ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN

Bản ghi

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Ư PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Diệp Vă A Lạc MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP Ố NHÂN TRONG DẠY TOÁN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC Ĩ GIÁO DỤC HỌC Thàh phố Hồ Chí Mih - 202

2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Ư PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Diệp Vă A Lạc MỘT NGHIÊN CỨU VỀ CẤP Ố NHÂN TRONG DẠY TOÁN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyê gàh: Lý luậ và Phươg pháp dạy học mô Toá Mã số: LUẬN VĂN THẠC Ĩ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: T. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thàh phố Hồ Chí Mih - 202

3 LỜI CẢM ƠN Đầu tiê, tôi xi bày tỏ lòg biết ơ sâu sắc đế T. Vũ Như Thư Hươg, gười đã tậ tìh hướg dẫ, độg viê và giúp đỡ tôi hoà thàh luậ vă ày. Tôi xi trâ trọg cảm ơ PG. T. Lê Thị Hoài Châu, PG. T. Lê Vă Tiế, T. Trầ Lươg Côg Khah, T. Lê Thái Bảo Thiê Trug đã hiệt tìh giảg dạy, truyề thụ cho tôi hữg kiế thức về Didactic Toá. Tôi xi châ thàh cảm ơ: - Ba lãh đạo và chuyê viê Phòg ĐH, Khoa Toá Ti trườg ĐHP TP. HCM đã tạo điều kiệ thuậ lợi cho chúg tôi trog suốt khóa học. - Ba Giám Hiệu và các thầy cô trog tổ Toá trườg THPT Thủ Thiêm đã tạo mọi điều kiệ thuậ lợi cho tôi trog thời gia học tập tại trườg ĐHP TP.HCM. Xi gửi lời cảm ơ châ thàh đế các bạ trog lớp Didactic Toá khóa 2, hữg gười đã cùg tôi học tập, chia sẻ vui buồ và hữg khó khă trog khóa học. Cuối cùg, tôi xi bày tỏ lòg biết ơ sâu sắc đế hữg gười thâ yêu trog gia đìh tôi, luô khuyê, độg viê và giúp đỡ tôi về mọi mặt. DIỆP VĂN AN LẠC

4 MỤC LỤC Trag Trag phụ bìa Lời cảm ơ Mục lục Dah mục các bảg MỞ ĐẦU... I. Lí do chọ đề tài và câu hỏi xuất phát... II. Mục đích ghiê cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu... III. Phươg pháp ghiê cứu... 3 IV. Cấu trúc của luậ vă... 4 CHƯƠNG : CẤP Ố NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC Khái iệm cấp số hâ Kết luậ... 2 CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP Ố NHÂN Cấp số hâ trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Khái iệm cấp số hâ trog M Các tổ chức toá học Kết luậ Cấp số hâ trog sách toá lớp hiệ hàh (từ ăm 2007)... 32

5 2.2.. Cấp số hâ trog bộ sách Nâg Cao Khái iệm cấp số hâ trog M Các tổ chức toá học Kết luậ Cấp số hâ trog bộ sách Cơ Bả Khái iệm cấp số hâ trog M Các tổ chức toá học Kết luậ Kết luậ o sáh cách trìh bày cấp số hâ trog chươg trìh toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 và trog chươg trìh toá lớp hiệ hàh CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Đối tượg và hìh thức thực ghiệm Phâ tích tiê ghiệm (a priori) bài toá thực ghiệm Xây dựg bài toá thực ghiệm Phâ tích chi tiết bài toá thực ghiệm Phâ tích hậu ghiệm (a posteriori) bài toá thực ghiệm Kết luậ KẾT LUẬN... 9 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC

6 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảg 2.: Thốg kê các kiểu hiệm vụ gắ liề với đối tượg cấp số hâ trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Bảg 2.2: Thốg kê các kiểu hiệm vụ gắ liề với đối tượg cấp số hâ trog bộ sách Nâg Cao Bảg 2.3: Thốg kê các kiểu hiệm vụ gắ liề với đối tượg cấp số hâ trog bộ sách Cơ Bả Bảg 3.: Thốg kê bài làm bài tập của các học sih Bảg 3.2: Thốg kê bài làm bài tập 2 của các học sih

7 MỞ ĐẦU I. Lí do chọ đề tài và câu hỏi xuất phát Hàm số là một đối tượg chiếm vị trí qua trọg trog chươg trìh toá ở trug học cơ sở và trug học phổ thôg. Ở bậc trug học phổ thôg, chươg trìh toá lớp hiệ hàh giới thiệu cho học sih một loại hàm số mới, đó là dãy số. Thực tế giảg dạy cho thấy gắ liề với đối tượg dãy số, học sih luô được giới thiệu về đối tượg cấp số hâ. Vậy khái iệm cấp số hâ được địh ghĩa hư thế ào? Nó được giới thiệu cho học sih ra sao? Nhữg thắc mắc trê đã thúc đẩy chúg tôi chọ chủ đề: Một ghiê cứu về cấp số hâ trog dạy Toá ở trug học phổ thôg với hữg câu hỏi xuất phát hư sau: - Cấp số hâ được đưa vào chươg trìh toá trug học phổ thôg hiệ hàh hư thế ào? Có sự tiế triể gì so với cách trìh bày cấp số hâ trog chươg trìh toá trug học phổ thôg chỉh lí hợp hất ăm 2000? - Cách trìh bày của sách toá lớp hiệ hàh có ảh hưởg gì đế học sih khi học khái iệm cấp số hâ? - Các vấ đề liê qua đế khái iệm cấp số hâ ở chươg trìh toá trug học phổ thôg được trìh bày hư thế ào ở bậc đại học? II. Mục đích ghiê cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu Chúg tôi đặt ghiê cứu của mìh trog phạm vi didactic Toá. Cụ thể, chúg tôi sẽ vậ dụg Hợp đồg didactic và Lý thuyết hâ chủg học với các khái iệm hư: mối qua hệ cá hâ với đối tượg tri thức O, mối qua hệ thể chế với đối tượg tri thức O, tổ chức toá học.

8 2 Hợp đồg didactic Hợp đồg didactic là một sự mô hìh hóa các quyề lợi và ghĩa vụ gầm ẩ của giáo viê và học sih đối với các đối tượg tri thức toá học đem giảg dạy. ự mô hìh hóa ày do hà ghiê cứu lập ra. Ta ói hợp đồg didactic là tập hợp hữg quy tắc phâ chia và hạ chế trách hiệm của mỗi bê, học sih và giáo viê, đối với một tri thức toá được giảg dạy. Hợp đồg didactic là một côg cụ ghiê cứu thực tế dạy học và sai lầm của học sih. Mối qua hệ cá hâ với đối tượg tri thức O Kí hiệu R(X,O) Mối qua hệ cá hâ với đối tượg tri thức O là tập hợp các tác độg qua lại mà X có thể duy trì đối với O: ghĩ về O, thao tác O, có biểu tượg về O, Mối qua hệ cá hâ của một cá hâ X với đối tượg O chỉ rõ cách thức mà X biết O. Mối qua hệ thể chế với đối tượg tri thức O Kí hiệu R(I,O) Mối qua hệ thể chế với đối tượg tri thức O là tập hợp các tác độg qua lại mà I có thể duy trì đối với O: ói về O, mơ về O, thao tác O, mô tả O, sử dụg O, Mối qua hệ thể chế với đối tượg O là một ràg buộc (thể chế) đối với mối qua hệ của một cá hâ với cùg đối tượg O ày, khi cá hâ là chủ thể của thể chế I. Mối qua hệ thể chế đó (với đối tượg O) phụ thuộc vào vị trí p mà cá hâ chiếm trog thể chế I. Tổ chức praxeólogie Thuyết hâ học của Didactic xem mỗi hoạt độg của co gười hư là việc thực hiệ một hiệm vụ t thuộc kiểu T ào đó, hờ vào một kĩ thuật, được giải thích bởi một côg ghệ θ. Đồg thời, côg ghệ ày cho phép xác địh kĩ thuật,

9 3 thậm chí tạo ra ó, và đế lượt mìh, côg ghệ lại giải thích được hờ vào lí thuyết. Tổ chức praxeólogie là bộ gồm bố thàh phầ [T,,θ, ], trog đó khối [T, ] là khối kĩ thuật, khối [θ, ] là khối lí thuyết. Tổ chức praxeólogie được hìh thàh từ kiểu hiệm vụ T. Khi T là kiểu hiệm vụ của toá học thì praxeólogie gắ liề với ó là praxeólogie toá học (hay tổ chức toá học) Các praxeólogie là côg cụ ghiê cứu R(I, O), ghiê cứu thực tế dạy học. Trog khuô khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọ, chúg tôi xi trìh bày lại dưới đây các câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúg chíh là mục đích ghiê cứu của luậ vă ày: - Q0: Ở cấp độ đại học, khái iệm cấp số hâ được trìh bày hư thế ào? - Q: Trog thể chế dạy học toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000, mối qua hệ thể chế với đối tượg cấp số hâ được xây dựg và tiế triể hư thế ào? Nhữg tổ chức toá học ào được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ? - Q2: Trog thể chế dạy học toá lớp hiệ hàh, mối qua hệ thể chế với đối tượg cấp số hâ được xây dựg và tiế triể hư thế ào? Nhữg tổ chức toá học ào được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ? Cách trìh bày cấp số hâ trog chươg trìh toá lớp hiệ hàh có sự tiế triể gì so với cách trìh bày cấp số hâ trog chươg trìh toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000? - Q3: Nhữg ràg buộc của thể chế dạy học toá lớp hiệ hàh có ảh hưởg gì đế mối qua hệ cá hâ học sih với đối tượg cấp số hâ? III. Phươg pháp ghiê cứu Đầu tiê, chúg tôi sẽ phâ tích giáo trìh toá ở đại học để tìm hiểu cách trìh bày một số vấ đề liê qua đế khái iệm cấp số hâ ở cấp độ đại học. Kết quả thu được sẽ giúp chúg tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q0.

10 4 Dựa vào phâ tích trê, chúg tôi sẽ phâ tích sách giáo khoa, sách bài tập Đại số và Giải tích, tài liệu hướg dẫ giảg dạy toá chỉh lí hợp hất ăm 2000 để làm rõ mối qua hệ thể chế dạy học toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 với đối tượg cấp số hâ. Từ kết quả phâ tích được, chúg tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q. au đó, chúg tôi sẽ phâ tích sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viê Đại số và Giải tích hiệ hàh để làm rõ mối qua hệ thể chế dạy học toá lớp hiệ hàh với đối tượg cấp số hâ. Qua đó chúg tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q2. Tổg hợp các kết quả thu được, chúg tôi đưa ra giả thuyết ghiê cứu và tiế hàh thực ghiệm để kiểm chứg tíh đúg đắ của giả thuyết đó. Việc kiểm chứg được tíh đúg đắ của giả thuyết ghiê cứu sẽ giúp chúg tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3. IV. Cấu trúc của luậ vă Luậ vă gồm ăm phầ: phầ mở đầu, chươg, chươg 2, chươg 3 và phầ kết luậ. - Trog phầ mở đầu, chúg tôi trìh bày lí do chọ đề tài, câu hỏi xuất phát, phạm vi lí thuyết tham chiếu, mục đích ghiê cứu, phươg pháp ghiê cứu và cấu trúc của luậ vă. - Trog chươg, chúg tôi trìh bày một ghiê cứu về cấp số hâ ở cấp độ đại học. - Trog chươg 2, chúg tôi tiế hàh ghiê cứu về mối qua hệ thể chế với đối tượg cấp số hâ. Dựa vào kết quả thu được, chúg tôi sẽ đưa ra giả thuyết ghiê cứu. - Trog chươg 3, chúg tôi trìh bày ghiê cứu thực ghiệm trê học sih lớp để kiểm chứg tíh đúg đắ của giả thuyết ghiê cứu mà chúg tôi đã đưa ra.

11 5 - Trog phầ kết luậ, chúg tôi tóm tắt các kết quả đạt được và êu hướg ghiê cứu mới có thể mở ra từ luậ vă ày.

12 6 CHƯƠNG : CẤP Ố NHÂN Ở CẤP ĐỘ ĐẠI HỌC Mục đích của chươg là thực hiệ một ghiê cứu về đối tượg cấp số hâ ở cấp độ đại học. Chúg tôi chọ hai giáo trìh sau để làm tài liệu ghiê cứu: - Giáo trìh Giải tích (Jea Marie Moier, 2009, gười dịch: Lý Hoàg Tú). - Giáo trìh Giải tích 3 (Jea Marie Moier, 2002, gười dịch: Nguyễ Vă Thườg). Đây là hữg giáo trìh ằm trog bộ giáo trìh Toá gồm bảy tập của tác giả. Trog hai giáo trìh êu trê thì địh ghĩa cấp số hâ được trìh bày ở giáo trìh Giải tích. ở dĩ chúg tôi chọ các tài liệu ày vì đây là hữg giáo trìh có ý ghĩa trog việc tra cứu, hư lời của Giáo sư H.Durad đã dàh cho tài liệu: [ ] Tôi đã ói về vai trò cơ bả mà một cuố giáo trìh, được sử dụg trog một thời gia dài hư một côg cụ tra cứu, có thể có trog việc hìh thàh một trí tuệ khoa học trẻ trug. Như vậy cấu trúc, cách biê soạ và trìh bày một cuố giáo trìh là hữg yếu tố cơ bả: ở đây chúg ta chỉ được phép tạo ra một cái gì hoà hảo. Đó chíh là côg việc mà J-M. Moier đã hoà thàh, với một trìh độ hiểu biết, một cách lựa chọ và sự kiê trì tuyệt vời, từ bả thảo đầu tiê tới hữg côg việc sửa chữa cuối cùg, tới từg chi tiết, trước khi hoà chỉh. Các tập sách ày đáp ứg đúg một hu cầu thực sự hiệ có, và tôi ti chắc rằg chúg sẽ được đó chào ồg hiệt từ đối tượg của chúg là các sih viê và chắc chắ là cả hữg gười khác ữa hữg gười sau ày sẽ ói rằg: Tôi đã học được ề tảg Toá học trog các cuố Moier! (trích Lời tựa trog giáo trìh Giải tích ) Do việc tìm kiếm giáo trìh đại học có trìh bày cấp số hâ gặp hiều khó khă ê chúg tôi khôg có thêm tài liệu khác để phục vụ cho quá trìh ghiê cứu. Điều ày có thể sẽ làm cho ghiê cứu trog chươg có hạ chế hất địh. Để thuậ tiệ cho việc trìh bày, chúg tôi kí hiệu giáo trìh Giải tích là M 0, giáo trìh Giải tích 3 là M 03.

13 7.. Khái iệm cấp số hâ Khái iệm cấp số hâ được đưa vào M 0 ở chươg 3: Dãy số. Cụ thể, khái iệm cấp số hâ bắt đầu xuất hiệ ở mục 3..4 Các ví dụ sơ cấp về dãy. Ghi hậ ày cho thấy việc xuất hiệ của cấp số hâ ở M 0 hư là một ví dụ đặc biệt về dãy số. Địh ghĩa dãy số được trìh bày ở M 0 hư sau: Một dãy (số) là một áh xạ từ N vào K (K = R hoặc C); thay cho ký hiệu u: N K, ta thườg ký hiệu ( u) N hay ( u) 0 hay ( u ). u ( ) Một dãy thực (tươg ứg: phức) là một dãy (số) sao cho: N, u R (tươg ứg: C). Với mỗi N, u được gọi là số hạg thứ của dãy. Mỗi áh xạ từ { N; } 0 vào K, với 0 K cố địh cũg gọi là một dãy (số); phầ lớ các khái iệm được khảo sát chỉ đề cập đế các u <<từ một thứ tự ào đó trở đi>> (M 0, tr. 49) Như vậy, dãy (số) là một áh xạ với tập guồ là tập các số tự hiê N hoặc tập { N; } với 0 cố địh và tập đích K là tập các số thực ( K = R) hoặc tập 0 các số phức ( K = C). Khi các số hạg của dãy đều là số thực thì ta có dãy thực, khi các số hạg của dãy đều là số phức thì ta có dãy phức. Để thay cho việc sử dụg kí hiệu u: N K, M 0 đã đưa ra các kí hiệu: ( u) N, ( u) 0 và ( u ) u ( ). Chúg tôi hậ thấy hữg kí hiệu ày có thể làm mờ hạt bả chất áh xạ của dãy số. Chỉ số trog mỗi số hạg u cho ta biết thứ tự của số hạg ày trog dãy, chẳg hạ: u 0 là số hạg thứ 0 của dãy, u là số hạg thứ của dãy, Trog trườg hợp: Mỗi áh xạ từ { N; } (M 0, tr. 49) 0 vào K, với 0 K cố địh cũg gọi là một dãy (số) thì thứ tự của số hạg trog dãy được hiểu hư thế ào? Phải chăg ở trườg hợp ày, u 0 vẫ được gọi là số hạg thứ 0? (Chẳg hạ ếu 0 = 5 thì u 5 được gọi là số hạg thứ 5).

