Chapitre5: fonctions usuelles ÌÐ ÑØÖ ½ ÈÖÑÙÐ ¾ ½º½ ËÝÑØÖ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Ð ÔÖÑÖ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÓÙÖ ³ÙÒ ØÓÒ Ø ÖÔÖÓÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÓÒØÓÒ ÐÓÖØÑ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÔÙ Ò ¾ ¾º½ ÓÒØÓÒ ÐÓÖØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÓÒØÓÒ ÔÙ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÓÑÔÓÖØÑÒØ Ù ÚÓ Ò + º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒØÓÒ ÖÙÐÖ Ø ÖÙÐÖ ÖÔÖÓÕÙ º½ ÓÒØÓÒ ÖÙÐÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÓÒØÓÒ Ó ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º¾ ÓÒØÓÒ ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÓÒØÓÒ ØÒÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÒØÓÒ ÖÙÐÖ ÖÔÖÓÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÓÒØÓÒ ÖÓ ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÓÒØÓÒ Ö ÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÓÒØÓÒ ÖØÒÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒØÓÒ ÝÔÖÓÐÕÙ º½ ÓÒØÓÒ Ó ÒÙ ÝÔÖÓÐÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÓÒØÓÒ ÒÙ ÝÔÖÓÐÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒØÓÒ ØÒÒØ ÝÔÖÓÐÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖÓÒÓÑØÖ ÝÔÖÓÐÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÒØÓÒ ÝÔÖÓÐÕÙ ÖÔÖÓÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ ½º½ ÈÖÑÙÐ ËÝÑØÖ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Ð ÔÖÑÖ ØÖ ÒØÓÒ ½ ÇÒ ÑÙÒØ Ð ÔÐÒ R ³ÙÒ ÖÔÖ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÖØ R = (0, ı, j) Ò ÐÕÙÐ ÖÓÒØ ÐÙÐ Ð ÓÓÖÓÒÒ ÖØ ÒÒ ÔÓÒØ º ÇÒ ÔÔÐÐ ÔÖÑÖ ØÖ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ y = xº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ ijÔÔÐØÓÒ s : ØÖ º R R (x,y) (y,x) ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÝÑØÖ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Ð ÔÖÑÖ ½º¾ ÓÙÖ ³ÙÒ ØÓÒ Ø ÖÔÖÓÕÙ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ ËÓØ f : I J ÙÒ ÓÒØÓÒ ØÚ ÒØÖ ÙÜ ÔÖØ I Ø J Rº Ä ÓÙÖ C f Ø Ð³Ò ÑÐ ÔÓÒØ M ÓÓÖÓÒÒ (x,f(x)) ÔÓÙÖ x ÚÖÒØ Ò Iº ÐÓÖ Ð ÓÙÖ C f Ø C f 1 ÓÒØ ÝÑØÖÕÙ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Ð ÔÖÑÖ ØÖ s(c f ) = C f 1 º ¾ ¾º½ ÓÒØÓÒ ÐÓÖØÑ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÔÙ Ò ÓÒØÓÒ ÐÓÖØÑ ÒØÓÒ ¾ ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒØÓÒ ÐÓÖØÑ ÒÔÖÒ Ð ÔÖÑØÚ Ð ÓÒØÓÒ ³ÒÒÙÐÒØ Ò x = 1º ØØ ÓÒØÓÒ Ø ÒÓØ ln Ø ÓÒ ÓÒ x > 0, lnx = x 1 dt t. ]0,+ R x 1 x ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÇÒ Ð ÓÖÑÙÐ ÙÚÒØ lim x 0 +lnx = Ø lim lnx = + x + ÔÓÙÖ ØÓÙØ (a,b) ]0,+ ÓÒ ln(a b) = lna+lnb Ø ln a b = lna lnb. ÒØÓÒ ËÓØ a > 1º ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒØÓÒ ÐÓÖØÑ Ò a Ð ÓÒØÓÒ log a = ln º ÇÒ ÒÓØ lna ³ÙØÖ ÔÖØ log = log 10 º ÜÑÔÐ ½ ÈÓÙÖ ØÓÙØ n N ÓÒ log10 n = nº Ë n N ÓÑÒ Ð³ÒØÖ n ÑØ¹Ð Ö Ò 10 ¾
¾º¾ ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÒØÓÒ Ä ÓÒØÓÒ ln :]0,+ R Ø ÙÒ ØÓÒ ÖÚ ØÖØÑÒØ ÔÓ ØÚº ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÒÓØ exp Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ ØØ ÔÔÐØÓÒº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ä ÓÒØÓÒ exp : R ]0,+ Ø ÖÚÐ ÖÚ Ð ÐйÑѺ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÇÒ ÔÓ ÓÖÑÙÐ ÙÚÒØ lim x ex = 0 Ø lim x + ex = + º ÔÓÙÖ ØÓÙ ÒÓÑÖ ÖÐ a Ø b ÓÒ e a+b = e a e b Ø e a b = ea e b. ÒØÓÒ ËÓØ a > 0º ÇÒ ÔÔÐÐ ÜÔÓÒÒØÐÐ Ò a Ð ÓÒØÓÒ exp a : x e x lna Õ٠гÓÒ ÒÓØ a x º ¾º ÓÒØÓÒ ÔÙ Ò ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒØÓÒ ÔÙ Ò ØÓÙØ ÓÒØÓÒ Ð ÓÖÑ a Ø ÙÒ ÓÒ ØÒØ ÖÐк ]0,+ R x x a a lnx Ó = e ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ a Rº ijÔÔÐØÓÒ x x a Ø ÙÒ ØÓÒ ]0,+ Ò ]0,+ ÖÚ Ð x a x a 1 º ÜÑÔÐ ¾ ØÖÑÒÖ Ð ÓÑÒ ÒØÓÒ Ð ÓÒØÓÒ x x x Ø ÖÚÖ ØØ ÓÒØÓÒº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÇÒ ÔÓ ÓÖÑÙÐ ÙÚÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ a > 0 lim x a = 0 Ø lim x 0 + x + xa = + ÔÓÙÖ ØÓÙ a Ø b Ò R ÔÓÙÖ ØÓÙØ x ]0,+ x a x b = x a+b Ø xa x b = xa b º ÔÓÙÖ ØÓÙ a Ø b ØÖØÑÒØ ÔÓ Ø Ø x R a x b x = (a b) x ÔÓÙÖ ØÓÙ a b Ø c ØÖØÑÒØ ÔÓ Ø (a b ) c = a b c º ¾º ÓÑÔÓÖØÑÒØ Ù ÚÓ Ò +
ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ä ÓÑÔÖ ÓÒ ÓÒØÓÒ ÖÖÒ Ù ÚÓ Ò + ÓÙÖÒØ lnx ÔÓÙÖ ØÓÙØ a > 0 lim x + x a = 0 x a ÔÓÙÖ ØÓÙØ a > 0 lim x + e x = 0 ÊÑÖÕÙ ½ Ä ÙØÖ ÓÖÑ ÒØÖÑÒ ÔÙÚÒØ ÒÓÖÑÐÑÒØ ÙÖ ÙÜ ÐÑØ Ð ÓÖÑ ÒØÖÑÒ 0 ÔÓÙÚÒØ ÐÑÒØ Ö ÒØÖÚÒÖ ØÙÜ ÚÖØÓÒº 0 n Ó {}}{ ÄÓÖ ÕÙ α = n Ø ÙÒ ÒØÖ ÒØÙÖÐ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x R ÓÒ ÓØÒØ x n = x x xº ÇÒ ÔÙØ ÐÓÖ ÔÖÓÐÓÒÖ Ð ÓÒØÓÒ ÔÙ Ò ÙÖ R Ò ÙÒ ÓÒØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑк ÄÓÖ ÕÙ α = n Ø ÙÒ ÒØÖ ØÖØÑÒØ ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x R ÓÒ ÓØÒØ x n = ÔÖÓÐÓÒÖ Ð ÓÒØÓÒ ÔÙ Ò ÙÖ R º ( ) n 1 º ÇÒ ÔÙØ ÐÓÖ x ÄÓÖ ÕÙ α Ø Ð³ÒÚÖ ³ÙÒ ÒØÖ ÑÔÖ Ò ÔÓ ÒØ 1 α = s+1 ÐÓÖ Ð ÓÒØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑÐ x xs+1 ØÒØ ØÚ ÙÖ R Ð ÓÒØÓÒ x x α = s+1 x Ø Ð ØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ ØØ ÔÔÐØÓÒº Ä ÓÒØÓÒ ÔÙ Ò Ø ÐÓÖ Ò ÙÖ Rº ÜÑÔÐ ØÖÑÒÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ a > 0 Ð ÐÑØ lim x 0 + x a lnxº ÓÒØÓÒ ÖÙÐÖ Ø ÖÙÐÖ ÖÔÖÓÕÙ º½ º½º½ ÓÒØÓÒ ÖÙÐÖ ÓÒØÓÒ Ó ÒÙ Ä ÓÒØÓÒ x cosx Ø Ò ÙÖ R Ø π¹ôöóõù ÔÖ ÖÚ x sinxº ÁÐ ÙØ Ð³ØÙÖ ÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ 0,π]º º½º¾ ÓÒØÓÒ ÒÙ Ä ÓÒØÓÒ x sinx Ø Ò ÙÖ R Ø π¹ôöóõù ÑÔÖ ÖÚ x cosxº ÁÐ ÙØ ÐÑÒØ Ð³ØÙÖ ÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ 0,π]º º½º ÓÒØÓÒ ØÒÒØ Ä ÓÒØÓÒ x tanx Ø Ò ÙÖ R\ ÙØ Ð³ØÙÖ ÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ 0, π ÓÒ ÓÑÒ ÒØÓÒº ( π +π Z ) Ø π¹ôöóõù ÑÔÖ ÖÚ x 1+tan xº ÁÐ º Ä ÓÒØÓÒ ØÒÒØ Ø ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ ØÓÙØ ÒØÖÚÐÐ ÒÐÙ Ò º¾ º¾º½ ÓÒØÓÒ ÖÙÐÖ ÖÔÖÓÕÙ ÓÒØÓÒ ÖÓ ÒÙ ÒØÓÒ Ä ÓÒØÓÒ cos : 0,π] 1,1] Ø ÙÒ ØÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ Òغ ÇÒ ÔÔÐÐ x cos x ÓÒØÓÒ ÖÓ ÒÙ Ø ÓÒ ÒÓØ arccos : 1,1] 0,π] Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ ØØ ØÓÒº ÙØÖÑÒØ { Ø ÔÓÙÖ x 1,1] Ð ÒÓÑÖ θ = arccosx Ø Ð ÙÐ ÒÓÑÖ ÚÖÒØ Ð ÙÜ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ cosθ = x θ 0,π] º
ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ arccosx Ö ÓÙÖ cosθ = x ³ÒÓÒÒÙ θ Ò ÖØÒÖ ÕÙ Ð ÙÐ ÓÐÙØÓÒ ÒØÖ 0 Ø πº ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ arccos 1 Ø arccossin 13π 5 º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ä ÓÒØÓÒ arccos : 1,1] 0,π] Ø ÓÒØÒÙ ÙÖ 1,1] Ø ÖÚÐ ÙÖ ] 1,1 ÖÚ x ] 1,1, arccos 1 x =. 