ÉÍÌÁÇÆË ÁÊÆÌÁÄÄË Í ÈÊÅÁÊ ÇÊÊ ½ ÊÔÔÐ ÜÑÔÐ ½º Ä ÙÜ ÕÙ ØÓÒ ÙÚÒØ ÓÒØ ÒÔÒÒØ º ½º ËÓØ (E) гÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ (y 1)y ¼ = 4x+2º µ ÉÙ ÔÙعÓÒ Ö ÓÐÙØÓÒ (E) ÔÓÙÖ x = 1 2 µ Ä ÓÒØÓÒ f Ò ÔÖ f(x) = 2x+2 عÐÐ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ (E) Õ µ ÍÒ ØÙÒØ ÖÑ Ð ÓÒØÓÒ x 1+ 4x 2 +4x+k Ó k Ø ÙÒ ÓÒ ØÒØ ÓÒØ ÓÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ (E)º ÍÒ ÙØÖ ØÙÒØ ÐÙ ÖÔÓÒ Ò³ Ø Ô ÔÓ Ð Ö ÇÒ ÙÒ ÓÐÙØÓÒº Ä ÔÖÓÙØ (y 1)y ¼ Ø Ð ÔÓÐÝÒÑ 4x+2 Ð Ò ÔÙØ ÓÒ Ô Ý ÚÓÖ ÙÒ ÖÒ ÖÖ Ò Ð ÓÐÙØÓÒº ÄÓÖ ÕÙ Õ٠гÓÒ ÖÑÔÐ Ð ÓÒØÓÒ Ò y ¼ (1 y) Ð Ö ØÖ Ð ÓÒ ØÒØ k ÐÓÖ ÕÙ Ò 4x+2 Ð Ò³Ý Ô ÓÒ ØÒغ ÉÙ ÙÜ ØÙÒØ Ö ÓÒ µ ÈÙØ¹Ð Ý ÚÓÖ ³ÙØÖ ÓÐÙØÓÒ ¾º ØÖÑÒÖ Ð ÓÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ 2x ¼ +3x = tº ¾ ¾º½ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÐÒÖ ÓÒØ ÒÓÒ ÓÒ ØÒØ ÕÙØÓÒ ÐÒÖ ÓÑÓÒ Ù ½Ö ÓÖÖ ÌÓÖÑ ½º ËÓÒØaÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÙÖIº Ä ÓÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ ÓÑÓÒ(H) : y ¼ +a(x)y = 0 ÓÒØ Ð ÓÒØÓÒ Ð ÓÖÑ x ke A(x) Ó k ¾ Ê Ø ÙÒ ÓÒ ØÒØ ÕÙÐÓÒÕÙ Ø A ÙÒ ÔÖÑØÚ a ÙÖ Iº ÜÑÔÐ ¾º ½º Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ 2y ¼ +xy = 0º ¾º ÑÓÒ ØÖØÓÒ Ù ØÓÖÑ ÓØ A ÙÒ ÔÖÑØÚ a Ø ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ (H) ÑØØ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ fº ËÓØ g Ð ÓÒØÓÒ Ò ÔÖ g(x) = f(x)e A º µ ÜÔÖÑÖ f Ò ÓÒØÓÒ gº µ ËÒØ ÕÙ f Ø ÙÒ ÓÐÙØÓÒ (H) ØÖÑÒÖ g ¼ Ø Ò ÙÖ gº µ Ò ÙÖ Ð ÚÒØÙÐÐ ÓÐÙØÓÒ (H)º µ Ò ÙÖ Ð ÓÐÙØÓÒ (H)º ½
