ÄÑØ ÓÒØÒÙØ ÄÝ ÖÒÓØ ¾ ÒÚÖ ¾¼½½ ½ ½º½ ÄÑØ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ½º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ Ù ØÝÔ [a;+ [º Ä ÓÒØÓÒ f ÑØ ÔÓÙÖ ÐÑØ + ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ + M R A R x A f(x) M º ÇÒ ÒÓØ ÐÓÖ f(x) = + º ÊÑÖÕÙ ½º ÇÒ ÒØ ÑÑ ÙÒ ÐÑØ Ð ÓÙ ÐÑØ ÒÒ ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ º ÈÖ ÜÑÔÐ f(x) = + M R A R x A f(x) M º x ÒØÓÒ ¾º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ Ù ØÝÔ [a;+ [ Ø l Rº Ä ÓÒØÓÒ f ÑØ ÔÓÙÖ ÐÑØ l ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ + ε > 0 M R x M f(x) l εº ÇÒ ÒÓØ ÐÓÖ f(x) = lº ÊÑÖÕÙ ¾º ØØ ÒØÓÒ Ø ØÖ ÑÐÖ ÐÐ Ð ÐÑØ ³ÙÒ Ùغ ÑÑ f ÑØ ÔÓÙÖ ÐÑØ l ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ ε > 0 M R x M f(x) l εº ÒØÓÒ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ I a I Ø l R ÐÓÖ Ð ÓÒØÓÒ f ÑØ ÔÓÙÖ ÐÑØ l ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ a ε > 0 η > 0 x a η f(x) f(a) εº ÇÒ Ð ÒÓØ x a f(x) = lº ÊÑÖÕÙ º Ë ÓÒ Ý ÖÖ ÔÐÙ ÔÖ ØØ ÒØÓÒ Ò Ø ÕÙ ÖØÖÒ ÖÖ ÓÖÑÐÐÑÒØ Ð ÒÓØÓÒ ÒØÙØÚ ÐÑØ ÓÒ ÔÙØ ÖÔÔÖÓÖ ÙØÒØ ÕÙ ÔÓ Ð l ÕÙØØ ÖÔÔÖÓÖ Ù ÑÑÒØ aº ÜÑÔÐ ÈÖÓÙÚÓÒ Ð³ ØØ ÒØÓÒ ÕÙ x 1 x = 1º ËÓØ ε > 0 ÓÒ Ö ÙÒ ÚÐÙÖ η ØÐÐ ÕÙ x 1 η x 1 < εº ÇÖ x 1 = x 1 x + 1 Ø x [1 η;1 + η] ÓÒ x + 1 + η ÓÒ x 1 η( + η) 3η Ò ÔÖÒÒØ η 1 ÕÙ³ÓÒ ÔÙØ ØÓÙÓÙÖ ÙÔÔÓ Ö ÔÙ ÕÙ³ÓÒ Ò Ö ÕÙ³ÙÒ ÚÐÙÖ ÕÙ ÓÒØÓÒÒº ÁÐ ÙØ ÐÓÖ ÔÓ Ö η = ε 3 ÒØÓÒ ³ÙÒ ÐÑØ Òº ÔÓÙÖ Ø Ö Ð ÒØÓÒ º ÇÒ Ø ÕÙ f ÑØ l ÔÓÙÖ ÐÑØ Ù Ò a ε > 0 η > 0 x [a η;a[ f(x) l εº ÇÒ Ð ÒÓØ = lº ÑÑ ÓÒ ÔÙØ ÒÖ ÙÒ ÐÑØ ÖÓØ Ò a Ð lº x a f(x) ÜÑÔÐ Ä ÓÒØÓÒ ÔÖØ ÒØÖ ÑØ Ò ÕÙ ÒØÖ ÙÒ ÐÑØ Ù Ø ÙÒ ÐÑØ ÖÓØ ÖÒØ º ÈÖ ÜÑÔÐ Ent(x) = 1 Ø Ent(x) = º x x + ÒØÓÒ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ I\{a}º Ä ÓÒØÓÒ f ÑØ ÔÓÙÖ ÐÑØ + ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ a M R η > 0 0 < x a < η f(x) M º ÊÑÖÕÙ º Ä ÔÖ Ò Ð³ÒÐØ 0 < x a Ø Ò Ö ÔÙ ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ Ò Ð Ó ÐÐ ÖØ Ò Ò a Ò ÔÓÙÖÖØ Ý ÑØØÖ ÙÒ ÐÑØ ÒÒº ÇÒ ÒØ ÑÑ ÙÒ ÐÑØ Ð Ò a Ò ÒÒØ Ð Ò Ð ÖÒÖ ÒÐغ ÇÒ ÔÙØ ÔÖÓÐÓÒÖ Ð ÒÓØÓÒ ÐÑØ Ù Ø ÖÓØ Ù ÐÑØ ÒÒ º ½
