Docment

Bản ghi

1 CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP LÊ THỊ BÌNH

2 3 Mục lục Mục lục trag Lời ói đầu i Mục lục ii Chươg I: Nguyê lí cực hạ Chươg II: Sử dụg guyê lí Dirichlet... 9 Chươg III: Sử dụg tíh lồi của tập hợp.. 9 Các bài toá sử dụg địh lí Kelli. 9 2 Phươg pháp sử dụg phép lấy bao lồi. 27 Chươg IV: Vài phươg pháp khác... 32

3 - - Chươg I: NGUYÊN LÍ CỰC HẠN Nguyê lí : Trog tập hợp hữu hạ và khác rỗg các số thực luô có thể chọ được số bé hất và số lớ hất. Nguyê lí 2: Trog một tập hợp khác rỗg các số tự hiê luô luô có thể chọ được số bé hất. Sử dụg guyê lí cực hạ là một phươg pháp được vậ dụg cho hiều lớp bài toá khác, đặc biệt ó có ích khi giải các bài toá tổ hợp ói chug và hỗ hợp tổ hợp ói riêg. Nguyê lí ày dùg để giải các bài toá mà trog tập hợp hữg đối tượg phải xét của ó tồ tại các giá trị lớ hất, giá trị hỏ hất theo một ghĩa ào đó. Nguyê lí cực hạ thườg được sử dụg kết hợp với các phươg pháp khác, đặc biệt là phươg pháp phả chứg, được vậ dụg trog trườg hợp tập các giá trị cầ khảo sát chỉ là tập hợp hữu hạ (Nguyê lí ) hoặc có thể vô hạ hưg tồ tại một phầ tử lớ hất hoặc hỏ hất. (Nguyê lí 2). Để sử dụg guyê lí cực hạ giải các bài toá hìh học tổ hợp, gười ta thườg dùg một lược đồ chug để giải sau: - Đưa bài toá đag xét về dạg có thể sử dụg guyê lí (hoặc guyê lí 2) để chứg tỏ rằg trog tất cả các giá trị cầ khảo sát của bài toá cầ có giá trị lớ hất (hỏ hất), xét bài toá tươg ứg khi ó hậ giá lớ hất (hỏ hất). -Chỉ ra mâu thuẫ, hoặc đưa ra giá trị cò lớ hơ (hoặc hỏ hơ) giá trị lớ hất (hỏ hất) mà ta đag khảo sát. Theo guyê lí của phươg pháp phả chứg, ta sẽ suy ra điều phải chứg mih. Các ví dụ được trìh bày dưới đây sẽ mih hoạ cho phươg pháp ày. Ví dụ.: Trê một đườg thẳg đáh dấu điểm khác hau A, A 2,, A theo thứ tự từ trái qua phải ( 4). Mỗi điểm được tô bằg một trog 4 màu khác hau và cả bố màu đều được dùg. Chứg mih rằg tồ tại một

4 - 2 - đoạ thẳg chứa đúg hai điểm của hai màu và ít hất hai điểm của hai màu cò lại. Giải: Xét tập hợp sau: A = { k k }. Tập A ( vì theo giả thiết dùg cả bố màu) và A hữu hạ ê theo guyê lí cực hạ, tồ tại chỉ số i hỏ hất mà i A. Theo địh ghĩa của tập hợp A, vì do i là chỉ số bé hất thuộc A, ê màu của điểm A i sẽ khác với màu của tất cả các điểm A, A 2,, A i-. Chú ý rằg bây giờ trog dãy A, A 2,, A i lại có đủ bố màu. Xét tiếp tập sau: B = {k k i và giữa các điểm A k, A k+,, A i có mặt đủ bố màu}. Tập B (vì dãy A, A 2,, A i có đủ bố màu), và B hữu hạ ê theo guyê lí cực hạ, tồ tại chỉ số j lớ hất mà j B Theo địh ghĩa của tập hợp B, và do j là chỉ số lớ hất thuộc B, ê màu của điểm A j sẽ khác với màu của tất cả các điểm A j+,, A i. Xét đoạ [A j A i ]. Khi đó đoạ thẳg ày chứa đúg hai điểm của hai màu (đó là A j và A i ), và ít hất hai điểm của hai màu cò lại A j+i,, A i-. Ví dụ.2: Cho ABC là tam giác họ. Lấy một điểm P bất kì trog tam giác. Chứg mih rằg khoảg cách lớ hất trog các khoảg cách từ P tới ba điểm A, B, C của tam giác khôg hỏ hơ 2 lầ khoảg cách bé hất trog các khoảg cách từ P tới ba cạh của tam giác đó. Giải: Gọi A, B, C tươg ứg là hìh chiếu của P xuốg BC, AC, AB. Ta có: APC + CPB + BPA + APC+ CPB + BPA =. () 360 o

5 - 3 - Theo guyê lí cực hạ, tồ tại: { } BPA max APC,C PB,BPA,APC,CPB,BPA Từ () và (2) dễ suy ra: PBA 60 =. (2) o & (3) Từ (3) ta đi đế cos PA PBA =. PB 2 Như vậy PB 2PA. (4) Từ (4) suy ra max { PA,PB,PC} PB 2PA 2mi{ PA,PB,PC }. Ví dụ.3: Chứg mih rằg trê mặt phẳg toạ độ, khôg thể tìm được ăm điểm guyê là đỉh của một gũ giác đều. (Một điểm M(x ; y) trê mặt phẳg toạ độ được gọi là điểm guyê ếu cả hai toạ độ x, y của ó đều là hữg số guyê). Giải: Giả thiết trái lại, tồ tại một gũ giác đều sao cho ăm đỉh của ó đều là hữg điểm guyê.ta xét tập hợp sau: Ω = {a 2 a là cạh của gũ giác đều có ăm đỉh là các điểm guyê }. Dễ thấy, do a là cạh của gũ giác đều với các đỉh guyê ê a 2 là số guyê dươg. Thật vậy, giả sử A A 2 A 3 A 4 A 5 là đa giác đều thuộc Ω. Giả sử A i (x i ; y i ), i =,5, thì ếu gọi a là cạh của gũ giác đều ày, ta có: a 2 = A A 2 2 = (x 2 x ) 2 + (y 2 - y ) 2. Do x i, y i, i =,5 ê a 2 là số guyê dươg. Như thế tập Ω, điều ày suy ra từ giả thiết phả chứg. Tập Ω các số tự hiê, khác rỗg, ê theo guyê lí cực hạ suy ra tồ tại 2 phầ tử hỏ hất, tức là tồ tại gũ giác đều ABCDE sao cho a * là hỏ hất, ở đây a * là cạh của gũ giác đều ày. Dễ thấy ABCB' ; BCDC' ; CDED';

6 - 4 - DEAE' và AEBA' đều là các hìh bìh hàh với BD CE = A', AD CE =B', AD BE = C', AC BE = D',AC DE = E'. Từ hìh bìh hàh EABA' suy ra: x ' = x A B + xe xa y ' = y A B + ye ya () Do A, B, C, D, E là các điểm guyê ê x A, x E, x B ; y A, y E, y B đều là các số guyê. Vì thế () suy ra x A', y A' cũg là các số guyê. Như thế A' là điểm guyê. Tươg tự B', C', D', E' cũg là các ''điểm guyê'' Rõ ràg A'B'C'D'E' là gũ giác đều với các đỉh của ó đều là các điểm guyê, H-.3 tức là A'B'C'D'E' Ω. Mặt khác, ếu gọi a' là cạh của gũ giác đều, thì rõ là: a'< a* a' 2 2 < a *. (2) Bất đẳg thức (2) mâu thuẫ với tíh hỏ hất của a *. Vậy giả thiết phả chứg là sai. Như thế khôg tồ tại một gũ giác đều với các đỉh đều là điểm guyê. Ví dụ.4: Trê mặt phẳg cho 2005 điểm, khoảg cách giữa các điểm ày đôi một khác hau. Nối điểm ào đó trog số các điểm ày với điểm gầ hất. Cứ tiếp tục hư thế. Hỏi với cách ối đó có thể hậ được một đườg gấp khúc khép kí khôg? Giải: Giả sử xuất phát từ một điểm A bất kỳ. Theo guyê lí cực hạ, trog số tất cả các đoạ thẳg có đầu mút A thì tồ tại điểm gầ A hất. Điểm ày là duy hất, vì theo giả thiết khoảg cách giữa các điểm là khác

7 - 5 - hau khi căp điểm khác hau. Gọi điểm ày là A 2. Tiếp tục xét hư vậy với các đoạ thẳg xuất phát từ A 2. Có hai khả ăg xảy ra:.nếu A là điểm gầ A 2 hất. Khi đó đườg gấp khúc dừg lại gay tại A 2. Rõ ràg ta thu được đườg gấp khúc với một khúc A A 2 và dĩ hiê ó khôg khép kí. 2.Nếu tồ tại duy hất điểm A 3 và A 2 A 3 là gắ hất. Khi đó ta có đườg gấp khúc A A 2 A 3 với A A 2 > A 2 A 3. H.4 Giả sử đã có đườg gấp khúc A A 2 A và theo lập luậ trê ta có: A A 2 > A 2 A 3 > > A - A. Chú ý rằg điểm A khôg thể ối được với điểm A i ào đó mà i 2. Thật vậy ếu trái lại ta ối được A với A i (ở đây i 2). Theo địh ghĩa về cách ối điểm ta được: A A i < A - A < A i A i+. () Nhưg theo cách ối từ A i ta lại có: A i A i+ < A A i. (2) Từ () và (2) suy ra vô lí. Vậy khôg H -.5 bao giờ đườg khấp khúc A A 2 A là khép kí. Ta có câu trả lời phủ địh: Khôg thể hậ được một đườg gấp khúc khép kí, ếu ối theo quy tắc trê. Ví dụ.5: Cho các số guyê m, với m < p, < q cho p q số thực đôi một khác hau. Điề các số đã cho vào các ô vuôg co của bảg ô vuôg kích thước p q (gồm p hàg, q cột) sao cho mỗi số được điề vào một ô và mỗi ô được điề vào một số. Ta gọi một ô vuôg co của bảg là ô xấu ếu số ằm ô đó bé hơ ít hất m số ằm cùg cột với ó và đồg thời bé ít hất