1 x º¾º¾ ÓÒØÓÒ Ö ÒÙ ÒØÓÒ Ä ÓÒØÓÒsin : π, π ] x 1,1] Ø ÙÒ ØÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ Òغ ÇÒ ÔÔÐÐ sin x ÓÒØÓÒ Ö ÒÙ Ø ÓÒ ÒÓØ arcsin : 1,1] π, π ] Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ ØØ ØÓÒº ÙØÖÑÒØ Ø ÔÓÙÖ x 1,1] Ð ÒÓÑÖ θ = arcsinx Ø Ð ÙÐ ÒÓÑÖ ÚÖÒØ Ð ÙÜ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ { sinθ = x θ π, π ] º ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ arcsinx Ö ÓÙÖ sinθ = x ³ÒÓÒÒÙ θ Ò ÖØÒÖ ÕÙ Ð ÙÐ ÓÐÙØÓÒ ÒØÖ π Ø π º ( ) ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ arcsin Ø arcsincos 13π 5 º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½¼ Ä ÓÒØÓÒ arcsin : 1,1] π, π ] Ø ÓÒØÒÙ ÙÖ 1,1] Ø ÖÚÐ ÙÖ ] 1,1 ÖÚ x ] 1,1, arcsin x = 1 1 x. º¾º ÓÒØÓÒ ÖØÒÒØ ÒØÓÒ Ä ÓÒØÓÒ tan : ] π, π x ÓÒØÓÒ ÖØÒÒØ Ø ÓÒ ÒÓØ arctan : R R Ø ÙÒ ØÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ Òغ ÇÒ ÔÔÐÐ ] tanx π, π Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ ØØ ØÓÒº ÙØÖ¹
ÑÒØ { Ø ÔÓÙÖ x R Ð ÒÓÑÖ θ = arctanx Ø Ð ÙÐ ÒÓÑÖ ÚÖÒØ Ð ÙÜ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ tanθ ] = x θ π, π º ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ arctanx Ö ÓÙÖ tanθ = x ³ÒÓÒÒÙ θ Ò ÖØÒÖ ÕÙ Ð ÙÐ ÓÐÙØÓÒ ØÖØÑÒØ ÒØÖ π Ø π º ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ arctan1 Ø arctantan 45π 7 º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½½ Ä ÓÒØÓÒ arctan : R ] π, π Ø ÖÚÐ ÙÖ R ÖÚ x R, arctan x = 1 1+x. º ÓÖÑÙÐ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½¾ ÇÒ ÔÓ ÓÖÑÙÐ ÙÚÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x 1,1] sinarccosx = cosarcsinx = 1 x ÔÓÙÖ ØÓÙØ x 1,1] cosarccosx = sinarcsinx = x ÔÓÙÖ ØÓÙØ x 1,1] arccosx+arcsinx = π ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ ÇÒ ÐÑÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x R tanarctanx = x ÔÓÙÖ ØÓÙØ x > 0 arctanx+arctan 1 x = π Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ x < 0 arctanx+arctan 1 x = π º½ ÓÒØÓÒ ÝÔÖÓÐÕÙ ÓÒØÓÒ Ó ÒÙ ÝÔÖÓÐÕÙ ÒØÓÒ ½¼ ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒØÓÒ Ó ÒÙ ÝÔÖÓÐÕÙ Ø ÓÒ ÒÓØ ch Ð ÓÒØÓÒ ch : R 1, + x ex +e x º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ Ä ÓÒØÓÒ ch Ø ÔÖ ÖÚÐ ÖÚ Ð ch x = ex e x º Ä ÓÒØÓÒ ch ÖÐ ÙÒ ØÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ 0,+ ÚÖ 1,+ º ÔÐÙ Ð ÓÙÖ y = chx Ø y = ex ÓÒØ ÝÑÔØÓØ Ò + Ð ÓÙÖ y = chx ØÒØ Ù¹ Ù º
