SỞ GD & ĐT THANH HÓA Trường PTTH Chuyên LAM SƠN ****************************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học *

Bản ghi

1 SỞ GD & ĐT THANH HÓA Trường PTTH Chuyên LA SƠN ****************************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆ Năm học * ỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG ẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Tác giả: Ngô Xuân Ái Giáo viên Trường PTTH Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa, tháng 5 năm 014 1

2 CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NA Độc lập-tự do-hạnh phúc o0o ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆ Họ và tên: Ngô Xuân Ái Ngày tháng năm sinh: Năm vào ngành: 1983 I SƠ YẾU LÝ LỊCH Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Chuyên Lam Sơn Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Toán học Hệ đào tạo: Viện Toán học Việt Nam hệ chính quy Bộ môn giảng dạy: ôn Toán Ngoại ngữ: Tiếng Anh Trình độ chính trị: Sơ cấp Khen thưởng: Bằng khen của Bộ trưởng Bộ GD & ĐT, Bằng khen của Chủ Tịch UBND Tỉnh Thanh Hóa, Chiến sỹ thi đua cấp ngành và Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán xếp loại B của Sở GD & ĐT Thanh Hóa II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Tên đề tài: ỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG ẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Lý do chọn đề tài: Trong cấu trúc đề thi Đại học môn Toán dạng này chiếm một phần không nhỏ, gồm câu chọn một về hình học phẳng tọa độ ở mức khó (mức điểm 8/10); câu dạng tương tự của hình học không gian tọa độ và một câu khó nhất (mức điểm 10) có cùng dạng về bất đẳng thức, cực trị Yêu cầuđể thực hiện được đề tài: Kiến thức tổng hợp và sắc sảo về nhiều phân môn, như: hình học phẳng ở các lớp THCS, vecto và tọa độ, biến đổi đại số bất đẳng thức, giải tích phương trình và hàm số Khó với phần đông học sinh, thậm chí cả với một bộ phận giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm Phạm vi thời gian thực hiện đề tài: Thực hiện trong nhiều năm học từ 006 đến nay, tại trường THPT Chuyên Lam Sơn

3 III QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý thuyết: Với mỗi vị trí xác định của một đối tượng hình học hoặc vị trí tương đối của các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng, đường tròn đều chứa trong nó những đại lượng về giá trị góc, khoảng cách, diện tích v, v Và trong mỗi tập giá trị như thế - có thể tồn tại hoặc không các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nó Đề tài nhằm xem xét một số bài toán đó Tình trạng thực tế khi chưa thực hiện: Học sinh có rất ít kinh nghiệm trong việc tìm tòi phương pháp giải dạng này Không có khả năng tổng hợp thống kê, phân dạng bài toán Kiến thức hình học ở THCS hoặc chưa đủ hoặc quên Còn thiếu kiến thức và niềm tin vào dạng đại số của bài toán về bất đẳng thức Thành quả khi đã thực hiện: Khắc phục được cho học sinh những hạn chế nêu trên Tăng thêm niềm tin và say mê sáng tạo, tìm tòi các lời giải hay Thiết kế các đề toán đẹp Đạt điểm cao trong các kỳ thi Đại học (Hầu hết là điểm 9, điểm 10) Những biện pháp thực hiện: (nội dung chính của đề tài) Ở ĐẦU Tài liệu này được chia thành hai phần nội dung Phần 1: Tóm tắt lý thuyết về vecto và tọa độ trong mặt phẳng Phần : Các bài toán áp dụng Các bài toán về cực trị hình học giải theo phương pháp tọa độ Bao gồm những bài toán suy từ các tính chất cơ bản kinh điển của hình phẳng ức độ khó dễ nói chung là tương đương các đề thi Đại học hàng năm Trong tài liệu, các đề bài thường là tham khảo từ các đề thi thử Đại học ở các trường PTTH trên cả nước Tác giả sắp xếp lại theo dạng và đưa ra các cách giải cùng những phân tích bình luận Tài liệu đã được tác giả sử dụng thường xuyên hằng năm ở nhiều lớp học, khóa học và đạt hiệu quả cao Chân thành cám ơn và mong nhận được sự góp ý và bổ sung của mọi người Địa chỉ liên hệ được in ở mỗi cuối trang 3 Thanh Hóa, tháng 5 năm 014 Người viết: Ngô Xuân Ái Giáo viên trường THPT Chuyên Lam Sơn

