ( + ) idv = d v = d d ( ) + + ( + ) ( + ) ( ) d= + ( ) = + = + ( + ) ( + ) I I I... I + + Theo hệ thức () thì I + ñược biểu diễ qu I. Vì vậ áp dụg liê tiếp hệ thức tru toá, t ñi ñế kết quả là I + (và tất hiê I ) cuối cùg thì cũg ñược biểu diễ qu = d rctg C + = + d = =. +. rctg + C ( + ) ( + ) I. Từ () t có: I I I = d. rctg C ( + ) = 4 ( + ) + 8 ( + )

55 .5 Tích phâ các hàm số hữu tỷ.5. Hàm hữu tỷ là gì? i Hàm số hữu tỷ là thươg củ hi ñ thức. Như vậ một hàm số hữu tỷ có dạg: 5 ( ) m ( ) m m b + b m m P f ( ) = = ; với m, N & m, Q b b i Nếu bậc củ tử số khôg hỏ hơ bậc củ mẫu số ( m ) thì bằg phép chi ñ thức, t phâ tích ñược f ( ) thàh tổg củ một ñ thức với một phâ thức khác có bậc củ tử số hỏ hơ bậc củ mẫu số (gọi là phâ thức thật sự). Chẳg hạ: 5 = ( ) Tích phâ các phâ thức ñơ giả Trog việc tíh tích phâ các phâ thức thực sự thì các tích phâ su ñâ gọi là tích phâ các phâ thức ñơ giả: ) b) c) d) A d A d ( ) k M+ N d + p+ q M+ N ( + p+ q) m d Chú ý 4 Trog c) và d) tm thức bậc hi ) b) c) A d ( ) d= A = Al + C ( ) + p+ q khôg có ghiệm thực. A d ( ) k A d= A = A ( ) d ( ) =. + C k k k ( ) ( ) k ( ) p p q 4 + p+ q= ( + ) + ( ) và ñặt Tiếp tục ñặt: t= + p = q p 4 d= dt + p+ q= t + Mp M+ N = Mt+ ( N ) ( Mp M+ N Mt+ N ) M dt ( + ) Mp dt d dt ( N ) = = + + p+ q t + ( t + ) t + = M l t ( N Mp ) rctg t C M + N M.l( ) N Mp + d= + p+ q + rctg p + C + p+ q 4q p 4q p

56 d) Tươg tự hư trog bài c) t có : d ( + p+ q) m = Mp 54 Mt+ ( N ) M tdt Mp dt dt= + ( N ) m m m ( t + ) ( t + ) ( t + ) M Mp dt = m ( ) ( ) ( ) t dt N m ( t + ) M Mp dt =. + ( N ), ( m ) m trog ñó m m ( t + ) ( t + ) I tíh theo I m + Im ( ) hư su: I =. +.. I m+ ( + ).5. Tích phâ các phâ thức thực sự i Việc tíh tích phâ thực sự cơ bả dự vào ñịh lí su ñâ trog ñại số: P ( ) Mỗi phâ thức thực sự ñều có thể phâ tích thàh tổg một số hữu hạ các phâ Q ( ) thức ñơ giả. i Trog mục trê ñã tíh ñược tích phâ củ tất cả các phâ thức ñơ giả, ê chỉ cò lại vấ ñề: làm thế ào ñể phâ tích một phâ thức thực sự thàh tổg củ hữg phâ thức ñơ giả? Trước hết hã chú ý tới ñ thức Q () ở mẫu số. T giả thiết bậc co hất củ Q ( ) có hệ số bằg và theo ñịh lý cơ bả củ ñại số học luô luô có thể phâ tích : k i ( ) = ( ) ( + + ) i i i i Q p q trog ñó, p, q R; k, N ; là hữg ghiệm thực củ các ñ thức bậc hất m cò i i i i i i i + p + q là hữg ñ thức bậc hi khôg có ghiệm thực. i Nếu k = hoặc = t gọi các thừ số tươg ứg là thừ số ñơ cò ếu i i k h t gọi các thừ số tươg ứg là thừ số bội. i i Ví dụ 8 Tíh tích phâ: I= + + d ( )( + ) + + A B+ C D+ E Phâ tích: = + + ( )( + ) + ( + ) Qu ñồg mẫu số rồi ước lược t có: + + = A ( + ) + ( B+ C)( )( + ) + ( D+ E)( )() Muố tìm các hệ số : ABCD,,, chúg t có hi cách su ñâ: Cách Cho = t có : 5A = 5 A=. Cho = i (với i ghiệm phức củ phươg trìh. + = ) t ñược: i i