º¾ ÓÒØÓÒ ÒÙ ÝÔÖÓÐÕÙ ÒØÓÒ ½½ ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒØÓÒ ÒÙ ÝÔÖÓÐÕÙ Ø ÓÒ ÒÓØ sh Ð ÓÒØÓÒ sh : R R x ex e x º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ Ä ÓÒØÓÒ sh Ø ÑÔÖ ÖÚÐ ÖÚ Ð sh x = ex +e x º Ä ÓÒØÓÒ sh ÖÐ ÙÒ ØÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ RÒ Rº ÔÐÙ Ð ÓÙÖ y = shx Øy = ex ÓÒØ ÝÑÔØÓØ Ò + Ð ÓÙÖ y = shx ØÒØ Ò ÓÙ º º ÓÒØÓÒ ØÒÒØ ÝÔÖÓÐÕÙ ÒØÓÒ ½¾ ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÒØÓÒ ØÒÒØ ÝÔÖÓÐÕÙ Ø ÓÒ ÒÓØ th Ð ÓÒØÓÒ th : R ] 1,1 x shx º ÇÒ ÓÒ Ð ÖÒØ ÓÖÑÙÐ ÙÚÒØ chx x R, th x = ex e x e x +e x = ex 1 e x +1 = 1 e x 1+e x. ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ Ä ÓÒØÓÒ th Ø ÑÔÖ ÖÚÐ ÖÚ Ð th = 1 º Ä ÓÒØÓÒ th ÖÐ ch ÙÒ ØÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ R Ò ] 1,1º º ÌÖÓÒÓÑØÖ ÝÔÖÓÐÕÙ ÇÒ ÖÑÖÕÙ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x R ÓÒ ³ÔÖ Ð ÓÖÑÙÐ ³ÙÐÖ cosx = ch(ix) sinx = sh(ix) Ø i th (ix) tanx = º Ä ÓÖÑÙÐ ØÖÓÒÓÑØÖ Ð ÕÙ ÒÙ ÒØ Ò ÓÖÑÙÐ ØÖÓÒÓÑØÖ ÝÔÖÓ¹ i ÐÕÙº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ ÇÒ ÔÙØ ÖÖ ch = sh sh = ch Ø th = 1 th ÔÓÙÖ ØÓÙØ x R ch x sh x = 1 ÔÓÙÖ ØÓÙ a Ø b Ò R ÓÒ ch(a+b) = cha chb+sha shb sh(a+b) = sha chb+shb cha th (a+b) = th a+th b 1+th a th b º ÓÒØÓÒ ÝÔÖÓÐÕÙ ÖÔÖÓÕÙ
ÒØÓÒ ½ Ä ÓÒØÓÒ ch : 0,+ 1,+ ÖÐ ÙÒ ØÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ Òغ ÇÒ ÒØ Ð ÓÒØÓÒ argch : 1,+ 0,+ ÓÑÑ Ð ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ ØØ ÔÔÐØÓÒº Ä ÓÒØÓÒ sh : R R ÖÐ ÙÒ ØÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ Òغ ÇÒ ÒØ Ð ÓÒØÓÒ argsh : R R ÓÑÑ Ð ÖÔÖÓÕÙ ØØ ÔÔÐØÓÒº Ä ÓÒØÓÒ th : R ] 1,1 ÖÐ ÙÒ ØÓÒ ØÖØÑÒØ ÖÓ Òغ ÇÒ ÒØ Ð ÓÒØÓÒ argth : ] 1,1 R ÓÑÑ Ð ÖÔÖÓÕÙ ØØ ÔÔÐØÓÒº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ Ä ÓÒØÓÒ argch Ø ÖÚÐ ÙÖ ]1,+ Ø x ]1,+, argch x = 1 x 1. Ä ÓÒØÓÒ argsh Ø ÖÚÐ ÙÖ R Ø x R, argsh x = 1 x +1. Ä ÓÒØÓÒ argth Ø ÖÚÐ ÙÖ ] 1,1 Ø x ] 1,1, argth x = 1 1 x. ÈÓÙÖ ØÓÙØ x 1,+ ÈÓÙÖ ØÓÙØ x R ÈÓÙÖ ØÓÙØ x ] 1,1 ( argchx = ln x+ ) x 1. ( argshx = ln x+ ) x +1. argthx = 1 ( ) 1+x ln. 1 x