Phầ : Giải tích Fourier Chươg : Chuỗi Fourier Chươg : ích phâ Fourier và biế đổi Fourier Bài giảg oá Kỹ huật 04
Chươg Chuỗi Fourier. Hàm tuầ hoà. Chuỗi Fourier của hàm tuầ hoà.3 Các côg thức khác để tíh các hệ số Fourier.4 Khai triể bá kỳ.5 Các dạg khác của chuỗi Fourier.6 Ứg dụg của chuỗi Fourier Bài giảg oá Kỹ huật 04
. Hàm tuầ hoà Địh ghĩa. hàm f(t) gọi là tuầ hoà ếu và chỉ ếu tồ tại số dươg sao cho f(t+) = f(t) với mọi t trog miề xác địh của f(t) gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bà ) Phâ loại: f(t) tuầ hoà si f(t) tuầ hoà khôg si Bài giảg oá Kỹ huật 04 3
Ví dụ Bài giảg oá Kỹ huật 04 4
. Chuỗi Fourier của hàm tuầ hoà Chuỗi Fourier của haøm tuaà hoaø f(t) chu kyø laø : a f t a t b t + 0 ( ) = + ( = cos ω0 + si ω0 ) Vôùi : =, ω 0 = π/ = taà soá cô baû a 0, a, b = caùc heä soá khai trieå chuỗi Fourier. Bài giảg oá Kỹ huật 04 5
Caùc heä soá khai trieå Fourier Giaù trò caùc tích phaâ xaùc ñòh 0 0 cos( mω t) = si( ω t) dt = 0 m, cos( mω t)si( ω t) dt = 0 m, 0 0 0 = 0 = mω0t ω0t dt cos( )cos( ) mω0t ω0t dt si( )si( ) Bài giảg oá Kỹ huật 04 6 m m m m = =
Caùc heä soá khai trieå Fourier a f t a t b t + 0 ( ) = + ( = cos ω0 + si ω0 ) cos( mω t) = si( ω t) dt = 0 m, 0 0 a 0 = f () t dt Bài giảg oá Kỹ huật 04 7
Caùc heä soá khai trieå Fourier a f t a t b t + 0 ( ) = + ( = cos ω0 + si ω0 ) cos( mω t)si( ω t) dt = 0 m, 0 0 cos( ω )cos( ω ) 0 = m 0t 0t dt a = f ( t)cos( ω t) dt 0 Bài giảg oá Kỹ huật 04 8 m m =
Caùc heä soá khai trieå Fourier a f t a t b t + 0 ( ) = + ( = cos ω0 + si ω0 ) cos( mω t)si( ω t) dt = 0 m, 0 0 si( )si( ) mω0t ω0t dt = b = f ( t)si( ω t) dt 0 Bài giảg oá Kỹ huật 04 9 0 m m =
Điều kiệ tồ tại Địh lý.: (Địh lý Dirichlet) Nếu hàm f tuầ hoà chu kỳ và thỏa điều kiệ Dirichlet trê một khoảg I hì chuỗi Fourier của f hội tụ về : ếu f liê tục tại t. f() t + f( tk ) + f( tk ) ếu f giá đoạ tại t. Bài giảg oá Kỹ huật 04 0
Ví dụ tìm chuỗi Fourier a) Xác địh chuổi Fourier? b) Kiểm lại dùg MALAB? Chu kỳ và tầ số cơ bả: Các hệ số chuổi Fourier: a 0 =, Giải 3 4π πt 3 4π πt f( t) = + si cos + cos si = π 3 3 π 3 3 Bài giảg oá Kỹ huật 04
Ví dụ tìm chuỗi Fourier pi = 3.459; N = 00; = 3; a0 = ; w0 = *pi/; t = lispace(0,*,600); for =:N a()= (3/(*pi))*si(4**pi/3); b()= (3/(*pi))*( - cos(4**pi/3)); ed for i=:legth(t) f(i) = a0; for =:legth(a) f(i) = f(i) + a()*cos(*w0*t(i)) + b()*si(*w0*t(i)); ed ed plot(t,f,'black'); xlabel('t(s)'); ylabel('f(t)'); Bài giảg oá Kỹ huật 04
Ví dụ tìm chuỗi Fourier ìm chuỗi Fourier của các hàm sau 0 π t 0 a) f() t = ; = π si t 0 t π b f t = t t = ) () 4 ; 4 Kết quả a) f() t + si t cos t = + π π = 4 + + 8 6 ( ) π t b) f( t) = + cos 3 π = Bài giảg oá Kỹ huật 04 3
.3 Các côg thức khác để tíh các hệ số Fourier Bước hảy của một hàm: f(t) f(a+) a t f(t -) f(t +) Địh ghĩa : f(t -) f(t +) Bước hảy của một hàm f tại t k là: J k = f(t k+ ) f(t k- ) Nếu f(t) giá đoạ tại t k thì J k 0 Nếu f(t) liê tục tại t k thì J k = 0 t f(b-) Bài giảg oá Kỹ huật 04 4 b t
Hai côg thức lặp để tíh các hệ số Fourier Địh lý.: Nếu f là hàm tuầ hoà chu kỳ, thỏa điều kiệ Dirichlet và có m bước hảy J, J,, J m tại m điểm giá đoạ t < t < < t m trog một khoảg chu kỳ ửa hở [a, a + ) thì: ( =,, ) a b J si( t ) m ' = k ω0 k ω0 π k = ( b = hệ số chuỗi Fourier của hàm f ) Bài giảg oá Kỹ huật 04 5
