ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thái Ly Đồng nhất thức và bất đẳng thức hì

Bản ghi

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thái Ly Đồng nhất thức và bất đẳng thức hình học Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ Hà Nội Năm 2015

2 Mục lục Mở đầu 3 1 Một số khái niệm về hình - khối đa diện Góc nhị diện - tam diện Định lý Cosin cho góc tam diện Tam diện liên hợp với một tam diện đã cho Định lý Sin cho góc tam diện Mối liên hệ giữa các góc phẳng của một góc đa diện Hình - Khối đa diện Khối đa diện đều Một số ví dụ Vectơ và các phép toán trong không gian Định nghĩa hình học của vectơ Phép toán vectơ qua tọa độ Tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ Bài toán véctơ cho tứ diện Một số bài toán liên quan đến thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp Thể tích, bán kính mặt cầu ngoại tiếp qua định thức Phương pháp thể tích Một số bất đẳng thức trong tứ diện Một vài vấn đề tổng hợp Tam diện vuông và tam giác nhọn

3 3.4.2 Phương pháp hình hộp Phương pháp trải hình Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 2

4 Mở đầu Khi còn là học sinh cấp ba, tôi đã rất yêu thích môn hình học không gian. Lúc nào cũng say mê với cây bút chì và thước kẻ để dựng hình và giải những bài toán khó. Trải qua một thời gian dài và bây giờ đi làm giáo viên và rồi lại day môn hình không gian, với mỗi tiết dạy tôi vẫn rất yêu thích và đam mê. Nhưng tự hỏi bản thân, những bài toán hình không gian vẫn chỉ xoay quanh những dạng quen thuộc. Và nếu chỉ dùng bút chì và thước kẻ chúng ta chỉ làm việc được với những khối hình đơn giản như khối tứ diện đều, gần đều, vuông,... Và thậm chí ngay khi ta đưa phương pháp tọa độ vào hình không gian để giảm bớt thao tác dựng hình thì các bài toán vẫn chọn những khối hình đặc biệt để dựng hệ tọa độ. Bên cạnh đó, tôi nhận thấy người ta rất quan tâm đến các hệ thức liên hê hay những đại lượng bị chặn trên hay chặn dưới để đánh giá các yếu tố trong tam giác, tứ giác, đường tròn và tứ diện. Tuy nhiên mảnh đất cho hình không gian còn khá ít ỏi. Với nhiều mong muốn và suy nghĩ như vậy tôi quyết định viết đề tài về các đồng nhất thức và bất đẳng thức hình không gian như là để thỏa mãn niềm yêu thích của bản thân và muốn đóng góp một cái gì đó mới mẻ cho toán học nói chung và hình học nói riêng. Nhưng làm sao để có kết quả mới nếu chỉ dùng compa và thước kẻ? Có rất nhiều cách nhưng trong luận văn chủ yếu là khai thác một bài toán để dẫn đến các kết quả đã biết và tiếp tục phát hiện ra những bài toán mới qua công cụ toán cao cấp là định thức, ma trận, giải tích hoặc lượng giác. Các kết quả chính của luận văn nhằm chủ yếu ở Chương 3 - Một số bài toán liên quan đến thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Bản luận văn Đồng nhất thức và bất đẳng thức hình học" ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì nội dung được chia làm 3

5 3 chương. Chương 1. Một số khái niệm về hình - khối đa diện. Chương này trình bày một số khái niệm về góc nhị diện - tam diện, tam diện liên hợp với một tam diện đã cho, hình - khối đa diện, đa diện đều cùng một số ví dụ. Kết quả chính của chương là việc phát biểu và chứng minh Định lý 1.2.1, Định lý cosin cho góc tam diện; Định lý 1.4.1, Định lý sin cho góc tam diện và Định lý Trong mục 1.4 nêu một số ví dụ và đưa vào định nghĩa tâm, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp tứ diện sẽ được khai thác ở các chương sau khá nhiều nhưng lại ít được nhắc trong các sách phổ thông. Chương 2. Véctơ và các phép toán trong không gian Chương này trình bày định nghĩa hình học của véctơ, các phép toán véctơ qua tọa độ, tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ và các ví dụ minh họa. Các ví dụ của chương đi từ những bài toán cơ bản, chẳng hạn Ví dụ " Nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện vuông góc thì cặp cạnh thứ ba còn lại cũng vuông góc" đến những bài toán mới và đạt được những kết quả đẹp sau: Mệnh đề Với điểm O trong tứ diện ABCD, và điểm O nằm ngoài tứ diện ABCD, nhưng trong góc tam diện đỉnh A ta luôn có (1) OA.V OBCD + OB.VOCDA + OC.V ODAB + OD.VOABC = 0. Đặc biệt, IA.S a + IB.S b + IC.S c + ID.S d = 0 khi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp trong tứ diện. (2) O A.V O BCD + O B.V O CDA + O C.V O DAB + O D.V O ABC = 0. Ví dụ Giả sử tứ diện ABCD có BC = a, CA = b, AB = c, DA = x, DB = y, DC = z và I là tâm mặt cầu nội tiếp trong tứ diện. Đặt T = s a IA 2 + s b IB 2 + s c IC 2 + s d ID 2. Khi đó ta có T = a2 s b s c + b 2 s c s a + x 2 s a s d + y 2 s b s d + z 2 s c s d s a + s b + s c + s d. Chương 3. Một số bài toán liên quan đến thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp Chương này là chương quan trọng, tập trung những kết quả mới của luận văn bao gồm các đồng nhất thức và bất đẳng thức thức về thể tích 4