4 Phần 1 TÓ TẮT LÝ THUYẾT (về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng) 1 Phép toán véctơ và tọa độ trong mặt phẳng Độ dài: A ( x 1 ; y 1 ) và B ( x ; y ), thì AB ( x x ) ( y y ) Góc: u ( a; b) và v ( x; y) cos x u, v ax by, ta có: Khoảng cách: :ax by c 0 và ': ax by c ' 0 ; ( x ; y ) ax0 by0 c c c ' d (, ) và d (, ') a b a b A, B, C thẳng hàng tồn tại k sao cho: AB k AC AB CD ABCD 0 Bất đẳng thức: u ( a; b) và v ( x; y) Suy ra: u v u v và u v u v Đường thẳng, đường tròn và conic Đường thẳng :ax by c 0 Đường tròn (C): ( x a) ( y b) R, tâm I ( a; b ) bán kính R Elip: ( E) F F a ; x y 1 ( a b 0 ) a b c a b ( c 0 ) c Tiêu điểm: F1 ( c; 0 ) và F ( c; 0 ) Tiêu cự: F1F c Tâm sai: e (e 1) a c c Bán kính qua tiêu: F1 a x và F a x ( (x; y) (E)) a a ( H ) F1 F a ; ( ) : x H y 1 ( a 0, b 0 ) a b b c a b, c 0 ( e 1 ) Tiệm cận d1, : y x a ( P) / F d (, ) Hyperbol: Parabol: Phươngtrình chính tắc: ( P) : y px, p là tham số tiêu ( p 0 ) p Tiêu điểm: F ; p 0 Đường chuẩn : x

5 Phần CÁC BÀI TOÁN INH HỌA ỗi bài toán sau đây đều được cho trong mặt phẳng tọa độ Oxy, do đó ta quy ước mỗi đề bài đều bắt đầu bằng câu: "Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho " ỗi bài toán được trình bày theo thứ tự: Đề bài Lời giải hoặc Hướng dẫn hoặc Kết quả Lời bình và Bài toán tương tự (nếu có) Bài 1: Cho điểm A(; 3) và đường thẳng : x y 5 0 1) Tìm tọa độ điểm nằm trên sao cho A ngắn nhất ) Viết phương trình ' qua A, sao cho d ( O, ') lớn nhất 3) Viết phương trình d qua A, sao cho d ( d, ) lớn nhất Hướng dẫn: 1) Cách 1: (Phương pháp hình học) Gọi H là hình chiếu của A trên, ta có A AH, suy ra cần tìm trùng với H A H Khi đó, A đi qua A và vuông góc với x y 5 0 Tọa độ ( x; y ) thỏa mãn hệ: x y 1 0 Suy ra: 7 9 ; 5 5 Cách : (Phương pháp đại số) thuộc, suy ra: ( t 5 ; t) A ( t 3) ( t 3) 5t 18t 18 Suy ra A ngắn nhất, khi và chỉ khi t 9 Suy ra: ; ) Gọi H là hình chiếu của O trên ', ta có: d ( O, ') OH OA O Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi H A ' nhận OA ( ; 3) làm véc tơ pháp tuyến ' Phương trình ': x 3y 13 0 A H 3) d đi qua A không thuộc, nên d và cắt nhau hoặc song song Trường hợp d và cắt nhau thì d ( d, ) 0 Do đó ta chỉ xét d // Phương trình d : x y 8 0 5

6 Bài : Cho điểm (3; 1) Tìm tọa độ điểm A thuộc tia Ox và B thuộc tia Oy sao cho tam giác AB vuông tại và có diện tích S a) nhỏ nhất y b) lớn nhất 10 Hướng dẫn: A( a; 0 ), a 0 và B( 0; b), b 0 Suy ra: A ( a 3; 1), B ( 3; b 1) AB 0 3( a 3) ( b 1) 0 b 10 3 a b 0 a 10 3 (*) S AB 3( a 6a 10 ) 10 Khảo sát hàm f ( a) 3( a 6a 10 ), trên đoạn 0; 3 a 0 3 f ( a ) O x Từ đây suy ra: maxs 15, khi a 0 Khi đó b 10, suy ra: A(0; 0) và B(0; 10) mins 3, khi a 3 Khi đó b 1, suy ra: A(3; 0) và B(0; 1) Bài toán tương tự: Thay số liệu bất kỳ ( a; b ), với a và b dương Bài 3: cho hai điểm A( 3; 4 ) và B( 1; ), đường thẳng : x tọa độ điểm nằm trên sao cho: a) A B nhỏ nhất b) A B lớn nhất Hướng dẫn:, nên ( t ; t) Suy ra: A ( t 1; t 4) và B ( t 3; t ) A 5t 1t 17, B 10t 16t 6 a) A B 15t 4t 43 A 6 y 0 Tìm B đạt min, khi và chỉ khi: t 15 Vậy, 6 ; 15 15

7 b) A B 5t 8t 9 A B đạt max, khi và chỉ khi: t 14 5 Vậy, 18 ; Bài toán tổng quát: "Cho n điểm Ai ( i 1,,, n) và n số thực a i Tìm tọa độ điểm trên để S n aia i1 i đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)" Bài 4: cho : x y 0, các điểm A( 3; 4 ), B( 1; ) và C ( 0; 1 ) Tìm tọa độ điểm nằm trên sao cho P A B 3C nhỏ nhất Hướng dẫn:, nên ( t ; t) Suy ra: A ( t 1; t 4), B ( t 3; t ) và C ( t ; t 1) A B 3C ( 4t 1; t 3), suy ra: P 0t 0t 10 P min P min t Khi đó: ; 1 1 Cách giải khác: Gọi G là điểm thỏa mãn GA GB 3GC 0 (*) Biểu thức (*) xác định tọa độ điểm G và A B 3C G 1 P min G min Giải tương tự Bài 11 ( là hình chiếu của G trên ) Bài toán tổng quát: "Cho n điểm Ai ( i 1,,, n) và n số thực a i, thỏa mãn n n ai 0 Tìm tọa độ điểm trên để P aiai đạt giá trị nhỏ nhất" i1 Bài toán tương tự trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trong đó đường thẳng được thay bởi mặt phẳng ( P ) i1 Bài 5: cho đường thẳng : x độ điểm nằm trên sao cho 1) A B nhỏ nhất ) A B lớn nhất y 1 0, hai điểm A( ; 1 ) và B( 1; 0 ) Tìm tọa 7

8 Lời giải: Đặt f ( x; y) x y 1 Ta có f ( ; 1) f ( 1; 0) 0, suy ra A và B nằm cùng phía nửa mặt phẳng bờ là Gọi A ' đối xứng với A qua, tọa độ A'( x; y ) A ' x y 5 0 x y 1 Suy ra: A' 8 9 ; ) A B A' B A' B Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi là giao điểm của đường thẳng và đoạn thẳng A A' B (do A ' và B nằm hai phía của nên tồn tại duy nhất điểm như thế) Tọa độ ( x; y ) thỏa mãn hệ: ) A B AB x y 1 0 Suy ra: ; 3x y Đẳng thức xảy ra, khi, A, B thẳng hàng và nằm ngoài đoạn thẳng AB Do đó là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng AB (do A, B nằm cùng phía của nên tồn tại duy nhất điểm như thế) Tọa độ ( x; y ) thỏa mãn hệ: x y 1 0 x y Suy ra: ( 3 ; ) Bình: Trong ý 1, do A và B nằm cùng phía, nên A ' và B nằm khác phía đường thẳng Vì thế tồn tại điểm là giao của đường thẳng và đoạn A' B Trong ý, dễ sai lầm khi kết luận là giao của đường thẳng và đoạn Bài 6: cho hai điểm A( ; 1 ) và B( 1; ), đường thẳng : x độ điểm nằm trên sao cho 1) A B nhỏ nhất B ) A B lớn nhất Hướng dẫn và kết quả: A và B nằm khác phía nửa mặt phẳng bờ là 1) Ta có: A B AB là giao của đoạn thẳng AB với Tọa độ 5 4 ; 3 3 A' B y 1 0 Tìm tọa A' A 1 B

9 ) Gọi A ' đối xứng với A qua, ta có: A B A' B A'B Xảy ra đẳng thức, khi là giao của đường thẳng A'B với Tọa độ A' 8 9 ; 5 5 và 11 8 ; 5 5 Hai bài toán mẫu: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm tọa độ điểm trên sao cho 1) A B nhỏ nhất, nếu A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng ) A B lớn nhất, nếu A và B nằm khác phía đối với đường thẳng Bài 7: cho ; A 1, 1 : x y 0, : x 3y 5 0 Tìm tọa độ các điểm B và C tương ứng nằm trên 1 và sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất Hướng dẫn: A x; y 1 : B x; y : x y 4 0 ( x ) ( y 1) 4 0 A ; 1 3 Tương tự: A ; 0 5 4x y 5 0 x y 0 B 7 ; 1 Tương tự: ; 6 3 C Thử lại: A A ;, A B 5 0 ; 1, AC 1 48 ; A A 1 A 1 1B AC, suy ra: A1, B, C và A thẳng hàng, theo thứ tự ấy A 1 1 Vậy: B 7 1 ; 6 3 và C 10 ; B Bình: C A A Sai lầm khi chỉ lấy điều kiện chu vi tam giác ABC đạt min là A 1, B, C và A thẳng hàng mà không kể thứ tự của các điểm 9

10 Trên cơ sở là: độ dài đường gấp khúc A BCA 1 ngắn nhất khi và chỉ khi A 1, B, C và A thẳng hàng, theo thứ tự ấy Bạn đọc tham khảo ví dụ, với: A( ; 3 ), 1 : x y 3 0, : 3x y 0 Kết quả: A 1 9 ; 1 1 4, B 5 7 ; 3 3 và C 9 ; , A ; Bài 8: cho điểm A(; 1), đường tròn (C): ( x ) ( y 1) 5 và đường thẳng : x y 10 0 Tìm tọa độ điểm thuộc (C), sao cho: c) độ dài A a) nhỏ nhất b) lớn nhất d) khoảng cách d (, ) a) nhỏ nhất b) lớn nhất Hướng dẫn: (C) có tâm I( ; 1), bán kính R 5 1) A( ; 1 ); AI 4 R, A nằm ngoài (C) Xét với là điểm bất kỳ (C), ta có Cách 1 (Phương pháp hình học) Gọi 1 là đường kính đi qua A, 1 nằm giữa A và, ta có: A AI I A1 và A AI I A Suy ra: A min Khi đó, tọa độ ( x; y ) : 1, A max y 1 0 ( x ) ( y 1) 5 ( x; y) ( 5; 1) ( x; y) ( 5; 1) Tính độ dài A, suy ra: 1 ( 5; 1 ) và ( 5; 1 ) Cách (Phương pháp đại số) ( x; y ) thỏa mãn ( x ) ( y 1) 5 A ( x ) ( y 1) ( x ) ( y 1) 8x 5 8 x ( y 1) 5 ( x ) 0, suy ra: x 4x x 5 Suy ra: 1 ( 5; 1 ) và ( 5; 1 ) K 4 I 3 H 1 A 10

11 ) d ( I ; ) 5 R, suy ra không cắt (C) Gọi 3 4 là đường kính vuông góc với tại H, 3 nằm giữa H và 4 Gọi K là hình chiếu của trên (C), ta có: H K H 3 4 Suy ra: d (, ) min 3, d (, ) max 4 ( x ) ( y 1) 5 Khi đó tọa độ ( x; y ) thỏa mãn hệ: x y 5 0 ( x ) ( x 4) 5 ( x ) 1 y x 5 y x 5 ( x; y) ( 3; 1) ( x; y) ( 1; 3) Tính d (, ), suy ra: 3 ( 3; 1 ) và 4 ( 1; 3 ) Lưu ý rằng: Nếu và (C) cắt nhau thì min d (, ) 0 (xảy ra tại các giao điểm) Bài 9: cho hai đường tròn (C 1 ): ( x 1) y 1, (C ): ( x 1) ( y 4) 4 Tìm tọa độ điểm trên (C 1 ) và điểm N trên (C ) sao cho độ dài N a) lớn nhất b) nhỏ nhất A E I B Hướng dẫn (C 1 ): I(1; 0), r 1; (C ): J(1; 4), R IJ 4 R r (C 1 ) và (C ) nằm ngoài nhau Giả sử IJ cắt (C 1 ) và (C ) theo thứ tự là A, B, C, D Kẻ các đường vuông góc với N tại và N, cắt đường thẳng IJ tại E và F tương ứng Ta có E và F tương ứng thuộc các đoạn thẳng AB và CD Suy ra: N EF AD Tương tự, nếu hạ H và NK vuông góc với CD, ta có: BC HK N Do đó ta được BC N AD Phương trình đường thẳng IJ: x 1 0 C J N F D 11

12 x Tọa độ A, B thỏa mãn hệ: ( x 11 ) y 1 ( x; y) ( 1; 1) ( x; y) ( 1; 1 ) x Tọa độ C, D thỏa mãn hệ: ( x 11 ) ( y 4) 4 ( x; y) ( 1; ) ( x; y) ( 1; 6) Kết quả: a) ( 1; 1 ) và N ( 1; 6 ) (thì N lớn nhất) b) ( 1; 1 ) và N ( 1; ) (thì N nhỏ nhất) Bài 10: cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R Hai điểm A và B (nằm ngoài (C) thỏa mãn IA kr, điều kiện này cho ẩn) Tìm tọa độ điểm nằm trên (C), sao cho biểu thức P A kb đạt giá trị nhỏ nhất y B 6 3 (C) 1 O K Ví dụ: (C): x y 9 và A( 0; 9 ), B( 1; 6 ) Tìm tọa độ thuộc (C) sao cho biểu thức P A 3B đạt min A 9 x Hướng dẫn và kết quả (C): O(0; 0), R 3; OA 9 3R Gọi K(1; 0), ta có O 3OK AO OC và AO 3O A 3K Suy ra: P 3(K B) 3BK Dấu bằng xảy ra, khi thuộc đoạn thẳng BC Đáp số: (0; 3) Bài 11: cho điểm A(3; 1) và đường tròn (C): ( x ) ( y 3) 5 Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt (C) tại và N, sao cho độ dài N 1) lớn nhất ) nhỏ nhất (C) Hướng dẫn: (C): I(; 3), R 5 H I A N IA 17 R hay A nằm trong (C) 1) N R Dấu bằng xảy ra, khi đi qua I Phương trình : 4x y