¾º¾ ÕÙØÓÒ ÐÒÖ Ù ½Ö ÓÖÖ Ú ÓÒ ÑÑÖ ³ÔÖ Ð ÓÙÖ ÙÖ Ð ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÚÙ Ò ÙØ ³ÒÒ ÒÓÙ ÚÓÒ ÕÙ Ð ÓÐÙØÓÒ ÓÒØ Ð ÓÑÑ ³ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÔÖØÙÐÖ Ø Ð ÓÐÙØÓÒ ÒÖРгÕÙØÓÒ ÓÑÓÒº ÆÓÙ ÚÓÒ ÓÒ Ð ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ¹ ÓÙ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½º ËÓØ a Ø b ÙÜ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ Ø A ÙÒ ÔÖÑØÚ a ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ Iº ËÓØ (E) гÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ (E) : y ¼ +a(x)y = b(x)º ÐÓÖ Ð ÓÐÙØÓÒ ÒÖÐ (E) ÙÖ I Ø Ð ÓÖÑ y = g(x)+ke A(x) Ó k ¾ Ê Ø ÙÒ ÓÒ ØÒØ ÕÙÐÓÒÕÙ Ø g ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÔÖØÙÐÖ Õ٠гÓÒ ÔÙØ ÐÙÐÖ Ð³ Ð ÑØÓ Ð ÚÖØÓÒ Ð ÓÒ ØÒØ ÖØ ¹ ÓÙ º ÅØÓ Ð ÚÖØÓÒ Ð ÓÒ ØÒØ ÇÒ Ö g ÓÙ Ð ÓÖÑ g(x) = k(x)e A º ÇÒ ÖÑÔÐ g Ò Ð³ÕÙØÓÒº ÇÒ Ò ÙØ k ¼ º ÈÙ kº Ø ÒÒ gº ÜÑÔÐ º Ê ÓÙÖ ÙÖ I =]1;+ [ гÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ (E) : y ¼ + 1 x ÐÒx y = ex ÐÒx ¾º ÕÙØÓÒ Ú ÓÒØÓÒ ÒØÐ ¹ ÈÖÓÐÑ ÙÝ ËÓÒØ x 0 ¾ I Ø y 0 ¾ ʺ Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÐÒÖ Ù ½Ö ÓÖÖ (E) Ú Ð ÓÒØÓÒ ÒØÐ y(x 0 ) = y 0 ³ Ø ØÖÑÒÖ Ð ÓÐÙØÓÒ y (E) ÙÒÕÙ ÕÙ ÚÖ (E)º Ä ÓÒÒ Ð³ÕÙØÓÒ Ú ÙÒ ÓÒØÓÒ ÒØÐ Ø ÐÑÒØ ÔÔÐ ÔÖÓÐÑ ÙÝ Ù ÔÖÑÖ ÓÖÖº ØÖÑÒÖ Ð ÓÐÙØÓÒ f гÕÙØÓÒ xy ¼ +2y = x+1 ÙÖ Ê + ÚÖÒØ f(1) = 2º ÕÙØÓÒ ÚÖÐ ÔÖÐ ÒØÓÒ ½º ÍÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ù ÔÖÑÖ ÓÖÖ ÚÖÐ ÔÖÐ Ø ÙÒ ÕÙØÓÒ ÕÙ ÔÙØ ³ÖÖ ÓÙ Ð ÓÖÑ y ¼ g(y) = f(x) Ó y Ø Ð ÓÒØÓÒ ÒÓÒÒ٠гÕÙØÓÒ Ø g Ø h ÙÜ ÓÒØÓÒ ÓÒØÒÙ ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ Iº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾º ÇÒ Ö ÓÙØ Ð³ÕÙØÓÒ y ¼ g(y) = f(x) Ò ÒØÖÒØ Ð ÙÜ ÑÑÖ Ð³ÕÙØÓÒ Ø ÓÒ ÓØÒØ G(y) = F(x) Ú G Ø F ÔÖÑØÚ ÓÒØÓÒ Ö ÔØÚÑÒØ g Ø fº ¾