8 - 6 - số ằm cùg hàg với ó. Với mỗi cách điề số ói trê, gọi s là số ô xấu của bảg số hậ được. Hãy tìm giá trị hỏ hất của s. Giải: Bằg phươg pháp quy ạp ta sẽ chứg mih bất đẳg thức sau: s (p m) (q ) () Ta quy ạp theo số p + q. Nếu p + q = 2, tức p = q = (bảg có duy hất một số). Khi đó kết luậ của bài toá là đúg (hiểu theo ghĩa ở đây m, khôg có hoặc có thể hiểu theo ghĩa khôg có trườg hợp ày). Tươg tự p + q = 3. Với p + q = 4 p = q = 2 và m = =. Xét một cách điề bất kì bố số đôi một khác a, b, c, d. Khôg giảm tổg quát có thể cho là a < b < c < d (ếu khôg lí luậ tươg tự). a b c d Ô có số a là ô xấu (vì ó bé hơ một số ằm cùg cột và một số ằm cùg hàg, và chỉ có ô đó là xấu mà thôi). Ta có s =. Mặt khác, trog trườg hợp ày: (p m)(q ) = (2 )(2 ) =. Kết luậ của bài toá đúg trog trườg hợp ày. Giả thiết quy ạp kết luậ của bài toá đúg đế p + q = k (ở đây p > m, q > ), tức là trog trườg hợp ày số ô xấu lớ hơ hoặc bằg (p m)(p ). Xét khi bảg p q có p + q = k +. Ta gọi một ô vuôg co của bảg là xấu theo hàg ( xấu theo cột ) ếu số ằm trog ô đó bé hơ ít hất số (tươg ứg m số) ằm cùg hàg (tươg ứg ằm cùg cột) với ó.

9 - 7 - Lấy hàg i bất kì. Hàg i ày có q số đôi một khác hau (do có q cột).vì thế trog hàg i có (q ) số, mà mỗi số ày bé hơ ít hất số ằm trog cùg hàg ấy. (Thật vậy, giả sử xếp theo thứ tự từ hỏ đế lớ các số trog hàg là x < x 2 < < x q- < x q-+ < < x q- < x q. Khi đó các ô chứa các số x, x 2,, x q- là các ô xấu theo hàg ). Như vậy: trog mỗi hàg có (q ) ô xấu theo hàg và trog mỗi cột có (p m) ô xấu theo cột. Nếu trog bảg p q ói trê các ô xấu theo hàg đồg thời là xấu theo cột và gược lại thì số ô xấu s được tíh bằg: s = (q )(p m). Vậy () đúg trog trườg hợp ày. Vì lẽ đố chỉ cầ qua tâm đế các trườg hợp: trog bảg p q tồ tại các ô chỉ xấu theo hàg (mà khôg xấu theo cột ), hoặc chỉ xấu theo cột (mà khôg xấu theo hàg ). Do vậy, theo guyê lí cực hạ tồ tại số a, đó là số hỏ hất ghi trog các ô hư vậy. Khôg giảm tổg quát có thể cho là ô chứa a là ô xấu theo hàg (khôg xấu theo cột ) Xét cột của bảg p q mà chứa ô mag số a. Chú ý rằg trog cột ày có p - m ô xấu theo cột (trog số ày khôg có ô chứa a). Các ô chắc chắ cũg phải là ô xấu theo hàg, vì ếu trái lại các ô ào đó khôg phải là ô xấu theo hàg, thì ô ấy thuộc vào tập hợp ói trê (tập hợp các ô chỉ xấu theo một loại. Ô chứa a khôg phải là ô xấu theo cột ê giá trị a ghi trog ô đó lớ hơ tất cả các giá tri ghi trog p m ô xấu theo cột ói trê. (Chú ý là các ô trog bảg đôi một khác hau). Điều ày sẽ dẫ đế mâu thuẫ với địh ghĩa số a là số bé hất trog tập hợp ói trê. Vì vậy (p m) ô xấu theo cột trog cột chứa ô ghi số a cũg chíh là (p m) ô xấu của bảg p q.

10 - 8 - Bỏ cột chứa ô mag số a ta được bảg mới p (q ) mà một ô vuôg co của bảg ày là xấu thì ó cũg là ô xấu của bảg p q. Vì p + q = k + = k, ê theo giả thiết suy ra số ô xấu của bảg p (q ) khôg ít hơ (p m)(q ). Vì thế số ô xấu s của bảg p q sẽ thoả mã bất đẳg thức: s (p m)(q ) + (p m) hay s (p m)(q ). Vậy () cũg đúg khi p + q = k +. Theo guyê lí quy ạp () đúg với mọi bảg p q. Cò lại ta sẽ chỉ ra một cách điề số vào bảg p q để thu được đúg (p m)(q ) ô xấu. Trước hết sắp xếp p q số theo thứ tự tăg dầ: x < x 2 <x 3 < < x pq- < x pq. Sau đó theo thứ tự ày lầ lượt điề các số vào các ô theo quy tắc: từ trê xuốg dưới và trái qua phải. q cột p hàg x x p+ x (q-)p+ x 2 x p+2 x q-)p+2 x p x 2p x qp x, x2,..., xp m xp+, xp+ 2,..., x2p m Rõ ràg các ô xấu là:... x( ), x ( ),..., x 2 ( ). q p+ q p+ q p m Và các số xấu là s = (p m)(q ). Tóm lại, giá trị bé hất cầ tìm là: s = (p m)(q ).

11 - 9 - CHƯƠNG II: SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET Nguyê lí hữg cái lồg hốt các chú thỏ đã được biết đế từ lâu.nguyê lí ày được phát biểu đầu tiê bởi hà toá học gười Đức Pete Gustava Lejeue Dirichlet ( ) hư sau: Nguyê lí Dirichlet (hay cò gọi là guyê lí chuồg thỏ): Nếu hốt + co thỏ vào cái chuồg thì bao giờ cũg có một chuồg chốt ít hất hai co thỏ. Tươg tự hư vậy, guyê lí Dirichlet mở rộg được phát biểu hư sau: * Nguyê lí Dirichlet mở rộg: Nếu hốt co thỏ vào m 2 cái chuồg, thì tồ tại một chuồg có ít hất + m m co thỏ, ở đây kí hiệu [α] để chỉ phầ guyê của số α. Ta có thể dễ dàg chứg mih guyê lí Dirichlet mở rộg hư sau: Giả sử trái lại mọi chuồg thỏ khôg có đế + m = + = + m m m co, thì số thỏ trog mỗi chuồg đều hỏ hơ hoặc bằg m co. Từ đó suy ra tổg số co thỏ khôg vượt quá m m co. Đó là điều vô lí (vì có chuồg thỏ). Vậy giả thiết phả chứg là sai. Nguyê lí Dirichlet mở rộg được chứg mih. Nguyê lí Dirichlet tưởg chừg đơ giả hư vậy, hưg có là một côg cụ hết sức có hiệu quả dùg để chứg mih hiều kết quả hết sức sâu sắc của toá học. Nó đặc biệt có hiều áp dụg trog các lĩh vực khác hau của toá học. Dùg guyê lí ày trog hiều trườg hợp gười ta dễ dàg chứg mih được sự tồ tại của một đối tượg với tíh chất xác địh. Tuy rằg với guyê lí ày ta chỉ chứg mih được sự tồ tại mà khôg đưa ra được

12 - 0 - phươg pháp tìm được vật cụ thể, hưg thực tế hiều bài toá ta chỉ cầ chỉ ra sự tồ tại đã đủ. Nguyê lí Dirichlet thực chất là một địh lí về tập hợp hữu hạ. Ta có thể phát biểu guyê lí ày chíh xác dưới dạg sau đây: Cho A và B là hai tập hợp khác rỗg có số phầ tử hữu hạ, mà số lượg phầ tử của A lớ hơ số lượg phầ tử của B. Nếu mỗi quy tắc ào đó, mỗi phầ tử của A cho tươg ứg với một phầ tử của B, thì tồ tại ít hất hai phầ tử khác hau của A mà chúg tươg ứg với cùg một phầ tử của B. Với cùg cách diễ đạt hư vậy, thì guyê lí Dirichlet mở rộg hư sau: Giả sử A và B là các tập hữu hạ và s(a), s(b) tươg ứg kí hiệu là số lượg các phầ tử của A và B. Giả sử có một số tự hiê k ào đó mà s(a) > k.s(b), và ta có một quy tắc cho tươg ứg với mỗi phầ tử của A với một phầ tử của B. Khi đó tồ tại ít hất k + phầ tử của A mà chúg tươg ứg với một phầ tử của B. Chú ý khi k =, ta có gay lại guyê lí Dirichlet. Chươg ày dùg để trìh bày phươg pháp sử dụg guyê lí Dirichlet để giải các bài toá hìh học tổ hợp. Vì lẽ đó, trước hết chúg tôi trìh bày một số mệh đề sau (thực chất là một số guyê lí Dirichlet áp dụg cho độ dài các đoạ thẳg, diệ tích các hìh phẳg, thể tích các vật thể) rất hay được sử dụg đế trog hiều bài toá hìh học tổ hợp được đề cập đế trog chươg ày. * Nguyê lí Dirichlet cho diệ tích: Nếu K là một hìh phẳg, cò K, K 2,, K là các hìh phẳg sao cho K i K với i =,, và K < K + K K, ở đây K là diệ tích của hìh phẳg K, cò K i là diệ tích của hìh phẳg K i, i =, ; thì tồ tại ít

