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Ü ÑÔÐ ½ ÇÒ Ð Ò ÙÒ ÕÙ Ð Ö Ü ÒÙÑ ÖÓØ 1 6º ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ú Ò Ñ ÒØ Ù Ú ÒØ A Ð Ö ÙÐØ Ø Ø Ô Ö B Ð Ö ÙÐØ Ø Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ º ÇÒ P A ({2}) = {2} = 1/6 1/2 = 1 Ö A {2} = {2}º P A ({}) = 0 1/2 Ö {} A = Ø P A(B) = P(A B) = 1/6 /6 = 1 º ¾º ÈÖÓÔÖ Ø ÈÖÓÔÖ Ø ½ ËÓ Ø A Ø B ÙÜ Ú Ò Ñ ÒØ Ω Ø Ð ÕÙ 0 Ø P(B) 0º ÇÒ P(A B) = P A (B) = P B (A) P(B)º P A (B) = P(A B) Ø P B (A) = P(B A) º P(B) ÈÖÓÔÖ Ø ¾ ËÓ Ø A B Ø C ØÖÓ Ú Ò Ñ ÒØ Ω Ú 0º ½µ Ë A Ø B ÓÒØ ÒÓÑÔ Ø Ð ÐÓÖ P A (B) = 0º ¾µ P A (A) = 1º µ Ë C B ÐÓÖ P A (C) P A (B)º µ P A (B C) = P A (B)+P A (C) P A (B C)º µ P A (B)+P A (B) = 1º ½µ A Ø B ÓÒØ ÒÓÑÔ Ø Ð ÐÓÖ ÕÙ A B = º Ò P(A B) = 0 Ø P A (B) = 0º ¾µ µ Ø µ Ö ÙÐØ ÒØ Ù Ø ÕÙ P A Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø º Ü ÑÔÐ ¾ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÙÖÒ ÓÒØ Ò ÒØ 4 ÓÙÐ Ð Ù Ø ÓÙÐ ÒÓ Ö Ò ÖÒ Ð Ù ØÓÙ Öº ÇÒ ØÙ ÙÜ Ø Ö Ù ³ÙÒ ÓÙÐ Ò Ö Ñ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ú Ò Ñ ÒØ Ù Ú ÒØ A Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÙÐ Ø Ö Ø Ð Ù B Ð ÙÜ Ñ ÓÙÐ Ø Ö Ø ÒÓ Ö º ÐÙÐ Ö P A (B) ÔÙ P(A B)º ËÓÐÙØ ÓÒ ÇÒ Ø Ò ÙÒ ØÙ Ø ÓÒ ³ ÕÙ ÔÖÓ Ð Ø ÓÒ = 4 9 º Ë A Ø Ö Ð ÐÓÖ Ð Ö Ø ÓÙÐ Ð Ù Ø ÒÓ Ö Ò Ð³ÙÖÒ ³ ع¹ Ö ÓÙÐ ÒÓ Ö ÙÖ 8 ÓÙÐ º ÓÒ P A (B) = 8 º ÇÒ Ò Ù Ø P(A B) = P A (B) = 4 9 8 = 18 º
º ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð Ò Ø ÓÒ ¾ ÇÒ Ø ÕÙ k Ú Ò Ñ ÒØ A 1, A 2...,A k Ú k 2µ ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ð³ÙÒ Ú Ö Ω ÐÓÖ ÕÙ Ð ØÖÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒØ Ú Ö ½µ ÔÓÙÖ ØÓÙØ i {1;2;...;k} A i ¾µ A 1 A 2... A k = Ω µ ÔÓÙÖ ØÓÙØ i,j {1;2;...;k} Ú i j A i A j = Ð Ú Ò Ñ ÒØ A i Ø A j ÓÒØ ÒÓÑÔ Ø Ð µº Ω A 1 A 2 A k A Ê Ñ ÖÕÙ ½µ Ë A Ω Ø A ÐÓÖ A Ø A ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ωº ¾µ Ë A 1, A 2,...,A k ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ω ÐÓÖ P(A 1 )+P(A 2 )+...+P(A k ) = 1º Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð ËÓ Ø A 1, A 2,...,A k k Ú Ò Ñ ÒØ ÔÖÓ Ð Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ωº ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ú Ò Ñ ÒØ B Ω ÓÒ P(B) = P(A 1 B)+P(A 2 B)+...