57 55 D+ E= D= ( D+ E) + ( D+ Ei ) = + i D+ E= E= 4 Th các giá trị A =, D = - và E = - 4 vào () t có: + + = ( + ) + ( B+ C)( )( + ) (+ 4)( ), () Từ (), ếu t cho = và = thì t có hệ phươg trìh: C 4 = B= B + C= C = Tóm lại: A=, B=, C=, D=, E= 4. Bâ giờ t tíh tích phâ: + + d I= d = d d ( )( ) + + ( + ) 8 + d ( ) + 4 = d + ( + ) d + d ( ) d d = l ( ) ( ) 4 d ( + ) = l l + rctg+ 4. rctg C + + ( + ) ( + ) ( ) ( 4 ) = l + 4rctg + C + ( + ) I Cách Đẳg thức () tươg ñươg với ñẳg thức su ñâ: = ( A+ B ) + (-B+ C) + (A+ B C+ D ) + ( B+ C D+ E ) + ( A C E) () Từ () bằg cách ñồg hất các hệ số củ các luỹ thừ tươg ứg, chúg t có hệ phươg trìh: A B + = A= B+ C = B= (*) A B C D + + = C = B+ C D+ E= D= A C E = E = 4 ( hệ phươg trìh tuế tíh (*) có thể bằg phươg pháp Guơ hoặc bằg phươg pháp thế).

58 d I= d= d d ( )( ) + + ( + ) ( ) ( 4 ) = l + 4 rctg + C. + ( + ).6 Tích phâ các hàm số vô tỷ và lượg giác Phươg pháp chủ ếu ñể tíh tích phâ các hàm số vô tỷ và lượg giác là dùg phép ñổi biế số ñể ñư tích phâ cầ tíh về tích phâ các hàm số hữu tỷ. Phươg pháp à gọi là hữu tỷ hó tích phâ..6. Tích phâ các hàm số vô tỷ ) Tích phâ dạg R, mp q + d r+ s ; trog ñó pq,, r, s R, m N và m, R biểu thị một hàm số hữu tỷ ñối với các ñối số trog goặc. m st q p+ q = ϕ() t = m Dùg phép biế ñổi: t= w ( ) = m p rt r+ s d= ϕ () tdt, p q + R m d R ϕ(), t t = ϕ () tdt,(). r+ s Tích phâ () là tích phâ củ một hàm hữu tỷ mà chúg t ñã biết cách tìm. + Ví dụ 9 Tíh tích phâ I=. d ( ) + + d d Đặt: t= t = tdt= = tdt ( ) ( ) 4 4 t 4 + I= tdt I C t C C = + = + = b) Tích phâ dạg R, + b+ c d Trog ñó bc,, R,, R là hàm hữu tỷ củ các ñối số trog goặc. T ét: Trườg hợp : Nếu > thì tm thức có ghiệm thực phâ biệt, t có thể biế ñổi: b c + + = ( )( ) = ( ) và tích phâ ñư về dạg ở mục ) ở trê. Trườg hợp : Nếu < tm thức + b+ c khôg có ghiệm thực và luô cùg dấu với, ñể că bậc hi ác ñịh buộc phải có ñiều kiệ>, trườg hợp à t dùg phép thế Ơ le, bằg cách ñặt: + b+ c= t h + b+ c= t+

59 57 t c = ; + b+ c= t+ b t + bt+ c t + bt+ c ; d= dt t+ b ( t+ b) Rõ ràg biểu thức dưới dấu tích phâ ñã ñược hữu tỷ hoá, chúg t có thể tiế hàh lấ tích phâ. d Ví dụ Tíh tích phâ I= + + Tích phâ thuộc trườg hợp ê chúg t dùg phép thế Ơ-le : t t t+ + = t = + + = t, d=. dt t (t ) t t+ I= dt = dt + t.(t ) t t (t ) =. + l t l t + C (t ) = + l+ + l ( + + ) + C [( + + ) ] Trườg hợp : Nếu = thì tm thức + b+ c có ghiệm trùg hu, lúc ñó tích phâ ñã cho khôg có dạg vô tỷ ữ (mà là tích phâ củ một hàm hữu tỷ) do ñó chúg t tiế hàh g việc lấ tích phâ..6. Tích phâ các hàm số lượg giác dạg R(si,cos ) d Cũg tươg tự hư các dạg tích phâ ñã biết trước ñâ, muố hữu tỷ hoá một tích phâ dạg R(si,cos d ) t phải tìm ñược một phép ñổi biế so cho biểu thức dưới dấu tích phâ trở thàh biểu thức hữu tỷ. Trườg hợp : (Phép thế vạ ăg) Nếu hàm số dưới dấu tích phâ là một hàm số lượg giác ào ñó thì chúg t ñặt: t t t si,cos, tg = = = t= tg, ( π< < π) + t + t t = rctgt, d= dt + t Trườg hợp Nếu th si bởi si mà biểu thức: R( si ;cos ) = R(si ;cos ) thì dt ñặt: t= cos = rccos t& d= &si= t t Trườg hợp Nếu th cos bởi cos mà biểu thức: R(si ; cos ) = R(si ;cos ) thì dt ñặt: t= si = rcsi t& d= &cos= t t