13 - - hất hai hìh phẳg H i, H j ( i < j ) sao cho H i và H j có điểm trog chug. (Ở đây ta ói rằg P là điểm trog của tập hợp A trê mặt phẳg, ếu hư tồ tại hìh trò tâm P bá kíh đủ bé sao cho hìh trò ày ằm trọ trog A). Tươg tự hư guyê lí Dirichlet cho diệ tích, ta có các guyê lí cho độ dài đoạ thẳg, thể tích các vật thể Nguyê lí Dirichlet cò được phát biểu cho trườg hợp vô hạ hư sau: *Nguyê lí Dirichlet vô hạ: Nếu chia một tập vô hạ các quả táo vào hữu hạ gă kéo, thì phải có ít hất một gă kéo chứa vô hạ quả táo. Nguyê lí Dirichlet mở rộg cho trườg hợp vô hạ ày đóg vai trò cũg hết sức qua trọg trog lí thuyết tập hợp điểm trù mật trê đườg thẳg. Nó có vai trò qua trọg trog lí thuyết số ói riêg và toá học rời rạc ói chug (cho cả hìh học tổ hợp). Ứg dụg to lớ của guyê lí Dirichlet để giải các bài toá hìh học tổ hợp được trìh bày qua các ví dụ sau đây: Vídụ 2.: Trê mặt phẳg cho 25 điểm. Biết rằg trog 3 điểm bất kì trog số đó luô luô tồ tại hai điểm cách hau hỏ hơ.chứg mih rằg tồ tại hìh trò bá kíh chứa khôg ít hơ 3 điểm đã cho. Giải: Lấy A là một trog số 25 điểm đã cho. Xét hìh trò Ω (A ; ) tâm A, bá kíh. Chỉ có hai khả ăg sau có thể xảy ra:. Nếu tất cả các điểm đã cho ằm trog Ω, thì kết luậ của bài toá hiể hiê đúg. 2. Tồ tại điểm B A (B thuộc trog số 25 điểm đã cho), sao cho B Ω, A B vì B Ω, ê AB >. H 2.

14 - 2 - Xét hìh trò Ω (B ; ) tâm B, bá kíh. Lấy C là điểm bất kì trog số 25 điểm đã cho sao cho C A, C B. Theo giả thiết (và dựa vào AB > ), ê mi{ca, CB} <. Vì thế C Ω, hoặc C Ω 2. Điều khẳg địh ày chứg tỏ rằg các hìh trò Ω và Ω 2 chứa tất cả 25 điểm đã cho. Vì thế guyê lí Dirichlet, ít hất một trog hai hìh trò ói trê chứa khôg ít hơ 3 điểm đã cho. Chú ý: Bài toá tổg quát: Cho 2 + điểm trê mặt phẳg ( 3). Biết rằg trog ba điểm bất kỳ trog số đó luô luô tồ tại hai điểm cách hau hỏ hơ. Khi đó tồ tại hìh trò bá kíh chứa khôg ít hơ + điểm đã cho. Ví dụ 2.2: Cho chí đườg cùg có tíh chất là mỗi đườg thẳg chia hìh vuôg thàh hai tứ giác có tỉ số diệ tích bằg 2. Chứg mih rằg có ít hất 3 ba đườg thẳg trog số đó cùg đi qua một điểm. Giải: Các đườg thẳg đã cho khôg thể cắt các cạh kề hau của hìh vuôg, bởi vì ếu thế chúg chia hìh vuôg thàh một tam giác và gũ giác (Chứ khôg phải chia hìh vuôg thàh hai tứ giác). Vì lẽ đó, mọi đườg thẳg (trog số chí đườg thẳg) đều cắt hai cạh đối của hìh vuôg và dĩ hiê khôg H 2.2 đi qua một đỉh ào của hìh vuôg cả. Giả sử một đườg thẳg cắt hai cạh đối BC và AD tại các điểm M và N. Ta có: S S ABMN MCDN B M C E 2 AB( BM + AN ) J 2 2 EJ 2 = = =. 3 CD 3 JF 3 ( MC+ ND) 2 A N H 2.3 F D

15 - 3 - (ở đây E và F là các trug điểm của AB và CD tươg ứg). Gọi E, F, P, Q tươg ứg là các trug điểm của AB, CD, BC, AD. Gọi J, J 2, J 3, J 4 là các điểm sao cho J, J 2 ằm trê EF ; J 3, J 4 ằm trê PQ và thoả mã: EJ FJ2 PJ3 QJ4 2 = = = =. JF JF JQ JP Khi đó từ lập luậ trê ta suy ra mỗi đườg thẳg có tíh chất thoả mã yêu cầu đề bài phải đi qua một trog bố điểm J, J 2, J 3, J 4 ói trê. Vì có chí đườg thẳg, ê theo guyê lý Dirichlet phải tồ tại ít hất một trog bố điểm J, J 2, J 3, J 4 sao cho ó có ít hất ba trog chí đườg thẳg đã cho. Vậy có ít hất ba đườg thẳg trog số chí đườg thẳg đã cho đi qua một điểm. Ví dụ 2.3: Cho một bảg kích thước 2 2 ô vuôg. Người ta đáh đấu vào 3 ô bất kì của bảg. Chứg mih rằg có thể chọ ra hàg và cột của bảg sao cho các ô được đáh dấu đều ằm trê hàg và cột ày. Giải: Chọ ra hàg có chứa số ô được đáh dấu hiều trê các hàg đó hất. Ta chứg mih rằg các ô được đáh dấu cò lại hỏ hơ hoặc bằg. Giả sử trái lại khôg phải hư vậy, tức là số ô được đáh dấu lớ hơ hoặc bằg +. Số các hàg cò lại chưa chọ là. Vậy theo guyê lí Dirichlet sẽ có ít hất một hàg (trog số hàg cò lại) chứa ít hất hai ô đã đáh dấu. H-2.5

16 - 4 - Chú ý rằg theo cách chọ thì hàg đã chọ có chứa số ô được đáh dấu hiều trê các hàg đó hất. Có một hàg cò lại chưa chọ có ít hất hai ô đáh dấu, ê suy ra mọi hàg trog số hàg đã chọ đều có ít hất hai ô được chọ, tức là trê hàg đã chọ có khôg ít hơ 2 ô đã được đáh dấu. Như vậy, số ô được đáh dấu lớ hơ hoặc bằg 2 + ( + ) 3. Đó là điều vô lí (vì chỉ có 3 ô được đáh dấu). Vậy hậ xét được chứg mih. Như vậy, sau khi đã chọ ra hàg (với cách chọ hư trê), theo hậ xét cò lại có khôg quá ô được đáh dấu. Vì thế cùg lắm là có cột chứa chúg. Vì lẽ đó sẽ khôg thấy cò ô đáh dấu ào ằm goài các hàg hay cột được chọ. Ví dụ 2.4: Trog mặt phẳg cho tập hợp A có điểm ( 2). Một số cặp điểm được ối với hau bằg đoạ thẳg. Chứg mih rằg tập hợp A đã cho, có ít hất hai điểm được ối với cùg số lượg các điểm khác thuộc A. Giải: Giả sử a A. Ta kí hiệu S(a) là số lượg các điểm của A ối với a thàh đoạ thẳg, ta có: S(a) = 2, S(b) = 3, S(c) =, S(d) = 2, S(e) = 2. Bài toá đã cho trở thàh: Chứg mih rằg tồ tại a, a 2 A (a a 2 ), mà S(a ) = S(a 2 ). Rõ ràg với mọi a A, ta có: 0 S(a). () Mặt khác, dễ thấy khôg tồ tại hai điểm a Ab, A mà S( a) = và S( b ) = 0. (2) (2) Thật vậy, ếu có (2), thì từ S( a ) =, suy ra a ối với tất cả điểm cò lại, ói riêg a phải ối với b. Điều đó có ghĩa là

17 - 5 - S( b ), và dẫ đế mâu thuẫ với (2) (vì S( b ) = 0). Gọi S là tập hợp các giá trị mà các đại lượg S(a) hậ, a A, tức là: S = {m m = S(a), a A}. Như vậy từ () suy ra tập hợp S có tối đa giá trị. Tuy hiê từ (2) suy ra ( ) và 0 khôg đồg thời thuộc S, vì thế tập S tối đa hậ ( ) giá trị. Theo guyê lí Dirichlet suy ra tồ tại ít hất a A, a 2 A (a a 2 ), mà S (a ) = S(a 2 ). Ví dụ 2.5: Chứg mih rằg trog mọi đa giác lồi với số cạh chẵ, tồ tại đườg chéo khôg sog sog với một cạh ào của đa giác. Giải: Ta biết rằg ếu một đa giác có cạh, thì có ( 3) 2 đườg chéo. Xét một đa giác lồi bất kì với số cạh là chẵ (đa giác lồi 2k cạh k 2). Khi đó số đườg chéo của ó là 2 k(2k 3) s=. 2 Ta có: s = k(2k 3) = 2k(k 2) + k, hay suy ra: s > (k 2).2k. () Giả sử trái lại đa giác ày có tíh chất: Mỗi đườg chéo của ó đều sog sog với một cạh ào đó của đa giác. Đa giác ày có 2k cạh, vì thế từ () suy ra tồ tại ít hất k đườg chéo d, d 2,, d k- mà các đườg chéo ày cùg sog sog với một cạh a ào đó của tam giác đã cho (thật vậy, ếu gược lại mỗi cạh tối đa là sog sog k 2 đườg chéo, thế thì tối đa ta chỉ có (k 2)2k đườg chéo và s (k 2)2k. Điều ày mâu thuẫ với (). Như thế ta có k đườg thẳg sog sog với hau d, d 2,, d k-, a. Chú ý rằg do đa giác là lồi, ê

18 - 6 - các đườg chéo d, d 2,, d k- cùg ằmtrê một ửa mặt phẳg bờ xác địh cạh a. Khôg giảm tổg quát có thể cho d là đườg chéo xa hất đối với a. (vì ếu khôg thì đáh số lai các đườg chéo trê). Ta có tất cả k đoạ thẳg phâ biệt, ê mỗi đỉh của đa giác đều là đầu mút của một đoạ ào đó trog số k đoạ trê. Từ đó suy ra toà bộ đa giác ằm hẳ về một ửa mặt phẳg xác địh bởi d. Do d là đườg chéo, ê điều ày mâu thuẫ với tíh lồi của đa giác. Vậy giả thiết phả chứg là sai. Ví dụ 2.6: Một hìh lập phươg có cạh bằg 5 chứa 000 điểm. Chứg mih rằg có một hìh cầu bá kíh chứa ít hất sáu điểm trog số 000 điểm đã cho. Giải: Chia mỗi cạh của hìh lập phươg thàh 3 phầ bằg hau. Như thế hìh lập phươg đã cho được chia thàh 3 3 = 297 hìh lập phươg hỏ. Do 000 > = 0985, ê tồ tại ít hất một hìh lập phươg hỏ, mà hìh lập phươg ày chứa ít hất sáu điểm. Như đã biết, ếu gọi cạh hìh lập phươg bằg a, thì hìh cầu goại tiếp có bá kíh R, với R = 3 2 a. Vì thế hìh cầu goại tiếp hìh lập phươg hỏ (cạh của ó là 5 3 ) là R = = = = 4 = Hìh cầu bá kíh ày dĩ hiê chứa ít hất sáu điểm trog số 000 điểm đã cho.

