ÁÍÅ Ä ËÝÒ ÙÖ ÅÖ ÈÖÔÖØÓÒ Ù ÈË ¾¼¼¹¾¼½¼ ÌÖÖÝ ÑÔÓÒ ÈÖÓÐØ Ä³ÓØ ÔÖÓÐØ Ø Ð³ØÙ ÜÔÖÒ ÐØÓÖ º ÒØÓÒº ÍÒ ÜÔÖÒ ÐØÓÖ Ø ÙÒ ÜÔÖÒ ÕÙ ÓÒÙØ ÚÒØÙÐØ ÓÙ ÖÙ ÐØØ µ Ò Ò Ð³ÚÒ Ñ ÑÒÖ ÑÔÖÚ Ðº ÜÑÔк Ä Ù ÔÐ ÓÙ ÓÒ Ø ÐÒÖ ÙÒ Ô ÑÓÒÒ Ø ÖÖÖ ÕÙÐ Ø ÔÖÑ ÔÐ Ø µ Ø ÒÓÖ Ú Ð ÙÒ Ó ÕÙ³ÐÐ Ø ØÓѺ ³ Ø ÙÒ ÜÔÖÒ ÐØÓÖ Ð Ý ÙÜ Ö ÙÐØØ ÔÓ Ð Ò Ò Ð³ÚÒ Ñ ÓÒ Ò ÔÙØ Ô ÔÖÚÓÖ ÕÙÐ Ö Ð Ö ÙÐØØ ØÚÑÒØ ÓØÒÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÜÔÖÒº ½ ÈÖÓÐØ ¹ Ô ÔÖÓÐ Ò ØÓÙØ Ð ÙØ Ù ÙÐ Ω Ø ÙÒ Ò ÑÐ ÒÓÒ Ú Ø P(Ω) Ø Ð³Ò ÑÐ ÔÖØ Ωº ÈÓÙÖ ÙÒ ÒØÓÒ Ø ÒÓØÓÒ ÙÚÒØ ÓÒ ÔÖ Ö ÐÓÖ ÕÙ Ð ÙÒ ÒØÖص Ð Ó Ω Ø Ò ÓÙ ÒÓÑÖк ½º½ ÎÓÙÐÖ Ω Ø Ð³ÙÒÚÖ ÓÙ ÙÒÚÖ ÔÓ Ð º ÌÓÙØ ÔÖØ A Ω Ø ÔÔÐ ÚÒÑÒغ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÐÑÒØ ω Ω Ð ÒÐØÓÒ {ω} Ø ÔÔÐ ÚÒÑÒØ ÐÑÒØÖº ijÚÒÑÒØ A B ÐØ A ÓÙ B гÚÒÑÒØ A B ÐØ A Ø Bº Ø Ð³ÚÒÑÒØ ÑÔÓ Ð Ø Ω Ø Ð³ÚÒÑÒØ ÖØÒº ÈÓÙÖ A Ø B P(Ω) A B = Ð ÓÒØ Ø ÚÒÑÒØ ÒÓÑÔØÐ º ÈÓÙÖ A P(Ω) ÓÒ ÓÑÔÐÑÒØÖ Ò Ω Ø ÒÓØ A Ø Ø Ð³ÚÒÑÒØ ÓÒØÖÖ Aº ½º¾ ÈÖÓÐØ ÒØÓÒº ÇÒ ÔÔÐÐ ØÖÙ ÓÙ σ ÐÖµ ÙÖ Ω ÙÒ ÓÙ ¹Ò ÑÐ T P(Ω) Ø ÒØ ½º Ω Ø ÔÔÖØÒÒÒØ T ¾º A T ÐÓÖ ÓÒ ÓÑÔÐÑÒØÖ A ÔÔÖØÒØ T º (A n ) Ø ÙÒ ÓÐÐØÓÒ ÒÓÑÖÐ ³ÐÑÒØ T ÐÓÖ A n T º
¾ ÒØÓÒº ÍÒ Ô ÔÖÓÐ Ð Ø ÙÒ ÓÙÔÐ (Ω, T ) Ó T Ø ÙÒ ØÖÙ ÙÖ Ωº ÊÑÖÕÙº Ò Ð Ó Ω Ø Ò ÓÙ ÒÓÑÖÐ Ð ØÖÙ ÒØÙÖÐÐ ÙÖ Ω Ø P(Ω)º Ò Ð ÒÖÐ P(Ω) Ø {,Ω} ÓÒØ ØÖÙ ÙÖ Ωº Ä ØÖÙ ÓÖÐÒÒ ÙÖ R Ò³ Ø Ô Ù ÔÖÓÖÑѺ ½º½º ÈÖÓÔÖØ ¹ ËØÐØ ÔÖ ÒØÖ ØÓÒº Ë T Ø ÙÒ ØÖÙ ÙÖ Ω Ø (A n ) Ø ÙÒ ÓÐÐØÓÒ ÒÓÑÖÐ ³ÐÑÒØ T ÐÓÖ A n T º ÒØÓÒº ËÓØ (Ω, T ) ÙÒ Ô ÔÖÓРк ÍÒ ÔÖÓÐØ P ÙÖ (Ω, T ) Ø ÙÒ ÔÔй ØÓÒ P : T [0,1] Ø ÒØ ½º ÒÓÖÑÐ ØÓÒ P(Ω) = 1 ¾º σ¹øúø (A n ) Ø ÙÒ ÙØ ³ÚÒÑÒØ T ÓÒØ ÙÜ ÙÜ ( ) ÐÓÖ P A n = P(A n )º n=0 ÒØÓÒº ÍÒ Ô ÔÖÓÐ Ø ÙÒ ØÖÔÐØ (Ω, T,P) Ó P Ø ÙÒ ÔÖÓÐØ ÙÖ Ð³ Ô ÔÖÓÐ Ð (Ω, T )º ÊÑÖÕÙº Ò Ð Ó Ω Ø Ò Ð Ø ÓÙÖÒØ ÑÙÒÖ Ω Ð ØÖÙ P(Ω)º ÍÒ ÔÖÓÐØ P ÙÖ P(Ω) Ø ÐÓÖ ÙÒ ÔÔÐØÓÒ P : P(Ω) [0,1] ÕÙ ÚÖ ½º ÒÓÖÑÐ ØÓÒ P(Ω) = 1 ¾º ØÚØ A Ø B ÓÒØ ÙÜ ÚÒÑÒØ ÒÓÑÔØÐ ÐÓÖ P(A B) = P(A) + P(B)º ÔÐÙ Ò Ω Ø ÖÒÐ n Ø Ω = {ω 1,...,ω n } ÐÓÖ ÙÒ ÔÖÓÐØ P ÙÖ (Ω, P(Ω)) Ø ØÓØÐÑÒØ Ò ÔÖ Ð ÓÒÒ ÒÓÑÖ P({ω i }) ÔÙ ÕÙ³ÐÓÖ Ð³ØÚØ ÔÖÑØ ³ÖÖ A P(Ω), P(A) = ω A P({ω}). ÜÑÔк ËÓØ Ω ÙÒ Ò ÑÐ Ò ÖÒÐ n Ú Ω = {ω 1,...,ω n }º ÇÒ Ø ÕÙ³Ð Ý ÕÙÔÖÓÐØ ÙÖ Ω ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ ÓÒ Ö Ð³ Ô ÔÖÓÐ (Ω, P(Ω),P) ØÐ ÕÙ P({ω 1 }) = P({ω 2 }) =... = P({ω n }) = 1 n. Ò ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÚÒÑÒØ A ÓÒ P(A) = #A #Ω º ÊÑÖÕÙº Ò Ð Ó Ω Ø ÒÓÑÖÐ Ð Ø ÓÙÖÒØ ÑÙÒÖ Ω Ð ØÖÙ P(Ω)º ÔÐÙ Ω = {ω n : n N} Ó Ð ω n ÓÒØ ÙÔÔÓ ÙÜ ÙÜ ØÒØ µ ÐÓÖ ÙÒ ÔÖÓÐØ P Ø ØÓØÐÑÒØ Ò ÔÖ Ð ÓÒÒ ÒÓÑÖ P({ω n }) ÔÙ ÕÙ³ÐÓÖ Ð³ØÚØ ÔÖÑØ ³ÖÖ A P(Ω), P(A) = ω A P({ω}). Ä ÓÑÑ ¹ Ù Ø Ò Ò Ö Ð ³Ø ³ÙÒ ÓÑÑ ÒÓÑÖ ÔÓ Ø ÙÖ ÙÒ Ò ÑÐ Ù ÔÐÙ ÒÓÑÖÐ Ø ÕÙ ØØ ÓÑÑ Ø ÑÓÖ ÔÖ 1 ÔÓÙÖ Ð A = Ωµº
ÊÑÖÕÙº Ò Ð Ó Ω Ø Ò ÓÙ ÒÓÑÖРг Ô ÔÖÓÐ (Ω, P(Ω),P) Ø ÓÙÚÒØ ÑÔÐÑÒØ ÒÓØ (Ω,P)º ½º¾º ÈÖÓÔÖØ ¹ ÒÖÐØ º ËÓØ (Ω, T,P) ÙÒ Ô ÔÖÓÐ ÐÓÖ P( ) = 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÚÒÑÒØ A T ÓÒ P(A) + P(A) = 1 A,B T ÓÒØ ÒÓÑÔØÐ ÐÓÖ P(A B) = P(A) + P(B) ÓÖÑÙÐ Ù ÖÐ A,B T ÐÓÖ P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ÓÖÑÙÐ Ù ÖÐ ÒÖе ÓÙ ÓÖÑÙÐ ÈÓÒÖ ÓØ A 1,A 2,...,A n ÚÒÑÒØ T ÐÓÖ P(A 1 A 2... A n ) = n ( 1) k+1 k=1 {i 1,...,i k } [1, n] Ö({i 1,...,i k }) = k P(A i1... A ik ). ÒÐØ ÓÓÐ (A n ) Ø ÙÒ ÙØ ³ÚÒÑÒØ T ÐÓÖ ( ) P A n P(A n )º n=0 A Ø B ÓÒØ ÙÜ ÚÒÑÒØ ØÐ ÕÙ A B ÐÓÖ P(A) P(B) (A ( n ) Ø ÙÒ ÙØ ÖÓ ÒØ ³ÚÒÑÒØ T ÐÓÖ ) P A n = lim P(A n)º n ÒØÓÒº ËÓØ (Ω, T,P) ÙÒ Ô ÔÖÓÐ º Ë A T Ø ØÐ ÕÙ A Ω Ø P(A) = 1 Ö ÔØÚÑÒØ A Ø P(A) = 0µ ÓÒ Ø ÕÙ A Ø ÙÒ ÚÒÑÒØ ÔÖ ÕÙ Ö ÓÙ ÔÖ ÕÙ ÖØÒ Ö ÔØÚÑÒØ A Ø ÙÒ ÚÒÑÒØ ÔÖ ÕÙ ÑÔÓ Ð ÓÙ ÒÐеº ½º ÁÒÔÒÒ ¹ ÈÖÓÐØ ÓÒØÓÒÒÐÐ Ò ØÓÙØ ØØ ØÓÒ (Ω, T,P) Ø