60 Trườg hợp 4 Nếu th si bởi si và cos bởi cos mà biểu thức R( si ; cos ) = R(si ;cos ) thì chúg t ñặt: t= tg, ( với Ví dụ Tíh I 58 dt i rcrtgt d π π = = + t < < ) t isi = ;cos= + t + t d = si Cách Dùg phươg pháp biế ñổi biểu thức dưới dấu tích phâ: d si d d(cos ) d(cos ) = si = = si ( cos ) ( cos )(+ cos ) d( cos ) d(+ cos ) = (cos ) d + = + cos + cos ( cos ) (+ cos ) si cos = ( l cos l + cos) + C= l + C= l + C + cos cos si si l l = C + = + C= l tg + C. cos cos Cách Dùg phép thế vạ ăg : t si ; i = Đặt: d dt t t= tg + t I= = : dt dt si = rctgt; d= + t + t i + t = ( +t ) dt dt= = l t + C= l tg + C. ( + t) t t Cách Khi t th si bởi si vào biểu thức dưới dấu tích phâ thì dt i = rccos, t d = = ê chúg t ñặt: t= cos t ( si ) si isi= t d dt I = : t = dt si = t t. t )

61 dt dt = = = dt t + t + t ( t ) d( t) d( t) + = = ( l + t l t) + C ( + t) ( + t) cos si t = l + C = l + C = l + C + t + cos cos si si l l = C + = + C = l tg + C. cos cos Cách 4 Biế ñổi biểu thức dưới dấu tích phâ t có: d d d du =. si = Đặt: u= tg I = siucosu si cos si cos Khi t th siu bởi siu và th cosu bởi cosu vào biểu thức dưới dấu tích phâ: = ê chúg t ñặt: ( si u)( cos u) siucosu dt iu rcrtgt du = = + t dt t= tgu t I= isi u= ;cosu= t ( + t ). + t + t + t + t dt = = l t + C= l tg + C. t Ví dụ d Tíh tích phâ I= si+ 4cos Hàm số dưới dấu tích phâ khôg thoả mã ñiều kiệ ào trog b trườg hợp cuối. Do ñó chúg t có thể dùg phép thế vạ ăg, bằg cách ñặt : t t isi = ;cos= t= tg, (với π< < π ) + t + t dt i= rctgt; d= + t 59

62 6 dt I = = 6t 4( t) ( t ) + + ( + t ) + t + t dt 4t + 6t+ 4 ( + t) dt dt dt = = =.(t t ) t t + + ( t) + t d t + d( t) + t =. dt l C 5 + = = + t 5 ( t) t t + + t + tg = l + C. 5 tg TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH. Bài toá diệ tích hìh thg cog Cho hàm số = f ( ) liê tục và dươg trê ñoạ [, b ], có ñồ thị hư hìh. Hìh phẳg giới hạ bởi các ñườg = f ( ), =, = b và trục O gọi là hìh thg cog. T hã ñịh ghĩ và tíh diệ tích hìh thg cog ñó. Trước hết chi tù ý ñoạ [, b ] thàh phầ bằg các ñiểm chi : = < < < < < = b. o Tươg ứg hìh thg cog cũg ñược chi thàh hiều phầ bởi các ñườg thẳg = i. Ký hiệu ñồg thời vừ là ñoạ thẳg i i, i : = i i, i ( i=, ) vừ là ñộ dài củ ó i = i i ( > ). Trê chọ ñiểm tù ý ξ. i i