19 - 7 - Ví dụ 2.7: Mỗi điểm trog mặt phẳg được bôi bằg một trog hai màu xah hoặc đỏ. Chứg mih rằg ta luô tạo ra được một hìh chữ hật có bố đỉh cùg màu. Giải: Vẽ ba đườg thẳg sog sog, 2, 3 ( // 2 // 3 ). Lấy trê bất kì bảy điểm. Vì mỗi điểm chỉ được bôi bằg một trog hai màu xah hoặc đỏ, ê theo guyê lí Dirichlet trê luô tồ tại bố điểm cùg màu. Khôg giảm tổg quát có thể cho đó là các điểm P, P 2, P 3, P 4 (và cùg màu đỏ). Gọi Q, Q 2, Q 3, Q 4 là hìh chiếu vuôg góc của P, P 2, P 3, P 4 xuốg 2 và R, R 2, R 3, R 4 là hìh chiếu của P, P 2, P 3, P 4 xuốg 3. Chỉ có các khả ăg sau sảy ra:. Nếu tồ tại hai trog số bố điểm Q, Q 2, Q 3, Q 4 màu đỏ (giả sử Q i, Q j ). Khi đó P i P j Q j Q i là hìh chữ hật có bố đỉh cùg màu đỏ. 2. Nếu tồ tại hai trog số bố điểm R, R 2, R 3, R 4 màu đỏ (giả sử R i, R j ). Khi đó P i P j R j R i là hìh chữ hật có bố đỉh cùg màu đỏ. 3. Bố điểm Q, Q 2, Q 3, Q 4 và bố điểm R, R 2, R 3, R 4 trog đó tối đa chỉ có một điểm đỏ. Khi đó rõ ràg theo guyê lí Dirichlet tồ tại i, j mà Q i, Q j, R i, R j cùg xah. Vậy Q i Q j R j R i là hìh chữ hật có bố đỉh cùg xah. Ví dụ 2.8: Chứg mih rằg trog mọi khối đa diệ lồi tồ tại ít hất hai mặt có cùg số cạh. Giải: Kí hiệu M là mặt có số cạh lớ hất của khối đa diệ. Giả sử mặt M có k cạh. Khi đó vì có k mặt có cạh chug với M, ê đa diệ có ít hất k + mặt. Vì M là mặt có số cạh lớ hất bằg k, ê mọi mặt của đa diệ

20 - 8 - có số cạh hậ một trog các giá trị { 3,4,...,k }. Đa diệ có ít hất k + mặt số cạh của ó hậ một trog k 2 giá trị. Vì thế theo guyê lí Dirichlet suy ra có ít hất hai mặt của đa diệ cố cùg số cạh. Ví dụ 2.9: Cho 000 điểm M, M 2,, M 000 trê mặt phẳg. Vẽ một đườg trò bá kíh tuỳ ý. Chứg mih rằg tồ tại điểm S trê đườg trò sao cho: SM SM2 SM Giải: Xét đườg kíh S S 2 tuỳ ý của đườg trò, ở đây S và S 2 là hai đầu của đườg kíh. Vì S S 2 = 2, ê ta có: SM + SM 2 SS 2 = 2 SM 2 + SM SM SM Cộg từg vế 000 bất đẳg thức trê ta có: ( SM SM SM ) ( SM SM SM ) () Từ () và theo guyê lí Dirichlet suy ra trog hai của vế trái của (), có ít hất một tổg lớ hơ hoặc bằg 000. Giả sử SM + SM SM , khi đó lấy S = S.

21 - 9 - Chươg III: SỬ DỤNG TÍNH LỒI CỦA TẬP HỢP Tập hợp lồi có một đặc trưg cơ bả là khi ó chứa hai điểm, thì ó sẽ chứa toà bộ đoạ thẳg chứa hai điểm ấy. Tíh ưu việt ày được tậ dụg triệt để trog việc giải các bài toá hìh học ói chug và các bài toá hìh học tổ hợp ói riêg. Trước hết xi hắc lại một số kiế thức cơ bả về tập hợp lồi sẽ dùg đế trog chươg ày. Địh ghĩa tập hợp lồi: Giả sử Ω là một tập hợp cho trước ( trê đườg thẳg, mặt phẳg hoặc khôg gia). Tập hợp Ω được gọi là tập hợp lồi với bất kì hai điểm A, B Ω, thì cả đoạ thẳg AB (với hai đầu mút A và B) ằm trọ trog Ω. Ví dụ: A Ω B H - 3. H-3.2 Tíh chất tập hợp lồi: Nếu A, B là hai tập hợp lồi, thì A B cũg là tập hợp lồi. Bằg quy ạp có thể chứg mih được: Nếu A, A 2,,A thì A A 2 A cũg là tập hợp lồi. Chú ý: Hợp của hai hợp lồi A và B chưa chắc là tập hợp lồi.

22 : CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ KELLI Địh lí Kelli là một trog các địh lí rất qua trọg của hìh học tổ hợp. Địh lí ày cho ta một điều kiệ đủ hữu hiệu để hậ biết rằg khi ào một ho các hìh lồi có giao khác rỗg. 2 I. Địh lí Kelli trog khôg gia hai chiều Trog mặt phẳg cho hìh lồi ( 4). Biết rằg giao của ba hìh lồi bất kì trog chúg khác rỗg. Khi đó giao của hìh lồi cũg khác rỗg. Chứg mih: Ta chứg mih bằg quy ạp theo số các hìh lồi.. Xét = 4. Gọi F, F2, F3, F4là bố hìh lồi có tíh chất là giao của ba hìh bất kì trog chúg là khác rỗg. Vì F2 F3 F4 ê tồ tại A F2 F3 F4. Tươg tự tồ tại A2 F F3 F4 ; A 3 F F2 F4 ; A4 F F2 F3. Chỉ có hai khả ăg sảy ra: a) Nếu 4 điểm A, A 2, A 3, A 4 khôg hoà toà khác hau. Khi đó khôg giảm tíh tổg quát ta cho là A A2.Từ đó suy ra: A F F2 F3 F4. Nê F F2 F3 F4. Vậy kết luậ của địh lí Kelli đúg trog trườg hợp khi = 4. b) A, A 2, A 3, A 4 là 4 điểm phâ biệt, khi đó lại có A 2 hai khả ăg xảy ra: b ) Bao lồi của A, A 2, A 3, A 4 chíh là tứ giác lồi AAAA A O A 3 Giả sử O là giao của hai đườg chéo AA 2, AA. 3 4 Do A F2 F3 F4 ê A F3; A2 F F3 F4 ê A F3. A 4 H-3.3 Vì F3 lồi mà A F3, A2 F3 ê [ A, A ] F. 2 3 Nói riêg O F3.

23 - 2 - Lập luậ hoà toà tươg tự suy ra O F, O F2, O F4. Điều đó có ghĩa là: O 4 I Fi do đó i= 4 I Fj. i= b 2 ) Bao lồi của chúg là tam giác chứa điểm bê trog. Khôg giảm tổg quát ta có thể cho là AAA 2 3 chứa A 4. Vì A, A2, A 3 đều thuộc F 4, mà F 4 lồi ê toà bộ miề trog tam giác AAA 2 3 thuộc F 4. Mặt khác A F F F A F I i= i A 2 A 4 * Từ đó suy ra I 4 Fi. i= Vậy địh lí Kelli đúg khi = Giả sử kết luậ của địh lí Kelli đúg đế Xét trườg hợp khi có + hìh lồi, tức là ta có + hìh lồi F, F,..., F, F + với giả thiết bất kì 3 hìh lồi ào trog chúg đều có giao hau 2 khác rỗg. Xét các hìh sau: A A 3 H-3.4 F F... F = F ' = F ' 2 2 = F ' F = F F ' + Rõ ràg ' F là lồi với mọi i =, (vì F ' i i ' = F ), cò i F cũg là lồi vì ó là giao của hai hìh lồi F và F +. Xét ba hìh lồi bất kì F, F, F trog hìh lồi ' ' ' i j k ' ' ' F, F2,..., F.