13 Bình: Lúc này N là đường kính của (C), hay đường thẳng đi qua A và I Kết quả luôn đúng cho mọi trường hợp của A (nằm trong, ngoài hay trên đường tròn) ) Gọi H là trung điểm N, suy ra IH N Khi đó: N H và IH IA Suy ra: N H I IH R IA 4 Dấu bằng xảy ra, khi chỉ khi H A hay IA đi qua A(3; 1), nhận IA ( 1; 4) làm vectơ pháp tuyến: x 4y 7 0 Bình: Kết quả chỉ đúng cho trường hợp A nằm trong đường tròn Trong trường hợp này, ta luôn có: 4 N 10 Bài 1: cho điểm A( 1; 3 ) và đường tròn (C): ( x ) ( y 6) 50 Tìm tọa độ điểm thuộc (C) sao cho AI lớn nhất, I là tâm của (C) A I (C) Lời giải: cosai đạt min hay AI đạt max, khi: A (C): tâm I ( ; 6 ), bán kính I 5 A( 1; 3 ), suy ra AI 10 cos A I AI AI A I A 10 A 5 40 A 40 A Khi đó: A AI 50 I, hay AI là tam giác vuông tại A ( x; y ) thỏa mãn: x 3y 10 0 ( x ) ( y 6) 50 x 3y 10 y 6y 5 0 Suy ra: ( 7; 1 ) và ( 5; 5 ) 13

14 Cách khác (phương pháp hình học) Gọi N là giao điểm của A với (C), H là trung điểm N, ta có: IH N A I H N Suy ra: ( 7; 1 ) và ( 5; 5 ) Suy ra: sin IH IA AI I I 5 5 Đẳng thức xảy ra, khi H A Khi đó N IA A nhận AI ( 1; 3) làm vecto pháp tuyến ( x; y ) thỏa mãn: x 3y 10 0 ( x ) ( y 6) 50 Bài 13: cho A(3; 1) và (C): ( x ) ( y 3) 5, tâm I Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt (C) tại và N, sao cho IN có diện tích S lớn nhất Câu hỏi tương tự, với A(3; ) Hướng dẫn: (C): tâm I(; 3), bán kính R 5 IA 17 R hay A nằm trong (C) IA sinaib 5 Cách 1: S sin AIB 5 Đẳng thức xảy ra, khi: IN 90 O R Gọi H là trung điểm N, ta có IH N, suy ra d ( I, ) IH 5 đi qua (3; 1), phương trình dạng: a( x 3) b( y 1) 0, a b Thỏa mãn: I A H N a 4b 5 a b ( a b) ( a b 4 5 ) Từ điều kiện (*), suy ra b 0 Chọn b 1, ta được: 14 ( a 4) 5( a 1 ) 3a 16a 7 0 a 1 hoặc a Phương trình : x y 4 0 hoặc : y ( x 3) (*)

15 Cách : I A H N S IH IH IH 5 IH 5 5 Đẳng thức xảy ra, khi chỉ khi: IH IH 5 hay d ( I, ) 5 5 IH đến đây, tương tự cách 1 Cách 3: Đặt IH x, 0 x 17 Suy ra: S x 5 x Xét hàm f ( x) x 5 x, 0 x 17 Ta có: f '( x) 5 x x 5 x 5 x 5 x ; f '( x) 0 x 5 Từ đó: S đạt max khi và chỉ khi: d ( I, ) 5 đến đây, tương tự cách 1 7 Kết quả: Phương trình : x y 4 0 hoặc : y ( x 3) 1 3 Câu hỏi tương tự với A( 3; ) Tương tự cách 3, ta có: 0 IH IA hay x 0 f '( x ) 0 f ( x ) 0 x Diện tích S x 5 x Xét f ( x) x 5 x, với 0 x x 5 x f '( x) 5 x 0, suy ra f ( x ) đồng biến 5 x 5 x S đạt max tại x Khi H A, hay IA Phương trình :x y 5 0 Bình: ) Trong trường hợp A( 3; ) không giải được bằng cách 1 và cách do không xảy ra IH 5, với 0 IH Cách 3 là cách giải tổng quát ) Nếu giải theo cách 1 và cách, sai lầm khi kết luận vô nghiệm 3) Biện luận hình học về vị trí điểm A đối với (C) hay độ dài IA so với R 15

