À ÈÁÌÊ ½ Ê ÔÔ Ð Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ³ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Ð Ü Ö Ù Ú ÒØ O n (x) Ö ÔÖ ÒØ Ð³ÓÖ Ö x Ò Ð ÖÓÙÔ (Z/nZ) Ð Ñ ÒØ ÒÚ Ö Ð Z/nZ Ò ÔÓÙÖÚÙ ÕÙ x Ó Ø ÔÖ Ñ Ö Ú nº ÇÒ Ø ÕÙ g Ø ÙÒ Ò Ö Ø ÙÖ Z/nZ (Z/nZ) Ø ÝÐ ÕÙ Ò Ò Ö Ô Ö gº Ü Ö ½º½ ÑÓÒØÖ Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø ³ Ó Ø Ú Ø Ù Ú ÒØ Ð Ð Ú ÓÒ ÙÐ ÒÒ (a : b) : c = a : (bc). Ü Ö ½º¾ ÐÙÐ Ö Ð³ ÒÚ Ö 13 ÑÓ ÙÐÓ 100º Ü Ö ½º Ê ÓÙ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ 19x 2 (mod 140) Ø 57x 87 (mod 105). Ü Ö ½º Ê ÓÙ Ö 42x + 150y = 18º Ü Ö ½º ½º Ê ÓÙ Ö 6u + 5z = 10º ¾º Ê ÓÙ Ö 4x + 5y = uº º Ò Ù Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ 24x + 30y + 5z = 10 Ü Ö ½º Ë ÑÔÐ Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ pgcd(11a + 5b,13a + 6b)º Ü Ö ½º Ä ÔÖÓ Ù Ø ØÖÓ ÒØ Ö ÓÒ ÙØ Ô ÙØ Ð ØÖ ÙÒ ÖÖ ³ Ü Ö ½ ź Ð Ð
Ü Ö ½º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N n 13 n Ø ÑÙÐØ ÔÐ 455º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÓÒ Ô ÙØ Ñ Ð ÓÖ Ö Ö ÙÐØ Ø ³ Ø Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ ÒÓÒ ØÖ Ú Ð 455 ÕÙ Ú ØÓÙ Ð n 13 nº º ÉÙ Ð Ø Ð ÔÐÙ Ö Ò ÒØ Ö m ÕÙ Ú ØÓÙ Ð n 13 n Ü Ö ½º ½º ÑÓÒØÖ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ï Ð ÓÒ ÈÓÙÖ ÕÙ p Ó Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ÙØ Ø Ð Ù Ø ÕÙ (p 1)! 1 (mod p)º ¾º ËÓ Ø p 3 ÔÖ Ñ Öº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÒÙÑ Ö Ø ÙÖ Ð Ö Ø ÓÒ ÖÖ ÙØ Ð Ú Ð ÙÖ 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 p 1 Ø Ú Ð Ô Ö pº ÇÒ Ô ÙØ ÑÓÒØÖ Ö ÔÐÙ Ð Ñ ÒØ ÕÙ ÒÙÑ Ö Ø ÙÖ Ø Ò Ø Ú Ð Ô Ö p 2 Ø ÓÖ Ñ ÏÓÐ Ø Ò ÓÐÑ µº Ü Ö ½º½¼ ËÓ Ø a,b,c,d ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ø Ð ÕÙ a b < p q < d c Ø bc ad = 1º ½º ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ q > max(b,d)º ¾º ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ ÓÑÔÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÒØÖ a b Ø d c a + c Ø Ð Ö Ø ÓÒ b + d º ÔÔÐ Ø ÓÒ ½º ÓÒÒ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ð Ö Ø ÓÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ Ñ ÒØ ]u,v[ Ú u,v Ö Ð Ø u < vº ¾º ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ö Ø ÓÒ ÓÒØ Ð ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ Ò Ô Ô 10 ÕÙ Ø Ð ÔÐÙ ÔÖÓ 6.55957 º ËÓ Ø [u,v] ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ö Ðº ÓÒÒ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ò