+P(A k B) = P A1 (B) P(A 1 )+P A2 (B) P(A 2 )+...+P Ak (B) P(A k ) Ω A 1 A 2 A A k ÇÒ B = (A 1 B) (A 2 B)+...+(A k B)º ÇÖ ÔÓÙÖ i,j {1;2;...;k} Ú i j A i Ø A j ÓÒØ ÒÓÑÔ Ø Ð ÓÒ A i B Ø A j B Ù º È Ö Ù Ø Ð Ú ÒØ P(B) = P(A 1 B)+P(A 2 B)+...+P(A k B) = P A1 (B) P(A 1 )+P A2 (B) P(A 2 )+...+P Ak (B) P(A k ) ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ½º B
Ü ÑÔÐ ÍÒ Ð ÒØ ÒØÖ Ò ÙÒ Ò Ñ Ð Ö Ý ÒØ ÙÜ ÕÙ Ö ÙÑ Õ٠гÓÒ ÒÓØ Ö A Ø Bº Ò Ð³ ÕÙ Ö ÙÑ A Ð Ý ÔÓ ÓÒ ÖÓÙ Ø 6 ÒÓ Ö Ò Ð³ ÕÙ Ö ÙÑ B Ð Ý Ò 9 ÖÓÙ Ø ÒÓ Ö º Ä Ð ÒØ Ó ÙÒ ÕÙ Ö ÙÑ ÔÙ Ô ÙÒ ÔÓ ÓÒ Ù Ö Ò Ø ÕÙ Ö ÙѺ Ä ÔÖÓ Ð Ø ÕÙ Ð Ð ÒØ Ó Ð³ ÕÙ Ö ÙÑ A Ø º ÐÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ø ÕÙ Ð Ð ÒØ ØØ ÙÒ ÔÓ ÓÒ ÖÓÙ º ËÓÐÙØ ÓÒ Ä³ÙÒ Ú Ö Ω Ø ÓÒ Ø ØÙ 2 ÔÓ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ò Ð ÙÜ ÕÙ Ö ÙÑ º ÇÒ ÒÓØ Ð Ú Ò Ñ ÒØ Ù Ú ÒØ A Ð ÔÓ ÓÒ ÔÖÓÚ ÒØ Ð³ ÕÙ Ö ÙÑ A B Ð ÔÓ ÓÒ ÔÖÓÚ ÒØ Ð³ ÕÙ Ö ÙÑ B º R Ð ÔÓ ÓÒ Ø ÖÓÙ º ÇÒ Ö P(R) Ø ÓÒ ÓÒÒ Ø = Ø P(B) = 2 º ÁÐ Ø Ð Ö ÕÙ Ð Ú Ò Ñ ÒØ A Ø B ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ωº ³ ÔÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð P(R) = P A (R) +P B (R) P(B) = 11 + 9 12 2 = 6 110 0,7 ÁÁ ¹ Ö Ö ÔÓÒ Ö ÎÓ ÙÒ Ü ÑÔÐ ³ Ö Ö ÔÓÒ Ö ³ÙÒ ÜÔ Ö Ò Ð ØÓ Ö ÓÒØ Ð Ú Ò Ñ ÒØ A B Ø C ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ωº Ä Ú Ò Ñ ÒØ Ø ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ A B Ø Cº ËÙÖ Ð Ö Ò Ð³ Ö Ö ÓÒ ÒÓØ Ð ÔÖÓ Ð Ø Ð³ Ú Ò Ñ ÒØ ÕÙ ØÖÓÙÚ ÓÒ ÜØÖ Ñ Ø ÔÓÙÖ Ð Ö Ò ÔÖ Ñ Ö µ ÓÙ Ð ÔÖÓ Ð Ø ÓÒ ¹ Ø ÓÒÒ ÐРг Ú Ò Ñ ÒØ ÕÙ ØÖÓÙÚ ÓÒ ÜØÖ Ñ Ø ÒØ Õ٠г Ú Ò Ñ ÒØ ØÙ ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ö Ð º Ä Ö Ð Ù Ú ÒØ Ó Ú Òع ØÖ Ú Ö ÐÐ ÓÒØ Ù Ø Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð µ ½µ Ä ÓÑÑ ÔÖÓ Ð Ø Ò Ö Ø ÙÖ Ð Ö Ò Ù ³ÙÒ Ñ Ñ Ò Ù Ø Ð 1º È Ö Ü ÑÔÐ P A ()+P A () = P(A )+P(A ) = = 1º ¾µ Ä ÔÖÓ Ð Ø ³ÙÒ Ñ Ò Ø Ð ÔÖÓ Ù Ø ÔÖÓ Ð Ø ÙÖ ÒØ ÙÖ Ö Ò º È Ö Ü ÑÔÐ P(A ) = P A ()º µ Ä ÔÖÓ Ð Ø ³ÙÒ Ú Ò Ñ ÒØ Ø Ð ÓÑÑ ÔÖÓ Ð Ø ØÓÙ Ð Ñ Ò Ñ Ò ÒØ ÙÒ ÓÑÑ Ø Ó ÔÔ Ö Ø Ø Ú Ò Ñ Òغ È Ö Ü ÑÔÐ P() = P(A )+P(B )+P(C ) = P A ()+P(B) P B ()+P(C) P C (). P(B) P(C) A B C P A () P A () P B () P B () P C () P C () Ü ÑÔÐ Ë ÓÒ Ö ÔÖ Ò Ð³ Ü