ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trầ Quag Hùg TÓM TẮT LUẬN VĂN CAO HỌC MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Hà Nội - 011
LỜI NÓI ĐẦU Lịch sử bất đẳg thức bắt guồ từ rất lâu và vẫ xuyê suốt, thăg hoa qua thời gia cho tới tậ gày ay. Như Richard Bellma đã từg ói:... Có ít hất ba lý do giải thích tại sao chúg ta luô qua tâm tới bất đẳg thức. Đó chíh là thực hàh, lý thuyết, và qua trọg hất là thẩm mỹ vẻ đẹp tồ tại trog co mắt của hữg gười qua tâm tới bất đẳg thức;... Mọi gười thườg dễ dàg cảm hậ được vẻ đẹp trog hữg bả hạc, hay hữg lời thơ. Thế hưg vẻ đẹp trog Toá học lại thật kì lạ và thú vị, ó đòi hỏi một tâm hồ phog phú, tri thức hưg lãg mạ. Trog cái vẻ đẹp xuyê qua lịch sử của bất đẳg thức thì khôg thể khôg hắc tới bộ phậ chíh làm ê vẻ đẹp đó, chíh là các bất đẳg thức hìh học. Bất đẳg thức mà tíh đại số, hìh học mag tíh tư duy trực qua, một sự kết hợp của cả đại số và hìh học được ảy sih trog từg bài bất đẳg thức hìh. Bất đẳg thức hìh học là phầ qua trọg trog hìh học, ó xuất hiệ trog hiều lĩh vực khác hau của hìh học. Với sự hỗ trợ của các bất đẳg thức trog hìh học, chúg ta đã giải quyết được rất hiều vấ đề hóc búa của hìh học từ sơ cấp đế cao cấp. Bê cạh đó, bất đẳg thức hìh học cũg có ứg dụg rộg rãi trog cuộc sốg, từ việc so sáh các độ dài đế so sáh diệ tích, thể tích... đều thấy sự có mặt của bất đẳg thức hìh học. Việc chứg mih các bất đẳg thức hìh học là côg việc khôg phải một sớm một chiều, ó cầ sự tổg hợp, phâ tích, đáh giá, kết hợp cả các kiế thức đại số và hìh học cùg khả ăg liê tưởg hạy bé, ság tạo để ság tạo ra hữg bài toá hay và cách giải một bài toá bất đẳg thức có yếu tố hìh học. Ngày ay, trog các kỳ thi Olympic các ước trê thế giới, bất đẳg thức hìh học cũg đã và đag chiếm một vị trí qua trọg. Bằg cái hì tổg qua, luậ vă ày cũg đã êu ra một số ví dụ điể hìh trog các kỳ thì Olympic các ước thời gia qua. Luậ vă được chia thàh các chươg: Chươg 1. Các kiế thức cơ bả trog hìh học. Chươg ày êu lê các kiế thức cơ bả trog hìh học phẳg, chủ yếu là các vấ đề về cực trị, các kết quả qua trọg trog tam giác, tứ giác, hìh trò... Các guyê lý hư guyê lý cùg các bất đẳg thức đại số thườg được sử dụg. Chươg. Một số phươg pháp chứg mih bất đẳg thức trog tam giác. Chươg thứ hai tập hợp một số phươg pháp giải quyết các bài toá về bất đẳg thức trog tam giác cùg các kĩ thuật xây dựg các bất đẳg thức trog hìh học được trìh bày dưới dạg phươg pháp giải và xây dựg. 1
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg Để hoà thàh được luậ vă ày, trước hất tôi xi được gửi lời cảm ơ sâu sắc tới gười thầy đág kíh của mìh là PGS.TS. Nguyễ Vũ Lươg gười thầy đã dìu dắt tôi từ hữg gày khởi ghiệp đi dạy cho tới khi tôi hoà thàh bả luậ vă ày. Thầy đã chỉ bảo tậ tìh và giúp đỡ tôi thật hiều trog mọi việc, khôg chỉ trog khóa luậ ày mà cò trog cả quá trìh làm việc của tôi. Qua đây tôi cũg xi được gửi lời cảm ơ châ thàh các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đáh giá và cho hữg ý kiế quý báu để luậ vă được đầy đủ hơ, phog phú hơ. Cũg xi được gửi lời cảm ơ tới tất cả các thầy cô giáo trog trườg THPT chuyê KHTN và đặc biệt là các các thầy cô giáo trog bộ mô toá của trườg, hữg gười thầy, hữg gười bạ đã giúp đỡ tôi rất hiều trog quá trìh làm luậ vă. Tôi cũg xi được gửi lời cảm ơ tới Ba giám hiệu, phòg sau Đại học, khoa Toá-Cơ-Ti học trườg Đại học Khoa học Tự hiê đã tạo điều kiệ thuậ lợi trog suốt quá trìh học tập tại trườg. Tuy đã có hiều cố gắg hưg do thời gia và khả ăg có hạ ê các vấ đề trog khóa luậ vẫ chưa được trìh bày sâu sắc và khôg thể tráh khỏi có hữg sai sót trog cách trìh bày. Mog được sự góp ý xây dựg của thầy cô và các bạ. Tôi xi châ thàh cảm ơ! Hà ội, gày 10 thág 11 ăm 011 Học viê Trầ Quag Hùg