6 và bán kính mặt cầu ngoại tiếp. Trong khi biến đổi, tác giả sử dụng định thức cấp 3, đồng nhất thức (Mệnh đề 3.1.1) và đã tính được thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bất kỳ qua độ dài 6 cạnh: Mệnh đề Giả sử hình chóp SABC có độ dài cạnh SA = a, SB = b, SC = c, BC = x, CA = y, AB = z. Ta có công thức tính thể tích tứ diện V = a 2 a 2 + b 2 z 2 a 2 + c 2 y 2 a 2 + b 2 z 2 2b 2 b 2 + c 2 x 2 a 2 + c 2 y 2 b 2 + c 2 x 2 2c 2 Hệ quả Tứ diện A 1 A 2 A 3 A 4 có độ dài 6 cạnh là a = l 12, b = l 13, c = l 14, x = l 34, y = l 24, z = l 23. Đặt 2S = ax + by + cz. Khi đó bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện được xác định bởi công thức dưới đây (1) R = (2) R = S(S ax)(s by)(s cz). 6V 2 2 S(S ax)(s by)(s cz) 2a 2 a 2 + b 2 z 2 a 2 + c 2 y 2 a 2 + b 2 z 2 2b 2 b 2 + c 2 x 2 a 2 + c 2 y 2 b 2 + c 2 x 2 2c 2 Bên cạnh đó, chương 3 còn khai thác các bài toán về góc nhị diện, tam diện trên cơ sở các định lý đã được đề cập ở chương 1. Trong chương này có nhắc lại phương pháp thể tích, một phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán hình không gian. Đồng thời cũng xây dựng một số bất đẳng thức trong tứ diện liên quan đến thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp, vốn được khai thác rất ít trong các sách phổ thông ở Việt Nam. Ở phần cuối của chương có đưa ra các phương pháp giải bài toán hình không gian mới là phương pháp hình hộp và phương pháp trải hình cùng một số ví dụ đơn giản để minh họa. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ - Trường Đại học sư phạm Hà Nội. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới gia đình, bạn bè và người thân. 5..

7 Đồng thời tác giả cũng xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, các thầy cô trường Dự bị Đại học Dân tộc Trung Ương Nha Trang đã tạo điều kiện về mọi mặt để tác giả được tham gia học tập và hoàn thành khóa học. Hà Nội, ngày 10 tháng 08 năm 2015 Tác giả Phạm Thái Ly 6

8 Chương 1 Một số khái niệm về hình - khối đa diện Chương này trình bày các khái niệm về hình - khối đa diện, góc nhị diện-tam diện, định lý Euler, Cauchy. Nội dung chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [2], [3] và [5]. 1.1 Góc nhị diện - tam diện Ta đã biết mỗi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P ) chia mặt phẳng đó thành hai phần, mỗi phần cùng với đường thẳng a gọi là một nửa mặt phẳng. Đường thẳng a gọi là bờ của các nửa mặt phẳng đó. Định nghĩa Hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng (α) và (β), có chung bờ a gọi là nhị diện. Một nhị diện như thế có kí hiệu là [α, a, β] hoặc là [α, β] (Hình 1). Nếu trên (α) ta lấy điểm M và trên (β) ta lấy điểm N (M và N đều không nằm trên a) thì nhị diện đó cũng kí hiệu là [M, a, N]. Ta cắt nhị diện [α, a, β] bởi một mặt phẳng (P ) vuông góc với a tại điểm O (Hình 2). Giao tuyến của (P ) và các nửa mặt phẳng (α) và (β) lần lượt là các nửa đường thẳng Ox và Oy. Khi đó góc xoy được gọi là góc phẳng của nhị diện [α, a, β]. Hiển nhiên là một nhị diện có nhiều góc phẳng, tuy nhiên các góc phẳng đó đều bằng nhau. Số đo của góc phẳng nhị diện [α, β] nằm từ 0 0 đến Khi góc phẳng nhị diện bằng 90 0 ta nói nhị diện đó là nhị diện vuông. 7

9 Hình 1. Hình 2. Định nghĩa Hình hợp bởi ba tia Ia, Ib, Ic không đồng phẳng được gọi là một tam diện hay góc tam diện. Ta kí hiệu tam diện đó là Iabc. Các tia Ia, Ib, Ic gọi là các cạnh của tam diện. Các miền góc aib, bic, cib gọi là các mặt của tam diện. Độ lớn của các góc aib, bic, cia gọi là các góc phẳng ở đỉnh của tam diện (Hình 3). Một tam diện là tam diện vuông nếu ba góc phẳng ở đỉnh của nó đều là góc vuông. 8

10 Hình Định lý Cosin cho góc tam diện Định lý Cho góc tam diện Iabc với các góc phẳng bic = α, cia = β, aib = γ. Kí hiệu số đo góc nhị diện cạnh Ia, Ib, Ic tương ứng là x, y, z. Khi đó ta có các đồng nhất thức sau { cos γ = cos α. cos β + sin α. sin β. cos z, cos α = cos β. cos γ + sin β. sin γ. cos x, cos β = cos α. cos γ + sin α. sin γ. cos y. Hình 4. 9

11 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Đàm Văn Nhỉ, 2012, Đồng nhất thức và phương pháp tọa độ trong hình học, NXB ĐHQG Hà Nội. [2] Văn Như Cương, Trần Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy, 2000, Hình học 11, NXB Giáo Dục. [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mẫn, 2014, Hình học 12, NXB Giáo Dục. [4] Dam Van Nhi, 2012, Proving some geometric indentities by using the determinants, Journal of science and Arts, No. 4(21) 2012, [5] A.Pogorelov, 1987, Geometry, Mir publishers Moscow. [6] A.D. Alexandrov, 1987, Convex polyhedra, Mir publishers Moscow. 61