HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2018 ĐÁP ÁN MÔN: TỔ HỢP Bảng PT Bài toán về đàn gà A. Sự tồn tại của gà vua Bài PT.1.

Bản ghi

1 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 018 ĐÁP ÁN MÔN: TỔ HỢP Bảg PT Bài toá về đà gà A. Sự tồ tại của gà vua Bài PT.1. a Hiể hiê, vì ếu K 1, K là hoàg đế thì K 1 thắg K (do K 1 là hoàg đế và K thắg K 1 (do K là hoàg đế, mâu thuẫ. b Một đà gà có co là một ví dụ về đà gà có 1 hoàg đế. c Một đà gà co thắg vòg trò lẫ hau là một ví dụ về đà gà hôg có hoàg đế. Trog sơ đồ sau và các sơ đồ hác trog đáp á, mũi tê từ A hướg đế B ói rằg A thắg B. G G 1 G Bài PT.. a Nếu G thắg G và G thắg G thì ta ói G thắg giá tiếp G. Xét các tập W (G, L(G tươg ứg là tập các co gà thắg, thua G. G L(G W(G 1 (Xem tiếp trag sau

2 Giả sử G hôg phải là vua. Khi đó, W (G và hơ ữa, phải tồ tại một co gà G W (G sao cho G hôg thắg giá tiếp G. Ta suy ra hôg có co gà ào trog L(G thắg G. Như vậy, G thắg mọi co gà trog L(G ê G thắg hiều co gà hơ G (do goài L(G ra, G cò thắg G, mâu thuẫ. b Theo giả thiết, W (G. Xét đà gà W (G (loại tạm thời các co gà hác hỏi đà. Theo a, có một co gà K là vua trog W (G: với mọi G W (G, hoặc là K thắg G, hoặc là K thắg giá tiếp G. Thế hưg, K thắg G, và rõ ràg, với mọi G L(G thì K cũg thắg giá tiếp G (qua G. Điều ày chứg tỏ K là một vua trog đà gà ba đầu (và G thua K. Bài PT.. Theo PT.a, đà gà phải có ít hất một vua K 1 ào đó. Vẫ theo PT, do K 1 hôg phải là hoàg đế, K 1 thua ít hất môt co gà ào đó và vì thế thua một vua K ào đó. Lại tiếp tục lập luậ tươg tự với K, ta suy ra K thua một vua K ào đó. Chú ý rằg K K 1 vì K 1 thua K cò K thắg K. Vậy đà gà có ít hất ba vua là K 1, K, K. Cách lập luậ trực tiếp. Theo PT.a, đà gà phải có ít hất một vua K 1 ào đó. Do K 1 hôg phải là hoàg đế, W (K 1. Xét đà gà W (K 1. Theo PT.a, có một co gà K là vua trog W (K 1 : với mọi G W (K 1, hoặc là K thắg G, hoặc là K thắg giá tiếp G. Thế hưg, K thắg K 1, và rõ ràg, với mọi G L(K 1 thì K cũg thắg giá tiếp G (qua K 1. Điều ày chứg tỏ K cũg là một vua trog đà gà ba đầu. (Lập luậ ày hoà toà giốg lập luậ đã được dùg hi giải PT.b. Ta vẫ lập luậ tươg tự hư trê, do K hôg phải là hoàg đế, K phải thua ít hất một co gà ào đó, ghĩa là W (K. Theo PT.a, có một co gà K là vua trog W (K : với mọi G W (K, hoặc là K thắg G, hoặc là K thắg giá tiếp G. Thế hưg, K thắg K, và rõ ràg, với mọi G L(K thì K cũg thắg giá tiếp G (qua K. Điều ày chứg tỏ K cũg là một vua trog đà gà ba đầu. Lưu ý rằg K 1 / W (K, K W (K ê K 1, K, K là đôi một phâ biệt. B. Một đà gà có thể có bao hiêu vua? Bài PT.4. Thật vậy, giả sử một đà gà có đúg co vua là K 1, K. Để ý rằg mọi hoàg đế là vua. Do K 1 là vua, hoặc là K 1 thắg K, hoặc là K 1 thắg giá tiếp K. Nói riêg, K phải thua ít hất một co gà ào đó. Nhưg theo PT.b thì K phải thua một vua ào đó. Do chỉ có vua, ta suy ra K thua K 1. Lập luậ tươg tự ta cũg có K 1 thua K. Như vậy, K 1, K thắg lẫ hau, mâu thuẫ. S G 1 G