1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC 1.1 Nguyê lý cực trị trog hìh học (1) Trog tất cả các cách ối hai điểm A và B thì đoạ thẳg có độ dài gắ hất. () Trog tất cả các đoạ thẳg ối từ một điểm cho trước tới một điểm trê một đườg thẳg (hoặc mặt phẳg) cho trước thì đoạ vuôg góc có độ dài gắ hất. (3) Trog tất cả các đườg xiê kẻ từ một điểm cho trước tới cùg một đườg thẳg (hoặc mặt phẳg) cho trước, đườg xiê ào có hìh chiếu gắ hơ thì gắ hơ. (4) Trog các tam giác có cùg chu vi, tam giác đều có diệ tích lớ hất. Trog các tam giác có cùg diệ tích, tam giác đều có chu vi hỏ hất. (5) Độ dài của một đoạ thẳg ằm trog một đa giác lồi khôg lớ hơ khoảg cách lớ hất ối hai đỉh của ó. (6) Nếu một đa giác lồi chứa một đa giác lồi khác, thì chu vi của đa giác goài sẽ lớ hơ chu vi của đa giác trog. (7) Nếu M là một điểm ằm trog đườg trò tâm O thì trog các dây cug đi qua M, dây cug vuôg góc với OM có độ dài gắ hất. 1. Nguyê lý Dirchlet trog hìh học Một trog hữg côg cụ hữu ích dùg giải quyết hiều vấ đề của Toá học, trog đó có cả hìh học, là guyê lý Dirichlet. Địh lý 1.1 (Nguyê lý Dirichlet). Nếu hốt + 1 chú thỏ vào cái chuồg thì bao giờ cũg có ít hất thỏ bị hốt vào cùg một chuồg. Ngoài dạg phát biểu hư trê, guyê lý Dirichlet cò có thể được phát biểu dưới dạg hìh học hư sau: Địh lý 1. (Nguyê lý Dirichlet với độ dài). Trê đườg thẳg cho đoạ AB có độ dài a và một số đoạ co A i B i (i = 1, ) có tổg độ dài b. Khi đó, 3
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 4 Nếu b < ka (k N ) thì bê trog đoạ AB tồ tại điểm M thuộc khôg quá k 1 đoạ co A i B i. Nếu b > ka (k N ) và đoạ AB chứa tất cả các đoạ co A i B i thì có ít hất k + 1 đoạ co A i B i có điểm chug. Địh lý 1.3 (Nguyê lý Dirichlet đối với diệ tích). Trog một mặt phẳg cho hìh (H) có diệ tích S và các hìh (H i ) (i = 1, ) có tổg diệ tích là T. Khi đó, Nếu T < ks (k N ) thì tồ tại điểm M ằm trog hìh (H) sao cho M là điểm trog chug của khôg quá k 1 hìh trog các hìh (H i ) (i = 1, ). Nếu T > ks (k N ) và hìh (H) chứa tất cả các hìh (H i ) (i = 1, ) thì tồ tại một điểm M trog (H) sao cho M là điểm trog chug của ít hất (k + 1) hìh trog số các hìh H i. 1.3 Nguyê lý khởi đầu cực trị Nguyê lý khởi đầu cực trị được phát triể mạh mẽ trog Graph hữu hạ. Nó được phát biểu dưới dạg tập hợp hư sau: Địh lý 1.4 (Nguyê lý khởi đầu cực trị). Trog một tập hợp hữu hạ (khác rỗg) các số thực luô có thể chọ được số bé hất và số lớ hất. 1.4 Phép chứg mih phả chứg Phép chứg mih phả chứg có cơ sở dựa vào địh lý sau: Địh lý 1.5. Mệh đề A B tươg đươg với mệh đề B A. Với kết quả thu được từ địh lý ày, ta thấy rằg khi việc chỉ ra A B gặp khó khă, ta có thể giả sử rằg khôg có B. Sau đó với các phép lập luậ biệ chứg, ta sẽ tìm cách đưa đế kết quả A hoặc một kết quả ào đó khôg phù hợp với các tiê đề, địh lý, các giá trị hằg đúg đã có. Một phép lập luậ hư vậy ta gọi là phép phả chứg. 1.5 Các bất đẳg thức đại số Nhiều bất đẳg thức đại số có ứg dụg sâu rộg, trog đó phải kể đế bất đẳg thức AM-GM (Arithmetic Mea Geometric Mea), bất đẳg thức Cauchy-Schwarz, bất đẳg thức Schwarz, bất đẳg thức Jese... 1.5.1 Bất đẳg thức AM-GM Địh lý 1.6 (Bất đẳg thức AM-GM). Với số thực khôg âm bất kì a 1, a,..., a, ta có bất đẳg thức a 1 + a + + a a 1 a a và đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a = = a.
