Chapitre 15: permutations et déterminants ÌÐ ÑØÖ ½ ÈÖÑÙØØÓÒ ¾ ½½ ÒØÓÒ ¾ ½¾ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÔÖÓÙØ ÝÐ ÓÒØ ½ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÔÖÓÙØ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ½ ËÒØÙÖ ¾ ÓÖÑ ÑÙÐØÐÒÖ ¾½ ÒØÓÒ ¾¾ ÓÖÑ n¹ðòö ÐØÖÒ ØÖÑÒÒØ ½ ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑÐÐ ÚØÙÖ ¾ ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÒÓÑÓÖÔ Ñ ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ÔÔÐØÓÒ ØÖÑÒÒØ ½ ØÖÑÒÒØ Ø ØÖÒ ÔÓ ¾ ØÖÑÒÒØ Ø ÖÒ ÓØÙÖ Ø ÓÑØÖ
½ ½½ ÈÖÑÙØØÓÒ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ½ ËÓØ E ÙÒ Ò ÑÐ Ò ÖÒÐ n N ÇÒ ÔÔÐÐ ÔÖÑÙØØÓÒ ÙÖ Ð³Ò ÑÐ E ØÓÙØ ØÓÒ σ : E E ÇÒ ÒÓØ S(E ÓÙ Ò S(E Ð³Ò ÑÐ ÔÖÑÙØØÓÒ E ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ Ä³Ò ÑÐ (S(E, ÓÖÑ ÙÒ ÖÓÙÔ ÖÒÐ n! гÐÑÒØ ÒÙØÖ Ø e = id E Ø Ð³ÒÚÖ Ð ÔÖÑÙØØÓÒ σ Ø Ð ØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ σ 1 ÇÒ ÒÓØ S n Ð³Ò ÑÐ ÔÖÑÙØØÓÒ Ð³Ò ÑÐ 1,n ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ ËÓØ E = {a 1,,a n } ÙÒ Ò ÑÐ Ò ÖÒÐ n ijÔÔÐØÓÒ S n S(E Φ : σ (Φ(σ : a i a σ(i Ø ÙÒ ÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ÈÖ ÓÒ ÕÙÒØ ÔÐÙØØ ÕÙ³ØÙÖ Ð ÖÓÙÔS(E Ð ÙØ ³ØÙÖ Ð ÖÓÙÔS n ÕÙ³ÓÒ Ö Ò ØÓÙØ Ð ÙØ ÒØÓÒ ¾ ËÓØ σ S n ÇÒ ÔÔÐÐ ÔÓÒØ Ü σ ØÓÙØ ÐÑÒØ k 1,n ØÐ ÕÙ σ(k = k. ÇÒ ÔÔÐÐ ÙÔÔÓÖØ σ Ð ÓÑÔÐÑÒØÖ Ò 1,n Ð³Ò ÑÐ ÔÓÒØ Ü ÇÒ ÒÓØ supp(σ Ð ÙÔÔÓÖØ σ { } supp(σ = k 1,n σ(k k. ËÓØ k 1,n ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÖØ k ÐÓÒ σ Ð³Ò ÑÐ O(k = {σ i (k 1,n i Z}. ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ σ S n Ë r = Card(O(k ÐÓÖ O(k = {k,σ(k,,σ r 1 (k} Ò { } p Z σ p (k = k = r Z. Ä ÙÔÔÓÖØ σ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÜ ÒØÖ k ØÐ ÕÙ O(k Ø ÖÒÐ ÙÔÖÙÖ ÓÙ Ð 2 Ä ÖÐØÓÒ R Ò ÙÖ 1,n ÔÖ (k 1,k 2 1,n 2, k 1 Rk 2 i Z, k 2 = σ i (k 1 Ø ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÕÙÚÐÒ Ø Ð Ð ³ÕÙÚÐÒ ÓÒØ ÜØÑÒØ Ð ÓÖØ ÐÑÒØ 1,n ÐÓÒ Ð ÔÖÑÙØØÓÒ σ Ä ÓÖØ ÓÖÑÒØ ÓÒ ÙÒ ÔÖØØÓÒ 1,n ÒØÓÒ ËÓØ σ S n ÇÒ Ø ÕÙ Ð ÔÖÑÙØØÓÒ σ Ø ÙÒ ÝÐ Ð ÔÖÑÙØØÓÒ σ Ò³ÑØ ÕÙ³ÙÒ ÙÐ ÓÖØ ÖÒÐ ÙÔÖÙÖ ÓÙ Ð 2 Ð ÔÓÒØ ÙØÖ ÓÖØ ØÒØ ÓÒ ÔÓÒØ Ü ÔÓÙÖ σµ ¾
Ë σ Ø ÙÒ ÝÐ ÓÒ ÔÔÐÐ ÐÓÒÙÙÖ Ù ÝÐ σ Ø ÓÒ ÒÓØ l(σ Ð ÖÒÐ Ð ÙÐ ÓÖØ σ ÖÒÐ ÙÔÖÙÖ ÓÙ Ð 2 Ò ÒÓØÒØ p = l(σ Ø O = {a 1,,a p } гÓÖØ ÖÒÐ ÙÔÖÙÖ ÓÙ Ð 2 ÔÓÙÖ σ ÓÒ ÒÓØ σ = (a 1,a 2,,a p, ÔÓÙÖ ÒÖ ÕÙ Ð ÔÖÑÙØØÓÒ σ Ð Ü ØÓÙ Ð ÒØÖ k 1,n ÓÖ O Ø ÕÙ i {1,,p 1}, σ(a i = a i+1 Ø σ(a p = a 1. ÊÑÖÕÙ ½ Ä ÔÖÑÙØØÓÒ S n ÓÒØ ÒÓØ ( 1 2 n σ = σ(1 σ(2 σ(n. ½¾ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÔÖÓÙØ ÝÐ ÓÒØ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓÒØ σ Ø σ ÙÜ ÔÖÑÙØØÓÒ Ò S n ÙÔÔÓÖØ ÓÒØ ÐÓÖ Ð ÙÜ ÔÖÑÙØØÓÒ ÓÑÑÙØÒØ σ σ = σ σ ÌÓÖÑ ½ ÌÓÙØ ÔÖÑÙØØÓÒ S n ÔÙØ ³ÖÖ ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÓÙØ ÝÐ ÙÔÔÓÖØ ÓÒØ Ø Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ Ø ÙÒÕÙ ÓÖÖ ÔÖ ÅØÓ ÓÑÑÒØ ØÖÓÙÚÖ Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ ³ÙÒ ÔÖÑÙØØÓÒ Ò ÝÐ ÙÔÔÓÖØ ÓÒØ ËÓØ σ ÙÒ ÔÖÑÙØØÓÒ ÓÒÒ Ò S n ÈÓÙÖ ØÖÓÙÚÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÔÖÒÖ ÙÒ ÒØÖ k ÒØÖ 1 Ø n ÐÙÐÖ σ(k σ 2 (k Ø Ù ÕÙ³ ÖÓÙÐÖ σ r (k = k ÖÖ Ð ÝÐ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ c 1 = (k,σ(k,,σ r 1 (k ÖÓÑÑÒÖ Ú ÙÒ ÙØÖ ÒØÖ k ÒÓÒ ÖÒÓÒØÖ ÓÒ ÓØÒØ ÝÐ c 1,c 2,c s ÖÖ ÒÐÑÒØ σ = c 1 c 2 c s ÜÑÔÐ ½ ÉÙÐÐ Ø Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 2 7 5 6 3 4 1 S 7 ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ Ð ÔÙ Ò ³ÙÒ ÔÖÑÙØØÓÒ ËÓØ σ ÙÒ ÔÖÑÙØØÓÒ ÓÒÒ Ò S n ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ σ p