3 Bài PT.5. Giả sử S là một đà gà co mà mỗi co đều là vua. Thêm vào S hai co gà G 1, G sao cho G 1 thắg mọi co gà của S hưg thua G và G thua mọi co gà của S. Ta sẽ chỉ ra rằg đà gà T mới cũg có tất cả các co gà là vua. Theo xây dựg thì G 1 thắg mọi co gà trog S. Hơ ữa, G 1 thắg giá tiếp G qua một co gà bất ì của S. Do đó G 1 là một vua trog đà gà T. Cũg theo xây dựg thì G thắg G 1. Ngoài ra, G thắg giá tiếp mọi co gà trog S thôg qua G 1. Do đó G là một vua trog đà gà T. Theo giả thiết, mọi co gà G trog S thắg hoặc thắg giá tiếp mọi co gà hác trog S. Hơ ữa, theo xây dựg, G thắg G và do đó thắg giá tiếp G 1 thôg qua G. Chíh vì vậy, G vẫ cò là vua trog T. Như vậy, T là một đà gà gồm + co mà mỗi một co trog đà là vua. Bài PT.6. Giả sử một đà gà hư vậy tồ tại. Rõ ràg hôg có co ào thắg mọi co hác: ếu có một co (hoàg đế hư vậy, hôg co ào trog số các co cò lại có thể thắg hoặc thắg giá tiếp co ày, do đó co cò lại hôg thể là vua. Ta cũg hậ xét rằg hôg có co ào thua mọi co hác vì một co hư vậy hôg thể là vua được. Từ đó, mỗi co gà trog đà thắg 1 hoặc co gà hác. Chíh vì thế, ếu ta gọi a (tươg ứg, b là số co gà trog đà thắg đúg 1 (tươg ứg, co gà hác thì a + b = 4. Hơ ữa, giữa co gà hác hau bất ì phải có đúg 1 co thắg co cò lại (ói cách hác, số cặp (G, G mà G thắg G bằg ( 4 = 6 ê a + b = 6. Suy ra a = b =. Vậy, có đúg co thắg đúg co gà và có đúg co thắg đúg 1 co gà. Giả sử G 1, G thắg đúg co gà và G, G 4 thắg đúg 1 co gà. Khôg mất tổg quát, ta có thể giả sử G 1 thắg G và G thắg G 4. Do G chỉ thắg đúg 1 co gà, ta suy ra G thua G 1, G. Lại do G 1 thắg đúg co gà, ta suy ra G 1 thua G 4. Bây giờ, vì G 4 thắg đúg 1 co gà ê G 4 thua G (và G. Thế hưg, G hôg phải là vua, vì G hôg thắg G và cũg hôg thắg giá tiếp G qua bất ì co gà ào. Như vậy, ta có điều mâu thuẫ và do đó hôg tồ tại đà gà 4 co ào mà tất cả đều là vua. G 1 G G G 4 Bài PT.7. Đà gà sau đây thoả mã. Việc iểm tra là dễ dàg dựa vào các mũi tê. Chẳg hạ G 1 là vua vì thắg G 4, G 5, G 6 và thắg giá tiếp G, G (thôg qua G 5. (Xem tiếp trag sau