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 5 Chú ý. Ngoài ra, bất đẳg thức AM-GM cò có thể được viết dưới dạg sau ( ) a1 + a + + a a 1 a a. 1.5. Bất đẳg thức Cauchy-Schwarz Địh lý 1.7 (Bất đẳg thức Cauchy-Schwarz). Xét hai bộ số thực tùy ý a 1, a,..., a và b 1, b,..., b. Khi đó, ta có (a 1 b 1 + a b + + a b ) (a 1 + a + + a )(b 1 + b + + b ). Đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a = = a. (Lưu ý rằg ở đây ta sử dụg b 1 b b quy ước ếu mẫu bằg 0 thì tử cũg bằg 0.) 1.5.3 Bất đẳg thức Cauchy-Schwarz dạg phâ thức Địh lý 1.8 (Bất đẳg thức Cauchy-Schwarz dạg phâ thức). Xét hai bộ số thực tùy ý a 1, a,..., a và b 1, b,..., b trog đó b i > 0, i = 1,,...,. Khi đó, ta có a 1 b 1 + a b + + a b (a 1 + a + + a ) b 1 + b + + b. Đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a b = = a b. Từ địh lý ày, ta thu được hai hệ quả qua trọg sau: Với số thực tùy ý a 1, a,..., a, ta có a 1 + a + + a (a 1 + a + + a ). Kết quả ày thu được bằg cho b 1 = b 1 = = b = 1. Với số thực dươg tùy ý x 1, x,..., x, ta có 1 x 1 + 1 x + + 1 x x 1 + x + + x. Kết quả ày có thể thu được bằg cách cho a 1 = a = = a = 1 và b 1 = x 1, b = x,..., b = x. 1.5.4 Bất đẳg thức Holder Địh lý 1.9 (Bất đẳg thức Holder). Cho x ij với i = 1,,..., m và j = 1,,..., là các số thực khôg âm, khi đó ta có bất đẳg thức sau ( m ) 1 m x ij i=1 j=1 j=1 i=1 1 m x m ij.
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 6 Chú ý. Khi ứg dụg vào giải toá, ta thườg sử dụg bất đẳg thức Holder ở hai dạg đặc biệt sau: Với sáu số thực khôg âm a, b, c, x, y, z, ta có (a 3 + x 3 )(b 3 + y 3 )(c 3 + z 3 ) (abc + xyz) 3. Đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi a x = b y = c z. Với chí số thực khôg âm a, b, c, x, y, z, m,, p, ta có (a 3 + b 3 + c 3 )(x 3 + y 3 + z 3 )(m 3 + 3 + p 3 ) (axm + by + czp) 3. Đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi a x = b y = c z và a m = b = c p. 1.5.5 Bất đẳg thức trug bìh lũy thừa Địh lý 1.10 (Bất đẳg thức trug bìh lũy thừa). Cho a 1, a,..., a là các số thực khôg âm và r s > 0. Khi đó, ta có ( ) 1 ( ) 1 a r 1 + a r + + a r r a s 1 + a s + + a s s. Đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi r = s hoặc a 1 = a = = a. Đặc biệt: Khi r = và s = 1, ta có hay a 1 + a + + a a 1 + a + + a a 1 + a + + a, ( ) a1 + a + + a. Khi r = 1 và s = 1, ta có a 1 + a + + a ( a1 + a + + ) a, hay a1 + a + + a a1 + a + + a. Đây chíh là các kết quả que thuộc rất hay được sử dụg trog chứg mih bất đẳg thức, đặc biệt là các bất đẳg thức liê qua đế các yếu tố hìh học (điều ày sẽ được thể hiệ rõ ở các chươg sau).
