Chuê đề : A Áp dụg hựg hằg đẳg thứ HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG Bìh phươg ủ một tổg: A B A AB B = A B AB Bìh phươg ủ một hiệu: A B B A A AB B = A B AB Hiệu ủ hi ìh phươg: A B A B A B Lập phươg ủ tổg: A B A A B AB B A B ABA B 5 Lập phươg ủ hiệu: A B A A B AB B A B ABA B Tổg hi lập phươg: A B A BA AB B A B AB( A B) 7 Hiệu hi lập phươg: A B A BA AB B ( A B) AB( A B) * Một số hằg đẳg thứ tổg quát = (- )( - + - + + - + - ) k k = ( + )( k- k- + + k- k- ) k+ k+ = ( + )( k k- + k- - + k ) ( + ) = + - ( ) + - ( ) + + 5 ( -) = - - ( ) + - ( ) - - Bài tập: Chứg mih á hằg đẳg thứ su : A B C A B C AB BC AC A B C A B C A B B C A C A B A B A B - + - + - + - - A B X Y AX BY AX BY Bài tập Tíh : / A = + + 00 + 005 / B = ( + )( +)( + )( 8 + )( + )( + ) Giải / A = + + 00 + 005 A = + ( ) + (5 )+ + ( 005 00 ) A = + ( + )( ) + (5 + )(5 ) + + (005 + 00)(005 00) A = + + + + 5 + + 00 + 005 A = ( + 00 ) 005 : = 005 / B = ( + )( +)( + )( 8 + )( + )( + ) B = ( - ) ( +)( + )( 8 + )( + )( + ) B = ( )( + )( 8 + )( + )( + ) B =
B =( - )( + ) B = B = - * Chú ý: Qu sát và iế đổi ài toá ằg áh sử dụg hằg đẳg thứ A B Bài tập : Tìm giá trị hỏ hất h giá trị lớ hất ủ á iểu thứ su: / A = + 7 / B = + 8 / C = - + 8 5 Giải / A = + 7 = + + = ( - ) + > Dấu = ả r = 0 = Vậ giá trị hỏ hất ủ iểu thứ A là khi = / B = + 8 = ( + 8 + ) = ( ) > - Dấu = ả r = 0 = Vậ giá trị hỏ hất ủ iểu thứ A là - khi = / C = - + 8 5 = ( + ) 7 = ( - ) 7 < - 7 Dấu = ả r = 0 = Vậ giá trị lớ hất ủ iểu thứ A là - 7 khi = * Chú ý: Để tìm giá trị hỏ hất ủ iểu thứ A t ầ: - Chứg mih A > m với m là một hằg số - Chỉ r dấu = ó thể ả r - Kết luậ: Giá trị hỏ hất ủ A là m ( kí hiệu mia ) Để tìm giá trị lớ hất ủ iểu thứ A t ầ: - Chứg mih A < t với t là một hằg số - Chỉ r dấu = ó thể ả r - Kết luậ: Giá trị lớ hất ủ A là t ( kí hiệu ma ) Bài tập : Chứg mih rằg ếu ( + + ) = ( + + ) thì = = Giải ( + + ) = ( + + ) + + + + + = + + + + - - = 0 + + - - = 0 ( + ) + ( + ) + ( + ) = 0 ( ) + ( ) + ( ) = 0 ( ) =0 h ( ) = 0 h ( ) = 0 = h = h = = =
* Chú ý: Qu sát và iế đổi ài toá ằg áh sử dụg á hằg đẳg thứ ( + + ) = + + + + + ( ± ) = ± + Bài tập 5 Chứg mih rằg: / 75 + 9 ( N) / + + + ( N) Giải / 75 + = 7(5 ) + 9 9 Vì ( 5 ) ( 5 ) ê ( 5 ) 9 và 9 9 Vậ 75 + 9 ( N) / + + + = + = ( ) + Vì ( ) ( ) ê ( ) * Chú ý: Qu sát và iế đổi ài toá ằg áh sử dụg á hằg đẳg thứ = (- )( - + - + + - + - ) do đó ( ) (- ) Bài tập Tìm,, iết rằg: + + + + + + 0 + + = 0 Giải + + + + + + 0 + + = 0 ( + + + + + ) + ( + 0 + 5) + ( + + 9) = 0 ( + + ) + ( + 5) + ( + ) = 0 ( + + ) = 0 ; ( + 5) = 0 ; ( + ) = 0 = - 5 ; = -; = 8 * Chú ý: Qu sát và iế đổi ài toá ằg áh sử dụg á hằg đẳg thứ ( + + ) = + + + + + ( ± ) = ± + Bài tập 7: Cho = 5 ; = 9 Chứg mih rằg + là số híh phươg höõsoá höõsoá T ó : = 9 = 5 + = + höõsoá höõsoá Do đó: + = ( + ) + = + + = ( + ) h + = 7 là số híh phươg höõsoá B Ứg dụg hằg đẳg thứ Xét ài toá phâ tíh đ thứ su thàh hâ tử: + + T ó: + + = ( + ) (+) +