4 G G G 1 G 4 G 6 G 5 Bài PT.8. Trước hết, xét trườg hợp, 4 ( bất ì. Trước hết, dễ thấy đà gà co thắg vòg trò lẫ hau có cả co là vua. Từ đó, theo PT.5 thì tồ tại đà gà 5 co mà tất cả các co là vua. Bằg quy ạp, ta suy ra với mọi lẻ tồ tại đà gà co mà tất cả đều là vua (trườg hợp = 1 có thể được xem là quy ước. Cũg lập luậ bằg quy ạp, dựa vào PT.7 và PT.5, ta suy ra với mọi số guyê dươg chẵ, tồ tại đà gà co mà tất cả đều là vua. Từ đó suy ra với mọi số guyê dươg mà, 4, tồ tại đà gà co mà tất cả đều là vua. Bây giờ, để xây dựg một đà gà co với đúg vua, ta bắt đầu với một đà gà S gồm co mà tất cả đều là vua. Ta sẽ thêm co gà bất ì vào S sao cho chúg thua mọi co gà của S (thứ tự thắg thua giữa co gà mới là bất ì để có một đà gà T gồm co. Khi đó rõ ràg co gà của S vẫ cò là vua trog T, trog hi đó mọi co gà mới hôg thể là vua trog T vì chúg thua mọi co gà trog S và cũg hôg thể thắg giá tiếp bất ì co ào trog S. Do đó T là một đà gà gồm co, trog đó có đúg vua. Để ết thúc, ta cò phải xét trườg hợp = 4, 5. Tươg tự hư trê, ta chỉ cầ xây dựg một đà gà gồm 5 co, trog đó có đúg 4 co vua. Sau đó, tươg tự hư trê, để xây dựg một đà gà gồm 5 co, trog đó có đúg 4 vua, ta chỉ cầ thêm vào 5 co gà mới mà mỗi co gà mới thua cả 5 co trog đà gà ba đầu. Một ví dụ về đà gà 5 co với đúg 4 vua được mô tả qua hìh vẽ sau. G 1 G G 5 G G 4 4

5 Ta iểm tra được rằg G, G, G 4, G 5 là vua cò G 1 thì hôg. Với G 1 : G 1 hôg thắg G cũg hư hôg thắg giá tiếp G. Chẳg hạ, với G : G thắg G 4, G 5 và thắg giá tiếp G 1, G (thôg qua G 4. C. Sắp thứ tự đà gà Bài PT.9. Ta lập luậ bằg qui ạp theo hẳg địh mạh hơ: với mọi đà gà co, tồ tại một cách đáh số các co gà G 1,..., G thoả mã điều iệ của bài toá, và hơ thế ữa G 1 là vua của đà gà. Trườg hợp = là há hiể hiê. Giả sử và hẳg địh của bài toá đã được chứg mih là đúg với 1, ta sẽ chỉ ra hẳg địh là đúg với. Xét một đà gà S gồm co gà. Gọi G là một vua của S (tồ tại theo PT.a. Tạm loại bỏ G ra hỏi S và gọi đà gà cò lại là T. Theo giả thiết, ta có thể đáh số các co gà của T là G 1, G,..., G sao cho, với mọi i, G i 1 thắg G i và G i là vua của đà gà chỉ gồm G i, G i+1,..., G. Ta bỏ lại G vào đà gà. Gọi 1 j 1 là chỉ số hỏ hất sao cho G thắg G j (một chỉ số hư vậy tồ tại do G là vua của S và đáh số lại các co gà dựa vào thứ tự: G 1, G,..., G j 1, G, G j, G j+1,..., G. Ta sẽ chỉ ra rằg cách đáh số, hay sắp thứ tự ày, thoả mã yêu cầu của bài toá. Muố vậy, ta chỉ cầ chỉ ra rằg: (1 Với mọi 1 i j 1, G i là vua trog đà gà gồm G i,..., G j 1, G, G j,..., G ; ( G là vua trog đà gà gồm G, G j, G j+1,..., G ; ( Với mọi i j, G i là vua trog đà gồm G i, G i+1,..., G. ( là hiể hiê theo cách xây dựg. Ta hãy chứg mih (1. Do G i là vua trog đà gồm G i, G i+1,..., G và do i j 1, ê G i thắg G và do đó G i thắg hoặc thắg giá tiếp mọi co gà cò lại trog đà {G i,..., G j 1, G, G j,..., G }. Vậy (1 được chứg mih. Cuối cùg ta chứg mih (. Theo cách chọ G là vua của S ê với mọi j 1, G thắg G hoặc thắg giá tiếp G thôg qua một co gà hác trog S. Tuy hiê, cũg theo cách chọ, G thua toà bộ G 1,..., G j 1 ê ếu G thắg giá tiếp G thì ó phải thắg giá tiếp G thôg qua một co gà ào đó trog {G j, G j+1,..., G } \ {G }. Từ đó ta có (. Hết 5