16 R Xét đường tròn (T): I, - đồng tâm và nằm trong (C): I, R S R (, ) R d I, hay AB là tiếp tuyến của (T) R Nếu IA hay nằm ngoài (T) thì có hai (C) đường thẳng là tiếp tuyến với (T) kẻ qua A R N I IA (T) hoặc nằm trong (T), (T) có đúng một đường thẳng thỏa mãn yêu cầu A bài toán Khi đó IA hay đường thẳng nhận IA làm véc tơ pháp tuyến Bài 14: cho điểm A( ; 1 ), đường tròn (C): x y x 4y 4 0; hai đường thẳng 1 và vuông góc với nhau tại A; 1 cắt (C) tại và N, cắt (C) tại P và Q Viết phương trình 1 và, sao cho diện tích S của tứ giác PNQ đạt 1) nhỏ nhất ) lớn nhất 16 Hướng dẫn: I(1; ), R 3; IA ( 1; 1), A nằm trong (C) H và K tương ứng là trung điểm của N và PQ, ta có: IH N và IK PQ Do đó IHAK là hình chữ nhật, suy ra: IH IK IA, không đổi N PQ S HPK P K A H N Q Ta được 1 : x I ( R IH )( R IK ) 63 IH IK 1) Suy ra: S 63 Đẳng thức xảy ra khi: IHIK 0, tức 1 hoặc đi qua tâm I y 3 0 và : x y 1 0 Do đó S nhỏ nhất, khi một trong hai đường thẳng 1 hoặc trùng với đường thẳng AI, đường thẳng còn lại trong chúng vuông góc với AI (tại A)

17 IH IK ) Do IH IK 1, suy ra: S 16 4 IA Dấu bằng xảy ra khi: IH IK Khi đó d ( I, ) 1 đi qua, có phương trình dạng: a( x ) b( y 1) 0, a b a b Thỏa mãn: 1 ab 0 a 0 hoặc b 0 a b Vậy, chọn: 1 : x 0 và : y 1 0 (hoặc ngược lại) 0 (*) Bình: d ( I, ) 1, chứng tỏ là tiếp tuyến của đường tròn C(I, 1) IA d ( I, ), chứng tỏ cắt đường tròn C(I, IA) tại hai điểm B và C sao cho tam giác IBC vuông cân tại I, hay diện tích IBC lớn nhất Bài 15: cho hai đường tròn (C 1 ): x y 4x 6y 4 0 và (C ): ( x 1) y 5 Gọi A và B là giao điểm của (C 1 ) và (C ), A có hoành độ dương Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt (C 1 ) và (C ) tương ứng tại và N, sao cho A nằm giữa và N và 1) N lớn nhất ) Diện tích S của tam giác BN lớn nhất Hướng dẫn: (C 1 ): I(; 3), R 17 ; (C ): J( 1; 0), r 5 Tọa độ A(x; y) thỏa mãn hệ: x y 4x 6y 4 0 ( x 1) y 5, x 0 A( 1; 1 ) I H A B J K N 17 1) Gọi H và K tương ứng là trung điểm của A và AN, suy ra: IH A và JK AN hay IH // JK IHKJ là hình thang vuông tại H và K, do đó: N HK IJ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi HK // IJ hay nhận IJ ( 3; 3) làm véc tơ chỉ phương

18 Đường thẳng đi qua A( 1; 1 ), có phương trình: x y 0 H I A B K J N ) Do AB và ANB là các góc nội tiếp chắn cung AB cố định của (C 1 ) và (C ) tương ứng, nên các góc BN và BN không đổi, suy ra B S không đổi 1 B BNsin B Rrsin Nhận thấy, nếu B R thì BA N, suy ra BN r Do đó S lớn nhất Khi đó IJ là đường trung bình của tam giác BN, hay N // IJ đi qua A( 1; 1 ) và nhận IJ ( 3; 3) làm vecto chỉ phương: x y 0 Bài 16: cho điểm ( 3; 1 ) Viết phương trình đường thẳng đi qua, cắt tia Ox và tia Oy tương ứng tại A và B (khác O) sao cho: a) độ dài AB nhỏ nhất b) diện tích S của tam giác AOB nhỏ nhất c) khoảng cách d ( O, ) lớn nhất d) tổng T OA 3 OB nhỏ nhất e) P OA OB nhỏ nhất y Hướng dẫn B 1 O 3 Do A và B (khác O) lần lượt thuộc tia Ox và tia Oy, nên tọa độ có dạng: A(a; 0) và B(0; b), với a 0 và b 0 : x y 1, thỏa mãn: a b a b 1 3 a 3 Điều kiện: 1 0, suy ra: a 3 (*) Khi đó: b 1 b a a 3 a 3 a) AB a b a A 1 a 3 3 x (tại đây có thể xét hàm f ( a), a 3) 18