14 8 Nhậ xét: Dựa vào địh ghĩa dãy ( u) N, chúg tôi hậ thấy trog địh ghĩa Mỗi áh xạ từ { N; } (số) có chi tiết với 0 với 0 0 vào K, với 0 K cố địh cũg gọi là một dãy K cố địh chưa chíh xác. Theo chúg tôi, lẽ ra sẽ là N cố địh. Có thể đây là sự hầm lẫ trog việc i ấ. au khi đề cập đế các vấ đề liê qua đế sự hội tụ của dãy, M 0 đã đưa ra ăm ví dụ sơ cấp về dãy. Cấp số hâ là một trog các ví dụ đó: 2) Dãy hâ Địh ghĩa Một dãy ( ) u N ếu và chỉ ếu tồ tại r K sao cho: N u = ru., + trog K được gọi là dãy hâ (hoặc cấp số hâ) Phầ tử r (được xác địh duy hất), trừ khi ( N, u = 0) được gọi là côg bội của dãy hâ (u ). Khi đó ta có: N, u = ur 0 (M 0, tr. 60) Như vậy, cấp số hâ là tê gọi khác của dãy hâ ở cấp độ đại học. Cấp số hâ là một dãy đặc biệt, được địh ghĩa ứg với tập guồ N (tức là chỉ số 0) và cho cả hai trườg hợp của tập đích: K = C hay K = R. Côg bội r của cấp số hâ có thể là số thực khôg đổi hoặc số phức khôg đổi. Khôg có ràg buộc ào đối với côg bội r. Nó thườg được xác địh duy hất, chỉ khi cấp số hâ là dãy ( u ) có u = 0, N thì côg bội khôg duy hất. Hệ thức N N u = ru biểu thị mối liê hệ giữa hai số hạg liê tiếp và côg bội r của, + cấp số hâ ( u ). Trog khi đó hệ thức N, u = ur 0 cho ta mối liê hệ N giữa các đại lượg: số hạg u 0, số hạg bất kì u, chỉ số và côg bội r. Một mệh đề liê qua đế cấp số hâ ( ) r N được trìh bày gay sau địh ghĩa cấp số hâ: r N Mệh đề Cho r K ; dãy hâ ( ) hội tụ khi và chỉ khi r < hay r =. Hơ ữa: r < r 0

15 9 r ]; + [ r + (M 0, tr. 60) (ghi chú: theo M 0 thì: r 0 tức là 0 = lim r { x R x} ]; + [ = : < ) + Mệh đề cho ta kết quả về sự hội tụ, giới hạ của cấp số hâ ( ) r N ứg với các trườg hợp của r: r <, r = và r >. Theo đó, khi r < thì cấp số hâ r N ( ) hội tụ đế 0, khi r > thì cấp số hâ ( ) r N tiế tới +. au khi trìh bày ăm ví dụ sơ cấp về dãy, M 0 đã đưa ra 9 bài tập. Có thể vì cấp số hâ chỉ là một ví dụ sơ cấp về dãy ê ó hiếm có cơ hội xuất hiệ trog các bài tập. Có hai bài tập có sự xuất hiệ của cấp số hâ ( r ) : 3..3 Khảo sát (sự hội tụ, giới hạ ếu có) các dãy xác địh bởi: u = b) N u = u + 2 * 2, + (M 0, tr. 63, 64) k a) Chứg mih:,, ( ) b) uy ra, với mọi z C sao cho k = N z C + z = z k 2 z < : lim ( z ) l = 0 + = = (M 0, tr. 64) k 0 z Phầ chỉ dẫ và trả lời cho bài tập 3..3b và 3..5b được trìh bày hư sau: 3..3 l b) u 2 2 u2 = u = u = = u... 2 Trả lời: u 2 (M 0, tr. 266) 3..5

16 0 b) l z z = 0 l z = z (M, tr. 267) 0 Qua phầ chỉ dẫ và trả lời trê, côg thức tíh tổg số hạg đầu của cấp số hâ ( r ) (với r C, r ) đã xuất hiệ một cách gầm ẩ: N k= 0 r k = r r ( ) Tuy hiê, côg thức tíh tổg số hạg đầu của một cấp số hâ tổg quát u N khôg được đề cập đế. Tiếp đó, khi đề cập đế dãy afi truy hồi cấp một với hệ số khôg đổi, M 0 đã cho thấy sự liê hệ giữa cấp số hâ với dãy ày: 3.4. Dãy afi truy hồi cấp một với hệ số khôg đổi Đó là các dãy ( u) N trog K sao cho tồ tại 2 ( ab, ) K thỏa mã: N u = au + b, + Nếu a =, thì đó là dãy cộg (xem 3..4 ). Giải sử a. Cho sau) và dãy ( v) N xác địh bởi: N, v = u + λ Ta có: N v = u + λ = au + b + λ, + + = a( v λ) + b + λ = av + (( a) λ + b) λ K (sẽ chọ Khi chọ λ = b, ta thấy ( ) a v N là một dãy hâ với côg bội a. Vậy: Nv, = av 0 b b Từ đó: N, u = a u0 + a (M 0, tr. 74, 75) a Vậy là xuất phát từ dãy ( u) N trog đó N, u+ = au + b (với a ) ta có thể xây dựg được một cấp số hâ. Cụ thể dãy ( ) v N xác địh bởi b N, v = u + là một cấp số hâ với côg bội a. Hơ ữa, dựa vào cấp a số hâ ( ) v N ày, ta sẽ xác địh được côg thức số hạg tổg quát của dãy

17 ( ) u N đã cho. Như vậy, khi dãy afi truy hồi cấp một với hệ số khôg đổi khôg phải là dãy cộg thì bằg cách thôg qua cấp số hâ ta sẽ dễ dàg tìm được côg thức số hạg tổg quát của dãy ày. au đó, qua tài liệu M 03, chúg tôi hậ thấy cấp số hâ ( ) chuỗi lũy thừa trog K: r N tạo thàh ) Chuỗi lũy thừa trog K Địh ghĩa Với mọi r thuộc K, chuỗi r được gọi là chuỗi lũy thừa. 0 Địh lý Cho r K ếu r < thì:. Chuỗi lũy thừa r hội tụ khi và chỉ khi 0 r <. Hơ ữa + r = (M 03, tr. 28) r = 0 Trog đó khái iệm chuỗi, chuỗi hội tụ được địh ghĩa hư sau: ) Khái iệm chuỗi Địh ghĩa Chuỗi với số hạg trog E là mọi cặp (( u) N, ( ) N) tạo ê bởi một dãy ( ) u N có các số hạg thuộc E và dãy ( ) N địh ghĩa là: N, = u k = 0 k Một chuỗi số (tươg ứg: thực; tươg ứg: phức) là một chuỗi với các số hạg thuộc K (tươg ứg: R; tươg ứg: C). Phầ tử u gọi là phầ tử thứ (hoặc: số hạg tổg quát) của chuỗi, và gọi là tổg riêg thứ của chuỗi. Chuỗi được ký hiệu là 0 u Đối với một dãy hư trê. ( u) với chỉ số xuất phát là 0, 0 0 N, ta cũg dùg các thuật gữ Địh ghĩa 2 ) Ta ói rằg chuỗi u hội tụ khi và chỉ khi dãy ( ) N 0 các tổg riêg hội tụ

18 2 (trog E), và trog trườg hợp ày thì giới hạ của dãy ( ) N được gọi là tổg của chuỗi u và được ký hiệu là 0 + u. = 0 2) Ta ói rằg chuỗi u phâ kỳ khi và chỉ khi ó khôg hội tụ (M 03, tr. 269, 0 270) (ghi chú: E chỉ một K kgvđc, với kgvđc là viết tắt của khôg gia vectơ địh chuẩ) Như vậy, dãy ( ) u N có các số hạg thuộc E sẽ tạo ê chuỗi với các số hạg trog E. Khi các số hạg của chuỗi đều thuộc tập R thì ta có chuỗi số thực, khi các số hạg của chuỗi đều thuộc tập C thì ta có chuỗi số phức. Chuỗi sẽ hội tụ khi dãy ( ) N các tổg riêg hội tụ. Khái iệm tổg của chuỗi u chỉ xuất hiệ khi 0 chuỗi u hội tụ, và được kí hiệu là 0 + = 0 u. Nó chíh là giới hạ của dãy các tổg riêg. Chuỗi lũy thừa r là một trườg hợp của chuỗi số, do cấp số hâ 0 r N ( ) (với r thuộc K) tạo ê. Chuỗi ày chỉ hội tụ trog trườg hợp r <, và khi đó + r =, đây là giới hạ của dãy ( ) N r với k = r. k= 0 = 0.2. Kết luậ - Dãy (số) là một áh xạ từ N vào K hoặc từ { N; } 0 vào K (với 0 cố địh), trog đó các số hạg có thể là số thực hoặc số phức. Khi các số hạg của dãy đều là số thực thì ta có dãy thực, khi các số hạg của dãy đều là số phức thì ta có dãy phức. Cấp số hâ là một dãy đặc biệt, được địh ghĩa ứg với tập guồ N (tức là chỉ số 0) và cho cả hai trườg hợp của tập đích: K = C hay K = R. Cấp số hâ cò được gọi là dãy hâ. Côg bội của cấp số hâ có thể là số thực khôg đổi hoặc số phức khôg đổi, và khôg bị ràg buộc ào. Côg bội của một cấp số hâ có thể duy hất hoặc khôg duy hất. Đối với cấp số hâ ( ) u N thì: mối

19 3 liê hệ giữa hai số hạg liê tiếp và côg bội r được thể hiệ qua hệ thức N, u+ = ru; mối liê hệ giữa số hạg 0 u, số hạg bất kì u, chỉ số và côg bội r được thể hiệ qua hệ thức N, u = ur 0. Côg thức tíh tổg số hạg đầu của cấp số hâ ( r ) (với r C, r ) được đưa vào một cách gầm ẩ: k= 0 r k hâ tổg quát ( ) N r =. Trog khi đó, côg thức tíh tổg số hạg đầu của cấp số r u N khôg được đề cập đế. - Cấp số hâ có sự liê hệ với dãy afi truy hồi cấp một với hệ số khôg đổi. ự liê hệ ày thể hiệ hư sau: Từ dãy ( u ) có N, u+ = au + b (với a ), ta xây dựg được N cấp số hâ ( v) N với, b N v = u +. Tiếp đó, cấp số hâ ày a cho phép ta xác địh được số hạg tổg quát của dãy ( ) u N ba đầu. r N - Khi r < hay r = thì cấp số hâ ( ) hội tụ. Hơ ữa, trog trườg r N hợp r < thì cấp số hâ ( ) hội tụ đế 0. Khi r > thì cấp số hâ ( ) r N có giới hạ +. Với r K, cấp số hâ ( r ) N tạo ê chuỗi lũy thừa r. 0 Trog trườg hợp r < thì chuỗi ày hội tụ và + r =. r Nhữg kết luậ trê có thể xem là câu trả lời của chúg tôi dàh cho câu hỏi Q0 được đặt ra ở phầ mở đầu. = 0

20 4 CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG CẤP Ố NHÂN Mục đích của chươg là thực hiệ một ghiê cứu về mối qua hệ thể chế với đối tượg cấp số hâ. Thể chế mà chúg tôi qua tâm là thể chế dạy học toá lớp hiệ hàh và thể chế dạy học toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Qua đó, chúg tôi tìm yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi Q, Q2. Để thực hiệ việc ghiê cứu ày, chúg tôi dựa vào các tài liệu sau: - ách giáo khoa Đại số và Giải tích (Trầ Vă Hạo (Chủ biê phầ một), Ngô Thúc Lah (Chủ biê phầ hai), 200). - ách bài tập Đại số và Giải tích (Trầ Vă Hạo (Chủ biê phầ một), Ngô Thúc Lah (Chủ biê phầ hai), 200). - Tài liệu hướg dẫ giảg dạy toá (Vă Như Cươg Trầ Vă Hạo Ngô Thúc Lah, 200). - ách giáo khoa Đại số và Giải tích Nâg Cao (Đoà Quỳh (Tổg chủ biê), 2007). - ách bài tập Đại số và Giải tích Nâg Cao (Nguyễ Huy Đoa (Chủ biê), 2009). - ách giáo viê Đại số và Giải tích Nâg Cao (Đoà Quỳh (Tổg chủ biê), 2006). - ách giáo khoa Đại số và Giải tích Cơ Bả (Trầ Vă Hạo (Tổg chủ biê), 20). - ách bài tập Đại số và Giải tích Cơ Bả (Vũ Tuấ (Chủ biê), 2006). - ách giáo viê Đại số và Giải tích Cơ Bả (Trầ Vă Hạo (Tổg chủ biê), 2006).

21 5 Bê cạh đó, trog quá trìh phâ tích, để một vài ội dug được rõ hơ, chúg tôi đã tham khảo thêm hai tài liệu sau: - ách giáo khoa Toá 7, tập một (Pha Đức Chíh (Tổg Chủ biê), 2003). - ách bài tập Toá 7, tập một (Tô Thâ (Chủ biê), 20). Để thuậ tiệ cho việc trìh bày, chúg tôi dùg các kí hiệu sau: M Đại số và Giải tích E Bài tập Đại số và Giải tích TL Tài liệu hướg dẫ giảg dạy toá M 2 E 2 G 2 M 3 E 3 G 3 M 4 E 4 Đại số và Giải tích Nâg Cao Bài tập Đại số và Giải tích Nâg Cao ách giáo viê Đại số và Giải tích Nâg Cao Đại số và Giải tích Cơ Bả Bài tập Đại số và Giải tích Cơ Bả ách giáo viê Đại số và Giải tích Cơ Bả Toá 7, tập một Bài tập Toá 7, tập một 2.. Cấp số hâ trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 Trog phầ ày, chúg tôi sử dụg các sách M, E, TL để ghiê cứu. Trog đó E được biê soạ đi kèm với M, dùg để đưa ra đáp số hoặc hướg dẫ cách giải cho tất cả các bài tập trog M. Ngoài ra E cò đề ghị thêm một vài bài tập sau mỗi chươg Khái iệm cấp số hâ trog M - Bài Cấp số hâ ằm trog chươg III: Dãy số Cấp số cộg Cấp số hâ. Chươg ày gồm các ội dug sau:

22 6 Bài : Phươg pháp quy ạp toá học. Bài 2: Dãy số. Bài 3: Cấp số cộg. Bài 4: Cấp số hâ. Cùg với đối tượg cấp số cộg, đối tượg cấp số hâ được đưa vào M sau đối tượg dãy số. Vậy khái iệm dãy số được địh ghĩa hư thế ào? Liệu cấp số hâ có mối qua hệ với dãy số hay khôg? Chúg tôi tìm thấy câu trả lời cho một trog hữg thắc mắc trê qua địh ghĩa dãy số: Địh ghĩa. Gọi M là tập hợp m số tự hiê khác khôg đầu tiê M = { ; 2; 3;...; m} Một hàm số u xác địh trê tập hợp M được gọi là một dãy số hữu hạ. Tập giá trị của dãy số hữu hạ ày là { u(), u(2),..., um ( )}. Người ta thườg kí hiệu các giá trị đó là u() = u, u(2) = u2,, um ( ) = um và viết dãy số đã cho dưới dạg sau: u, u2,..., u m u được gọi là số hạg thứ hất (hay số hạg đầu) u 2 được gọi là số hạg thứ hai u m được gọi là số hạg thứ m (hay số hạg cuối) (M, tr. 88) Một hàm số u xác địh trê tập hợp N * các số tự hiê khác khôg được gọi là một dãy số vô hạ (hay gọi tắt là dãy số). Tập giá trị của dãy số u gồm vô số phầ tử u() = u, u(2) u2 =,, u ( ) = u, Người ta thườg viết dãy số u dưới dạg u, u,..., u,... 2 Dạg ày được gọi là dạg khai triể của dãy số u. u được gọi là số hạg thứ hất (hay số hạg đầu) u 2 được gọi là số hạg thứ hai

23 7 u được gọi là số hạg thứ hay số hạg tổg quát của dãy số u Người ta cò kí hiệu một cách gắ gọ dãy số u là (u ) hay ếu khôg thể hầm lẫ thì ta cò kí hiệu dãy số u là u (M, tr. 89) Như vậy, dãy số hữu hạ là một hàm số xác địh trê tập hợp M gồm hữu hạ số tự hiê khác khôg đầu tiê; dãy số vô hạ (hay gọi tắt là dãy số) là một hàm số xác địh trê tập hợp N * các số tự hiê khác khôg. Thay cho cách gọi u(k) là giá trị của hàm số u tại k, M đã kí hiệu uk ( ) = uk và gọi u k là số hạg thứ k của dãy số. Điều ày cho thấy cách chọ tập hợp M hư trog địh ghĩa hằm tạo thuậ lợi cho việc đưa ra cách xác địh thứ tự các số hạg của dãy số thôg qua chỉ số k của mỗi số hạg u k. Ngoài việc được viết dưới dạg khai trể u, u2,..., u,... dãy số u cò được kí hiệu là ( u ) hay u (ếu khôg thể hầm lẫ). Liệu cách kí hiệu dãy số u là u có gây khó khă cho học sih hay khôg? Bởi vì u được gọi là số hạg tổg quát của dãy số. Qua địh ghĩa trê, chúg tôi hậ thấy khái iệm dãy số hữu hạ được đưa vào M, tuy hiê ở cấp độ đại học ó khôg được đề cập trog M 0 và M 03. Dãy số vô hạ được đưa vào M chíh là dãy thực được êu ở M 0, trog đó chỉ số của các số hạg u hậ giá trị hỏ hất là. Một dãy số được cho hư thế ào? Chúg tôi tìm được câu trả lời hư sau: Cách cho dãy số Người ta thườg cho dãy số bằg một trog các cách sau đây: a) Cho số hạg tổg quát u của ó bằg côg thức Ví dụ: Cho dãy số (u ) với u + ( ) = (M 2, tr. 90) b) Cho một mệh đề mô tả các số hạg liê tiếp của ó Ví dụ: Cho dãy số (u ) với u là giá trị gầ đúg thiếu của số π với sai số tuyệt đối 0 (M, tr. 90) c) Cho bằg phươg pháp truy hồi, tức là ) Cho số hạg đầu (hay vài số hạg đầu) 2) Cho hệ thức truy hồi tức là hệ thức biểu thị số hạg thứ qua số hạg (hay vài số hạg) đứg trước ó.