Hai côg thức lặp để tíh các hệ số Fourier Địh lý.3: Nếu f là hàm tuầ hoà chu kỳ, thỏa điều kiệ Dirichlet và có m bước hảy J, J,, J m tại m điểm giá đoạ t < t < < t m trog một khoảg chu kỳ ửa hở [a, a + ) thì: ( =,, ) b a J cos( t ) m = ' k ω0 k ω + 0 π k = ( a = hệ số chuỗi Fourier của hàm f ) Bài giảg oá Kỹ huật 04 6
Ví dụ tìm khai triể Fourier dùg côg thức lặp Xác địh các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuầ hoà mà địh ghĩa trog chu kỳ là f() t < t < 0 < t < 0 = 0< t < 0 < t < f(t) - - 0 - t Bài giảg oá Kỹ huật 04 7
Ví dụ tìm khai triể Fourier dùg côg thức lặp f(t) f'(t) - - 0 - t - - 0 t Bảg các điểm giá đoạ t k và bước hảy J k k 3 4 t k - - 0 J k - - f (t) = 0 a =b =0 Bài giảg oá Kỹ huật 04 8
Ví dụ tìm khai triể Fourier dùg côg thức lặp a b J si( t ) m ' = k ω0 k ω0 π k = b a J cos( t ) a b m ' = + k ω0 k ω0 π k = k 3 4 t k - - 0 J k - - ' π( ) π( ) π(0) π() = b ( ) si () si () si ( ) si π π + + + ' π( ) π( ) π(0) π () = a + ( ) cos + () cos + () cos + ( ) cos π π Bài giảg oá Kỹ huật 04 9
Ví dụ tìm khai triể Fourier dùg côg thức lặp π a = si π ( = k+ ) b = π ( = k+ ) Đối với a 0 ta tíh trực tiếp a0 = ( ) dt + () dt = 0 0 Chuỗi Fourier của f(t) là : + π πt πt f( t) = si cos si π = + = k+ Bài giảg oá Kỹ huật 04 0
Ví dụ tìm khai triể Fourier dùg côg thức lặp Xác địh các hệ số chuỗi Fourier dùg côg thức lặp? 0 f(t) 0 π π Giải Xác địh f (t), t k và J k : f (t) 0 f(t) t k t = π t = 0 J k 0 0 0 π π 0 π π t t Bài giảg oá Kỹ huật 04
Ví dụ tìm khai triể Fourier dùg côg thức lặp Xác địh các hệ số chuỗi Fourier dùg côg thức lặp? 0 f(t) Giải a0 Xác địh các hệ số chuỗi Fourier: 0 0 π π = f () t dt = 5 a = [0.si(0) 0si( π )] = 0 π = π = 0 (:odd) π π b [0.cos(0) 0cos( )] Bài giảg oá Kỹ huật 04
Ví dụ tìm chuỗi Fourier Sóg vuôg f (t) hàm lẻ -/ A f -A / + 4A f ( t) = si( ω t) 0 = π = k+ / ( ) / 4A cos( ω0t) si( ω0 ) ω 0 0 0 4 b = A t dt = A( cos( π ) + ) 4A = = π π = k + Bài giảg oá Kỹ huật 04 3
Ví dụ tìm chuỗi Fourier Sóg tam giác f (t) hàm lẻ -/ A -/4 f /4 / -A 8A f ( t) si( )si( ω t) + π = 0 = π = k+ Bài giảg oá Kỹ huật 04 4
Ví dụ tìm chuỗi Fourier Sóg răg cưa A f 3 f 3 (t) hàm lẻ -/ / -A + A f ( t) = cos( π)si( ω t) 3 0 = π Bài giảg oá Kỹ huật 04 5
Ví dụ tìm chuỗi Fourier Chỉh lưu bá kỳ f 4 f() t 0 t 0 = Asiωt 0 t -/ A / + A A A f ( t) = + si( ω t) + cos( ω t) 4 0 0 π = ( = k) Bài giảg oá Kỹ huật 04 6
Ví dụ tìm chuỗi Fourier Chỉh lưu toà kỳ f( t) = Asiωt A f 5 - ầ số cơ bả ω 0 =? Bài giảg oá Kỹ huật 04 7
Các chuỗi Fourier thôg dụg -/ A f -A / + 4A f ( t) = si( ω t) 0 = π = k+ f t 4A π t si(3 ω t) si(5 ω t) 3 5 0 0 ( ) = si( ω0 ) + + +... -/ A -/4 f /4 -A / 8A f ( t) si( )si( ω t) + π = 0 = π 8A si(3 ω0t) si(5 ω0t) f( t) = si( ω0t) +... π 3 5 A f 3 + A f ( t) = cos( π)si( ω t) 3 0 = π -/ -A / f t A si( ω t) si(3 ω t) t π 3 8 0 0 3( ) = si( ω0 ) +...
ổ hợp các khai triể cơ bả -3-4 3 - - f 6 3 5 t [s] A f A f -/ -/4 /4 / -/ / -A -A Bài giảg oá Kỹ huật 04 9
Khai triể chẵ lẻ f(t) A - -/ / -A a a b 0 0c = a = a = b c l f() t + f( t) fc() t = a0c; a f() t f( t) fl() t = bl c Bài giảg oá Kỹ huật 04 30
Khai triể chẵ lẻ f(t) f(-t) A A -/ / -/ / -A -A f() t + f( t) f() t f( t) fc() t = fl() t = f c (t) A/ f l (t) A/ -/ / -/ / -A/ -A/ 3