19 ( a ) 6 ( a ) a 9 3 ( a ) ( a 3) 3 3 3( a 3) 3( a 3) 10 a 3 a 3 ( a 3) Đẳng thức xảy ra, khi: ( a 3) 3 a Khi đó: b 1 3 x y 9, a và b thỏa mãn (*) Vậy, : Bình: 1) Có thể mắc một số sai lầm sau: AB a b ab, đẳng thức xảy ra khi a b Khi đó a b 4 ; AB AB ( a 3) 6 a ( a 3) a ) Kết quả min AB , 3 hay 8 min AB 3, suy ra: Không xảy ra dấu đẳng thức trong đánh giá AB 8 Và rõ ràng khi a b ta mới có AB 3 mà không suy được AB 3 3) Phương pháp xét hàm f ( a) ( a ) 6 ( a ) a 9 3 ( a ) cũng 3 3 chỉ là định hướng cách giải Chắc chắn lời giải sẽ khá rườm rà và khó khăn trong thực hành tìm nghiệm phương trình f '( a) 0 và xét dấu f '( a ) 4) Bài tập này có thể coi như ôn được kiến thức tổng hợp: về hình học phẳng, về tọa độ, về bất đẳng thức, về hàm số 3a b) S ab a a 3 a 9 3 (có thể xét hàm f(a), a 3 tại đây) a a 3 6 ( a 3) 6 1 a 3 a 3 9 Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi: a 3 a 0 hoặc a 6 a 3 Kết hợp (*), được: a 6, suy ra b Phương trình : x y 1 hay x 3y Bình: Xét hàm f ( a) 9 a 3 cũng khá đơn giản a 3 19

20 c) Gọi H là hình chiếu của O trên O H OH d ( O, ) OH O Đẳng thức xảy ra, khi chỉ khi: H O nhận O ( 3; 1) làm vecto pháp tuyến Phương trình : 3x y d) T a 3b a 3 a 3 (có thể xét hàm f(a), a 3 tại đây) 9 9 a 3 6 ( a 3) 6 1 a 3 a 3 Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi: a 9 3 a 3 a 0 hoặc a 6 Kết hợp với (*), ta được: a 6 và b Phương trình : x Cách : Suy ra: ab 1 a b a b Do đó: OA 3OB a 3b 3 ab 1 3y Dấu bằng xảy ra, khi:, a 3 b và 1 Suy ra: a 6 và b a b a b e) S a b 1 b b 5 1 b b 1 1 S min b 5 b 5 Khi đó a 15 4, ta được : 4x y Cách : Áp dụng Bunhia: a b 3 a b Do đó: a b OA OB a b Dấu bằng, khi: : : 1 và 1 a 0 1 Suy ra: a 10 và b a 3 b a b 9 9 Phương trình d: x 9y 0 0 0

21 Bài 17: cho điểm ( 0; ), hai đường thẳng 1 : 3x y 0 và : x 3y 4 0 Gọi A là giao điểm của 1 và Viết phương trình đường thẳng đi qua, cắt 1 và tại B và C tương ứng (B, C khác A) sao cho T 1 1 đạt giá trị nhỏ nhất AB AC Hướng dẫn: Tọa độ A( x; y ) thỏa mãn hệ: 3x y 0 x 3y 4 0 Suy ra A ( 1 ; 1 ) Nhận thấy 1, nên tam giác ABC vuông tại A Hạ AH BC, ta có: T AB AC AH A Đẳng thức xảy ra, khi: H A BC Phương trình : x y 0 Bài 18: cho (C 1 ): x y và (C ): x y 1 5, A( 0; 1 ) Tìm tọa độ các điểm B và C nằm trên (C 1 ) và (C ) tương ứng, sao cho diện tích S của tam giác ABC đạt max Bổ đề: Cho hai đường tròn đồng tâm C 1 (O, R) và C (O, R') (R R') Các điểm B và C lần lượt di động trên (C 1 ) và (C ) tương ứng Khi đó S đạt max khi O là trực tâm tam giác ABC và O nằm trong tam giác C Thật vậy, nếu cố định B thì đường thẳng AB cố định (C ) Giả sử AB cắt (C ) tại và N, diện tích lớn nhất (C 1 ) A O B khi CO AB Tương tự nếu cố định C Tức O là trực tâm của ABC Khi đó C là điểm chính giữa cung lớn N hay O nằm trong tam giác ABC Áp dụng, với: A(0; 1) Oy BC // Ox Do tính đối xứng, ta giả sử B có hoành độ dương, dạng B b ; b ra C 5 b ; b, b 0 Suy ra: AB b ; b 1, CO 5 b ; b Thỏa mãn: ABCO 0 suy ( b )( 5 b ) b( b 1 ) b 1 (do b 0) Suy ra: B ( 1; 1 ) và C ( ; 1 ), hoặc B ( ; 1 ) và C ( 1; 1 )