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 7 1.5.6 Bất đẳg thức Jese Địh lý 1.11 (Bất đẳg thức Jese). Cho f : D R là hàm lồi và N. Xét hai dãy số {x i } i=1 D và {λ i } i=1 [0, 1] sao cho λ 1 + λ + + λ = 1. Khi đó ta có f(λ 1 x 1 + λ x + + λ x ) λ 1 f(x 1 ) + λ f(x ) + + λ f(x ). 1.5.7 Bất đẳg thức Schur Địh lý 1.1 (Bất đẳg thức Schur). Với các số thực khôg âm a, b, c cho trước và k là số thực dươg bất kì, ta có a k (a b)(a c) + b k (b c)(b a) + c k (c a)(c b) 0. Đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 cùg các hoá vị. Trườg hợp hay được sử dụg hất của bất đẳg thức Schur là khi k = 1, lúc ày ta có thể viết lại bất đẳg thức dưới dạg a 3 + b 3 + c 3 + 3abc ab(a + b) bc(b + c) ca(c + a) 0. 1.5.8 Bất đẳg thức Nesbitt Địh lý 1.13 (Bất đẳg thức Nesbitt). Cho các số dươg a, b, c. Khi đó ta có Đẳg thức xảy ra khi a = b = c. a b + c + b c + a + c a + b 3. 1.6 Một số bất đẳg thức hìh học cơ bả 1.6.1 Các hệ thức trog tam giác Trog luậ vă ày, ta sẽ sử dụg một số kí hiệu thốg hất trog tam giác hư sau: Xét một tam giác ABC cho trước. Khi đó, ta kí hiệu: BC = a, CA = b, AB = c; m a, m b, m c, l a, l b, l c, h a, h b, h c lầ lượt là độ dài các trug tuyế, các phâ giác và các đườg cao tươg ứg với các cạh a, b, c; p là ửa chu vi tam giác; S ABC là diệ tích tam giác ABC và trog trườg hợp khôg hầm lẫ, ta kí hiệu là S; r, R lầ lượt là các bá kíh đườg trò ội tiếp, đườg trò goại tiếp tam giác; r a, r b, r c là bá kíh các đườg trò bàg tiếp các góc A, B, C.
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 8 Kí hiệu x, y, z là hoá vị cho a, b, c và X, Y, Z hoá vị cho A, B, C. Lúc ày, ta thiết lập được các hệ thức sau đây: 1. Các côg thức diệ tích tam giác: S = 1 xh x = (p x)r x = 1 xyz yz si X = 4R = pr = p(p x)(p y)(p z).. Các côg thức trug tuyế: m x = y + z x 4. 3. Các côg thức phâ giác: l x = 4yz p(p x). (y + z) 4. Địh lý si: 5. Địh lý cosi: x si X = R. x = y + z yz cos X. 6. Biểu thức đối xứg của a, b, c biểu diễ qua p, R, r: a + b + c = p, ab + bc + ca = p + r + 4Rr, abc = 4pRr. 1.6. Các hệ thức liê qua đế vector Tâm tỉ cự của hệ điểm Địh ghĩa 1.1. Cho một hệ điểm {A 1, A,..., A } và một bộ hệ số {α 1, α,..., α } thỏa mã α 1 + α + + α 0. Khi đó, ếu điểm I thỏa mã α 1 IA1 + α IA + + α IA = 0 thì I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A 1, A,..., A } ứg với bộ hệ số {α 1, α,..., α }. Tíh chất. Giả sử I là tâm tỉ cự của hệ điểm {A 1, A,..., A } ứg với bộ hệ số {α 1, α,..., α } (α 1 + α + + α 0). Khi đó ta có các tíh chất sau: Với điểm O tùy ý trê mặt phẳg, ta có OI = Và ếu đặt β i = 1 ( ) α 1OA1 + α OA + + α OA. α 1 + α + + α α i α 1 + α + + α thì ta có β 1 + β + + β = 1 và OI = β 1 OA1 + β OA + + β OA.