63 6 Nếu khá bé có thể em diệ tích phầ hìh thg cog ằm trog dải giữ i i và gầ ñúg bằg diệ tích hìh chữ hật có các cạh là và f ( ξ): S f ( ξ). i i i i i i Do ñó diệ tích hìh thg cog ABCD có thể em gầ ñúg bằg tổg diệ tích củ tất cả các hìh chữ hật tươg ứg: S= f( ξ) (hợp các hìh chữ hật ñó lập i i i= thàh có diệ tích gầ bằg diê tích hìh thg cog). Dễ thấ rằg si số củ ñẳg thức gầ ñúg ñó sẽ giảm vô hạ khi tất cả các ñoạ tiế tới. Do ñó ñươg hiê t sẽ coi giới hạ củ tổg trog vế phải (ếu có) là giá trị ñúg củ diệ tích hìh thg cog ñg ét. Trog thực tế có rất hiều bài toá dẫ tới việc ghiê cứu giới hạ củ tổg trê. Tù theo ý ghĩ củ hàm số f ( ) mà giới hạ ñó biểu thị củ một ñại lượg cụ thể: diệ tích, thể tích, khối lượg, Vì thế sẽ khôg uổg côg khi t ghiê cứu thật kỹ giới hạ ñó một cách tổg quát, tách hàm số f ( ) r khỏi mọi ý ghĩ hìh học, vật lý, cơ học, củ ó.. Địh ghĩ tích phâ ác ñịh.. Phâ hoạch, tổg tích phâ, ñườg kíh củ phâ hoạch Cho hàm số = f ( ) ác ñịh trê ñoạ [, b ]. Chi tù ý ñoạ à thàh phầ bằg các ñiểm chi (gọi là phâ hoạch): = < < < < < = b.t ký hiệu i o ( i=, ) ñồg thời vừ là ñoạ i i, i vừ là ñộ dài củ ñoạ thẳg ñó. Trê mỗi ñoạ t lấ một ñiểm tù ý ξ rồi lập tổg (gọi là tổg tích phâ): i= i σ= f( ξ). Rõ ràg tổg à phụ thuộc vào phép chi ñoạ [, b] và cách chọ các i i ñiểm ξ. Độ dài lớ hất củ các ñoạ ( i=,,,..., ) (ký hiệu làλ ) ñược gọi là i ñườg kíh củ phâ hoạch. Để cho ñộ dài củ tất cả các ñoạ λ. Khi ñó giới hạ củ tổg tích phâ khi λ : i i I tiế tới chỉ cầ i = σ có ghĩ là : Với λ mọi ε>, tìm ñược δ> so cho chỉ cầ λ< δ (tức là mọi phâ hoạch có ñườg kíh hỏ hơ δ ), bất ñẳg thức: Địh ghĩ Giới hạ I củ tổg tích phâ σ I < ε ñược thỏ mã với bất kỳ cách chọ các ñiểm ξ. i σ= f( ξ) khi λ (ếu có), ñược gọi là tích i i i= phâ ác ñịh hoặc tích phâ Riơm (Riem) - củ hàm số f ( ) trê ñoạ[, b] và ký hiệu: b I= fd ( ) = f( ξ). Khi ñó, t ói hàm số f ( ) khả tích (có tích i i λ i = phâ) trê [, b ], và b gọi là cậ dưới và cậ trê củ tích phâ. Qu hi mục trê, t rút r ý ghĩ hìh học củ tích phâ ác ñịh là: giá trị củ tích phâ chíh là số ño diệ tích củ hìh thg cog ñã ói.

64 6 Chú ý 5 ) Có một sự khác biệt rất lớ giữ tích phâ ác ñịh và tích phâ khôg ác ñịh. Trước hết là vì hi khái iệm à ñược ñịh ghĩ khác hu. Su ñó t hậ thấ: tích phâ ác ñịh là một số, trog khi tích phâ khôg ác ñịh là một họ hàm số. ) Vì tích phâ ác ñịh là một số, ê khôg cò phụ thuộc biế số dưới dấu tích phâ. Do ñó t có thể th ký hiệu biế số dưới dấu tích phâ bằg bất kỳ chữ ào: b b b fd ( ) = ftdt () = fudu ( ) = ) Theo ñịh ghĩ, giới hại khôg phụ thuộc cách chi ñoạ [, b] và cách chọ các ñiểm ξ. Do ñó, ếu ñã biết hàm số f ( ) khả tích (tức là có giới hạ I thì ñể tíh tích i phâ bằg ñịh ghĩ, t có thể tù ý lấ một cách chi và một cách chọ cụ thể ào ñó cho thích hợp (dễ tíh tổg tích phâ). Thôg thườg là chi ñều ñoạ [, b ]. Cách b chi ñó gọi là phâ hoạch ñều, trog ñó : = = với mọi i. i. Nhữg tíh chất cơ bả củ tích phâ ác ñịh Địh ghĩ tích phâ ñã êu r ở trê ứg với ñoạ [, b ] theo ghĩ thôg thườg : < b. Để hoà chỉh, t phải mở rộg ñịh ghĩ tích phâ cho các trườg hợp b. Địh ghĩ 4 i fd= ( ) b i fd ( ) = fd ( ) ( b< ). (Với giả thiết ( ) b b fd tồ tại) Trog cả b trườg hợp, ếu tích phâ tồ tại, t ñều ói hàm số khả tích. Các tíh chất dưới ñâ là phát biểu cho cả b trườg hợp (khi ñó t phải hiểu ñoạ[, b] theo ghĩ rộg, tức là có thể b), ếu khôg chỉ rõ qu hệ giữ và b. Tíh chất Nếu c là một hằg số thì cd= cb ( ) Tíh chất (Hệ thức Slơ cho tích phâ) Cho b số bc,, bất kỳ. Hàm số f ( ) khả tích trê ñoạ lớ hất trog b ñoạ b];[, c],[, bc ] thì khả tích trê hi ñoạ ki và fd ( ) = fd ( ) + fd () b b c. Tíh chất Nếu f ( ) và g ( ) khả tích trê [, b ] thì Af () + Bg () cũg khả tích trê [, b ], b b b (với A và B là hi số bất kỳ) và Af ( ) Bg ( ) + d= A fd ( ) + B g ( ) d Tíh chất 4 Nếu trê ñoạ [, b ], trog ñó b, hàm số f ( ) khả tích và khôg âm thì fd ( ) b c b