ÙÒ Ô ÔÖÓÐ º ÒØÓÒº ÙÜ ÚÒÑÒØ A Ø B T ÓÒØ ÒÔÒÒØ P(A B) = P(A)P(B)º ÊÑÖÕÙº Ë ÙÜ ÚÒÑÒØ A Ø B T Ò ÓÒØ Ô ÒÔÒÒØ ÓÒ Ø ÕÙ A Ø B Ò ÓÒØ Ô ÒÔÒÒØ Ð ØÖÑ ÔÒÒØ Ò ³ÑÔÐÓ Ô Ò Ðµº ÒØÓÒº ËÓØ (A i ) i I ÙÒ ÑÐÐ Ù ÔÐÙ ÒÓÑÖÐ ³ÚÒÑÒØ T º Ä ÚÒÑÒØ A i ÓÒØ ÒÔÒÒØ ÙÜ ÙÜ ÔÓÙÖ ØÓÙØ (i,j) I 2 Ð ÚÒÑÒØ A i Ø A j ÓÒØ ÒÔÒ¹ ÒØ º Ä ÚÒÑÒØ A i ÓÒØ ÑÙØÙÐÐÑÒØ ÒÔÒÒØ P( j J J Iº A j ) = j J P(A j ) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÊÑÖÕÙº ÚÒÑÒØ ÑÙØÙÐÐÑÒØ ÒÔÒÒØ ÓÒØ ÒÔÒÒØ ÙÜ Ùܺ ÈÖ ÓÒØÖ ÚÒÑÒØ ÔÙÚÒØ ØÖ ÒÔÒÒØ ÙÜ ÙÜ Ò ØÖ Ò ÖÑÒØ ÑÙØÙÐй ÑÒØ ÒÔÒÒØ º ÒØÓÒº ËÓÒØ A Ø B ÙÜ ÚÒÑÒØ T º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ P(A) 0º Ä ÔÖÓÐØ B ÒØ A ÓÙ ÔÖÓÐØ ÓÒØÓÒÒÐÐ B ÒØ Aµ Ø Ð ÒÓÑÖ ÒÓØ P(B A) ÓÒÒ ÔÖ P(B A) = P(A B) P(A) º
½º º ½ºº ÈÖÓÔÖØ ¹ ÈÖÓÐØ ÓÒØÓÒÒÐк ËÓØ A ÙÒ ÚÒÑÒØ T ØÐ ÕÙ P(A) 0º ÐÓÖ Ð³ÔÔÐØÓÒ P A Ò ÙÖ T ÔÖ P A : B P(B A) Ø ÙÒ ÔÖÓÐØ ÙÖ (Ω, T )º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¹ ÖØÖ ØÓÒ Ð³ÒÔÒÒº Ë A Ø B ÓÒØ ÙÜ ÚÒÑÒØ T ÔÖÓÐØ ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÐÓÖ A Ø B ÓÒØ ÒÔÒÒØ P(B A) = P(B) P(A B) = P(A). ½ºº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¹ ÓÖÑÙÐ ÔÖÓÐØ ØÓØÐ º ËÓØ (A 1,...,A m ) ÙÒ ÔÖØØÓÒ Ò Ω ØÐÐ ÕÙ A i Ø ÙÒ ÚÒÑÒØ T Ø P(A i ) 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ i {1,...,m}º ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÚÒÑÒØ B T ÓÒ n P(B) = P(B A i )P(A i ). i=1 ½ºº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¹ ÓÖÑÙÐ Ý º ËÓØ (A 1,...,A m ) ÙÒ ÔÖØØÓÒ Ò Ω ØÐÐ ÕÙ A i Ø ÙÒ ÚÒÑÒØ T Ø P(A i ) 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ i {1,...,m}º ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÚÒÑÒØ B T ØÐ ÕÙ P(B) 0 ÓÒ j {1,...,m}, P(A j B) = P(B A j)p(a j ) n i=1 P(B A i)p(a i ). ÈÖÙÚ Ð ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ºº ËÓØ j {1,...,m} ÔÙ ÕÙ P(B) 0 Ø P(A j ) 0 ÓÒ ÔÙØ ÖÖ P(A j B) = P(B A j )P(A j ) Ø P(A j B) = P(A j B)P(B) ³Ó P(A j B)P(B) = P(B A j )P(A j )º ÇÒ ÓÒÐÙØ Ò ÔÔÐÕÙÒØ Ð ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ºº ¾ ÎÖÐ ÐØÓÖ Ò ØÓÙØ ØØ ÔÖØ (Ω, T,P) Ø ÙÒ Ô ÔÖÓÐ º ¾º½ ÒÖÐØ ÒØÓÒº ÍÒ ÔÔÐØÓÒ X : Ω R Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T ) X 1 (],a]) T ÔÓÙÖ ØÓÙØ a Rº ¾º½º ÈÖÓÔÖØ ¹ ÖØÖ ØÓÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ º ÍÒ ÔÔÐØÓÒ X : Ω R Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T ) Ø ÙÐÑÒØ X 1 (I) T ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖÚÐÐ I Rº
ÒØÓÒº ËÓØ d 1º ÍÒ ÔÔÐØÓÒ X : Ω R d ÓÒÒ ÔÖ ω Ω, X(ω) = (X 1 (ω),...,x d (ω)) Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÚÐÙÖ Ò R d ÙÖ (Ω, T ) X i Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÔÓÙÖ ØÓÙØ i {1,...,d}º ÊÑÖÕÙº Ò Ð Ó Ω Ø Ò ÓÙ ÒÓÑÖÐ Ø T = P(Ω) ØÓÙØ ÔÔÐØÓÒ X : Ω R Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ Ø ØÓÙØ ÔÔÐØÓÒ Y : Ω R d Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÚÐÙÖ Ò R d º ¾º¾º ÈÖÓÔÖØ ¹ ÐÖ ÚÖÐ ÐØÓÖ Ñ º Ä ÓÑÑ Ø Ð ÔÖÓÙØ ÙÜ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T ) ÓÒØ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T )º Ä ÓÑÑ ÙÜ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÚÐÙÖ Ò R d ÙÖ (Ω, T ) Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÚÐÙÖ Ò R d º ÆÓØØÓÒº ËÓØ X : Ω R ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T )º Ë E R ÓÒ ÒÓØ ÒÖÐÑÒØ (X = E) ÓÙ X = E Ð³Ò ÑÐ X 1 (E)º ÔÐÙ a < b R ÐÓÖ ÓÒ ÒÓØ (X = a) гÚÒÑÒØ X 1 ({a}) (X < a) гÚÒÑÒØ X 1 (],a[) (X a) гÚÒÑÒØ X 1 (],a]) (a X b) гÚÒÑÒØ X 1 ([a,b])ººº ¾º¾ ÎÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÒØÓÒº ÍÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ X ÙÖ (Ω, T ) Ø ÖØ X(Ω) Ø Ò ÓÙ ÒÓѹ Öк ÊÑÖÕÙº Ë X Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) Ø g : X(Ω) R ÐÓÖ g X Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖØ ÙÖ (Ω, T )º ÒØÓÒº ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) Ð ÐÓ ÔÖÓÐØ X Ø Ð³ÔÔÐØÓÒ E P(X E) Ò ÙÖ P(R) Ø ÚÐÙÖ Ò [0,1]º ¾º º ÈÖÓÔÖØ ¹ ÖØÖ ØÓÒ Ð ÐÓ ÔÖÓÐغ ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) ÐÓÖ Ð ÐÓ ÔÖÓÐØ X Ø ÙÒ ÔÖÓÐØ ÙÖ (R, P(R))º ÔÐÙ Ð ÐÓ ÔÖÓÐØ X Ø ÓÑÔÐØÑÒØ ØÖÑÒ ÔÖ Ð ÓÒÒ P(X = x) ÔÓÙÖ ØÓÙØ x X(Ω)º ÒØÓÒº ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖØØÓÒ X Ø Ð³ÔÔÐØÓÒ F X : x P(X x) Ò ÙÖ R Ø ÚÐÙÖ Ò [0,1]º ¾ºº ÈÖÓÔÖØ ¹ ÊÙÐÖØ Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖØØÓÒº ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) ÐÓÖ Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖØØÓÒ X Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÖÓØ Ø ÑØØÒØ ÙÒ ÐÑØ Ù Ò ØÓÙØ ÔÓÒØ R ÓÒ Ø ÕÙ ³ Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ Ðµº
ÒØÓÒº ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) г ÔÖÒ X ÓÙ Ð ÑÓÝÒÒ Xµ Ø Ð ÒÓÑÖ ÖÐ ÒÓØ E(X) ÓÒÒ ÔÖ E(X) = xp(x = x)º x X(Ω) ¾ºº ÈÖÓÔÖغ ij ÔÖÒ Ø ÙÒ ÓÖÑ ÐÒÖ ÙÖ Ð R¹ Ô ÚØÓÖÐ ÚÖРй ØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T )º ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÓÖÒ ÙÖ (Ω, T ) ÐÓÖ inf{x(ω) : ω Ω} E(X) sup{x(ω) : ω Ω}. Ë Ω Ø Ò ÓÙ ÒÓÑÖÐ ÐÓÖ ØÓÙØ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ X ÙÖ (Ω, T ) Ø ÖØ Ø ÓÒ E(X) = ω ΩX(ω)P({ω})º ÜÑÔк ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÓÒ ØÒØ ÙÖ (Ω, T ) ³ ع¹Ö X(Ω) = {x} ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØÒ ÖÐ x ÐÓÖ E(X) = xº ÒØÓÒº ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) Ð ÚÖÒ X Ø Ð ÒÓÑÖ ÖÐ ÒÓØ V (X) ÓÒÒ ÔÖ V (X) = E[(X E(X)) 2 ]º ÒÓØ σ(x) Ø ÓÒÒ ÔÖ σ(x) = V (X)º ijÖعØÝÔ X Ø Ð ÒÓÑÖ ¾ºº ÈÖÓÔÖغ Ë X Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) Ø a,b R ÐÓÖ V (ax + b) = a 2 V (X). ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) ÐÓÖ ÓÒ ÔÙØ ÔÔÐÕÙÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÃÓÒ V (X) = E(X 2 ) E(X) 2. ÒÒ X Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÓÖÒ ÙÖ (Ω, T ) ÐÓÖ σ(x) sup( X(ω) E(X) : ω Ω}. ÒØÓÒº ËÓØ X ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ÙÖ (Ω, T ) Ø k N ÐÓÖ Ð ÑÓÑÒØ ³ÓÖÖ k X Ø Ð ÒÓÑÖ m k (X) = E(X k ) Ø Ð ÑÓÑÒØ ÒØÖ ³ÓÖÖ k X Ø Ð ÒÓÑÖ µ k (X) = E([X E(X)] k )º ¾º ÎÖÐ ÐØÓÖ ÖÐÐ ÖØ ¹ ÄÓ Ù ÔÖÓÖÑÑ ÜÑÔÐ ÄÓ ÙÒÓÖѵº Ä ÐÓ ÙÒÓÖÑ ÑÓÐ ÙÒ ÜÔÖÒ ÐØÓÖ ÝÒØ ÙÒ ÒÓÑÖ Ò ³ Ù ÕÙ ÓÒØ ÕÙÔÖÓÐ º ÍÒ ÚÖÐ X ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T ) ÙØ Ð ÐÓ ÙÒÓÖÑ X(Ω) Ø ÙÒ Ò ÑÐ Ò ÖÒÐ n 1 Ø P(X = x) = 1 n ÔÓÙÖ ØÓÙØ x X(Ω)º ÜÑÔÐ ÄÓ ÖÒÓÙÐÐ B(p)µº ËÓØ p [0,1]º Ä ÐÓ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ p ÑÓÐ ÙÒ ÜÔÖÒ ÝÒØ ÙÜ Ù ÔÓ Ð Ð Ù Ú ÙÒ ÔÖÓÐØ pµ Ø Ð³ Ú
ÙÒ ÔÖÓÐØ 1 pµº ÍÒ ÚÖÐ X ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T ) ÙØ Ð ÐÓ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ p ÓÙ ÙØ B(p)µ X(Ω) = {0,1} Ø P(X = 1) = p Ø P(X = 0) = 1 pº Ò E(X) = p Ø V (X) = p (1 p)º ÜÑÔÐ ÄÓ ÒÓÑÐ B(n,p)µº ËÓØ n 1 Ø p [0,1]º Ä ÐÓ ÒÓÑÐ ÔÖÑØÖ n Ø p ÑÓÐ Ð ÖÔØÓÒ Ù Ú n ÜÔÖÒ ÙÚÒØ Ð ÐÓ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ p ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔØ Ð ÒÓÑÖ Ù º ÍÒ ÚÖÐ X ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T ) ÙØ Ð ÐÓ ÒÓÑÐ ÔÖÑØÖ n Ø p ÓÙ ÙØ B(n,p)µ X(Ω) = {0,1,...,n} Ø k {0,1,...,n}, P(X = k) = Ò E(X) = n p Ø V (X) = n p (1 p)º ( n k ) p k (1 p) n k. ÜÑÔÐ ÄÓ ÝÔÖÓÑØÖÕÙ H(N,p,n)µº ËÓØ M n 1 Ø p [0,1]º Ä ÐÓ ÝÔÖ¹ ÓÑØÖÕÙ ÔÖÑØÖ N n Ø p ÑÓРгÜÔÖÒ ÕÙ ÓÒ Ø Ó Ö ÙÒ ÒØÐÐÓÒ n ÒÚÙ Ò ÙÒ ÔÓÔÙÐØÓÒ ³Ø ØÓØÐ N ÔÓÔÙÐØÓÒ Ò ÐÕÙÐÐ ÕÙ ÒÚÙ Ð ÔÖÓÐØ p ³ÚÓÖ ÙÒ ÖØÒ ÖØÖ C гÒØÐÐÓÒ Ó ÝÒØ ÖØÖ Cº ÓÒ ÓÑÔØ ÐÓÖ Ð ÒÓÑÖ ³ÐÑÒØ ÍÒ ÚÖÐ X ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T ) ÙØ Ð ÐÓ ÝÔÖÓÑØÖÕÙ H(N,p,n) ÔÖÑØÖ N n Ø p ÓÙ ÙØ H(N,p,n)µ X(Ω) = {0,1,...,n} Ø k {0,1,...,n}, P(X = k) = Ò E(X) = n p Ø V (X) = n p (1 p) N n N 1 º ( N p k ) ( ) N (1 p) n k ( ). N n ÜÑÔÐ ÄÓ ÓÑØÖÕÙµº ËÓØ p [0,1]º Ä ÐÓ ÓÑØÖÕÙ ÔÖÑØÖ p ÑÓÐ Ð ÖÔØØÓÒ Ù Ú Ø ÒÔÒÒØ ³ÜÔÖÒ ÙÚÒØ Ð ÐÓ ÖÒÓÙÐÐ ÔÖÑØÖ p Ø Ù ÕÙ³ гÓØÒØÓÒ ³ÙÒ Ù ÓÒ ³ÒØÖ ÐÓÖ Ù ÒÓÑÖ ³ÜÔÖÒ ÕٳРÐÐÙ ØÙÖ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ Ð ÔÖÑÖ Ù º ÍÒ ÚÖÐ X ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T ) ÙØ Ð ÐÓ ÓÑØÖÕÙ ÔÖÑØÖ p X(Ω) = N Ø P(X = k) = (1 p) k 1 p ÔÓÙÖ ØÓÙØ k N º Ò E(X) = 1 p p Ø V (X) = 1 p p 2 º ÜÑÔÐ ÄÓ ÈÓ ÓÒ P(λ)µº ËÓØ λ > 0º ÍÒ ÚÖÐ X ÐØÓÖ ÖÐÐ ÙÖ (Ω, T ) ÙØ Ð ÐÓ ÈÓ ÓÒ ÔÖÑØÖ λ ÓÙ ÙØ P(λ)µ X(Ω) = N Ø P(X = k) = λk k! e λ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k Nº Ò E(X) = V (X) = λº
¾ºº ÈÖÓÔÖØ ¹ ÊÔÔÐ ÓÑÒØÓÖº ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ Ò ÑÐ E ÖÒÐ n 1 Ø 0 k n ÐÓÖ Ð ÒÓÑÖ ÔÖÑÙØØÓÒ E Ø n! Ð ÒÓÑÖ ³ÖÖÒÑÒØ k ÐÑÒØ E Ø A k n = n! (n k)!, Ð ÒÓÑÖ ÓÑÒ ÓÒ k ÐÑÒØ E Ø ( ) n n! = k k!(n k)!. ÊÑÖÕÙº ÍÒ ÖÖÒÑÒØ Ø ÙÒ Ð Ø ÓÖÓÒÒ ÐÓÖ ÕÙ³ÙÒ ÓÑÒ ÓÒ Ø ÙÒ Ð Ø ÒÓÒ ÓÖÓÒÒº ÒÓÑÖÙ ÖÐØÓÒ ÒØ ÒØÖÚÒÖ Ð ÓÒØ ÒÑÙÜ Ù ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ Ù ÒÑ x,y C, n k=0 ( n k ) x k y n k.