22 Bài 19: cho (C): x y x 4y 1 0, : x y 7 0 Tìm tọa độ điểm trên mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến A, B (A, B là tiếp điểm) sao cho a) diện tích S của tứ giác AIB nhỏ nhất, I là tâm của (C) b) độ dài AB nhỏ nhất Hướng dẫn: I ( 1; ), R Gọi H là trung điểm AB, ta có AH I ( t; t 7 ), I ( t 1) ( t 5) t 8t 6 A I R t 8t a) S IA A A 8( t 4t 11 ) S min t Đáp số: ( ; 5 ) b) AH AB min AIA 4 1 I t 8 t 6 t Đáp số: ( ; 5 ) Bài 0: (C): ( x ) ( y 1) 10, tâm I Viết phương trình đường thẳng cách O một khoảng bằng tích lớn nhất Hướng dẫn: (C) có tâm I(; 1), bán kính R 10 y 1 O B H I I A (C) B 5, cắt (C) tại A và B sao cho tam giác AIB có diện x S max d(i, ) R Nếu đi qua trung điểm OI thì: 5 d(o, ) 5 d(i, ) OI 5, vô lý Nếu // OI, suy ra : x y c 0 Thỏa mãn: d(o, ) 5 A c 5 5 Phương trình : x c 5 y 5 0 Ý nghĩa hình học: là tiếp tuyến chung của C(O, 5 ) và C(I, 5 )

23 Bài 1: cho (E): x y 1, 3 1; ; A và B thuộc (E) và đối xứng với 16 1 nhau qua Tìm tọa độ C nằm trên (E) sao cho ABC có diện tích S lớn nhất Hướng dẫn: Giả sử A( x; y ), suy ra B( x; 3 y) A, B ( E ) A( 4; 0 ) và B( ; 3 ) ; AB không đổi, suy ra: 4 S max d( C,( AB )) max Phương trình (AB): x 3 y 4 0 Giả sử C ( x o; y o), suy ra: 1 d( C,( AB)) xo yo 4 5 d( C,( AB )) max xo y o 4 max ( x y ) max và xo yo 0 o o xo yo x o y o o yo ( x ) Suy ra: xo yo x o yo x o yo Dấu " " xảy ra, khi: 1, và xo yo 8 Suy ra: C ( ; 3 ) Áp dụng lượng giác: C ( E) : x y 1, suy ra: C ( 4sin ; 3 cos ) d( C,( AB)) sin 3 cos 1 sin d( C,( AB )) max, khi: hay C ( ; 3 ) 6 Ý nghĩa hình học Nhận biết tọa độ C bằng phương pháp tiếp tuyến: C là một tiếp điểm của tiếp tuyến của (E) và song song với AB : x y c 0, suy ra C ( c y; y), thỏa mãn: 16y 1cy 3c 48 0 (1) Điều kiện tiếp xúc là phương trình (1) có nghiệm kép, hay: c 8 c 8 y y y 9 0 y 3 C ( ; 3 ) 5d( C,( AB)) 1 O C B 4 x c 8 y 6y 9 0 y 3 C ( ; 3 ) 5d( C,( AB)) 4 Chọn: C ( ; 3 )

24 Phần 3 CÁC BÀI TẬP THA KHẢO Trong Phần, mỗi bài toán đều đã có định dạng cụ thể Từ đó, muốn có thêm bài tập tương tự để luyện tập bạn đọc chỉ cần thây đổi số liệu hoặc bằng các giả thiết tương đương Sau đây chỉ là một vài bài tập khác dạng, số thứ tự được đánh tiếp liên tục Bài : A(3; 4), B(1; ) và C(5; 0) TìmViết phương trình đường thẳng đi qua A sao cho T d ( B, ) d( C, ) 3) lớn nhất 4) nhỏ nhất Bài 3: cho đường tròn (C): ( x ) ( y 3) 4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), cắt các tia Ox và Oy tại A và B tương ứng, sao cho (C) nằm trong tam giác AOB đồng thời diện tích S của AOB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 4: cho ( ) : x E y 1 Điểm và N tương ứng chuyển động trên tia 16 9 Ox và tia Oy sao cho đường thẳng N tiếp xúc với (E) Tìm N sao cho độ dài N nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó Bài 5: cho một điểm P, hai đường thẳng cắt nhau d 1 và d Đường thẳng thay đổi qua P cắt hai cạnh của góc nhọn tạo bởi d 1, d tương ứng tại A, B Viết phương trình của sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất ========================== Hết ========================== 4

25 KẾT LUẬN Tài liệu này được là một phần được trích ra từ tài liệu tổng hợp của chính tác giả Nó chỉ bao gồm một "ột số bài toán cực trị của hình học tọa độ trong mặt phẳng" Tác giả chân thành cảm ơn và mong nhận được ý kiến đóng góp của mọi người Thanh Hóa, ngày 1 tháng 5 năm 014 TÁC GIẢ Ngô Xuân Ái Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 5