24 8 u = 2 Ví dụ : Cho dãy số u = u + 3 ( 2) (M, tr. 90) Trog các ví dụ và bài tập, M thườg cho dãy số theo cách và cách 3. - au dãy số, các đối tượg cấp số cộg và cấp số hâ đã lầ lượt xuất hiệ. Bài Cấp số hâ được mở đầu bằg địh ghĩa cấp số hâ: Địh ghĩa Cấp số hâ là một dãy số (hữu hạ hay vô hạ), trog đó kể từ số hạg thứ hai, mỗi số hạg đều là tích của số hạg đứg gay trước ó với một số khôg đổi gọi là côg bội (M, tr. 00). Địh ghĩa trê cho thấy cấp số hâ là một dãy số (hữu hạ hay vô hạ) đặc biệt, có sự ràg buộc giữa hai số hạg liê tiếp. Gắ liề với ràg buộc ày, khái iệm côg bội đã xuất hiệ. Côg bội của cấp số hâ là số khôg đổi và khôg bị ràg buộc ào hết. Liê qua đế địh ghĩa cấp số hâ, ở TL có êu: Có GK cũ yêu cầu côg bội q 0, q, u 0 vì ếu q = 0 thì cấp số hâ trở thàh u, 0, 0..., cò ếu q = thì cấp số hâ trở thàh u, u, u,... Đó là hữg trườg hợp tầm thườg. Nếu u = 0 thì cấp số trở thàh 0, 0, Nó khôg có côg bội duy hất. (Điều ày khôg có tươg tự trog cấp số cộg). Như đã trìh bày trog mục trê, đưa thêm các giả thiết đó vào thì sẽ làm phức tạp hơ phầ biệ luậ khi phải xét đế cấp số hâ (vì phải loại các trườg hợp q = 0 và q = ). Để giảm tải, chúg tôi đã khôg đặt các giả thiết đó vào địh ghĩa của cấp số hâ. (TL, tr. 49, 50) Vậy là M khôg êu các giả thiết q 0, q, u 0 trog địh ghĩa vì mục đích giảm tải. Ở cấp độ đại học, M 0 và M 03 khôg đề cập đế địh ghĩa cấp số hâ ứg với dãy số hữu hạ. Chúg tôi hậ thấy địh ghĩa cấp số hâ ứg với dãy số vô hạ êu ở M giốg với địh ghĩa cấp số hâ ứg với dãy thực êu ở M 0, chỉ có điều trog M thì chỉ số trog các số hạg u hậ giá trị hỏ hất là, cò trog M 0 thì chỉ số trog các số hạg u hậ giá trị hỏ hất là 0. Việc địh ghĩa cấp số hâ ứg với dãy phức khôg được đề cập ở M.

25 9 Bằg cách kí hiệu côg bội là q, M đã đưa ra côg thức biểu diễ mối liê hệ giữa hai số hạg liê tiếp và côg bội của cấp số hâ: Gọi q là côg bội, theo địh ghĩa ta có u+ = u. q ( =, 2, ) (M, tr.00). Côg thức trê là một hệ thức truy hồi. Như vậy, cấp số hâ có thể xem là dãy số cho bằg phươg pháp truy hồi hư sau: u = a u+ = u. q ( =, 2,...) trog đó a và q là hữg số cho trước: a là số hạg đầu, q là côg bội. Liệu có điều gì đặc biệt đối với cấp số hâ có số hạg đầu u = 0? Nếu u = 0 thì với mọi q, cấp số hâ là dãy số 0, 0,, 0, (M, tr.00). Trog trườg hợp ày, mọi số hạg của cấp số hâ đều bằg khôg và côg bội là một số thực bất kì. Ở cấp độ đại học, M 0 đã đề cập trườg hợp ày. Để phâ biệt cách viết dạg khai triể của cấp số hâ với cách viết dạg khai triể của dãy số, M đưa vào kí hiệu sau: Để chỉ rằg dãy số (u ) là một cấp số hâ đôi khi gười ta dùg kí hiệu.. u, u2,..., u,... (M, tr.00)... o với cách viết dạg khai triể của dãy số thì cách kí hiệu cấp số hâ có thêm kí hiệu.... ở đầu. Ở cấp độ đại học, kí hiệu.... khôg được đề cập trog M 0 và M 03. Tiếp đó, M đề cập đế vấ đề số hạg tổg quát của cấp số hâ: Gọi số hạg đầu là u, và côg bội là q 0. Ta hãy tíh số hạg tổg quát u. Ta có Địh lí. ố hạg tổg quát của một cấp số hâ được cho bởi côg thức: u. = u q ( q 0 ) (M, tr.0).

26 20 Địh lí trê được áp dụg cho hữg cấp số hâ có côg bội q 0. Địh lí cho thấy mối liê hệ giữa các đại lượg: số hạg bất kì u, chỉ số, số hạg đầu u và côg bội q. Bằg phươg pháp quy ạp, M đã chứg mih địh lí ày. Liê qua đế địh lí trê, TL có êu: Dãy số ( u ) là một cấp số hâ với côg bội q 0 ếu và chỉ ếu u = uq Chứg mih. ) Giả sử ( u ) là một cấp số hâ. Phép chứg mih côg thức trê bằg quy ạp theo đã được cho trog GK. 2) Đảo lại, giả sử dãy số ( u ) thỏa mã điều kiệ u = uq. Ta sẽ chứg mih rằg ó là một cấp số hâ. Thật vậy, ta có + = uq u u = uq Từ đó u+ = ( uq ) q = uq. Vậy ( u ) là một cấp số hâ. (TL, tr. 5, 52) Như vậy, M khôg trìh bày phầ đảo. TL giải thích điều ày hư sau: Trog GK, để giảm tải, chúg tôi khôg giới thiệu phầ đảo (TL, tr. 52) Tuy hiê, đối với học sih tươg đối khá, TL có êu: Nếu trìh độ của học sih tươg đối khá thì giáo viê có thể giới thiệu cả phầ đảo cho học sih. (TL, tr. 52) Ở cấp độ đại học, M 0 trìh bày côg thức tíh số hạg tổg quát của cấp số hâ gay trog mục địh ghĩa cấp số hâ: N, u = ur 0. Qua địh ghĩa cấp số hâ, ta đã thấy sự ràg buộc giữa hai số hạg liê tiếp của một cấp số hâ. Liệu có sự ràg buộc ào giữa ba số hạg liê tiếp hay khôg? Tíh chất các số hạg của cấp số hâ Địh lí. Trog một cấp số hâ, mỗi số hạg kể từ số hạg thứ hai (trừ số hạg cuối đối với cấp số hâ hữu hạ), đều có giá trị tuyệt đối là trug bìh hâ của hai số hạg kề bê ó, tức là:

27 2 u = u. u ( k 2) (M, tr.0) k k k+ Địh lí ày cho thấy mối liê hệ giữa ba số hạg liê tiếp của một cấp số hâ. Bằg cách sử dụg địh lí về số hạg tổg quát, M đã chứg mih địh lí. Chúg tôi hậ thấy tíh chất ày khôg được đề cập ở M 0 và M 03. au đó M trìh bày tổg số hạg đầu của một cấp số hâ: Cho một cấp số hâ với côg bội u, u,..., u,... 2 q () Hãy tíh tổg của số hạg đầu của ó ( = u+ u u ) Địh lí. Ta có: q = u. ( q ). (M, tr.02) q Địh lí trê đã được chứg mih trog M. Địh lí giúp ta có thể xác địh tổg số hạg đầu của cấp số hâ theo số hạg đầu và côg bội của ó. Vấ đề tổg số hạg đầu của một cấp số hâ được trìh bày ứg với cấp số hâ có côg bội q q. Khi đó tổg được tíh bởi côg thức = u.. Côg thức ày cho thấy q mối liê hệ giữa các đại lượg: tổg, số các số hạg đầu, số hạg đầu u và côg bội q. Chúg tôi hậ thấy với cấp số hâ có dạg 0 2 q, q, q,..., q,... (với q 0 và q ) thì tổg số hạg đầu của cấp số hâ đó là q =. Tổg ày q đã được đưa vào M 0 một cách gầm ẩ. Ở cấp độ đại học, tổg u+ u u được viết gọ là k= u k. Trog khi đó M khôg đưa vào cách viết gọ ày. Khi cấp số hâ có q = thì ta tíh tổg số hạg đầu của ó hư thế ào? Chúg tôi tìm thấy lời giải thích ở cuối trag 02 M hư sau: Nếu q = thì cấp số hâ là dãy số u, u,, u, Khi đó = u + u u = u

28 22 Tiếp theo, qua chươg IV: Giới hạ, M đề cập việc tíh tổg của cấp số hâ vô hạ có côg bội q với q < : Cho cấp số hâ vô hạ ( u ) có côg bội q, với q < ; khi đó tổg của số hạg đầu của ó bằg q u u = = u q q q q Do đó theo địh lí 6: u u lim = lim lim q q q = u u.0 = u q q q Giới hạ ày được gọi là tổg của cấp số hâ vô hạ (với q < ) và thườg được kí hiệu là u = u + u u +... = ( q < ) q (M, tr., 2) Chúg tôi hắc lại địh lí 6 hư sau: Nếu q < thì lim q = 0 (M, tr.0) Tóm lại, tổg của cấp số hâ vô hạ (với q < ) là giới hạ của dãy ( ) với là tổg số hạg đầu của ó. Như vậy, M đã gầm ẩ đưa vào chuỗi hội tụ thôg qua tổg của cấp số hâ vô hạ (với q < ). Tuy hiê, M khôg dùg kí hiệu + uk k= đã đề cập ở cấp độ đại học trog M 03 mà kí hiệu tổg của cấp số hâ ày là = u + u u +... Với cấp số hâ có dạg q 0 và q < ) thì tổg của ó là q, q, q,..., q,... (với = q + q q +... =. Chúg tôi q hậ thấy M 03 đã đề cập đế tổg ày ở mục chuỗi lũy thừa trog K.

29 23 Kết luậ: Cấp số hâ xuất hiệ gắ liề với: địh ghĩa cấp số hâ, số hạg tổg quát, tíh chất các số hạg của cấp số hâ, tổg số hạg đầu của cấp số hâ, tổg của cấp số hâ vô hạ có côg bội q với q <. Nhữg phâ tích trê cho thấy cấp số hâ hoạt độg dưới dạg đối tượg Các tổ chức toá học Các tổ chức toá học được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ và các kiểu hiệm vụ gắ liề với đối tượg ày. a) Kiểu hiệm vụ T 2000 : Tìm số hạg u k (hay số hạg thứ k) của cấp số hâ - Kĩ thuật 2000 : + Xác địh số hạg đầu u và côg bội q. + Tíh u k bằg côg thức uk. k = u q - Côg ghệ θ 2000 : + Qui ước về thứ tự của số hạg u k trog dãy số + Địh ghĩa cấp số hâ + Địh lí về số hạg tổg quát của cấp số hâ. Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T 2000 được phát biểu trog M. + Có 4 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 2000 (đều trog M ). (ghi chú: trog luậ vă ày, chúg tôi thốg kê số lượg câu ứg với kiểu hiệm vụ theo ghĩa đó là số lượg hiệm vụ thuộc kiểu hiệm vụ đó) Ví dụ: Ví dụ (M, tr. 0) Tìm số hạg thứ 9 của cấp số hâ có số hạg đầu là và côg bội là 2

30 24 Lời giải mog đợi u 9 8 =. = (M, tr. 0) b) Kiểu hiệm vụ T : Tíh tổg số hạg đầu của cấp số hâ - Kĩ thuật : + Xác địh số hạg đầu u và côg bội q. q + Tíh = u. q - Côg ghệ θ : + Địh ghĩa cấp số hâ. + Địh lí tổg số hạg đầu của cấp số hâ. Nhậ xét: + Tổg cầ tíh được cho dưới dạg một biểu thức hoặc cho bằg lời. + Có 5 câu ứg với kiểu hiệm vụ T (đều trog M ). Ví dụ: Ví dụ (M, tr. 03) Tổg = = là tổg ( + ) số hạg đầu của một cấp số hâ có số hạg đầu u =, côg bội q = 2 ê = = 2. Chúg 2 tôi hậ thấy có thể dùg phươg pháp quy ạp để chứg mih đẳg thức = 2. Do đó, ếu hì ở khía cạh chứg mih đẳg thức thì ví dụ ày chứg tỏ cấp số hâ hoạt độg dưới dạg côg cụ. c) Kiểu hiệm vụ T : Tíh số hạg đầu và côg bội của cấp số hâ khi biết các hệ thức có chứa các số hạg của cấp số hâ đó

31 25 - Kĩ thuật : Chúg tôi hậ thấy với tất cả các câu ứg với kiểu hiệm vụ ày, E khôg 2000 trìh bày lời giải mà chỉ đưa ra đáp số. Do đó, chúg tôi xi trìh bày kĩ thuật 3 hư sau: + Từ các hệ thức đã cho, sử dụg côg thức ẩ u và q. u uq = để lập hệ phươg trìh 2 + Giải hệ phươg trìh tìm số hạg đầu u và côg bội q. - Côg ghệ θ : + Địh ghĩa cấp số hâ. + Địh lí về số hạg tổg quát của cấp số hâ. Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T được phát biểu trog M. + Có 4 câu ứg với kiểu hiệm vụ T (đều trog M ). Ví dụ: bài tập 3 (M, tr. 04) Trog các cấp số hâ dưới đây, tíh số hạg đầu và côg bội của ó, biết: a) u u u = 72 u = Chúg tôi tìm trog E chỉ thấy có đáp số: a) u = 2, q= 2 (E, tr. 00) Theo kĩ thuật lời giải sẽ là: a) u u u = u = uq uq = uq uq = 44

32 26 2 uqq = ( ) uq ( q ) = 44 2 uqq = ( ) 72 72q = 44 2 u = 2 (2 ) 72 q = 2 u = 2 q = 2 d) Kiểu hiệm vụ T : Tìm các số hạg của cấp số hâ có hữu hạ số hạg - Kĩ thuật : Chúg tôi hậ thấy với tất cả các câu ứg với kiểu hiệm vụ ày, E khôg trìh bày lời giải mà chỉ đưa ra đáp số. Do đó, chúg tôi xi trìh bày kĩ thuật hư sau: + Xác địh số hạg đầu u và côg bội q. + Tíh uk = u q với k = 2,3,..., (giả sử cấp số hâ có số hạg). k - Côg ghệ θ : + Qui ước về thứ tự của số hạg u k trog dãy số + Địh ghĩa cấp số hâ + Địh lí về số hạg tổg quát của cấp số hâ. Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T được phát biểu trog M. + Có 5 câu ứg với kiểu hiệm vụ T (đều trog M ).

33 27 Ví dụ: bài tập 4 (M, tr. 04) Tìm các số hạg của một cấp số hâ, biết rằg cấp số đó: a) Có 5 số hạg mà số hạg đầu là 3, số hạg cuối là 243 Chúg tôi tìm trog E chỉ thấy có đáp số: a).. q = ± 3, 3, 9, 27, 8, 243;.. Theo kĩ thuật lời giải sẽ là: a) ố hạg đầu là 3 tức là u = 3 ố hạg cuối là 243 tức là u 5 = , 9, 27, 8, 243 (E, tr. 0).. Ta có u = uq q = q = 8 q =± 3 Với q = 3 ta có: u2 = uq = 3.3 = u3 = uq = 3.3 = u4 = uq = 3.3 = 8 Với q = 3 ta có: u2 = uq = 3.( 3) = u3 = uq = 3.( 3) = u4 = uq = 3.( 3) = 8

34 28 e) Kiểu hiệm vụ T : Tíh tổg của cấp số hâ vô hạ (với q < ) - Kĩ thuật : + Xác địh số hạg đầu u và côg bội q. u + Tíh tổg = q - Côg ghệ θ : + Côg thức u = u. q ( =, 2,... ) + + Tổg của cấp số hâ vô hạ có côg bội q với q <. + Địh lí: Nếu q < thì lim q = 0 Nhậ xét: + Tổg cầ tíh được cho dưới dạg biểu thức hoặc phát biểu bằg lời + Có 5 câu ứg với kiểu hiệm vụ T (đều trog M ). Ví dụ: Ví dụ (M, tr. 2) ( ) = = Qua Ví dụ, M đã gầm ẩ cho ta thấy: ( ) chuỗi hội tụ và tổg của chuỗi là 2 3. f) Kiểu hiệm vụ T : Chứg mih dãy số (u ) là cấp số hâ khi biết côg thức số hạg tổg quát - Kĩ thuật : Chúg tôi thấy có câu ứg với kiểu hiệm vụ ày. Tuy vậy E khôg trìh bày lời giải mà chỉ đưa ra đáp á. Do đó, chúg tôi xi trìh bày kĩ thuật hư sau:

35 29 + Viết số hạg u + theo u+ + Lập tỉ số u u+ + Chứg mih tỉ số là hằg số (khôg phụ thuộc ) u + Kết luậ dãy số (u ) là cấp số hâ. - Côg ghệ θ : Địh ghĩa cấp số hâ. Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T được phát biểu trog E + Có câu ứg với kiểu hiệm vụ T ( trog E ). Ví dụ: bài tập T.8 (E, tr. 95) Chứg mih rằg dãy tiê của ó Trog E chỉ đưa ra đáp á: a = 2.3 lập thàh một cấp số hâ và tíh tổg 8 số hạg đầu 6.(3 ) q= 3, 8 = = (E, tr. 07) Theo kĩ thuật thì lời giải chứg mih dãy sẽ là: a = 2.3 lập thàh một cấp số hâ Ta có a + = a = = 3 a 2.3 Vậy dãy a = 2.3 lập thàh một cấp số hâ. g) Kiểu hiệm vụ T : Tíh giá trị biểu thức có chứa các bộ 3 số hạg liê tiếp của một cấp số hâ

36 30 - Kĩ thuật : + ử dụg u = u q để biế đổi các số hạg của biểu thức theo u và q. + Tíh giá trị biểu thức - Côg ghệ θ : + Địh lí về số hạg tổg quát của cấp số hâ. + Tíh chất các số hạg của cấp số hâ. Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T được phát biểu trog E + Có câu ứg với kiểu hiệm vụ T ( trog E ). Ví dụ: bài tập T.9 (E, tr. 95) Giả sử các số a, b, c, d lập thàh một cấp số hâ. Hãy tíh biểu thức: Hướg dẫ trog E : ( a c) + ( b c) + ( b d) ( a d) ( a c) + ( b c) + ( b d) ( a d) = ( a aq ) + ( aq aq ) + ( aq aq ) ( a aq ) = 0 (E, tr. 07) Bài tập T.9 cho thấy cấp số hâ hoạt độg dưới dạg côg cụ Kết luậ - Đối tượg cấp số hâ được đưa vào chươg trìh toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 theo tiế trìh Đối tượg Côg cụ. Ngoài một vài trườg hợp cấp số hâ hoạt độg dưới dạg côg cụ hư đã êu, cơ chế côg cụ của cấp số hâ cò thể hiệ trog ví dụ 4 (M, tr. 03): Tục truyề rằg hoàg tử Ấ Độ Xiram cho gười phát mih ra trò chơi cờ vua (bà cờ gồm 64 ô) được phép tự chọ phầ thưởg cho mìh. Người ày xi hoàg tử thưởg cho số thóc tíh theo cách sau: Bỏ vào ô thứ hất hạt, ô thứ hai 2 hạt, ô thứ ba 4 hạt, ô thứ tư 8 hạt, v.v ố hạt thóc cứ gấp đôi mỗi khi chuyể sag ô tiếp theo cho đế ô thứ 64.

37 3 Khi đó tổg số hạt thóc của phầ thưởg là tổg số 64 số hạg của một cấp số hâ có u = và q = (2 ) 64 = = 2 = Điều ày chứg tỏ cơ chế côg cụ của cấp số hâ khá mờ hạt. (hạt thóc) - Cấp số hâ là dãy số (hữu hạ hay vô hạ) đặc biệt, có sự ràg buộc giữa hai số hạg liê tiếp. - Bảg thốg kê số lượg câu ứg với các kiểu hiệm vụ: Bài tập Bài tập Kiểu hiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ Tổg cộg trog M trog E 2000 T T T T T T T Tổg cộg Bảg 2. Qua bảg thốg kê trê, chúg tôi hậ thấy: câu). + Kiểu hiệm vụ T , T , T chiếm số lượg câu hiều hất (5/25 + Các kiểu hiệm vụ T , T chiếm số lượg câu ít hất (/25 câu). Hai kiểu hiệm vụ T , T chỉ xuất hiệ trog E. Điều ày chứg tỏ thể chế dạy học toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 khôg chú trọg vấ đề hậ diệ cấp số hâ, tíh giá trị biểu thức. + ố lượg câu tập trug hiều ở phầ bài tập: chiếm 8/25 câu.

38 32 + Khôg có kiểu hiệm vụ ào ổi trội. Nhữg kết luậ êu trê có thể xem là câu trả lời của chúg tôi dàh cho câu hỏi Q đã được đặt ra trog phầ mở đầu Cấp số hâ trog sách toá lớp hiệ hàh (từ ăm 2007) Cấp số hâ trog bộ sách Nâg Cao Trog phầ ày, chúg tôi sử dụg các sách M 2, E 2, G Khái iệm cấp số hâ trog M 2 - Bài Cấp số hâ ằm trog chươg 3: Dãy số. Cấp số cộg và Cấp số hâ. Chươg ày gồm các ội dug sau: Bài : Phươg pháp quy ạp toá học. Bài 2: Dãy số. Bài 3: Cấp số cộg. Bài 4: Cấp số hâ. Ở chươg ày, cùg với đối tượg cấp số cộg, đối tượg cấp số hâ được đưa vào sau đối tượg dãy số. Vậy khái iệm dãy số được địh ghĩa hư thế ào? Một hàm số u xác địh trê tập hợp các số guyê dươg N * được gọi là một dãy số vô hạ (hay cò gọi tắt là dãy số) (M 2, tr.0) Địh ghĩa trê cho thấy dãy số là một hàm số xác địh trê tập hợp N *. Liệu khái iệm giá trị của hàm số có cò được dùg đối với dãy số hay khôg? Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạg của dãy số; u() được gọi là số hạg thứ hất (hay số hạg đầu), u(2) được gọi là số hạg thứ hai; Người ta thườg kí hiệu các giá trị u(), u(2), tươg ứg bởi u, u 2, (M 2, tr. 0, 02) Như vậy, đối với dãy số thì khái iệm giá trị của hàm số được thay bằg khái iệm số hạg của dãy số. Cụ thể là với k N *, giá trị u(k) được gọi là số hạg thứ k của dãy số và được kí hiệu là u k. Chỉ số k trog mỗi số hạg u k cho ta biết thứ tự của số hạg đó trog dãy số.

39 33 Thay cho việc sử dụg kí hiệu hàm số đối với dãy số, M 2 đã đưa ra kí hiệu sau: Người ta thườg kí hiệu dãy số u= u ( ) bởi ( u ) của dãy số đó. Người ta cũg thườg viết dãy số ( u ) dưới dạg khai triể: u, u 2,, u, (M 2, tr.02), và gọi u là số hạg tổg quát Như vậy M 2 kí hiệu dãy số u= u ( ) là ( u ). Chúg tôi hậ thấy cách kí hiệu ày có thể làm mờ hạt bả chất hàm số của dãy số. au sự xuất hiệ của dãy số vô hạ, dãy số hữu hạ cũg có điều kiệ xuất hiệ: CHÚ Ý Người ta cũg gọi một hàm số u xác địh trê tập hợp gồm m số guyê dươg đầu tiê (m tùy ý thuộc N * ) là một dãy số. Rõ ràg, dãy số trog trườg hợp ày chỉ có hữu hạ số hạg (m số hạg: u, u 2,, u m ); vì thế, gười ta cò gọi ó là dãy số hữu hạ; u gọi là số hạg đầu và u m gọi là số hạg cuối. (M 2, tr. 02). Dãy số hữu hạ là hàm số xác địh trê tập hợp gồm hữu hạ số guyê dươg đầu tiê. Khi dãy số có m số hạg thì số hạg u m cò được gọi là số hạg cuối của dãy số. Nhữg ghi hậ trê cho thấy địh ghĩa dãy số trog M 2 giốg trog M. Chúg tôi thắc mắc: một dãy số được cho hư thế ào? Lời giải đáp cho thắc mắc ày được tìm thấy ở M 2 trag 03: Các cách cho một dãy số Một dãy số được coi là xác địh ếu ta biết cách tìm mọi số hạg của dãy số đó. Từ đó, gười ta thườg cho dãy số bằg một trog các cách sau: Cách : Cho dãy số bởi côg thức của số hạg tổg quát Chẳg hạ: Cho dãy số ( u ) với u = 3 + Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cò ói: Cho dãy số bằg quy ạp) Ví dụ 3. Xét dãy số ( u ) xác địh bởi u = và với mọi 2 u = 2 + u Cách 3: Diễ đạt bằg lời bằg lời cách xác địh mỗi số hạg của dãy số Trog các ví dụ và bài tập, M 2 thườg cho dãy số theo cách và cách 2.

40 34 - au dãy số, các đối tượg cấp số cộg và cấp số hâ lầ lượt xuất hiệ. Bài: Cấp số hâ được mở đầu bằg một bài toá trog thực tế: Xét bài toá: Một gâ hàg quy địh hư sau đối với việc gửi tiề tiết kiệm theo thể thức có kì hạ: Khi kết thúc kì hạ gửi tiề mà gười gửi khôg đế rút tiề thì toà bộ số tiề (bao gồm cả vố và lãi) sẽ được chuyể gửi tiếp với kì hạ hư kì hạ mà gười gửi đã gửi. Giả sử có một gười gửi 0 triệu đồg với kì hạ thág vào gâ hàg ói trê và giả sử lãi suất của loại kì hạ ày là 0,4%. a) Hỏi ếu 6 thág sau, kể từ gày gửi, gười đó mới đế gâ hàg để rút tiề thì số tiề rút được (gồm cả vố và lãi) là bao hiêu? b) Cũg câu hỏi hư trê, với giả thiết thời điểm rút tiề là ăm sau, kể từ gày gửi? (M 2, tr. 5, 6) Dựa vào dữ kiệ và yêu cầu của bài toá, M 2 tiếp tục trìh bày: Với mỗi số guyê dươg, kí hiệu u là số tiề gười đó rút được (gồm cả vố và lãi) sau thág, kể từ gày gửi. Khi đó, theo giả thiết của bài toá ta có: u = u + u.0,004 = u.,004 2 Như vậy, ta có dãy số ( u ) mà kể từ số hạg thứ hai, mỗi số hạg đều bằg tích của số hạg đứg gay trước ó và,004 Người ta gọi các dãy số có tíh chất tươg tự hư dãy số ( u ) ói trê là hữg cấp số hâ (M 2, tr. 6) Đây là một bài toá thực tế liê qua đế vấ đề lãi kép đó là số lãi tíh bằg cách cộg dồ lãi kỳ trước vào vố để tíh lãi kỳ tiếp theo. Cách đặt vấ đề hư trê để giải quyết bài toá đã làm xuất hiệ khái iệm cấp số hâ. Chúg tôi hậ thấy: để giải quyết bài toá đặt ra, M 2 đã xây dựg dãy số ( u ) mà trog đó, kể từ số hạg thứ hai, mỗi số hạg đều bằg tích của số hạg đứg gay trước ó và,004. Dựa vào gợi ý của M 2, học sih có thể biết được: ở câu a cầ tíh u 6 và ở câu b cầ tíh u 2. Nhữg ghi hậ êu trê cho thấy M 2 đã le lói cơ chế côg cụ gầm ẩ của cấp số hâ trog việc giải bài toá ày. Việc đưa bài toá ày vào M 2 cò giúp học sih hiểu được sự hiệ diệ, cũg hư ứg dụg của cấp số hâ trog thực tế cuộc sốg. Tiếp theo M 2 trìh bày địh ghĩa cấp số hâ:

41 35 ĐỊNH NGHĨA Cấp số hâ là một dãy số (hữu hạ hay vô hạ) mà trog đó, kể từ số hạg thứ hai, mỗi số hạg đều bằg tích của số hạg đứg gay trước ó và một số q khôg đổi, ghĩa là ( u ) là cấp số hâ 2, u = u. q ố q được gọi là côg bội của cấp số hâ (M 2, tr. 6) Khái iệm cấp số hâ được địh ghĩa bằg lời và bằg hệ thức truy hồi. Địh ghĩa cho thấy cấp số hâ là một dãy số (hữu hạ hay vô hạ) đặc biệt, có sự ràg buộc giữa hai số hạg liê tiếp. Gắ liề với ràg buộc ày, khái iệm côg bội của cấp số hâ đã xuất hiệ. Côg bội của cấp số hâ là số khôg đổi, khôg bị ràg buộc ào hết, và được kí hiệu là q. Côg thức 2, u = u. q cho ta mối liê hệ giữa hai số hạg liê tiếp và côg bội của cấp số hâ. Liê qua đế địh ghĩa cấp số hâ, G 2 có êu điều cầ lưu ý sau: Nhiều tác giả (trog và goài ước), khi địh ghĩa cấp số hâ có đưa ra ràg buộc khác 0 và khác đối với côg bội của cấp số. Với mục đích khôg gây ra hữg thay đổi khôg cầ thiết cho quá trìh dạy học, GK đã địh ghĩa cấp số hâ theo qua điểm của GK (G 2, tr. 50) Như vậy, do mục đích của quá trìh giảg dạy, M 2 địh ghĩa cấp số hâ theo qua điểm của M. Như đã êu, có một sự ràg buộc giữa hai số hạg liê tiếp của một cấp số hâ. Liệu có sự ràg buộc ào giữa ba số hạg liê tiếp hay khôg? ĐỊNH LÍ Nếu ( u ) là một cấp số hâ thì kể từ số hạg thứ hai, bìh phươg của mỗi số hạg (trừ số hạg cuối đối với cấp số hâ hữu hạ) bằg tích của hai số hạg đứg kề ó 2 trog dãy, tức là u = u. u (M 2, tr. 7) k k k+ Địh lí ày cho ta tíh chất về ba số hạg liê tiếp của cấp số hâ. Mối liê hệ giữa ba số hạg liê tiếp của một cấp số hâ được thể hiệ qua côg thức 2 k k. k+ u = u u. Bằg cách sử dụg địh ghĩa cấp số hâ, địh lí trê đã được chứg mih trog M 2. Côg thức 2 k k. k+ u = u u tươg đươg với côg thức u = u. u đã êu ở M khi đề cập đế tíh chất các số hạg của cấp số hâ. k k k+

42 36 Liê qua đế địh lí, G 2 êu: Mệh đề đảo của địh lí là một địh lí. Tuy hiê, hằm tráh sự quá tải về kiế thức cho đại đa số học sih phổ thôg, GK khôg trìh bày địh lí ày (G 2, tr. 50). Đối với các học sih khá, giỏi, giáo viê ê: êu và chứg mih địh lí đảo của địh lí (G 2, tr. 50). Nhữg ghi hậ trê cho thấy địh lí đảo của địh lí khôg có cơ hội xuất hiệ trog M 2 là vì lí do sư phạm. Tuy vậy, theo G 2 thì địh lí đảo ày cầ được truyề đạt cho học sih khá, giỏi. Điều ày cũg hợp lí, bởi vì ếu địh lí đảo của địh lí được trìh bày thì goài việc sử dụg địh ghĩa cấp số hâ, học sih sẽ có thêm phươg tiệ để chứg mih một dãy số là cấp số hâ. au đó M 2 trìh bày vấ đề số hạg tổg quát của cấp số hâ: ĐỊNH LÍ 2 Nếu một cấp số hâ có số hạg đầu u và côg bội q 0 thì số hạg tổg quát u của ó được xác địh bởi côg thức u. = u q (M 2, tr. 8). Trog địh lí 2 có điều kiệ q 0, tức là địh lí 2 chỉ áp dụg cho hữg cấp số hâ có côg bội q 0. Tại sao lại có điều kiệ q 0? Điều ày có thể được giải thích hư sau: khi cấp số hâ ( u ) có q = 0 thì dựa vào địh ghĩa cấp số hâ ta có u = 0, 2. Địh lí cho thấy mối liê hệ giữa các đại lượg: số hạg bất kì u, chỉ số, số hạg đầu u và côg bội q. Do đó ta có thể hah chóg tìm được số hạg tùy ý của một cấp số hâ khi biết số hạg đầu và côg bội của ó. Chúg tôi hậ thấy M 2 trìh bày vấ đề số hạg tổg quát của cấp số hâ giốg trog M. Tuy hiê M 2 khôg trìh bày chứg mih địh lí trê. Để giải thích cho điều ày, G 2 êu: Nhằm giảm hẹ ội dug lí thuyết giảg dạy trê lớp, GK khôg trìh bày chứg mih của địh lí 2. (G 2, tr. 50) ử dụg địh lí 2, ta sẽ giải quyết hah chóg yêu cầu của bài toá thực tế êu ở đầu bài: Cấp số hâ. Điều ày được thể hiệ qua Ví dụ 4 (M 2, tr. 8):

43 37 Theo yêu cầu của bài toá ta cầ tíh u 6 và u 2. Do ( u ) là một cấp số hâ với số hạg đầu có u = ,004 = 0.,004 và côg bội q =,004 ê theo địh lí 2 ta u 7 7 = 0.,004.(,004) = 0.(,004) uy ra : 7 6 u 6 = 0.(,004) (đồg), 7 2 u 2 = 0.(,004) (đồg). Ví dụ 4 là hoạt độg củg cố đầu tiê của địh lí 2. Tiếp theo, M 2 đề cập đế tổg số hạg đầu tiê của một cấp số hâ: Giả sử có cấp số hâ ( u ) với côg bội q. Với mỗi số guyê dươg, gọi là tổg số hạg đầu tiê của ó ( = u+ u u ) Nếu q = thì u = u với mọi. Do đó, trog trườg hợp ày, ta có = u Khi q ta có kết quả hư sau: ĐỊNH LÍ 3 Nếu ( u ) là một cấp số hâ với côg bội q thì u ( q = ) (M 2, tr. 9) q được tíh theo côg thức Vấ đề tổg số hạg đầu tiê của một cấp số hâ được trìh bày trog hai trườg hợp: cấp số hâ có côg bội q = và cấp số hâ có côg bội q. Với trườg hợp q, tổg số hạg đầu tiê của cấp số hâ được tíh theo địh lí 3. Địh lí ày đã được chứg mih trog M 2. Chúg tôi hậ thấy địh lí 3 chỉ áp dụg cho hữg cấp số hâ có côg bội q. Vì điều ày, chúg tôi tự hỏi: khi sử dụg địh lí 3, liệu học sih có qua tâm đế điều kiệ q hay khôg? Nếu hư M đã đưa việc tíh tổg số hạg đầu của cấp số hâ có côg bội q = vào phầ chú thích thì M 2 trìh bày hai trườg hợp q = và q ối tiếp hau. Qua chươg 4: Giới hạ, M 2 trìh bày tổg của cấp số hâ lùi vô hạ: Xét cấp số hâ vô hạ cấp số hâ lùi vô hạ). 2 u, uq, uq,..., uq,... có côg bội q với q < (gọi là một

44 38 Ta biết rằg tổg của số hạg đầu tiê của cấp số hâ đó là u( q ) u u... = u + uq+ + uq = = q q q q u Vì q < ê lim q = 0. Do đó lim = q Ta gọi giới hạ đó là tổg của cấp số hâ đã cho và viết 2 u = u + uq + uq +... = (M 2, tr. 33) q Như vậy, cấp số hâ lùi vô hạ là cấp số hâ vô hạ có côg bội q thỏa q <. Chúg tôi hậ thấy tê gọi cấp số hâ lùi vô hạ khôg xuất hiệ trog M. Tổg của cấp số hâ lùi vô hạ êu trê chíh là tổg của cấp số hâ vô hạ có côg bội q với q < đã trìh bày ở M. Kết luậ: Cấp số hâ hoạt độg dưới dạg côg cụ gầm ẩ trog bài toá thực tế êu ở đầu bài: Cấp số hâ. Cấp số hâ hoạt độg dưới dạg đối tượg khi M 2 lầ lượt trìh bày: địh ghĩa cấp số hâ; một tíh chất về ba số hạg liê tiếp của cấp số hâ; số hạg tổg quát của cấp số hâ; tổg số hạg đầu tiê của một cấp số hâ; tổg của cấp số hâ lùi vô hạ Các tổ chức toá học Các tổ chức toá học được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ và các kiểu hiệm vụ gắ liề với đối tượg ày. a) Kiểu hiệm vụ T : Nhậ diệ cấp số hâ - Kĩ thuật: có hai kĩ thuật sau: a : Kiểm tra xem có tồ tại hằg số c thỏa u2 = cu. hay khôg: + Nếu khôg tồ tại số c thì dãy số khôg phải là cấp số hâ. + Ngược lại, kiểm tra:

45 39 b : Nếu uk = cu. k, k 3 thì dãy số là cấp số hâ. Nếu m 3 sao cho um cu. m thì dãy số khôg phải là cấp số hâ. + Viết số hạg u + theo (đối với dãy số ( u ) ) + Lập tỉ số u + u + Nếu u + u là cấp số hâ với côg bội q bằg hằg số c (khôg phụ thuộc ), với mọi thì dãy số ( u ) = c. + Nếu u + u khôg là hằg số thì dãy số ( u ) khôg phải là cấp số hâ. - Côg ghệ: θ a : địh ghĩa cấp số hâ. θ b : địh ghĩa cấp số hâ. Nhậ xét: + Đặc trưg của kiểu hiệm vụ T là dãy số có hữu hạ số hạg hoặc dãy số cho bởi côg thức số hạg tổg quát hoặc dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Kiểu hiệm vụ ày được êu trog M 2 và E 2. + Kĩ thuật b vậ hàh tốt khi dãy số cho bởi côg thức số hạg tổg quát. + Có 3 câu ứg với kiểu hiệm vụ T (9 câu trog M 2 và 4 câu trog E 2 ), trog đó có 5 câu sử dụg a và 8 câu sử dụg b. Ví dụ: bài tập 29 (M 2, tr. 20) Trog các dãy số dưới đây, dãy số ào là cấp số hâ? Hãy xác địh côg bội của cấp số hâ đó. a) Dãy số, 2, 4, 8, 6, 32, 64 ;

46 40 b) Dãy số ( u ) với c) Dãy số ( v ) với d) Dãy số ( x ) với Lời giải mog đợi u.6 + = ; 2 v = ( ).3 ; x 2 ( 4) + =. a) Dãy số đã cho là một cấp số hâ với côg bội q = 2. b) u + 6( + ) = với mọi. uy ra ( u ) khôg phải là một cấp số hâ. u c) v + v + 2( + ) ( ).3 = = 9 2 ( ).3 côg bội q = 9. với mọi. uy ra ( v ) là một cấp số hâ với d) x + x ( 4) = = 6 2+ ( 4) q = 6. (G 2, tr. 52) với mọi. uy ra ( x ) là một cấp số hâ với côg bội Như vậy, kĩ thuật b đã được sử dụg để giải quyết các câu b, c, d. Kiểu hiệm vụ T : Nhậ diệ cấp số hâ khôg có trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Tuy hiê, chúg tôi hậ thấy kiểu hiệm vụ T : Chứg mih dãy số (u ) là cấp số hâ khi biết côg thức số hạg tổg quát là một trườg hợp của T. b) Kiểu hiệm vụ T 2 : Cho trước côg thức xác địh dãy số (u ). Chứg mih dãy số (u ) là một cấp số hâ - Kĩ thuật 2 : + Biế đổi côg thức xác địh dãy số ( u ) để được u = cu. với mọi 2 ( c là hằg số) + Kết luậ: dãy số ( u ) là cấp số hâ với côg bội q = c. - Côg ghệ θ 2 : địh ghĩa cấp số hâ.

47 4 Nhậ xét: + Đặc trưg của kiểu hiệm vụ T 2 là dãy số ( u ) cầ chứg mih là cấp số hâ được cho thôg qua dãy số ( v ), với dãy số ( v ) được cho bởi hệ thức truy hồi dạg v = av + b ( a, b là các hằg số). Kiểu hiệm vụ ày được êu trog M 2 và E 2. + Có 6 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 2 (3 câu trog M 2 và 3 câu trog E 2 ). Ví dụ: Ví dụ 2 (M 2, tr. 6, 7) Cho dãy số ( u ) xác địh bởi 5 u = và u = 3u với mọi 2. 2 Chứg mih rằg dãy số ( v ) xác địh bởi v = u với mọi 2 là một cấp số hâ. Hãy cho biết số hạg đầu và côg bội của cấp số hâ đó. Lời giải mog đợi Từ côg thức xác địh dãy số ( v ) và ( u ), ta có v = u = 3u = 3( u ) = 3v với mọi Từ đó suy ra dãy số ( v ) là một cấp số hâ với số hạg đầu 5 v = u = = 2 và côg bội q = 3 (M 2, tr. 7) Liê qua đế kiểu hiệm vụ ày, chúg tôi hậ thấy ở cấp độ đại học M 0 đã trìh bày vấ đề tổg quát ở mục Dãy afi truy hồi cấp một với hệ số khôg đổi. Đặc trưg của kiểu hiệm vụ T 2 : Cho trước côg thức xác địh dãy số (u ). Chứg mih dãy số (u ) là một cấp số hâ cho thấy đây là kiểu hiệm vụ mới so với các kiểu hiệm vụ trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm c) Kiểu hiệm vụ T 3 : Tìm số hạg tổg quát của cấp số hâ (u ) - Kĩ thuật: có hai kĩ thuật sau:

48 42 3a : + ử dụg côg thức u = u q để lập hệ phươg trìh hai ẩ u và q.. + Giải hệ phươg trìh để tìm số hạg đầu u và côg bội q. + ố hạg tổg quát u = u q.. 3b : m k + Biế đổi u = u. q (với u m, u k đã biết và m> k) m + Tìm côg bội q. + Tìm số hạg đầu u. k + ố hạg tổg quát u = u q.. - Côg ghệ: θ 3a : Địh lí 2. θ 3b : + Kết quả bài tập 33 trog M 2 + Địh lí 2. Nhậ xét: Cho cấp số hâ ( u ) với côg bội q 0 và u 0. Cho các số guyê dươg m m k và k, với m k. Chứg mih rằg u = u. q (M 2, tr. 2) + Kiểu hiệm vụ T 3 được phát biểu trog M 2 và E 2. + Có 2 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 3 ( câu trog M 2 và câu trog E 2 ), trog đó có câu sử dụg 3a và câu sử dụg 3b. Ví dụ: bài tập 34 (M 2, tr. 2) Hãy tìm số hạg tổg quát của cấp số hâ ( u ), biết rằg u 3 = 5 và u 6 = 35 Lời giải mog đợi m k

49 43 Gọi q là côg bội của cấp số hâ đã cho. Theo kết quả bài tập 33, ta có q u 35 = = = 27 q = 3 u = u3 = u. q = 9u u = 9 ố hạg tổg quát: u 5.( 3) 5.( 3) 3 = = (G 2, tr. 53) 9 Kĩ thuật 3b đã được sử dụg để giải bài tập 34. Kiểu hiệm vụ T 3 : Tìm số hạg tổg quát của cấp số hâ (u ) khôg có trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Tuy vậy, chúg tôi hậ thấy kiểu hiệm vụ T 2000 : Tìm số hạg u k (hay số hạg thứ k) của cấp số hâ là một trườg hợp đặc biệt của T 3. d) Kiểu hiệm vụ T 4 : Tìm cấp số hâ có hữu hạ số hạg - Kĩ thuật: có hai kĩ thuật sau: 4a : ử dụg côg thức 2 k k. k+ u = u u để tìm các số hạg của cấp số hâ. 4b : + ử dụg côg thức ẩ u và q. u. = u q hoặc ( u q ) = q để lập hệ phươg trìh 2 + Giải hệ phươg trìh tìm u và q. + Tíh uk = u q với k = 2,3,..., (giả sử cấp số hâ có số hạg).. k - Côg ghệ: θ 4a : Địh lí. θ 4b : + Địh ghĩa cấp số hâ. + Địh lí 2.

50 44 + Địh lí 3. Nhậ xét: Có 3 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 4 (2 câu trog M 2 và câu trog E 2 ), trog đó có 2 câu sử dụg 4a và câu sử dụg 4b. Ví dụ: bài tập 32 (M 2, tr. 2) Một cấp số hâ có ăm số hạg mà hai số hạg đầu tiê là hữg số dươg, tích của số hạg đầu và số hạg thứ ba bằg, tích của số hạg thứ ba và số hạg cuối bằg. Hãy tìm cấp số hâ đó. 6 Lời giải mog đợi Với mỗi {, 2, 3, 4, 5}, kí hiệu u là số hạg thứ của cấp số hâ đã cho. Vì u > 0, u 2 > 0 ê cấp số hâ ( u ) có côg bội q > 0, và do đó u > 0 {, 2, 3, 4, 5}. Từ đó = uu. = u u = 2 = u3. u 5 = u4 u4 = u3 = u2. u4 = u3 = 4 2 Do đó u = = 2 và u5 = : u3 = u Vậy cấp số hâ cầ tìm là: 2,,,, (G 2, tr. 53) Kĩ thuật 4a đã được sử dụg để giải bài tập 32. Kiểu hiệm vụ T 4 : Tìm cấp số hâ có hữu hạ số hạg tươg ứg với kiểu hiệm vụ T : Tìm các số hạg của cấp số hâ có hữu hạ số hạg. Ứg với kiểu hiệm vụ T 4, kĩ thuật 4a và 4b được hìh thàh thôg qua lời giải mog đợi của các bài tập. Trog khi đó, kĩ thuật do chúg tôi đưa ra bởi vì E khôg trìh bày lời giải tất cả các câu thuộc kiểu hiệm vụ T mà chỉ đưa ra đáp số.

51 45 e) Kiểu hiệm vụ T 5 : Tíh tổg số hạg đầu tiê của cấp số hâ - Kĩ thuật 5 : + Tìm số hạg đầu u và côg bội q. u + Tíh ( q ) = q - Côg ghệ θ 5 : + Địh ghĩa cấp số hâ. + Địh lí 2. + Địh lí 3. Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T 5 được êu trog M 2 và E 2. + Có 4 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 5 (2 câu trog M 2 và 2 câu trog E 2 ). Ví dụ: Ví dụ 5 (M 2, tr. 9) Cho cấp số hâ ( u ) có u 3 = 24 và u 4 = 48. Hãy tíh tổg ăm số hạg đầu tiê của cấp số đó. Lời giải mog đợi Gọi q là côg bội của cấp số hâ ( u ), ta có 48 q = = 2 24 Do đó, theo địh lí 2, ta được: được ( 2 ) = = 86 (M 2, tr. 9, 20) = u = u.2. uy ra u = 6. Vì thế, theo địh lí 3, ta Kiểu hiệm vụ T 5 : Tíh tổg số hạg đầu tiê của cấp số hâ tươg ứg với kiểu hiệm vụ T : Tíh tổg số hạg đầu của cấp số hâ. Kĩ thuật 5 tươg ứg với kĩ thuật

52 46 f) Kiểu hiệm vụ T 6 : Tíh tổg tất cả các số hạg của một cấp số hâ có hữu hạ số hạg Kiểu hiệm vụ co: Xác địh số các số hạg của một cấp số hâ Kĩ thuật: + Tìm côg bội q. + Giả sử cho trước số hạg đầu là a, số hạg cuối là b. Ta xác địh số k thỏa b= aq. k + Kết luậ cấp số hâ có (k+) số hạg. Côg ghệ: + Địh ghĩa cấp số hâ. + Địh lí 2. - Kĩ thuật 6 : + Xác địh côg bội q. + Xác địh số các số hạg của cấp số hâ (giả sử có k số hạg). u + Tíh tổg ( q = ) q k - Côg ghệ θ 6 : + Địh ghĩa cấp số hâ. + Địh lí 2. + Địh lí 3. Nhậ xét: + Đặc trưg của kiểu hiệm vụ T 6 là cho trước số hạg đầu, số hạg thứ hai và số hạg cuối.

53 47 + au khi xác địh cấp số hâ có tất cả k số hạg thì vấ đề đặt ra trở thàh tíh tổg k số hạg đầu tiê của cấp số hâ. Đây là hiệm vụ thuộc kiểu hiệm vụ T 5. + Có 3 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 6 (2 câu trog M 2 và câu trog E 2 ). Ví dụ: bài tập 36a (M 2, tr. 2) Tíh các tổg sau: a) Tổg tất cả các số hạg của một cấp số hâ, biết rằg số hạg đầu bằg 8, số hạg thứ hai bằg 54 và số hạg cuối bằg Lời giải mog đợi a) Gọi q là côg bội của cấp số hâ đã cho. Ta có q = 54 :8 = 3. Vì :8 = 287 = 3 ê cấp số hâ đã cho có 8 số hạg. Từ đó, kí hiệu là tổg cầ tìm, ta được 8 3 = 8. = (G 2, tr. 54) 3 Kiểu hiệm vụ T 6 : Tíh tổg tất cả các số hạg của một cấp số hâ có hữu hạ số hạg khôg có trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Ứg với 4 câu thuộc kiểu hiệm vụ T 5 và 3 câu thuộc kiểu hiệm vụ T 6, bộ sách Nâg Cao luô chọ hữg cấp số hâ có côg bội là một số cụ thể khác. Đồg thời, trog lời giải mog đợi ở 7 câu ày, bộ sách Nâg Cao khôg đề cập đế điều u kiệ côg bội q khi sử dụg côg thức ( q ) =. q Liê qua đế đối tượg cấp số hâ, từ ghi hậ êu trê, chúg tôi dự đoá tồ tại ở học sih một qui tắc sau đây của hợp đồg didactic: u R: Khi sử dụg côg thức ( q ) = q (với q ) để tíh tổg số hạg đầu của một cấp số hâ, học sih khôg có trách hiệm kiểm tra điều kiệ côg bội q.

54 48 g) Kiểu hiệm vụ T 7 : Giải bài toá liê qua đế cấp số hâ ở mô học khác, trog thực tế cuộc sốg - Kĩ thuật 7 : + Xây dựg cấp số hâ ( u ), trog đó đại lượg cầ xác địh trog bài toá là số hạg u k hoặc tổg k số hạg đầu tiê của cấp số hâ xây dựg được. + Xác địh số hạg đầu u và côg bội q. + Tíh uk. k = u q hoặc ( k u q ) k = q - Côg ghệ θ 7 : + Địh ghĩa cấp số hâ. + Địh lí 2. + Địh lí 3. Nhậ xét: + Đặc trưg của kiểu hiệm vụ T 7 là các bài toá cho dưới dạg toá đố, có dấu hiệu liê qua đế cấp số hâ. + Khi thực hiệ kĩ thuật 7, có thể học sih sẽ gặp khó khă trog việc xây dựg cấp số hâ ( u ). + Có 7 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 7 (đều trog M 2 ). Ví dụ: bài tập 35 (M 2, tr. 2) Chu kì bá rã của guyê tố phóg xạ poloi 20 là 38 gày (ghĩa là sau 38 gày khối lượg của guyê tố đó chỉ cò một ửa). Tíh (chíh xác đế hàg phầ trăm) khối lượg cò lại của 20 gam poloi 20 sau 734 gày (khoảg 20 ăm) Lời giải mog đợi Kí hiệu u (gam) là khối lượg cò lại của 20 gam poloi sau chu kì bá rã. Ta có 734 gày gồm 53 (= 734 : 38) chu kì bá rã.

55 49 Như thế, theo đề bài, ta cầ tíh u 53 Từ giả thiết của bài toá suy ra dãy số ( u ) là một cấp số hâ với số hạg đầu u = 20 : 2 = 0 và côg bội Do đó u q = 2 = 0. 2, (gam) (G 2, tr. 53, 54) Bài tập 35 là bài toá trog mô Vật lí. Trog lời giải mog đợi êu trê, G 2 đã xây dựg cấp số hâ ( u ) có số hạg đầu u = 0 và côg bội q =. Khi đó việc 2 giải quyết yêu cầu bài toá trở thàh đi tíh số hạg u 53. Như vậy cấp số hâ hoạt độg dưới dạg côg cụ tườg mih trog bài tập 35 ày. Kiểu hiệm vụ T 7 : Giải bài toá liê qua đế cấp số hâ ở mô học khác, trog thực tế cuộc sốg khôg có trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Chúg tôi hậ thấy T 7 là một kiểu hiệm vụ mới lạ so với các kiểu hiệm trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm h) Kiểu hiệm vụ T 8 : Tíh tổg của cấp số hâ lùi vô hạ hạ) - Kĩ thuật 8 : + Xác địh số hạg đầu u và côg bội q (từ đó hậ diệ cấp số hâ lùi vô u + Tíh = u+ u2 + u = q - Côg ghệ θ 8 : + Côg thức u = u. q, 2. + Địh ghĩa cấp số hâ lùi vô hạ. + Côg thức tíh tổg cấp số hâ lùi vô hạ.

56 50 Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T 8 là thàh phầ trog kĩ thuật 9. + Có 2 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 8 (đều trog M 2 ). Ví dụ: Hoạt độg H4 (M 2, tr. 34) Tìm tổg của cấp số hâ 2, 2 2, 3 2,, 2, Lời giải mog đợi Áp dụg côg thức tíh tổg của cấp số hâ lùi vô hạ với u = và 2 = = 2 = (G 2 3 2, tr. 74) Qua hoạt độg H4, G 2 đã gầm ẩ cho ta thấy chuỗi hội tụ và tổg của chuỗi ày là. q =, ta được Kiểu hiệm vụ T 8 : Tíh tổg của cấp số hâ lùi vô hạ tươg ứg với kiểu hiệm vụ T : Tíh tổg của cấp số hâ vô hạ (với q < ). Kĩ thuật 8 tươg ứg với kĩ thuật i) Kiểu hiệm vụ T 9 : Biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số - Kĩ thuật 9 : + Viết số thập phâ đã cho dưới dạg tổg của cấp số hâ lùi vô hạ. + Tíh tổg vừa xây dựg được. - Côg ghệ θ 9 : + Kiế thức về số thập phâ vô hạ tuầ hoà. + θ 8.