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 9 Bất đẳg thức cơ bả trog vector Với hai vector tùy ý a và b, ta có các đáh giá cơ bả sau: a b a b và đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùg phươg. a + b a + b, đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi a = k b (k > 0). Lưu ý rằg kết quả ày vẫ đúg cho trườg hợp tổg quát vector, khi đó ta vẫ có a 1 + a + + a a 1 + a + + a. 1.6.3 Một số kết quả qua trọg trog hìh học Ngoài các ội dug đã đề cập ở trê, khi xem xét các bất đẳg thức hìh học, chúg ta cũg sẽ cầ đế các kết quả qua trọg sau đây Địh lý 1.14 (Tâm tỷ cự cho hệ hai điểm). Cho đoạ AB và các số thực α, β, α + β 0 thì tồ tại duy hất điểm I sao cho α IA + β IB = 0. Nếu có α, β sao cho α IA + β IB = 0, thì α α = β, khi đó ta ói I là tâm tỷ cự hệ hai điểm A, B ứg với β bộ số (α, β) và ký hiệu I(α, β). B Chứg mih. Ta có I A α IA + β IB = 0 α AI + β( AB AI) = 0 AI = β AB α + β Như vậy I xác địh duy hất, giả sử có α IA + β IB = 0 tươg tự ta suy ra AI = β β AB từ đây dễ suy ra = α + β = α α + β β α + β α. Địh lý 1.15 (Tâm tỷ cự cho hệ ba điểm). Cho tam giác ABC và các số thực α, β, γ α+ β + γ 0 thì tồ tại duy hất điểm I sao cho α IA + β IB + γ IC = 0 khi đó giả sử có α, β, γ, α + β + γ 0 sao cho α IA + β IB + γ IC = 0 thì α = β = γ, khi đó ta α β γ ói I là tâm tỷ cự của bộ ba điểm A, B, C ứg với bộ số (α, β, γ) và ký hiệu I(α, β, γ).
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 10 A B C Chứg mih. Do α + β + γ 0 từ giả thiết đẳg thức vector ta có Suy ra I α IA + β IB + γ IC = 0 β γ AI = ( AB + AC) α + β + γ α + β + γ Theo địh lý phâ tích vector I tồ tại duy hất. Giả sử có α IA + β IB + γ IC = 0 ta suy ra Theo sự phâ tích vector thì Đó là điều phải chứg mih. β γ AI = ( AB + AC) α + β + γ α + β + γ β β = γ γ = α + β + γ α + β + γ = α α Chú ý. Các địh lý 1 và địh lý ói về sự tồ tại duy hất của tâm tỷ cự ứg với tọa độ tỷ cự sai khác hau một tỷ lệ thức. Tâm tỷ cự hệ điểm cũg được địh ghĩa bằg hệ thức vector tươg tự, tức với A 1,..., A phâ biệt và các số thực α 1,..., α có tổg khác 0 thì tồ tại duy hất điểm I thỏa mã i=1 IA 1 = 0. Tuy hiê điểm khác biệt cơ bả là với > 3 với mỗi điểm điểm I trog mặt phẳg khôg xác địh duy hất bộ (α 1,..., α ) sai khác hau một tỷ lệ thức, tức là với I xác địh ta có thể tìm được hiều bộ (α 1,..., α ) khôg tỷ lệ mà chúg vẫ thỏa mã đẳg thứ vector trê, chíh điều ày cho chúg ta thấy ta chỉ có thể dùg bộ ba tọa độ tỷ cự chỉ với tam giác hoặc trog khôg gia là với tứ diệ, đó thực chất cũg chíh là hệ quả của các địh lý phâ tích vector trog mặt phẳg hoặc khôg gia. Phươg tích Phươg tích trog chươg trìh hìh học 10 thườg được gắ liề với việc khai triể ó theo cát tuyế, tuy hiê ta sẽ địh ghĩa phươg tích một cách độc lập và hì lại việc khai triể ó theo cát tuyế cũg hư một hệ quả của hệ thức Leibitz cho hai điểm.
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 11 Địh ghĩa 1.. Cho đườg trò (O, R) và điểm P bất kỳ ta gọi số thực OP R là phươg tích của điểm P đối với đườg trò (O), phươg tích được ký hiệu là P P/(O). Như vậy từ địh ghĩa ta dễ thấy dấu của phươg tích xác địh tùy theo vị trí của điểm đối với đườg trò. B A O R P Địh lý 1.16 (Khai triể phươg tích theo tiếp tuyế). Cho đườg trò (O) và P bất kỳ ở goài (O). P T là tiếp tuyế của (O), T thuộc (O). Khi đó P P/(O) = P T. T P O T' Chứg mih. Địh lý là hệ quả trực tiếp từ địh ghĩa phươg tích thôg qua địh lý Pythagoras. Địh lý 1.17 (Khai triể phươg tích theo cát tuyế). Cho đườg trò (O) và điểm P bất kỳ, một cát tuyế qua P cắt đườg trò tại hai điểm A, B thì tích P A P B luô khôg đổi với mọi cát tuyế qua P và chíh bằg phươg tích điểm P đối với (O) tức P P/(O) = P A P B
BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC.1 Phươg pháp sử dụg đại số Khi xem xét các bất đẳg thức trog tam giác, ta khôg thể ào khôg hớ đế địh lý que thuộc sau đây: Địh lý.1. Điều kiệ cầ và đủ để a, b, c là ba cạh của tam giác là tồ tại các số thực dươg x, y, z sao cho a = y + x, b = z + x và c = x + y. Dựa vào địh lý ày, ta có thể chuyể một bất đẳg thức trog tam giác về dạg bất đẳg thức của các số dươg. Từ đó, bằg cách sử dụg các phươg pháp xử lý bất đẳg thức đại số đã biết, ta sẽ có thể chứg mih được bất đẳg thức đã cho. Một phép thế đổi biế hư vậy được gọi là phép thế Ravi.. Phươg pháp vector..1 Ứg dụg và làm mạh bất đẳg thức tam giác Bài toá.1. Cho hai vector a, b. Chứg mih rằg a + b = a cos α + b cos β a + b Trog đó α = ( a, a + b ), β = ( b, a + b ) Bài toá.. Cho ba vector a, b, c chứg mih rằg a) a + b + c = a cos α + b cos β + c cos γ a + b + c trog đó α = ( a, a + b + c ), β = ( b, a + b + c ), γ = ( c, a + b + c ) b) a + b + c + a + b + c b + c + c + a + a + b Bài toá.3. Cho bố vector x i, i = 1, 4 chứg mih rằg a) 1 i<j<k 4 b) 1 i<j 4 Chúg ta có bài toá tổg quát sau x i + x j + x k x i + x j 1 1 i 4 1 i 4 xi + xi + 1 i 4 1 i 4 x i x i
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 13 Bài toá.4 (Tổg quát). Cho vector x i, i = 1,. Chứg mih rằg ( 1 x i + x j + ) x k xi + 3 x i. 1 i<j k.3 Phươg pháp R, r, p Cho tam giác ABC độ dài ba cạh là a, b, c các bá kíh ội tiếp r, goại tiếp R chúg ta có các hệ thức cơ bả sau ab + bc + ac = p + r + 4Rr a + b + c = (p r 4Rr) OI = R Rr R r đẳg thức ày được biết đế là hệ thức Euler 9IG = p 16Rr + 5r p 16Rr 5r IH = 4R + 3r + 4Rr p p 4R + 4Rr + 3r Hai bất đẳg thức trê được biết đế với tê bất đẳg thức Gerretsse OH = 9OG = 9R (a + b + c ) a + b + c 9R.3.1 Bổ đề của Jack Garfukel Bổ đề 1 (Jack Garfukel). Cho tam giác họ ABC. Chứg mih rằg i=1 R + 8Rr + 3r p. i=1 Bổ đề (Jack Garfukel). Cho ABC là tam giác họ thỏa mã π 4 max{a, B, C} π. Chứg mih rằg mi{a, B, C} p 3R + 7Rr + r Chứg mih. Sử dụg các đẳg thức của R, r, p Bất đẳg thức tươg đươg với cos A + cos B + cos C = R + r R cos A cos B cos C = p 4R 4Rr r 4R 3(cos A + cos B + cos C) 4 + 4 cos A cos B cos C Vì π 4 mi{a, B, C} max{a, B, C} π ta có thể giả sử π 4 A π 3 si A si π 8 > cos π 4 cos A si A + si A 1 > 0 vì thế ( si A + si A 1)( si A 1) 0 3 cos A + 6 si A 4 cos A A si 4 (1)
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 14 Ta có B C π 4 ê Do đó 4 cos A(1 + cos B C ) > (1 + 1 ) > 3 6 si A 4 cos A(1 + cos B C )(1 cos B C ) 6 si A B C (1 cos ) 4 cos A(si A cos B cos C) 6 si A 3(cos B + cos C) 3(cos A + cos C) 6 si A + 4 cos A si A 4 cos A cos B cos C () Từ (1), () ta có Đó là điều phải chứg mih. 3(cos A + cos B + cos C) 4 + 4 cos A cos B cos C Nhậ xét. Bất đẳg thức Garfukel là một bổ đề mạh. Sử dụg bất đẳg thức Garfukel làm bổ đề ta có thể chứg mih được hiều bất đẳg thức hìh học mạh khác cho tam giác họ..4 Một số bài toá chọ lọc Bài toá.5. Cho tam giác ABC và điểm P bất kỳ trog ằm trog tam giác gọi A, B, C lầ lượt là hìh chiếu của P xuốg đoạ BC, CA, AB, gọi (I, r) là đườg trò ội tiếp tam giác ABC hãy tìm giá trị bé hất của biểu thức P A + P B + P C + P I r Chứg mih. Gọi A, B, C tươg ứg là hìh chiếu của I trê BC, CA, AB ta có r(p A + P B + P C ) = IA. P A + IB. P B + IC. P C = IA.( P I + IA ) + IB.( P I + IB ) + IC.( P I + IC ) = P I.( IA + IB + IC ) + 3r (1) (Chú ý theo địh lý hìh chiếu IA. IA = IB. IB = IC. IC = r ).