ÑÔÐ ÕÙ Ö ÙÑ º Ä ØÙ Ø ÓÒ Ô ÙØ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ Ô Ö Ð³ Ö Ö Ù Ú ÒØ 11 A R 2 B 6 11 9 12 12 R R R ÈÙ ÕÙ A Ø B ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ô ÖØ Ø ÓÒ Ð³ÙÒ Ú Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð ÓÒÒ P(R) = P A (R)+P(B) P B (R) = 11 + 2 9 12 = 6 110.
ÁÁÁ ¹ Ú Ò Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ò Ø ÓÒ ÇÒ Ø ÕÙ ÙÜ Ú Ò Ñ ÒØ A Ø B Ω ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ø P ÐÓÖ ÕÙ P(A B) = P(B). Ê Ñ ÖÕÙ ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ú Ò Ñ ÒØ A Ω A Ø Ω ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ö P(A Ω) = = P(Ω). A Ø ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ö P(A ) = P( ) = 0 = P( ). Ü ÑÔÐ ÇÒ Ð Ò ÙÒ ÕÙ Ð Ö Ü Ø ÓÒ ÒÓØ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÙÔ Ö ÙÖ º ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ú Ò Ñ ÒØ Ù Ú ÒØ A Ð ÒÙÑ ÖÓ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ô Ö B Ð ÒÙÑ ÖÓ Ø 2 C Ð ÒÙÑ ÖÓ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð º ÇÒ = 1 2 P(B) = 1 6 P(C) = 1 º ÔÐÙ P(A B) = 1 1 Ø P(B) = ÓÒ A Ø B Ò ÓÒØ Ô Ò Ô Ò ÒØ º 6 12 P(A C) = 1 6 Ø P(C) = 1 ÓÒ A Ø C ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ º 6 ÈÖÓÔÖ Ø ËÓ Ø A Ø B ÙÜ Ú Ò Ñ ÒØ Ω ÔÖÓ Ð Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐ º ½µ A Ø B ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ø ÙÐ Ñ ÒØ P A (B) = P(B)º ¾µ A Ø B ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ø ÙÐ Ñ ÒØ P B (A) = º ½µ A Ø B ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ P(A B) = P(B) P(A B P(B) ¾µ Á Ѻ = P B (A) = º ÈÖÓÔÖ Ø Ë A Ø B ÓÒØ ÙÜ Ú Ò Ñ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÐÓÖ A Ø B A Ø B ÓÙ Ò A Ø B ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ º ³ ÔÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð = P(A B) + P(A B)º Ë A Ø B ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÓÒ P(A B) = P(B) = (1 P(B)) = P(B)º Ò Ö ÑÔÐ ÒØ A Ô Ö B ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð ÙÜ Ñ Ö ÙÐØ Ø Ø Ò ÙØ Ð ÒØ Ö ÙÐØ Ø Ú A Ø B ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð ØÖÓ Ñ Ö ÙÐØ Øº