ÖÖ Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ σ Ò ÝÐ ÙÔÔÓÖØ ÓÒØ c 1,,c s ÐÙÐÖ Ð ÔÔÑ L ÐÓÒÙÙÖ ÝÐ c i ÐÙÐÖ Ð Ö Ø R Ò Ð Ú ÓÒ ÙÐÒÒ p ÔÖ L ÐÙÐÖ ÕÙ c R i ÐÙÐÖ c R 1 cr 2 cr s = σr ÜÑÔÐ ¾ ÐÙÐÖ σ 1001 Ú σ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 2 7 5 11 1 3 4 8 6 9
½ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÔÖÓÙØ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ØÓÙØ ÝÐ ÐÓÒÙÙÖ2 Ò ÒÓØÒØ {i,j} Ð ÙÐ ÓÖØ ÖÒÐ ÙÔÖÙÖ ÓÙ Ð 2 Ð ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ (i,j Ò Ð ÐÑÒØ i Ø j ÌÓÖÑ ¾ ÌÓÙØ ÔÖÑÙØØÓÒ S n ÔÙØ ³ÖÖ ÓÑÑ ÔÖÓÙØ ÒÓÒ ÙÒÕÙµ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÅØÓ ÓÑÑÒØ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÓÑÔÓ ØÓÒ ³ÙÒ ÔÖÑÙØØÓÒ Ò ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ËÓØ σ ÙÒ ÔÖÑÙØØÓÒ ÓÒÒ Ò S n ÈÓÙÖ ÚÓÖ ÙÒ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÓÑÔÓ Ö σ Ò ÔÖÓÙØ ÝÐ ÙÔÔÓÖØ ÓÒØ ÔÓÙÖ ÕÙ ÝÐ c i = (a 1,,a p ÖÖ (a 1,,a p = (a 1,a 2 (a 2,a 3 (a p 1,a p ÖÖ σ ÓÑÑ ÔÖÓÙØ ÔÖÓÙØ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÜÑÔÐ ÓÑÔÓ Ö ØÓÙØ ÝÐ Ò ÔÖÓÙØ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÓÑÔÓ Ö Ò ÔÖÓÙØ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ Ð ÔÖÑÙØØÓÒ σ S 2n ØÐÐ ÕÙ k {1,,2n} k = 0[2] = σ(k = k 1 Ø k = 1[2] = σ(k = k +1 ½ ËÒØÙÖ ÒØÓÒ ËÓØ σ = c 1 c r ÙÒ ÔÖÑÙØØÓÒ ÓÒÒ ÔÖ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ÔÖÓÙØ ÝÐ ÙÔÔÓÖØ ÓÒØ ÇÒ ÔÔÐÐ ÒØÙÖ Ð ÔÖÑÙØØÓÒ σ Ð ÒÓÑÖ ε(σ = ( 1 r l(c i r i=1 ijÜÔÓ ÒØ Ø Ð Ð ÓÑÑ ÐÓÒÙÙÖ ÝÐ c i ÑÓÒ Ð ÒÓÑÖ ÝÐ ÕÙ ÒØÖÚÒÒÒØ Ò Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ ÈÖ ÙÒØ ÓÖÖ ÔÖ Ð ÒØÙÖ Ò ÔÒ ÙÒÕÙÑÒØ ÕÙ Ð ÔÖÑÙØØÓÒ σ Ä ÒØÙÖ Ø ØÓÙÓÙÖ Ð ±1. ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ Ð ÒØÙÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÝÐ ÐÓÒÙÙÖ l ÔÓÙÖ ÙÒ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÔÓÙÖ id ÌÓÖÑ Ä³ÔÔÐØÓÒ ε : S n { 1,1} σ ε(σ Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ÒØÖ Ð ÖÓÙÔ (S n, Ø Ð ÖÓÙÔ ({ 1,1},
ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ Ð ÒØÙÖ ³ÙÒ ÔÖÑÙØØÓÒ ËÓØ σ Ò S n ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ ε(σ ÖÖ σ ÓÑÑ ÔÖÓÙØ ÝÐ ÙÔÔÓÖØ ÓÒØ Ø ÙØÐ Ö Ð ÒØÓÒ ÖÖ σ ÓÑÑ ÔÖÓÙØ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ Ø ÖÖ ε(σ = ( 1 ÒÓÑÖ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÙØÐ Ö Ð ÓÖÑÙÐ ε(σ = σ(j σ(i j i 1i<jn ÜÑÔÐ ÉÙÐÐ ÓÒØ Ð ÒØÙÖ ÔÖÑÙØØÓÒ Ò Ð ÜÑÔÐ ÔÖÒØ ÒØÓÒ ÇÒ Ø ÕÙ Ð ÔÖÑÙØØÓÒ σ Ø ÔÖ ε(σ = 1 Ø ÑÔÖ ε(σ = 1 ÓÖÓÐÐÖ ½ Ë n 2 Ð³Ò ÑÐ A n ÔÖÑÙØØÓÒ ÔÖ ÓÖÑ ÙÒ ÓÙ ¹ÖÓÙÔ S n ÖÒÐ n! 2 ¾ ¾½ ÓÖÑ ÑÙÐØÐÒÖ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ËÓØ E ÙÒ K¹ Ô ÚØÓÖÐ Ø n N ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ ÔÔÐØÓÒ Φ : E n K Ø ÙÒ ÓÖÑ ÑÙÐØÐÒÖ ÓÙ ÙÒ ÓÖÑ n¹ðòö ÔÓÙÖ ØÓÙØ (x 1,,x n E n Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ i 1,n гÔÔÐØÓÒ Φ i : E K x Φ(x 1,,x i 1,x,x i+1,,x n Ø ÐÒÖ ÍÒ ÓÖÑ ÑÙÐØÐÒÖ Ø ÙÒ ÔÔÐØÓÒ ÐÒÖ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ ÕÙ ÚÖÐ Ø ÚÐÙÖ Ò Ð ÓÖÔ K ËÓØ Φ : E n K ÙÒ ÓÖÑ n¹ðòö ÇÒ Ø ÕÙ Ð ÓÖÑ Φ Ø ÝÑØÖÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ τ S n ÓÒ Φ(x 1,,x n = Φ(x τ(1,,x τ(n Òع ÝÑØÖÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ØÖÒ ÔÓ ØÓÒ τ S n ÓÒ Φ(x 1,,x n = Φ(x τ(1,,x τ(n ÐØÖÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÙÔÐØ (x 1,,x n Ò E n ÕÙ Ð Ð Ø (x 1,,x n ÓÒØÒØ Ù ÑÓÒ ÙÜ ÐÑÒØ ÙÜ ÐÓÖ Φ(x 1,,x n = 0. ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ Φ : E n K ÙÒ ÓÖÑ n¹ðòö Ä ÓÖÑ Ø ÝÑØÖÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ σ S n Φ(x 1,,x n = Φ(x σ(1,,x σ(n Ä ÓÖÑ Ø Òع ÝÑØÖÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ σ S n ÓÒ Φ(x 1,,x n = ε(σ Φ(x σ(1,,x σ(n ÌÓÙØ ÓÖÑ n¹ðòö ÐØÖÒ Ø Òع ÝÑØÖÕÙ ÄÓÖ ÕÙ 2 K 0 K ØÓÙØ ÓÖÑ Òع ÝÑØÖÕÙ Ø ÐØÖÒ ¾¾ ÓÖÑ n¹ðòö ÐØÖÒ