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 15 A B' C' C'' P H I B'' B A' A'' C Gọi H là trực tâm tam giác A B C ta thấy I chíh là tâm đườg trò goại tiếp tam giác A B C vậy IA + IB + IC = IH suy ra P I.( IA + IB + IC ) = P I. IH = P I + IH HP = P I + IH + HP P I + IH () Từ (1), () ta suy ra r(p A + P B + P C ) P I + IH + 3r P A + P B + P C + P I r IH 3r r Dễ thấy dấu bằg xảy ra khi P H là trực tâm tam giác A B C, (chú ý rằg khi đó P A + P B + P C 3r). Vậy biểu thức có giá trị mi là 3r IH đạt được khi P r là trực tâm tam giác A B C. Nhậ xét. Đây là bài toá cực trị kết quả khá lạ vì thoạt hì qua chúg ta liê tưởg tới điểm cực trị phải là điểm I hưg kết quả chứg mih đã chỉ ra khôg phải vậy. Với côg cụ vector tích vô hướg sử dụg lih hoạt chúg ta có thể tạo ra được các bài toá cực trị hìh học tại các điểm có vị trí khác hau trog tam giác. Bài toá.6. Cho hai tam giác ABC, A B C và r, r là bá kíh đườg trò ội tiếp tam giác ABC, A B C, R là bá kíh đườg trò goại tiếp tam giác A B C với mọi P trê mặt phẳg, chứg mih rằg (si B C C + si )P A + (si Ta sẽ dùg các bổ đề sau A A + si )P B + (si B 1rr + si )P C R Bổ đề.6.1. Cho tam giác ABC và A B C với diệ tích lầ lượt là S và S thì ta có bất đẳg thức a ( b + c a ) + b ( c + a b ) + c ( a + b c ) 16SS Chứg mih. Áp dụg hệ thức Hero ta dễ thu được 16S = (b c +c a +a b ) a 4 b 4 c 4, 16S = (b c +c a +a b ) a 4 b 4 c 4
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 16 Áp dụg bất đẳg thức Cauchy -Swartz, ta có 16SS + (a a + b b + c c ) 16S + (a 4 + b 4 + c 4 ) 16S + (a 4 + b 4 + c 4 ) = (a + b + c )(a + b + c ) Trừ hai vế cho (a a + b b + c c ) ta dễ suy ra điều phải chứg mih. Bổ đề.6.. Cho hai tam giác ABC và A B C diệ tích lầ lượt là S, S với mọi điểm P thì (a P A+b P B+c P C) 1 [a (b + c a )+b (c + a b )+c (a + b c )]+ 8SS ( ). Chứg mih. Trước hết ta có hậ xét bất đẳg thức ( ) đúg với mọi tam giác ABC và A B C khi và chỉ khi đúg với mọi tam giác ABC và A BC (tức là khi B B, C C). Thật vậy từ ( ) hiể hiê suy ra ( ) đúg khi B B, C C, gược lại giả sử ( ) đúg với chỉ với B B, C C và A bất kỳ, với mọi tam giác XY Z (các cạh x, y, z tươg ứg) thì luô có một phép đồg dạg duy hất biế Y thàh B, Z thàh C khi đó giả sử X biế thàh X áp dụg bất đẳg thức cho tam giác X BC (ta giả sử X B = a, X C = b, BC = a ) thì (a P A+b P B+c P C) 1 [a (b + c a )+b (c + a b )+c (a + b c )]+ 8SS X BC (1) Sử dụg tíh chất phép đồg dạg, giả sử phép đồg dạg tỷ số k 0 thì S X BC S XY Z = k, a x = b y = c z = k vậy từ (1) suy ra A X X' A' Y Z B C A'' (kx P A+ky P B+kz P C) 1 [a ((ky) + (kz) (kx) )+b ((kz) + (kx) (ky) )+ c ((kx) + (ky) (kz) )] + 8Sk S XY Z Chia hai vế cho k > 0 suy ra bất đẳg thức đúg cho mọi tam giác XY Z. Như vậy ta chỉ cầ chứg mih ( ) trog trườg hợp B B, C C, thật vậy