65 6. Hệ quả Nếu các hàm số f ( )& g ( ) cùg khả tích trê [, b], b và trê ñó f ( ) g ( ) b fd ( ) g ( ) d. b Hệ quả Nếu f ( ) khả tích trê [, b], b và trê ñó m f () M thì b mb ( ) fd () Mb ( ) Tíh chất 5 Nếu f ( ) khả tích trê [, b], b thì f () cũg khả tích trê ñoạ à b và: fd ( ) f ( ) d b Chú ý 6 Với b, bất kỳ, t có: fd ( ) f ( ) d b Tíh chất 6 (Địh lý về giá trị trug bìh) Nếu trê [, b], hàm số f ( ) khả tích và m f ( ) M thì có một số µ,m µ M b so cho: fd ( ) = µ ( b ) Hệ quả Nếu f ( ) liê tục trê [, b ], thì tồ tại ít hất một ñiểm c (, b) so cho b fd ( ) = fc ()( b )..4 Mối liê hệ giữ tích phâ và guê hàm. Côg thức Niutơ Libit T ñã lưu ý rằg, ñịh ghĩ củ tích phâ ác ñịh và guê hàm có vẻ hư khôg có gì liê qu với hu. Nhưg ñịh lý Niutơ Libit dưới ñâ lại cho t mối qu hệ chặt chẽ giữ tích phâ ác ñịh và guê hàm: Địh lý Giả sử f ( ) là một hàm số liê tục và có một guê hàm F ( ) trê [, b ]. Khi ñó: b fd ( ) = Fb () F ().5 Các phươg pháp tíh tích phâ ác ñịh Địh lý 4: Nếu ϕ:[ αβ, ] J( t ϕ()) t là một hàm số có ñạo hàm liê tục trê ñoạ[ αβvà, ] f: J R( f ( )) là một hàm số liê tục trê khoảg J trog R, khi ñó: ϕ() b ϕ( ) β fd ( ) = f ϕ() t ϕ () tdt α b

66 Ví dụ Tíh tích phâ: I π 4 = π 9 cos d. 64 = u, d= udu u cosu Đặt: u= π π I = du cos = cos u, u u π π π π π cosudu si u.si si. π π = = = = = Ví dụ 4 Tíh tích phâ: I = π si + cos d id= dt; si= sit Đặt: = π t i+ cos = + cos t ikhi= t= π& khi= π t=. π π ( π t)sit sit tsit I = dt= π dt dt + cos t + cos t + cos t π π π π sit si sit I = π dt d= π dt I t t + cos + cos + cos π π π sit π π π I = dt d(rct(cos t)) rct(cos) t = = + cos t π ( rct(cos π) rct(cos ) ) ( rct( ) rct() ) π = = π π π π = = Phươg pháp tích phâ từg phầ Nếu u ( ) và v ( ) là các hàm số có ñạo hàm liê tục trê ñoạ [, b ] thì: b b uv ( ) ( ) d= uv ( )( ) u ( v )( ) d h udv= uv vdu b b b b π

67 Ví dụ 5 = I e d. u u = du= d Đặt : = dv= e d dv de = ( ) v= e u u = = du = d I = e e d. Đặt: dv = e d dv = d ( e ) v = e u = = e e e d. Đặt tiếp: u = ( ) de dv = e d dv = du d = I e e = + e e d( ) v e 4 4 = 65 = e e + e e d( ) = e e + e e = e e 4 4 e e + ( e ) = e e + = TÍCH PHÂN SUY RỘNG. Tích phâ su rộg loại, loại.. Đặt vấ ñề Địh ghĩ tích phâ ác ñịh chỉ ñịh ghĩ giới hạ trog phạm vi ñoạ [, b ] là hữu + hạ và hàm số f ( ) bị chặ trê ñoạ ñó. Nhưg trog thực tế t gặp rất hiều bài toá mà các ñiều kiệ trê khôg ñược thỏ mã. Do ñó cầ mở rộg ñịh ghĩ tích phâ ác ñịh r goài phạm vi trê... Tích phâ su rộg cho các cậ vô hạ (Tích phâ su rộg loại ) Địh ghĩ 5 ) Giả sử f ( ) ác ñịh trê [, +) và khả tích trê ñoạ[, ] bất kỳ. Nếu fd ( ) có giới hạ (hữu hạ) khi +thì t gọi giới hạ ñó là tích phâ su rộg (loại) + () và ký hiệu: fd ( ) = fd ( ) + i Khi ñó t cũg ói tích phâ trê hội tụ và f ( ) khả tích trê [, + ). Trog trườg hợp giới hạ trê khôg tồ tại hoặc bằg thì t ói tích phâ