57 5 Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T 9 được phát biểu trog M 2 và E 2. + Đối với kĩ thuật 9 thì bước viết số thập phâ dưới dạg tổg của cấp số hâ lùi vô hạ là bước qua trọg. o với cách viết số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số ở lớp 7 thì kĩ thuật 9 học sih dễ tiếp thu và dễ thực hiệ hơ. + Có 9 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 9 (6 câu trog M 2 và 3 câu trog E 2 ). Ví dụ: Ví dụ 6 (M 2, tr. 34) Biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà 0,777 dưới dạg phâ số Lời giải mog đợi Ta có , = Đây là tổg của một cấp số hâ lùi vô hạ với số hạg đầu u = và côg bội 0 q =. Do đó , = = 9 0 Trog lời giải mog đợi trê, cơ chế côg cụ tườg mih của cấp số hâ đã thể hiệ khi M 2 sử dụg tổg của cấp số hâ lùi vô hạ để giải quyết vấ đề đặt ra. Kiểu hiệm vụ T 9 : Biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số khôg có trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Chúg tôi hậ thấy T 9 là một kiểu hiệm vụ mới lạ so với các kiểu hiệm vụ trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm địh: Đối với việc viết số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số, M 4 khẳg Người ta đã chứg mih được rằg mỗi số thập phâ vô hạ tuầ hoà đều là một số hữu tỉ. (M 4, tr. 33).

58 52 Ở lớp 7, học sih khôg biết côg cụ ào đã được sử dụg để phục vụ cho việc chứg mih ày. Đế lớp, thắc mắc trê của học sih đã được giải đáp thôg qua lời khẳg địh trog G 2 : Trước đây ta đã biết một số hữu tỉ cho bởi một phâ số có thể biểu diễ dưới dạg một số thập phâ hữu hạ hoặc một số thập phâ vô hạ tuầ hoà. Nhờ côg thức tíh tổg của một cấp số hâ lùi vô hạ ta chứg mih được rằg điều gược lại cũg đúg (G 2, tr. 74). Như vậy, lời khẳg địh trog G 2 đã bổ sug cho lời khẳg địh trog M 4. Để mih họa cho khẳg địh đã êu, M 4 đưa ra ví dụ sau: 4 Ví dụ: 0,(4) = 0,().4 =.4 = (M 4, tr. 33) 9 9 Liê qua đế vấ đề ày, E 4 có đưa ra bài tập 88: Để viết số 0,(25) dưới dạg phâ số, ta làm hư sau: 25 0,(25) = 0,(0).25 =.25 = (vì 0, (0) = ) Theo cách trê, hãy viết các số thập phâ sau đây dưới dạg phâ số: 0,(34); 0,(5); 0,(23). (E 4, tr. 23) Như vậy, ở lớp 7, để biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số, học sih cầ hớ một vài kết quả hư: 0, () = ; 0, (0) = ; 0,(00) = Cách giải quyết vấ đề hư vậy sẽ gây khó hiểu cho học sih. Điều ày đã được khắc phục ở lớp. Với việc thôg qua cơ chế côg cụ tườg mih của cấp số hâ, M 2 đã đưa ra cách giải quyết dễ hiểu hơ đối với việc viết số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số. k) Kiểu hiệm vụ T 0 : Tìm số hạg đầu và côg bội của cấp số hâ lùi vô hạ - Kĩ thuật 0 : u u + ử dụg các côg thức =, ( q ) =, q q phươg trìh hai ẩ u và q. u = u q để lập hệ.

59 53 + Giải hệ phươg trìh để tìm u và q (chọ q thỏa điều kiệ q < ) - Côg ghệ θ 0 : + Địh lí 2 + Địh lí 3 + Tổg cấp số hâ lùi vô hạ. Nhậ xét: + Đặc trưg của kiểu hiệm vụ T 0 là luô cho trước tổg của cấp số hâ lùi vô hạ. Kiểu hiệm vụ ày được êu trog M 2 và E 2. + Có 4 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 0 (2 câu trog M 2 và 2 câu trog E 2 ). Ví dụ: bài tập 9 (M 2, tr. 43) Tổg của một cấp số hâ lùi vô hạ là 5 39, tổg ba số hạg đầu tiê của ó là Tìm số hạg đầu và côg bội của cấp số đó. Lời giải mog đợi Ta có u 5 = q 3 3 u ( q ) 39 = q 25 Thay () vào (2), ta được () (2) ( q ) = q = Thay vào (), ta được u = (G 2, tr.83) Kiểu hiệm vụ T 0 : Tìm số hạg đầu và côg bội của cấp số hâ lùi vô hạ khôg có trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Kết luậ - Đối tượg cấp số hâ được đưa vào M 2 theo tiế trìh Côg cụ Đối tượg Côg cụ. Cơ chế côg cụ tườg mih của cấp số hâ được thể hiệ qua hữg

60 54 ứg dụg của cấp số hâ trog thực tế cuộc sốg (chẳg hạ bài toá dâ số ở hoạt độg H3 trog M 2 trag 9), trog việc giải bài tập 35 (một bài tập ở mô Vật lí), trog việc biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số. Với việc đưa vào cơ chế côg cụ tườg mih của cấp số hâ, M 2 đã cho học sih thấy được sự ứg dụg của cấp số hâ. - Cấp số hâ là dãy số (hữu hạ hay vô hạ) đặc biệt, có sự ràg buộc giữa hai số hạg liê tiếp. Cấp số hâ lùi vô hạ là cấp số hâ vô hạ đặc biệt, có côg bội q thỏa q < - Bảg thốg kê số lượg câu ứg với các kiểu hiệm vụ: Kiểu hiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ T Bài tập trog M 2 Bài tập trog E 2 Tổg cộg a b T T 3 T 4 3a 0 0 3b 0 0 4a 0 2 4b 0 0 T T T T T T Tổg cộg Bảg 2.2 Qua bảg thốg kê trê, chúg tôi hậ thấy:

61 55 + Kiểu hiệm vụ T chiếm số lượg câu hiều hất (3/53 câu). Điều ày chứg tỏ chươg trìh Nâg Cao mog muố học sih hiểu địh ghĩa cấp số hâ, biết vậ dụg địh ghĩa cấp số hâ để xác địh dãy số đã cho có phải là cấp số hâ hay khôg. + Kiểu hiệm vụ T 2 chiếm số lượg câu tươg đối hiều (6/53 câu). Điều đặc biệt là kiểu hiệm vụ ày giúp học sih thấy được mối liê hệ giữa cấp số hâ và dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi dạg v = av + b (với a, b là các hằg số). + Hai kiểu hiệm vụ T 7 và T 9 cũg chiếm số lượg câu tươg đối hiều: T 7 chiếm 7/53 câu, T 9 chiếm 9/53 câu. Với 7/53 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 7, chươg trìh Nâg Cao đã chú trọg đế việc cho học sih thấy được sự hiệ diệ, ứg dụg của cấp số hâ trog mô học khác và trog thực tế cuộc sốg. Bê cạh đó, việc hai kiểu hiệm vụ T 7 và T 9 chiếm tổg cộg 6/53 câu chứg tỏ cơ chế côg cụ tườg mih của cấp số hâ rất được qua tâm ở chươg trìh Nâg Cao. + Hai kiểu hiệm vụ T 3 và T 8 chiếm số lượg câu ít hất (2/53 câu). Tuy vậy, kiểu hiệm vụ T 8 giúp ích cho học sih trog kiểu hiệm vụ T 9. + ố lượg câu tập trug ở phầ bài tập (48/53 câu), trog đó có 3 câu trog M 2 và 7 câu trog E 2. - Trog mười kiểu hiệm vụ êu trê, có đế ăm kiểu hiệm vụ đề cập đế việc tíh tổg: u + Đối với T 5, T 6, T 7 học sih sẽ sử dụg côg thức ( q ) = q để tíh tổg số hạg đầu tiê của cấp số hâ. u + Đối với T 8, T 9 học sih sẽ sử dụg côg thức = u+ u2 + u = q để tíh tổg cấp số hâ lùi vô hạ Cấp số hâ trog bộ sách Cơ Bả Trog phầ ày, chúg tôi sử dụg các sách M 3, E 3, G 3.

62 Khái iệm cấp số hâ trog M 3 - Bài Cấp số hâ ằm trog chươg III: Dãy số. Cấp số cộg và Cấp số hâ. Chươg ày gồm các ội dug sau: Bài : Phươg pháp quy ạp toá học. Bài 2: Dãy số. Bài 3: Cấp số cộg. Bài 4: Cấp số hâ. Khái iệm dãy số vô hạ, dãy số hữu hạ được địh ghĩa hư ở M 2. Ba cách để cho một dãy số cũg giốg ở M 2. - au dãy số, các đối tượg cấp số cộg và cấp số hâ lầ lượt xuất hiệ. Mở đầu bài Cấp số hâ, M 3 êu Hoạt độg : Tục truyề rằg hà Vua Ấ Độ cho phép gười phát mih ra bà cờ Vua được lựa chọ một phầ thưởg tùy theo sở thích. Người đó chỉ xi hà vua thưởg cho số thóc bằg số thóc đặt lê 64 ô của bà cờ hư sau: Đặt lê ô thứ hất của bà cờ một hạt thóc, tiếp đế ô thứ hai hai hạt, cứ hư vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liề trước cho đế ô cuối cùg. Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ thứ hất đế thứ sáu của bà cờ (M 3, tr. 98). Hoạt độg ày yêu cầu xác địh số hạt thóc ở các ô thứ hất, thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ ăm, thứ sáu của bà cờ. Liê qua đế hoạt độg, G 3 êu: Hoạt độg : Thôg qua một bài toá cổ Ấ Độ để giới thiệu cho học sih biết một quy tắc để thàh lập dãy số, tươg ứg với số các hạt thóc trê bà cờ. Quy tắc đó là: Các số hạg, từ thứ hai trở đi đều gấp đôi số hạg đứg gay trước ó. ố hạt thóc ở sáu ô đầu là, 2, 4, 8, 6, 32. Nếu giáo viê sử dụg hoạt độg để vào bài thì có thể gợi ý cho học sih thấy rằg có thể khái quát quy tắc trê bằg phép hâ với một số bất kì khôg đổi. (G 3, tr. 04). Như vậy thôg qua hoạt độg, giáo viê có thể dẫ dắt học sih đế địh ghĩa cấp số hâ: Cấp số hâ là một dãy số (hữu hạ hoặc vô hạ), trog đó kể từ số hạg thứ hai, mỗi số hạg đều là tích của số hạg đứg gay trước ó với một số khôg đổi q.

63 57 ố q được gọi là côg bội của cấp số hâ. (M 3, tr. 98) Địh ghĩa cấp số hâ được phát biểu bằg lời. Địh ghĩa ày giốg với địh ghĩa cấp số hâ phát biểu bằg lời trog M 2. au khi êu địh ghĩa cấp số hâ, M 3 đưa ra cấp số hâ có số hạg đầu u = 0 : Khi u = 0 thì với mọi q, cấp số hâ có dạg 0, 0, 0,..., 0,... (M 3, tr. 99) M 2 khôg đề cập đế cấp số hâ ày. au đó, M 3 trìh bày các vấ đề: số hạg tổg quát, tíh chất các số hạg, tổg số hạg đầu của cấp số hâ và tổg của cấp số hâ lùi vô hạ. Khác với M 2, trước khi trìh bày ba vấ đề: số hạg tổg quát, tíh chất các số hạg, tổg số hạg đầu của cấp số hâ, M 3 luô đưa ra một hoạt độg dàh cho học sih. Kết luậ: Hoạt độg gắ liề với bài toá cổ Ấ Độ có mục đích dẫ dắt học sih đế địh ghĩa cấp số hâ. Cấp số hâ hoạt độg dưới dạg đối tượg khi M 3 lầ lượt trìh bày: địh ghĩa cấp số hâ; số hạg tổg quát của cấp số hâ; tíh chất các số hạg của cấp số hâ; tổg số hạg đầu của một cấp số hâ; tổg của cấp số hâ lùi vô hạ Các tổ chức toá học Các tổ chức toá học được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ và các kiểu hiệm vụ gắ liề với đối tượg ày Ở phầ ày, đối với các tổ chức toá học đã có trog bộ sách Nâg Cao, chúg tôi chỉ hắc lại. A) Các tổ chức toá học được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ và các kiểu hiệm vụ gắ liề với đối tượg ày đã có trog bộ sách Nâg Cao Kiểu hiệm vụ T : Nhậ diệ cấp số hâ Có 9 câu ứg với kiểu hiệm vụ T (4 câu trog M 3 và 5 câu trog E 3 ), trog đó có 2 câu sử dụg a và 7 câu sử dụg b.

64 58 Kiểu hiệm vụ T 4 : Tìm cấp số hâ có hữu hạ số hạg 4b. Có 3 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 4 (đều trog M 3 ). Cả 3 câu ày đều sử dụg Kiểu hiệm vụ T 5 : Tíh tổg số hạg đầu tiê của cấp số hâ Có 3 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 5 (đều trog M 3 ) Kiểu hiệm vụ T 6 : Tíh tổg tất cả các số hạg của một cấp số hâ có hữu hạ số hạg Có câu ứg với kiểu hiệm vụ T 6 (trog E 3 ) Nhậ xét: Ứg với 3 câu thuộc kiểu hiệm vụ T 5 và câu thuộc kiểu hiệm vụ T 6, bộ sách Cơ Bả luô chọ hữg cấp số hâ có côg bội là một số cụ thể khác. Đồg thời, trog lời giải mog đợi ở 4 câu ày, bộ sách Cơ Bả khôg đề cập đế điều u kiệ côg bội q khi sử dụg côg thức ( q ) =. q Liê qua đế đối tượg cấp số hâ, từ ghi hậ êu trê, chúg tôi dự đoá tồ tại ở học sih một qui tắc sau đây của hợp đồg didactic: u R: Khi sử dụg côg thức ( q ) = q (với q ) để tíh tổg số hạg đầu của một cấp số hâ, học sih khôg có trách hiệm kiểm tra điều kiệ côg bội q. Kiểu hiệm vụ T 7 : Giải bài toá liê qua đế cấp số hâ ở mô học khác, trog thực tế cuộc sốg Có 4 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 7 (đều trog M 3 ) Kiểu hiệm vụ T 8 : Tíh tổg của cấp số hâ lùi vô hạ Có 3 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 8 (đều trog M 3 )

65 59 Kiểu hiệm vụ T 9 : Biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số Có ứg với kiểu hiệm vụ T 9 (trog M 3 ) B) Các tổ chức toá học được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ và các kiểu hiệm vụ gắ liề với đối tượg ày khôg có trog bộ sách Nâg Cao Kiểu hiệm vụ T / 3 : Cho trước số hạg đầu u và côg bội q của cấp số hâ (u ). Hãy tíh u k - Kĩ thuật 3 / : Tíh uk. k = u q - Côg ghệ θ 3 / : Địh lí. Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T 3 / được phát biểu trog M 3 + Có câu ứg với kiểu hiệm vụ T 3 / (trog M 3 ) Ví dụ: Ví dụ 2 (M 3, tr. 00) Cho cấp số hâ ( u ) với u = 3, a) Tíh u 7 Lời giải mog đợi a) Áp dụg côg thức (2), ta có u 7 6 q = = u. q = 3. = (M 3, tr. 00) 2 64 Kiểu hiệm vụ T 3 / : Cho trước số hạg đầu u và côg bội q của cấp số hâ (u ). Hãy tíh u k là một trườg hợp của kiểu hiệm vụ T 2000 : Tìm số hạg u k (hay số hạg thứ k) của cấp số hâ. Kĩ thuật 3 / ít hơ một bước so với kĩ thuật 2000.