ÒØ Ð Ö Ø ÓÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ º Ü Ö ½º½½ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ H n = 1 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 Ò³ Ø Ñ ÙÒ ÒØ Ö Ö Ù Ö n Ù Ñ Ñ ÒÓÑ Ò Ø ÙÖ ØÓÙØ Ö Ø ÓÒ Ø ØÙ Ö Ð Ô Ö Ø Ù ÒÙÑ Ö Ø ÙÖ Ø Ù ÒÓÑ Ò Ø ÙÖµº Ü Ö ½º½¾ ËÓ Ø x R Ø ÒØ Ö a 1,a 2,...,a n ØÓÙ x Ø Ø Ð ÕÙ ÙÙÒ a 1 1 i n Ò Ú Ð ÔÖÓ Ù Ø ÙØÖ º ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ n π(x) Ó π(x) Ø Ð Ö Ò Ð Ð³ Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö xº ³ Ü Ö ¾ ź Ð Ð
Ü Ö ½º½ ÇÒ Ò Ø Ð Ù Ø ÒÓÑ Ö ÖÑ Ø Ô Ö F n = 2 2n + 1º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð F n ÓÒØ ÙÜ ÙÜ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ Ùܺ ÁÒ Ø ÓÒ m < n ÐÓÖ F m Ú F n 2º ¾º Ò Ù Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ò Ò Ø ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö º Ü Ö ½º½ ÈÖÓÙÚ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ò Ò Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÖÑ 4k 1º Ü Ö ÙÒ ÙØÖ ÔÖÓ Ö ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ak + b ÓÒØ Ò ÒØ ÙÒ Ò Ò Ø ÔÖ Ñ Ö º Ü Ö ½º½ ÜÔÐ Ø Ö ÙÒ n Ø Ð ÕÙ n,n+1,n+2,...,n+9 Ó ÒØ ØÓÙ ÒÓÒ ÔÖ Ñ Ö ½º Ò ÙÔÔÓ ÒØ ³ ÓÖ ÕÙ ÚÓÙ ÒÓÖ Þ Ð Ø ÓÖ Ñ Ö Ø ÒÓ º ¾º Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ö Ø ÒÓ º Ü Ö ½º½ a Ø b ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ Ø Nº ÇÒ ÓÒ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ax + by = N (E) ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ N Ø Þ Ö Ò Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ (E) ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ N = (a 1)(b 1) 1 г ÕÙ Ø ÓÒ (E) Ò³ Ô ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ N (a 1)(b 1) г ÕÙ Ø ÓÒ (E) ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð º Ü Ö ½º½ ËÓ ÒØ x 1,x 2,...,x n ÒØ Ö Ö Ð Ø º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø i,j ÒØ Ö 1 i < j n Ø Ð ÕÙ x i + x i+1 + + x j 0 (mod n)º Ü Ö ½º½ Î Ö Ö ÕÙ Ð ÖÒ Ö Ö Ò 10µ 9376 2 ÓÒØ 9376º Ø Ö¹ Ñ Ò Ö ØÓÙ Ð ÒØ Ö x 0 x < 10000 Ø Ð ÕÙ x 2 x (mod 10000) Ü Ö ½º½ Ê ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ ÓÒ ÖÙ Ò 2x 3 (mod 5) 4x 3 (mod 7) 3x 5 (mod 8) Ü Ö ½º¾¼ Ê ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ ÓÒ ÖÙ Ò x a (mod 3) x b (mod 5) x c (mod 7) ³ Ü Ö Åº Ð Ð