ÌÓÖÑ ËÓÒØ n N Ø E ÙÒ K¹ Ô ÚØÓÖÐ ÑÒ ÓÒ Ð n ÐÓÖ Ð³Ò ÑÐ Λ n (E ÓÖÑ n¹ðòö ÐØÖÒ ÙÖ E n ÓÖÑ ÙÒ K¹ Ô ÚØÓÖÐ ÑÒ ÓÒ 1 ÈÐÙ ÔÖ ÑÒØ B = (e 1,,e n Ø ÙÒ E гÔÔÐØÓÒ Ú j 1,n x j = det B : K (x 1,x n E n σ S n ε(σ a σ(11 a σ(22 a σ(nn, n a ij e i Ø Ð ÙÐ ÓÖÑ n¹ðòö ÐØÖÒ ÙÖ E n ÚÐÒØ 1 Ò (e 1,,e n i=1 ÔÐÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÖÑ n¹ðòö ÐØÖÒ Φ : E n K ÓÒ Φ = Φ(e 1,,e n det B. ØÖÑÒÒØ ½ ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑÐÐ ÚØÙÖ ÒØÓÒ ËÓÒØ n N E ÙÒ K¹ Ô ÚØÓÖÐ ÑÒ ÓÒ Ò Ð n B = (e 1,,e n ÙÒ n E Ø (x 1,,x n ÙÒ ÑÐÐ n ÚØÙÖ Ð³ Ô E ÈÓÙÖ ØÓÙØ j 1,n ÓÒ ÔÓ x j = a ij e i. ÇÒ ÔÔÐÐ ØÖÑÒÒØ Ð ÑÐÐ (x 1,,x n ÐÓÒ Ð B Ð ÒÓÑÖ det B (x 1,,x n = ε(σ a σ(11 a σ(22 a σ(nn. σ S n i=1 ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ú Ð ÒÓØØÓÒ ÔÖÒØ Ð ÑÐÐ (x 1,,x n ÓÖÑ ÙÒ Ð³ Ô E Ø ÙÐÑÒØ det B (x 1,,x n 0 ÔÐÙ B Ø ÙÒ ÙØÖ E ÓÒ ÔÓ Ð ÓÖÑÙÐ det B (x 1,,x n = det B (e 1,,e n det B (x 1,,x n. ¾ ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓÒØ n N E ÙÒ K¹ Ô ÚØÓÖÐ ÑÒ ÓÒ Ò Ð n B = (e 1,,e n ÙÒ Ð³ Ô E Ø u L(E ÙÒ ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÐÓÖ Ð³ÔÔÐØÓÒ Φ u : E n K (x 1,,x n det B (u(x 1,,u(x n Ø ÙÒ ÓÖÑ n¹ðòö ÐØÖÒ ÔÐÙ Ð ÒÓÑÖ Φ u (e 1,,e n = det B (u(e 1,,u(e n Ò ÔÒ Ô Ù ÓÜ Ð B г Ô E Ø Ò ÔÒ ÓÒ Õ٠гÒÓÑÓÖÔ Ñ u ÇÒ ÔÔÐÐ ØÖÑÒÒØ Ð³ÒÓÑÓÖÔ Ñ u Ø ÓÒ ÒÓØ det u Ð ÒÓÑÖ det u = det B (u(e 1,,u(e n. Ò (x 1,,x n E n, det B (u(x 1,,u(x n = detu det B (x 1,,x n. ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓÒØ u Ø v ÙÜ ÒÓÑÓÖÔ Ñ Ò L(E ÐÓÖ det(u v = det u detv.