24 Nếu trog chúg khôg có ' F thì theo giả thiết F F F = F F F. ' ' ' i j k i j k Nếu trog chúg có ' ' ' F = F F +. Khi đó có thể cho là Fk = F Từ đó ' ' ' Fi Fj Fk Fi Fj F F + =. Vì giao của ba hìh lồi trog các hìh lồì F, Fj, F, F + là khác rỗg (giả thiết), ê theo trườg hợp = 4 ta có Fi Fj F F +. Vậy với hìh ' ' ' lồi, 2,..., F F F thoả mã điều kiệ giao của ba hìh lồi bất kì trog chúg khác rỗg, ê theo giả thiết quy ạp suy ra: F F F. ' ' ' 2... Điều đó có ghĩa là F F2... F F +. Địh lí Kelli đúg trog trườg hợp có + hìh lồi. Theo guyê lí quy ạp suy ra địh lí Kelli đúg với mọi 4. Địh lí Kelli được chứg mih trog 2. Chú ý: Ta thấy rằg điều kiệ 4 là cầ thiết. Thật vậy, hãy xét mệh đề tươg tự với = 3. Cho một họ hìh lồi ( 3) trog mặt phẳg. Biết rằg giao của hai hìh lồi bất kì trog chúg khác rỗg. Khi đó giao của hìh lồi cũg khác rỗg. Rõ ràg mệh đề ày khôg chắc đúg. Thật vậy, xét với = 3. Xét ba hìh lồi: đoạ thẳg AB, đoạ thẳg BC, đoạ thẳg CA. Rõ ràg giao của hai hìh lồi bất kì trog chúg khác rỗg. Nhưg AB AC BC =. B A H-3.5 C

25 II. Địh lí Kelli trog khôg gia một chiều. Trê đườg thẳg cho hìh lồi ( 3) trog mặt phẳg. Biết rằg giao của hai hìh lồi bất kì trog chúg khác rỗg. Khi đó giao của hìh lồi cũg khác rỗg. Chứg mih: Ta biết rằg hìh lồi trê đườg thẳg chỉ có thể là đoạ thẳg [a ; b], khoảg (a ; b), hay [a ; b), (a ; b] (ở đây a có thể là, cò b có thể là + ). Ta chỉ xét với các hìh lồi là các đoạ thẳg, các trườg hợp cò lại chứg mih hoà toà tươg tự. Giả sử có đoạ thẳg [a i ; b i ], i =, có tíh chất sau: Bất kì giao của hai đoạ thẳg ào trog chúg cũg khác rỗg, tức là [a i ; b i ] [a j ; b j ], I i i. i= với mọi i j. Ta sẽ chứg mih : [ a ; b] Chú ý rằg [a i ; b i ] [a j ; b j ] mi {b i, b j } max {a i, a j }. Thật vậy, giả sử [a i ; b i ] [a j ; b j ], khi đó tồ tại c [a i ; b i ] [a j ; b j ]. ai c bi aj c b hay max {a i, a j } c mi {b i, b j }. Đảo lại, giả sử max {a i, a j } mi { b i, b j }. Khi đó rõ ràg ta có thể chọ c sao cho max {a i, a j } c mi { b i, b j }. () Từ () suy ra a i c b i c [ a i ; b i ] ; a j c b j j c [ a j ; b j ]. Đều đó có ghĩa là [ a i ; b i ] [ a j ; b j ]. Nhậ xét được chứg mih. Từ đó suy ra mibi max ai i (2) i Từ (2) suy ra tồ tại c sao cho mibi c max ai i. (3) i Bất đẳg thức (3) chứg tỏ rằg c [a i ; b i ] với mọi i =,.

26 I i i. i= Nói cách khác [ a ; b] Địh lí Kelli trog được chứg mih hoà toà. Dưới đây chúg tôi sẽ trìh bày các ví dụ mih hoạ cho việc vậ dụg địh lí Kelli vào giải các bài toá của hìh học tổ hợp liê qua đế tíh giao khác rỗg của các hìh lồi. Ví dụ 3..: Cho bố ửa mặt phẳg lấp đấy mặt phẳg. Chứg mih rằg tồ tại ba ửa mặt phẳg trog bố ửa mặt phẳg ấy, sao cho chỉ riêg ba ửa mặt phẳg ày cũg lấp đầy mặt phẳg. Giải: Gọi P, P2, P3, Plà 4 bố ửa mặt phẳg.từ giả thiết ta có: Rõ ràg P i lồi với mọi i =,4. P P2 P3 P4 2 =. () Từ () suy ra P P2 P3 P4 =. (2) (Ở đây A dùg để chỉ phầ bù của tập hợp A). Theo quy tắc Demorga từ (2) có P P2 P3 P4 =. (3) Vì P i lồi ê P i cũg lồi với mọi i =,4. Giả thiết phả chứg khôg tồ tại ba ửa mặt phẳg ào trog số các P, ( i=,4), mà ba ửa mặt phẳg ày lấp đầy mặt phẳg. Điều đó có ghĩa là i với mọi i, j, k phâ biệt, mà i, j, k {, 2, 3, 4} thì pi pj pk 2. Nói cách khác Pi Pj Pk. (4) Theo quy tắc Demorga thì (4) có Pi Pj Pk. (5) Từ (5) và áp dụg địh lí Kelli suy ra P P 2 P 3 P 4. (6) Bây giờ từ (3) và (4) suy ra mâu thuẫ, tức là phả chứg là sai.

27 Chú ý: Giả sử 2 là cả mặt phẳg. Cho A là một mặt phẳg trog 2. Khi đó kí hiệu A= { x 2 : x A} 2. A gọi là phầ bù của tập hợp A trog. Ta dễ dàg chứg mih quy tắc sau ( gọi là quy tắc Demorga của phép lấy phầ bù) A B= A B ; A B = A B. Bằg quy ạp, có thể mở rộg quy tắc Demorga cho tập hợp (ví dụ A A... A = A A... A ). 2 2 dụ 3..2: Trê mặt phẳg cho hìh trò ( 4). Giả sử cứ mỗi ba hìh trò đều có một hìh trò bá kíh r cắt ba hìh trò ày. Chứg mih rằg tồ tại một hìh trò bá kíh r cắt cả hìh trò. Giải: Gọi S i là hìh trò tâm A i, bá kíh r i ( i =, ), S i = (A i ; r i ). Gọi Ω i là hìh trò tâm A i, bá kíh r i + r ( i =, ), Ω i = (A i ; r i + r). Như vậy tâm của tất cả các hìh trò có bá kíh r mà cắt S i đều ằm trog Ω i. Xét tập hợp lồi Ω, Ω2,..., Ω. Với i, j, k tuỳ ý mà i, j, k {, 2, 3,, }. Theo giả thiết tồ tại hìh trò (O i,j,k ; r) cắt cả S i, S j, S k, tức là Oi, jk, Ω Ω i j Ω k. Điều đó chứg tỏ rằg Ω Ω i j Ωk với mọi i, O * A i r i H-3.6 Ω i r j, k {, 2, 3,, }. Theo địh lí Kelli suy ra Ω I i=.vậy tồ tại O I Ω * i=. Xét hìh trò tâm O * và bá kíh r, (O * ; r). Hìh trò ày rõ ràg cắt S i với mọi i =,. Ví dụ 3..3: Trê mặt phẳg có một họ hữu hạ các hìh chữ hật có các cạh tươg ứg sog sog với hai trục tạo độ. Chứg mih rằg ếu hai hìh bất kì trog chúg có giao khác rỗg thì cả họ có giao khác rỗg.

28 Giải: Lấy hệ tọa độ có các trục sog sog với các cạh hìh chữ hật. Chiếu các hìh ày ê Ox và Oy. Ta có sự tươg ứg sau đây: F i [ ai bi] [ c d ] i ; Ox ; Oy. i Như vậy ta có: Họ các đoạ thẳg [a i ; b i ] Ox, và họ các đoạ thẳg [c i ; d i ] Oy, i =,. Do Fi Fj với mọi i j ( i, j {,2,3,,}), cho ê [a i ; b i ] [a j ; b j ] ( i, j {, 2,, }). I i i. i= Từ đó theo địh lí Kelli thì [ a ; b ] y Vì thế ta đã chứg mih được sự tồ tại a * I [ ai ; bi]. Tươg tư, ta cũg chứg mih d i c i F i F j I i i. i= được sự tồ tại b * [ c ; d ] Điều đó chứg tỏ rằg (a * ; b * ) I i= F i Ví dụ 3..4: Trê một đườg trò đơ vị có một họ các cug có độ dài hỏ hơ π, có tíh chất là giao của ba cug bất kì đều khác rỗg. Chứg mih rằg giao của tất cả các cug khác rỗg.. Giải: Tươg ứg với mỗi cug l i, xét hìh viê phâ F i tạo bởi cug và dây trươg cug. Rõ ràg F i là hìh lồi, với mọi i =,. Theo giả thiết thì với mọi i, j, k, ta có: l i l j l k, ở đây l F, l F, l F. i i j j k k Điều đó có ghĩa là Fi Fj Fk, với mọi O a i b i x H F i. O M N i, j, k (l i < j < k ). Theo địh lý Kelli, suy ra: F F2... F. H- 3.8

29 Từ đó suy ra tồ tại M F F2... F. Gọi N là ảh của M qua phép chiếu xuyê tâm O lê đườg trò. Do M F i với mọi i =,, ê N l i với mọi i =,. Điều đó chứg tỏ rằg: 2. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG PHÉP LẤY BAO LỒI I i=. Phươg pháp sử dụg phép lấy bao lồi của một tập hợp để giải các bài toá hìh học tổ hợplà một trog hữg phươg pháp hữu hiệu. Trước hết xi hắc lại khái iệm bao lồi của một tập hợp: Cho tập hợp D, tập hợp lồi hỏ hất chứa D thì gọi là bao lồi của tập hợp D. Nói cách khác D = D α, trog đó D α là tập hợp lồi chứa D. Các ví dụ sau đây mih hoạ cho phươg pháp sử dụg phép lấy bao lồi để giải các bài toá hìh học tổ hợp. Ví dụ 3.2.: Trê mặt phẳg cho một số hữu hạ điểm. Chứg mih rằg luô luô tìm được một điểm sao cho ó gầ hất có khôg quá ba điểm đã cho. Giải: Giả sử A, A 2,, A là điểm đã cho. Theo guyê lí cực hạ, thì tồ tại d = mi ( A, A ). i j ; i, j=, i j Đưa vào xét tập hợp Ω hư sau: Ω = {A k j k, A k A j = d}. Giả sử Ω = {A, A 2,, A p }. Dễ dàg thấy rằg Ω (vì tồ tại khoảg cách gắ hất d). Xét bao lồi của tập hợp Ω. Chỉ có hai khả ăg sảy ra:. Nếu bao lồi của Ω là đoạ thẳg AB. A B Khi đó gầ đỉh đầu mút của ó chỉ có khôg quá một điểm của hệ.