= [(+) + ] (++) = (++) [(+) (+)+ ] (++) = (++) ( + + - + - ) = ( + + ) ( + + ) = ( + + ) [(-) + (-) + (-) ] Nhậ ét: Nếu + + = thì + + = 0 => (++) [(-) + (-) + (-) ] = 0 => ( ) ( ) ( ) => Áp dụg hậ ét trê vào giải một số dạg toá: Dạg : Phâ tíh đ thứ thàh hâ tử Dạg : Tíh giá trị iểu thứ Dạg : Giải phươg trìh, hệ phươg trìh Dạg : Chứg mih đẳg thứ DẠNG : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH PHÂN TỬ Bài : Phâ tíh đ thứ (-) + ( ) + ( - ) thàh phâ tử T thấ : + + = 0 => áp dụg hậ ét t ó: (-) + ( ) + ( - ) = (-) (-) (-) Bài : Phâ tíh đ thứ ( + ) + ( ) ( + ) thàh hâ tử T ó ( + ) + ( ) ( + ) = ( + ) + ( ) + (- - ) T thấ + + = 0 => áp dụg hậ ét t ó: ( + ) + ( - ) + - - ) = ( + ) ( ) (- ) = ( + ) (+)(-)( + ) Bài : Phâ tíh đ thứ (++) thàh hâ tử (++) - - =[( +) +] = (+) + (+) (++) - - = + +(+)+ +(+)(++) - - = (+) (+ + + ) = (+)(+)(+)
5 Bài : Phâ tíh đ thứ thàh hâ tử (++) (+-) -(-+) -(-++) Đặt +-=; -+=, -++= =>++ = ++ =>(++) - - - = (+)(+)(+) = DẠNG : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC: Bài : Cho 0 tíh P = Từ 0 => => P = Bài : Cho, + + = tíh A = Từ + + = => 0 Nếu ++ = 0 thì A = Nếu = = thì A = (+) (+) (+) = 8 => A ó giá trị: - và 8 Bài : Cho thoả mã + + = Tíh P = Đặt =, =, = T ó + + = => + + = => 0 Nếu + + = 0 h + + = 0 thì (+) = - P = =
Nếu = = h = = => = = => P =8 Bài : Cho + + = 0 tíh giá trị iểu thứ A = (-) + (-) +(-) T iế đổi - = -+- T đượ A = (-) + (-) + (-) = (-)(-)(-)(++) Vì ++=0 -> A=0 Bài 5: Cho ++=0 tíh giá trị iểu thứ B = vì ++=0 => + + = => B = Bài : Cho + + = và ++ tíh giá trị iểu thứ M= t ó + + - = (++) ( + + --) = 0 = 0 Mà ++ => (+) + (-) + (-) = 0 => == => M = 9 Bài 7: Cho ++=0 ( ; ; ) tíh giá trị iểu thứ A = ; B= T ó A = vi ++=0 => + + = A = B = Từ ++= 0 => + = - => + += -> - - = TT: - - =; - - = Nê B= t ó ++=0 => + + =
-> B = Bài 8: Cho ++= 0 tíh giá trị iểu thứ: A = Đặt B = T ó B = + Tươg Tự B ; B ; Bậ A = Vì ++ = 0 => + + = => A = + 9 DẠNG : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài : Giải phươg trìh ( ) (-) = (+ ) (-) (-) = (+) => (-) (-) (+) = 0 => (-) + (-+) + (--) = 0 => => Nhậ ét: T ó - - +-- = 0 => Áp dụg hậ ét t ó (-) + (-+) +(--) = (-)(-+)(--)=0 =>(+)(-+)(--) = Vì ; Z t ó: ==(-)(-)=(-)(-)=(-)(-) hỉ ả r trườg hợp Chú ý:=;=- =>phươg trìh vô ghiệm KL: Phươg trìh ó ghiệm =0; =- Bài : Tìm á ghiệm guê ủ phươg trìh: 7
+ + - = T ó + + -= <=> (++) ( + + ---)= T ét + + --= [(- +(-) +(-) ] ê hỉ ó thể ả r () () Từ t ó: + + +(++) = Từ, => + + = 0 <-> Nê + + = giả sử => = 0; = 0; = Nếu khôg t/m Nếu T/m phươg trìh và TH: và DẠNG : CHỨNG MINH HẰNG ĐẲNG THỨC Bài : Cho tm giá ABC ó ạh tươg ứg là,, thoả mã + + = Hỏi tm giá ABC là tm giá gì? T ó + + = Vì,, là ạh ủ tm giá ABC ê ++ ê t ó == (,, >0) => ABC Là tm giá đều Bài : Cho +++d = 0 mr + + +d = (d+) (-d) Đặt +d= t ó ++=0 => + + = h + +(+d) 8
9 =(+d) => + + +d = (+d)- d(+) = (+d)(-d) Bài : CMR ếu ++ = 0 thì ( 5 + 5 + 5 ) = 5( + + ) từ ++ = 0 => -= + => (+) 5 = - 5 => 5 +5 + 0 + 0 + 5 + 5 = - 5 => 5 + 5 + 5 +5 ( + + + ) = 0 => 5 + 5 + 5 +5(+)( ++ )= 0 => ( + 5 + 5 )- 5(( + )+ (+) )= 0 => ( + 5 + 5 )- 5(( + + )= 0 ( 5 + 5 + 5 )= 5 ( + + ) => đpm C Sử dụg hằg đẳg thứ iế đổi đồg hất Bài tập : Cho 0, iết / 0 Tíh P / 5 Tíh Q Xét 0 0 P Mà 0 P P ( Tươg tự ) Xét 9 E E Bài tập : / Cho 0 và Tíh A / Cho 0 và Tíh B theo / T ó: 9 T ó: 7 0 0 9 9 ) ( 9 Vậ 98 9 9 A /
0 B Bài tập : Cho 0 và Tíh á iểu thứ su theo A B C 7 7 D Dể dàg hứg mih đượ, khi >, t ó: T tíh đượ A B 9 C D 7 7 5 7 Bài tập : Phâ tíh á số su r thừ số / / 9 à / 7 d/ e/ 5 7 5 f/ Gợi ý: / Th ) ( ) ( Su khi th, t đượ / Đáp số: 8 / Đáp số: d/ Đáp số: e/ Đáp số: 0 8 f/ Đặt 0 ) ( VT