Ü Ö ½º¾½ Ê ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ ÓÒ ÖÙ Ò Ú ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÙÐ 5x 6 mod 7 7x 8 mod 9 9x 10 mod 11 11x 12 mod 13 Ü Ö ½º¾¾ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÚÓÙ ÔÓ Þ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÙÐ ϕ(n) ÐÓÖ ÚÓÙ ÔÓÙÚ Þ Ö Ô Ñ ÒØ ØÓÖ Ö Ð ÒØ Ö ÕÙ ÓÒØ Ð ÔÖÓ Ù Ø ÙÜ Ø ÙÖ ÔÖ Ñ Ö º Ü Ö ½º¾ Ì Ö Ð ÖÙ Ö ÕÙ ÙÜ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ù ÅÓÒ µ ½º Î Ö Ö ÕÙ³ Ð Ò³ Ü Ø ÕÙ³ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ 4 ÔÐÙ Ô Ø Ø 100 ÓÒØ Ð³ Ö ØÙÖ Ñ Ð Ò³ÙØ Ð ÕÙ Ð Ö 1 Ø 2 ¾º Ø ÖÑ Ò Ö ØÓÙ Ð ÑÙÐØ ÔÐ 8 ÔÐÙ Ô Ø Ø ÕÙ 1000 ÓÒØ Ð³ Ö ØÙÖ Ñ Ð Ò³ÙØ Ð ÕÙ Ð Ö 1 Ø 2º º ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö n 1 Ð Ò³ Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ 2 n ÓÒØ Ð³ Ö ØÙÖ Ñ Ð ÙØ Ð Ü Ø Ñ ÒØ n Ö ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ØÓÙ {1,2}º Ü Ö ½º¾ ½º ËÓ Ø n ÙÒ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð ÓÒØ Ð³ Ö ØÙÖ Ò 10 Ø n = c k c k 1...c 1 c 0 º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö c k + c k 1 + + c 1 + c 0 Ø ÓÒ ÖÙ n ÑÓ ÙÐÓ 9º ¾º ËÓ Ø n ÙÒ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð ÓÒØ Ð³ Ö ØÙÖ Ò 10 Ø n = c k c k 1...c 1 c 0 º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö c 0 c 1 + c 2 + ( 1) k c k Ø ÓÒ ÖÙ n ÑÓ ÙÐÓ 11º Ü Ö ½º¾ ËÓ Ø A = 4444 4444 º ËÓ Ø B Ð ÓÑÑ Ö A C Ð ÓÑÑ Ö B Ø Ò Ò D Ð ÓÑÑ Ö Cº ÐÙÐ Ö Dº Ü Ö ½º¾ ËÓ Ø m ÙÒ ÒØ Ö ÑÔ Ö ÒÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ 5º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö m ÓÒØ Ð³ Ö ØÙÖ Ñ Ð Ò ÓÑÔÓÖØ ÕÙ 9º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ö m ÓÒØ Ð³ Ö ØÙÖ Ñ Ð Ò ÓÑÔÓÖØ ÕÙ 1º Ü Ö ½º¾ ÌÖÓÙÚ Ö Ð ÙÜ ÖÒ Ö Ö 39 3939 º Å Ñ ÕÙ Ø ÓÒ Ú 17 1717 º Ü Ö ½º¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ n Ø ÑÔ Ö ÐÓÖ n 2 n! 1º
Ü Ö ½º¾ ½º È Ö ÓÑ Ò Þ ÖÓ Ø ÖÑ Ò 2002!? ¾º ( 1000) 500 ع Ð Ú Ð Ô Ö º Ø ÖÑ Ò Ö v 2 ((2 n 1)!) ³ Ø Ö Ð³ ÜÔÓ ÒØ ¾ Ò Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò Ø ÙÖ ÔÖ Ñ Ö (2 n 1)!º ( ) 2n º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ 4 n Ò³ Ø Ô ÙÒ ÔÙ Ò ¾º n Ü Ö ½º ¼ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ½º 11 n 11 + 10n ¾º 42 n 7 n º p n pp n p Ø ÔÖ Ñ Öµ º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ p Ø q ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö Ø ÒØ pq n pq n p n q + nº Ü Ö ½º ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ p Ø ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Ö Ð ÔÖÓ Ù Ø ÙÜ Ò Ö Ø ÙÖ Z/pZ Ò³ Ø Ô ÙÒ Ò Ö Ø ÙÖº Ü Ö ½º ¾ Ì ÓÖ Ñ ÄÙ º ËÓ ÒØ q,a ÙÜ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð > 1 Ø Ð ÕÙ ½º a q 1 1mod q ¾º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ú ÙÖ ÔÖ Ñ Ö p q 1 a q 1 p 1mod q. ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ q Ø ÔÖ Ñ Ö Ø ÔÐÙ a Ø ÙÒ Ò Ö Ø ÙÖ F q Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ö Ð³ÓÖ Ö a Ò F q µº Ü Ö ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ p Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Ö ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k ( ) (p + 1 ) k O p (2 k ) = O p 2 Ü Ö ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ p Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Ö (a,p) = 1 Ø O p (a) Ø ÑÔ Ö ÐÓÖ a x + 1 0 mod p Ò³ Ô ÓÐÙØ ÓÒº Ü Ö ½º ËÓ Ø p ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö Ø d 1 ÙÒ Ú ÙÖ p 1º ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г ÕÙ Ø ÓÒ x d = 1 Ü Ø Ñ ÒØ d ÓÐÙØ ÓÒ Ò F p º Ü Ö ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ p Ø ÔÖ Ñ Ö (a,p) = 1 Ø 4 O p (a) ÐÓÖ O p (a) = O p ( a)º Ò Ù Ö ÕÙ p Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÖÑ 4k + 1 Ø a ÙÒ Ò Ö Ø ÙÖ Z/pZ ÐÓÖ a Ø Ù ÙÒ Ò Ö Ö ÙÖº
Ü Ö ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ò³ Ü Ø Ô ³ ÒØ Ö n > 1 Ø Ð ÕÙ n (2 n 1)º ÁÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ö Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ú ÙÖ ÔÖ Ñ Ö nº Ü Ö ½º ËÓ Ø p ÔÖ Ñ Öº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ a Ø ³ÓÖ Ö 3 ÑÓ ÙÐÓ p Ø ÙÐ Ñ ÒØ a + 1 Ø ³ÓÖ Ö 6º Ü Ö ½º Ë p = 2q + 1 Ø ÔÖ Ñ Ö Ú q ÔÖ Ñ Ö ÑÔ Ö Ø a Ø ÙÒ ÒØ Ö Ø Ð ÕÙ a 3 a 0 mod p ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ a ÓÙ Ò a Ø ÙÒ Ò Ö Ø ÙÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÑÓ ÙÐÓ pº Ü Ö ½º ¼ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙØ ÔÖÓ Ö ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Ò ³ ÒØ Ö ÔÓ Ø ÓÒ¹ Ø ÒØ k Ø ÖÑ ÓÒ ÙØ ØÓÙ ÓÑÔÓ º ÎÓÙ ÔÓÙÖÖ Þ ÙØ Ð Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ö Ø ÒÓ Ò Ö Ñ ÖÕÙ ÒØ ÕÙ³ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÒØ ÔÓÙÖ ÕÙ a + bx Ó Ø ÒÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÕÙ a + bx 0 (mod p) Ú p ÔÖ Ñ Ö ÔÓÙÖÚÙ ÕÙ p a + bx)º Ü Ö ½º ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ x p (mod p 2 ) Ú p ÔÖ Ñ Ö ÐÓÖ x Ò³ Ø Ô Ð ÓÖÑ y n n 2º Ò Ù Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k Ð Ü Ø k ÒØ Ö ÓÒ ÙØ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô ÔÙ Ò º ÁÒ Ø ÓÒ ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ö ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ x + i p i mod p 2 i i = 1,...,k Ü Ö ½º ¾ ËÓ Ø n 2 ÙÒ ÒØ Ö Ø n = p α 1 1 pα 2 2...pα k k, p 1 < p 2 <... < p k Óѹ ÔÓ Ø ÓÒ Ò ÔÖÓ Ù Ø Ø ÙÖ ÔÖ Ñ Ö º ÇÒ Ö ÔÔ ÐРг ÜÔÖ ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÙÐ Ö ϕ(n) ÕÙ ÓÑÔØ Ð ÒØ Ö n Ø ÔÖ Ñ Ö Ú n ϕ(n) = k (p i 1)p α i 1 i=1 ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ k log n log 2 º ¾º ÈÓÙÖ 1 i k ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ p i i + 1º º Ò Ù Ö ÕÙ ϕ(n) log 2 2 n log n. i. Ü Ö ½º ÇÒ ÔÔ ÐÐ n ième ÒÓÑ Ö ÖÑ Ø Ð ÒÓÑ Ö 2 2n + 1º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö Ø Ð ÓÖÑ 2 k + 1 ÐÓÖ ³ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÖÑ Øº ¾º ËÓ Ø F n = 2 2n + 1 ÙÒ ÒÓÑ Ö ÖÑ Øº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ú ÙÖ ÔÖ Ñ Ö F n ÓÒØ ØÓÙ Ð ÓÖÑ k2 n+1 + 1 p Ø ÙÒ Ú ÙÖ ÔÖ Ñ Ö F n ÓÒ ÓÒ Ö Ö Ð³ÓÖ Ö 2 ÑÓ ÙÐÓ p Ø ÓÒ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ø Ü Ø Ñ ÒØ 2 n+1 µº º ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÔÔÓ ÓÒÒÙ Ð Ô ØÖ Ù ÓÙÖ ÙÖ Ð ÖÖ Z/pZ Ò ÓÒ Ö ÒØ Ð Ö Ø Ö ÕÙ Ö Ø ÕÙ 2 ÑÓ ÙÐÓ p ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÓÒ ÙÒ Ô Ù Ñ ÙÜ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ p Ø ÙÒ Ú ÙÖ ÔÖ Ñ Ö F n Ø p = 1 + k2 n+1 ÐÓÖ k Ø Ô Öº Ò Ð Ú ÙÖ ÔÖ Ñ Ö F n ÓÒØ ØÓÙ Ð ÓÖÑ k2 n+2 + 1º º Ò Ñ Ö ÒØ ÙÖ Ð ØÖ ³ ÙÐ Ö Ò Ù Ö ÕÙ F 5 = 2 32 + 1 = 4294967297 Ò³ Ø Ô ÔÖ Ñ Öº
Ü Ö ½º ÍÒ ÙØÖ Ø ÓÖ Ñ ÄÙ µ ½º ËÓ Ø p ÔÖ Ñ Ö 0 a p 1 Ø 0 b p 1º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ n Ø k ÓÒ ( ) ( )( ) np + a n a (mod p) kp + b k b Ú Ð ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ( ) a = 0 b > a. b ÁÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ö Ð Ó ÒØ x kp+b Ò Ð Ú ÐÓÔÔ Ñ ÒØ (1 + x) np+a Ø ÙØ Ð Ö Ð³ ÒØ Ø Ú p ÔÖ Ñ Öµ (1 + x) p 1 + x p (mod p) ¾º ËÓ ÒØ A = r i=0 a ip i Ø B = r i=0 b ip i Ð Ö ØÙÖ Ò p A Ø Bº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ( ) A r ( ) ai (mod p) B i=0 º Ò Ù Ö ÕÙ p Ú ( A B) Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ð³ Ö ØÙÖ Ò p B ÕÙ Ø ÔÐÙ Ö Ò ÕÙ Ð Ö Ñ Ñ Ö Ò Ð³ Ö ØÙÖ Ò p Aº b i