30 Thật vậy, mọi điểm cách A một đoạ bằg d là các điểm của tập hợp Ω, và do đó dĩ hiê ó thuộc bao lồi của Ω, tức là thuộc AB. Như vậy có tối đa một điểm gầ A hất. 2. Nếu bao lồi của Ω là một đa giác lồi. Ta chọ a là một đỉh của bao lồi của Ω. Giả sử gầ A hất có quá ba điểm có khoảg cách bằg d tới A. B B 2 A A B 3 d \ / d B 4 B i H- 3.0 B j H Theo địh ghĩa của d, thì với mọi i j, B i B j d (ở đây B, B 2, B 3, B 4 là các điểm có khoảg cách tới A đều là d). Xét tam giác B i AB j có AB i = AB j = d, cò B i B j d, từ đó suy ra BAB 60 o, ê A BAB + BAB + BAB +... i j o Do vậy A BAB + BAB + BAB +... (A là góc của đa giác bao lồi ) o Rõ ràg A <80 0, mâu thuẫ ày chứg tỏ giả thiết phả chứg là sai ra suy. Ví dụ 3.2.2: Trê mặt phẳg cho một số giác đều. Chứg mih rằg bao lồi của ó là một đa giác có khôg ít hơ đỉh. Giải: Rõ ràg bao lồi của ó là một đa giác lồi mà các đỉh của ó ằm trog tập hợp các đỉh của giác đều đã cho. Gọi m là số đỉh của đa giác bao lồi. Tổg các góc trog của đa giác lồi ày là π(m 2). π ( 2) Số đo của mỗi góc trog giác đều là:. Chú ý rằg bao lồi của giác đều phải chứa cả giác đều ở bê trog.

31 Vì thế góc ở mỗi đỉh của m giác bao lồi đều phải lớ hơ hoặc bằg π ( 2). Gọi α là góc hỏ hất trog m góc của đa giác bao lồi. π ( m 2) Khi đó hiể hiê ta có: α. m H - 3. () π ( 2) Mặt khác α. (2) Vì thế () và (2) suy ra: π( m 2) π( 2) 2 2 m m m m Vậy số cạh của đa giác bao lồi khôg ít hơ. Ví dụ 3.2.3: Trê mặt phẳg cho một số hữu hạ điểm khôg cùg ằm trê một đườg thẳg. Chứg mih rằg tồ tại 3 điểm sao cho đườg trò đi qua ó khôg chứa điểm ào ở bê trog. Giải: Vì các số điểm đã cho khôg cùg ằm trê một đườg thẳg, ê khi lấy bao lồi của hệ điểm, ta sẽ được một đa giác. giả sử đó là đa giác lồi A A 2 A p. Như thế các điểm cò lại đã cho phải ằm trog bao lồi. Gọi A k, A k+ là 2 đỉh liê tiếp của đa giác bao lồi (ghĩa là xét một cạh tuỳ ý A k A k+ ). Khi đó mọi điểm đã cho đều ằm ở một ửa mặt phẳg xác địh bởi A k A k+. Từ giả thiết suy ra tập hợp các điểm đã cho khôg thuộc A k A k+ là khác rỗg. Vì thế theo guyê lý cực hạ tồ tại C sao cho: ACA = max AAA, đây giá trị lớ hất lấy ở theo mọi k k+ k i k+ H i =, mà i k, i k+ (giả sử A, A 2,, A là hệ hữu hạ điểm cho trước). Khi đó đườg trò goại tiếp tam giác CA k A k+ là đườg trò cầ tìm. A A 2 A k- A p A p - C. A k A k+ A k A k+ H - 3.3

32 Ví dụ 3.2.4: Bê trog hìh vuôg cạh bằg cho điểm. Chứg mih rằg tồ tại tam giác có đỉh tại các điểm đã cho hoặc là đỉh của hìh vuôg, sao cho diệ tích của ó thoả mã bất đẳg thức sau: S 2( + ) Giải: Gọi A, B, C, D là bố đỉh của hìh vuôg và A, A 2,, A là điểm ằm trog hìh vuôg. Nối A với bố đỉh A, B, C, D. Khi đó ta được bố tam giác. - Nếu A 2 ằm trog một trog bố tam giác ấy (thí dụ A 2 AA D). khi đó ối A 2 với A, A, D. Khi ối xog, số tam giác tăg lê 2. - Nếu A 2 ằm trê một cạh chug (thí dụ A 2 A D là cạh chug của 2 tam giác A AD và A CD). Khi đó ối A 2 với các đỉh đối diệ A, C của cạh chug A D. Nối xog số tam giác tăg lê 2. H Như thế, trog mọi trườg hợp, số tam giác đều tăg lê 2. Với các điểm A 3, A 4,, A ta đều làm tươg tự, và chú ý rằg sau mỗi bước làm số tam giác tăg lê 2. Với cách làm hư thế ta đã tạo thàh 4 + 2( ) = tam giác. B A B A. A k A 2. A 2 B C A A 2 A D H A C A A. A 3 D H C D vuôg. Các tam giác ày đều có đỉh tại các điểm đã cho, hoặc là đỉh của hìh

33 - 3 - Theo cách xác địh hư trê thì tổg số diệ tích của (2 + 2) tam giác ày chíh bằg diệ tích của hìh vuôg cạh bằg. Theo guyê lý cực hạ, tồ tại tam giác có diệ tích hỏ hất trog (2 + 2) tam giác ấy. Gọi diệ tích ày là S, rõ ràg ta có: S. 2( + )

34 Chươg IV: VÀI PHƯƠNG PHÁP KHÁC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP Trog chươg ày đề cập đế các bài toá hìh học tổ hợp được giải bằg các phươg pháp khác hau. Tuỳ theo từg bài cụ thể, mà ta có hữg phươg pháp giải thích hợp. Phươg pháp ày rất đa dạg và tỏ rõ hiệu quả trog hiều bài toá của hìh học tổ hợp hư: bài toá tô màu, bài toá tíh số lượg đối tượg hìh, bài toá tìm giá trị hỏ hất và lớ hất trog hìh học tổ hợp, bài toá cắt và ghép hìh, bài toá phủ bà cờ Các thí dụ mih hoạ dưới đây sẽ làm rõ ý tưởg của việc sử dụg các phươg pháp khác để giải các bài toá hìh học tổ hợp. Ví dụ 4.: Trê đoạ thẳg AB (với trug điểm là O), gười ta thả vào đó 2 điểm sao cho chúg chia thàh cặp điểm, mỗi cặp gồm hai điểm đối xứg với hau qua O. Bôi đỏ tuỳ ý điểm, cò lại bôi xah. Chứg mih rằg tổg các khoảg cách từ A tới các điểm đỏ bằg tổg khoảg cách từ B tới các điểm xah. Giải: Địh hướg bằg đườg thẳg từ A tới B và giả sử O là gốc, điểm B có toạ độ là cò điểm A có toạ độ là. Giả sử X, X 2,, X là các điểm được bôi đỏ, cò Y,Y 2,,Y là các điểm được bôi xah. Điểm X i có tọa độ là x i, cò điểm Y i có tọa độ là y i (i =, ). Để ý đế giả thiết: 2 điểm chia thàh cặp điểm, mỗi cặp gồm hai điểm đối xứg với hau qua O, ta có: + = 0. () x i i= i= Khoảg cách từ A tới điểm đỏ X i là x i ( ) = x i +. Vì thế ếu S là tổg các khoảg cách từ A tới các điểm đỏ X i, thì: S = ( + ) = + y i xi x (2) i i= i=

35 Vì khoảg cách từ B tới điểm xah Y j là y j, ê ếu gọi S là tổg các khoảg cách từ B tới các điểm xah Y j, thì: ( j) j. (3) S = y = y i= j= Từ () suy ra: x = y. (4) i i= j= j Kết hợp (2), (3), (4) ta đi đế S = S. Ví dụ 4.2: Một mạg lưới ô vuôg gồm 00 đườg gag và 200 đườg dọc. Có hai quâ cờ đặt ở hai đỉh đối diệ của một hìh chữ hật Mỗi lượt gười ta chuyể cả hai quâ cờ theo đườg đế út lưới bê cạh. Hỏi rằg có thể sau một số lầ di chuyể thì hai quâ cờ có thể ở hai út lưới cạh hau được khôg. Giải: Lấy hai cạh của hìh chữ hật là hai trục tọa độ, dựg hệ trục tọa độ vuôg góc hư sau: Khi đó giả sử hai quâ cờ ở hai vị trí A(0 ; 00) và B(200 ; 0). ( Dĩ hiê có thể giả sử hai quâ cờ ở vị trí (0 ; 0) và (200 ; 00), khi ấy lập luậ khôg có gì thay đổi). Giả sử một quâ cờ lúc ào đó ở vị trí (a ; b). Lượt di chuyể tiếp theo vị trí của ó chỉ có thể ở vào một trog bố bước sau: (a + ; b), (a ; b), (a ; b + ), (a ; b ). Lúc bấy giờ trước khi di chuyể thì tổg tọa độ của quâ cờ là a + b. Sau khi di chuyể thì tổg tọa độ của quâ cờ thuộc vào tập hợp {a + b +,

36 a + b }. Như thế sau một lầ di chuyể tíh chẵ lẻ của tổg a + b thay đổi. Vì thế sau một lầ di chuyể thì tíh chẵ lẻ của tổg của hai quâ cờ khôg thay đổi. Tại thời điểm ba đầu do A(0 ; 00) và B(200 ; 0) ê tổg các tọa độ của hai quâ cờ là 300 đó là một số chẵ. Giả thiết sau một số ước đi hai quâ cờ có thể đứg cạh hau. Khi đó, ếu hai quâ cờ cùg hàg thì toạ độ của chúg sẽ có dạg (α ; β), (α ; β + ) Lúc ày tổg các toạ độ là 2(α + β) + đó là số lẻ. Nếu hai quâ cờ cạh hau và cùg cột thì toạ độ của chúg sẽ có dạg (α ; β), (α ; β + ). Lúc ày tổg các toạ độ là 2(α + β) + đó là số lẻ. Ta đều thu được mâu thuẫ vì tổg toạ độ của hai quâ cờ ba đầu đều là số chẵ. Vậy giả thiết hai quâ cờ sau một số lầ di chuyể có thể ở cạh hau là sai. Bài toá có câu trả lời phủ địh : Sau hiều lầ di chuyể thì lúc ào hai quâ cờ cũg khôg thể đứg cạh hau. Ví dụ 4.3: Nề hà hìh chữ hật được lát kí bằg các viê gạch hìh chữ hật kích thước 3 và 3 miếg hìh chữ hật. Hỏi có thể lát lại ề hà ấy chỉ bằg một loại gạch 3 hay khôg? Giải: Ta có hậ xét sau: Nề hà có ít hất một kích thước là số guyê chia hết cho 3. Thật vậy, giả thiết phả chứg khôg phải hư vậy, khi đó hoặc kích thước của ề hà có dạg: a) 3k + ; 3l +. Khi đó diệ tích S của ề hà là: S = (3k + )(3l + ) S /M 3. b) 3k + ; 3l + 2. Khi đó: S = (3k + )(3l + 2) S /M 3.