½º¾ ÇÔÖØÓÒ Ø ÐÑØ Ä Ö ÙÐØØ ØÒØ ÜØÑÒØ Ð ÑÑ ÕÙ ÙÜ ÚÙ Ò Ð ÙØ º Ä Ø ÕÙ Ð ÐÑØ ÓØ ÔÖ Ò + Ò ÓÙ Ò a Ò Ò ÓÐÙÑÒØ ÖÒ ÙÜ ÓÒØÒÙ ØÐÙÜ ÕÙ ÒÓÙ Ò ÖÔÖÓÙÖÓÒ ÓÒ Ô º ÜÑÔÐ ÇÒ Ö Ð ÐÑØ f(x) = x + 3 x 1 x 1 = 0+ f(x) = + º x 1 x 1 ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ 1º ÓÑÑ x 1 x + 3 = 4 Ø ÊÑÖÕÙ º Ä Ò ØÒØ ÔÖØÙÐÖÑÒØ ÑÔÓÖØÒØ ÐÓÖ Ù ÐÙÐ ÒÖ ÐÑØ ÓÒ ÙÖ ÓÙÚÒØ ÓÒ ÖÓÙÖÖ ØÐÙÜ Ò ÔÓÙÖ ØÖÑÒÖ ÔÖ ÜÑÔÐ ÙÒ ÒÓÑÒØÙÖ ÔÓÙÖ ÐÑØ 0 + ÓÙ 0 º ½º ÆÐÐØ ÕÙÚÐÒ Ä ÒÓØÓÒ ÒÐÐØ Ø ³ÕÙÚÐÒ ÔÓÙÖ Ð ÓÒØÓÒ ÓÒØ ØÖ ÔÖÓ ÕÙ³ÓÒ ÔÙ ÚÓÖ ÙÖ Ð ÙØ º Ä ÖÒ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ Ð Ø Ò ÔÒ Ð ÔÖ Ö ÕÙÐ ÒÖÓØ Ð³ÕÙÚÐÒ ÓÙ Ð ÒÐÐØ Ø ÚÐк ÍÒ ÕÙÚÐÒØ ÚÐÐ ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ + Ò Ð³ Ø Ò ÒÖÐ Ô ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ 0º ÒØÓÒ º ËÓÒØ f Ø g ÙÜ ÓÒØÓÒ Ò Ø Ò ³ÒÒÙÐÒØ Ô Ù ÚÓ Ò a ÕÙ f(x) ÔÙØ ØÖ Ð + ÓÙ µ ÐÓÖ f Ø g ÓÒØ ÕÙÚÐÒØ Ò a = 1 Õ٠гÓÒ x a g(x) f(x) ÒÓØ f(x) g(x)º Ä ÓÒØÓÒ f Ø ÒÐÐ ÚÒØ Ð ÓÒØÓÒ g = 0 ÕÙ³ÓÒ ÒÓØ a x a g(x) f(x) = o(g(x))º a ÜÑÔÐ ÇÒ ÔÙØ ÖÒØÖÔÖØÖ Ð ÐÑØ Ð ÕÙ Ò ØÖÑ ³ÕÙÚÐÒØ Ø ÒÐÐØ ÒÓØÑÑÒØ ln(1 + x) 0 x Ø e x 1 0 xº Ä ÔÖÓÔÖØ Ø ÙØÐ ØÓÒ ØÙÐÐ ÕÙÚÐÒØ ÓÒØ Ð ÑÑ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙØ ÙÜ ÓÒØÓÒ ÕÙÚÐÒØ Ò a Ý ÓÒØ Ð ÑÑ ÓÑÔÓÖØÑÒØ Ø ÒÓØÑÑÒØ Ý ÑØØÒØ Ð ÑÑ ÐÑØ ÕÙÒ ÐÐ Ò ÓÒØ ÙÒµ ³Ó гÒØÖØ ÕÙÚÐÒØ ÔÓÙÖ Ð ÐÙÐ ÐÑØ Ø ÖÒ ÒÒ º ÇÒ ÔÙØ ÑÙÐØÔÐÖ Ú Ö ÒÚÖ Ö ÐÚÖ ÙÒ ÔÙ Ò ÕÙÐÓÒÕÙ Ñ ÓÒ ØÒص ÙÒ ÕÙÚÐÒغ ÇÒ Ò ÔÙØ ØÓÙÓÙÖ Ô ØÓÒÒÖ Ò ÓÑÔÓ Ö ÕÙÚÐÒØ Ò ÒÖк ½º ÝÑÔØÓØ ÈÖ ÒØÓÒ ÙÒ ÝÑÔØÓØ Ø ÙÒ ÖÓØ ÓÒØ Ð ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÖÔÔÖÓ Ð³ÒÒ ÚÒØÙÐÐÑÒØ Ò Ð ÓÙÔÒØ ÓÒØÖÖÑÒØ ÙÒ ÖÓÝÒ ØÖ ÖÔÒÙµº ÁÐ Ò Ü Ø ØÖÓ ØÝÔ ÙÜÕÙÐÐ ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÓÙØÖ Ð ÒÓØÓÒ ÖÒ ÒÒº ÒØÓÒ º Ä ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÑØ ÔÓÙÖ ÝÑÔØÓØ ÚÖØÐ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ x = a = ± ÓÙ x a f(x) = º x a +f(x) ÊÑÖÕÙ º Ð ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ f Ò³ Ø Ô Ò Ò a Ð ÔÐÙ ÖÕÙÒص ÓÙ Ý ÑØ ÙÒ ÓÒØÒÙØ ÚÓÐÒغ ÜÑÔÐ Ä ÓÙÖ Ð ÓÒØÓÒ f(x) = x 1 x ÑØ Ð ÙÜ ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ x = Ø 4 x = ÓÑÑ ÝÑÔØÓØ ÚÖØÐ º ÒØÓÒ º Ä ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÑØ ÔÓÙÖ ÝÑÔØÓØ ÓÖÞÓÒØÐ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ y = a f(x) = a ÓÙ f(x) = aº x ¾