68 66 + fd ( ) - phâ kỳ. ) Tươg tự, tích phâ trê (, b], fd ( ) = fd ( ) m m + + b b () () ) fd ( ) = fd ( ) + fd ( ) = fd ( ) + fd ( ) m + m Chú ý 7 Giả sử hàm số f ( ) liê tục trê [, + ). Xuất phát từ ñẳg thức : fd ( ) = F ( ) = F ( ) F (). Rõ ràg tích phâ () hội tụ khi và chỉ khi tồ tại F ( ) mà t ký hiệu là: F(+) = F ( ) i Tích phâ () có thể viết : fd ( ) = F( + ) F () = F ( ) i Tích phâ () có thể viết: fd ( ) = F () F( = ) ( ) + + F i Tích phâ () có thể viết: fd ( ) = F( + ) F( ) = F ( ) Ví dụ 6 Tíh các tích phâ su rộg su: + d π π. = rctg = rctg( + ) rctg() = = + + d π. rctg π rctg() rctg( ) = = = = m m d d d π π. = + = + = π d Ví dụ 7 Xét tíh hội tụ củ tích phâ: I= ( >, λ R ). + λ d d λ I= d = λ = λ = λ λ λ λ λ λ λ = = =. + λ λ + λ λ λ λ + Xét hi trườg hợp: + λ +

69 Nếu λ> λ > λ< I= λ λ λ λ = λ λ = 67 λ + λ λ (hữu hạ) λ + + λ d I= - Hội tụ. Nếu λ< λ < λ> I= λ λ λ λ λ + + d = = = I= λ λ λ - Phâ kỳ. λ Nếu + + λ d λ= thì I= = = l = ( l l) d d = ( +) l=+ I= - Phâ kỳ... Sự hội tụ củ tích phâ với hàm số dươg ) Đặt vấ ñề λ Nếu f ( ) thìφ ( ) = fd ( ) (4) là hàm ñơ ñiệu tăg củ. Vấ ñề hội tụ củ tích phâ fd ( ) qu về sự tồ tại giới hạ củ hàm số tăg Φ( ) khi b) Điều kiệ hội tụ Cho hàm số f ( ). Điều kiệ cầ và ñủ ñể tích phâ + Φ ( ) = fd ( ) = fd ( ) + hội tụ là ( ) + fd ( ) L (ếu khôg tích phâ phâ kỳ r vô hạ). Φ bị chặ trê với mọi c) Các dấu hiệu so sáh Dấu hiệu so sáh Địh lý 5 Giả sử f ( ) g ( )( [, +)). Khi ñó: + + ) Nếu tích phâ gd ( ) - hội tụ tích phâ fd ( ) cũg hội tụ. + + b) Nếu tích phâ fd ( ) - phâ kỳ tích phâ gd ( ) cũg phâ kỳ. Ví dụ 8 Xét tíh hội tụ củ tích phâ: + d ( + e ) +.

70 68 [, + ) thì <. Do tích phâ ( + e ) + d cũg hội tụ. ( + e ) Ví dụ 9 Xét tíh hội tụ củ tích phâ Ví dụ Xét tíh hội tụ củ tích phâ T thấ: d hội tụ, ê tích phâ d, (Đáp số: Hội tụ) ( + )( + ) ( ) d + [; + ) thì > =. Vì tích phâ ê tích phâ cũg Dấu hiệu so sáh Địh lý ( ) d - phâ kỳ. Giả sử f ( ) >, g ( ) >, [, + ) và + f ( ) = k. Khi ñó: ( ) +g d - phâ kỳ + + ) Nếu k= và tích phâ gd ( ) hội tụ tích phâ fd ( ) cũg hội tụ. + + b) Nếu < k<+ hi tích phâ: fd ( ) và gd ( ) cùg HT hoặc cùg PK. + + c) Nếu k=+ và gd ( ) phâ kỳ thì tích phâ fd ( ) cũg phâ kỳ. Ví dụ + d Xét tíh hội tụ củ tích phâ: Xét: : = = = >. + =

71 Vì < <+ cả hi tích phâ + 69 d và d hoặc cùg phâ kỳ. Nhưg tích phâ - phâ kỳ tích + + d phâ cũg phâ kỳ d cùg hội d Ví dụ Xét tíh hội tụ củ tích phâ:. ( + )( + ) [; + ) thì > và > và : ( + )( + ) + ( + )( + ) = : = = = = = mà < <+ cả hi tích phâ: d, + d cùg hội tụ hoặc cùg phâ kỳ hưg tích phâ ( + )( + ) hội tụ (vì α= > ) tích phâ Chú ý d cũg hội tụ. ( + )( + ) + Để ghiê cứu tíh hội tụ củ tích phâ fd ( ) t có thể so sáh ó với một tích phâ mà t biết rõ tíh hội tụ (hoặc phâ kỳ) củ ó, chẳg hạ i Khi λ> thì tích phâ i Khi λ thì tích phâ Địh lý 7 + d - Hội tụ. λ + d - Phâ kỳ. λ + + d. Lúc ñó t có: λ d