Ê ÓÙÖ Ð ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÙÚÒØ ½º y ¼ y 2 = 0º ¾º y ¼ = y 2 º º y ¼ (e y +1) = xº ÊÑÖÕÙ ½º ³ÔÖ Ð³ÜÑÔÐ ÔÖÒØ ÁÐ ÙØ ÔÖÓ ÖÙÖ Ð³ÒØÖÚÐÐ ³ØÙ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ y ¼ g(y) = f(x) Ò ¾º ÓÒ ÔÖÒ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ I ÙÖ ÐÕÙÐ x ¾ I,y(x) = 0µ гÕÙØÓÒ ÒØÐ Ò³ Ø ÓÒ Ô ØÓÙÓÙÖ ÕÙÚÐÒØ y ¼ g(y) = f(x)º ÁÐ ÙØ ØÙÖ Ð Õ٠гÓÒ ÖØ ÔÓÙÖ ÓØÒÖ y ¼ g(y) = f(x) Ò ¾º ÓÒ ÖÓÙØ Ð ÓÒØÓÒ ÒÙÐÐ ÓÑÑ ÓÐÙØÓÒµº ÄÓÖ Õ٠гÓÒ ÓØÒØ G(y) = F(x) ÓÒ ÓØÒØ ÓÒ ÑÔÐØ Ð ÓÐÙØÓÒ y Ñ ÓÒ Ò ÔÙØ Ô ØÓÙÓÙÖ ÜÔÖÑÖ y Ò ÓÒØÓÒ x ÓÑÑ Ò º ÔÖ ÜÑÔеº ÊÑÖÕÙ ¾º Ò ÔÝ ÕÙ Ò ÔÝ ÕÙ Ð ÔÖ ÒØØÓÒ Ù ÐÙÐ Ø ÓÙÚÒØ Ð ÙÚÒØ dy g(y) = f(x) ½µ ÓÒ dx g(y)dy = f(x)dx ¾µ ÔÙ ÓÒ ÒØÖ Ð ÙÜ ÑÑÖ Ð³ÐØ Ö ÔØÚÑÒØ ÔÖ ÖÔÔÓÖØ y Ø xº ½º Ò Ð³ÐØ ½µ y عÐÐ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÙ ÙÒ ÚÖÐ ¾º Ò Ð³ÐØ ¾µ y عÐÐ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÙ ÙÒ ÚÖÐ º ÜÔÐÕÙÖ ÔÖÓÜ ÔÔÖÒغ ÊÑÖÕÙ º ÇÒ ØÖÓÙÚ Ò ÐÚÖ ÓÙ ÙÖ ÒØÖÒØ Ð ÑÓÒ ØÖØÓÒ ÙÚÒØ ÔÓÙÖ Ö¹ ÓÙÖ y ¼ +a(x)y = 0 y ¼ +ay = 0 dy dx = ay dy y = adx ÐÒy = adx+k y = ke adx ½º ÓÑÑÒØ ³ÔÔÐÐ ØØ ÑØÓ ¾º ÕÙÚÐÒ ÓÒعÐÐ ÜØ ÓÑÑ ÓÒ Ð³ ÚÙ ÔÖÑÑÒØ Ð Ø ÐØ Ö ÓÙÖ Ú ÖÙÙÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ò ÔÖÒØ Ð ÚÖÐ ÔÓÙÖ Ð ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÐÒÖ ÓÒ ÔÔÐÕÙÖ ÓÒ ÖØÑÒØ Ð Ö ÙÐØØ Ù ÔÖÖÔ ÙÖ Ð ÕÙØÓÒ ÐÒÖ
ÕÙØÓÒ ÓÑÓÒ ÒØÓÒ ¾º ÍÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ø Ø ÓÑÓÒ ³Ð Ü Ø ÙÒ ÒØÖÚÐÐ I ÙÖ ÐÕÙРгÕÙØÓÒ ÔÙØ ³ÖÖ ÓÙ Ð ÓÖÑ y ¼ = g( y x )º ÅÓÒØÖÖ Õ٠гÕÙØÓÒ xy ¼ = x+y Ø ÙÒ ÕÙØÓÒ ÓÑÓÒº ÊÑÖÕÙ º ØØÒØÓÒ Ò Ô ÓÒÓÒÖ ÕÙØÓÒ ÓÑÓÒ Ø ÕÙØÓÒ ÓÑÓÒ ³ÙÒ ÕÙØÓÒ ÐÒÖº ÈÖÓÔÖØ ½º ËÓØ y ¼ = g( y x ) ÙÒ ÕÙØÓÒ ÓÑÓÒº Ò ÔÓ ÒØ z = y гÕÙØÓÒ ÚÒØ ÙÒ ÕÙØÓÒ x ÚÖÐ ÔÖÐ Ò zº ÅÓÒØÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØ ÔÖÒغ Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ xy ¼ = x+2yº ÜÖ ÜÖ ½º ÊÓÒÒØÖ ÔÖÑ Ð ÕÙØÓÒ ÙÚÒØ Ð ÕÙØÓÒ ÐÒÖ Ø Ð Ö ÓÙÖ ½º (1 x 2 )y ¼ = (2 x)y ÙÖ ] ; 1[ ¾º xy 2 y ¼ = x 3 +y 3 º (1+x 2 )y ¼ +2xy = 1 x ÙÖ Ê + º x y+xy ¼ = 0 ÙÖ ]0,+ [ º xy ¼ +3y = 1 ÙÖ ]0;1[ 1 x2 º (x 2 y 2 )y ¼ = xy º y ¼ xy = xe x2 ÙÖ Ê º y ¼ Òx+y Ó x = Ò 2 x ÙÖ ]0;Π[ º y ¼ xe y = 0 ½¼º y 2 +(x+1)y ¼ = 0 ½½º y ¼ = 2x Õ ½¾º yy ¼ = x ½ º y = ÐÒy ¼ 1 y 2 ÜÖ ¾º ÇÒ ÓÒ Ö Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÐÒÖ Ù ½Ö ÓÖÖ (E) ÙÚÒØ Ò ÙÖ I =]0;+ [ ÔÖ (E) : x(1+ðò 2 (x))y ¼ +2 ÐÒ(x)y = 1 º ½º ÈÓÙÖ ØÓÙØ x ¾ I ÓÒ ÒØ f(x) = 1+ÐÒ 2 (x)º ØÖÑÒÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ x ¾ I,f ¼ (x)º
¾º ØÖÑÒÖ Ð ÓÐÙØÓÒ y H гÕÙØÓÒ ÓÑÓÒ (H) Ó (E)º º ØÖÑÒÖ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÔÖØÙÐÖ y 0 гÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ (E)º º Ò ÙÖ Ð ÓÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ (E)º º ÉÙÐÐ Ø Ð³ÙÒÕÙ ÓÐÙØÓÒ (E) ÚÖÒØ Ð ÓÒØÓÒ ÒØÐ y(1) = 2º ÜÖ º ÊÔÖÒÖ Ð³ÒÓÒ Ð³ÜÖ ½ ÖÓÒÒØÖ Ø Ö ÓÙÖ Ð ÕÙØÓÒ ÚÖÐ ÔÖÐ Ø Ð ÕÙØÓÒ ÓÑÓÒ º ÜÖ º ÌÖÓÙÚÖ ÙÒ ÓÙÖ Ù ÔÐÒ ³ÕÙØÓÒ y = f(x) Ô ÒØ ÔÖ Ð ÔÓÒØ ¼ µ Ø ÓÒØ Ð ÔÒØ Ð ØÒÒØ Ù ÔÓÒØ M(x;y) Ø 2x y 2 º ÜÖ º Ä ÐÓ ÌÓÖÖÐÐ ÓÒÒ ÙÒ ÖÐØÓÒ ÒØÖ Ð ÚØ ³ÓÙÐÑÒØ ³ÙÒ ÐÕÙ ÔÖ Ð³ÓÖ ³ÙÒ ÖÔÒØ Ø Ð ÙØÙÖ ÐÕÙ Ù¹ ٠гÓÖº ËÓØ h(t) Ð ÙØÙÖ ÐÕÙ ÓÒØÒÙ Ò Ð ÖÔÒØ Ù¹ ٠гÓÖ Ù ØÑÔ t Ø A(h) Ð³Ö Ð ÙÖ Ù ÐÕÙ ÕÙÒ Ð ÙØÙÖ Ù ÐÕÙ Ø hº ÇÒ Ð ÖÐØÓÒ (E) A(h) dh dt = kô h Ó k Ø ÙÒ ÓÒ ØÒØ ÔÓ ØÚ ÔÒÒØ ÖØÒ ØÙÖ ÓÑÑ Ð Ú Ó Ø Ù Ð¹ ÕÙ Ø Ð³Ö Ð ØÓÒ Ù ØÖÓÙ ³ÓÙ¹ ÐÑÒغ ½º ÂÙ ØÖ ÔÝ ÕÙÑÒØ Ð Ò h ¼ (t)º ¾º Ù ØÑÔ t = 0 ÙÒ Ö ÖÚÓÖ ÝÐÒÖÕÙ ÖÝÓÒ R Ò ÑØÖ ÓÒØÒØ À ÑØÖ ³Ù Ù¹ ٠гÓÖº µ ÉÙÐÐ ÓÒØÙÖ ÔÙعÓÒ Ö ÙÖ Ð ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ h µ ØÖÑÒÖ Ð ÓÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ (E) Ø Ò ÙÖ h(t)º µ ÊÔÖ ÒØÖ ÖÔÕÙÑÒØ hº Ä ÓÙÖ Ø¹ÐÐ ÓÖÒØ Ú Ð ÓÒØÙÖ Ð ÕÙ ØÓÒ ½ º ÊÔÖÒÖ Ð ÕÙ ØÓÒ ÔÖÒØ Ú ÙÒ Ö ÖÚÓÖ ÓÒÕÙ ÙØÙÖ H ÖÝÓÒ R Ø ÓÒØ Ð³ÓÖ Ø Ù ÓÑÑÒØ Ù Òº ÜÖ º Ò ÙÒ Þ ÔÖØ ÕÙ ÑÓÐ Ò Ð ÓÑÔÓÖØÑÒØ Þ ÙÜ ÔÖ ÓÒ Ø ØÑÔÖØÙÖ Ù ÙÐÐ ÓÒ ÓØÒØ ÕÙ Ð ÔÖ ÓÒ Ò ÙÒ Þ Ò ÕÙÐÖ ÓÒ Ò ÑÓÙÚÑÒص ÓÙ
Ð³Ø Ð Ô ÒØÙÖ ÓØ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ (E) ÙÚÒØ Ð ÚÖÐ ØÒØ Ð³ÐØØÙ Þ dp dz + Mg RT p = 0 Ú M Ñ ÑÓÐÖ Ù Þ ÓÒ ØÒØ ÔÓÙÖ Ð³Ö M ¼ ¼¼¾¼»ÑÓÐ g = 9,81m/s 2 ÐÖØÓÒ Ð Ô ÒØÙÖ R ½ »ûÑÓÐ ÓÒ ØÒØ Þ ÔÖØ T ÖÔÖ ÒØ Ð ØÑÔÖØÙÖ Ù Þ Ò ÐÚÒ º ÇÖ Ò Ð³ØÑÓ ÔÖ Ð ØÑÔÖØÙÖ Ò³ Ø Ô ÓÒ ØÒغ ÍÒ ÑÓÐ ØÖ ÖÕÙÑÑÒØ ÙØÐ Ø ÔÓ ØÙÐÖ ÙÒ ÖÓ Ò ÐÒÖ Ð ØÑÔÖØÙÖ Ú Ð³ÐØØÙ T(z) = T 0 (1 kz) T 0 ØÒØ Ð ØÑÔÖØÙÖ Ù ÒÚÙ Ð ÑÖ Ø Ð ÓÒØ k ØÒØ ÙÒ ÓÒ ØÒغ Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ (E) Ø ÖÔÖ ÒØÖ ÓÐÙØÓÒ º ÜÖ º ÇÒ ÓÒ Ö Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ x(x 1)y ¼ y(y 1) = 0 ½º ËÒ Ö ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÑÓÒØÖÖ Õ٠гÒØÖ ØÓÒ ÒØÖ Ð³Ò ÑÐ ÓÙÖ Ò¹ ØÖÐ Ø Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ x = 0 ÖÙØ ÙÜ ÔÓÒØ Ü ÑÜÑÙÑ Ø ÑÑ Ú Ð ÖÓØ ³ÕÙØÓÒ x = 1º ÜÖ º ÙÐØص ËÓØ Ð ÖØÓÒ ÑÕÙ A+B C Ð³Ò ØÒØ t = 0 ÒÓÙ ÚÓÒ a ÑÓÐ Ù ÓÖÔ A Ø b ÑÓÐ Ù ÓÖÔ Bº Ò ÔÓ ÒØ x(t) Ð ÒÓÑÖ ÑÓÐ C ÔÖ ÒØ Ð³Ò ØÒØ t ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ÚØ ³ÔÔÖØÓÒ C ÙØ Ð ÐÓ dx = k(a x)(b x) Ó k Ø ÙÒ ÓÒ ØÒØ ÔÓ ØÚº dt ½º Ê ÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ò ØÒÙÒØ Ð Ó a = b Ø a = bº ¾º ÊÔÖ ÒØÖ Ð ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÖÔÕÙ ÓÐÙØÓÒ Ø ÚÖÖ ÕÙ³ÐÐ ÓÒØ Ó¹ ÖÒØ Ú Ð³ÜÔÖÒº º ÅÓÒØÖÖ ÕÙ ÐÓÖ ÕÙ a ØÒ ÚÖ b ÓÒ ÖØÖÓÙÚ Ð ÓÐÙØÓÒ Ó a = bº