6 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 018 ĐÁP ÁN MÔN: ĐẠI SỐ Bảg PT Biế đổi Abel và một số ứg dụg A. Đẳg thức Abel và bất đẳg thức Abel Bài PT.1. Ta sẽ chỉ chứg mih đẳg thức đầu tiê, đẳg thức thứ hai hậ được bằg cách hoá đổi vai trò của hai dãy. Do y 1 = Y 1 và y = Y Y 1 với mọi =,..., ê x y = x 1 y 1 + x (Y Y 1 = x 1 Y 1 + = = x Y + x Y Bài PT.. Theo PT.1 ta có x y = x Y + (x x +1 Y }{{}}{{} x m + 0 m x Y = x +1 Y x +1 Y = x Y (x +1 x Y. ( (x x +1 m = x 1 m. Bất đẳg thức cò lại là hoà toà tươg tự. Bài PT.. Ta chỉ cầ áp dụg PT. cho x 1 = 1, x = 1,..., x = 1. B. Ứg dụg vào việc tíh một số tổg và thiết lập một số đẳg thức Bài PT.4. a Áp dụg PT.1, ta có 1 (Xem tiếp trag sau

7 H = ( 1 H = 1 H b Theo PT.1, ta có ( 1 (H +1 H i=0 1 = ( + 1H ( = ( + 1H 1 = ( + 1H. ( H = H = = = ( i (H +1 H i=0 ( + 1 ( H + 1 ( + 1 H 1 ( + 1 ( 1 H. 4 Bài PT.5. Nhậ xét rằg, với mọi m, ta có đẳg thức ( ( i + 1 =. (1 m m + 1 i=m Thật vậy, (1 được suy ra từ việc cộg, vế theo vế, các đồg hất thức ( ( i m = i+1 ( m+1 i m+1, với i = m, m + 1,..., (chú ý quy ước ( i j = 0 hi i < j. Từ đó, theo PT.1 thì ( ( ( ( ( i H = H (H +1 H m m m =m =m i=m ( + 1 ( = H m + 1 m =m ( Bây giờ, để ý rằg m+1 = 1 m+1( m. Suy ra =m =m ( m = 1 m + 1 =m ( m = }{{} do (1 ( 1. m + 1 m + 1

8 Từ đó, ( ( ( + 1 T m, = H = H m m + 1 =m m ( + 1(m + 1. C. Một số ứg dụg hác Bài PT.6. Ta có, theo PT.1, a b = (a a b + (a a (b b +1. Do a a (a a và b b +1 0 ê a b (a a b + = 1 (a a (b + (a a (b b +1 (b b +1 = 1 (a a (b 1 + b + + b. (Đẳg thức cuối cùg đế từ PT.1, áp dụg cho hai dãy x 1 =... = x = 1 và y 1 = b 1, y = b,..., y = b. Bài PT.7. a Khôg giảm tổg quát, ta có thể giả sử a 1 a a. Thế thì ta có a 1 a 1 + a a a. Mặt hác, a 1+a + +a a 1 a... a 1. Từ đó suy ra a a với mọi = 1,,...,. Cuối cùg, từ PT. ta có: ếu x 1 x x 0 và y 1 0, y 1 + y 0,..., y y 0 thì x y 0. Áp dụg cho x = a p, y = a 1 ta hậ được a p (a 1 0. Từ đó ta có bất đẳg thức cầ chứg mih. x+1 b Áp dụg câu a cho a = x (với quy ước x +1 = x 1 và p =. (Xem tiếp trag sau

9 Bài PT.8. Đặt b =. Thế thì 0 < b 1 < b < < b và a 1 +a + +a b 1 +b + +b với mọi 1. Ta sẽ chỉ ra a1 + + a b b ( Nhắc lại rằg, từ PT. ta có: ếu x 1 x x 0 và y 1 0, y 1 + y 0,..., y y 0 thì x y 0. Áp dụg cho x = 1, y b = b a (1, ta thu được b 1 a 1 b b a 0, b hay a 1 b a b b b. ( Bây giờ, ta hắc lại bất đẳg thức Hölder: Cho số thực dươg x 1,..., x ; y 1,..., y và hai số thực dươg p, q thoả mã = 1. Thế thì, x p q 1y x y ( x p x p ( y q y q 1 q. Áp dụg bất đẳg thức ày cho x = a 9, y b = 9 b (1, p =, q = ta suy ra 1 p ( 1 a ( a b. b Kết hợp bất đẳg thức ày với ( ta thu được (. Như vậy, ta có a a = (+1. Đẳg thức xảy ra hi a = (1 ê (+1 chíh là giá trị lớ hất cầ tìm. Hết 4