66 60 Kiểu hiệm vụ T : Cho trước số hạg đầu u và côg bội q của cấp số hâ (u ). Hãy cho biết thứ tự của số hạg a - Kĩ thuật : + Có. u = u q = a + Giải tìm + Kết luậ a là số hạg thứ. - Côg ghệ θ : + Qui ước về thứ tự của số hạg u trog dãy số. + Địh lí. Nhậ xét: Có 4 câu ứg với kiểu hiệm vụ T (2 câu trog M 3 và 2 câu trog E 3 ) Ví dụ: Ví dụ 2 (M 3, tr. 00) Cho cấp số hâ ( u ) với u = 3, b) Hỏi Lời giải mog đợi là số hạg thứ mấy? Theo côg thức (2), ta có u q = = 3. = = = uy ra = 8 hay = 9 Vậy số là số hạg thứ chí. (M 3, tr. 00) Kiểu hiệm vụ T : Cho trước số hạg đầu u và côg bội q của cấp số hâ (u ). Hãy cho biết thứ tự của số hạg a khôg có trog sách toá lớp chỉh lí

67 6 hợp hất ăm Chúg tôi hậ thấy đây là một kiểu hiệm vụ mới lạ so với các kiểu hiệm vụ trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Kiểu hiệm vụ T 2 : Tìm số hạg đầu và côg bội của cấp số hâ khi biết các hệ thức có chứa các số hạg của cấp số hâ đó - Kĩ thuật 2 : + ử dụg côg thức u uq = để lập hệ phươg trìh hai ẩ u và q + Giải hệ phươg trìh tìm số hạg đầu u và côg bội q - Côg ghệ θ 2 : + Địh ghĩa cấp số hâ. + Địh lí. Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T 2 được êu trog M 3 và E 3 + Có 7 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 2 (3 câu trog M 3 và 4 câu trog E 3 ) Ví dụ: bài tập 9 (M 3, tr. 07) Tìm số hạg đầu u và côg bội q của cấp số hâ ( u ), biết: b) u u u = u = Lời giải mog đợi Giải hệ 3 u. q u. q = u. q u. q = 44 hay 2 u qq =. ( ) 72 () 2 2 u. q ( q ) = 44 (2) Chia các vế tươg ứg của (2) cho (), ta có q = 2, từ đó tìm được u = 2 (G 3, tr.4) Kiểu hiệm vụ T 2 : Tìm số hạg đầu và côg bội của cấp số hâ khi biết các hệ thức có chứa các số hạg của cấp số hâ đó tươg ứg với kiểu hiệm vụ

68 62 T : Tíh số hạg đầu và côg bội của cấp số hâ khi biết các hệ thức có chứa các số hạg của cấp số hâ đó. Ứg với kiểu hiệm vụ T 2, kĩ thuật 2 được hìh thàh thôg qua lời giải mog đợi của các bài tập. Trog khi đó, ứg với kiểu hiệm vụ T , kĩ thuật do chúg tôi đưa ra bởi vì E khôg trìh bày lời giải tất cả các câu thuộc kiểu hiệm vụ ày mà chỉ đưa ra đáp số. Kiểu hiệm vụ T 3 : Viết k số xe giữa các số a và b để được một cấp số hâ có (k + 2) số hạg - Kĩ thuật 3 : + Có u = a và uk 2 + = b + Có k b= aq. + + Giải tìm q + Tíh u = u q, với = 2, 3,..., k +. - Côg ghệ θ 3 : + Địh ghĩa dãy số hữu hạ + Địh lí. Nhậ xét: + Kiểu hiệm vụ T 3 được êu trog E 3 + Có 3 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 3 (đều trog E 3 ) Ví dụ: Ví dụ 2 (E 3, tr. 5) a) Viết ăm số xe giữa các số và 729 để được một cấp số hâ có bảy số hạg. Lời giải mog đợi Ta có u = 2, u 7 = 729 Vì u = u q 6 ê 6 u7 6 q = = 729 = 3, suy ra q = ± 3 u 7. Năm số cầ viết là 3, 9, 27, 8, 243 hoặc 3, 9, 27, 8, 243 (E 3, tr.5)

69 63 Kiểu hiệm vụ T 3 : Viết k số xe giữa các số a và b để được một cấp số hâ có (k + 2) số hạg khôg có trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Chúg tôi hậ thấy T 3 là một kiểu hiệm vụ mới lạ so với các kiểu hiệm vụ trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Kiểu hiệm vụ T 4 : Chứg mih đẳg thức có chứa các bộ 3 số hạg liê tiếp của một cấp số hâ - Kĩ thuật 4 : ử dụg tíh chất Nếu a, b, c là ba số hạg liê tiếp của cấp số hâ thì b 2 = ac. để chứg mih đẳg thức đã cho. - Côg ghệ θ 4 : Địh lí 2. Nhậ xét: Có 4 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 4 (đều trog E 3 ) Ví dụ: Ví dụ 4 (E 3, tr. 7) Cho cấp số hâ a, b, c, d. Chứg mih rằg a) ( b c) + ( c a) + ( d b) = ( a d) Lời giải mog đợi Ta có 2 b = ac, 2 c a) Biế đổi vế trái = bd, ad = bc ( b c) + ( c a) + ( d b) = b + c 2bc + c 2ac + a + d 2bd + b = a 2 ad + d = ( a d) (E 3, tr. 7) Kiểu hiệm vụ T 4 : Chứg mih đẳg thức có chứa các bộ 3 số hạg liê tiếp của một cấp số hâ khôg có trog sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Tuy hiê, liê qua đế bộ 3 số hạg liê tiếp của cấp số hâ, E có đưa ra kiểu hiệm vụ T : Tíh giá trị biểu thức có chứa các bộ 3 số hạg liê tiếp của một cấp số hâ. C) Nhậ xét

70 64 Các kiểu hiệm vụ T 2, T 3, T 0 có trog bộ sách Nâg Cao hưg khôg có trog bộ sách Cơ Bả Kết luậ - Đối tượg cấp số hâ được đưa vào M 3 theo tiế trìh Đối tượg Côg cụ. Cấp số hâ hoạt độg dưới dạg côg cụ lầ đầu qua việc giải quyết một bài tập mô ih học ở Ví dụ 3 (M 3, tr. 00): Lời giải mog đợi Tế bào E. Coli trog điều kiệ uôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phâ đôi một lầ. a) Hỏi một tế bào sau mười lầ phâ chia sẽ thàh bao hiêu tế bào? a) Vì ba đầu có một tế bào và mỗi lầ một tế bào phâ chia thàh hai tế bào ê ta có cấp số hâ với u =, q = 2 và u là số tế bào hậ được sau mười lầ phâ chia. Vậy sau 0 lầ phâ chia, số tế bào hậ được là 0 u =.2 = 2 = 024 (M 3, tr. 00) au đó ó cò được thể hiệ trog việc giải bài toá thực tế, chẳg hạ bài tập 5: Tỉ lệ tăg dâ số của tỉh X là,4%. Biết rằg số dâ của tỉh hiệ ay là,8 triệu gười. Hỏi với mức tăg hư vậy thì sau 5 ăm, 0 ăm số dâ của tỉh đó là bao hiêu? (M 3, tr. 04). - Cấp số hâ là dãy số (hữu hạ hay vô hạ) đặc biệt, có sự ràg buộc giữa hai số hạg liê tiếp. Cấp số hâ lùi vô hạ là cấp số hâ vô hạ đặc biệt, có côg bội q thỏa q < - Bảg thốg kê số lượg câu ứg với các kiểu hiệm vụ:

71 65 Bài tập Bài tập Kiểu hiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ Tổg cộg trog M 3 trog E 3 T / T 3 a 0 2 b / T 4 4a b T T T T T T 2 4 T T T Tổg cộg Bảg 2.3 Qua bảg thốg kê trê, chúg tôi hậ thấy: + Kiểu hiệm vụ T chiếm số lượg câu hiều hất (9/43 câu). Điều ày cho thấy chươg trìh Cơ Bả mog muố học sih ắm vữg địh ghĩa cấp số hâ, biết dựa vào địh ghĩa cấp số hâ để hậ diệ cấp số hâ. + Các kiểu hiệm vụ T / 3, T 6, T 9 chiếm số lượg câu ít hất (/43 câu). T 9 chỉ chiếm /43 câu chứg tỏ chươg trìh Cơ Bả khôg chú trọg vấ đề biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số.

72 66 + Kiểu hiệm vụ T 2 chiếm số lượg câu tươg đối hiều (7/43 câu). Điều ày chứg tỏ vấ đề tìm số hạg đầu u và côg bội q được qua tâm trog chươg trìh Cơ Bả. + Với 4 câu ứg với kiểu hiệm vụ T 7 và câu ứg với kiểu hiệm vụ T 9, chươg trìh Cơ Bả đã tạo điều kiệ cho cấp số hâ hoạt độg dưới dạg côg cụ. Qua cơ chế côg cụ của cấp số hâ, ta thấy được sự ứg dụg của cấp số hâ trog mô học khác (chẳg hạ mô ih học), trog thực tế cuộc sốg (chẳg hạ bài tập 5 trag 04 ở M 3 bài toá dâ số) và trog việc biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số. + ố lượg câu được phâ bố tươg đối đều ở ba phầ: ví dụ (chiếm 4/43 câu), bài tập trog M 3 (chiếm 6/43 câu), bài tập trog E 3 (chiếm 3/43 câu). - Trog 2 kiểu hiệm vụ trê, có 4 kiểu hiệm vụ liê qua đế việc tíh tổg: u + Đối với T 5, T 6 học sih sẽ sử dụg côg thức ( q ) = q để tíh tổg số hạg đầu của cấp số hâ. u + Đối với T 8, T 9 học sih sẽ sử dụg côg thức = để tíh tổg cấp số q hâ lùi vô hạ Kết luậ - Cả M 2 và M 3 đều giới thiệu một bài toá trước khi đưa ra địh ghĩa cấp số hâ. Cụ thể M 2 sử dụg bài toá lãi suất gâ hàg liê qua đế vấ đề lãi kép, cò M 3 sử dụg bài toá cổ Ấ Độ. Trog đó, bài toá lãi suất gâ hàg thể hiệ cơ chế côg cụ gầm ẩ của cấp số hâ, bài toá cổ Ấ Độ gắ liề với hoạt độg giới thiệu cho học sih thấy một dãy số hữu hạ đặc biệt. - au địh ghĩa cấp số hâ, M 2 và M 3 trìh bày các vấ đề: số hạg tổg quát của cấp số hâ, tíh chất ba số hạg liê tiếp của cấp số hâ, tổg số hạg đầu tiê của một cấp số hâ. Tuy hiê, khác với M 2, trước khi trìh bày ba vấ đề

73 67 trê, M 3 luô đưa ra một hoạt độg dàh cho học sih. Vấ đề tổg của cấp số hâ lùi vô hạ được trìh bày trog chươg tiếp theo chươg Giới hạ. Cấp số hâ hoạt độg dưới dạg đối tượg trog bố vấ đề trê. - Trog 0 tổ chức toá học được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ ở bộ sách Nâg Cao và 2 tổ chức toá học được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ ở bộ sách Cơ Bả, có đế 7 tổ chức toá học được trìh bày ở cả hai bộ sách gắ liề với các kiểu hiệm vụ T, T 4, T 5, T 6, T 7, T 8, T 9. Kiểu hiệm vụ T / 3 là trườg hợp đặc biệt của kiểu hiệm vụ T 3. Nhữg ghi hậ ày chứg tỏ sự thốg hất giữa hai bộ sách trog việc trìh bày cấp số hâ. - Một điều đág qua tâm ữa là cả chươg trìh Nâg Cao và chươg trìh Cơ Bả đều tạo điều kiệ cho cấp số hâ hoạt độg dưới dạg côg cụ. Ở bộ sách Nâg Cao, có đế 6/53 câu thể hiệ cơ chế côg cụ của cấp số hâ. Thôg qua cơ chế côg cụ của cấp số hâ, thể chế dạy học toá lớp hiệ hàh đã cho học sih thấy được sự ứg dụg của cấp số hâ trog mô học khác (chẳg hạ mô Vật lí, mô ih học), trog thực tế cuộc sốg (chẳg hạ bài toá dâ số), trog vấ đề biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số. Vấ đề ày được qua tâm hơ ở bộ sách Nâg Cao (chiếm 9/53 câu), trog khi đó chỉ có /43 câu ở bộ sách Cơ Bả. - o với chươg trìh Nâg Cao thì chươg trìh Cơ Bả chú trọg hơ việc cho học sih qua sát ví dụ mih họa trước khi giải quyết các hiệm vụ được yêu cầu. Điều ày thể hiệ qua ghi hậ: có 4/43 câu được phâ bố ở phầ Ví dụ trog bộ sách Cơ Bả, trog khi đó chỉ có 5/53 câu được phâ bố ở phầ Ví dụ trog bộ sách Nâg Cao. Nhữg kết luậ êu trê có thể xem là một phầ câu trả lời của chúg tôi dàh cho câu hỏi Q2 đã được đặt ra trog phầ mở đầu. Việc làm rõ mối qua hệ thể chế dạy học toá lớp hiệ hàh với đối tượg cấp số hâ đã dẫ chúg tôi đế giả thuyết sau đây:

74 68 H: Trog thể chế dạy học toá lớp, liê qua đế đối tượg cấp số hâ, tồ tại một qui tắc hợp đồg didactic sau: u R: Khi sử dụg côg thức ( q ) = q (với q ) để tíh tổg số hạg đầu của một cấp số hâ, học sih khôg có trách hiệm kiểm tra điều kiệ côg bội q o sáh cách trìh bày cấp số hâ trog chươg trìh toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 và trog chươg trìh toá lớp hiệ hàh Liê qua đế khái iệm cấp số hâ, các vấ đề hư: địh ghĩa cấp số hâ, số hạg tổg quát của cấp số hâ, tíh chất ba số hạg liê tiếp của cấp số hâ, tổg số hạg đầu của cấp số hâ, tổg của cấp số hâ lùi vô hạ (tươg ứg trog M là tổg của cấp số hâ vô hạ có côg bội q với q < ) đều được trìh bày ở M, M 2 và M 3. Trog đó, vấ đề tổg của cấp số hâ lùi vô hạ (hay tổg của cấp số hâ vô hạ có côg bội q với q < ) trìh bày ở chươg Giới hạ. Cùg với các vấ đề trê, cơ chế đối tượg của cấp số hâ thể hiệ rõ ràg. Địh ghĩa cấp số hâ trog M, M 2 và M 3 đều cho thấy cấp số hâ là dãy số (hữu hạ hay vô hạ) đặc biệt, có sự ràg buộc giữa hai số hạg liê tiếp. Khôg có ràg buộc ào đối với côg bội. ách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 đưa ra 7 tổ chức toá học được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ gắ liề với các kiểu hiệm vụ T 2000, T , T , T , T , T , T ách toá lớp hiệ hàh đưa ra 5 tổ chức toá học được xây dựg quah đối tượg cấp số hâ gắ liề với các kiểu hiệm vụ T, T 2, T 3, T 3 /, T 4, T 5, T 6, T 7, T 8, T 9, T 0, T, T 2, T 3, T 4. Trog đó, 0 kiểu hiệm vụ T, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6, T 7, T 8, T 9, T 0 có ở bộ sách Nâg Cao, 2 kiểu hiệm vụ T, T 3 /, T 4, T 5, T 6, T 7, T 8, T 9, T, T 2, T 3, T 4 có ở bộ sách Cơ Bả. Như đã phâ tích thì: T 2000 là một trườg hợp đặc biệt của T 3 và T 3 / là một trườg hợp của T 2000.

75 69 T tươg ứg với T 5. T tươg ứg với T 2. T tươg ứg với T 4. T tươg ứg với T 8. T là một trườg hợp của T. T khôg có trog sách toá lớp hiệ hàh. Như vậy, goại trừ T , hầu hết các kiểu hiệm vụ ở sách toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 đều hiệ diệ ở sách toá lớp hiệ hàh. Ngoài ra, trog sách toá lớp hiệ hàh cò có một vài kiểu hiệm vụ mới lạ, chẳg hạ hư: T 7, T 9, T, T 3. Bê cạh hữg ghi hậ trê, cách trìh bày cấp số hâ trog chươg trìh toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 và trog chươg trìh toá lớp hiệ hàh cò có hữg điểm khác hau hư: Chươg trìh toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 Địh ghĩa cấp số hâ được đưa vào gay từ đầu bài cấp số hâ... Dùg kí hiệu u, u2,..., u,... để chỉ.. cấp số hâ (u ). Chươg trìh toá lớp hiệ hàh Địh ghĩa cấp số hâ được đưa vào sau một bài toá: ở chươg trìh Nâg Cao là bài toá lãi suất gâ hàg, ở chươg trìh Cơ Bả là bài toá cổ Ấ Độ. Như vậy cách tiếp cậ cấp số hâ ở chươg trìh toá lớp hiệ hàh có sự tiế triể so với cách tiếp cậ cấp số hâ ở chươg trìh toá lớp chỉh lí hợp hất ăm Khôg dùg kí hiệu u, u2,..., u,..... để chỉ cấp số hâ (u ).

76 70 Vấ đề hậ diệ cấp số hâ khôg được chú trọg. Có trìh bày chứg mih địh lí về số hạg tổg quát. Tê gọi cấp số hâ lùi vô hạ khôg xuất hiệ. Cơ chế côg cụ của cấp số hâ khá mờ hạt. Kiểu hiệm vụ biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số khôg có cơ hội xuất hiệ. Vấ đề hậ diệ cấp số hâ được chú trọg. Điều ày chứg tỏ thể chế dạy học toá lớp hiệ hàh mog muố học sih hiểu và ắm vữg địh ghĩa cấp số hâ, biết vậ dụg địh ghĩa cấp số hâ để xác địh một dãy số có phải là cấp số hâ hay khôg. Khôg trìh bày chứg mih địh lí về số hạg tổg quát (mục đích: giảm hẹ ội dug lí thuyết giảg dạy trê lớp). Tê gọi cấp số hâ lùi vô hạ xuất hiệ, để chỉ hữg cấp số hâ vô hạ có côg bội q thỏa q <. Cơ chế côg cụ của cấp số hâ rất được qua tâm. Nó thể hiệ qua hữg ứg dụg của cấp số hâ trog thực tế cuộc sốg (chẳg hạ bài toá dâ số), trog mô học khác (chẳg hạ mô Vật lí, mô ih học), trog việc biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số. Điều ày đã giải thích vì sao thể chế dạy học toá lớp hiệ hàh mog muố học sih hiểu và ắm vữg địh ghĩa cấp số hâ. Chỉ khi ắm vữg địh ghĩa cấp số hâ, học sih mới có thể sử dụg cấp số hâ hư là côg cụ để giải quyết một vài vấ đề.

77 7 Tóm lại: o với chươg trìh toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000 thì cách trìh bày cấp số hâ trog chươg trìh toá lớp hiệ hàh có sự tiế triể, đặc biệt là ở: - Cách tiếp cậ cấp số hâ: Chươg trìh toá lớp hiệ hàh đã dùg mô hìh thực tế để dẫ dắt học sih đế khái iệm cấp số hâ. - Cơ chế côg cụ của cấp số hâ: Ở chươg trìh toá lớp chỉh lí hợp hất ăm 2000, cơ chế côg cụ của cấp số hâ khá mờ hạt. Trog khi đó, chươg trìh toá lớp hiệ hàh đã chú trọg đế cơ chế côg cụ của cấp số hâ, điều ày được thể hiệ qua hữg ứg dụg của cấp số hâ trog thực tế cuộc sốg, trog mô học khác, trog việc biểu diễ số thập phâ vô hạ tuầ hoà dưới dạg phâ số. Nhữg kết luậ êu trê có thể xem là phầ cò lại của câu trả lời của chúg tôi dàh cho câu hỏi Q2 đã được đặt ra trog phầ mở đầu.