72 + Nếu tích phâ f () d hội tụ thì tích phâ fd ( ) hội tụ. (Trog trườg hợp + 7 à t ói tích phâ fd ( ) hội tụ tuệt ñối ) Ví dụ Xét sự hội tụ củ tích phâ I = + + si d Ở ñâ hàm dưới dấu tích phâ có dấu th ñổi. T có : + d - hội tụ tích phâ si si. si Vì tích phâ I= d - hội tụ tuệt ñối.. Tích phâ củ hàm dưới dấu tích phâ giá ñoạ (tích phâ su rộg loại ) Cho hàm số ác ñịh và liê tục với mọi [, b) hàm à khôg ác ñịh tại= b, b (tức là hàm bị giá ñoạ tại b ). T khôg thể phát biểu ñịh ghĩ tích phâ fd ( ) hư là giới hạ củ tổg tích phâ, vì f ( ) khôg liê tục trê ñoạ [, b, ] giới hạ ñó có b thể khôg tồ tại. T ñư vào ñịh ghĩ tích phâ su rộg fd ( ) củ hàm f ( ) giá ñoạ tại ñiểm b hư su : Địh ghĩ 6 ) Nếu hàm số f ( ) khôg liê tục trái tại = b thì fd ( ) = fd ( ) + b b Tích phâ à ñược gọi là hội tụ khi giới hạ ở vế phải tồ tại. Nếu giới hạ ñó khôg b tồ tại hoặc bằg thì tích phâ fd ( ) gọi là phâ kỳ. b) Nếu hàm số f( ) khôg liê tục phải tại= thì fd ( ) = fd ( ) c) Nếu f ( ) bị giá ñoạ tại ñiểm = c mà< c< b thì : b b fd ( ) = fd ( ) + fd ( ) ( ) + c m c m b b + m m. b i Tích phâ su rộg fd ( ) (trog ñó fc () =, với < c< b ) ñược gọi là hội

73 7 tụ ếu tồ tại hi giới hạ ở vế phải củ ñẳg thức ( ). Nếu khôg tồ tại dù chỉ một b trog các giới hạ ñó thì tích phâ su rộg fd ( ) gọi là phâ kỳ. Ví dụ 4 Tíh tích phâ d Hàm dưới dấu tích phâ bị giá ñoạ tại =, t tách tích phâ làm hi: m d d d = + = + + m m = = + ( ) ( ) =+ m m + tích phâ d - phâ kỳ. Chú ý 9 Để ác ñịh sự hội tụ hoặc phâ kỳ củ tích phâ hàm giá ñoạ, t có các ñịh lý và hệ quả tươg tự hư tích phâ với các cậ vô hạ. Địh lý 8 Với mọi [, b), f ( ) g ( ) ếu f ( ) và g ( ) giá ñoạ tại ñiểm b và tích phâ b g ( ) d hội tụ thì tích phâ fd ( ) cũg hội tụ. b Địh lý 9 Với mọi [, b), f ( ) g ( ) ếu f ( ) và g ( ) giá ñoạ tại ñiểm b và tích b b phâ fd ( ) phâ kỳ thì tích phâ g ( ) d cũg phâ kỳ. Địh lý Nếu hàm số f ( ) có dấu th ñổi trog ñoạ[, b ] và giá ñoạ tại ñiểm c [, b], ếu b b tích phâ f ( ) d hội tụ thì tích phâ fd ( ) cũg hội tụ. m

74 7 BÀI TẬP CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN B ÀI ĐỀ RA ĐÁP SỐ Tíh các tích phâ su bằg phươg pháp ñổi biế số d rcsi + C ( h rctg + C) d l( e + ) + C e + d + si d cos (rcsi ) e d e + d + l + + cos 5 cos 5 4 rcsi 4 + C e + ( e ) + C d + d (Đặt t = t ) + C (rcsi ) + C + sit - + l + C sit sit.9. d d (Đặt t ( + ) = t ) ( ) + C rctg C Dùg phươg pháp tích phâ từg phầ tíh các tích phâ su.. ( + 5). e d e ( )cosd ( + 5) + C si+ cos+ C 4 4

75 ..4 7 l d l l+ + C.5 cosd ( ) rctgd ( ) rctg ( + ) l( + ) + C. (si+ cosl) + (l).6 si(l ) d (si(l ) cos(l )) + C Tíh tích phâ các hàm số hữu tỷ d ( )( + )( + ) ( )( + ) l 4 ( + ) 5+ 9 d + l d ( )( + ) + C -l + C 5 + l + C 4( ) 8( ) d l 7l 5l C. d + d. * 4 + ( + ) l + rctg + C l + rctg + C (biết: rct+ rct= rct ) = Lập các côg thức qu ạp ñể tíh tích phâ. I e d. Tíh I..4 I = e + I 9 I = e ( ) + C. d I cos si π si Đs: I = + l tg + + C& I = + tg+ C 4 4 cos cos tg d =. TíhI, I.. ( ) 4 I = cos + cos >