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 17 Sử dụg góc có hướg ta có ( BA, BA ) = ( BA, BC) + ( BC, BA )(modπ) vậy suy ra cos ABA = cos( BA, BA ) = cos(( BA, BC) + ( BC, BA )) = = cos( BA, BC) cos( BC, BA ) si( BA, BC) si( BC, BA ) = cos ABC cos A B C si( BA, BC) si( BC, BA ) = c + a b c + a b ca c a [S] ca [S ]. c a Trog đó [S] và [S ] lầ lượt là diệ tích đại số của tam giác ABC và tam giác A B C. Khi đó áp dụg địh lý hàm số cos ta có AA = AB + A B ( AB A B cos ABA c = c + c c c + a b c + c b [S] ) ca c a ca [S ] c a = 1 aa [(a (b + c a ) + b (c + a b ) + c (a + b c ) (a a) (c a c a)) 16[S][S ]] Chú ý là a = a ê suy ra a AA = 1 [a (b + c a ) + b (c + a b ) + c (a + b c )] 8[S][S ] Trở lại bài toá áp dụg bất đẳg thức Ptolemy cho tam giác A BC và mọi P ta có b P B+c P C ap A = a P A a (AA AP ) a P A+b P B+c P C a AA = aaa kết hợp đẳg thức vừa chứg mih ta suy ra (a P A + b P B + c P C) a AA = 1 [a (b + c a ) + b (c + a b ) + c (a + b c )] 8[S][S ] Giả sử ABC và A BC gược hướg vậy từ đẳg thức trê dễ suy ra (a P A + b P B + c P C) a AA = 1 [a (b + c a ) + b (c + a b ) + c (a + b c )] + 8SS Nếu ABC và A BC cùg hướg gọi A đối xứg A qua BC áp dụg bất đẳg thức trê vào tam giác A BC với chú ý A B = A B = c, A C = A C = b, BC = a = a, S A BC = S A BC ta vẫ thu được bất đẳg thức cầ chứg mih. Do đó kết hợp hậ xét ba đầu ta có điều phải chứg mih. Bổ đề.6.3. Cho hai tam giác ABC và A B C bất kỳ diệ tích là S và S với mọi P chứg mih rằg a P A + b P B + c P C 4 SS Dấu bằg có khi A A, B B, C C và P là trực tâm tam giác. Chứg mih. Dễ thấy bất đẳg thức trê chỉ là hệ quả của bổ đề 1 và bổ đề. Khi cho A A, B B, C C và P là trực tâm tam giác ta dễ kiểm tra được đẳg thức xảy ra. Nhậ xét. Bất đẳg thức trê là mở rộg cho hai tam giác kết quả que thuộc ap A + bp C + cp C 4S với mọi P trê mặt phẳg, ó có khá hiều áp dụg hìh học đặc sắc, bài toá đề ra là một ví dụ.
Luậ vă thạc sĩ khoa học chuyê gàh Toá sơ cấp Trầ Quag Hùg 18 Bài toá.7. Cho tam giác ABC trọg tâm G và P là điểm bất kỳ. Chứg mih rằg Chứg mih. Từ bất đẳg thức 3P G + a + b + c > P A + P B + P C. a + b + c + a + b + c b + c + c + a + a + b Đặt a = v + w u, b = w + u v, c = u + v w Ta được bất đẳg thức u + v + w + u + v w + v + w u + w + u v ( u + v + w ) Làm yếu u + v w < u + v w, v + w u < v + w u, w + u v < w + u v Ta thu được bất đẳg thức sau u + v + w + u v + v w + w u > u + v + w Khi đó áp dụg bất đẳg thức trê cho u = P A, v = P B, v = P C ta được điều phải chứg mih.
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễ Vũ Lươg (004), Bất đẳg thức trog tam giác, NXB đại học quốc gia Hà Nội. [] Vũ Đìh Hòa (005), Bất đẳg thức hìh học, NXB Giáo Dục, Hà Nội. [3] Nguyễ Mộg Hy (00), Các phép biế hìh trog mặt phẳg, NXB Giáo Dục, Hà Nội. [4] Pha Huy Khải (001), 10.000 bài toá sơ cấp (bất đẳg thức hìh học), NXB Hà Nội, Hà Nội. [5] Tuyể tập 30 ăm tạp chí Toá học và Tuổi trẻ (1997), NXB Giáo Dục, Hà Nội. [6] Jose A.G.O., Radmila B.M., Rogelio V.D. (009), Iequalities A Mathematical Olympiad Approach, Basel-Bosto-Berli, Germay. [7] Mihai B., Bogda E., Mircea B. (1997), Romaia Mathematical Competitios, The Romaia Society of Mathematical Scieces, Romaia. [8] Mitriovic D.S, Pecaric J.E., Voleec V. (1989), Recet advaces i Geometric Ieqalities, Kluwer Academic Publishers, The Netherlads. [9] Titu Adreescu, Oleg Mushkaov, Luchezar Stoyaov (006), Geometric Problems o Maxima ad Miima, Basel-Bosto-Berli, Germay. [10] Website www.artofproblemsolvig.com 19