78 72 CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Mục đích của chươg là kiểm chứg giả thuyết ghiê cứu sau đây: H: Trog thể chế dạy học toá lớp, liê qua đế đối tượg cấp số hâ, tồ tại một qui tắc hợp đồg didactic sau: u R: Khi sử dụg côg thức ( q ) = q (với q ) để tíh tổg số hạg đầu của một cấp số hâ, học sih khôg có trách hiệm kiểm tra điều kiệ côg bội q. Để kiểm chứg giả thuyết êu trê, chúg tôi sẽ tiế hàh thực ghiệm đối với học sih. Việc kiểm chứg được giả thuyết H sẽ giúp chúg tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3 đã được đặt ra ở phầ mở đầu. 3.. Đối tượg và hìh thức thực ghiệm Đối tượg thực ghiệm Chúg tôi sẽ tiế hàh thực ghiệm đối với học sih lớp đã học xog ội dug cấp số hâ. Hìh thức thực ghiệm Việc thực ghiệm được tiế hàh thôg qua bộ câu hỏi điều tra gồm hai bài tập. Học sih làm việc cá hâ để hoà thàh từg bài tập được trìh bày trog một phiếu thực ghiệm gồm hai tờ được phát cho mỗi em. au khi hết thời gia làm bài tập, chúg tôi yêu cầu học sih khôg được sử dụg máy tíh bỏ túi khi giải bài tập 2.

79 73 Bài tập : Cho cấp số hâ ( u ) có số hạg đầu u = 9 và côg bội q = Hãy tíh tổg 0 số hạg đầu của cấp số hâ đó. Thời gia để học sih hoà thàh bài tập là 5 phút. Bài tập 2: Cho biểu thức = + ab + ( ab) + ( ab) + ( ab) + ( ab) + ( ab) + ( ab) + ( ab), với a, b R. Khôg sử dụg máy tíh bỏ túi, hãy tíh tổg với 2 a = và b = 5 4 Thời gia để học sih hoà thàh bài tập 2 là 0 phút Phâ tích tiê ghiệm (a priori) bài toá thực ghiệm Xây dựg bài toá thực ghiệm Bài tập : Biế didactic Chúg tôi xây dựg bài tập để thực ghiệm dựa vào việc chọ giá trị biế didactic sau: Biế V.: Tổg cầ tíh có ít hay hiều số hạg đầu? Hai giá trị của biế: + Tổg cầ tíh có ít số hạg đầu. + Tổg cầ tíh có hiều số hạg đầu.

80 74 Biế V.2: Giá trị của côg bội q bằg hay khác? Hai giá trị của biế: + Giá trị của côg bội q bằg. + Giá trị của côg bội q khác. Trog bài tập ày, giá trị của biế V. là tổg cầ tíh có hiều số hạg đầu, giá trị của biế V.2 là giá trị của côg bội q bằg. Bài tập 2: Biế tìh huốg và biế didactic Chúg tôi xây dựg bài tập 2 để thực ghiệm dựa vào việc chọ giá trị biế tìh huốg và biế didactic sau: - Biế tìh huốg Biế V2.: Cách cho lũy thừa của ab Hai giá trị của biế: + Chỉ cho dạg ( ) ab hoặc dạg ( ) ba. + Ngoài dạg ( ) ab hoặc dạg ( ) ba cò có thêm các dạg ab, ba. - Biế didactic Biế V2.2: Có được sử dụg máy tíh bỏ túi hay khôg? Hai giá trị của biế: + Được sử dụg máy tíh bỏ túi. + Khôg được sử dụg máy tíh bỏ túi. Biế V2.3: Giá trị của tích ab bằg hay khác? Hai giá trị của biế: + Giá trị của tích ab bằg.

81 75 + Giá trị của tích ab khác. Trog bài tập 2 ày, giá trị của biế V2. là chỉ cho dạg ( ab ), giá trị của biế V2.2 là khôg được sử dụg máy tíh bỏ túi, giá trị của biế V2.3 là giá trị của tích ab bằg Phâ tích chi tiết bài toá thực ghiệm Bài tập : Trog bài tập ày, chúg tôi chọ giá trị của biế V. là tổg cầ tíh có hiều số hạg đầu, cụ thể là tổg gồm 0 số hạg đầu, hằm gă chặ việc học sih tíh tổg 0 số hạg đầu của cấp số hâ bằg cách tíh 9 số hạg u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8, u 9, u 0 rồi tíh tổg từ u đế u 0. Việc chọ giá trị của biế V.2 là giá trị của côg bội q bằg hằm mục đích xem học sih sẽ ứg xử ra sao trog trườg hợp ày. Liệu học sih có qua tâm đế việc kiểm tra điều kiệ côg u bội q hay khôg khi sử dụg côg thức ( q ) =?. Đây là điều mà chúg q tôi qua tâm đối với bài tập ày. Các chiế lược có thể u.: Chiế lược tổg ( q ) = q Trog chiế lược ày, học sih sử dụg côg thức 0 = 0 u( q ) q để tíh tổg 0 số hạg đầu của cấp số hâ đã cho. Cái có thể qua sát gắ với chiế lược..a: 0 = 0 u( q ) q

82 76 0 = Học sih có thể đưa ra một trog các kết quả sau: a: 0 = a2: 0 khôg tíh được. a3: 0 = 0 a4: 0 = 0 0.b: a5: kết quả khác q 2 3 = = = 0 u( q ) q 0 = 0 9( ) Học sih có thể đưa ra một trog các kết quả sau: b: 0 = 0 9( ) b2: 0 khôg tíh được.

83 77 b3: 0 = 0 b4: 0 = 0 0 b5: kết quả khác.2: Chiế lược tổg = u Trog chiế lược ày, đầu tiê học sih tíh q = rồi sau đó sử dụg côg thức = 0u để giải quyết bài toá. 0 Cái có thể qua sát gắ với chiế lược.2 q 2 3 = = = 0u = 0.( 9) = : Chiế lược tíh từg số hạg Trog chiế lược ày, học sih tíh 9 số hạg u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8, u 9, u 0 rồi tíh tổg 0 số hạg u, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8, u 9, u 0. Cái có thể qua sát gắ với chiế lược.3 u 2 3 = uq= 9. = u3 = uq = 9. = u4 = uq = 9. = u5 = uq = 9. = u6 = uq = 9. = u7 = uq = 9. = 9

84 u8 = uq = 9. = u9 = uq = 9. = u0 = uq = 9. = 9 Vậy 0 = u+ u2 + u3+ u4 + u5 + u6 + u7 + u8 + u9 + u0 = 90.4: Chiế lược khác Chúg tôi hóm vào đây tất cả các chiế lược khác với các chiế lược kể trê. Chẳg hạ hữg bài làm khôg rõ ràg của học sih, hay học sih có thể tíh 0 ( u + u0)0 =, 2 Cái có thể qua sát gắ với chiế lược.4 u = u. q = 9. = Vậy 0 ( 9 9).0 = = 90 2 * ự lựa chọ giá trị của biế ảh hưởg đế chiế lược Biế V. hậ giá trị là tổg cầ tíh có hiều số hạg đầu sẽ gă chặ chiế lược.3. Trog bài tập ày, chúg tôi chọ biế V.2 với giá trị là giá trị của côg bội q bằg. Nếu học sih qua tâm đế việc kiểm tra điều kiệ côg bội u q khi sử dụg côg thức ( q ) = q thì học sih sẽ chọ chiế lược.2. Ngược lại, học sih sẽ chọ chiế lược.. Khi đó chúg tôi kiểm chứg được giả thuyết H. Bài tập 2: Trog bài tập ày, chúg tôi chọ giá trị của biế V2. là chỉ cho dạg ( ab hằm giúp học sih dễ hậ ra biểu thức có dạg tổg 9 số hạg đầu của một cấp )

85 79 số hâ có số hạg đầu u = và côg bội q = ab. Thật vậy, ếu chúg tôi chọ giá trị của biế V2. là goài dạg ( ab ) hoặc dạg ( ba ) cò có thêm các dạg ab, ba, chẳg hạ hư: = + ba + a b + ( ba) + ( ab) + b a + a b + a b + ( ba) thì sẽ gây khó khă cho học sih trog việc hậ ra là tổg 9 số hạg đầu của một cấp số hâ có số hạg đầu u = và côg bội q = ab. Việc chọ giá trị của biế V2.2 là khôg được sử dụg máy tíh bỏ túi hằm gă chặ việc tíh tổg bằg cách thay giá trị a, giá trị b vào biểu thức ba đầu. Chúg tôi hậ thấy biế V2. hậ giá trị chỉ cho dạg ( ab ) có thể làm học sih ghĩ đế việc tíh tích ab trước rồi thay kết quả vào biểu thức. Tuy hiê, biế V2.2 hậ giá trị khôg được sử dụg máy tíh bỏ túi có thể làm cho học sih lưỡg lự với cách tíh ày. Tóm lại, việc chọ giá trị biế V2. và biế V2.2 hư đã êu tạo điều kiệ cho học u sih ghĩ đế việc sử dụg côg thức ( q ) = để rút gọ biểu thức rồi mới q tíh tổg với giá trị a, b đã cho. Khi đó, việc chọ giá trị của biế V2.3 là giá trị của tích ab bằg sẽ tạo cơ hội cho chúg tôi xem học sih có qua tâm đế việc kiểm tra điều kiệ côg bội q hay khôg khi sử dụg côg thức u ( q = )?. Đây là điều mà chúg tôi qua tâm ở bài tập 2 ày. q Các chiế lược có thể 2.: Chiế lược rút gọ biểu thức Trog chiế lược ày, đầu tiê học sih sử dụg côg thức 9 9 u( q ) = q để rút gọ biểu thức. au đó tíh tổg với giá trị a, b đã cho. Cái có thể qua sát gắ với chiế lược 2. 2.a:

86 80 Biểu thức là tổg 9 số hạg đầu của một cấp số hâ có số hạg đầu u = và côg bội q = ab. Vậy 9. ( ab) ( ab) 9 = = ab ab Với 2 a = và b = 5 4 thì: ( 5 4) = 2 ( 5 4) = = Học sih có thể đưa ra một trog các kết quả sau: a: = a2: Tổg khôg tíh được a3: = 0 a4: 0 = 0

87 8 2.b: a5: kết quả khác Biểu thức là tổg 9 số hạg đầu của một cấp số hâ có số hạg đầu u = và côg bội q = ab. Vậy 9. ( ab) ( ab) 9 = = ab ab ab = ( 5 4) = = = = Học sih có thể đưa ra một trog các kết quả sau: b: 9 = b2: Tổg khôg tíh được b3: = 0 b4: 2.c: 0 = 0 b5: kết quả khác Biểu thức là tổg 9 số hạg đầu của một cấp số hâ có số hạg đầu u = và côg bội q = ab. Vậy 9. ( ab) ( ab) 9 = = ab ab (với ab ) ab = ( 5 4) = = =

88 = = 9 2.2: Chiế lược thay giá trị a, b trực tiếp vào biểu thức Trog chiế lược ày, đầu tiê học sih thay biểu thức đã cho. au đó tíh tổg. 2 a = và b = 5 4 vào Cái có thể qua sát gắ với chiế lược 2.2 Với 2 a = và b = 5 4 thì: = + ( 5 4) + ( 5 4) + ( 5 4) + ( 5 4) ( 5 4) + ( 5 4) + ( 5 4) + ( 5 4) a: = = = = 9 2.2b: kết quả khác

89 83 2.3: Chiế lược tíh tích ab trước Trog chiế lược ày, đầu tiê học sih tíh tích ab rồi sau đó thay kết quả ab vào biểu thức đã cho để tíh tổg. Cái có thể qua sát gắ với chiế lược ab = ( 5 4) = = = Vậy = = 9 2.4: Chiế lược khác Chúg tôi hóm vào đây tất cả các chiế lược khác với các chiế lược kể trê. Chẳg hạ hữg bài làm khôg rõ ràg của học sih, hữg bài bỏ trốg, hay học sih có thể tíh tổg bằg côg thức 8 + ( ab) 9 = 2 Cái có thể qua sát gắ với chiế lược 2.4 = 8 ( ab) ab = ( 5 4) = = = Vậy 8 ( + )9 = = 9 2 * ự lựa chọ giá trị của biế ảh hưởg đế chiế lược Biế V2.2 hậ giá trị khôg được sử dụg máy tíh bỏ túi sẽ gă chặ chiế lược 2.2 và gây khó khă cho chiế lược 2.3. Chúg tôi chọ giá trị của biế V2.3 là giá trị của tích ab bằg hằm mục đích xem ứg xử của học sih khi thực hiệ chiế lược 2.. Nếu học sih qua tâm đế việc kiểm tra điều kiệ côg u bội q khi sử dụg côg thức ( q ) = q thì học sih sẽ chọ 2.c. Ngược

90 84 lại, học sih sẽ chọ 2.a và 2.b. Điều ày sẽ góp phầ khẳg địh tíh đúg đắ của giả thuyết H Phâ tích hậu ghiệm (a posteriori) bài toá thực ghiệm Chúg tôi tiế hàh thực ghiệm trê 27 học sih ở 3 lớp trườg THPT Thủ Thiêm. Bài tập : Cho cấp số hâ ( u ) có số hạg đầu u = 9 và côg bội Hãy tíh tổg 0 số hạg đầu của cấp số hâ đó. Bảg thốg kê bài làm bài tập của các học sih hư sau: q = Chiế lược qua sát được ố lượg Tỷ lệ u.: Chiế lược tổg ( q ) = q.a: Thay q = vào 0 0 u( q ) = q 85 66,94%.b: Tíh q = rồi thay vào 0 0 u( q ) = q 2 9,44%.2: Chiế lược tổg = u 9 4,96%.3: Chiế lược tíh từg số hạg 5 3,94%.4: Chiế lược khác (Nhữg bài làm khôg rõ ràg của học sih) 6 4,72% Tổg cộg 27 00% Bảg 3.

91 85 Nhậ xét: Trog 27 học sih tham gia giải bài tập, có đế 97 học sih (chiếm tỷ lệ 76,38%) thực hiệ chiế lược.. Nhữg học sih ày đã mắc sai lầm do khôg qua tâm đế việc kiểm tra điều kiệ côg bội q khi sử dụg côg thức u ( q = ) để tíh tổg số hạg đầu của một cấp số hâ. Ghi hậ ày cho q phép chúg tôi kiểm chứg giả thuyết H mà chúg tôi đã đưa ra ở chươg 2. Một số bài làm mắc sai lầm của học sih: - Bài làm của học sih H: Học sih H sử dụg chiế lược.a. Bài làm trê cho thấy có thể học sih ày đag bă khoă về kết quả của tổg 0.

92 86 - Bài làm của học sih H2: Học sih H2 sử dụg chiế lược.a và kết luậ khôg có tổg. - Bài làm của học sih H3: Học sih H3 sử dụg chiế lược.a và đưa ra kết quả 0 = 0

93 87 - Bài làm của học sih H4: Học sih H4 sử dụg chiế lược.b và đưa ra kết quả 0 = 0. Bài tập 2: Cho biểu thức = + ab + ( ab) + ( ab) + ( ab) + ( ab) + ( ab) + ( ab) + ( ab), với a, b R. Khôg sử dụg máy tíh bỏ túi, hãy tíh tổg với 2 a = và b = Bảg thốg kê bài làm bài tập 2 của các học sih hư sau: Chiế lược qua sát được ố lượg Tỷ lệ 2.: Chiế lược rút gọ biểu thức 2 2.a: Thay a = và b = 5 4 vào biểu ( ab) thức rút gọ = ab ,99%

94 88 gọ 2.b: Tíh tích ab = rồi thay vào biểu thức rút ( ab) = ab 2.c: au khi rút gọ 9 ( ab) = ab 9, học sih tíh tích ab = rồi thay kết quả ab = vào biểu thức ba đầu 2.2: Chiế lược thay giá trị a, b trực tiếp vào biểu thức 22 7,33% 0 7,87% 2 9,44% 2.3: Chiế lược tíh tích ab trước 48 37,8% 2.4: Chiế lược khác 8 + ( ab) 9 = 2,57% 2 Tổg cộg 27 00% Bảg 3.2 Nhậ xét: Trog các chiế lược mà học sih đã thực hiệ để giải bài tập 2, chúg tôi đặc biệt chú ý đế chiế lược 2.. Ở chiế lược ày, học sih đã sử dụg côg thức u ( q = ) q để rút gọ biểu thức rồi tíh tổg với giá trị a,b đã cho. Trog 65/27 (5,9%) học sih sử dụg chiế lược 2., có đế 55 học sih sử dụg 2.a và 2.b. Việc thực hiệ 2.a và 2.b để giải bài tập 2 cho thấy học sih đã mắc sai lầm do khôg qua tâm đế việc kiểm tra điều kiệ côg bội q khi sử u dụg côg thức ( q ) =. Như vậy, kết quả thu được từ bài làm của học sih q ở bài tập 2 đã góp phầ khẳg địh tíh đúg đắ của giả thuyết H. Một số bài làm mắc sai lầm của học sih:

95 89 - Bài làm của học sih H5: Học sih H5 sử dụg chiế lược 2.a và đưa ra kết quả 9 = 0. - Bài làm của học sih H6: Học sih H6 sử dụg chiế lược 2.a và đưa ra kết quả =.

96 90 - Bài làm của học sih H7: Học sih H7 sử dụg chiế lược 2.b và kết luậ 9 vô ghiệm Kết luậ Kết quả thực ghiệm cho thấy phầ lớ học sih đã mắc sai lầm khi gặp bài toá tíh tổg số hạg đầu của một cấp số hâ có giá trị côg bội q là. Điều ày chứg tỏ hữg ràg buộc của thể chế dạy học toá lớp hiệ hàh đã ảh hưởg đế mối qua hệ cá hâ học sih với đối tượg cấp số hâ. Liê qua đế đối tượg ày, việc thể chế chỉ cho các hiệm vụ tíh tổg số hạg đầu của hữg cấp số hâ có côg bội q là số cụ thể khác và khôg đề cập đế điều kiệ côg bội q trog lời giải mog đợi của các hiệm vụ ày đã dẫ đế tồ tại ở học sih u một qui tắc hợp đồg didactic: Khi sử dụg côg thức ( q ) = q (với q ) để tíh tổg số hạg đầu của một cấp số hâ, học sih khôg có trách hiệm kiểm tra điều kiệ côg bội q. Nhữg kết luậ êu trê có thể xem là câu trả lời của chúg tôi dàh cho câu hỏi Q3 được đặt ra ở phầ mở đầu.