ÜÑÔÐ Ä ÓÙÖ Ð ÓÒØÓÒ f(x) = x + 1 x 5 ÝÑÔØÓØ ÓÖÞÓÒØÐ Ò + Ø Ò º ÑØ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ y = 1 ÓÑÑ ÒØÓÒ º Ä ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÑØ ÓÑÑ ÝÑÔØÓØ ÓÐÕÙ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ y = ax+b Ú a 0µ (f(x) (ax+b)) = 0 ÓÙ (f(x) (ax+b)) = 0º x ÍÒ ÙØÖ ÓÒ ÚÓÖ Ð Ó Ø Ö ÕÙ f(x) = ax + b + ε(x) Ú x ± ε(x) = 0º ÜÑÔÐ Ä ÓÙÖ Ð ÓÒØÓÒ f(x) = x 1 ÔÓÙÖ ÝÑÔØÓØ ÓÐÕÙ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ x + y = x Ò + Ø Ò ÚÓÖ ÔÐÙ ÐÓÒ ÔÓÙÖ Ð ØÐ ³ÙÒ ÐÙÐ Ù ÑÑ ÒÖµº ½º ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ ÒØÓÒ ½¼º Ä ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÑØ Ò + ÙÒ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ ÖØÓÒ (Ox) f(x) = ± Ñ f(x) = 0 ÓÒ ÙÒ ÒØÓÒ ÑÐÖ Ò µº x ÜÑÔÐ Ä ÓÒØÓÒ x x ÓÙ x ln x ÑØØÒØ ÙÒ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ ÖØÓÒ (Ox)º ÒØÓÒ ½½º Ä ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÑØ Ò + ÙÒ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ ÖØÓÒ (Oy) f(x) = ± Ø f(x) = ± ÓÒ ÙÒ ÒØÓÒ ÑÐÖ Ò µº x ÜÑÔÐ Ä ÓÒØÓÒ x x ÑØ ÙÒ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ ÖØÓÒ (Oy) ³Ó Ð ÒÓÑ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ ³ÐÐÙÖ µ Ò ÕÙ Ð ÓÒØÓÒ x e x Ò + º ÒØÓÒ ½¾º Ä ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÑØ Ò + ÙÒ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ ÖØÓÒ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ y = ax a 0µ f(x) = ± Ø f(x) = a Ñ x (f(x) ax) = ± ÓÒ ÙÒ ÒØÓÒ ÑÐÖ Ò µº ÊÑÖÕÙ º ÓÑÑ Ò Ð ÙØÖ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ Ð Ò ÕÙ Ð ÓÙÖ ÙÒ ÖØÓÒ ÕÙ ÖÔÔÖÓ ÐÐ Ð ÖÓØ ÓÒ Ö Ñ ØÓÙØ Ò ³ÐÓÒÒØ ØÓÙØ ÖÓØ ÔÖÐÐÐ Ðй ÒÓÒ Ð Ý ÙÖØ ÙÒ ÝÑÔØÓØ ÓÐÕÙµº ÜÑÔÐ Ä ÓÒØÓÒ f(x) = x + ln x ÙÒ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ ÖØÓÒ Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ y = x Ò + º ÈÐÒ ³ØÙ ÖÒ ÒÒ ÉÙÒ ÓÒ Ö ØÙÖ Ð ÖÒ ÒÒ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒ ÔÖÓ Ò Ð³ÓÖÖ ÙÚÒØ ÇÒ ÐÙÐ Ð ÐÑØ f º Ë ÐÐ Ø Ò ÓÒ ÙÒ ÝÑÔØÓØ ÓÖÞÓÒØÐ ÐÐ Ø ÒÒ ÓÒ ÓÒØÒÙº f(x) ÇÒ ÐÙÐ Ð ÐÑØ º Ë ÐÐ Ø ÒÙÐÐ ÓÙ ÒÒ ÓÒ ÙÒ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ x ÖØÓÒ (Ox) ÓÙ (Oy)º Ë³Ð Ý ÙÒ ÐÑØ Ò ÒÓÒ ÒÙÐÐ a ÓÒ ÓÒØÒÙº ÇÒ ÐÙÐ Ð ÐÑØ f(x) axº ËÓØ ÐÐ Ø Ò Ð b Ø ÓÒ ÙÒ ÝÑÔØÓØ ÓÐÕÙ ³ÕÙØÓÒ y = ax+b ÓØ ÐÐ Ø ÒÒ Ø Ð Ý ÙÒ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ ÖØÓÒ y = axº ØÙ ÖÒ ÒÒ f(x) = x4 5x 3 + 4x + 7 x 3 x + x 1 ÓÑÑÒÓÒ ÔÖ ØÖÑÒÖ Ð ÓÑÒ ÒØÓÒ x 3 x + x 1 ÔÓÙÖ ÖÒ ÚÒØ x = 1 Ø ØÓÖ Ò (x 1)(x x + 1) ÚÓÙ Ô Ð ØÐ Ð ØÓÖ ØÓÒµº Ä ØÖÒÓÑ x x + 1 ÔÓÙÖ ÖÑÒÒØ = 3 Ð Ò ³ÒÒÙÐ ÓÒ Ñ Ð Ø ØÓÙÓÙÖ ÔÓ Øµº ÇÒ ÓÒ D f = R\{1}º
ÈÓÙÖ ØÖÑÒÖ Ð³Ü ØÒ ³ÙÒ ÚÒØÙÐÐ ÝÑÔØÓØ ÚÖØÐ ÒÙØÐ ØÙÖ Ø ÔÖ Ö Ð Ò x 3 x + x 1 = 0 Ø x 4 5x 3 + 4x + 7 = 8 ÓÒ f(x) = ± x 1 x 1 x 1 ÕÙ ÒÓÙ ÙØ ÓÒÒØÖ Ð³Ü ØÒ ³ÙÒ ÝÑÔØÓØ ÚÖØÐ ³ÕÙØÓÒ x = 1º ÔÐÙ f(x) = x Ð ÒØÓÒ ÕÙÚÐÒØ ÙØÐ ÔÓÙÖ Ò Ô ÙÖÖÖ Ð x3 f(x) ÐÙÐ Ø ÓÒÒ ÙÒ ÔÙ ÔÐÙ ÐÓÒ Ò Ð ÓÙÖ µ ÓÒ f(x) = ± º ÑÑ x ± x ± f(x) ÓÒ = º Ê Ø ÐÙÐÖ f(x) x = x4 5x 3 + 4x + 7 x 4 + 4x 3 4x + x x ± x x 3 x = + x 1 x 3 4x + 6x + 7 x 3 x ÕÙ ÔÓÙÖ ÐÑØ 1 Ò ± ÑÑ ÑØÓ Õٳٹ Ù µº ÓÒÐÙ ÓÒ Ð + x 1 ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ y = x 1 Ø ÝÑÔØÓØ ÓÐÕÙ Ð ÓÙÖ ÖÔÖ ÒØØÚ f Ò + Ø Ò º ± x 4 ÎÓ Ð³ÐÐÙÖ Ð ÓÙÖ 0 15 10 5 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 5 10 15 0 ØÙ ÖÒ ÒÒ g(x) = ex xln x x + 1 Ä ÒÓÑÒØÙÖ Ò ³ÒÒÙÐÒØ Ñ g Ø Ò ÙÖ R Ð ÙØ ØÓÙØ ÑÑ ÚÓÖ x > 0µº ÉÙÒ x ØÒ ÚÖ 0 ÒÙÑÖØÙÖ Ø ÒÓÑÒØÙÖ ÓÒÚÖÒØ ÚÖ 1 ÔÙ ÕÙ xln x = 0 ÓÒ x 0 Ð Ò³Ý Ô ³ ÝÑÔØÓØ ÚÖØк ÓÑÑ ÓÒ ÔÖ ÐÐÙÖ Ò ÙØÐ ÒØ ÖÓ Ò ÓÑÔÖ Ø ÕÙÚÐÒØ f(x) e x e x f (x) + x ÓÒ f(x) = + Ø x = = + º ÁÐ Ý ÓÒ Ò + ÙÒ ÖÒ ÔÖÓÐÕÙ x3 ÖØÓÒ (Oy)º Ò ³ Ø Ò Ö ÖÒØ Ð³ÜÔÓÒÒØÐÐ ØÒÒØ ÚÖ 0º ÇÒ ØØ Ó xln( x) f(x) x = ln( x) ÕÙ ØÒ ÚÖ 0 ÔÖ ÖÓ Ò ÓÑÔÖº ÁÐ Ý ÓÒ ÙÒ ÝÑÔØÓØ x ÓÖÞÓÒØÐ ³ÕÙØÓÒ y = 0 Ò º
ijÐÐÙÖ Ð ÓÙÖ 5 4 3 1 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 ½º ÈÖÓÔÖØ ÙÔÔÐÑÒØÖ ÓÑÑ Ò Ð ÙØ ÓÒ ÔÖÓÔÖØ ÒØÖ ÒØ ÔÖØÖ ÓÑÔÖ ÓÒ ÒØÖ ÓÒØÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½º ËÓØ I ÙÒ ÒØÖÚÐÐ f g Ø h ØÖÓ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ I f Ø g ÑØØÒØ ÔÓÙÖ ÐÑØ l Ø