76 = I tg d tg I = tg d( > ) I = cos d. TíhI, I; I cos si cos d 4 5 = + Đs:i I = cos si + ( + sicos ) + C i I = sicos + si si + C I = u du. u+ b u I = u. u+ b b du ( + ) u+ b Tíh tích phâ các hàm số vô tỉ d ( + ) rctg + C.9 d l + rctg + C + +. d. + l C + +. * d t + t+ t+ t l + rctg + + C ( t ) t. d ( ) +. + C. + d + + l C Tíh các tích phâ củ các hàm số lượg giác.4 d 4 si cos tg + tg cotg+ C.5 sisisid cos6 cos4 cos+ C 4 6 8

77 tg d l + 5cos 4 tg si d + si si ( cos ) cos d l(+ si ) + C + C d + C ( cos ) si6 cos6 si6 C e cosd e (si+ cos ) si + C.4 e si( e ) d sie e cose + C Tíh các tích phâ ác ñịh su t+ t dt t + t 9 l5 + 4 d ( ) d ( ) π e e d 4 π e + π e d e d e sid l d 4 rctg d π 6 4 e + 8 ( ) eπ + 6 e 4 π

78 76.5 si(l ) d Tíh các tích phâ su rộg su si(l ) cos(l ) + + d.5 ( > ) + Phâ kỳ l π + + d l d + cos e d d ( > ) l π π d + si d l 5 d 5 5 Hội tụ π - Hội tụ Hội tụ π Hội tụ 5 - Hội tụ + l π Hội tụ Hội tụ ld - - Hội tụ Dùg các dấu hiệu hội tụ ñể ét sự hội tụ củ các tích phâ su rộg su d Phâ kỳ d π si d Hội tụ Hội tụ

79 d Hội tụ (4 + ) π + d Hội tụ. + d Hội tụ d 4 + d l Hội tụ Phâ kỳ d Hội tụ Hết

80 78 CHƯƠNG 4 ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU i T gọi miề phẳg h tập hợp phẳg là một bộ phậ củ mặt phẳg. i Khoảg cách giữ hi ñiểm M(, ) và M(, ) củ mặt phẳg là số thực d( M, M) = ( ) + ( ). i Tập hợp S( M, δ) = { M dm (, M) δ } R gọi là mặt trò trê mặt phẳg. i T gọi δ - lâ cậ củ ñiểm M là phầ trog củ mặt trò tâm M bá kíh δ (Hìh ). E i Điểm M ñược gọi là ñiểm trog củ miề E, ếu tồ tại một δ lâ cậ ào ñó củ ñiểm M ằm hoà toà trog E (Hìh ) i Miề E ñược gọi là mở (hở) ếu mọi ñiểm củ ó ñều là ñiểm trog. i Miề phẳg E gọi là bị chặ ếu tồ tại một mặt trò chứ ó. i Điểm N ñược gọi là ñiểm biê củ miề E ếu mọi lâ cậ củ ó vừ chứ hữg ñiểm thuộc E vừ chứ hữg ñiểm khôg thuộc E. Điểm biê củ một miề có thể thuộc hoặc khôg thuộc miề ấ. Tập hợp tất cả hữg ñiểm biê củ miề E ñược gọi là biê củ E. Biê củ E thườg ñược ký hiệu E (Hìh ). i Một ñườg cog gọi là kí ếu ñiểm ñầu và ñiểm cuối củ ó trùg hu. i Miề E ñược gọi là miề ñóg (kí) ếu ó chứ mọi ñiểm biê (ghĩ là biê củ E là một bộ phậ củ miề ñó) (Hìh ). i Miề ñóg E ñược gọi là miề ñơ liê ếu biê củ E là một ñườg cog kí ñơ (ñườg cog kí ñơ là ñườg cog khôg tự cắt). Ví dụ - Trê hìh, phầ mặt trò khôg kể biê là một tập hợp mở. - Cò tập hợp S ( M, δ) = { (, ) o M dm o M δ} HÀM HAI BIẾN. Địh ghĩ hàm hi biế Địh ghĩ i Xét tập tích ñề các R là một tập hợp ñóg. R và tập hơp G R. T gọi áh ạ f : G R là một hàm hi biế ác ñịh trê G, G ñược gọi là miề ác ñịh củ hàm f. Vậ một hàm hi biế f ác ñịh trê G là một phép tươg ứg cho ứg với mỗi cặp số thực có thứ tự (, ) G một số thực ác ñịh mà t ký hiệu f (, ). T viết :