ÔÐ٠гÒÓÑÓÖÔ Ñ u Ø ÙÒ ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ø ÙÐÑÒØ det u 0 ÈÖ ÓÒ ÕÙÒØ Ð³ÔÔÐØÓÒ det GL(E K u det Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ ÒØÖ Ð ÖÓÙÔ (GL(E, Ø (K, ÊÑÖÕÙ ¾ Ë u Ø v ÓÒØ Ò L(E Ð Ò³Ü Ø ÙÙÒ ÓÖÑÙÐ ÔÓÙÖ det(u+v Ë u L(E Ø λ K ÐÓÖ det(λ u = λ n det u Ë u GL(E ÐÓÖ det(u 1 = 1 det u ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ÒØÓÒ ËÓÒØ p N Ø A = (a ij 1i,jp ÙÒ ÑØÖ ÖÖ Ò M p (K ÇÒ ÔÔÐÐ ØÖÑÒÒØ Ð ÑØÖ ÖÖ A Ð ØÖÑÒÒØ Ð³ÒÓÑÓÖÔ Ñ A L(K p ÒÓÒÕÙÑÒØ Ó A Ä ÓÒØ a ij ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ð ÓÓÖÓÒÒ Ð³Ñ A(e j Ù jème ÚØÙÖ Ð ÒÓÒÕÙ ÐÓÒ Ð ième ÚØÙÖ Ð ÒÓÒÕÙ K p ÓÒ Ò ÙØ det A = σ S p ε(σ a σ(11 a σ(pp. ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ä ÔÖÓÔÖØ ÙÚÒØ ÓÙÐÒØ ÖØÑÒØ ÐÐ Ù ÔÖÖÔ ÔÖÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÑØÖ A Ø B Ò M p (K ÓÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÑØÖ A M p (K ÓÒ det(a B = det(a det(b. A GL p (K det A 0 Ø det(a 1 = 1 det A. Ð ØÖÑÒÒØ Ø ÙÒ ÑÓÖÔ Ñ ÖÓÙÔ ÒØÖ (GL p (K, Ø (K, ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÑØÖ A M p (K Ø ØÓÙØ ÐÖ λ K ÓÒ det(λ A = λ p det(a. ÊÑÖÕÙ ÙÜ ÑØÖ ÑÐÐ ( ÓÒØ ÓÒ ÑÑ ( ØÖ ÖÒ Ø ØÖÑÒÒØ 1 0 0 1 Ä ÖÔÖÓÕÙ Ø Ù A = Ø B = Ò M 0 1 1 0 2 (Z/2Z ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö Ð ØÖ ÒØÖ ØÓÙ ØÖÑÒÒØ ÈÓÙÖ ³Ý ÖØÓÙÚÖ ÒØÖ ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑÐÐ ÚØÙÖ ³ÒÓÑÓÖÔ Ñ ÓÙ ÑØÖ ÖÖ ÖÑÒÖ ØÓÙÓÙÖ Ù ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ÔÓÙÖ Ö ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ det B (x 1,,x n ÖÖ Ð ÑØÖ A ÓÒØ Ð jème ÓÐÓÒÒ ÖÒÖÑ Ð n ÓÓÖÓÒ¹ Ò x j ÐÓÒ B ÔÙ ÐÙÐÖ det A ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ detf ÖÔÖ ÒØÖ Ð³ÒÓÑÓÖÔ Ñ f ÔÖ ÙÒ ÑØÖ A ÐÓÒ ÙÒ ÖØÒ ÔÙ ÐÙÐÖ det A ½ ÔÔÐØÓÒ ØÖÑÒÒØ ØÖÑÒÒØ Ø ØÖÒ ÔÓ
ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½¼ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÑØÖ ÖÖ A M p (K ÓÒ det A = det(a T. ¾ ØÖÑÒÒØ Ø ÖÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½½ ËÓØ A M pq (K ÙÒ ÑØÖ ÐÓÖ Ð ØÐÐ ÑÜÑÐ ÑØÖ ÜØÖØ A ÕÙ ÓÒØ ÖÖ Ø ÒÚÖ Ð Ø Ð Ù ÖÒ Ð ÑØÖ A ÓÖÓÐÐÖ ¾ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÑØÖ A M pq (K Rg(A = Rg(A T. ÓØÙÖ Ø ÓÑØÖ ÒØÓÒ ½¼ ËÓØ A = (a ij 1i,jp ÙÒ ÑØÖ ÖÖ Ò M p (K ÇÒ ÓÔØ Ð ÒÓØØÓÒ ÙÚÒØ ÔÓÙÖ ÒÖ Ð ØÖÑÒÒØ A a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p det(a = a p1 a p2 a pp ÈÓÙÖ ØÓÙØ (i 0,j 0 {1,,p} 2 ÓÒ ÔÔÐÐ ÓØÙÖ Ð ÑØÖ A Ð ÒÓÑÖ i0j 0 = ( 1 i0+j0 det ((a ij i i0;j j 0. ÁÐ ³Ø Ù Ò ÔÖ Ù ØÖÑÒÒØ Ð ÑØÖ ÜØÖØ A Ò ÙÔÔÖÑÒØ Ð ÐÒ ÒÙÑÖÓ i 0 Ø Ð ÓÐÓÒÒ ÒÙÑÖÓ j 0 ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÑØÖ Ð ÑØÖ A Ø ÓÒ ÒÓØ Com(A Ð ÑØÖ ÓØÙÖ Com(A = ( ij M p (K. 1i,jp ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½¾ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÑØÖ A M p (K ÓÒ A (Com(A T = (Com(A T A = det(a I p.
ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ Ð ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ËÓØ A M n (K ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ det A ÙØÐ Ö Ð ÓÔÖØÓÒ C i C i +ac j ÓÙ L i L i +al j Ú i j ÔÓÙÖ Ö ÔÔÖØÖ ÞÖÓ ÙÖ ÙÒ ÓÐÓÒÒ ÓÙ ÙÒ ÐÒ ÖÔÖÖ ÐÓÖ ÙÒ ÐÒ ÓÙ ÙÒ ÓÐÓÒÒ Ú ÙÒ ÑÜÑÙÑ ÞÖÓ ØÙÖ Ð ÚÐÓÔÔÑÒØ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ ÙÒ ÓÐÓÒÒ ÔÖ ÜÑÔÐ ÓÑÑÒÖ ÔÖ Ð ÔÖÑÖ ÓÒØ ÔÖÒÖ i = 1 ÙÔÔÖÑÖ Ð ÐÒ Ø Ð ÓÐÓÒÒ A Ù ÖÓ ÑÒØ a ij ÐÙÐÖ Ð ØÖÑÒÒØ Ð ÑØÖ ÓØÒÙ ÑÙÐØÔÐÖ Ö ÙÐØØ ÔÖ ( 1 i+j a ij ÖÓÑÑÒÖ ÔÓÙÖ i ÚÖÒØ 1 n Ö Ð ÓÑÑ Ö ÙÐØØ ÓØÒÙ ³ Ø det A ( a b ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ det c d 1 2 0 0 3 5 4 1 2 ÐÙÐÖ Ð ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑØÖ ( ØÖÒÙÐÖ 1 2 ÐÙÐÖ detf Ú f : M M Ø g : M 2 1 1 2 1 3 3 4 7 9 0 1 1 5 5 1 4 1 ( 1 2 2 1 M Ò L(M 2 (R ( ÜÑÔÐ ÈÓÙÖ ÕÙÐ ÖÐ a Ð ÑÐÐ (1,2,3,(a,1,1,(1,a,0 عÐÐ ÙÒ R 3 ( 1 ÐÙÐÖ Ð ØÖÑÒÒØ f : P(X X n P ÒØ ÙÖ C n [X] X ØÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ý ØÑ ÐÒÖ p ÕÙØÓÒ p ÒÓÒÒÙ Ñ ÓÙ ÓÖÑ ÑØÖÐÐ AX = Y ³ÒÓÒÒÙ X M n1 (C гÓÒ ÙÔÔÓ A ÒÚÖ Ð ÑÓÒØÖÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÖÑÖ Ð ième ÓÒØ x i Ð ÙÐ ÓÐÙØÓÒ X Ø ÓÒÒ x i = det(ãi det(a, Ó Ãi Ø Ð ÑØÖ A Ó Ð ième ÓÐÓÒÒ A Ø ÖÑÔÐ ÔÖ Ð ÓÐÓÒÒ Y ( ÜÑÔÐ ËÓÒØn N Øx 0,,x n (n+1 ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ ÇÒ ÔÓ V n (x 0,,x n = det x j i 0i,jn ÔÔÐ Ð ØÖÑÒÒØ ÎÒ Ö ÅÓÒ ÅÓÒØÖÖ Ð ÓÖÑÙÐ 1 x 0 x 2 0 x n 0 1 x 1 x 2 1 x n 1 V n (x 0,,x n = = (x j x i. 1 x n x 2 n x n 0i<jn n