l Ò x 0 x 0 ØÒØ ÙÒ ÐÑÒØ I ÙÒ ÓÖÒ I ÓÙ ÙÒ Òµ ÐÓÖ x I f(x) g(x) l l º x I f(x) h(x) g(x) Ø l = l ÐÓÖ h ÑØ ÔÓÙÖ ÐÑØ l Ò x 0 ØÓÖÑ ÒÖÑ µº Ö ÙÐØØ Ö ØÒØ ÚÐÐ Ú ÐÑØ ÒÒ º ÜÑÔÐ ÇÒ Ö Ð ÐÑØ Ò + f(x) = Ent(x) + 5 º ÈÖØÓÒ Ù Ø ÕÙ x R Ent(x) x Ent(x) x + 1º ÇÒ ÓÒ x + 5 Ent(x) + 5 x + 7 Ø x Ent(x) x 1 1 ÓÒ x > Ò ØÓÙØ Ø ÔÓ Øµ x 1 1 Ent(x) 1 Ø Ò ÒØ Ð ÔÖÓÙØ x ÒÐØ ØÓÙØ Ø ÔÓ Ø x > x + 5 Ent(x) + 5 µ ÓÒ x 1 ØÖÑ ÒÖÒØ Ð ÓÒØÓÒ ÝÒØ ÔÓÙÖ ÐÑØ ÓÒ Ent(x) f(x) = º x + 7 º ÙÒ ÙÜ x ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾º ËÓÒØ f Ø g ÙÜ ÓÒØÓÒ ØÐÐ ÕÙ f(x) = b Ø g(x) = l ÐÓÖ g f(x) = x a x b x a l Ö ÙÐØØ ÐÑÒØ ÚÐÐ Ú ÐÑØ ÒÒ µº ¾ ÓÒØÒÙØ ¾º½ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ½ º ÍÒ ÓÒØÓÒ f Ò ÙÖ I Ø ÓÒØÒÙ Ò a I x a f(x) = f(a)º ÒØÓÒ ½º Ä ÓÒØÓÒ f Ø ÓÒØÒÙ Ù Ò a = f(a) Ø ÓÒØÒÙ x a f(x) ÖÓØ Ò a = f(a)º ÐÐ Ø ÓÒØÒÙ Ò a Ø ÙÐÑÒØ ÐÐ Ø ÓÒØÒÙ Ù +f(x) x a Ø ÖÓØ Ò aº ÜÑÔÐ ÇÒ Ent(x) = 1 Ø Ent(x) = º Ä ÓÒØÓÒ ÔÖØ ÒØÖ Ò³ Ø ÓÒ Ô x x + ÓÒØÒÙ Ò ÐÐ Ò³Ý Ø ÓÒØÒÙ ÕÙ³ ÖÓغ
ÒØÓÒ ½º ÍÒ ÓÒØÓÒ f Ø ÓÒØÒÙ ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ I ÐÐ Ø ÓÒØÒÙ Ò ØÓÙØ ÔÓÒØ Iº ÌÓÖÑ ½º Ä ÓÒØÓÒ Ù ÙÐÐ ÙÚÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÓÖØÑ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÔÙ Ò ÚÐÙÖ ÓÐÙ ÓÒØ ÓÒØÒÙ ÙÖ ÐÙÖ Ò ÑÐ ÒØÓÒº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º ËÓÒØ f Ø g ÙÜ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ Ò a ÐÓÖ Ð ÓÒØÓÒ f +g Ø fg ÓÒØ Ù ÓÒØÒÙ Ò aº Ë ÔÐÙ g(a) 1 f 0 g Ø ÓÒØ ÓÒØÒÙ Ò aº g ÑÓÒ ØÖØÓÒº ³ Ø ÙÒ ÓÒ ÕÙÒ ÑÑØ ÔÖÓÔÖØ ³ÓÔÖØÓÒ ÙÖ Ð ÐÑØ º ÑÑ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓÔÖØ ÕÙ ÙØ ÕÙ ÓÙÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÐÑØ º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ Ò a Ø g ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ Ò f(a) ÐÓÖ g f Ø ÓÒØÒÙ Ò aº ÊÑÖÕÙ º Ö ÙÐØØ Ö ØÒØ Ò ÒØÒÙ ÚÖ ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐк ÇÒ Ö ÓÙÚÒØ Ò ÔÐÙ ØÐ ÕÙ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓØÒÙ ÔÖ ÓÔÖØÓÒ ÔÖØÖ ÓÒØÓÒ Ù ÙÐÐ Ø ÓÒØÒÙ ÙÖ ÓÒ Ò ÑÐ ÒØÓÒ ÔÖ ØÓÖÑ ÒÖÙÜ º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ I\{a} ÑØØÒØ ÙÒ ÐÑØ Ò l ÕÙÒ x ØÒ ÚÖ a ÐÓÖ ÓÒ ÔÙØ ÔÖÓÐÓÒÖ f ÑÒÖ ÙÒÕÙ Ò ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÙÖ I Ò ÔÓ ÒØ f(a) = l ÓÒ Ö ØÙÐÐÑÒØ Ð ÑÑ ÒÓØØÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÓÒØÓÒ ÔÖÓÐÓÒµº ÇÒ ÔÖÐ ÔÖÓÐÓÒÑÒØ ÔÖ ÓÒØÒÙØ f Ò aº ÜÑÔÐ Ä ÓÒØÓÒ f : x xln x Ø Ò ÙÖ R + Ñ ÔÖÓÐÓÒÐ ÔÖ ÓÒØÒÙØ R + Ò ÔÓ ÒØ f(0) = 0º ¾º¾ ÌÓÖÑ ÚÐÙÖ ÒØÖÑÖ Ø ÔÔÐØÓÒ ÌÓÖÑ ¾º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÙÖ ÙÒ ÑÒØ [a;b] Ø c ÓÑÔÖ ÒØÖ f(a) Ø f(b) ÐÓÖ Ð Ü Ø x [a;b] ØÐ ÕÙÐ f(x) = cº ÓÖÓÐÐÖ ½º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÙÖ ÙÒ ÑÒØ [a;b] ÐÓÖ f([a;b]) Ø ÙÒ ÑÒغ Ò ÒÓØÒØ m = minf(x) Ð ÔÐÙ ÔØØ ÚÐÙÖ ÔÖ ÔÖ f ÙÖ [a;b] Ø M = maxf(x) Ð ÔÐÙ ÖÒ ÚÐÙÖ [a;b] [a;b] ÔÖ ÔÖ f ÙÖ [a;b] ÓÒ ÓÒ f([a;b]) = [m;m]º ÊÑÖÕÙ º ØØÒØÓÒ Ð³ÝÔÓØ ÓÒØÒÙØ Ø Ò ÔÒ Ð ÔÖ ÜÑÔÐ Ent([0;5]) = {0;1;;3;4;5} ÙÐ Ð ÚÐÙÖ ÒØÖ ÓÒØ ÔÖ ÔÖ Ð ÓÒØÓÒµ Ø Ð Ø ÕÙ³ÓÒ ÓØ ÙÖ ÙÒ ÑÒØ ÐÑÒغ Ä ÓÒØÓÒ ÒÚÖ Ù ØÖ ÓÒØÒÙ ÙÖ R + ÐÐ Ò³Ý Ò ÑÜÑÙÑ Ò ÑÒÑÙѺ ÔÐÙ Ð ÙØ ÑÖ Ù Ø ÕÙ³Ò ÒÖÐ f([a;b]) [f(a),f(b)]º ÈÖ ÜÑÔÐ f Ø Ð ÓÒØÓÒ ÖÖ f([ ;3]) = [0;9]º ÑÓÒ ØÖØÓÒº ÇÒ Ò Ö Ô ØØ ÑÓÒ ØÖØÓÒ ÙÒ ÔÙ ØÒÕÙ ÕÙ ÙØÐ ³ÐÐÙÖ ÙÒ ÔÙ ÔÐÙ ÕÙ Ð ÑÔÐ ØÓÖÑ ÚÐÙÖ ÒØÖÑÖ º ÓÖÓÐÐÖ ¾º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ I ÐÓÖ f(i) Ø ÙÒ ÒØÖÚÐк ÊÑÖÕÙ ½¼º Ä ÒØÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ Ñ Ò³ Ø Ô ØÓÙÓÙÖ Ð ÑÑ ÕÙ ÐРгÒØÖÚÐÐ ÔÖغ Ò f Ø Ð ÓÒØÓÒ ÖÖ f(] ;3[) = [0;9[º ÅØÓ ÓØÓÑ
ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÙÖ ÙÒ ÑÒØ [a;b] ØÐÐ ÕÙ f(a)f(b) < 0 ÙØÖÑÒØ Ø f(a) Ø f(b) ÓÒØ Ò ÓÔÔÓ µº ÇÒ ÓÒ ØÖÙØ ÙÜ ÙØ ( ÖÙÖÖÒØ ) (a n ) Ø (b n ) Ò ÔÓ ÒØ an + b n a 0 = a Ø b 0 = b ÔÙ Ò ÔÖÓÒØ Ò n N f(a n )f < 0 ÓÒ ÔÓ a n+1 = a n Ø b n+1 = a n + b n Ò Ð ÓÒØÖÖ ÓÒ ÔÓ a n+1 = a n + b n Ø b n+1 = b n º Ä ÙÜ ÙØ (a n ) Ø (b n ) ÓÒØ ÐÓÖ ÒØ Ø ÐÐ ÓÒÚÖÒØ ÚÖ ÙÒ ÐÑØ ÓÑÑÙÒ α ÚÖÒØ f(α) = 0º ÔÐÙ ÓÒ n N b n a n = b a n ÕÙ ÑÓÖ Ð³ÖÖÙÖ ÓÑÑ Ò ÔÔÖÓÒØ α ÔÖ a n ÓÙ b n º ÑÓÒ ØÖØÓÒº ÓÑÑÒÓÒ ÔÖ ÔÖÓÙÚÖ ÔÖ ÖÙÖÖÒ Ð ÔÖÓÔÖØ P n a n b n Ø b n a n = b a n º ÈÓÙÖ n = 0 ÓÒ a 0 = a b 0 = b Ø b 0 a 0 = b a ÓÒ P 0 Ø ÚÖº ËÙÔÔÓ ÓÒ P n ÚÖ ÓÒ ÐÓÖ ÙÜ ÔÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÒØÓÒ a n+1 Ø b n+1 º Ò Ð ÔÖÑÖ ÓÒ b n+1 a n+1 = a n + b n a n = b n a n = 1 b a n ÔÖ ÝÔÓØ ÖÙÖÖÒ ÓÒ b n+1 a n+1 = b a n+1 º ÓÑÑ a b ÓÒ ÔÖÓÙÚ ÔÖ Ð ÑÑ Ó ÓÒ ÕÙ a n+1 b n+1 º Ò Ð ÙÜÑ b n+1 a n+1 = b n a n + b n = b n a n Ø ÓÒ ÓÒÐÙØ Ð ÑÑ ÓÒº Ä ÔÖÓÔÖØ Ø ÓÒ ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ ÔÖ ÔÖÒÔ ÖÙÖÖÒº Ä ÙØ b n a n ØÒØ ÓÑØÖÕÙ Ö ÓÒ 1 ÐÐ ÓÒÚÖ ÚÖ 0º ÔÐÙ (a n) Ø ÙÒ ÙØ ÖÓ ÒØ Ò Ø ÓØ a n+1 = a n ÓØ a n+1 a n = a n + b n ÖÓ ÒØ ÓØ b n+1 = b n ÓØ b n+1 b n = a n + b n ÙØ ÓÒØ ÒØ Ø ÓÒÚÖÒØ ÚÖ ÙÒ ÑÑ ÐÑØ αº a n = b n a n 0µ Ø (b n ) Ø b n = a n b n 0µº ÒÐÑÒØ Ð ÙÜ Ê Ø ÔÖÓÙÚÖ ÕÙ f(α) = 0 ÕÙ ÒÓÙ Ò ÖÓÒ Ô ÓÑÔÐØÑÒØ ÓÒ ÔÖÓÙÚ ÕÙ n N f(a n ) Ø Ù Ò f(a) Ð ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ø Ø ÔÓÙÖ Ðµ Ø f(b n ) Ù Ò f(b) ÙÒ ÔØØ ÖÙÖÖÒ ÙÔÔÐÑÒØÖ ÔÓÙÖ ÔÖÓÔÖØ µ ÓÒ f(a n ) Ø f(b n ) ÓÒØ ØÓÙÓÙÖ Ò ÓÒØÖÖº ÇÖ ÙÜ ÙØ ÓÒÚÖÒØ ÚÖ f(α) Ö f Ø ÓÒØÒÙº Ä ÖÐ f(α) ÓØ ÓÒ ØÖ Ð Ó ÔÓ Ø Ø ÒØ Ð Ø Ò ÖÑÒØ ÒÙк ÜÑÔÐ ³ÙØÐ ØÓÒ ÇÒ Ö ØÙÖ Ð ÚÖØÓÒ Ð ÓÒØÓÒ f(x) = x 4 +4x +4x 5º ØØ ÓÒØÓÒ Ø ÓÒØÒÙ Ø ÖÚÐ ÙÖ R ÖÚ f (x) = 4x 3 + 8x + 4x = 4g(x) Ú g(x) = x 3 + x + 1º ØØ ÓÒØÓÒ g Ø ÐйÑÑ ÖÚÐ Ø g (x) = 3x + > 0º Ä ÓÒØÓÒ g Ø ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ ÐÐ ³ÒÒÙÐ Ò ÙÒ ÙÒÕÙ ÖÐ α Ø f Ø ÓÒ ÖÓ ÒØ ÙÖ ] ;α] Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ [α;+ [º ÇÒ ÑÖØ ØÖÑÒÖ ÙÒ ÚÐÙÖ ÔÔÖÓ αº ÝÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙÖ Ð ÓØÓÑ Ñ Ð ÙØ ÓÑÑÒÖ ÔÖ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÔÖÑÖ ÒÖÑÒØ αº ÇÒ ÓÒ ØØ ÕÙ g(0) = 1 Ø g( 1) = ÓÒ Ð ÖÒ g ØÖÓÙÚ Ò Ð³ÒØÖÚÐÐ [ 1;0]º ÇÒ ÐÙÐ Ò ÙØ g( 0.5) ÕÙ ØÖÓÙÚ ØÖ ÒØ ÓÒ α [ 0.5;0]º ÈÙ ÓÒ ÐÙÐ g(0.5) ÕÙ Ø ÔÓ Ø ÓÒ g(α) [ 0.5; 0.5]º ÇÒ Ø ÓÒ ÕÙ α 0.375 0.15 ÔÖ º ÇÒ ÙÖ ÒØÙÖÐÐÑÒØ ÖÓÙÖ Ð ÐÙÐØÖ Ó٠гÓÖÒØÙÖ ÔÓÙÖ ØÙÖ ÒÖ ³ÐÓÖØÑ ÓÒ ÔÐÙ ÔÓÙ º ÊÑÖÕÙÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ ÙÒ ÚÐÙÖ ÔÔÖÓ ε > 0 ÔÖ Ð ÙØ Ó Ö n ØÐ ÕÙ b a n < εº ¾º ÓÑÔÐÑÒØ ÙÖ Ð ØÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º ËÓØ f ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ Ø ØÖØÑÒØ ÑÓÒÓØÓÒ ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ Iº ÐÓÖ f Ø ØÚ I ÚÖ J = f(i) Ø ÖÔÖÓÕÙ g Ø ÓÒØÒÙ Ø ØÖØÑÒØ ÑÓÒÓØÓÒ ÑÑ ÑÓÒÓØÓÒ ÕÙ f µ ÙÖ Jº ÑÓÒ ØÖØÓÒº ËÙÔÔÓ ÓÒ f ÖÓ ÒØ Ð³ÙØÖ Ø ØÖ ÑÐÖµº ÇÒ Ø ÕÙ f(i) Ø ÙÒ ÒØÖÚÐÐ Ø ÔÐÙ f Ø ÒØÚ Ö ØÖØÑÒØ ÑÓÒÓØÓÒ ÓÒ ØÚ ÙÖ ÓÒ Ñº Ä