37 c) 3k + 2; 3l + 2. Khi đó: S = (3k + 2)(3l + 2) S /M 3. Như thế ta luô có S /M 3. () Mặt khác, vì ề hà đã cho lát kí được bằg các viê gạch 3 và 3 viê. Do đó: S = 3 + 3, ở đây là số viê gạch 3 dùg. Như thế lại có S M 3. (2) Từ () và (2) suy ra vô lí, vậy giả thiết phả chứg là sai. Nhậ xét được chứg mih. Quay trở lại bài toá của ta: Lát viê gạch 3 theo chiều cạh của hìh chữ hật có kích thước chia hết cho 3. Làm hư vậy sẽ lát kí được ề hà đã cho, mà chỉ phải dùg một loại gạch có kích thước 3. Bài toá có câu trả lời khẳg địh. Ví dụ 4.4: Một dải băg kích thước ( > 4) được tạo thàh từ các ô vuôg được đáh số, 2,...,. Trog các ô 2,, có một quâ cờ. Hai gười chơi một trò chơi hư sau: Mỗi gười chơi được phép chuyể quâ cờ bất kì đế một ô bất kì cò để trốg với số kí hiệu hỏ hơ. Người thua cuộc sẽ là gười khôg cò ước ào ữa. Chứg mih rằg gười đi đầu tiê có thể luô thắg cuộc. Giải: Chia tất cả các số guyê bắt đầu từ 2 thàh các cặp số khôg giao hau (2k ; 2k + ), k + : (2 ; 3), (4 ; 5), (6 ; 7), Khi đó giữa ba số,, 2 có hai số tạo thàh một cặp hư vậy. (Cụ thể ếu lẻ thì cặp đó là ( ; ) cò ếu chẵ thì cặp đó là ( 2 ; ).Người đi trước phải đi hư sau: H-4.2

38 Đi quâ cờ đứg ở ô có số hiệu khôg rơi vào cặp đó và đặt vào ô có số thứ tự (thí dụ ếu lẻ thì gười thứ hất đặt quâ cờ ở ô số 2 vào ô số ). Sau ước đi thì quâ cờ ày sẽ khôg cò chuyể độg đi đâu được ữa ( ghĩa là chỉ cò hai quâ cờ có thể di chuyể ). H-4.3 -Đế lượt gười thứ hai giả sử chuyể một trog hai quâ cờ cò lại sag ô thứ m. -Người thứ hất sẽ đặt quâ cờ cò lại vào ô số m hoặc ô số m + phụ thuộc vào số sẽ tạo thàh với số m một cặp hư trê ( thí dụ gười thứ hai đi quâ cờ vào ô số 7, thì gười thứ hất sẽ đi quâ cờ vào ô số 6). (Trog hìh trê ba quâ chuyể vào các ô, 6, 7). Điều ày luô luô có thể làm được vì các cặp số khôg giao hau và khôg giao với ô số. -Như vậy gười thứ hất cò đi được, ếu gười thứ hai cò đi được. Vậy gười thứ hất khôg thể thua. -Do mỗi lầ chơi các quâ cờ đặt vào các ô có số hiệu gày càg hỏ đi. Vì thế trò chơi phải kết thúc sau một số hữu hạ bước và gười chơi đầu luô thắg ếu họ tuâ thủ theo quy tắc trê. Ví dụ 4.5: Trê tờ giấy có kẻ vô hạ các ô vuôg và mỗi ô được tô bằg môt trog hai màu xah hoặc đỏ sao cho bất cứ hìh chữ hật ào kích thước 2 3 thì có đúg hai ô màu đỏ. Xét một hìh chữ hật kích thước bất kì. Tíh số ô đỏ của ó.

39 Giải: Ta có hậ xét: Mọi hìh chữ hật kích thước 3 chứa đúg một ô màu đỏ. Thật vậy, giả sử kết luậ của hậ xét khôg đúg, tức là tồ tại hìh chữ hật 3 có số ô màu đỏ khác một. Khôg giảm tổg quát giả sử đó là hìh chữ hật. AKHD kích thước 3 có hai ô đỏ (ếu khôg thì khôg có ô đỏ ào, hưg khôg thể là ba vì trog mọi hìh chữ hật 2 3 có đúg hai ô đỏ mà thôi). Trườg hợp AKHD khôg có ô đỏ ào lí luậ tươg tự. Cũg có thể cho là hai ô đỏ của AKHD là ô 7, ô 8 (ếu ở các ô khác thì lí luậ cũg hư vậy). Xét hìh chữ hật BFNA. Đó là hìh chữ hật 2 3, ê theo giả thiết ó có đúg hai ô đỏ 7 và 8 là hai ô đỏ, do đó các ô, 2, 4, 5 là màu xah. Xét hìh chữ hật BCHK, từ giả thiết và do các ô,2, 4, 5 màu xah ê các ô 3, 6 là màu đỏ. Xét hìh chữ hật ECDM kích thước 2 3, ta thấy do ô 3, 6, 8 màu đỏ ê suy ra mâu thuẫ. Vậy giả thiết phả chứg là sai. Nhậ xét được chứg mih. Vì 2004M 3 và 2004 M 3 = 668. Do vậy hìh chữ hật kích thước chia thàh hìh chữ hật 3. Vậy số ô đỏ trog một hìh chữ hật tùy ý kích thước là ô. Số ô đỏ cầ tìm là ô. Ví dụ 4.6: Trê mặt phẳg cho 2 điểm ( 2), khôg có ba điểm ào thẳg hàg. Một số trog chúg được ối thàh đoạ thẳg theo guyê tắc sau:

40 Nếu điểm A được ối với điểm B, điểm B được ối với điểm C, thì A khôg được ối với C. Chứg mih rằg với cách ối trê ta thu được khôg quá 2 đoạ thẳg. Giải : Ta chứg mih bằg phươg pháp quy ạp hư sau: Với = 2. Khi đó ta có bố điểm A, A 2, A 3, A 4. Rõ ràg khôg được phép ối để tạo thàh bất kì một tam giác ào. Vì thế cách ối để có tối đa các đoạ thẳg là các ối trê. Cách ối ày có 4 = 2 2 đoạ thẳg. Vậy kết luậ bài A A 4 H toá đã đúg khi = 2. - Giả sử kết luậ của bài toá đúg đế = k, tức là ếu có 2k điểm (k 2) và khôg có ba điểm ào thẳg hàg. Khi đó có khôg quá k 2 đoạ thẳgtrog cách ối tuâ theo yêu cầu đã đặt ra. - Xét khi = k + tức là ta có 2k + 2 điểm. A Dĩ hiê luô có thể giả thiêt có hai điểm A, B được ối với hau (vì ếu khôg thì số đoạ thẳg bằg 0 và kết luậ đúg là tầm thườg). Xét 2k điểm cò lại. Theo giả thiết quy ạp với 2k A 2 A 3 điểm ày số đoạ thẳg được ối với hau (tuâ theo quy luật ối đã cho) khôg vượt quá k 2. Xét các cách ối từ A hoặc B tới các điểm A, A 2,, A 2k cò lại. Chú ý rằg ếu ối A j với A, thì A j khôg thể ối với B ; cò ếu ối A i với B, thì A j khôg thể ối với A, vì thế số các đoạ thẳg ối ày khôg vượt quá 2k. Vậy tổg số đoạ thẳg được ối lúc ày khôg vượt quá k 2 + 2k + = (k + ) 2, (A ối B). Vậy kết luậ của bài toá cũg đúg khi = k +. Theo guyê lí quy ạp suy ra. B A 2k A A 2 H - 4.6

41 Ví dụ 4.7: Cho một bảg ô vuôg có ô, với là một số lẻ. trog mỗi ô của bảg ta đặt ra một số hoặc. Gọi a k là tích các số ô các ô của cột k, cò b k là tích các số ở các ô của hàg k (k =, ). Chứg mih rằg: a + bk 0. k k= k= Giải: Giả thiết phả chứg kết luậ của bài toá khôg đúg tức là ta có: a + bk = 0. () k k= k= Từ giả thiết suy ra với mọi k =, thì các số a k, b k đều bằg hoặc. Mặt khác, ta có a a 2 a b b 2 b chíh là bìh phươg của tích tất cả các số trog bảg, mà tích các số trog bảg hoặc, do vậy aa... abb... b =. 2 2 Từ (2) suy ra trog tất cả các số a k, b k ói trê, số các số bằg phải là số chẵ. Từ () su ra các số a k, b k bằg và bằg là bằg hau, vậy số các số a k, b k bằg cũg phải là số chẵ. Do vậy số các số a k, b k là tổg của hai số chẵ bằg hau, ê là số chia hêt cho 4, tức là 2 M 4. Do là số lẻ ê ( ) 2= 2 2m+ = 4m+ 2 /M 4. Mâu thuẫ ày chứg mih giả thiết phả chứg là sai, tức là () khôg thể có. Điều đó ghĩa là: a + bk 0. k k= k=