ÓÒØÓÒ g Ø ÓÒ Ò Ò ÙÖ Jº ÔÐÙ y Ø y ÓÒØ ÙÜ ÐÑÒØ J ØÐ ÕÙ y < y ÓÒ y = f(x) Ø y = f(x ) Ú x < x ÓÒ g(y) = x < x = g(y ) Ø g Ø ØÖØÑÒØ ÖÓ Òغ ÒÒ ÓØ y J x = g(y) Ø ε > 0 Ø ØÐ ÕÙ [x ε;x + ε] I ÒÓÒ Ð Ò³Ý Ô ÔÖÓÐѵº ÆÓØÓÒ y 1 = g(x ε) y = f(x+ε)º ÈÓ ÓÒ η = min(y y 1 ;y y)º ÇÒ ÐÓÖ [y η;y + η] [y 1 ;y ] ÓÒ ÔÖ ÖÓ Ò g g([y η;y + η]) [x ε;x + ε]º ÔÖÓÙÚ Ð ÓÒØÒÙØ g Ò yº ÜÑÔÐ ÓÒ ÖÓÒ Ð ÓÒØÓÒ Ò ÙÖ R + ÔÖ f(x) = ln x + 3x + ex º ØØ ÓÒØÓÒ Ø ÓÒØÒÙ Ø ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ ³ Ø ÙÒ ÓÑÑ ÓÒØÓÒ ÖÓ ÒØ µ ÓÒ ØÚ ÚÖ f(r +) = Rº Ë ÓÒØÓÒ ÖÔÖÓÕÙ g Ø ÓÒØÒÙ Ø ØÖØÑÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ R Ø ÚÖ g(x) = x 0+ Ø g(x) = + º ÔÔÐØÓÒ ÇÒ ÒØ Ð ÙØ (u n ) Ð ÓÒ ÙÚÒØ n 3 u n Ø Ð ÔÐÙ ÔØØ ÓÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ e x = nxº ØØ ÒØÓÒ Ø ÓÖÖØ Ö Ð ÓÒØÓÒ f n : x e x nx Ø ÓÒØÒÙ ÖÚÐ ÙÖ R + ÖÚ f n(x) = e x n ÓÒ ÑØ ÙÒ ÑÒÑÙÑ ÐÓÐ Ò lnn ÚÐÙÖ e ln n n lnn = n(1 lnn) < 0 ÔÓÙÖ n 3º ijÕÙØÓÒ ÑØ ÓÒ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ x n ln n Ø ÓÖÑÒØ ÙÒ ÙÜÑ ÓÐÙØÓÒ ÙÔÖÙÖ ln nµº ÈÓÙÖ ÔÖÓÙÚÖ ÔÖ ÜÑÔÐ ÕÙ n 3 u n > 0 ÓÒ ÓÒ ØØ ÕÙ f n (0) = e 0 n 0 = 1 > 0º ÇÖ ÔÖ ÒØÓÒ f n (u n ) = 0 < f n (0)º Ò ÙØÐ ÒØ Ð ØÓÖÑ Ð ØÓÒ Ø Ò Ø Ð ÔÖØ Ð ÓÒÐÙ ÓÒ ÕÙ ØÔÙÐ ÕÙ f 1 ÕÙ Ø Ò ÙÖ [n(1 ln n);+ [ ÚÐÙÖ Ò ] ;ln n] Ø n ÑÑ ÑÓÒÓØÓÒ ÕÙ f n µ ÓÒ ÔÙØ Ò ÙÖ ÕÙ u n > 0º ÇÒ ÔÙØ ÔÖÓÙÚÖ ÑÑ ÕÙ Ð ÙØ (u n ) Ø ÖÓ ÒØ f n+1 (u n ) = e un (n + 1)u n = e un nu n u n = nu n < 0 ÓÒ ÙØÐ Ð Ø ÕÙ f n (u n ) = 0 Ø ÕÙ u n > 0µº ÇÒ ÓÒ f n+1 (u n ) < f n+1 (u n+1 ) ³Ó u n > u n+1 ³ Ø ÒÓÖ Ð ÖÓ Ò Ð ÖÔÖÓÕÙ ÕÙ Ø ÙØÐ µº Ä ÙØ ØÒØ ÖÓ ÒØ ÑÒÓÖ ÐÐ ÓÒÚÖ ÚÖ ÙÒ ÖØÒ ÖÐ lº ÈÓÙÖ ØÖÑÒÖ Ð ÚÐÙÖ l Ð ÙØ ÖÚÒÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÔÖÑØØÒØ ÒÖ Ð ÙØ ÔÙ ÕÙ u n = l ÓÒ ÙÖ n + n + eun = e l º ÇÖ ÔÖ ÒØÓÒ e un = nu n ÓÒ nu n = e l º Ò³ Ø ÔÓ Ð ÕÙ l = 0 n + ÒÓÒ nu n ØÒÖØ ÚÖ + µ Ø ÓÒ Ò ÙØ Ù Ô ÕÙ nu n = 1 ³ ع¹Ö ÕÙ n + u n 1 n º