42 Ví dụ 4.8: Trê mặt phẳg có sáu điểm sao cho ba điểm bất kì là đỉh của một tam giác mà các cạh có độ dài khác hau. Chứg mih rằg cạh hỏ hất của một trog các tam giác đồg thời là cạch lớ hất của một tam giác khác. Giải: Giả sử M, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6 là sáu điểm đã cho. Trog mỗi tam giác M i M j M k ta tô cạh lớ hất bằg màu đỏ. Xuất phát từ đỉh M, có ăm đoạ thẳg ối M với các điểm cò lại. Chỉ có hai trườg hợp sau đây sảy ra:. Hoặc là có ít hất ba trog ăm đoạ M M 2, M M 3, M M 4, M M 5, M M 6 tô màu đỏ. Giả sử M M 2, M M 3, M M 4 tô màu đỏ. Xét tam giác M 2 M 3 M 4. Khi đó trog tam giác ày có ít hất một cạh màu đỏ (cạh lớ hất). Giả sử đoạ đó là M 2 M 3. Khi đó tam giác M M 2 M 3 có ba cạh màu đỏ. 2. Hoặc là có ít hất ba trog ăm đoạ ói trê chưa được tô màu. Giả sử M M 2, M M 3, M M 4 chưa được tô màu. Xét ba tam giác M M 2 M 3, M M 3 M 4, M 2 M 3 M 4. Do M M 2, M M 3 chưa có màu, vậy M 2 M 3 phải màu đỏ. Vậy tam giác M 2 M 3 M 4 có ba cạh cùg màu đỏ. Tươg tự M 3 M 4, M 4 M 2, phải màu đỏ. Như vậy ta đã chứg mih được luô luô tồ tại một tam giác có ba cạch cùg màu đỏ. Giả sử đó là tam giác M i M j M k và khôg giảm tổg quát có thể cho là : M i M j < M j M k < M k M i ( Chú ý rằg mọi tam giác tạo thàh từ sáu điểm đều có các cạch có độ dài khác hau). Như thế M i M j là cạh hỏ hất của tam giác M i M j M k. Vì ó có màu đỏ, vậy ó phải là cạh lớ hất của tam giác khác ào đó.

43 - 4 - Ví dụ 4.9: Cho hìh lập phươg. Ta điề tám số guyê dươg đôi một khác hau vào tám đỉh của hìh lập phươg. Trê mỗi cạh của hìh lập phươg, ta ghi UCLN của hai số được điề ở hai đầu mút của cạh đó. Hỏi có thể xảy ra trườg hợp tổg tám số ở tám đỉh bằg tổg của 2 số ở 2 cạh được khôg? Giải: Ta có hậ xét sau đây: Gọi a, b là hai số guyê dươg khác hau và UCLN (a, b) = d. () Khi đó ta có a + b 3d. (2) Thật vậy từ () suy ra: a = da ; b = db ; với UCLN (a, b ) =. Do a, b, và do a b, ê a và b khôg thể cùg bằg. Từ đó có a + b 3. Vì thế a + b = (a + b )d 3d, vậy (2) đúg. Dấu bằg sảy ra khi và chỉ khi a = 2b hoặc b = 2a. Giả sử tại tám đỉh của hìh lập phươg ta ghi các số guyê dươg a i (i =,8). Chú ý rằg các số ày đôi một khác hau. Giả sử: UCLN (a i, a j ) = d ịj ( i, j 8). Theo hậ xét trê ta có: a i + a j 3d ịj.từ đó: ( ai + aj) 3 dij. (3) i, j 8 i, j 8 Vì mỗi đỉh ghi số a i thuộc ba cạh ê trog tổg của vế trái của (3) mỗi số a i được tíh ba lầ. Từ đó ( ai + aj) = 3 ai. (4) Từ (3) và (4) đi đế 8 ai d i= i, j 8 i, j 8 i= 8 ij. (5) Dấu bằg trog (5) sảy ra a i = 2a j hay a j = 2a i, i, j 8. Nhưg điều ày khôg thể có do a i a j, i j. Vậy từ (5) có 8 ai > dij. (6) i= i, j 8

44 Từ (6) suy ra bài toá có câu trả lời phủ địh: khôg thể có cách điề số vào đỉh và cạch lập phươg sao cho tổg số ở tám đỉh bằg tổg của 2 số ở 2 cạh của hìh lập phươg. Ví dụ 4.0: Cho bảg ô vuôg kích thước 2 (2 + ) (bảg gồm 2 dòg và 2 + cột). Hãy tìm số guyê dươg k lớ hất sao cho ta có thể tô màu k ô vuôg co của bảg mà với mọi hai ô vuôg co ào được tô màu cũg khôg có đỉh chug. Giải: Ta đáh số các hàg và cột theo quy ước sau: Thứ tự của hàg tíh từ trê xuốg dưới, cò thứ tự của cột tíh từ trái sag phải. Kí hiệu (i ; j) là ô vuôg ằm ở giao của hàg thứ i và cột thứ j của bảg. Giả sử T là một cách tô màu theo yêu cầu đầu bài. Kí hiệu k(t) là số ô được tô màu của cách T. Nếu ô (i ; j) được tô màu trog cách tô màu T ( i 2 ) thì ô ( ; j) i +, và các ô kề với (i ; j) trog cùg hàg dĩ hiê khôg được tô màu. Thực hiệ phép biế đổi sau đối với T: Xóa màu ở tất cả các ô (i ; j) mà i (mod 2), đồg thời tô màu các ô (i + ; j) (tức là xóa màu tất cả các ô ằm ở hàg lẻ). Rõ ràg sau khi thực hiệ phép biế đổi ấy, ta có một phép tô màu mới T. Phép tô màu ày thỏa mã các điều kiệ sau:. Hai ô vuôg co ào được tô màu ở bước T cũg khôg có đỉh chug.

45 k(t) = k(t ). 3.Tất cả các ô ằm ở hàg thứ, 3, 5,, 2 đều khôg có màu. Theo cách tô màu thì số các ô được tô màu ở một hàg khôg vượt quá +. Và chỉ có tối đa hàg có màu, ê: k(t ) ( + ).Vì thế k(t) ( +) với mọi cách tô màu T. Xét cách tô màu sau: Tô màu tất cả các ô (2i ; 2j ) với i =, 2,, ; j =, 2,, +. Rõ ràg phép tô ày thỏa mã yêu cầu đề bài. Số ô được tô là ( + ). H-4.9 Tóm lại, số k lớ hất phải tìm là ( + ). Ví dụ 4.: Cho một tam giác đều được chia thàh 2 tam giác đều bằg hau. Một số tam giác đó được đáh số bởi các số, 2,, m, sao cho các tam giác với các số liê tiếp thì phải có cạh chug. Chứg mih rằg: m 2 +. Giải: Chia các cạh tam giác đều thàh phầ bằg hau. Từ các điểm chia kể các đườg thẳg sog sog với các cạh của tam giác. Khi đó số tam giác đều co là: (2 ) = 2. Tô màu tam giác thàh các tam giác đe, trắg xe kẽ hau hư hìh vẽ. Khi đó số các ô đe là: = cò số các ô trắg là: ( - ) = + ( ), 2 ( ). 2

46 Theo cách đáh số tam giác thì hai tam giác được đáh số liê tiếp phải có cạh chug do đó ó phải có màu khác hau. Vì lẽ đó, trog số các tam giác được đáh số, số các tam giác đe chỉ có thể hiều hơ số các tam giác trắg là.vậy tổg số các tam giác được đáh số m phải thỏa mã bất đẳg thức: 2 ( ) m +, hay 2 m 2 +. Ví dụ 4.2: Cho bà cờ vua 8 8 ô. Ở mỗi bước xét một hàg hoặc một cột, sau đó trog hàg (hoặc cột) chọ ra, ta thay đổi màu tất cả các ô trog hàg (hoặc cột) ấy theo quy tắc: đe biế thàh trắg và trắg biế thàh đe. Hỏi bằg cách ấy, có thể đế một lúc ào đó thu được một bà cờ chỉ có duy hất một ô đe hay khôg? Giải: Giả sử trước khi tô lại một hàg (hoặc một cột) có k ô đe và 8 k ô trắg. Sau khi tô lại hàg (hoặc cột) sẽ có k ô trắg và 8 k ô đe. Vì thế sau một lầ tô lại số ô đe thay đổi là: (8 k) k = 8 2k, tức là thay đổi một số chẵ ô đe. Như vậy tíh chẵ, lẻ của số các ô đe khôg thay đổi suốt từ đầu đế cuối. H-4. Lúc đầu số ô đe là 32 ô ( số chẵ). Vì thế khôg lúc ào ta lại hậ được bà cờ chỉ có một ô đe. Bài toá có kết quả là phủ địh.

47 Ví dụ 4.3: Một đa giác lồi cạh được chia thàh các tam giác bằg các đườg chéo khôg cắt hau của ó, đồg thời tại mỗi đỉh của ó đều hội tụ một số lẻ các tam giác. Chứg mih rằg chia hết cho 3. Giải: Theo giả thiết đa giác lồi được chia thàh hiều tam giác bởi các đườg chéo khôg cắt hau. Tô màu đe, trắg các tam giác sao cho hai tam giác có cạh chug thì có màu khác hau. Mặt khác, vì tại mỗi đỉh đều hội tụ một số lẻ tam giác, ê khi tô màu hư vậy tất cả các cạh của đa giác sẽ thuộc các tam giác cùg màu (giả sử đó là các tam giác đe). Giả sử m là số cạh của các tam giác trắg, vì hai tam giác trắg bất kì khôg có cạh chug ê dĩ hiê mm 3. Mặt khác, mỗi cạh của tam giác trắg cũg là cạh của tam giác đe và tất cả các cạh của tam giác trắg cũg là các cạh của tam giác đe. Ngoài ra hai tam giác đe bất kì cũg khôg có cạh chug, ê tổg số cạh của tam giác đe là m + cũg phải chia hết cho 3. Từ m M 3 suy ra M 3. H 4.2 Ví dụ 4.4: Trê một đườg thẳg có điểm màu xah và điểm màu đỏ. Chứg mih rằg tổg tất cả các khoảg cách giữa các cặp điểm cùg màu bé hơ hoặc bằg tổg tất cả các khoảg cách giữa các cặp điểm khác màu. Giải: Giả sử điểm màu đỏ trê trục số có tọa độ x, x 2,, x ; cò điểm màu xah trê trục số có tọa độ là y, y 2,,y. Gọi A là tổg các khoảg cách của hữg điểm cùg màu, cò B là tổg các khoảg cách của hữg điểm khác màu. Ta sẽ chứg mih bằg quy ạp.